百强名校人教高中数学精品课件_【数学】《反证法》课件(人教A版选修2-2)(整理版)
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人教a版数学【选修2-2】2.2.2《反证法》ppt课件
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
推理与证明
第二章 2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
4
备 选 练 习
自主预习学案
理解反证法的概念，掌握反证法的特点及证题的步骤．
重点：反证法概念的理解以及反证法的证题步骤． 难点：反证法的应用．
已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2. [解析] 假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q ＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即 6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2. [点评] 本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p，q 的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法 ，但很难证，故考虑采用反证法.
[方法规律总结] 用反证法证明数学命题的步骤 第一步：审题，分清命题的条件和结论； 第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾 的结果； 第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做 的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真 ．
典例探究学案
用反证法证明直接证明不易入手的问题
求证：若两条平行直线 a、b 中的一条与平面 α 相交，则另一条也与平面 α 相交．
[分析] 直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反 证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能 推出命题结论正确．
[解析] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b 也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情 况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题 设矛盾． (2)b∥平面α. 则平面α内有直线b′，使b∥b′. 而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与 题设矛盾． 综上所述，b与平面α只能相交．
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
推理与证明
第二章 2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
4
备 选 练 习
自主预习学案
理解反证法的概念，掌握反证法的特点及证题的步骤．
重点：反证法概念的理解以及反证法的证题步骤． 难点：反证法的应用．
已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2. [解析] 假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q ＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即 6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2. [点评] 本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p，q 的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法 ，但很难证，故考虑采用反证法.
[方法规律总结] 用反证法证明数学命题的步骤 第一步：审题，分清命题的条件和结论； 第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾 的结果； 第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做 的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真 ．
典例探究学案
用反证法证明直接证明不易入手的问题
求证：若两条平行直线 a、b 中的一条与平面 α 相交，则另一条也与平面 α 相交．
[分析] 直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反 证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能 推出命题结论正确．
[解析] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b 也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情 况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题 设矛盾． (2)b∥平面α. 则平面α内有直线b′，使b∥b′. 而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与 题设矛盾． 综上所述，b与平面α只能相交．
(vip免费)【数学】2.2.2《反证法》课件(人教A版选修2-2)
2.2.2 反证法
一般地，从要证明的结论出发，逐步
寻求推证过程中，使每一步结论成立的充
分条件，直至最后，把要证明的结论归结
为判定一个明显成立的条件（已知条件、
定理、定义、公理等）为止，这种证明的
方法叫做分析法．
特点：执果索因.
用框图表示分析法
得到一个明显
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
成立的结论
坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习 态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师 走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主 任王老师对我的成长起了很大引导作用，王 老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精 力，看重做事的过程而不重结果。每当学生 没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓 励学生注重学习的过程。”
曹杨二中高三(14)班学生
班级职务：学习委员
高考志愿：北京 大学中文系
高考成绩：语文121分数学146分
英语146分历史134分
综合28分总分
575分
(另有附加分10
分)
上海高考文科状元-结自己的成功经验，常方舟认为学习的高 效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚 上都是10:30休息，这个生活习惯雷打不动。 早晨总是6:15起床，以保证八小时左右的睡 眠。平时功课再多再忙，我也不会‘开夜 车’。身体健康，体力充沛才能保证有效学 习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨 两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响 次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会 花太多时间做功课，常常是做完老师布置的 作业就算完。
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。
一般地，从要证明的结论出发，逐步
寻求推证过程中，使每一步结论成立的充
分条件，直至最后，把要证明的结论归结
为判定一个明显成立的条件（已知条件、
定理、定义、公理等）为止，这种证明的
方法叫做分析法．
特点：执果索因.
用框图表示分析法
得到一个明显
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
成立的结论
坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习 态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师 走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主 任王老师对我的成长起了很大引导作用，王 老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精 力，看重做事的过程而不重结果。每当学生 没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓 励学生注重学习的过程。”
曹杨二中高三(14)班学生
班级职务：学习委员
高考志愿：北京 大学中文系
高考成绩：语文121分数学146分
英语146分历史134分
综合28分总分
575分
(另有附加分10
分)
上海高考文科状元-结自己的成功经验，常方舟认为学习的高 效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚 上都是10:30休息，这个生活习惯雷打不动。 早晨总是6:15起床，以保证八小时左右的睡 眠。平时功课再多再忙，我也不会‘开夜 车’。身体健康，体力充沛才能保证有效学 习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨 两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响 次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会 花太多时间做功课，常常是做完老师布置的 作业就算完。
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。
《2.2.2反证法》课件2-优质公开课-人教A版选修2-2精品
新课标A版 ·数学 .2 2.2.2
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
题型一 存在性问题 例 1 已知 x，y>0 且 x＋y>2， 求证：1＋y x，1＋x y中至少有一个小于 2.
