高三数学一轮复习同步12函数模型及其应用理新人教B版

课时作业(十二) [第12讲函数模型及其应用][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．[2011·济南模拟] 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，t的函数，其图象可能是( )2．某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件( )A．100元 B．110元C．150元 D．190元3．[2011·淄博模拟] 某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款．现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中( ) A．不能确定哪种省钱 B．①②同样省钱C．②省钱 D．①省钱4．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：则x，y)( )A．y＝a＋bx B．y＝a＋b xC．y＝ax2＋b D．y＝a＋b x能力提升5．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为( )A．2800元 B．3000元C．3800元 D．3818元6．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别如图K12－2所示．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面7．[2011·汕头模拟] 某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x －0.1x 2，x ∈(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台8．图K12－3是统计图表，根据此图表得到以下说法，其中正确的有( ) ①这几年人民的生活水平逐年得到提高；②人民的生活收入增长最快的一年是1998年； ③生活价格指数上涨最快的一年是1999年；④虽然2000年生活收入增长量缓慢，但由于生活价格指数有较大下降，因而人民的生活仍有较大改善．A ．1项B ．2项C ．3项D ．4项9．[2011·郑州模拟] 将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e nt .若5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m min 后甲桶中的水只有a8 L ，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．1010．一种产品的成本原为a 元，在今后的m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低p %，成本y 是经过年数x (0<x ≤m )的函数，其关系式y ＝f (x )可写成________．11．某出租车公司规定乘车收费标准如下：3 km 以内为起步价8元(即行程不超过3 km ，一律收费8元)；若超过3 km ，除起步价外，超过的部分再按1.5元/km 计价；若司机再与某乘客约定按四舍五入以元计费不找零钱．已知该乘客下车时乘车里程数为7.4 km ，则该乘客应付的车费为________．12．[2011·焦作模拟] 计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．13．[2011·滨州模拟] 鲁能泰山足球俱乐部为救助失学儿童准备在山东省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6.设x 是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数y ＝lg2x ，则这三种门票的张数分别为________万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大．14．(10分)电信局为了配合客户不同需要，设有A ，B 两种优惠方案．这两种方案应付话费y (元)与通话时间x (min)之间的关系如图K12－4所示，其中MN ∥CD .(1)若通话时间为2 h ，按方案A ，B 各应付话费多少元？(2)方案B 从500 min 以后，每分钟收费多少元？ (3)通话时间在什么范围内，方案B 比方案A 优惠？15．(13分)[2011·潍坊模拟] 某企业拟在2011年度进行一系列促销活动，已知其产品年销量x 万件与年促销费用t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例，当年促销费用t ＝0万元时，年销量是1万件．已知2011年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．(1)将2011年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数； (2)该企业2011年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)难点突破16．(12分)如图K12－5所示的是自动通风设施．该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB ＝1 m ，高0.5 m ，CD ＝2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞12 m ．上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点．△EMN 是一个由电脑控制形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风)，MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD 平行的伸缩横杆．(1)设MN 与AB 之间的距离为x m ，试将三角通风窗EMN 的通风面积S (m 2)表示成关于x 的函数；(2)当MN 与AB 之间的距离为多少米时，三角通风窗EMN 的通风面积最大？并求出这个最大面积．－5课时作业(十二)【基础热身】1．A [解析] 从汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，可比较图象中所反映的速度，速度是由慢到快，再到匀速，最后到减速，所以A 选项正确．2．C [解析] 设售价在100元基础上提高x 元，则依题意y ＝(100＋x )(1000－5x )－80×1000＝－5x 2＋500x ＋20000，故当x ＝50元时，y 取最大值32500元，此时售价为150元．3．D [解析] 方法①用款为4×20＋26×5＝80＋130＝210(元)， 方法②用款为(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元)， ∵210＜211.6，故方法①省钱．4．B [解析] 由表格数据逐个验证，知模拟函数为y ＝a ＋b x. 【能力提升】5．C [解析] 设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额y 为分段函数，由题意，得y ＝⎩⎨⎧0x ≤800，x －800×14%800<x ≤4000，11%·x x >4000，如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3800.6．