19.5(2)角的平分线
初中数学 什么是角的平分线定理
初中数学什么是角的平分线定理
角的平分线定理是指：如果一条直线通过一个角的顶点，将这个角分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。
详细解释如下：
1. 角的平分线：角的平分线是指一条直线，通过一个角的顶点，将这个角分成两个相等的角。
平分线可以从角的内部或外部出发，但必须经过角的顶点。
2. 平分线的性质：如果一条直线是一个角的平分线，那么它具有以下性质：
-平分线将角分为两个相等的部分。
这意味着分割后的两个角的度数相等，它们具有相同的大小和形状。
-平分线与角的两边相交于不同的点。
这些交点分别位于角的两边上，且与角的顶点不重合。
3. 角的平分线定理：根据角的平分线的定义和性质，我们可以得出角的平分线定理，即："如果一条直线通过一个角的顶点，将这个角分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。
"
角的平分线定理在几何证明和构造中经常被使用。
它提供了角度分割和角度计算的便利，使我们能够更方便地处理角度相关的问题。
对于初中数学学习者来说，理解角的平分线定理非常重要，它可以帮助他们解决与角有关的几何问题，并在构造角的过程中正确应用平分线的性质。
19.5(2)角的平分线同步训练
课后精练 （2） 角的平分线巩固练习 姓名知 识 梳 理线段垂直平分线的定理以及角的平分线的定理给我们提供了证明两条线段相等的重要方法，因此我们在遇到已知条件中有线段垂直平分线时，可以在 上选择适当的点添加线段；在遇到已知条件中有角平分线时，可以在角的平分线上选择适当的点向角的两边作 。
知 识 应 用一、选择题1.到三角形三边的距离相等点是（ ）A 、三角形三条角平分线的交点B 、三角形三条中线的交点C 、三角形三边上的高所在直线的交点D 、以上均可2.如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥于AB ，DF ⊥AC ，E 、F 分别为垂足。
下列结论：①DE=DF ；②BD=CD ；③AD 上任意一点到AB ，AC 的距离相等；④AE=AF.其中正确的是（ ）A 、①②B 、③④C 、①②③D 、①②③④第2题图 第3题图 第4题图3.已知，如图，AD 是△ABC 的角平分线，且△ABD 与△ACD 的面积之比是3:2，则AB ：AC=（ ）A 、3:2B 、2:3C 、2:3D 、3:24.如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=24°，D 为BC 上一点，过点D 作DE ⊥AB 于E ，经测量得DE=DC ，则∠DAC 的度数是（ ）A 、24°B 、66°C 、57°D 、33°二、填空题1.点M 在∠AOB 的平分线上，且M 到OA 的距离为，则M 到OB 的距离为 。
2.在Rt △ABC 中，已知∠C=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，若CD=3cm ，则点D 到AB 的距离是3.如图，在△ABC 的内部，到∠A 两边距离相等的格点（小正方形的顶点）有 个4.如图，已知AD是△ABC中∠BAC的平分线，且DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若△ABC的面积为7，DE=2，AB=4，则线段AC=第3题图第4题图三、解答题1.如图，已知AP、CP分别平分∠BAC、∠DCA。
19.5角的平分线(第2课时)(教学课件)-八年级数学上册【03】
PD=PE.
∴OP平分∠AOB （在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边 距离相等的点，在这个角的平分线上）.
学习目标
1．进一步理解巩固线段的垂直平分线和角的平分线的性质定理； 2．能够应用角的平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题； 3．通过探索和证明，发展推理意识和能力.
[知识回顾] 命题
题设、结论
定理 逆命题
线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个 端点的距离相等。
逆定理
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段 的垂直平分线上。
证明：∵OD平分线∠POQ， ∴∠AOD=∠BOD. 在△AOD与△BOD中， ∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD， ∴△AOD≌△BOD. ∴∠ADO=∠BDO. ∵CM⊥AD，CN⊥BD， ∴CM=CN.
课堂小结
通过这节课的学习，你有什么收获和体会？
1.角的平分线的性质定理：
在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等．
判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等
A
，
(
∴点D在∠EPF的平分线上．
34 P
∴∠1＝∠2．
12
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
B E DFC
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4.∴AD平分∠BAC．
6.已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB， 点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN.
2. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、
OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相
等，请确定该超市的位置P.
