辽宁省沈阳市2015学年高二数学上学期第17、18周周测试题 文
2018-2019上学期高二数学第17次周练试卷
高二年级数学上学期第十七次周练试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分；共60分）1．若曲线在点处的切线与直线互相垂直，则实数（）A．－2B．2C．1D．－12．若双曲线的一条渐近线方程为，则的值为（）A ．B ．C ．D ．3．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A．02B．07C．01D．064．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5．是命题“，”为真命题的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知空间向量，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角为（）A．B．C．D．7．观察下列算式：，，，，，，，，…用你所发现的规律可得的末位数字是（）A．B．C．D．8．已知圆是两个相离，且半径不相等的定圆，动圆与圆中的一个外切，另一个内切，则动圆圆心的轨迹为（）A．双曲线B．抛物线C．椭圆D．圆9．已知命题p：抛物线y＝2x2的准线方程是y＝－，命题q：若函数f(x＋1)为偶函数，则f(x)的图像关于x＝1对称，则下列命题是真命题的是( )A．p∧q B．p∧(q) C．(p)∧(q)D．p∨q10．执行如图所示的程序框图，若输出S的值为55，则判断框中m的值为（）A．7B．8 C．9D．1011．已知双曲线(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( ) A．B．C．D．12．如图，由抛物线y2＝8x 与圆E：(x－2)2＋y2＝9 的实线部分构成图形Ω，过点P(2,0)的直线始终与图形Ω 中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围() A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分；共20分）13．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是_______.14．已知m，n是两条不相同的直线，α，β是两个不重合的平面，现有以下说法：①若α∥β，n⊂α，m⊂β，则m∥n；②若m⊥α，m⊥β，n⊥α，则n⊥β；③若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n；⑤若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n.其中正确说法的序号为________．15．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：由表中数据，求得线性回归方程为，根据回归方程，预测加工70个零件所花费的时间为________分钟．16．已知双曲线的离心率为2，分别是双曲线的左、右焦点，点，，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，则____________.零件数x(个)1020304050加工时间y(分钟)6469758290三、解答题（本大题共有6题，共25分）17．已知命题实数x满足，命题实数x满足.（1）若，且p ∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.18．正项数列的前项和满足.（Ⅰ）求，，；（Ⅱ）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.19．如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，，分别为的中点，且.（1）证明：平面ABC；（2）求二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离.20．某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[)7580，，第2组[)8085，，第3组[)8590，，第4组[)9095，，第5组[]95100，得到的频率分布直方图如图所示.（1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率.21．定义在上的函数同时满足以下条件:①在时取得极值；②是偶函数；③的图象在处的切线与直线垂直. （1）求函数的解析式；（2）设，若存在, 使, 求实数的取值范围.22．已知椭圆的离心率为，且过点.（Ⅰ）求椭圆的方程；(Ⅱ)若是椭圆上的两个动点，且的角平分线总垂直于轴，求证:直线的斜率为定值.。
辽宁省沈阳市2017_2018学年高二数学上学期期中试题文 Word版 含答案
2017—2018学年度上学期高二年级期中考试数学科试卷（文科）答题时间：120分钟；满分：150分第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题1:R p x ∃∈，使得210x x ++<；2:[1,2]p x ∀∈，使得210x -≥．以下命题为真命题的为( )A ．12p p ⌝∧⌝B ．12p p ∨⌝C ．12p p ⌝∧D ．12p p ∧ 2．已知等比数列{}n a 的前三项依次为4,1,1++-a a a ，则=n a （ ） A ．n)23(4⋅ B ．n)32(4⋅ C ．1)23(4-⋅n D ．1)32(4-⋅n3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“32S S >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列命题正确的个数是（ ）①对于实数c b a ,,，若b a >，则22bc ac >；②命题“若1x <-，则2230x x -->”的否命题为：“若1x <-，则2320x x -+≤”；③“5x =”是“2450x x --=”的充分不必要条件；④命题“2000,13x R x x ∃∈+≥”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”． A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知R m ∈，命题p ：方程my m x -+-6222=l 表示椭圆，命题0107:2<+-m m q ，则命题p 是命题q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设{}n a 是等差数列，公差为d ，n S 是其前n 项的和，且65S S <，876S S S >=， 则下列结论错误．．的是（ ）A ．0<dB ．07=aC ．59S S >D ．6S 和7S 均为n S 的最大值 7．两等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且(27)(53)n n n S n T +=+，则55b a 的值是（ ） A ．2817 B ．2315 C ．5327 D ．48258．设1F ，2F 分别是椭圆1422=+y x 的左右焦点，若Q 是该椭圆上的一个动点，则 12QF QF ⋅的最大值和最小值分别为（ ）A ．1与2-B ．2与2-C ．1与1-D ．2与1-9．椭圆22221x y a b+=（a >0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过2F 作倾斜角为120 的直线与椭圆的一个交点为M ，若1MF 垂直于x 轴，则椭圆的离心率为( ) A．2B．2(2 C．3 D ．1211- 10．设集合(){},|||||1,A x y x y =+≤(){},()()0B x y y x y x =-+≤，M A B = ，若动点(,)P x y M ∈，则22(1)x y +-的取值范围是（ ）A ．15[,]22B．5[]22C．1[2 D．[2 11．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ，3a ，13a 成等比数列，若11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项的和，则*216()3n n S n N a +∈+的最小值为（ ）A ．4B ．3 C．2 D ．9212．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1212,,,A A B B 为椭圆顶点，2F 为右焦点，延长12B F 与22A B 交于点P ，若12B PA ∠为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．)1,225(-B ．)225,0(-已知数列n a 满足)(222121+-∈=+⋅⋅⋅++N n na a a n n （Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）若n n a n b )3(-=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率是12，其左、右顶点分别为1A 、2A ，B 为短轴的一个端点，12A BA ∆的面积为 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线:l x =x 轴交于D ，P 是椭圆C 上异于1A 、2A 的动点，直线1A P 、2A P 分别交直线l 于E 、F 两点，求证：||||DE DF ⋅为定值．20．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n S n a +=⋅，其中11a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若1221n n n n n a a b a a ++++=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：212+<n T n ．21．（本题满分12分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A ，B 分别为椭圆的左右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若8=⋅+⋅，求k 的值．22．（本题满分12分）。
2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
辽宁省沈阳市郊联体2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，复数z 满足i i z +=∙1，则=z （ ） A ．i +1 B ．i -1 C ．i +-1 D ．i --12.抛物线ay x =2的准线方程为1=y ，则a 的值为（ ） A ．21-B ．2-C ．41- D ．4- 3.已知命题01,:2≥+-∈∃x x R x p ，命题:q 若22b a <，则b a <下列命题为真命题的是（ ） A ．q p ∧ B ．q p ⌝∧ C ．q p ∨⌝ D ．q p ⌝∧⌝4.过点()03，的直线与双曲线1422=-y x 有唯一公共点，这样的直线有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条5.《九章算术》有这样一道题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第天也进一尺．以后每天减半.”假设墙厚16尺，现用程序框图描述该问题，则输出=n（ ）A ．2B ．4 C.6 D ．86.以下四个命题，其中正确的是( )A.由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀；B.两个随机变量相关系越强，则相关系数的绝对值越接近于0；C.在线性回归方程122.0+=∧x y 中，当变量x 每增加一十单位时，变量∧y 平均增加0.2个单位；D.线性回归方程对应的直线∧∧∧+=a x b y 至少经过其样本数据点中的一个点.7.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示.21,x x 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，2221,s s 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差，则有（ ）A ．222121s s x x <>， B ．222121s s x x <=， C.222121s s x x ==，D ．222121s s x x <=，8.过点()22-，且与双曲线1222=-y x 有共同渐近线的双曲线方程是（ ） A ．14222=-x y B ．12422=-y x C.12422=-x y D ．14222=-y x 9.椭圆191622=+y x 中，以点()2,1-M 为中点的弦所在的直线斜率为（）A ．169B ． 329C ．649 D ．329-?10．已知F E ,分别是双曲线的左、右焦点，点2F 关于渐近线的对称点P 恰好落在以1F 为圆心、1OF 为半径的圆上,则双曲线的离心率为（）A ．3B ．3 C. 2 D ．211.若点O 和点F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意点，则FP OP ∙的最大值为( )A ．2B ．3 C.6 D ．812. 如图所示，过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的直线l ，交抛物线于点B A ,．交其准线'l 于点C ，若BF BC 2=,且3=AF ，则此抛物线的方程为（）A ．x y 92=B ．x y 62= C.x y 32= D ．x y32=第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．双曲线19422=-y x 的焦距为________． 14.有一个游戏，将标有数字l ，2，3，4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有l 的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片.结果显示：这4人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为______ ．15.已知点P 为抛物线x y C 42=：上一点，记P 到此抛物线准线l 的距离为1d ，点P 到圆()()44242=+++y x 上点的距离为2d，则1d 2d +的最小值为．16.下列说法中①命题“己知R y x ∈,，若3≠+y x ，则2≠x 或1≠y ”是真命题； ②命题“若p ,则q ”的否命题为“若q ，则p ”；③若b a >，则ba q 11:<； ④命题“1,20=∈∃x R x ”的否定为“1,2≠∈∀x R x ”.正确说法的序号是．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知命题:A 方程11522=-+-t x t y 表示焦点在y 轴上的椭圆；命题B ：实数t 使得不等式0432<--t t 成立.（1）若命题A 中的椭圆的离心率为36，求实数t 的值； （2）命题A 是命题B 的什么条件.18.某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布直方图如图所示.(1)求d c b a ,,,的值．(2)该校决定在成绩较好的3、4、5组用分层抽样抽取6名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？(3)在(2)的前提下，从抽到6名学生中再随机抽取2名被甲考官面试，求这2名学生来自同一组的概率.19.己知关于x 的一次函数n mx y +=(1)设集合{}3,2,1,1,2--=P 和{}3,2-=Q 分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数n mx y +=是增函数的概率；(2)实数n m ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-≤-+111101n m n m 求函数n mx y +=的图象经过一、二、三象限的概率.20.己知抛物线y x C 4:2=的焦点为F ，准线与y 轴的交点为Q ，过点Q 的直线l ，抛物线C 相交于不同的B A ,两点. (1)若154=AB ，求直线l 的方程；(2)若点F 在以AB 为直径的圆外部，求直线l 的斜率的取值范围.21.已知21,F F 分别是椭圆()01:2222>>=+b a b y a x E 的左、右焦点，离心率为21，N M ,分别是椭圆的上、下顶点，222-=∙NF MF .(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线m kx y +=与椭圆E 交于相异两点B A ,，且满足直线MB MA ,的斜率之积为41，证明：直线AB 恒过定点，并采定点的坐标.22.在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 225223（t 为参数），在极坐标系(与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为θρsin 52=（1）求圆C 的直角坐标方程：（2）设圆C 与直线l 交于点B A ,，若点P 的坐标为()53，，求PB PA +.。
2017-2018学年高二年级周练一数学答案