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第二章 2.2 2.2.2
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
【证明】 假设1＋y x，1＋x y都不小于 2， 即1＋y x≥2，1＋x y≥2. ∵x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x. ∴2＋x＋y≥2(x＋y)， 即 x＋y≤2 与已知 x＋y>2 矛盾． ∴1＋y x，1＋x y中至少有一个小于 2.
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第二章 2.2 2.2.2
2．反证法证题的关键是什么？
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
答：用反证法证题的关键在于依据假设在正确的推理下得出 矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定 义、定理、公理、事实矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．
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第二章 2.2 2.2.2
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第二章 2.2 2.2.2
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
【证明】 假设存在两个 x0，x0′∈(1,2)，且 x0≠x0′使得 x0＝φ(2x0)，x0′＝φ(2x0′)，则由|φ(2x0)－φ(2x0′)|≤
L|x0－x0′|，得|x0－x0′|≤L|x0－x0′|. 所以 L≥1，这与已知 L∈(0,1)矛盾． 故假设错误，原结论成立．
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第二章 2.2 2.2.2
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
题型五 用反证法证明直接证明不易入手的问题 例 5 求证：若两条平行直线 a、b 中的一条与平面 α 相交， 则另一条也与平面 α 相交．
高中数学选修2-2精品课件3：2.2.2 反证法
¬p或¬q
用反证法证明存在性、唯一性命题
求证：方程2x＝3有且只有一个根． 【分析】 本题中“有且只有”含有两层含义：一层为“有” 即存在；另一层为“只有”即唯一性，证明唯一性常用反证 法． 【证明】显然x＝log23是方程的一根，假设方程2x＝3有两个根 b1、b2(b1≠b2)． 则2b1＝3,2b2＝3.两式相除，得2b1－b2＝1.
用反证法证明“至多”、“至少”类命题
设 f(x)＝x2＋bx＋c，x∈[－1,1]，证明：b<－2 时，在其定 义域范围内至少存在一个 x，使|f(x)|≥12成立． 【分析】本题中,含有“至少存在一个”,可考虑使用反证法．
【证明】假设不存在 x∈[－1,1]使|f(x)|≥12. 则对于 x∈[－1,1]上任意 x，都有－12<f(x)<12成立.当 b<－2 时,其对称轴 x＝－b2>1， f(x)在 x∈[－1,1]上是单调递减函数，
2．若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面 情况一一驳倒，才能推断结论成立．
3．反证法的证题步骤
包括以下三个步骤： (1)作出否定结论的假设(反设)——假设命题的结论不 成立，即假定原命题的反面为真； (2)逐步推理，导出矛盾(归谬)——从假设和已知条件 出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果； (3)否定假设，肯定结论(存真)——由矛盾结果，断定 假设不真，从而肯定原结论成立．
2.注意否定命题时,要准确无误． 3.用反证法证题时,必须把结论的否定作为条件使用,否则 就不是反证法.有时在证明命题“若p，则q”的过程中,虽然 否定了结论q,但是在证明过程中没有把“¬q”当作条件使 用,也推出了矛盾或证得了结论，那么这种证明过程不是 反证法．
4.用反证法证题,最后要产生一个矛盾命题,常见的主要 矛盾有： (1)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结 论相矛盾； (2)与假设矛盾； (3)与已知条件矛盾； (4)与公认的简单事实矛盾． 矛盾是在推理过程中发现的,不是推理之前设计的．
用反证法证明存在性、唯一性命题
求证：方程2x＝3有且只有一个根． 【分析】 本题中“有且只有”含有两层含义：一层为“有” 即存在；另一层为“只有”即唯一性，证明唯一性常用反证 法． 【证明】显然x＝log23是方程的一根，假设方程2x＝3有两个根 b1、b2(b1≠b2)． 则2b1＝3,2b2＝3.两式相除，得2b1－b2＝1.