19.5 角的平分线
第19章几何证明§19.5 角的平分线学习目标1.通过学生探究发现角平分线性质定理，理解并掌握角平分线性质定理及其逆定理。
2.能够应用角的平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题。
3.通过探索和证明，发展推理意识和能力；进一步提高观察、分析、解决问题的能力。
知识概要1.角平分线的性质定理性质定理：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
(说明：初中几何中规定，点到射线的距离是指这个点到这条射线所在的直线的距离)定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题。
角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线。
2.角平分线的判定定理逆定理：在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线。
由性质定理和逆定理可知，角的平分线可以看作是在这个角的内部(包括顶点)到角的两边距离相等的点的集合。
3.两定理使用时的注意事项必须有两个垂直条件，若缺少垂直条件，可考虑添加辅助线；图中有四条垂线段，要明确哪个角被平分，哪两条垂线段的长表示角平分线。
4.(拓展)三角形三条角平分线的定理：三角形三条角平分线相交于一点(三角形的内心)，并且这一点到三边的距离相等。
定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.经典题型精析(一)角平分线的性质定理对于证明与角平分线有关的线段(或角)相等问题，可以直接应用性质解决问题，省去证明三角形全等的步骤。
例1.已知：如图，PC PB 、分别是ABC ∆的外角平分线，AB PM ⊥，AC PN ⊥，点N M 、分别为垂足。
求证：(1)PN PM =； (2)PA 平分MAN ∠。
试一试：已知：如图，点D P 、在AOB ∠的平分线上，OB OA =，BD PM ⊥，AD PN ⊥，垂足分别是点N M 、. 求证：(1)ADO BDO ∠=∠； (2)PN PM =。
角平分线三个定理-概述说明以及解释
角平分线三个定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。
它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。
这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。
在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。
在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。
以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。
角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。
第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。
换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。
这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。
第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。
这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。
第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。
这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。
利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。
角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。
它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。
通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。
1.2文章结构文章结构：本文主要介绍了角平分线的三个定理，分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先概述了角平分线的意义和应用，以及本文的目的。
数学上册角的平分线的性质
计算角度
在已知三角形两个角的情况下，可以利用三角形内角和定理计算出第三个角的大小。
证明全等三角形
在证明两个三角形全等时，如果两个三角形有两组对应的角分别相等，并且其中一组等角的 对边相等，那么这两个三角形全等（AAS）。此时，可以通过作角的平分线来构造全等的条 件。
解决实际问题
在实际问题中，如测量、建筑等领域，经常需要利用三角形内角和定理和角的平分线性质 来解决相关问题。例如，在测量一个角度时，可以通过测量另外两个角度并利用三角形内 角和定理来计算出目标角度的大小。
04 角的平分线与三角形面积 关系
04 角的平分线与三角形面积 关系
三角形面积公式
三角形面积公式：S = 1/2 * b * h， 其中b为底边长度，h为高。
三角形面积公式是计算三角形面积的 基础，适用于任何类型的三角形。
三角形面积公式
三角形面积公式：S = 1/2 * b * h， 其中b为底边长度，h为高。
应用二
利用角的平分线性质解决与三角形面积相关的问题。例如， 在三角形中作一条角平分线，可以将原三角形划分为两个面 积相等的小三角形，从而简化问题或找到新的解题思路。
05 角的平分线在几何变换中 性质
05 角的平分线在几何变换中 性质
平移、旋转、对称变换下性质
01
02
03
平移不变性
角的平分线在平移变换下 保持其性质不变，即平移 后的角平分线仍然是原角 的平分线。
三角形内角和定理
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于180°。
证明方法
通过平行线的性质或外角定理等方式证明。
角的平分线与内角和关系
角的平分线定义
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平 分线。
小学数学点知识归纳认识角和角的平分线
小学数学点知识归纳认识角和角的平分线小学数学点知识归纳：认识角和角的平分线数学是一门需要逻辑思维和推理能力的学科，而数学的基础知识是我们学习数学的起点。
在小学数学中，认识角和角的平分线是我们必须要掌握的重要概念。
本文将就这一主题进行归纳和讲解，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、角的定义和性质在开始介绍角的平分线之前，先让我们回顾一下角的定义和一些基本性质。
角是由两条射线共同起源于同一个点构成的图形。
我们通常用大写字母表示一个角，如∠ABC或∠P。
其中，A、B、C或P都表示角的起源点，即角的顶点。
根据角的大小，我们可以将其分为三类：钝角、直角和锐角。
钝角角度大于90°，直角角度等于90°，锐角角度小于90°。
理解这些基本概念有助于我们后续对角的平分线的理解。
除了角的大小，角还有一些其他重要的性质。
例如，两个角互为补角当且仅当它们的和为90°。
两个角互为补角的例子有：30°和60°，45°和45°等等。
此外，根据角的性质，我们还可以判断角的大小关系，如两个角相等、角相互垂直等。
这些性质对于进一步学习角的平分线非常重要。
二、角的平分线定义和性质在了解了角的基本概念后，让我们开始学习角的平分线。
角的平分线是一条通过角的顶点，并将角分成两个相等的部分的射线。
角的平分线具有以下重要性质：1. 角的平分线将角分成两个相等的部分。
这意味着，如果一条射线是角的平分线，那么它将角分成两个大小相等的部分。
2. 角的平分线与角的边相交于角的顶点。
即角的平分线必须经过角的顶点，与角的边相交。
3. 角的平分线具有对称性。
如果一条射线是角的平分线，那么与它相对的另一条射线也是角的平分线。
三、角的平分线的应用角的平分线不仅在数学中具有重要性，也广泛应用于我们的生活和实际问题中。
以下是角平分线的一些常见应用：1. 利用角的平分线找出等分角。
当我们需要将一个角分成相等的部分时，可以利用角的平分线来帮助我们找到等分角的方法。
§19.5角的平分线(1)
§19.5角的平分线（1）
教学目标：
1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理及其逆定理．2．能运用角的平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题.