高二年级第一次周练数学试卷（理）一、选择题（本题共6道小题，每小题10分，共60分）1.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A ．B ．C．4 D．82.如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD⊥底面BCD，BC⊥CD，AB=AD=4，BC=6，BD=43，该三棱锥三视图的正视图为（）A ．B．C．D．3.一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的内接正方体的表面积为（）A．B．C．D．4.已知圆锥的母线长为1，那么该圆锥体积的最大值为A．2327πB．324πC．212πD．239π5.如图，已知一个八面体各棱长均为1，四边形ABCD为正方形，则下列命题中不正确的是（）A．不平行的两条棱所在直线所成的角为60°或90°B．四边形AECF为正方形C．点A到平面BCE的距离为D．该八面体的顶点在同一个球面上6.如图，E，F分别是三棱锥P﹣ABC的棱AP，BC的中点，PC=AB=2，EF=，则异面直线AB与PC所成的角为（）A．60°B．45°C．90°D．30°二、填空题（本题共2道小题，每小题10分，共20分）7.如图，矩形ABCD中，AB=2AD=2，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，对于下列说法：①|CA|≥|CA1|②经过点A、E、A1、D的球的体积为2π③一定存在某个位置，使DE⊥A1C④|BM|是定值其中正确的说法是．8.如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①有水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法是．学号姓名得分一、选择题（本题共6道小题，每小题10分，共60分）题号１２３４５６答案二、填空题（本题共2道小题，每小题10分，共20分）7．8．三、解答题（本题共2道小题,每小题20分,共40分）9.在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是AB1、BC1的中点．（Ⅰ）求证：直线MN∥平面ABCD．（Ⅱ）求B1到平面A1BC1的距离．10.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AA1，CC1的中点，AC⊥BE，点F在线段AB上，且AB=4AF．（1）证明：BC⊥C1D；（2）若M为线段BE上一点，试确定M在线段BE上的位置，使得C1D∥平面B1FM．试卷答案1.B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，可将此几何体放入一个正方体内，则四棱锥P﹣ABCD即为所求．【解答】解：如图所示，可将此几何体放入一个正方体内，则四棱锥P﹣ABCD即为所求，体积为V==，故选B．2.C【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由题意，三棱锥三视图的正视图为等腰三角形，设C在BD上的射影为E，求出CE，即可得出结论．【解答】解：由题意，三棱锥三视图的正视图为等腰三角形，△BCD中，BC⊥CD，BC=6，BD=4，∴CD=2，设C在BD上的射影为E，则12=CE，∴CE=，故选C．【点评】本题考查三视图，考查学生的计算能力，比较基础．3.D【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中底面是正三角形的三棱柱的正视图，求出三棱柱的底面边长和高，从而求出它外接球的半径，再求球内接正方体的棱长，即可求出其表面积．【解答】解：由已知中的三棱柱正视图可得：三棱柱的底面边长为2，高为1 则三棱柱的底面外接圆半径为r=，球心到底面的距离为d=；则球的半径为R==；∴该球的内接正方体对角线长是2R=2=a，∴a=2=；∴内接正方体的表面积为：S=6a2=6×=．故选：D．4.B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可得四棱锥为正四棱锥，判断底面边长与高的数据，求出四棱锥的斜高，代入棱锥的侧面积公式计算．【解答】解：由三视图知：此四棱锥为正四棱锥，底面边长为4，高为2，则四棱锥的斜高为=2，∴四棱锥的侧面积为S==16．故选B．5.C【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】由已知求出图中任意两棱所成角的大小判断A、B正确；再由等积法求出点A到平面BCE的距离说明C错误；由ABCD为正方形，AECF为正方形，且两正方形边长相等，中心都为AC的中点说明D正确．【解答】解：∵八面体的各条棱长均为1，四边形ABCD为正方形，∴在四棱锥E﹣ABCD中，相邻两条侧棱所成的角为60°，∵AE=CE=1，AC=，满足AE2+CE2=AC2，∴AE⊥CE，同理AF⊥CF，则四边形AECF是正方形．再由异面直线所成角概念可知，图中每一条棱与和其异面的棱所成角为60°．故A、B正确；设点A到平面BCE的距离h，由V E﹣ABCD=2V A﹣BCE，得×1×1×=2××，解得h=，∴点A到平面BCE 的距离为，故C错误；由ABCD为正方形，AECF为正方形，且两正方形边长相等，中心都为AC的中点，∴该八面体的顶点在以AC 中点为球心，以为半径的球面上，故D正确．∴不正确的命题是C．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查立体几何中线线关系以及线面关系，利用了等积法求点到平面的距离，是中档题．6.C【考点】异面直线及其所成的角．【分析】先取AC的中点G，连接EG，GF，由三角形的中位线定理可得GE∥PC，GF∥AB 且GE=5，GF=3，根据异面直线所成角的定义，再利用余弦定理求解．【解答】解：取AC的中点G，连接EG，GF，由中位线定理可得：GE∥PC，GF∥AB且GE=1，GF=1，∴∠EGF或补角是异面直线PC，AB所成的角．在△GEF中，有EF2=EG2+FG2，∴∠EGF=90°故选：C7.①④【考点】棱锥的结构特征．【分析】在①中，在△ADE翻转过程中，始终有|CA|≥|CA1|；在②中，A，D，E是定点，A1是动点，经过点A、E、A1、D的球的体积不是定值；在③中，AC与DE不垂直，从而DE 与A1C不垂直；在④中，取DC中点N，连MN，NB，根据余弦定理得到|BM|是定值．【解答】解：在①中，在△ADE翻转过程中，始终有|CA|≥|CA1|，故①正确．在②中，∵AD=AE=A1D=A1E=1，A，D，E是定点，A1是动点，∴经过点A、E、A1、D的球的体积不是定值，故②错误；在③中，∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确，故③不正确．在④中，取DC中点N，连MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，∴面MNB∥面A1DE，MB⊂面MNB，∴MB∥面A1DE，故④正确；∠A1DE=∠MNB，MN=是定值，NB=DE是定值，根据余弦定理得到：MB2=MN2+NB2﹣2MN•NB•cos∠MNB，∴|BM|是定值，故④正确．故答案为：①④．8.①③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①由于BC固定，所以在倾斜的过程中，始终有AD∥EH∥FG∥BC，且平面AEFB∥平面DHGC，由此分析可得结论正确；②水面四边形EFGH的面积是改变的；③利用直线平行直线，直线平行平面的判断定理，容易推出结论；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．通过水的体积判断即可．【解答】解：根据面面平行性质定理，可得BC固定时，在倾斜的过程中，始终有AD∥EH∥FG∥BC，且平面AEFB∥平面DHGC，故水的形状成棱柱形，故①正确；水面四边形EFGH的面积是改变的，故②错误；因为A1D1∥AD∥CB∥EH，A1D1⊄水面EFGH，EH⊂水面EFGH，所以A1D1∥水面EFGH正确，故③正确；由于水的体积是定值，高不变，所以底面ABFE面积不变，即当E∈AA1时，AE+BF是定值．故④正确．故答案为：①③④．9.【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结B1C、AC，则N也是B1C的中点，证明MN∥AC，利用线面平行的判定定理证明MN∥平面ABCD；（Ⅱ）由，求出B1到平面A1BC1的距离．【解答】（Ⅰ）证明：连结B1C、AC，则N也是B1C的中点∴MN是△B1AC的中位线，即有MN∥AC (3)∵MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD∴MN∥平面ABCD…（Ⅱ）解：△A1BC1是边长为的等边三角形，∴…设B1到平面A1BC1的距离为h ，由得，∴…10.【分析】（1）先证明AC⊥面BCE，进而AC⊥BC，进而得到BC⊥面ACC1，可得BC⊥C1D；（2）连结AE，在BE上取点M，使BE=4ME，连结FM，B1M，FB1，可得此时C1D∥平面B1FM．【解答】证明：直三棱柱可知CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC，…又∵AC⊥BE，CC1∩BE=E，CC1⊂平面BCE，BE⊂平面BCE，∴AC⊥面BCE，故AC⊥BC，…又在直三棱柱中，CC1⊥BC，AC∩CC1=C，AC⊂平面ACC1，CC1⊂平面ACC1，故BC⊥面ACC1，C1D在平面ACC1内，∴BC⊥C1D…解：（2）连结AE，在BE上取点M，使BE=4ME，…连结FM，B1M，FB1，在△BEA中，由BE=4ME，AB=4AF…∴MF∥AE，…又在面AA1C1C中，∵C1E=AD且C1E∥AD，∴C1D∥AE，又MF∥AE，∴C1D∥MF，C1D⊂/平面B1FM，FM⊂平面B1FM，C1D∥平面B1FM…【点评】本题考查的知识点焊是直线与平面平行的判定，空间中直线与直线之间的位置关系，难度中档．。
辽宁省沈阳市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析
辽宁省沈阳市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分）1．下列结论不正确的是（）A．若y=3，则y'=0 B．若，则C．若，则D．若y=x，则y'=12．奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（）A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．不是互斥事件3．从某实验班45名同学中随机抽取5名同学参加“挑战杯”竞赛，用随机数法确定这5名同学，现将随机数表摘录部分如下：从随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个同学的编号为（）A．23 B．37 C．35 D．174．函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点5．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上为一等品，在区间[15，20）和[25，30）上为二等品，在区间[10，15）和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.456．已知f（x）=x2+2x•f′（1），则f′（0）=（）A．0 B．﹣4 C．﹣2 D．2化为十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是7．如图是把二进制数11111（2）（）A．i＞4 B．i≤4 C．i＞5 D．i≤58．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知实数a满足下列两个条件：①关于x的方程ax2+3x+1=0有解；（a+3）有意义．②代数式log2则使得指数函数y=（3a﹣2）x为减函数的概率为（）A．B．C．D．10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．11．函数f（x）=x+2cosx在区间上的最小值是（）A．.B．.2 C．.D．12．下列关于函数f（x）=（2x﹣x2）e x的判断正确的是（）①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；②f（﹣）是极小值，f（）是极大值；③f（x）没有最小值，也没有最大值．A．①③B．①②③C．②D．①②二、填空题（每题5分）13．已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a= ．14．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35，那么表中m的值为．15．函数f（x）=x3+ax﹣2在区间[1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是．16．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的导数为f'（x），f'（0）＞0，若∀x∈R，恒有f（x）≥0，则的最小值是．三、解答题（共70分）17．已知函数f（x）=x3﹣3x2+3x+1，讨论函数的单调性．18．2014年11月12日，科幻巨片《星际穿越》上映，上映至今，全球累计票房高达6亿美金．为了解绵阳观众的满意度，某影院随机调查了本市观看此影片的观众，并用“10分制”对满意度进行评分，分数越高满意度越高，若分数不低于9分，则称该观众为“满意观众”．现从调查人群中随机抽取12名．如图所示的茎叶图记录了他们的满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）．（1）求从这12人中随机选取1人，该人不是“满意观众”的概率；（2）从本次所记录的满意度评分大于9.1的“满意观众”中随机抽取2人，求这2人得分不同的概率．19．已知直线l：x﹣y﹣1=0，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ=5．（Ⅰ）将直线l写成参数方程（t为参数，α∈[0，π））的形式，并求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于点A，B（点A在第一象限）两点，若点M的直角坐标为（1，0），求△OMA的面积．20．如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=a，PA⊥平面ABCD，且PA=1，E，F分别为AD，PA中点，在BC上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD．（1）求证：平面BEF∥平面PDQ；（2）求二面角E﹣BF﹣Q的余弦值．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞1）的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为π，过椭圆C的右焦点作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中点为P．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D，且|DP|=，求k的值．22．已知函数f（x）=（ax2+bx+a﹣b）e x﹣（x﹣1）（x2+2x+2），a∈R，且曲线y=f（x）与x 轴切于原点O．（1）求实数a，b的值；（2）若f（x）•（x2+mx﹣n）≥0恒成立，求m+n的值．辽宁省沈阳市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案一、选择题（每题5分）1．下列结论不正确的是（ ）A ．若y=3，则y'=0B ．若，则C ．若，则D ．若y=x ，则y'=1【考点】导数的运算．【分析】根据导数的基本公式判断即可．【解答】解：若y=3，则y'=0，故A 正确，若，则y ′=﹣x ，故B 错误若y=，y ′=，故C 正确，若y=x ，则y'=1，故D 正确，故选：B2．奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（ ）A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．不是互斥事件【考点】互斥事件与对立事件．【分析】对于红色圆环而言，可能是甲分得，可能是乙分得，也可能甲乙均没有分得，然后利用互斥事件和对立事件的概念得答案．【解答】解：甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．∴事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是互斥但不对立事件．故选：C．3．从某实验班45名同学中随机抽取5名同学参加“挑战杯”竞赛，用随机数法确定这5名同学，现将随机数表摘录部分如下：从随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个同学的编号为（）A．23 B．37 C．35 D．17【考点】简单随机抽样．【分析】随机数表法也是简单随机抽样的一种方法，采用随机数表法读数时可以从左向右，也可以从右向左或者从上向下等等．应该注意的是，在读数中出现的相同数据只取一次，超过编号的数据要剔除．【解答】解：随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，第一个数为39，然后是43，17，37，23，故选出来的第5个同学的编号是23，故选：A．4．函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】利用导函数的图象，判断函数的极值点，即可．【解答】解：因为导函数的图象如图：可知导函数图象中由4个函数值为0，即f′（a）=0，f′（b）=0，f′（c）=0，f′（d）=0．x＜a，函数是增函数，x∈（a，b）函数是减函数，x∈（b，c），函数在增函数，x∈（c，d）函数在减函数，x＞d，函数是增函数，可知极大值点为：a，c；极小值点为：b，d．故选：C．5．