用反证法证明“至多”、“至少”类命题
设 f(x)＝x2＋bx＋c，x∈[－1,1]，证明：b<－2 时，在其定 义域范围内至少存在一个 x，使|f(x)|≥12成立． 【分析】本题中,含有“至少存在一个”,可考虑使用反证法．
【证明】假设不存在 x∈[－1,1]使|f(x)|≥12. 则对于 x∈[－1,1]上任意 x，都有－12<f(x)<12成立.当 b<－2 时,其对称轴 x＝－b2>1， f(x)在 x∈[－1,1]上是单调递减函数，
2．若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面 情况一一驳倒，才能推断结论成立．
3．反证法的证题步骤
包括以下三个步骤： (1)作出否定结论的假设(反设)——假设命题的结论不 成立，即假定原命题的反面为真； (2)逐步推理，导出矛盾(归谬)——从假设和已知条件 出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果； (3)否定假设，肯定结论(存真)——由矛盾结果，断定 假设不真，从而肯定原结论成立．
2.注意否定命题时,要准确无误． 3.用反证法证题时,必须把结论的否定作为条件使用,否则 就不是反证法.有时在证明命题“若p，则q”的过程中,虽然 否定了结论q,但是在证明过程中没有把“¬q”当作条件使 用,也推出了矛盾或证得了结论，那么这种证明过程不是 反证法．
4.用反证法证题,最后要产生一个矛盾命题,常见的主要 矛盾有： (1)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结 论相矛盾； (2)与假设矛盾； (3)与已知条件矛盾； (4)与公认的简单事实矛盾． 矛盾是在推理过程中发现的,不是推理之前设计的．
人教A版选修(2-2)2.2.2《反证法》课件(23张ppt)
因此，a、b、c 中至少有一个大于 0.
用反证法证明唯一性问题
结论以“有且只有一个”、“只有一个”、 “唯一存在”等形式出现的命题，由于 反设结论易于导出矛盾，所以用反证 法证其唯一性简单明了． 【方法引导】 证明“有且只有一个” 的问题，需要证明两个命题，即存在 性和唯一性．
【例3】求证方程2x＝3有 且仅有一个实根．
矛盾，假设不成立.
∴PB≠PC
A
P C
全课总结
1、知识小结： 反证法证明的思路：假设命题不成
立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命 题的结论
2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确
而全面的找出命题结论的反面。
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止 否定不当或有所遗漏；
三个判别式都小于0 → a的范围 → 与已知a≥－1矛盾 → 否定假设 → 肯定结论
【证明】 假设三个方程都没有实根，则 三个方程中：它们的判别式都小于 0，即：
4a2－4－4a＋3<0
a－12－4a2<0
⇒
2a2＋4×2a<0
－23<a<12 a>13或a<－1 －2<a<0
⇒－32<a<－1，这与已知 a≥－1 矛盾，所以
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题 的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
独立 作业
作业： 练习：学案中巩固提高
习题91页：A组
谢谢大家
a不垂直于b
2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC
用反证法证明唯一性问题
结论以“有且只有一个”、“只有一个”、 “唯一存在”等形式出现的命题，由于 反设结论易于导出矛盾，所以用反证 法证其唯一性简单明了． 【方法引导】 证明“有且只有一个” 的问题，需要证明两个命题，即存在 性和唯一性．
【例3】求证方程2x＝3有 且仅有一个实根．
矛盾，假设不成立.
∴PB≠PC
A
P C
全课总结
1、知识小结： 反证法证明的思路：假设命题不成
立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命 题的结论
2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确
而全面的找出命题结论的反面。
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止 否定不当或有所遗漏；
三个判别式都小于0 → a的范围 → 与已知a≥－1矛盾 → 否定假设 → 肯定结论
【证明】 假设三个方程都没有实根，则 三个方程中：它们的判别式都小于 0，即：
4a2－4－4a＋3<0
a－12－4a2<0
⇒
2a2＋4×2a<0
－23<a<12 a>13或a<－1 －2<a<0
⇒－32<a<－1，这与已知 a≥－1 矛盾，所以
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题 的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
独立 作业
作业： 练习：学案中巩固提高
习题91页：A组
谢谢大家
a不垂直于b
2.已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC
(人教A版)数学【选修2-2】2-2-2《反证法》ppt课件
规律技巧 用反证法证明“至多”“至少”型命题，可减 少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什 么，避免出现错误．需仔细体会“至多有一个”“至少有一 个”的含义.