教学重点及难点：
重点：角平分线性质定理及其逆定理．
难点：添加辅助线，构造基本图形．
教学过程：
修改建议：
1.面对角的平分线的定理与逆定理，是否可以考虑让学生说一下“如果……那么……”的
形式。
2.角的平分线的逆定理可以让学生简单的口述证明过程。
3.角的平分线的性质的逆定理的问题有待修改，括号里的内容是否要强调。
沪教版(上海)八年级上19.5第2课时角的平分线(2)
沪教版（上海）八年级上19.5第2课时角的平分线（2） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．角平分线上的任意一点到这个角的两边的______相等；线段垂直平分线上的点到______的距离相等；线段的垂直平分线可以看作是到______的所有点的集合；角平分线可以看作是到______的所有点的集合．2．如图，在△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线．(1)若BE ＝10 cm ，则EC ＝________cm ；(2)若AB ＋AC ＝8 cm ，则△ACE 的周长是_______．3．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．（1）若8BC =，5BD =，则点D 到AB 的距离是______；（2）若:3:2BD DC =，点D 到AB 的距离为6，则BC 的长是______．4．如图，在ABC △中，ABC ∠，BCA ∠的平分线相交于点O ，则1∠______2∠（填“＞”“＞”或“＝”）．5．如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，交边AB 于点E ．若△EDC 的周长为24，△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE 的长为_____．6．如图，在△ABC 中．BC ＝5cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，且PD ∥AB ，PE ∥AC ，则△PDE 的周长是______cm7．在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 是边AB 上两点，且CE 所在直线垂直平分线段AD ，CD 平分∠BCE ，，则AB=_____．8．如图，∠AOE ＝∠BOE ＝15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB 于C ，若EC ＝1，则OF ＝_____．二、单选题9．如图，OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥，垂足为C ，PD OB ⊥，垂足为D ，则PC 与PD 的大小关系是（ ）．A ．PC PD >B ．PC PD = C ．PC PD < D ．不能确定 10．如图，已知点D 是∠ABC 的平分线上一点，点P 在BD 上，P A ⊥AB ，PC ⊥BC ，垂足分别为A ，C ．下列结论错误的是（ ）A ．AD =CPB ．△ABP ≌△CBPC ．△ABD ≌△CBDD ．∠ADB =∠CDB ． 11．如图,在△ABC 中,P 为BC 上一点,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,∠CAP=∠APQ,PR=PS,下面的结论:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③12．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E 、F ．给出下列四个结论：①AD 上任意一点到点C 、B 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③BD CD =，AD BC ⊥；④BDE CDF ∠=∠．其中正确的结论有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、解答题13．已知，如图，AB=AC ，BD=CD ，DE ⊥AB 于点 E ，DF ⊥AC 于点 F ，求证：DE=DF ．14．如图，AD 、BE 分别平分BAC ∠、ABC ∠，相交于点P ，过点P 作PM AB ⊥，PN BC ⊥，PQ AC ⊥，垂足分别为M 、N 、Q ．求证：点P 在C ∠的平分线上．15．如图，AP 、CP 分别是ABC △外角MAC ∠，NCA ∠的平分线，它们交于点P ，PD BM ⊥，PF BN ⊥，垂足分别为D 、F ，则BP 是MBN ∠的平分线吗？请说明理由．16．如图，点D 为锐角∠ABC 内一点，点M 在边BA 上，点N 在边BC 上，且DM=DN ，∠BMD+∠BND=180°．求证：BD 平分∠ABC ．17．如图，四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD ，垂足为点O ．（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．18．如图，在ABC △中，AB AC ≠，BAC ∠的外角平分线交直线BC 于D ，过D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥分别交直线AB 、AC 于点E 、F ，联结EF ．那么EF 与AD 有怎样的关系？请说明理由．19．如图，四边形ABCD 中，AC 为BAD ∠的角平分线，AB AD =，E 、F 两点分别在AB 、AD 上，且AE DF =．请完整说明为何四边形AECF 的面积为四边形ABCD的一半．参考答案1．距离线段两端点线段两端点距离相等角两边距离相等【解析】【分析】分别根据角平分线及线段垂直平分线的性质、线段的定义解答即可．【详解】解：角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的所有点的集合；角平分线可以看作是到角两边距离相等的所有点的集合．故答案为：距离；线段两端点；线段两端点距离相等；角两边距离相等．【点睛】本题考查角平分线及线段垂直平分线的性质，掌握角平分线及线段垂直平分线的性质等是解题的关键．2．