导与练重点班2017届高三数学一轮复习第二篇函数导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性课件理

(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的 区间上具有相反的单调性.
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自
变量互为相反数; 奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数, 取最值时的自变量也互为相反数.
2.周期性的三个常用结论 若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有: (1)f(x+a)=-f(x)(a≠0),则函数f(x)必为周期函数,2|a|是它的一个周期;
都有f(-x)=f(x)
函数f(x)为偶函数 关于 y轴 对称
2.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义 域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么就称函数y=f(x)为周期函数, 称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正 数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
解析：(2)因为f(x)是最小正周期为2的周期函数,且0≤x<2时, f(x)=x3-x=x(x-1)(x+1), 所以当0≤x<2时,f(x)=0有两个根,即x1=0,x2=1. 由周期函数的性质知,当2≤x<4时,f(x)=0有两个根,即x3=2,x4=3;当 4≤x<6时,f(x)=0有两个根,
所以f(a)≥f(2)⇒f(|a|)≥f(2),
所以|a|≥2,即a≥2或a≤-2. 答案: (2)1 (3){a|a≥2或a≤-2}
B )
解析:因为f(x+4)=f(x),
所以f(x)是以4为周期的周期函数. 所以f(8)=f(0), 又函数f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(8)=f(0)=0.
4.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则 满足f(x)>0的x的取值范围是 . 解析:画草图,由f(x)为奇函数知f(x)>0的x的取值范围为(-1,0)∪(1,+≦).
【重要结论】 1.奇偶性的五个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有 f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈D,其中定
义域D是关于原点对称的非空数集.
数吗?反之,成立吗? 提示:一定是.反之,也成立. 2.如果函数f(x)是奇函数,那么是否一定有f(0)=0? 提示:只有在x=0处有定义的奇函数,才有f(0)=0. 3.周期函数y=f(x)(x∈R)的周期唯一吗? 提示:不唯一.若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)
=-
lg 1 x2 x
.
2 2 lg 1 x lg 1 x =因为 f(-x)=- =-f(x).所以 f(x)为奇函数. x x


(2)f(x)=(x+1)
1 x ; 1 x
x 2 2, x 0, (3)f(x)= 0, x 0, 2 x 2, x 0.
解析：(2)由已知得 f(-x)=f(x), 即-xln( a x 2 -x)=xln(x+ a x 2 ), 则 ln(x+ a x 2 )+ln( a x 2 -x)=0,
2 2 所以 ln[( a x 2 ) -x ]=0,得 ln a=0,所以 a=1.
(3)由已知f(x)在[0,+≦)上为增函数,且f(a)=f(|a|),
2.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是 (
B
) (B)
1 3
(A)-
1 3
(C)
1 2
(D)-
1 2
解析:依题意 b=0,且 2a=-(a-1),
1 1 所以 a= ,则 a+b= . 3 3
3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值为( (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2
也是f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).
知识梳理
1.奇函数、偶函数的概念及图象特征 定义域 定 义 x f(x)与f(-x) 的关系 结论 图象特征
偶函数 函数f(x)的定义域关于 原点 对称 对于定义域内 任意 的一个x 都有f(-x)=-f(x)
函数f(x)为奇函数 关于 原点 对称
奇函数
反思归纳 (1)定义法:
判断函数奇偶性的两个方法
确定函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域是否关于原点对称.若对称,
再验证f(-x)=±f(x)或其等价形式f(-x)±f(x)=0是否成立.
(2)图象法:
提醒:分段函数奇偶性的判断,要注意定义域内x取值的任意性,应分段讨 论,讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简,判断f(x)与f(-x)的关系, 得出结论,也可以利用图象作判断.
)
(B)-
1 4
(C)
1 4
(D)
9 4
解析:(1)由 f(x-2)=f(x+2),可知函数 f(x)的最小正周期 T=4,又由于该函数 是奇函数, 故 f(
13 3 3 3 9 5 )=f( )=f(- )=-f( )=-[-( )2]= .故选 D. 2 2 2 2 4 2
(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x, 则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 )
(A)-3
(B)-1
(C)1
(D)3
解析: (1)用“-x”代替“x”,得f(-x)-g(-x)=(-x)3+(-x)2+1,化简得 f(x)+g(x)=-x3+x2+1,令x=1,得f(1)+g(1)=1,故选C. 答案:(1)C
(2)(2015 高考新课标全国卷Ⅰ)若函数 f(x)=xln(x+ a x 2 )为偶函数,则 a= ; . (3)已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,若 f(a)≥ f(2),则实数 a 的取值范围是
【即时训练】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=
lg 1 x 2 x2 2
;
2 1 x 0, 解:(1)由 x 2 2 0,
得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称. f(x)=
lg 1 x 2
x 2 2
4 x2 4 x2 所以 f(x)= = . x 3 3 x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以 f(x)=-f(-x),所以 f(x)是奇函数.
(3)易知函数的定义域为(-≦,0)∪(0,+≦),关于原点对称. 当x<0时,-x>0,故f(-x)=x2-x=f(x);
当x>0时,-x<0,故f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数.
(2)f(x+a)= 一个周期;
(3)f(x+a)=一个周期.
1 (a≠0,f(x)≠0),则函数 f(x)必为周期函数,2|a|是它的 f x
1 (a≠0,f(x)≠0),则函数 f(x)必为周期函数,2|a|是它的 f x
3.对称性的三个常用结论 (1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于 直线x=a对称; (2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图 象关于直线x=a对称; (3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)关于点 (b,0)中心对称.
考点二 函数周期性的应用
【例 2】 (1)(2016 怀化模拟)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,
5 f(x)=2x(1-x),则 f(- )等于( 2
) (D)
1 2
(A)-
1 2
(B)-
1 4
(C)
1 4
解析:(1)因为 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),
4 x2 (2)f(x)= ; x3 3
2 x x, x 0, (3)f(x)= 2 x x, x 0.
2 4 x 0, 解析：(2)由 得-2≤x≤2 且 x≠0. x 3 3 0,
所以 f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称.
故函数的周期为 4. 所以 f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5). 因为 2≤2.5≤3, 由题意,得 f(2.5)=2.5. 所以 f(105.5)=2.5.
答案: (2)2.5
反思归纳
(1)判断函数周期性的两个方法
①定义法.②图象法. (2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质.
1 x 0, 解析：(2)由 1 x 得-1<x≤1. 1 x 0,
因为 f(x)的定义域(-1,1]不关于原点对称. 所以 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (3)f(x)的定义域为R,关于原点对称, 当x>0时,f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x); 当x<0时,f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x); 当x=0时,f(0)=0,也满足f(-x)=-f(x). 故该函数为奇函数.
即x5=4,x6=5;x7=6也是f(x)=0的根.