第42讲 电磁感应与电路的综合

第42讲 │ 考向互动探究
A．电容器所带的电荷量为 6×10
－5
C
B．通过 R 的电流是 2.5 A，方向从 b 到 a C．通过 R 的电流是 2 A，方向从 a 到 b D．R 消耗的电功率是 0.16 W
[答案] C
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[解析] 由题意知，在变化的磁场中的线圈部分相当于电源，
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变式题 1 如图 42－2 甲所示， 面积为 0.1 m2 的 10 匝线圈 EFG
处在某磁场中，t＝0 时，磁场方向垂直于线圈平面向里，磁感应强 度 B 随时间变化的规律如图乙所示． 已知线圈与右侧电路接触良好， 电路中的电阻 R＝4 Ω，电容 C＝10 μF，线圈 EFG 的电阻为 1 Ω， 其余部分电阻不计．当开关 S 闭合，电路稳定后，在 t1＝0.1 s 至 t2 ＝0.2 s 这段时间内( )
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A．第 2 s 内上极板为正极 B．第 3 s 内上极板为负极 C．第 2 s 末微粒回到了原来位置 0.2πr2 D．第 2 s 末两极板之间的电场强度大小为 d
[答案]A
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[解析] 由图乙中各时间段磁场的变化情况，根据楞次定律 可以判断出：在 0～1 s 内，下极板带正电，在 1～2 s 内，上极 板带正电，在 2～3 s 内，上极板仍带正电，在 3～4 s 内，下极 板带正电，选项 A 正确、B 错误；由此结合牛顿运动定律，电 荷先向上做加速度为 a 的匀加速运动，然后继续向上做加速度 大小为 a 的匀减速运动，在第 2 s 末速度为零，在第 3 s 内向下 做加速度大小为 a 的匀加速运动， 在第 4 s 内向下做加速度大小 同样为 a 的匀减速运动，在第 4 s 末电荷回到原来的位置，选项 ΔΦ ΔBS C 错误； 在整个过程中， 两极板间的电势差大小 U＝n ＝ Δt Δt U 0.1πr2 ＝0.1πr2 不变，则电场强度 E＝ d ＝ d ，选项 D 错误．
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注意：①明确图象所描述的物理意义；②明确各种“＋”、 “－”的含义；③明确图象斜率的含义；④必须建立图象和电 磁感应过程之间的对应关系． 方法归纳：
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例2 [2010· 浙江卷]半径为 r 带缺口的刚性金属圆环在纸
面上固定放置，在圆环的缺口两端引出两根导线，分别与两块 垂直于纸面固定放置的平行金属板连接，两板间距为 d，如图 42－5 甲所示．有一变化的磁场垂直于纸面，规定向内为正， 变化规律如图乙所示． t＝0 时刻平板之间中心有一重力不计、 在 电荷量为 q 的静止微粒．则以下说法正确的是( )
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第42讲 电磁感应与电路的综合
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1．通过本讲的复习，掌握解答电磁感应与电路综合、电磁 感应与图象结合问题的一般思路和方法，准确求解感应电流的大 小、判断电流方向；电磁感应与电路的综合涉及感应电流、电功 率、路端电压、电功和电热等问题，准确判断并画出内、外电路 是解题的关键． 2. 本讲教学可以按下面的思路安排： (1)通过例1及变式题巩固电磁感应与电路综合问题的求解， 体会该类问题在实际情景下的应用． (2)通过例2及变式题掌握电磁感应与图象相结合的问题的一 般求解方法．
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变式题 2 [2011· 全国卷]如图 42－3 所示， 两根足够长的金属导
轨 ab、cd 竖直放置，导轨间距离为 L，电阻不计．在导轨上端并接 两个额定功率均为 P、电阻均为 R 的小灯泡．整个系统置于匀强磁 场中，磁感应强度方向与导轨所在平面垂直．现将一质量为 m、电 阻可以忽略的金属棒 MN 从图示位置由静止开始释放．金属棒下落 过程中保持水平，且与导轨接触良好．已知某时刻后两灯泡保持正 常发光．重力加速度为 g.求：
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(1)磁感应强度的大小； (2)灯泡正常发光时导体棒的运动速率．
图 42－3
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mg [答案](1) 2L R P 2P (2)mg
[解析] (1)设小灯泡的额定电流为 I0，有 P＝I2R 0 由题意，在金属棒沿导轨竖直下落的某时刻后，小灯泡保 持正常发光，流经 MN 的电流为 I＝2I0 此时金属棒 MN 所受的重力和安培力相等， 下落的速度达 到最大值，有 mg＝BIL mg 联立解得 B＝ 2L R P
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[点评] 在涉及电磁感应的图象问题中，要特别注意图象性质及 其相应表达式，与法拉第电磁感应定律的基本表达式和变形式建立 联系． 通过本题的求解应强化物理图象与规律解析式相结合的意识．