10 8【分析】（1）直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论；（2）根据题意可得出BE=CE，进而可得出结论．【详解】解：（1）∵DE是BC的垂直平分线，BE=10cm，∴EC=BE=10cm．故答案为：10；（2）∵DE是BC的垂直平分线，∴BE=EC，∴AE+EC=BE+AE=AB．∵AB+AC=8cm，∴△ACE的周长=AB+AC=8cm．故答案为：10，8cm；【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．3．3 15【分析】（1）过点D作DE⊥AB于E，先求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，即可求解；（2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE，再求出BD，然后根据BC=BD+CD计算即可求解．【详解】解：（1）过点D作DE⊥AB于E，∵BC=8，BD=5，∴CD=BC-BD=8-5=3，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=CD=3，即点D到AB的距离是3；（2）∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=6，∵BD：DC=3：2，∴BD=9，∴BC=BD+CD=9+6=15．故答案为：3；15．【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，解题的关键是熟记性质并作出辅助线．4．＝【分析】作OD⊥BC于D，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线的判定和性质解答即可．【详解】解：作OD⊥BC于D，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠ABC，∠BCA的平分线相交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE=OD，OF=OD，∴OE=OF，又OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠1=∠2．故答案为：=．【点睛】本题考查角平分线的判定和性质，掌握角平分线的判定定理和性质定理是解题的关键．5．6【解析】试题解析：∵DE是BC边上的垂直平分线，∴BE=CE．∵△EDC的周长为24，∴ED+DC+EC=24，①∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，∴（AB+AC+BC）-（AE+ED+DC+AC）=（AB+AC+BC）-（AE+DC+AC）-DE=12，∴BE+BD-DE=12，②∵BE=CE，BD=DC，∴①-②得，DE=6．考点：线段垂直平分线的性质．6．5【分析】分别利用角平分线的性质和平行线的性质，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD＝PD，CE＝PE，那么△PDE的周长就转化为BC的长，即5cm．【详解】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠ABP ＝∠PBD ，∠ACP ＝∠PCE ，∵PD ∥AB ，PE ∥AC ，∴∠ABP ＝∠BPD ，∠ACP ＝∠CPE ，∴∠PBD ＝∠BPD ，∠PCE ＝∠CPE ，∴BD ＝PD ，CE ＝PE ，∴△PDE 的周长＝PD ＋DE ＋PE ＝BD ＋DE ＋EC ＝BC ＝5cm ．故答案为5．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质及等腰三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是将△PDE 的周长转化为BC 边的长．7．4【解析】分析：由CE 所在直线垂直平分线段AD 可得出CE 平分∠ACD ，进而可得出∠ACE=∠DCE ，由CD 平分∠BCE 利用角平分线的性质可得出∠DCE=∠DCB ，结合∠ACB=90°可求出∠ACE 、∠A 的度数，再利用余弦的定义结合特殊角的三角函数值，即可求出AB 的长度． 详解：∵CE 所在直线垂直平分线段AD ，∴CE 平分∠ACD ，∴∠ACE=∠DCE ．∵CD 平分∠BCE ，∴∠DCE=∠DCB ．∵∠ACB=90°， ∴∠ACE=13∠ACB=30°， ∴∠A=60°， ∴AB=60BC sin =︒=4．故答案为4．点睛：本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及特殊角的三角函数值，通过角的计算找出∠A=60°是解题的关键．8．2【分析】作EH ⊥OA 于H ，根据角平分线的性质求出EH ，根据直角三角形的性质求出EF ，根据等腰三角形的性质解答即可．【详解】作EH ⊥OA 于H ．∵∠AOE =∠BOE =15°，EC ⊥OB ，EH ⊥OA ，∴EH =EC =1，∠AOB =30°．∵EF ∥OB ，∴∠EFH =∠AOB =30°，∠FEO =∠BOE ，∴EF =2EH =2，∠FEO =∠FOE ，∴OF =EF =2．故答案为2．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．9．B【分析】证明△OPC ≌△OPD ，根据全等三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：∵PC OA ⊥，PD OB ⊥，∴∠PCO ＝∠PDO ＝90°，∵OP 平分AOB ∠，∴∠POC ＝∠POD ，在△OPC 和△OPD 中，PCO=PDO POC=POD OP=OP ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△OPC ≌△OPD （AAS ）∴PC=PD ．本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理和性质定理．10．A【解析】∵点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C．∴PA=PC，∴△ABP≌△CBP ,△ABD≌△CBD ,∴∠ADB=∠CDB,故选A.11．