三 用反证法证明否定性命题 【例3】 求证抛物线上任取四点所组成的四边形不可能
是平行四边形．
已知：如图所示，A，B，C，D是抛物线y2＝2px(p>0)上的 任意四点，其坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4， y4)．连接AB，BC，CD，DA.
答案 D
3．求证：如果a>b>0，那么n
n a>
b(n∈N，且n>1)．
证明 假设n a不大于n b，则n a＝n b，或n a<n b.
当n a＝n b时，则有a＝b. 这与a>b>0相矛盾．
当n
n a<
b时，则有a<b，
这也与a>b相矛盾．
所以n
a>
b.
4．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋
求证：四边形ABCD不可能是平行四边形． 【分析】 解答本题的关键在于通过假设，根据平行四边 形对边所在直线的斜率相等，推出结论与已知条件相矛盾，从 而肯定原命题正确．
【证明】 由题意得，直线AB的斜率为 kAB＝xy22－－xy11＝y12＋py2，同理kBC＝y32＋py2， kCD＝y42＋py3，kDA＝y12＋py4. 假设四边形ABCD为平行四边形，则有kAB＝kCD，kBC＝kDA. 即有yy23＋ ＋yy12＝ ＝yy31＋ ＋yy44， ，① ② 由①－②，得y1－y3＝y3－y1，
π 2
，b＝y2－2z＋
π3，c＝z2－2x＋6π.
高二数学 2.2.2反证法课件 新人教A版选修2-2
►变式训练 3．过平面 α 内的一点 A 作直线 a，使得 a⊥α，求证：直线 a 是 唯一的． 证明：假设这样的直线 a 不唯一，则过点 A 至少还有一条直线 b， 使得 b⊥α.∵直线 a，b 是相交直线，∴两直线 a，b 可以确定一个平 面 β.设 α 和 β 相交于过点 A 的直线 c.∵a⊥α，b⊥α，∴a⊥c，b⊥ c.这样在平面 β 内，过点 A 就有两条直线 a，b 垂直于直线 c，这与平 面内过直线上一点只能作一条该直线的垂线矛盾，所以假设不成立， 故直线 a 是唯一的．
若 x1－x2>0，则 2x1－x2>1，这与 2x1－x2＝1 矛盾； 若 x1－x2<0，则 2x1－x2<1，这也与 2x1－x2＝1 矛盾， 因此只能 x1－x2＝0，这与 x1≠x2 矛盾， 如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾， 故 2x＝3 只有一个根．
规律方法：用反证法证明唯一性命题的一般思路 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题， 即存在性和唯一性，当证明结论以“有且只 有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题 时，由于假设结论易导出矛盾，所以用反证法证其 唯一性比较简单明了．
►变式训练 1．已知 f(x)＝ax＋xx－＋21(a>1)，证明方程 f(x)＝0 没有负数根． 证明：假设 x0 是 f(x)＝0 的负数根， 则 x0<0 且 x0≠－1 且 ax0＝－xx00＋－12. 由 0<ax0<1⇒0<－xx00＋－12<1， 解得21<x0<2，这与 x0<0 矛盾，所以假设不成立， 故方程 f(x)＝0 没有负数根．
【易错剖析】本题证明过程中，易反设为：“假设三个方程都没 有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0”．错误 的原因在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，“方 程没有两个相异实根”包括两种情况：一是方程无实根；二是方程有 两个相等实根，从而Δ≤0.
2020版人教A版高中数学选修2-2精品课件：2.2.2 反证法
【解析】假设f(x)=0有整数根n, 则an2+bn+c=0(n∈Z), 而f(0),f(1)均为奇数,即c为奇数,a+b为偶数,则a,b,c 同时为奇数或a,b同时为偶数,c为奇数,当n为奇数时, an2+bn为偶数;当n为偶数时,an2+bn也为偶数,即an2+bn +c为奇数,与an2+bn+c=0矛盾. 所以f(x)=0无整数根.
ab
有一个小于2.
【解题指南】假设都不小于2,然后利用条件求解.