A [解析] 由图象可知，曲线v 甲比v 乙在0～t 0、0～t 1与x 轴所围成图形面积大，则在t 0、t 1时刻，甲车均在乙车前面，选A.7．C [解析] 由y ≤25x ，得(x ＋200)(x －150)≥0，x ≥150，选C. 8．D [解析] 根据图象可以分析出各项指数的特征．9．D [解析] 令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.10．y ＝a (1－p %)x (0<x ≤m ) [解析] 依题意有y ＝a (1－p %)x (0<x ≤m )．11．15元 [解析] 依题意得，实际乘车费用为：8＋1.5×(7.4－3)＝14.6，应付车费15元．12．300 [解析] 设计算机价格平均每年下降p %，由题意可得13＝(1－p %)3，∴p %＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1313，∴9年后的价格y ＝8100⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1313－19＝8100×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝300(元)．13．0.6,1,0.8 [解析] 函数模型y ＝lg2x 已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题．设3元、5元、8元门票的张数分别为a 、b 、c ，则⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝2.4，①ab ＝0.6，②x ＝3a ＋5b ＋8c ，③①代入③有x ＝19.2－(5a ＋3b )≤19.2－215ab ＝13.2，当且仅当⎩⎨⎧5a ＝3b ，ab ＝0.6时等号成立．解得a ＝0.6，b ＝1，所以c ＝0.8，由于y ＝lg2x 为增函数，即此时y 也恰有最大值． 14．[解答] (1)设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系为f A (x )和f B (x )，由图知M (60,98)，N (500,230)，C (500,168)，MN ∥CD ，则f A (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧980≤x ≤60，310x ＋80x >60，f B (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1680≤x ≤500，310x ＋18x >500，故通话2 h 的费用分别是116元、168元．(2)f B (n ＋1)－f B (n )＝310(n ＋1)＋18－⎝ ⎛⎭⎪⎫310n ＋18＝0.3(n >500)，∴方案B 从500 min 以后，每分钟收费0.3元． (3)由图知，当0≤x ≤60时，f A (x )＜f B (x )； 当60<x ≤500时，由f A (x )＞f B (x )得 310x ＋80>168，解得x >8803，∴8803<x ≤500. 当x ＞500时，f A (x )＞f B (x )．综上，通话时间在⎝ ⎛⎭⎪⎫8803，＋∞内，方案B 比方案A 优惠．15．[解答] (1)由题意：3－x ＝kt ＋1，将t ＝0，x ＝1代入得k ＝2，∴x ＝3－2t ＋1，当年生产x (万件)时，年生产成本＝32x ＋3＝323－2t ＋1＋3， 当销售x (万件)时，年销售收入＝150%⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3＋12t ， 由题意，生产x 万件产品正好销完．∴年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，即y ＝－t 2＋98t ＋352t ＋1(t ≥0)．(2)∵y ＝－t 2＋98t ＋352t ＋1＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＋32t ＋1≤50－216＝42，当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，y max ＝42，∴当促销费投入7万元时，企业年利润最大． 【难点突破】16．[解答] (1)当0≤x <12时，由平面几何知识，得MN －12a －1＝x12，∴MN ＝2(2a －1)x ＋1，S ＝12MN ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－(2a －1)x 2＋(a －1)x ＋14， 当12<x <a ＋12时，S ＝12·2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，∴S ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a －1x 2＋a －1x ＋14，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫12，a ＋12.(2)①当0≤x <12时，S ＝f (x )＝－(2a －1)x 2＋(a －1)x ＋14，∵a >12，∴a －122a －1－12＝－a 22a －1<0，∴a －122a －1<12.当a －122a －1≤0时，12<a ≤1，此时当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝14， 当0<a －122a －1<12时，a >1，此时当x ＝a －122a －1时，f (x )max ＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －122a －1＝a 242a －1，②当12<x <a ＋12时，S ＝f (x )＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1222＝12a 2，等号成立⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122⇔x ＝12(2a ＋1)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，a ＋12.∴当x ＝12(2a ＋1)时f (x )max ＝a 22.(i)12<a ≤1时，∵a 22－14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22， ∴12<a ≤22时，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝14； 22<a ≤1时，当x ＝12(2a ＋1)时，f (x )max ＝a 22. (ii)a >1时，∵12a 2－a 242a －1＝4a －342a －1a 2>0，∴当x ＝12(2a ＋1)时，f (x )max ＝a 22.综上，12<a ≤22时，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝14，即MN 与AB 之间的距离为0 m 时，三角通风窗EMN 的通风面积最大，最大面积为14m 2.a >22时，当x ＝12(2a ＋1)时，f (x )max＝a 22，即MN 与AB 之间的距离为12(2a ＋1) m 时，三角通风窗EMN 的通风面积最大，最大面积为a 22.。