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上为一等品，在区间[15，20）和[25，30）上为二等品，在区间[10，15）和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，分别求出对应区间[15，20）和[25，30）上的频率即可．【解答】解：由频率分布直方图可知，对应区间[15，20）和[25，30）上的频率分别为0.04×5=0.20和0.05×5=0.25，∴二等品的频率为0.20+0.25=0.45．故从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是0.45．故选：D．6．已知f（x）=x2+2x•f′（1），则f′（0）=（）A．0 B．﹣4 C．﹣2 D．2【考点】导数的运算．【分析】首先对f（x）求导，将f′（1）看成常数，再将1代入，求出f′（1）的值，化简f′（x），最后将x=0代入即可．【解答】解：因为f′（x）=2x+2f′（1），令x=1，可得f′（1）=2+2f′（1），∴f′（1）=﹣2，∴f′（x）=2x+2f′（1）=2x﹣4，当x=0，f′（0）=﹣4．故选B．7．如图是把二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A．i＞4 B．i≤4 C．i＞5 D．i≤5【考点】程序框图．【分析】因为11111（2）=31（10），故执行程序框图，当i=4时满足条件，有S=31，i=5时此时应该不满足条件，退出执行循环体，输出S的值为31．【解答】解：因为11111（2）=31（10）执行程序框图，有S=1，i=1满足条件，有S=3，i=2；满足条件，有S=7，i=3；满足条件，有S=15，i=4；满足条件，有S=31，i=5；此时应该不满足条件，退出执行循环体，输出S的值为31．故选：B．8．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】极差、方差与标准差．【分析】由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，利用换元法来解出结果．【解答】解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，设x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4；∴|x﹣y|=2|t|=4，故选D．9．已知实数a满足下列两个条件：①关于x的方程ax2+3x+1=0有解；②代数式log2（a+3）有意义．则使得指数函数y=（3a﹣2）x为减函数的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据题意先确定是几何概型中的长度类型，由实数a满足下列两个条件得出关于a 的不等式，并求出构成的区域长度，再求出指数函数y=（3a﹣2）x为减函数的数a构成的区域长度，再求两长度的比值．【解答】解：：①关于x的方程ax2+3x+1=0有解，则a=0或a≠0，△≥0⇔，解得：a≤，且a≠0，综合得：a≤；（a+3）有意义⇔a＞﹣3．②代数式log2综合得：﹣3＜a≤．满足两个条件：①②数a构成的区域长度为+3=，指数函数y=（3a﹣2）x为减函数⇔0＜3a﹣2＜1⇔＜a＜1．则其构成的区域长度为：1﹣=，则使得指数函数y=（3a﹣2）x为减函数的概率为=故选：A．10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，其中满足条件的满足|a﹣b|≤1的情形包括6种，列举出所有结果，根据计数原理得到共有的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有6×6=36种猜字结果，其中满足|a﹣b|≤1的有如下情形：①若a=1，则b=1，2；②若a=2，则b=1，2，3；③若a=3，则b=2，3，4；④若a=4，则b=3，4，5；⑤若a=5，则b=4，5，6；⑥若a=6，则b=5，6，总共16种，∴他们“心有灵犀”的概率为．故选D．11．函数f（x）=x+2cosx在区间上的最小值是（）A．.B．.2 C．.D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数f（x）的导数，确定其单调性，根据单调递增得到最小值在x=取到，进而计算可得答案．【解答】解：f（x）=x+2cosx，x则f′（x）=1﹣2sinx＞0所以f（x）在为增函数．故f（x）的最小值为f（）=故选A．12．下列关于函数f（x）=（2x﹣x2）e x的判断正确的是（）①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；②f（﹣）是极小值，f（）是极大值；③f（x）没有最小值，也没有最大值．A．①③B．①②③C．②D．①②【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】令f（x）＞0可解x的范围确定①正确；对函数f（x）进行求导，然后令f'（x）=0求出x，在根据f'（x）的正负判断原函数的单调性进而可确定②正确．根据函数的单调性可判断极大值即是原函数的最大值，无最小值，③不正确．从而得到答案．【解答】解：由f（x）＞0⇒（2x﹣x2）e x＞0⇒2x﹣x2＞0⇒0＜x＜2，故①正确；f′（x）=e x（2﹣x2），由f′（x）=0得x=±，由f′（x）＜0得x＞或x＜﹣，由f′（x）＞0得﹣＜x＜，∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞）．单调增区间为（﹣，）．∴f（x）的极大值为f（），极小值为f（﹣），故②正确．∵x＜﹣时，f（x）＜0恒成立．∴f（x）无最小值，但有最大值f（）∴③不正确．故选D．二、填空题（每题5分）13．已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a= ﹣6 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求导函数，再利用导数的几何意义，建立方程，即可求得a的值．【解答】解：∵y=x4+ax2+1，∴y′=4x3+2ax，∵曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，∴﹣4﹣2a=8∴a=﹣6故答案为：﹣6．14．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35，那么表中m的值为 3 ．【考点】线性回归方程．【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：∵根据所给的表格可以求出，∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴=0.7×4.5+0.35，∴m=3，故答案为：315．函数f（x）=x3+ax﹣2在区间[1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是[﹣3，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导数，根据函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax﹣2在区间[1，+∞）上单调递增，∴f′（x）=3x2+a≥0，在区间[1，+∞）恒成立，即a≥﹣3x2，∵﹣3x2≤﹣3，∴a≥﹣3，故实数a的取值范围是[﹣3，+∞）．故答案为：[﹣3，+∞）16．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的导数为f'（x），f'（0）＞0，若∀x∈R，恒有f（x）≥0，则的最小值是 2 ．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】先根据题目的条件建立关于a、b、c的关系式，再结合基本不等式求出最小即可，注意等号成立的条件．【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+c∴f′（x）=2ax+b，f′（0）=b＞0∵对任意实数x都有f（x）≥0∴a ＞0，c ＞0，b 2﹣4ac ≤0即≥1则 ==1+，而（）2=≥≥1，∴==1+≥2，故答案为：2．三、解答题（共70分）17．已知函数f （x ）=x 3﹣3x 2+3x+1，讨论函数的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明．【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．【解答】解：函数的导数f ′（x ）=3x 2﹣6x+3，判别式△=（6）2﹣4×3×3=72﹣36=36，由f ′（x ）=3x 2﹣6x+3=0得方程的根为x 1==1+，或x 2==﹣1，由f ′（x ）＞0得x ＞1+或x ＜﹣1，此时函数单调递增，即函数单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（+1，+∞），由f ′（x ）＜0得﹣1＜x ＜+1，此时函数单调递减，即函数单调递减区间为（﹣1，+1）．18．2014年11月12日，科幻巨片《星际穿越》上映，上映至今，全球累计票房高达6亿美金．为了解绵阳观众的满意度，某影院随机调查了本市观看此影片的观众，并用“10分制”对满意度进行评分，分数越高满意度越高，若分数不低于9分，则称该观众为“满意观众”．现从调查人群中随机抽取12名．如图所示的茎叶图记录了他们的满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）．（1）求从这12人中随机选取1人，该人不是“满意观众”的概率；（2）从本次所记录的满意度评分大于9.1的“满意观众”中随机抽取2人，求这2人得分不同的概率．【考点】茎叶图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由茎叶图可知从12人中任抽一人，其中低于9的有4人，由古典概型概率公式可求；（2）利用列举法分别列出从中任意选取两人的可能有 以及分数不同的人数，由古典概型的公式可求．【解答】解：（1）由茎叶图可知，所抽取12人中有4人低于9分，即有4人不是“满意观众”，∴P=，即从这12人中随机选取1人，该人不是“满意观众”的概率为．（2）设本次符合条件的满意观众分别为A 1（9.2），A 2（9.2），A 3（9.2），A 4（9.2），B 1（9.3）， B 2（9.3），其中括号内为该人的分数．则从中任意选取两人的可能有 （A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，A 4），（A 1，B 1），（A 1，B 2）， （A 2，A 3），（A 2，A 4），（A 2，B 1），（A 2，B 2）， （A 3，A 4），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（A 4，B 1），（A 4，B 2），（B 1，B 2），共15种，其中，分数不同的有（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 1），（A 3，B 2）， （A 4，B 1），（A 4，B 2），共8种，∴所求的概率为．19．已知直线l ：x ﹣y ﹣1=0，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρsin θ=5． （Ⅰ）将直线l 写成参数方程（t 为参数，α∈[0，π））的形式，并求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于点A ，B （点A 在第一象限）两点，若点M 的直角坐标为（1，0），求△OMA 的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由直线l ：x ﹣y ﹣1=0的倾斜角为，能将直线l 写成参数方程，由ρ2=x 2+y 2，ρsin θ=y ，能求出曲线C 的直角坐标方程．（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2﹣﹣4=0，求出点A 纵坐标y A =2，由此能求出△OMA 的面积【解答】解：（Ⅰ）∵直线l ：x ﹣y ﹣1=0的倾斜角为，∴将直线l 写成参数方程为，∵曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρsin θ=5， ∴x 2+y 2﹣4y=5，即x 2+（y ﹣2）2=9． ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+（y ﹣2）2=9．（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2﹣﹣4=0，设t 1，t 2是方程的两根，解得，，又点A 在第一象限，故点A 对应，代入到y=tsin，得到点A 纵坐标y A =2，因此△OMA 的面积S △OMA =|OM|•|y A |==1．20．如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=a ，PA ⊥平面ABCD ，且PA=1，E ，F 分别为AD ，PA 中点，在BC 上有且只有一个点Q ，使得PQ ⊥QD ． （1）求证：平面BEF ∥平面PDQ ； （2）求二面角E ﹣BF ﹣Q 的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面平行的判定．【分析】（1）以A点为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，求出相关点的坐标，设Q（1，x，0），则，利用PQ⊥QD，求出x=1．推出BE∥DQ，推出EF∥PD，EF∥平面PDQ，然后证明平面BEF∥平面PDQ．（2）求出平面BFQ是一个法向量，平面BEF的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（1）以A点为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，a，0），P（0，0，1），设Q（1，x，0），则，，…若PQ⊥QD，则，即x2﹣ax+1=0，△=a2﹣4，∴△=0，a=2，x=1．…∴，又E是AD中点，∴E（0，1，0），，∴，∴BE∥DQ，又BE⊄平面PDQ，DQ⊂平面PDQ，∴BE∥平面PDQ，又F是PA中点，∴EF∥PD，∵EF⊄平面PDQ，PD⊂平面PDQ，∴EF∥平面PDQ，∵BE∩EF=E，BE，EF⊂平面PDQ，∴平面BEF∥平面PDQ．…（2）设平面BFQ是一个法向量，则，由（1）知，，∴，取z=2，得，同样求平面BEF的一个法向量，，∴二面角E﹣BF﹣Q的余弦值为．…21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞1）的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为π，过椭圆C的右焦点作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中点为P．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D，且|DP|=，求k的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据题意，在三角形中由勾股定理列出等式，根据已知的焦距大小，即可求得椭圆方程；（2）先设直线方程y=k（x﹣1），联立椭圆方程求得P点坐标，根据已知条件求出直线PD的方程，从而求得D点坐标，又|DP|=，根据两点间的距离公式，即可求得k的值．【解答】解：（1）过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为，设右焦点的坐标为（c，0），依题意知，2c=2，即c=1，，又b＞1，解得：a=2，b=，∴椭圆C的方程为；（2）设过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y=k（x﹣1），（k≠0），设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（4k 2+3）x 2﹣8k 2x+4k 2﹣12=0，由韦达定理得x 1+x 2=，x 1•x 2=，y 1+y 2=k （x 1+x 2）﹣2k=﹣，∵P 为线段AB 的中点，则可得点P （，﹣），又直线PD 的斜率为﹣，直线PD 的方程为y+=﹣（x ﹣），令y=0得，x=，又∵点D （，0），∴丨PD 丨===，化简得17k 4+k 2﹣18=0，解得：k 2=1，故k=1或k=﹣1， k 的值±1．22．已知函数f （x ）=（ax 2+bx+a ﹣b ）e x ﹣（x ﹣1）（x 2+2x+2），a ∈R ，且曲线y=f （x ）与x 轴切于原点O ．（1）求实数a ，b 的值；（2）若f （x ）•（x 2+mx ﹣n ）≥0恒成立，求m+n 的值． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f （x ）的导数，由题意可得f ′（0）=a=0，f （0）=（a ﹣b ）+1=0，即可得到a ，b 的值；（2）由题意可得（x ﹣1）[e x ﹣（x 2+2x+2）]•（x 2+mx ﹣n ）≥0，（*）由g （x ）=e x ﹣（x 2+2x+2），求出导数和单调区间，可得（x ﹣1）（x 2+mx ﹣n ）≥0恒成立，即有0，1为二次方程x 2+mx ﹣n=0的两根，即可得到m ，n 的值，进而得到m+n 的值．【解答】解：（1）函数f（x）=（ax2+bx+a﹣b）e x﹣（x﹣1）（x2+2x+2）的导数为f′（x）=e x（2ax+ax2+bx+a）﹣（3x2+2x），由曲线y=f（x）与x轴切于原点O，可得f′（0）=a=0，f（0）=（a﹣b）+1=0，即有a=0，b=1；（2）f（x）•（x2+mx﹣n）≥0恒成立，即为[（x﹣1）e x﹣（x﹣1）（x2+2x+2）]•（x2+mx﹣n）≥0，即有（x﹣1）[e x﹣（x2+2x+2）]•（x2+mx﹣n）≥0，（*）由g（x）=e x﹣（x2+2x+2）的导数为g′（x）=e x﹣x﹣1，设h（x）=e x﹣x﹣1，h′（x）=e x﹣1，当x≥0时，h′（x）≥0，h（x）递增，可得h（x）≥h（0）=0，即g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）递增，可得g（x）≥g（0）=0，即e x﹣（x2+2x+2）≥0；当x≤0时，h′（x）≤0，h（x）递减，可得h（x）≤h（0）=0，即g′（x）≤0，g（x）在[0，+∞）递减，可得g（x）≤g（0）=0，即e x﹣（x2+2x+2）≤0．由（*）恒成立，可得x≥0时，（x﹣1）（x2+mx﹣n）≥0恒成立，且x≤0时，（x﹣1）（x2+mx﹣n）≤0恒成立，即有0，1为二次方程x2+mx﹣n=0的两根，可得n=0，m=﹣1，则m+n=﹣1．。