【解析】假设 1 b ,1 a 都不小于2,则 1 b≥2,1 a ≥2,
ab
a
b
因为a>0,b>0,所以1+b≥2a,1+a≥2b;
所以1+1+a+b≥2(a+b),
即a+b≤2这与已知a+b>2矛盾,
故假设不成立,从而原结论成立.
结论: 1.反证法的定义 假设原命题_不__成__立__(即在原命题的条件下,_结__论__不成 立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误, 从而证明了_原__命__题__成立,这样的证明方法叫做反证法.
2.反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可 以是与_已__知__条__件__矛盾,或与_假__设__矛盾,或与_定__义__、_定__ _理__、_公__理__、_事__实__矛盾等.
类型三 用反证法证明“唯一性”命题 【典例3】若函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续,且 f(a)<0,f(b)>0,且f(x)在[a,b]上单调递增,求证:f(x) 在(a,b)内有且只有一个零点. 【解题指南】先由函数零点存在性定理判定函数在 (a,b)内有零点,再用反证法证明零点唯一.
人教A版高中数学选修2-2 第二章2.2.2 反证法教学课件 (共16张PPT)
化简得: 5 2 10
两边平方得: 25 40 此式显然不成立，所以假设错误 所以 2, 3, 5 不可能成等差数列
例3：已知x>0,y>0，x+y>2，
求证：1 x , 1 y 中至少有一个小于2.
y
x
证明:
假设 1 x 与 1 y 均不小于2，则 1 x 2,
y
x
y
1 y 2 x
所以假设错误，
所以假设错误,
从而A，B，C中至少有一个角不小于60° 从而阳阳全家没有外出旅游.
先假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），
然后在假设的条件下，通过正确的推理，得出矛盾，说Βιβλιοθήκη 假设错误，从而得到原命题成立。
这种证明方法是-----
1.定义： 一般地，假设原命题不成立（即在原
∵a ≠ 0
∴x 1
-
x 2
0,即x1
=
x 2
与x 1
x 矛盾 2
故假设不成立，结论成立。
• 小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都 要回答一个问题。问，你来这里做什么？如果旅游者回答对了。一切都好办。 如果回答错了，他就要被绞死。
• 一天，有个旅游者回答：我来这里是要被绞死。
总结回顾:
1. 反证法证题的一般步骤:
与定理、公理、基本 事实、已知条件、定 义、假设等矛盾。
假 设 原 经过推理 命 题
得 出 矛 盾
不
成
立
假 设 得出结论 错 误
原 命 题 成 立
2. 反证法适用于：
如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨 论，而从反面正明，只要研究一种或很少的几种情 形，即“正难则反”
年高中数学人教A版选修2-2课件：2.2.2反证法(共18张PPT)
另一解法：正面、反面四种情况，若已知是正面，则反面是三 种情况即x，y至少有个是偶数即不都是奇数。
2）构造(x-1)2+(y-2)2=0。或同1）另一解法。 3)构造(x-1)(y-2)=0。或同1）另一解法
4)构造一个平面直角坐标系，正面是二、三、四象项，反面是一象限。或同1） 另一解法
结论1：（1）“或”的否定为“且”，
----要善待每一位同学
引入
我们从初中就开始学习反证法，到了高中继续学习。所以对反 证法的要求比起初中是有提高的。
这节课三个问题。 一、通俗讲反证法是什么东西？说的专业学术点就是反证法的 本质是什么。 二、反证法有什么用？ 三、什么时候用反证法？
同学们，反正发其实很难的，一些同学觉得挺简单，如果这样 我高兴。为什么反证法难？因为你们已经习惯了正面思考问题，对 于反面思考问题感觉不太适应。这是第一个原因，第二个原因是有 些事物的反面是很难知道的。我会举例子说明，这些例子如果是我 教的学生我已经举过了。
（2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不都”。
方法：1、构造一个具体的模型。2、列出全 部情况，剩余情况即为否定，类比于集合的 补集。
准确地作出否定结论是非常重要的，下面是 一些常见的结论的否定形式.