A【分析】连接AP，由已知条件利用角平行线的判定可得∠1=∠2，由三角形全等的判定得△APR≌△APS，得AS=AR，由已知可得∠2=∠3，得到∠1=∠3，得QP∥AR，答案可得．【详解】连接AP，∵PR=PS，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，∴AP是∠BAC的平分线，∠1=∠2，∴△APR≌△APS，∴AS=AR，又AQ=PQ，∴∠2=∠3，又∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴QP∥AR，BC只是过点P，没有办法证明△BRP≌△CSP，③不成立．故选A．【点睛】本题主要考查角平分线的判定和平行线的判定；准确作出辅助线是解决本题的关键，做题时要注意添加适当的辅助线，是十分重要的，要掌握．12．D【分析】根据等腰三角形三线合一的特点即可判断出①②③的结论是正确的．根据△BDE和△DCF均是直角三角形，而根据等腰三角形的性质可得出∠B=∠C，可判断出∠BDE和∠CDF的大小关系，由此可判断④．【详解】解：∵AD平分∠BAC，AB=AC，∴AD⊥BC，BD=CD，（等腰三角形三线合一），∴AD上任意一点到C、B的距离相等；（垂直平分线上的任意一点到线段两端的距离相等）因此①③正确．∴AD上任意一点到AB、AC的距离相等（角平分线上的任意一点到角两边的距离相等）因此②正确．∵AB=AC，∴∠B=∠C；∵∠BED=∠DFC=90°，∴∠BDE=∠CDF；因此④正确．故选D．【点睛】本题考查学生对等腰三角形的性质、直角三角形的性质及角平分线的性质、线段垂直平分线的性质等知识点的综合运用能力，熟记各性质并准确识图是解题的关键．13．证明见解析【解析】试题分析：连接AD，利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，然后根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等证明即可．试题解析：证明：连接AD ，在△ACD 和△ABD 中，AC=AB ，CD=BD ，AD=AD∴△ACD ≌△ABD （SSS ），∴∠EAD=∠FAD ，即AD 平分∠EAF ，∵DE ⊥AE ，DF ⊥AF ，∴DE=DF ．14．详见解析【分析】根据角平分线的性质得到PM PQ =，PM PN =，等量代换得到PQ PN =，根据角平分线的判定可得到结论．【详解】证明：∵点P 在BAC ∠的平分线AD 上，PM AB ⊥,PQ AC ⊥；∴PM PQ =．又点P 在ABC ∠的平分线BE 上，PM AB ⊥，PN BC ⊥；∴PM PN =．∴PQ PN =．∴点P 在C ∠的平分线上．【点睛】本题考查角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定定理和性质定理是解题的关键． 15．BP 为MBN ∠的平分线，理由详见解析【分析】过点P 作PE ⊥AC 于点E ，根据角平分线上点到角两边的距离相等得到PD=PE ， PE=PF ，可推出PD=PF ，则点P 在∠MBN 的角平分线上，即BP 为MBN ∠的平分线．【详解】解：BP 为MBN ∠的平分线．理由如下：作PE AC ⊥，垂足为E ．∵AP ，CP 分别是MAC ∠与NCA ∠的平分线，且PD BM ⊥，PF BN ⊥，∴PD PE =，PF PE =．∴PD PF =．又PD BM ⊥，PF BN ⊥，∴点P 在MBN ∠的平分线上．∴BP 为MBN ∠的平分线．【点睛】本题考查角平分线判定和性质，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上．16．证明见解析.【分析】在AB 上截取ME=BN ，证得△BND ≌△EMD ，进而证得∠DBN=∠MED ，BD=DE ，从而证得BD 平分∠ABC ．【详解】如图所示：在AB 上截取ME=BN ，∵∠BMD+∠DME=180°，∠BMD+∠BND=180°，∴∠DME=∠BND ，在△BND 与△EMD 中，{DN DMDME BND BN ME=∠=∠=，∴△BND ≌△EMD （SAS ），∴∠DBN=∠MED ，BD=DE ，∴∠MBD=∠MED ，∴∠MBD=∠DBN ，∴BD 平分∠ABC ．17．（1）图中有三对全等三角形：△COB ≌△COD ，△AOB ≌△AOD ，△ABC ≌△ADC ；（2）见解析. 【分析】（1）根据全等三角形的判定方法我们可以得到图中共有三对全等三角形分别为：△AOB ≌△AOD ，△COB ≌△COD ，△ABC ≌△ADC ．（2）根据全等三角形的判定进行证明【详解】（1）△AOB ≌△AOD △BOC ≌△DOC △ABC ≌△ADC（2）①△AOB ≌△AOD证明：∵AC 垂直并且平分BD∴∠AOB=∠AOD=90°OB=OD 又∵OA=OA （公共边）∴△AOB ≌△AOD （SAS ）②△BOC ≌△DOC证明：∵AC 垂直并且平分BD∴∠BOC=∠DOC=90°OB=OD 又∵OC=OC∴△BOC ≌△DOC （SAS ）③△ABC ≌△ADC证明：∵AC 垂直并且平分BD∴∠AOB=∠AOD=90°OB=OD 又∵OA=OA （公共边）∴△AOB ≌△AOD （SAS ）∴AB= AD∵AC 垂直并且平分BD∴∠BOC=∠DOC=90°OB=OD 又∵OC=OC∴△BOC ≌△DOC （SAS ）∴ BC=DC又∵AC=AC△ABC ≌△ADC18．AD 垂直平分EF ，理由详见解析【分析】由角平分线的性质得出DE=DF ，利用HL 公理证明Rt △AED ≌Rt △AFD ，得到EA=FA ；由等腰三角形三线合一的性质，即可解决问题．【详解】解：AD 垂直平分EF ．理由如下：∵AD 是EAF ∠的平分线，DE AE ⊥，DF AF ⊥，∴90DEA DFA ∠=∠=︒，DE=DF ，又AD AD =，∴Rt DEA △≌Rt DFA （HL ）．∴EA FA =．∴△EAF 是等腰三角形，∵EA FA =，AD 是EAF ∠的平分线，∴OE=OF ，AD ⊥EF ，∴AD 是EF 的垂直平分线．【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质；熟练掌握全等三角形的判定及其性质、等腰三角形三线合一的性质是解题的关键19．