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变式题 1 [2011· 山东卷]如图 42－6 甲所示，两固定的竖 直光滑金属导轨足够长且电阻不计．两质量、长度均相同的导 体棒 c、d 置于边界水平的匀强磁场上方同一高度 h 处．磁场宽 为 3h，方向与导轨平面垂直．先由静止释放 c，c 刚进入磁场 即匀速运动，此时再由静止释放 d，两导体棒与导轨始终保持 良好接触．用 ac 表示 c 的加速度，Ekd 表示 d 的动能，xc、xd 分别表示 c、d 相对释放点的位移．图乙中正确的是( )
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(1)该发电装置的电动势； (2)通过电阻 R 的电流； (3)电阻 R 消耗的电功率．
[答案] (1)Bdv
BdvS BdvS (2) (3)ρd＋SR2R ρd＋SR
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[解析] 由题意知，两金属板间部分相当于电源，电阻 R、开 关组成外电路． (1)根据法拉第电磁感应定律得， 该发电装置的电动势 E＝Bdv d (2)根据电阻定律得，两板间河水的电阻 r＝ρS BdvS E 由闭合电路欧姆定律得， 通过电阻 R 的电流 I＝ ＝ r＋R ρd＋RS (3)由电功率公式 P＝I2R 得，电阻 R 消耗的电功率 P＝I2R＝
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3．解决与电路相联系的电磁感应问题的基本方法 楞次定律 (1)用法拉第电磁感应定律和___________确定感应电动势 的大小和方向； (2)画等效电路； (3)运用闭合电路欧姆定律、 串并联电路性质、 电功率等公 式联立求解．
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► 知识点二 电磁感应中的图象问题
电容器 C 与定值电阻 R 并联组成外电路．由法拉第电磁感应定律 ΔΦ ΔB R 可知，E＝n ＝nS ，电容器两极板间的电势差 UR＝ E， Δt Δt R＋r R 所以电容器所带电荷量 q＝CUR＝C E，可得 A 选项错误；由 R＋r 楞次定律可知通过 R 的电流方向为 a→b，由闭合电路的欧姆定律 E 可知：I＝ ＝2 A，B 选项错误，C 选项正确；R 消耗的电动率 R＋r P＝I2R＝16 W，D 选项错误．
BdvS 2 ρd＋RS R
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【建模点拨】 本题考查电磁感应定律和电路综合的基本知 识．等效处理是本题解题的关键，两个金属板间的水流以速度 v 切割磁感线运动等效为导体棒切割磁感线产生感应电动势，相当 于电源部分，两板间的水柱的电阻为该电源的内阻．本题意在培 养学生对实际问题的模型化分析和迁移应用能力．
电磁感应中常涉及磁感应强度 B、磁通量 Φ、感应电动势 E 和感应电流 I 随时间 t 变化的图象，即 B－t 图象、Φ－t 图 象、 E－t 图象和 I－t 图象. 对于切割磁感线产生感应电动势和 感应电流的情况， 还常涉及感应电动势 E 和感应电流 I 随线圈 位移 x 变化的图象，即 E－x 图象和 I－x 图象．
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3．电磁感应与电路问题分类 (1)确定等效电源的正负极、感应电流的方向、电势高低、电 容器极板带电性质等问题． 根据右手定则或楞次定律，利用“相当于电源”的部分电路确 定感应电流的方向，注意外电路电流由高电势处流向低电势处， 而内电路电流则由低电势处流向高电势处． (2)根据闭合电路求解电路中的总电阻、路端电压、电功率及 电热等问题． 在闭合电路中，“相当于电源”的导体两端的电压等于路端电 R 压 U＝ E，而不等于感应电动势．感应电动势是联系电磁感 R＋r 应与电路的桥梁．
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► 知识点一 电磁感应和电路的综合
1．在电磁感应中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化 的电路将产生感应电动势， 该导体或电路就相当于________． 电源 高 低 2．在外电路中，电流从________电势处流向________ 电势处；在内电路中，电流则从____电势处流向______电势 低 高 处．
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例Hale Waihona Puke 1 [2010· 重庆卷]法拉第曾提出一种利用河流发电
的设想，并进行了实验研究．实验装置的示意图可用图 42 －1 表示，两块面积均为 S 的矩形金属板平行、正对、竖直 地全部浸在河水中， 间距为 d.水流速度处处相同， 大小为 v， 方向水平，金属板与水流方向平行．地磁场磁感应强度的 竖直分量为 B，水的电阻率为 ρ，水面上方有一阻值为 R 的 电阻通过绝缘导线和开关 S 连接到两金属板上，忽略边缘 效应．求：
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► 探究考向一 电磁感应与电路的综合
【模型解读】 1．对电源的理解：电源是将其他形式的能转化为电能的 装置．在电磁感应现象里，通过导体切割磁感线和线圈磁通 量变化而将其他形式的能转化为电能． 2．对电路的理解：内电路是切割磁感线的导体或磁通量 发生变化的线圈，外电路由电阻、电容等电学元件组成．
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在电磁感应现象闭合电路问题中，电磁感应产生的电功率 等于内外电路消耗的功率之和．若为纯电阻电路，则产生的电 能全部转化为电路中的内能．能量守恒定律是分析闭合电路问 题的重要思路． (3)根据电磁感应的平均感应电动势求解通过电路某截面 E ΔΦ nΔΦ 的电荷量： E ＝n ， I ＝ ，q＝ I Δt＝ . Δt R＋r R＋r