辽宁省沈阳市2015-2016年高二上期末数学试卷(理)(有答案)AwwnPM
2015-2016学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b的取值范围是（）A．（4，10） B．[4，10]C．（6，8）D．[6，8]2．命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为（）A．∀x∈N+，2x＜2 B．∀x∉N+，2x＜2 C．∃x∉N+，2x＜2 D．∃x∈N+，2x＜23．双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x4．已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n﹣1+1（n≥2），则a5为（）A．7 B．15 C．30 D．315．已知△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+b2﹣ab=c2，则C=（）A．B．C． D．6．若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，1] C．[﹣1，2] D．[1，2]7．已知抛物线x2=8y上的点P到抛物线的焦点距离为5，则点P的纵坐标为（）A．2 B．3 C．4 D．58．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，b n＞0恒成立，若a2=b2且a8=b8，则（）A．a5≥b5B．a5≤b5C．a5＞b5D．a5＜b59．已知曲线C的方程为=1（a∈R且a≠0），则“a＞1”是“曲线C是焦点在x轴上的双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=1，S6=9，则的值为（）A．8 B．4 C．2 D．111．在四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，设=，=，=，且=，则x，y，z的值分别为（）A．B．C．D．12．已知数列{a n}的通项公式为a n=sin﹣kn，数列{a n}的前n项和为S n，且{S n}为递减数列，则实数k 的取值范围为（）A．k＞1 B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆的方程为=1，则该椭圆的离心率为．14．已知命题“设a，b，c∈R，如果ac2＞bc2，则a＞b”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为．15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则异面直线AE与A1D所成的角的余弦值为．16．设a∈R，若x＞0时，均有（3ax﹣2）（x2﹣ax﹣2）≥0，则a=．三、解答题：（共6小题，满分70分）17．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinC=csinB．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若B=30°，a=2，求BC边上中线AD的长．18．（Ⅰ）解关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0；（Ⅱ）解关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R）．19．已知顶点在原点的抛物线开口向右，且过点（1，2）．（Ⅰ）求该抛物线的标准方程；（Ⅱ）若过该抛物线焦点F且斜率为k的直线l与抛物线交于A、B两点，k∈[1，2]，求弦长|AB|的取值范围．20．已知等差数列{a n}中，a2=3，a5=9．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n和前n项和S n；（Ⅱ）证明：命题“∀n∈N+，”是真命题．21．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点F为C1D1的中点，点E在CC1上，且CE=1．（Ⅰ）证明：AE⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角F﹣A1D﹣B的余弦值．22．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆的四个顶点相连得到的凸四边形的面积为12．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆上不同于顶点的两个动点，且满足直线AP与直线BQ交于点M（﹣9，m），以PQ为直径作圆C，判断点A与圆C的位置关系，并说明理由．2015-2016学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b的取值范围是（）A．（4，10） B．[4，10]C．（6，8）D．[6，8]【考点】不等关系与不等式．【分析】直接利用不等式的简单性质计算即可．【解答】解：4≤a≤8，0≤b≤2，则a+b∈[4，10]．故选：B．2．命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为（）A．∀x∈N+，2x＜2 B．∀x∉N+，2x＜2 C．∃x∉N+，2x＜2 D．∃x∈N+，2x＜2【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：“∀x∈N+，2x≥2”的否定为：∃x∈N+，2x ＜2．故选：D．3．双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】化方程为标准方程，可得a，b，代入y=可得渐近线方程．【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a=3，b=2，故渐近线方程为y==故选A4．已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n﹣1+1（n≥2），则a5为（）A．7 B．15 C．30 D．31【考点】数列递推式．【分析】（法一）利用已递推关系把n=1，n=2，n=3，n=4，n=5分别代入进行求解即可求解（法二）利用迭代可得a5=2a4+1=2（a3+1）+1=…进行求解（法三）构造可得a n+1=2（a n﹣1+1），从而可得数列{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列，可先求a n+1，进而可求a n，把n=5代入可求【解答】解：（法一）∵a n=2a n﹣1+1，a1=1a2=2a1+1=3a3=2a2+1=7a4=2a3+1=15a5=2a4+1=31（法二）∵a n=2a n﹣1+1∴a5=2a4+1=4a3+3=8a2+7=16a1+15=31（法三）∴a n+1=2（a n﹣1+1）∵a1+1=2∴{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列∴a n+1=2•2n﹣1=2n∴a n=2n﹣1∴a5=25﹣1=31故选：D5．已知△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+b2﹣ab=c2，则C=（）A．B．C． D．【考点】余弦定理．【分析】把已知条件移项变形得到a2+b2﹣c2=ab，然后利用余弦定理表示出cosC的式子，把变形得到的式子代入即可求出cosC的值，然后根据角C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．【解答】解：由a2+b2﹣ab=c2，可得：a2+b2﹣c2=ab，根据余弦定理得：cosC===，又C∈（0，π），所以C=．故选：B．6．若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，1] C．[﹣1，2] D．[1，2]【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，t=x﹣y表示直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由得B（2，0），由，得A（0，1），当直线t=x﹣y过点A（0，1）时，t最小，t最小是﹣1，当直线t=x﹣y过点B（2，0）时，t最大，t最大是2，则t=x﹣y的取值范围是[﹣1，2]故选C．7．已知抛物线x2=8y上的点P到抛物线的焦点距离为5，则点P的纵坐标为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，转化求解即可．【解答】解：抛物线x2=8y的焦点坐标（0，2），抛物线x2=8y上的点P到抛物线的焦点距离为5，可得P的纵坐标为：3，故选：B．8．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，b n＞0恒成立，若a2=b2且a8=b8，则（）A．a5≥b5B．a5≤b5C．a5＞b5D．a5＜b5【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】设公差为d，公比为q，作差比较，运用因式分解，即可得出结论．【解答】解：设公差为d，公比为q，则∵a2=b2，a8=b8，∴a2+6d=a2q6，∴d=a2（q6﹣1）∴a5﹣b5=a2+3d﹣a2q3=a2（1﹣q3）+a2（q6﹣1）=a2（q3﹣1）2，∵a2＞0，（q3﹣1）2≥0，∴a2（q3﹣1）2≥0，即有a5≥b5，故选：A．9．已知曲线C的方程为=1（a∈R且a≠0），则“a＞1”是“曲线C是焦点在x轴上的双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】曲线C的方程为=1（a∈R且a≠0），若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则a≠0．即可判断出结论．【解答】解：曲线C的方程为=1（a∈R且a≠0），若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则a≠0．∴“a＞1”是“曲线C是焦点在x轴上的双曲线”的充分不必要条件，故选：A．10．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=1，S6=9，则的值为（）A．8 B．4 C．2 D．1【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列的前n项和公式列出方程组求出首项和公比，由此利用经数列前n项和公式能求出的值．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，S3=1，S6=9，∴，解得a1=，q=2，∴===2．故选：C．11．在四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，AD的中点，设=，=，=，且=，则x，y，z的值分别为（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可画出图形，根据条件及向量加法、减法及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算便可得到，这样根据平面向量基本定理便可得出x，y，z的值．【解答】解：如图，根据条件，====；又；∴．故选A．12．已知数列{a n}的通项公式为a n=sin﹣kn，数列{a n}的前n项和为S n，且{S n}为递减数列，则实数k的取值范围为（）A．k＞1 B．C．D．【考点】数列与函数的综合．【分析】可通过前n项的和，结合单调递减，解不等式可得k的范围，再讨论n为4的倍数，4的倍数余1，4的倍数余2，4的倍数余3，结合等差数列的求和公式，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：a n=sin﹣kn，可得a1=1﹣k，a2=﹣2k，a3=﹣1﹣3k，a4=﹣4k，a5=1﹣5k，a6=﹣6k，a7=﹣1﹣7k，a8=﹣8k，即有S1=1﹣k，S2=1﹣3k，S3=﹣6k，S4=﹣10k，S5=1﹣15k，S6=1﹣21k，S7=﹣28k，S8=﹣36k，由{S n}为递减数列，可得S1＞S2＞S3＞S4＞S5＞S6＞S7＞S8，即为1﹣k＞1﹣3k＞﹣6k＞﹣10k＞1﹣15k＞1﹣21k＞﹣28k＞﹣36k，解得k＞，当n为4的倍数时，S n=﹣n（n+1）k，由S n＞S n+1，可得﹣n（n+1）k＞1﹣n（n+1）k﹣（n+1）k，解得k＞，显然≤；当n为4的倍数加1时，S n=1﹣n（n+1）k，由S n＞S n+1，可得1﹣n（n+1）k＞1﹣n（n+1）k﹣（n+1）k，解得k＞0；当n为4的倍数加2时，S n=1﹣n（n+1）k，由S n＞S n+1，可得1﹣n（n+1）k＞1﹣n（n+1）k﹣（n+1）k，解得k＞0；当n为4的倍数加3时，S n=﹣n（n+1）k，由S n＞S n+1，可得﹣n（n+1）k＞﹣n（n+1）k﹣（n+1）k，解得k＞0．综上可得k的范围是k＞．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆的方程为=1，则该椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先由椭圆的标准方程分别求出a，c，由此能求出该椭圆的离心率．【解答】解：∵椭圆的方程为=1，∴a==2，=，∴该椭圆的离心率为e==．故答案为：．14．已知命题“设a，b，c∈R，如果ac2＞bc2，则a＞b”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为1．【考点】四种命题．【分析】根据四种命题之间的关系分别进行判断即可【解答】解：若ac2＞bc2，则c≠0，∴a＞b成立，即原命题为真命题，则逆否命题也为真命题．逆命题为：若a＞b，则ac2＞bc2．当c=0时，ac2＞bc2．不成立，∴逆命题为假命题，则否命题也为假命题．故逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有1个．故答案为：1．15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则异面直线AE与A1D所成的角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与A1D所成的角的余弦值．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则A（0，0，0），E（1，0，2），A1（0，0，2），D（0，2，0），=（1，0，2），=（0，2，﹣2），设异面直线AE与A1D所成的角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|===．∴异面直线AE与A1D所成的角的余弦值为．故答案为：．16．设a∈R，若x＞0时，均有（3ax﹣2）（x2﹣ax﹣2）≥0，则a=．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】构造函数y1=3ax﹣2，y2=x2﹣ax﹣2，它们都过定点P（0，﹣2），函数y2=x2﹣ax﹣2，显然过点M （，0），计算即可得到答案．【解答】解：构造函数y1=3ax﹣2，y2=x2﹣ax﹣2，它们都过定点P（0，﹣2），考查函数y1=3ax﹣2，令y=0，得M（，0），∴a＞0；考查函数y2=x2﹣ax﹣2，显然过点M（，0），代入得：﹣﹣2=0，解之得：a=，或a=﹣（舍去）．故答案为：三、解答题：（共6小题，满分70分）17．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinC=csinB．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若B=30°，a=2，求BC边上中线AD的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知等式，利用正弦定理可得：ac=cb，解得：a=b，即可得解△ABC为等腰三角形．（Ⅱ）由已知可求C=120°，BD=1，利用余弦定理可求AB，在△ABD中，利用余弦定理可求AD的值．【解答】解：（Ⅰ）∵asinC=csinB．∴利用正弦定理可得：ac=cb，解得：a=b，∴△ABC为等腰三角形．（Ⅱ）如图所示：∵BC=AC，B=30°，BC=2，∴C=120°，BD=1，∴AB===2，∴△ABD中，AD===．18．（Ⅰ）解关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0；（Ⅱ）解关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R）．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（Ⅰ）先求出x2﹣2x﹣3＞0，由此能求出关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0的解集．（Ⅱ）由当2a＞4，即a＞2，2a＜4，即a＜2，2a=4，即a=2三种情况进行分类讨论，由此能求出关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R）的解集．