详见解析【分析】分别作CG AB ⊥于点G ，CH AD ⊥于点H ，由角平分线的性质得CG=CH ，根据等底等高的三角形的面积相等得到△ABC 面积=△ACD 面积，又由于AE=DF ，得到△AEC 面积=△CDF 面积，于是可求出△BCE 面积=△ACF 面积，由四边形AECF 面积=△AEC 面积+△ACF 面积，四边形AECF 面积=△AEC 面积+△BCE 面积，得到四边形AECF 面积=△ABC 面积，又由于四边形ABCD 面积=△ABC 面积+△ACD 面积，四边形ABCD 面积=2△ABC 面积，即可得到结果．【详解】解：分别作CG AB ⊥于点G ，CH AD ⊥于点H ，∵AC 为BAD ∠的角平分线，∴CG CH =．∵AB AD =，∴ABC △面积ACD =△面积．又AE DF =，∴AEC 面积CDF =△面积．∴BCE 面积ABC =面积AEC -△面积，ACF 面积ACD =△面积CDF -△面积． ∴BCE 面积ACF =△面积．∵四边形AECF 面积AEC =△面积ACF +△面积，ABC △面积AEC =△面积BCE +△面积，∴四边形AECF 面积ABC =面积．又四边形ABCD 面积ABC =面积ACD +△面积， ∴四边形ABCD 面积2ABC =△面积，∴四边形AECF 面积为四边形ABCD 面积的一半．【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，解题的关键是正确的作出辅助线．。
初中数学 什么是角的平分线
初中数学什么是角的平分线
角的平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。
在几何学中，我们可以使用以下方法来构造角的平分线：
方法一：使用直尺和圆规的作图方法
1. 给定一个角，以其中一条边为基准，在这条边上选择一个点作为圆心。
2. 以这个点为圆心，取一个适当的半径，在角的两边上分别画出两个弧。
3. 保持圆规的半径不变，将圆规的一个脚放在刚才画的弧上，将另一个脚放在圆心所在的边上，画出一个交点。
4. 这个交点与角的顶点连线就是所求的角的平分线。
方法二：使用三角形的性质
1. 给定一个角，以其中一条边为基准，在这条边上选择一个点作为顶点。
2. 以这个顶点为中心，分别在两边上取等长的线段。
3. 连接这两个等长线段的端点，就可以得到角的平分线。
以上两种方法都可以用来构造角的平分线，它们都基于角的性质和几何图形的构造原理。
通过这些构造方法，我们可以将一个角分成两个相等的角，并且得到角的平分线。
角的平分线具有以下性质：
1. 角的平分线将角分成两个相等的角，即两个由角的平分线所分割的角度相等。
2. 角的平分线与角的两边相交于角的顶点，且与这两边的夹角相等。
这些性质对于解决几何问题和证明几何定理非常有用。
例如，我们可以利用角的平分线来证明两个角相等，或者利用角的平分线来构造与已知角相等的角。
总之，角的平分线是将一个角分成两个相等的角的线段。
我们可以使用直尺和圆规的作图方法或者利用三角形的性质来构造角的平分线。
通过角的平分线的性质，我们可以解决各种几何问题和推导其他的几何定理。
角的平分线的性质
角的平分线的性质汇报人:2023-12-08目录CONTENCT •角的平分线定义与性质•构造方法与证明技巧•在三角形中应用•在四边形和多边形中应用•拓展：关于角平分线其他知识点01角的平分线定义与性质定义及基本性质定义角的平分线指的是将一个角平分为两个相等的小角的射线。
基本性质平分线将对应的角平分为两个相等的小角，且平分线上的每一点到该角两边的距离相等。
存在性与唯一性定理存在性定理对于任何一个角，都存在一条射线将其平分为两个相等的小角，即存在一条角的平分线。
唯一性定理对于任何一个角，它的平分线是唯一的，即不存在两条不同的射线都可以将该角平分为两个相等的小角。
几何意义角的平分线在几何学中有着非常重要的意义，它可以用于构造等边三角形、等腰三角形等图形，并且是解决一些几何问题的关键。
应用场景在实际问题中，角的平分线常常被用于设计、建筑、工程等领域。
例如，在建筑工程中，可以利用角的平分线来确定某些结构的位置和方向；在机械设计中，可以利用角的平分线来设计齿轮、联轴器等零部件的位置和尺寸。
几何意义及应用场景02构造方法与证明技巧首先利用尺规作图作出给定角的平分线，再通过该平分线构造等腰三角形或利用其他相关性质进行证明。
尺规作图法利用了角的平分线性质，即平分线上的点到角两边距离相等，从而实现了对给定角的精确平分。
尺规作图法原理分析作图步骤三角形内心与外心相关性质三角形的内心到三角形三边的距离相等，且与三角形三顶点连线将三角形划分为三个面积相等的部分。
内心与三角形任意两顶点连线的夹角等于与该顶点相对的角的一半。
外心性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，且与三角形三边的中垂线交于一点。
外心与三角形任意两顶点连线的夹角等于与该顶点相对的角的外角的一半。
例题一思路梳理例题二思路梳理典型例题解析及思路梳理已知三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，求证：AB/AC=BD/CD。
利用角的平分线性质，构造等腰三角形或利用相似三角形进行证明。
19.5角的平分线
<例1> 三角形三条内角平分线交于一点
已知：如图，AO、BO分别是∠A、∠B的平分线， OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为点D、E。
求证：点O在∠C的平分线上。
A
证明： 过点O作OF⊥AC，垂足为F
E
∵ BO是∠ABC的平分线， OD⊥BC，OE⊥AB
F
∴OE=OD （在角的平分线上的点到这个角的
设计图中新修建的一个景观角需要放置一盏路 灯，如果让你来设计，你会放在哪里呢？
A B
O
■三等分角问题：三等分一个任意角
■倍立方问题：作一个立方体，使它
的体积是已知立方体的体积的两倍
■化圆为方问题：作一个正方形，使
它的面积等于已知圆的面积
穷竭法
公元前426年~公元前373年
《几何原本》
命题9：“一个角可以切分成两个相等的角。”
意大利法律教授巴托鲁斯给出了分配方案：淤积地离 谁家原有土地的边界更近，就归属谁家。
想一想： 如图，有三条两两相交的公路，现在要建
立休息站，要求到三条公路的距离相等，请问 共可以建立几个符合要求的休息站？
A
B
C
古希腊数学家欧几里得
复习
角是____轴_____对称图形， 它的对称轴是__角__的__平___分__线__所__在__的___直__线______.