原结论 否定词 原结论
否定词
是
不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
则有∠A+∠B+∠C ＜180°，
这与三角形内角和等于180°相矛盾。
所以假设不成立，
所以原结论成立，即在个三角形中，至少有一个内角不 小于60°
注：结论中含“至多、至少”形式出现；直接证明难以下
手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考。
2）构造(x-1)2+(y-2)2=0。或同1）另一解法。 3)构造(x-1)(y-2)=0。或同1）另一解法
4)构造一个平面直角坐标系，正面是二、三、四象项，反面是一象限。或同1） 另一解法
结论1：（1）“或”的否定为“且”，
----要善待每一位同学
引入
我们从初中就开始学习反证法，到了高中继续学习。所以对反 证法的要求比起初中是有提高的。
这节课三个问题。 一、通俗讲反证法是什么东西？说的专业学术点就是反证法的 本质是什么。 二、反证法有什么用？ 三、什么时候用反证法？
同学们，反正发其实很难的，一些同学觉得挺简单，如果这样 我高兴。为什么反证法难？因为你们已经习惯了正面思考问题，对 于反面思考问题感觉不太适应。这是第一个原因，第二个原因是有 些事物的反面是很难知道的。我会举例子说明，这些例子如果是我 教的学生我已经举过了。
（2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不都”。
方法：1、构造一个具体的模型。2、列出全 部情况，剩余情况即为否定，类比于集合的 补集。
准确地作出否定结论是非常重要的，下面是 一些常见的结论的否定形式.
原结论 否定词 原结论
否定词
是
不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
则有∠A+∠B+∠C ＜180°，
这与三角形内角和等于180°相矛盾。
所以假设不成立，
所以原结论成立，即在个三角形中，至少有一个内角不 小于60°
注：结论中含“至多、至少”形式出现；直接证明难以下
手的命题，改变其思维方向，从进行反面思考。
高中数学《2.2.2反证法》课件 新人教A版选修2-2
4.设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,b,c中至少有一个不小于___
________________.
【解析】假设a,b,c都小于 1，则a+b+c＜1与已知条件矛盾，
3
故,a,b,c,中至少有一个不小于 .1
3
答案：1
3
5.设0＜x＜2,0＜y＜2,0＜z＜2,求证：x(2-y),y(2-z),z(2-x) 中至少有一个不大于1.
用反证法证明否定性命题
1.用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等 词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而 反面比较具体，适合使用反证法.
2.反证法的证题步骤： 第一步：分清命题的条件和结论； 第二步：做出与命题结论相矛法，推出矛盾的结果； 第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假设不成 立，于是原结论成立，从而间接地证明了原命题成立.
【典例】(12分)已知x,y R且x2+y2=0,求证：x,y全为零. 【审题指导】本题直接证明不易入手，宜采用反证法.
【规范解答】假设x,y不全为零，则有以下三种可能. (1)x=0,y≠0，得x2+y2=y2＞0,与x2+y2=0矛盾 ……………4 分 (2)x≠0,y=0,得x2+y2=x2＞0，与x2+y2=0矛盾 ……………7 分 (3)x≠0,y≠0，得x2+y2＞0与x2+y2=0矛盾. …………… 10 分 综上原假设错误，故x,y全为零. …………………………12分
即a+c+2a c =4b,又a,b,c成等比数列，∴b2=ac,即b= a c ,
∴a+c+2 a c =4 a ,c∴a+c-2 =a0c,
2.2.2《反证法》课件(人教A版选修2-2)
3.（5分）（2010·聊城高二检测）（1）已知p3+q3=2，求证 p+q≤2，用反证法证明时，可假设p+q≥2， （2）已知a，b∈R，｜a｜+｜b｜＜1,求证方程x2+ax+b=0的两 根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝 对值大于或等于1，即假设｜x1｜≥1，以下结论正确的是
1.反证法原理与利用等价命题即互为逆否命题的证明思路有关 吗？ 提示：简易逻辑部分中四种命题间的关系领悟得好的同学不难 悟出反证法的原理不外乎“互为逆否命题的两个命题真假一 致”，即：“P Q” “ Q P ”.
2.反证法实质是什么？ 提示：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的， 即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否 命题的正确，从而肯定原命题真实．
课程目标设置
主题探究导学
1.用反证法证明命题“若p，则q”时，为什么 q假q就真？ 提示：在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误， 二者必居其一，所以命题结论q的反面 q错误时，q就一定正 确.
2.应用反证法证明的基本步骤有哪些？ 提示：（1）假设原命题的结论不成立 ;（2）从假设出发，经 推理论证得到矛盾 ;（3）假设不成立，从而原命题的结论成 立．
yx
少有一个小于2.