【解答】解：（Ⅰ）∵x（x﹣2）﹣3＞0，∴x2﹣2x﹣3＞0，解方程x2﹣2x﹣3=0，得x1=﹣1，x2=3，∴关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣3＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞3}．（Ⅱ）∵（x﹣4）（x﹣2a）＜0（其中a∈R），∴（x﹣4）（x﹣2a）=0的解为x1=4，x2=2a，∴当2a＞4，即a＞2时，关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0为{x|4＜x＜2a}；当2a＜4，即a＜2时，关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0为{x|2a＜x＜4}；当2a=4，即a=2时，关于x的一元二次不等式（x﹣4）（x﹣2a）＜0为∅．19．已知顶点在原点的抛物线开口向右，且过点（1，2）．（Ⅰ）求该抛物线的标准方程；（Ⅱ）若过该抛物线焦点F且斜率为k的直线l与抛物线交于A、B两点，k∈[1，2]，求弦长|AB|的取值范围．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）把定点坐标代入抛物线方程，求得p，则抛物线方程可求；（Ⅱ）求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），代入点（1，2），可得p=2，∴抛物线的标准方程y2=4x；（Ⅱ）抛物线焦点坐标为F（1，0），∴直线l：y=k（x﹣1）．设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l：y=k（x﹣1）与y2=4x，得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，则由韦达定理有：x1+x2=2+，x1x2=1．则弦长|AB|=•=4+，∵k∈[1，2]，∴∈[1，4]，∴弦长|AB|的取值范围是[5，8]．20．已知等差数列{a n}中，a2=3，a5=9．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n和前n项和S n；（Ⅱ）证明：命题“∀n∈N+，”是真命题．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项和求和；（Ⅱ）求得==（﹣），运用裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a2=3，a5=9，可得a1+d=3，a1+4d=9，解得a1=1，d=2，则a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1；前n项和S n=n（1+2n﹣1）=n2；（Ⅱ）证明：==（﹣），即有++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣﹣）＜，则命题“∀n∈N+，”是真命题．21．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点F为C1D1的中点，点E在CC1上，且CE=1．（Ⅰ）证明：AE⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角F﹣A1D﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AE⊥平面A1BD．（Ⅱ）求出平面A1DF的法向量和平面A1BD的法向量，利用向量法能求出二面角F﹣A1D﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点F为C1D1的中点，点E在CC1上，且CE=1，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），E（0，2，1），A1（2，0，4），B（2，2，0），D（0，0，0），=（﹣2，2，1），=（2，0，4），=（2，2，0），•=0，=0，∴AE⊥DA1，AE⊥DB，又DA1∩DB=D，∴AE⊥平面A1BD．解：（Ⅱ）F（0，1，4），=（2，0，4），=（0，1，4），=（2，2，0），设平面A1DF的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（8，﹣4，1），设平面A1BD的法向量=（a，b，c），则，取c=1，得=（﹣2，2，1），设二面角F﹣A1D﹣B的平面角为θ，cosθ===．∴二面角F﹣A1D﹣B的余弦值为．22．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆的四个顶点相连得到的凸四边形的面积为12．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，P，Q是椭圆上不同于顶点的两个动点，且满足直线AP与直线BQ交于点M（﹣9，m），以PQ为直径作圆C，判断点A与圆C的位置关系，并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由离心率公式和四边形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）A（﹣3，0），B（3，0），M（﹣9，m），AM的方程为y=（x+3），代入椭圆的方程8x2+9y2=72，运用韦达定理，求得P的坐标，同理可得Q的坐标，运用向量AP，AQ的坐标，运用数量积的坐标表示，由符号即可得到A与圆C的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，•2a•2b=12，a2﹣b2=c2，解得c=1，a=3，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）A（﹣3，0），B（3，0），M（﹣9，m），AM的方程为y=（x+3），代入椭圆的方程8x2+9y2=72，可得（32+m2）x2+6m2x+9m2﹣288=0，由﹣3x P=，解得x P=，y P=，m≠0，BM的方程为y=（x﹣3），代入椭圆的方程8x2+9y2=72，可得x2﹣6m2x+9m2﹣1152=0，由3x Q=，解得x Q=，y Q=，由=（，），=（，），即有•==＜0，即有∠PAQ为钝角，即点A在以PQ为直径的圆C的内部．2016年7月30日。
辽宁省2017-2018学年度上学期高二第二次考试试题数学学科(文科)
沈阳市第十一中学2017-2018学年度上学期高二第二次考试试题数学学科（文科）一、选择题（每小题5分，共12小题）1、 等差数列4,3,2,1，...前多少项的和是-18.A 、10B 、11C 、12D 、132、在1和15之间插入25个数，使得所得的27个数成等差数列，则插入的25个数的和为A 、192B 、200C 、208D 、2163、在4和14之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的第二个数为 A 、1 B 、±1 C 、2 D 、±24、下列说法正确的是：①满足12(2)n n a a n -=≥的数列{}n a 一定是递增数列。
②设n a = 1n n-，则数列{}n a 一定是递增数列。
③已知两个等差数列的公差不相等，但第5项相等，则这两个等差数列中除第5项外，没有序号相同且数值相等的项。
④已知两个等差数列的公比不相等，但第5项相等，则这两个等差数列中除第5项外，没有序号相同且数值相等的项。
A 、①②B 、③④C 、①④D 、②③5、已知x <54，则函数y=4x-2+145x -的最大值为 A 、1 B 、2 C 、3 D 、56、已知x 、y 满足约束条件x-y+1≤0；3x+5y ≤37;x ≥1;x,y ∈N 。
则可行域内整点（横纵坐标都是整数的点）的个数为A 、12B 、13C 、14D 、157、等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，已知14s >0, 15s <0,则在1s , 2s , 中最大的是A 、5sB 、6sC 、7sD 、8s8、已知数列{}n a 的通项公式为n a =cos 2n n π，前n 项和为n s ，则2017s 为 A 、0 B 、2 C 、1006 D 、10089、已知函数()f x = 442xx +，n a =()1001n f ，则此数列前1000项的和为 A 、2000 B 、1000 C 、500 D 、25010、x 、y 满足约束条件x+y-2≤0；x-2y-2≤0；2x-y+2≥0，则z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为A 、12或-1B 、12或2 C 、2或1 D 、2或-1 11、等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，已知31008(1)a -+2017（10081a -）=1，31010(1)a -+2017（10101a -）=-1，则A 、2017s =2017，10081010a a >B 、2017s =2017，10081010a a <C 、2017s =-2017，10081010a a >D 、2017s =-2017，10081010a a <12、已知实数x>0,y>0, lg 2lg8lg 2x x +=,则11x y+的最小值为 A、、、2+、4+二、填空题（每小题5分，共四小题）13、三个不同的数成等差数列，其和为6，如果将这三个数重新排列，它们又可以成等比数列，则这三个数为（ ）14、已知数列{}n a 中，1a =1，1n a +=22n n a a +，则2017a =（ ） 15、在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，函数()f x =2x bx c ++（b,c ∈R ）与()g x =21x x x ++在同一点取得相同的最小值，则()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为（ ） 16、已知数列{an}满足：an=1log (2)n n ++（n ∈N*），观察下列运算：12a a =2log 33log 4=2；123456a a a a a a =2log 33log 4 6log 77log 8，定义使123a a a …k a 为整数的数k （k ∈N*）叫做企盼数，试确定123a a a …k a =2017时，当企盼数k=（ ）三、解答题（满分70分）17、（满分10分）已知函数()f x =2x -，（1）解不等式：()f x +(1)f x +≥5；（2）当a>0时，不等式3a+4≥()f ax -()af x 恒成立，求实数a 的取值范围。
辽宁省沈阳市2017-2018学年高二(上)期末数学模拟试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学模拟试卷（文科）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．若a，b∈R，且a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．2a﹣b＞1B．（a﹣1）3＞（b﹣1）3C．D．a+|b|＞02．已知椭圆C： +=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（）A．B．C．D．3．曲线f（x）=2x﹣e x在点（0，f（0））处的切线方程是（）A．2x﹣y﹣1=0B．x﹣y+1=0C．x﹣y=0D．x﹣y﹣1=04．若不等式ax2+bx+1＜0的解集为{x|＜x＜1}，则（）A．a=2，b=﹣3B．a=2，b=3C．a=﹣2，b=﹣3D．a=﹣2，b=35．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=，b=3，c=2，则cosA=（）A．﹣B．C．D．6．已知等差数列{a n}满足a2=2，前5项和S5=25，若S n=39，则n的值为（）A．5B．6C．7D．87．下列命题正确的是（）A．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题B．命题“p∧q”为假命题，则命题p与命题q都是假命题C．“am2＜bm2”是“a＜b”成立的必要不充分条件D．命题“存在x0∈R，使得”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”．8．已知点Q（2，0），点P（x，y）的坐标满足约束条件，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．1D．9．“x＞log23”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S3=7，则a6=（）A．64B．32C．16D．811．设抛物线上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A．6B．8C．D．12．已知奇函数f（x）的导函数为f'（x），当x≠0时，f'（x）+＞0，若a=f（），b=﹣ef （﹣e），c=f（1），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．已知命题p：函数f（x）=（2﹣k）x+1在（﹣∞，+∞）上单调递增，命题q：不等式x2﹣2x+k ≤0的解集为∅，若p∧q是真命题，则实数k的取值范围是．14．函数f（x）=在[0，4]上的最大值与最小值分别为．15．设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有4S n=a n2+2a n，其中S n为数列{a n}的前n项和，则数列{a n}的通项公式为a n=．16．已知抛物线C的顶点为坐标原点，双曲线的右焦点是C的焦点F，若斜率为﹣1，且过F的直线与C交于A、B两点，则|AB|=．三．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知不等式x2+（a+1）x+4＜0（a∈R）．（1）当a=﹣6时，求此不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求实数a的取值范围．18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cos（A+C）=2cos2．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a+c=8，△ABC的面积为，求b．19．（12分）为纪念重庆黑山谷晋升国家5A级景区五周年，特发行黑山谷纪念邮票，从2017年11月1日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念邮票在一周内每1张的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：（Ⅰ）分析上表数据，说明黑山谷纪念邮票的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的变化关系，并判断y与x满足下列哪种函数关系，①一次函数；②二次函数；③对数函数，并求出函数的解析式；（Ⅱ）利用你选取的函数，求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低的价格．20．（12分）S n为数列{a n}前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3，（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和．21．（12分）已知函数f（x）=，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞恒成立，求a的取值范围．22．（12分）已知椭圆，过右焦点F2的直线l交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）若，求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l的斜率存在，线段MN的中垂线与x轴相交于点P（a，0），求实数a的取值范围．2017-2018学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．若a，b∈R，且a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．2a﹣b＞1B．（a﹣1）3＞（b﹣1）3C．D．a+|b|＞0【分析】根据不等式的性质即可判断．【解答】解：∵a＜b＜0，∴a﹣b＜0，a﹣1＜b﹣1，∴0＜2a﹣b＜1，（a﹣1）3＜（b﹣1）3，a+|b|＜0，＞，故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题．2．已知椭圆C： +=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用椭圆的焦点坐标，求出a，然后求解椭圆的离心率即可．【解答】解：椭圆C： +=1的一个焦点为（2，0），可得a2﹣4=4，解得a=2，∵c=2，∴e===．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．3．曲线f（x）=2x﹣e x在点（0，f（0））处的切线方程是（）A．2x﹣y﹣1=0B．x﹣y+1=0C．x﹣y=0D．x﹣y﹣1=0【分析】求出函数的导数，运用导数的几何意义，可得切线的斜率和切点，运用斜截式方程，即可得到所求切线的方程．【解答】解：f（x）=2x﹣e x的导数为f′（x）=2﹣e x，在点（0，f（0））处的切线斜率为k=2﹣1=1，切点为（0，﹣1），可得在点（0，f（0））处的切线方程为y=x﹣1．故选：D．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用斜截式方程是解题的关键，属于基础题．4．若不等式ax2+bx+1＜0的解集为{x|＜x＜1}，则（）A．