角的平分线除了平分这个角以外，还有其他的性质
吗？
A
C
O
B
19.5角的平分线
角平分线的性质定理：
在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
A C
O
O
两边距离相等）
同理可得OE=OF
B
D
C ∴OF=OD
角的平分线的性质
角的平分线的性质角的平分线是指将一个角分为相等的两个角的直线。
在几何学中，角的平分线具有以下性质：1. 两个角的平分线相交于角的顶点，并且相交点与角的两边形成的四个角是相等的。
也就是说，如果有一个角ABC，其中CD是角ABC的平分线，那么角ACD与角BCD将是相等的。
2. 平分线将一个角分为两个相等的角度，这意味着平分线将角的总度数分成相等的两部分。
例如，对于一个直角（90度）来说，它的平分线将把它分成两个45度的角。
3. 如果两个角的平分线相等，那么这两个角也是相等的。
也就是说，如果AD和BD是角ABC的两个平分线，并且AD=BD，那么角ACD与角BCD将是相等的。
4. 在一个三角形中，如果一个边上的角被其对边的平分线分成两个相等的角，那么这个边一定是这个三角形的底边。
换句话说，如果在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，并且角DAB=角DAC，那么线段BC是三角形ABC的底边。
这些是角的平分线的一些主要性质。
角的平分线在几何学中具有重要的应用。
它们帮助我们研究和理解角度的关系，以及解决与角度相关的问题。
在证明几何定理和推导几何公式时，角的平分线也经常被使用。
除了以上性质外，角的平分线还有其他一些重要的应用和性质，例如，垂直平分线、角平分线与三角形的外接圆和内切圆的关联等。
这些性质和应用使得角的平分线成为几何学中一个重要的概念。
总结起来，角的平分线是将一个角分为相等的两个角的直线。
角的平分线具有多种性质，包括：相交于角的顶点，相交点与角的两边形成的四个角是相等的，平分线将角的总度数分成相等的两部分等等。
这些性质和应用使角的平分线在几何学中具有重要的地位。
角的平分线的性质课件
角的平分线将角平分为两个相等的部分。
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
角的平分线上的点到角顶点的距离最短。
02
CHAPTER
角平分线与边的关系
角平分线将一个角分为两个相等的部分，并且与该角的对边平行。
角平分线上的点到该角的对边的距离相等。
利用角平分线作辅助线
在解决三角形问题时，可以利用角平分线作为辅助线，帮助解题。
在建筑设计时，可以利用角平分线的性质来设计建筑物的角度和线条，使建筑物更加美观和实用。
建筑学中的应用
在机械制造过程中，可以利用角平分线的性质来制造精确的零件和工具，提高机械的精度和稳定性。
机械制造中的应用
05
CHAPTER
角平分线与对边等距
角平分线与对边平行
角平分线与邻边垂直
在直角三角形中，角平分线与邻边垂直。
角平分线与邻边等长
在等腰三角形中，角平分线将相对的两边等长。
角平分线与对角线交点
角平分线与对角线的交点是三角形的内心。
角平分线与对角线的长度关系
在等腰三角形中，角平分线将对角线等分。
03
CHAPTER
角平分线与角的关系
03
02
01
THANKS
感谢您的观看。
角平分线将一个角分为两个相等的子角，即$angle AOC = angle BOC$。
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，即$OM = ON$。
角平分线将相邻的外角分为两个相等的子角，即$angle BOC = angle COD$。
角平分线上的点到这个外角的两边的距离相等，即$OM = OD$。
角的平分线的性质课件
角平分线的定律
角平分线的定律
角平分线（AlternateInteriorAngles）是数学中一种重要的定律，它被广泛用于推导出数学理论和定义几何形状。
角平分线又称平分角、相邻内角或异边内角，它指两条互相平行的线段之间所分出的内角，它们必定是相等的。
角平分线的定律很早就被认识到，古希腊数学家厄拉多塞（Euridicus）曾经提出这种定律，他的提法是：“当两条平行线被另一条线交叉时，形成的两个内角是相等的”。
这一定律也被罗马数学家拉索（Raporius）提出，他的描述是：“两条互相平行的线段之间所分出的内角必定是相等的。
”
角平分线的定律是研究几何形状及空间关系的重要基础。
它不仅推导出了数学定理，同时也被用于建筑学、工程学以及艺术形状的制图。
在几何图形中，角平分线的定律的一般形式是：当两条平行线被另一条线所交叉时，形成的两个内角必定是相等的。
通过角平分线的定律，我们可以推导出直角三角形的定理，说明对称轴平分角是相等的；也可以得出六边形定理，指出有六条平行边的六边形内角都相等；还可以推导出余弦定理，表明有两条平行边的三角形内角之间也是相等的。
此外，角平分线的定律还有助于求解复杂的几何形状，比如正多边形、圆周不等式、空间拓扑等等。
此外，对于建筑学、工程学及艺术形状的制图也有很大的帮助，比如制图十字路口的对称结构，推导
屋顶的支撑结构，以及创造出艺术形状等等。
因此，角平分线的定律在数学中发挥着重要的作用，广泛应用于推导出数学理论、建筑学、工程学以及艺术形状的制图等方面。
它为求解几何形状及空间关系提供了重要的依据，使数学与技术结合得更加完美。
初二角的平分线知识点
初二角的平分线知识点
角的平分线是指通过角的顶点且将角分成两个相等的角的直线。
每个
角都有两条平分线，分别位于角的两侧。
角的平分线具有以下性质：
1.平分线与角的两边相交于顶点，将角分成两个相等的角。
2.在角的顶点处，平分线与角的两边构成两对垂直的相等角。
3.平分线的两侧对称。
角的平分线的相关运用和应用：
1.利用平分线可以证明两个角相等。
a.若两个角的平分线相交于一点，则这两个角是相等的。
b.若两个角的平分线分别平行，则这两个角是相等的。
c.若两个角的平分线分别垂直且相交于同一点，则这两个角是相等的。
2.利用平分线可以求得角的度数。
如图中所示，AB为角的平分线，角ACB的度数为x度，因为AD与AC
垂直，所以角DAB和角CAB的度数也为x度。
因此，通过观察这些角所围
成的其他图形，可以得到角ACB的具体度数。
3.平分线的运用还可用于构造各类几何图形。
a.构造角的平分线：给定一个角，需要用尺规作图来找到该角的平分线。
b.利用平分线构造等边三角形和正五边形等特殊多边形。
总之，平分线作为几何中的重要概念，在几何证明和构造中具有广泛的应用。
熟练掌握角的平分线的性质和运用，对于理解几何知识和解决相关题目有很大帮助。
角的平分线定理 定理1