【证明】用反证法.假设 1+与x 都1+大y于或等于2,即
1≥+x2
y
x
y
1≥+2y，∵x,y都为正实数,故可化为
1+xx≥2y
1+y≥2x，两式相加,得x+y≤2,与已知x+y＞2矛盾.
∴假设不成立,即原命题成立.
它们的判别式都小于0，即：
人教A版选修(2-2)2.2.2《反证法》课件(23张ppt)品质课件PPT
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题 的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
独立 作业
作业： 练习：学案中巩固提高
习题91页：A组
谢谢大家
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上 照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大 之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已， 理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭 而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策， 吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐 其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与 行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不 越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋 交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担 为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地 载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立 川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧 进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学 次的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁 要。重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。 久的一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一 看他贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知， 幸福的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世 若软弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便 明灯，可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太 了明天不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目 受不了的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服 表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑微 存梦想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所以 定你今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有多可靠。想象困难做出的反应，不是 而是面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。坐在电脑前，不知道做什么，却又不想关掉它。做 让时间帮你决定。如果还是无法决定，做了再说。宁愿犯错，不留遗憾。发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚 并把研究继续下去。我的本质不是我的意志的结果，相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志 类的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶 的出现不是对愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。 灾难，已经开始了的事情决不放弃。最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。意志若是屈 它都帮助了暴力。有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。意志坚强，只有刚强的人，才有神圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。卓越的人的一大优点 的遭遇里百折不挠。疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的， 么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是 错误的。
独立 作业
作业： 练习：学案中巩固提高
习题91页：A组
谢谢大家
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上 照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大 之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已， 理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭 而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策， 吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐 其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与 行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不 越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋 交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担 为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地 载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立 川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧 进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学 次的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁 要。重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。 久的一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一 看他贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知， 幸福的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世 若软弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便 明灯，可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太 了明天不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目 受不了的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服 表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑微 存梦想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所以 定你今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有多可靠。想象困难做出的反应，不是 而是面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。坐在电脑前，不知道做什么，却又不想关掉它。做 让时间帮你决定。如果还是无法决定，做了再说。宁愿犯错，不留遗憾。发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚 并把研究继续下去。我的本质不是我的意志的结果，相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志 类的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶 的出现不是对愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。 灾难，已经开始了的事情决不放弃。最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。意志若是屈 它都帮助了暴力。有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。意志坚强，只有刚强的人，才有神圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。卓越的人的一大优点 的遭遇里百折不挠。疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的， 么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。
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思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说 C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假; 由 A假 , 知 B真 . 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.
反证法：
假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而 证明原命题成立,这样的的证明方法叫反 证法。
2.2.2
反证法
一般地，从要证明的结论出发，逐步 寻求推证过程中，使每一步结论成立的充 分条件，直至最后，把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件（已知条件、 定理、定义、公理等）为止，这种证明的 方法叫做分析法．
特点：执果索因.
用框图表示分析法
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
2 2
2:若a,b,c均为实数,且a = x - 2y + b = y - 2z +
2
2
2
,
3 6 求证:a,b,c中至少有一个大于0.
,c = z - 2x +
2
,
复习
经过证明 的结论
思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个 数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱 取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同 前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 乙、丙三箱原有小球数 甲:208个,乙:112个,丙:64个
若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾,
故假设不成立，结论 a > b成立。
例2 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根。 证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2
则ax1 = b，ax2 = b ∴ax1 = ax2 ∴ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2） =0 ∵x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0 ∴ a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 故假设不成立，结论成立。
反证法的思维方法：
正难则反
பைடு நூலகம்
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成 ------立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
2 2 2 2
∴m 2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k = 2n ，即n = 2k ∴n2也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立，2是有理数成立。
作业
1:若p1 p2 = 2(q1 + q2 ),证明:关于x的方程 x + p1x + q1 = 0与x + p2x + q 2 = 0中至少有一 个有实根.
例3：证明：圆的两条不全是直径的相交 弦不能互相平分. 已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且 AB、CD不全是直径 求证：AB、CD不能互相平分。
C A O P B D
例4 求证： 2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
m 则存在互质的整数m，n使得 2 = ， n 2 2 ∴ m = 2n ∴ m = 2n
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论．
（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷
多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
例1：用反证法证明：
如果a>b>0，那么 a > b
证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b, 与已知a > b矛盾,