a=2，b=﹣3B．a=2，b=3C．a=﹣2，b=﹣3D．a=﹣2，b=3【分析】由题意可知1、是方程ax2+bx+1=0的两根，且a＞0，利用韦达定理可求答案．【解答】解：由题意可知1、是方程ax2+bx+1=0的两根，且a＞0，∴，解方程可得，a=2，b=﹣3，故选：A．【点评】该题考查一元二次不等式的解法，属基础题，深刻理解“三个二次”间的关系是解题关键．5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=，b=3，c=2，则cosA=（）A．﹣B．C．D．【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解．【解答】解：∵a=，b=3，c=2，∴由余弦定理可得：cosA===．故选：B．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．6．已知等差数列{a n}满足a2=2，前5项和S5=25，若S n=39，则n的值为（）A．5B．6C．7D．8【分析】由题意可得首项和公差的方程组，解方程组由求和公式可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则a2=a1+d=2，S5=5a1+d=25，联立解得a1=﹣1，d=3，∴S n=na1+d=﹣n+×3=39，解得n=6故选：B．【点评】本题考查等差数列的求和公式和通项公式，属基础题．7．下列命题正确的是（）A．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题B．命题“p∧q”为假命题，则命题p与命题q都是假命题C．“am2＜bm2”是“a＜b”成立的必要不充分条件D．命题“存在x0∈R，使得”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”．【分析】利用四种命题的逆否关系判断A的正误；复合命题的真假判断B的正误；充要条件判断C 的正误；命题的否定判断D的正误；【解答】解：A．逆否命题与原命题同真同假，由x=y可得sinx=siny；A正确；B．命题“p∧q”为假命题有三种情况，（i）p真q假，（i i）p假q真，（i ii）p假q假；B不正确；C．“am2＜bm2”是“a＜b”成立的充分不必要条件；C不正确；D否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1≤0”．D不正确；故选：A．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，四种命题的逆否关系，充要条件的应用，是基本知识的考查．8．已知点Q（2，0），点P（x，y）的坐标满足约束条件，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．1D．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=|PQ|表示（2，0）到可行域的距离，只需求出Q（2，0），到可行域的距离的最小值即可．【解答】解：画出P （x ，y ）的坐标满足条件的可行域，如图所示：易得Q 到直线x +y=1的距离是最小值，|PQ |==．故选：B ．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．9．“x ＞log 23”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】“x ＞log 23”⇒“x ＞”⇒“x ＞”，“x ＞”⇒“x ＞”⇒“x ＞”．【解答】解：∵3＞2=，∴“x ＞log 23”⇒“x ＞”⇒“x ＞”，“x ＞”⇒“x ＞”⇒“x ＞”，∴“x ＞log 23”是“”的充分不必要条件．故选：A ．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S3=7，则a6=（）A．64B．32C．16D．8【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，分析可得1+q+q2=7，分析可得q的值，又由等比数列的通项公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，又由a1=1，S3=7，则有1+q+q2=7，解可得q=2或﹣3，又由{a n}为正项等比数列，则q=2，a6=a1q5=32，故选：B．【点评】本题考查等比数列前n项和的计算，注意前n项的定义，属于基础题．11．设抛物线上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A．6B．8C．D．【分析】利用抛物线的定义将P到该抛物线焦点转化为它到准线的距离即可求得答案．【解答】解：∵抛物线化为标准方程为y2=8x，设其焦点为F，∴其准线l的方程为：x=﹣2，设点P（x0，y0）到其准线的距离为d，则d=|PF|，即|PF|=d=x0﹣（﹣2）=x0+2∵点P到y轴的距离是6，∴x0=6，∴|PF|=6+2=8．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，属于中档题．12．已知奇函数f（x）的导函数为f'（x），当x≠0时，f'（x）+＞0，若a=f（），b=﹣ef （﹣e），c=f（1），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】令g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）．由于当x≠0时，，可得：当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0．即当x＞0时，g′（x）＞0，因此当x＞0时，函数g（x）单调递增．即可得出．【解答】解：令g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）．∵当x≠0时，，∴当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0．即当x＞0时，g′（x）＞0，因此当x＞0时，函数g（x）单调递增，∵e＞1＞，∴g（e）＞g（1）＞g（），∵函数f（x）为奇函数，∴g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x）=g（x），故b=﹣ef（﹣e）=g（e），故b=g（e）＞c=g（1）＞a=g（），故选：D．【点评】本题考查了通过构造函数利用导数研究函数的单调性比较大小，考查了推理能力，是一道中档题．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．已知命题p：函数f（x）=（2﹣k）x+1在（﹣∞，+∞）上单调递增，命题q：不等式x2﹣2x+k ≤0的解集为∅，若p∧q是真命题，则实数k的取值范围是（1，2）．【分析】运用一次函数的单调性，可得2﹣k＞0；由二次函数的图象可得判别式小于0，再由p∧q是真命题，可得P真q真，即可得到k的范围．【解答】解：函数f（x）=（2﹣k）x+1在（﹣∞，+∞）上单调递增，可得2﹣k＞0，解得k＜2；不等式x2﹣2x+k≤0的解集为∅，可得△=4﹣4k＜0，解得k＞1，由p∧q是真命题，可得P真q真，即有1＜k＜2，则k的取值范围是（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查一次函数的单调性和二次不等式的解集，考查复合命题的真假判断，考查运算能力，属于基础题．14．函数f（x）=在[0，4]上的最大值与最小值分别为；﹣1．【分析】利用函数的导数判断函数的单调性，求和求解函数的最值即可．【解答】解：函数f（x）=，可得f′（x）=，由f′（x）=0得，x=1﹣，x=1+，又x∈[0，4]，当x∈[0，1+]时，f′（x）＞0，当x∈（1+，4]时．f′（x）＜0，即当x=1+时，函数取得极大值同时也是最大值f（1+）==．∵f（0）=﹣1，f（4）=，∴函数的最小值为﹣1，故函数的最小值是﹣1，最大值为：故答案为：；﹣1．【点评】本题考查函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系求出函数的最值，考查计算能力．15．设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有4S n=a n2+2a n，其中S n为数列{a n}的前n项和，则数列{a n}的通项公式为a n=2n．【分析】当n=1时，得a1=2；当n≥2时，由4a n=4S n﹣4S n﹣1，得a n﹣a n﹣1=2，从而可得结论．【解答】解：当n=1时，由4S1=a12+2a1，a1＞0，得a1=2，当n≥2时，由4a n=4S n﹣4S n﹣1=（a n2+2a n）﹣（a n﹣12+2a n﹣1），得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，因为a n+a n﹣1＞0，所以a n﹣a n﹣1=2，故a n=2+（n﹣1）×2=2n．故答案为：2n．【点评】本题考查数列的通项公式及前n项和的求法，注意解题方法的积累，属于中档题．16．已知抛物线C的顶点为坐标原点，双曲线的右焦点是C的焦点F，若斜率为﹣1，且过F的直线与C交于A、B两点，则|AB|=104．【分析】由双曲线的方程求得焦点坐标，即可求得抛物线方程，方法一：设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及抛物线的弦长公式即可求得|AB|；方法二：根据抛物线的弦长公式|AB|=，即可求得|AB|．【解答】解：双曲线中a=5，b=12，则c=13，则右焦点是C（13，0），设抛物线的方程为y2=2px，=13，则2p=52，∴抛物线的方程为y2=52x，方法一：则直线AB的方程为y=﹣x+13，，整理得：x2﹣78x，+169=0，设A（x1，y1），B（x1，y1），x1+x2=78，则|AB|=x1+x2+p=78+26=104，故答案为：104．方法二：斜率为﹣1，则直线AB的倾斜角为135°，由抛物线的焦点弦公式，|AB|===104，故答案为：104．【点评】本题考查双曲线的焦点坐标，抛物线的焦点弦公式，考查计算能力，熟练掌握公式，能够简化计算，属于中档题．三．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知不等式x2+（a+1）x+4＜0（a∈R）．（1）当a=﹣6时，求此不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据题意，当a=﹣6时，不等式为x2﹣5x+4＜0，解可得a的取值范围，即可得答案；（2）根据题意，结合二次函数的性质，分析可得△＞0，即（a+1）2﹣16＞0，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，当a=﹣6时，不等式为x2﹣5x+4＜0，解得1＜x＜4，故不等式的解集为（1，4）；（2）不等式x2+（a+1）x+4＜0的解集非空，则有△＞0，即（a+1）2﹣16＞0，解得a＜﹣5或a＞3，故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪（3，+∞）．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，注意一元二次函数与不等式的关系，属于基础题．18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cos（A+C）=2cos2．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a+c=8，△ABC的面积为，求b．【分析】（Ⅰ）利用余弦的二倍角公式对已知等式化简，求出cosB=，再结合角的范围即可求出角B的大小；（Ⅱ）通过三角形面积公式和余弦定理即可求出b．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵cos（A+C）=2cos2，∴﹣cosB=1+cosB，即cosB=，∵0°＜B＜180°，∴B=120°；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，B=120°，∵△ABC的面积为，∴，∴ac=15．∵a+c=8，由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2+ac=（a+c）2﹣ac=82﹣15=49，∴b=7．【点评】本题主要考查了解三角形的应用．考查了正弦定理以及三角形面积公式的应用，是中档题．19．（12分）为纪念重庆黑山谷晋升国家5A级景区五周年，特发行黑山谷纪念邮票，从2017年11月1日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念邮票在一周内每1张的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：（Ⅰ）分析上表数据，说明黑山谷纪念邮票的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的变化关系，并判断y与x满足下列哪种函数关系，①一次函数；②二次函数；③对数函数，并求出函数的解析式；（Ⅱ）利用你选取的函数，求黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市天数及最低的价格．【分析】（Ⅰ）根据y的变化趋势可知函数不单调，从而选择②，利用待定系数法求出解析式，（Ⅱ）根据二次函数的性质得出最小值及其对应的时间；【解答】解：（Ⅰ）由于市场价y随上市时间x的增大先减小后增大，而模型①③均为单调函数，不符合题意，故选择二次函数模型②，设f（x）=ax2+bx+c由表中数据可知，解得a=1，b=﹣6，c=10，∴f（x）=x2﹣6x+10，x≥0，（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2﹣6x+10=（x﹣3）2+1，当x=3时，黑山谷纪念邮票市场价最低，最低为1元，故黑山谷纪念邮票市场价最低时的上市为第3天，最低的价格为1元【点评】本题考查了函数模型的选择和应用，二次函数的性质与应用，属于中档题．20．（12分）S n为数列{a n}前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3，（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和．【分析】（1）a n＞0，a n2+2a n=4S n+3，n≥2时， +2a n﹣1=4S n﹣1+3，a n＞0，相减可得，a n﹣a n﹣1﹣2=0，利用等差数列的通项公式可得a n．（2）b n===，利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：（1）a n＞0，a n2+2a n=4S n+3，n≥2时， +2a n﹣1=4S n﹣1+3，相减可得：a n2+2a n﹣（+2a n﹣1）=4a n，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1﹣2=0，即a n﹣a n﹣1=2，又=4a1+3，a1＞0，解得a1=3．∴数列{a n}是等差数列，首项为3，公差为2．∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．（2）b n===，∴数列{b n}的前n项和=+…+==．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞恒成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据导数和函数单调性的关系即可求出，（Ⅱ）原不等式等价于a＜x﹣lnx恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出a的范围【解答】解：（Ⅰ）因为a=0，所以f（x）=，x∈（0，1）∪（1，+∞），所以f′（x）=，令f′（x）=0，解得x=e，令f′（x）＞0，解得x＞e，令f′（x）＜0，解得x＜e，所以f（x）在（e，+∞）上单调递增，在（0，1）和（1，e）上单调递减．所以f（x）的单调递增区间是（e，+∞），单调递减区间是（0，1）和（1，e）．（Ⅱ）因为x＞1，所以lnx＞0所以任意的x∈（1，+∞），f（x）＞恒成立，即＞恒成立．等价于a＜x﹣lnx恒成立．令g（x）=x﹣lnx，所以g′（x）=，令h（x）=2﹣lnx﹣2，所以h′（x）=＞0在（1，+∞）恒成立，所以h（x）在（1，+∞）上单调递增．所以h（x）＞h（1）=0，所以当x＞1时，g′（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递增．所以g（x）＞g（1）=1，所以a≤1．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．（12分）已知椭圆，过右焦点F2的直线l交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）若，求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l的斜率存在，线段MN的中垂线与x轴相交于点P（a，0），求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）讨论直线l的斜率不存在和存在，设出直线方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，求得斜率k，即可得到所求直线方程；（Ⅱ）运用中点坐标公式可得MN的中点Q的坐标，k PQ•k MN=﹣1，求得PQ的方程，可令y=0，可得a关于k的关系式，讨论k是否为0，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，可得M（1，），N（1，﹣），，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l的方程为y=k（x﹣1），①椭圆，②由①②可得（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=k 2[﹣+1]=﹣，∴，解得k 2=4，∴k=±2，即直线l 的方程为y=2（x ﹣1）或y=﹣2（x ﹣1）； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知y 1+y 2=k （x 1+x 2）﹣2k=﹣2k=﹣，设MN 的中点为Q ，即Q （，﹣），∵k PQ •k MN =﹣1，直线PQ 的方程是y +=﹣（x ﹣），令y=0解得，当k=0时，M ，N 为椭圆长轴的两个端点，则点P 与原点重合， 当k ≠0时，a ∈（0，），综上所述，存在点P 且a ∈[0，）．【点评】本题考查直线方程与椭圆方程联立，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，考查两直线垂直的条件，以及分类讨论思想方法，属于中档题．。