角的平分线定理定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合矩形的定理矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角矩形性质定理2：矩形的对角线相等矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形菱形定理菱形性质定理1：菱形的四条边都相等菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形定理正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角等腰梯形性质定理等腰梯形性质定理：1.等腰梯形在同一底上的两个角相等2.等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形判定定理：1.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形2.对角线相等的梯形是等腰梯形平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边平行四边形定理平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等推论：夹在两条平行线间的平行线段相等平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分平行四边形判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4：一组对边平行相等的四边形是平行四边形初中数学几何平行定理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行推论：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行证明两直线平行定理：同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行两直线平行推论：两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补对称定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称中心对称定理定理1：关于中心对称的两个图形是全等的定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称中位线定理三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2S=L ×h初中数学圆的定理12不共线的三点确定一个圆经过一点可以作无数个圆经过两点也可以作无数个圆，且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上定理：过不共线的三个点，可以作且只可以作一个圆推论：三角形的三边垂直平分线相交于一点，这个点就是三角形的外心三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心1.3垂径定理圆是中心对称图形；圆心是它的对称中心圆是周对称图形，任一条通过圆心的直线都是它的对称轴定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且评分弦所对的两条弧推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧推论2：弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直评分弦，并且平分弦所对的另一条弧1.4弧、弦和弦心距定理：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等二圆与直线的位置关系2.1圆与直线的位置关系如果一条直线和一个圆没有公共点，我们就说这条直线和这个圆相离如果一条直线和一个圆只有一个公共点，我们就说这条直线和这个圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做它们的切点定理：经过圆的半径外端点，并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线定理：圆的切线垂直经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心如果一条直线和一个圆有两个公共点，我们就说，这条直线和这个圆相交，这条直线叫这个圆的割线，这两个公共点叫做它们的交点直线和圆的位置关系只能由相离、相切和相交三种2.2三角形的内切圆如果一个多边形的各边所在的直线，都和一个圆相切，这个多边形叫做圆的外切多边形，这个圆叫做多边形的内切圆定理：三角形的三个内角平分线交于一点，这点是三角形的内心三角形一内角评分线和其余两内角的外角评分线交于一点，这一点叫做三角形的旁心。
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19.5(2)角的平分线
一、知识点及要求
1.进一步理解巩固线段的垂直平分线和角的平分线的性质定理；
2.能够应用角的平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题.
二、新课学习
例1 已知：CD 垂直平分线段AB ，E 是CD 上一点，分别联结CA 、CB 、EA 、EB . 求证：∠CAE =∠CBE .
E
D
C B
A
例2 已知CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别是点D 、E ；BE 、CD 相交于点O ，且AO 平分∠BAC . 求证：OB =OC .
E
A
O
B
C
D
三、巩固练习
1.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AC=AE ，AD 平分∠CAB ，交BC 于点D ，联结DE. 求证：DE 是AB 的垂直平分线.
2.如图，在△ABC 中，∠B=115°，AC 的垂直平分线与AB 交于点D ，联结CD ，如果∠BCD 与∠DCA 的度数比为3:5，那么∠ACB 的度数是多少？
B
C
D
A
3.已知：点D 是射线AP 上的一点，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE ＝DF .
求证：AP 平分∠BAC .
B
D P
C
F
E
A
B
E
D
C
A。