辽宁省沈阳市郊联体2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题
2017——2018学年度上学期沈阳市郊联体期末考试高二试题数学B 卷（答案）一、选择题1.A2.D3.B4.B5.D6.C7.D8.A9.B 10.C 11.C 12.C二、填空题13．132 14．4,2,1,3 15．3 16．①④三、解答题17.解：（1）由已知得：⎪⎩⎪⎨⎧->->->-150105t t t t ，解得：31<<t 椭圆离心率365)1()5(=----=t t t e ，解得：2=t ...............................6分 (2)命题A 成立的条件为 31<<t ，命题B 成立的条件为 41<<-t ，由此可得命题A 是命题B 的充分不必要条件. .............................................. 12分18.解：（1）由题意得 3.0506.0=⨯=b ，303.0100=⨯=a ，2.01.03.035.005.01=----=d ，202.0100=⨯=c ..........................................................4分（2）三个组共有60人，所以第三组应抽360306=⨯人，第四组应抽260206=⨯人，第五组应抽160106=⨯人. ........................................................7分（3）记第三组抽出的3人分别为321,,a a a ，第四组抽出的2人分别为21,b b ，第五组抽出的1人为c ，从这6人中随机抽取2人，基本事件包含),(21a a ),(31a a ),(11b a ),(21b a ),(1c a ),(32a a ),(12b a ),(22b a ),(2c a ),(13b a ),(23b a ),(3c a ),(21b b ),(1c b ),(2c b ，共15个基本事件.其中2人来自同一组的情况有),(21a a ),(31a a ),(32a a ),(21b b ，共4种. 所以，2人来自同一组的概率为154=P ...............................................12分19. 解：（1）抽取的全部结果所构成的基本事件空间 {})3,3(),2,3(),3,2(),2,2(,31),2,1(),3,1(),2,1(),3,2(),2,2(---------=Ω），（，共10个基本事件. 设“使函数y mx n =+是增函数”为事件A ，则{})3,3(),2,3(),3,2(),2,2(,31),2,1(---=），（A ，共6个基本事件.所以53106)(==A P ................................................................6分 （2）不等式组101111m n m n +-⎧⎪-⎨⎪-⎩≤，≤≤，≤≤，表示的区域如图所示，使函数图像经过第一、二、三象限的m ，n 的取值区域为第一象限的阴影部分， 所以所求事件的概率为71=P .......................................12分20.解：（1）由题可知)1,0(-Q 且直线l 斜率存在，所以可设直线l ：1-=kx y ， 由⎩⎨⎧=-=yx kx y 412得：0442=+-kx x ， 令016162>-=∆k ，解得：1>k ，即),1()1,(+∞--∞∈ k设),(11y x A ，),(22y x B ，则有442121==+x x k x x ，，.........................3分 14161614)(1422212212-=-⋅+=-+⋅+=k k k x x x x k AB 因为154=AB ，所以1514=-k ，解得),1()1,(2+∞--∞∈±= k ， 所以，直线l 的方程为：12-±=x y ．..........................................................6分（2）设直线l ：1-=kx y ，),(11y x A ，),(22y x B ，由（1）知：),1()1,(+∞--∞∈ k ，442121==+x x k x x ，，因为点)1,0(F 在以AB 为直径的圆外部，所以有0>⋅FB FA ， 又)1,(11-=y x ，)1,(22-=y x ， 所以1)()1)(1(2121212121++-+=--+=⋅y y y y x x y y x x 0484)(2)1(221212>-=++-+=k x x k x x k ....................................10分 解得：22<k ，即212<<k所以，直线l 的斜率的取值范围是)2,1()1,2( --................................12分21.（1）解：由题知)0,(2c F ，),0(b M ，),0(b N -，∴),(2b c MF -=，),(2b c NF =. ∴22222-=-=⋅b c NF MF ① 由21==a c e ，得c a 2= ② 又222c b a =- ③ 由①②③联立解得：3422==b a ，∴椭圆E 的方程为13422=+y x ...................................................4分 （2）证明：由椭圆E 的方程得，上顶点)3,0(M ，设),(11y x A ，),(22y x B ，由题意知，0021≠≠x x ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x m kx y 得：0)3(48)43(222=-+++m kmx x k ∴222122143)3(4438km x x k km x x +-=+-=+，，...................................6分 又111133x m kx x y k MA -+=-=，222233x m kx x y k MB -+=-=， 由41=⋅MB MA k k ，得2121)3)(3(4x x m kx m kx =-+-+， 即：0)3(4))(3(4)14(221212=-++-+-m x x m k x x k ， ∴0)43()3(4)8)(3(4)14)(3(42222=+-+--+--k m km m k k m ， 化简得：06332=+-m m ............................................................10分 解得：323==m m 或，结合0021≠≠x x ，知32=m ，即直线AB 恒过定点)32,0(.............................................................12分22.解：（1）由θρsin 52=得05222=-+y y x ， 即()5522=-+y x .................................................. 5分（2）将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得5)22()223(22=++t t ， 即04232=++t t 由于024423(2>=⨯-=∆），故可设21,t t 是上述方程的两实根， 所以⎩⎨⎧=-=+4232121t t t t ，又直线l 过点)5,3(P ，故由上式及t 的几何意义得：232121=+=+=+t t t t PB PA ....................................10分。
2017-2018学年辽宁省沈阳市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题各出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
）1．（5分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c2．（5分）椭圆的焦距为（）A．B．2C．2D．43．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b2+c2﹣a2＝，则A的大小为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°4．（5分）a，b，c∈R，且a＞b＞0，则下列命题正确的是（）A．ac＞bc B．C．a2＞ab D．c﹣a＞c﹣b 5．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有一个关于数列的运算问题，其大意为“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走分路程为（）A．3里B．6里C．12里D．24里6．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是DD1的中点，O是下底面的中心，N 是按C1D1上任意一点，则异面直线ON与A1M所成角的大小是（）A．45°B．60°C．90°D．与点N的位置有关7．（5分）关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（2，+∞），则关于x的不等式（2ax+b）（x ﹣3）＞0的解集是（）A．（﹣∞，1）∪（3，+∞）B．（1，3）C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（﹣1，3）8．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上任一点P到两渐近线的距离分别为d1，d2，则d1d2的乘积为（）A．B．C．D．9．（5分）已知等差数列{a n}满足a2＝2，前5项和S5＝25，若S n＝39，则n的值为（）A．5B．6C．7D．810．（5分）已知正四面体ABCD的棱长是a，若E是AB的中点，则＝（）A．B．C．a2D．﹣a211．（5分）下列命题中，说法正确的是（）A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．“0＜x＜”是“x（1﹣2x）＞0”的必要不充分条件C．命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＞0”D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B”的逆否命题为真命题12．（5分）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．B．2C．2D．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁省沈阳市广全中学高二数学上学期第17周周测试题 文(无答案)
23正视图 图1侧视图 图22 2图32014—2015学年度第一学期高二级第17周文科数学测试题一、选择题（每小题5分，共30分）1、已知a ，b ，c ∈R，命题“若a b c ++=3，则222a b c ++≥3”，的否命题是 A 、若a +b+c≠3，则222a b c ++<3 B 、若a+b+c=3，则222a b c ++<3C 、若a +b+c≠3，则222a b c ++≥3D 、若222a b c ++≥3，则a+b+c=32、已知命题P ：∃n ∈N ，2n＞1000，则⌝p 为A 、∀n ∈N ，2n ≤1000B 、∀n ∈N ，2n ＞1000C 、∃n ∈N ，2n ≤1000D 、∃n ∈N ，2n＜10003、“(21)0x x -=”是“0x =”的A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件4．已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且1}x y +=，则A B ⋂的元素个数为A ．4B ．3C ．2D ．15．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图）， 侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形， 等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为 A ．3．4 C ．3．26、已知椭圆中心在原点，一个焦点为)0,32(-F ，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程为A ．112322=+x y B ．131222=+y x C ．141622=+x y D ．141622=+y x 题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题（每小题5分，共20分）7、若直线与直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =___ ______[来8、已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则椭圆C 的方程是 。
辽宁省沈阳市东北育才学校2015-2016学年高二上学期第二阶段考试数学(文)试卷Word版含答案
2015—2016学年度上学期第二阶段考试高二年级数学科试卷（文科）答题时间：120分钟满分：150分命题人：高二数学备课组校对人：高二数学备课组一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在实数，使”的否定是A.对任意实数，都有B.不存在实数，使C.对任意实数，都有D.存在实数，使2. 已知，则下列结论不正确的是A．B．C．D．3.设，，若，，，则下列关系式中正确的是A. B. C. D.4.在等比数列中，若，是方程的两根，则的值是A. B. C. D.5.已知双曲线（，）的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为A. B. C. D.6. .函数f（x）=的导数是A．（x>0）B．（x>0）C．（x>0）D．（x>0）7.若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最小正整数是A. B. C. D.8.已知函数的导函数为,且满足,则A．1 B．C．D．9.若正数，满足，则的最小值是A. B. C. D.10.已知是两个定点，点是以和为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且，记和分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有A. B. C. D.11.设函数,对任意成立,则A．B．C．D．的大小不确定12.如图，过抛物线：（）的焦点作直线交于、两点，过、分别向的准线作垂线，垂足为、，已知与的面积分别为9和1，则的面积为A.4B.6C.10D.12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线的准线方程是．14.设函数，（、、是两两不等的常数），则= ．15.已知数列满足，（），则 .16.已知双曲线（，）的左右焦点为，，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为 .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知,;是的必要不充分条件,求实数的取值范围.18.（本小题满分12分）已知曲线，（1）求曲线过点P(2,4)的切线方程；（2）求斜率为4的曲线的切线方程。
辽宁省沈阳市2017_2018学年高二数学上学期期中试题文201712180239
辽宁省沈阳市2017-2018学年高二数学上学期期中试题 文第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1．设x R ∈，则“1x >”是“21x >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．若,x y m n >>,则下列不等式正确的是( ) A. x m y n ->- B. xm ym > C.x yy m> D. m y n x ->- 3．如果等差数列{}n a 中, 34512a a a ++=,那么127a a a +++= ( )A.35B.28C.21D.144．设变量,x y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则目标函数231z x y =++的最大值为( )A.11B.10C.9D.8.55．设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则( )A.:,2p x A x B ⌝∃∈∈B.:,2p x A x B ⌝∃∉∈C.:,2p x A x B ⌝∃∈∉D.:,2p x A x B ⌝∃∉∉ 6．下列选项中,使不等式1x x<成立的x 的取值范围是( ) A. (,1)(0,1)-∞- B. (1,0)(1,)-+∞ C.(0,1) D.(1,)+∞ 7．已知等差数列{}n a 中, 39a a =,公差0d <,则使前n 项和n S 取得最大值的项数n 是( )A.4或5B.5或6C.6或7D.不存在8．已知命题:p 若x y >,则x y -<-;命题:q 若x y >,则22x y >.在命题①p q ∧;②p q ∨;③()p q ∧⌝;④()p q ⌝∨中,真命题是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④9．已知{}n a 为等比数列,n S 是它的前n 项和,若2312a a a ⋅=,且4a 与72a 的等差中项为54,则5S = ( )A.35B.33C.31D.2910．12,F F 是椭圆22197x y +=的两个焦点,A 为椭圆上一点,且1245AF F ∠=,则三角形12AF F ∆的面积为( )A.7B.7274 11．在数列{}n a 中，已知122,7a a ==,2n a +等于1()n n a a n N *+∈的个位数，则2017a 的值是（ ）A ．2B ．4C ． 6D ．812．在R 上定义运算⊗:(1)x y x y ⊗=-,若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意x 成立,则( )A.11a -<<B. 02a <<C. 1322a -<<D.3122a -<<第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若105:1:2S S =,则155:S S = . 14.已知正数0x >,0y >满足811x y+=,求2x y +的最小值 . 15. 给出以下四个条件:①0ab >;②0a >或0b >;③2a b +>;④0a >且0b >.其中可以作为“若,a b R ∈,则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是 。
辽宁省沈阳市广全中学2014_2015学年高二数学上学期周测试题12月
沈阳市广全学校高二数学上学期12月17日周测一、选择（每题7分，共42分）1.若抛物线y 2＝4x 上的点A 到其焦点的距离是6，则点A 的横坐标是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82. 若θ是任意实数，则方程x 2+4y 2cos θ=1所表示的曲线一定不是 （ ）A ．圆B ．双曲线C ．直线D ．抛物线3. 若2x ，2x+1，3x+3是钝角三角形的三边，则实数x 的取值范围是（ ）A ．24x ＜＜B ．2x ＞C ．425x x --＞或＜D ．4x ＞4.下列说法中，正确的是 （ ）A ．当x ＞0且x ≠1时，1lg 2lg x x +≥B ．当x ＞02C ．当x ≥2时，x+1x的最小值为2 D ．当0＜x ≤2时，x-1x无最大值5. 若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且222a cb =-+，则∠C=( )A ．π6B ．5π6C ．π4D ．3π46. 若一个动点(),M x y 到两个定点()()125,0,5,0F F -的距离之差的绝对值等于8，则动点M的轨迹方程为 （ ） A ．221916xy-= B ．221169xy+= C ．221169xy-= D ．221916xy+=二、填空（每题7分，共14分）7. 已知实数x ，y 满足302500x y x y y +-+-⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥，则()221z x y =-+的最小值是 .8.将下列说法中，正确说法序号写在后面的横线上 . ①至少有一个整数x ，能使5x-1是整数；②对于2,440x x x ∀∈-+R ≥；③a b =是a b =的充要条件；④若命题:sin p y x =为周期函数；:sin q y x =为偶函数，则p q ∨为真命题. 三、解答题9. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()112n n S k S +=++，又12a =，21a =.（1）求实数k 的值；（2）求证：数列{}n a 是等比数列.10. 已知函数()f x x x=+的定义域为(0,)+∞. 设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M 、N. （1）求证：PM PN 是定值；（2）判断并说明PM PN +有最大值还是最小值，并求出此最大值或最小值.沈阳市广全学校高二数学上学期12月17日周测答案二、填空7.2 8.①②④ 三、解答题 9解答：（1）∵()112n n S k S +=++，∴()2112S k S =++，∴()12112a a k a +=++. ………………………………………………………………3分又∵12a =，21a =，∴()21212k +=++，∴12k =-. ………………………… 6分（2）证明：由（1）知1122n n S S +=+ ①当2n ≥时，1122n n S S -=+ ②①-②得11(2)2n n a a n +=≥. ………………………………………………………… 9分又∵2112a a =，且0n a ≠(*)n N ∈，11(*)2n na n N a +∴=∈，∴数列{}n a 是公比为12的等比数列. …………………………………………… 12分10解答：（1）证明：设点P 的坐标为00(,)x y，则有000y x x =+，00x ＞，…… 2分由点到直线的距离公式可知01PM x ==，0PN x =，………………… 4分故有1PM PN =，即PM PN 为定值，这个值为 1. …………………………… 6分 （2）PM PN +有最小值，且最小值为 2. ……………………………………… 7分 ∵由（1）知0,1PM PN =，…………………………………… 8分 ∴2PM PN +=≥，………………………………………………… 10分当且仅当1PM PN ==，P 点在(1,1P 时，PM PN +有最小值 2. … 12分。
辽宁省沈阳市第二十中学2017-2018学年度上学期期初考试高二数学试卷
2017-2018学年度（上）沈阳市第二十中学期初考试高二年级数学试卷一、选择题1.若0,>>>d c b a ，则下列不等式成立的是 （ ） A.d b c a ->- B.c b d a ->- C.bd ac > D.dbc a < 2.下列函数中，最小值为4的是 （ ） A.x x y 4+= B.)0(sin 4sin π<<+=x xx y C.x x e e y -+=4 D.12122+++=x x y3.等比数列}{n a 中，10,2a a 是方程09112=++x x 的两根，则=6a （ ） A.3 B.3- C.3± D.以上皆非 4.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，)(3825a a S +=，则35a a 的值为 （ ） A.65 B.31 C.53 D.56 5.已知数列}{n a 满足 n n a a -=+111，若211=a ，则=2017a （ ） A.21B.2C.1-D.1 6.已知等比数列}{n a 的前n 项和是n S ，且421,43010==S S ,则20S 为 （ ）A.5B.1-C.21±D.5或1- 7.已知数列}{n a 为等差数列，若11112-<a a ，且它们的前n 项和n S 有最小值，则使得0>n S 的最小值n 为 （ ） A.12 B.21 C.22 D.23 8.已知正实数y x ,满足54=++xy y x ，则 （ ） A.y x 4+有最小值4 B.y x 4+有最小值1 C.xy 有最大值1 D.xy 有最小值29.设数列}{n a 满足341-=-n n a a ，且51=a ，不等式λ≥+2211n a 对任意的*∈N n 恒成立，则λ的最大值为 （ ） A.7 B.8 C.34 D.32 10.数列}{n a 满足1)2(9)1(10-+=+n n a n a n ，且10271=a ，若对任意正数n ，都有)(*∈≤N k a a k n 成立，则k 的值为 （ ）A.7或8B.6或7C.7D.611.已知等比数列}{n a 的前n 项和34r S n n +=，数列}{n b 满足13log 21+=n n a b ，则数列}1{1+n n b b 的前n 项和最小值时n 为 （ ） A.5 B.6 C.7 D.812.已知各项均为正数的数列}{n a 的前n 项和为n S ，对*∈∀N n ,有n n n a a S +=22，nn n nn a a a a b 111+++=，设n b 的前n 项和为n T ，则n T 为 （ ）A.111+-n B.n n n n )1(11+++C.111+-n n D.11+-n 二、填空题13.若y x ,为正实数，则xy yx 211++的最小值为_________. 14.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知29,2333==S a ，则公比=q _________. 15.下列命题正确的是__________. ①若521,21<-<-<+<b a b a ,则134,331<<-<<b a ； ②若数列}{n a 满足112+-=n n n a a a ，则}{n a 是等比数列； ③数列}{},{n n b a 是等差数列，前n 项和分别是n n T S ,，若1+=n nT S n n ，则161387=b a ；④若数列}{n a 的前n 项和n n S n 92+-=，则当6≥n 时，+++||||||321a a a ……n n S S a -=+52||.16.已知数列}{n a 中，11=a ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，且当2≥n 时，有122=-nn n nS S a a 成立，则=n S ___________.三、解答题（17题10分，18-22题，每题12分，共70分）17.已知数列}{n a n +为等差数列，且4,253==a a ，数列}{n b 满足n an b 2=. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列}{n n b a +的前n 项和n S . 18.（1）已知0,0>>b a ，且ba 1,1,1成等差数列，求b a 4+的最小值； （2）已知45<x ，求函数5414-+=x x y 的最大值。
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正视图 图1
侧视图 图2
图3
2015学年度第一学期高二级第17周文科数学测试题
一、选择题（每小题5分，共30分）
1、已知a ，b ，c ∈R，命题“若a b c ++=3，则222a b c ++≥3”，的否命题是 A 、若a +b+c≠3，则222a b c ++<3 B 、若a+b+c=3，则222a b c ++<3
C 、若a +b+c≠3，则222a b c ++≥3
D 、若222
a b c ++≥3，则a+b+c=3
2、已知命题P ：∃n ∈N ，2n
＞1000，则⌝p 为
A 、∀n ∈N ，2n
≤1000 B 、∀n ∈N ，2n
＞1000 C 、∃n ∈N ，2n
≤1000 D 、∃n ∈N ，2
n
＜1000
3、“(21)0x x -=”是“0x =”的
A 、充分而不必要条件
B 、必要而不充分条件
C 、充分必要条件
D 、既不充分也不必要条件
4．已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且1}x y +=，则A
B ⋂的元素个数为
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
5
．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图）， 侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形， 等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为 A ．．4 C ．．2
6、已知椭圆中心在原点，一个焦点为)0,32(-F ，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程为
A ．
112322=+x y B ．131222=+y x C ．141622=+x y D ．14
162
2=+y x
二、填空题（每小题5分，共20分）
7、若直线与直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =___ ______[来
8、已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于2
1
，则椭圆C 的方程是 。
9、已知圆C 经过A （5.1），B （1.3）两点，圆心在X 轴上，则C 的方程为_________ __。
截得的弦长为 11．（本小题满分15分）
如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=.
已知2,PB PD PA === .
（Ⅰ）证明：PC BD ⊥
（Ⅱ）若E 为PA 的中点，求三菱锥P BCE -的体积.
12、（本小题满分15分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接
了,AF BF ，若5
4
cos ,8||,10||=∠==ABF BF AB 。
（1）求椭圆C 的标准方程。
（2）求椭圆C 的离心率。
2015学年第一学期高二级第18周文科数学测试题
一、选择题 1、椭圆2
214x y +=的两个焦点F 1、F 2 坐标 为（ ）
A 、(2,0)-、(2,0)
B 、(、
C 、(、
D 、(1,0)-、(1,0)
2、双曲线22
149x y -=的渐近线方程是( )
A 23y x =±
B 49y x =±
C 3
2
y x =±
D 9
4
y x =±
3、抛物线24y x =的准线方程为（ ） A ．1y =- B ．1x =- C ．116y =-
D ．116
x =- 4、已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△
ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）. A.
32 B. 33 C. 22 D. 23
5、设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为1
2
y x =±，则双曲线的离心率=e （ ）.
A. 5 D. 5
4
6、 抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( )
A 、 2
B 、3
C 、 4
D 、5
7、椭圆2
214
x y +=的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2||PF =（ ）.
A B ．72
D ．4
8、已知点1(F 、2F ，动点P 满足21||||2PF PF -=. 当点P 的纵坐标是
1
2
时，点P 到坐标原点的距离是（ ）.
A B ．32
C D ．2
9、设中心在原点的椭圆与双曲线2222x y -=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则
该椭圆的方程是（ ）
A ．22142x y +=
B ．2212x y +=
C ．22142y x +=
D ． 22
12
y x += 10、若椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2
=2bx 的焦
点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为（ ）.
A ．1617
C. 4
5
11、若三条直线2380x y ++=，10x y --=和0x ky +=相交于一点，则k 的值等于（ ） A －2 B 12-
C2 D 12
12、圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）
A ．023=-+y x
B ．043=-+y x
C ．043=+-y x
D ．023=+-y x
二、填空题
13、以椭圆22
143
x y +=的右顶点为圆心，且过椭圆的左焦点的圆的方程为 14、 若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(215,0),则椭圆的标准方程 是
15、设P 是双曲线22
219
x y a -
=上一点，双曲线的一条渐近线方程为1320,x y F -=、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若1||3PF =，则2||PF = 16、将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，
，1000，从中抽取一
个容量为50的样本。
按系统抽样方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，0003，
，0020，第一部分随机抽取的一个号码为0011，则抽取的第32个号码为 。
17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC =3， BC =4，AB =5，14AA =，点
D 是AB 的中点。
（Ⅰ）求证：1AC BC ⊥； （Ⅱ）求证：1AC ∥平面1CDB .
18、从全校参加期末考试的试卷中，抽取一个样本，考查成绩（均为整数）的分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，如图所示，图中从左到右各小组的小矩形的高之比为2﹕3﹕6﹕4﹕1，最左边的一组频数是6。
（1）求样本容量；
（2）求105.5～120.5这一组的频数及频率；
0 75．5 105.5 135.5
90．5 120.5 150.5。