2015高考数学二轮复习热点题型-概率与统计
2015年高考数学真题分类汇编：专题(11)概率和统计(文科)及答案
2015年高考数学真题分类汇编专题11 概率和统计文1.【2015高考新课标1，文4】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）（A）310（B）15（C）110（D）120【答案】C【解析】从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为110，故选C.【考点定位】古典概型【名师点睛】求解古典概型问题的关键是找出样本空间中的基本事件数及所求事件包含的基本事件数，常用方法有列举法、树状图法、列表法法等，所求事件包含的基本事件数与样本空间包含的基本事件数的比值就是所求事件的概率.2.【2015高考重庆，文4】重庆市2013年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如下0 8 91 2 5 82 0 03 3 83 1 2则这组数据中的中位数是（）(A) 19 (B) 20 (C ) 21.5 (D )23【答案】B【解析】由茎叶图可知总共12个数据，处在正中间的两个数是第六和第七个数，它们都是20，由中位数的定义可知：其中位数就是20，故选B.【考点定位】茎叶图与中位数.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.3.【2015高考四川，文3】某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )(A )抽签法 (B )系统抽样法 (C )分层抽样法 (D )随机数法 【答案】C【解析】按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样.选C【考点定位】本题考查几种抽样方法的概念、适用范围的判断，考查应用数学方法解决实际问题的能力.【名师点睛】样本抽样是现实生活中常见的事件，一般地，抽签法和随机数表法适用于样本总体较少的抽样，系统抽样法适用于要将样本总体均衡地分为n 个部分，从每一部分中按规则抽取一个个体；分层抽样法则是当总体明显的分为几个层次时，在每一个层次中按照相同的比例抽取抽取样本.本题条件适合于分层抽样的条件，故应选用分层抽样法.属于简单题. 4.【2015高考陕西，文2】某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）A ．93B ．123C ．137D ．167（高中部）（初中部）男男女女60%70%【答案】C【解析】由图可知该校女教师的人数为11070%150(160%)7760137⨯+⨯-=+=，故答案选C .【考点定位】概率与统计.【名师点睛】1.扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表各部分数量占总数的百分数.2.通过扇形图可以很清晰地表示各部分数量同总数之间的关系.5.【2015高考湖南，文2】在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图I 所示;若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为( )A 、3B 、4C 、5D 、6 【答案】B【解析】根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间[139，151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取207435⨯= (人),故选B.【考点定位】茎叶图【名师点睛】系统抽样是指当总体中个数较多时，将总体分成均衡的几部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本的抽样方法，其实质为等距抽样. 茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．缺点为不能直接反映总体的分布情况. 由数据集中情况可以估计平均数大小，再根据其分散程度可以估测方差大小．6.【2015高考山东，文6】为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( ) （A ）①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④ 【答案】B【解析】甲地数据为：26,28,29,31,31；乙地数据为：28,29,30,31,32； 所以，2628293131295x ++++==甲，2829303132305x ++++==乙，2222221s [(2629)(2829)(2929)(3129)(3129)] 3.65=-+-+-+-+-=甲，2222221s [(2830)(2930)(3030)(3130)(3230)]25=-+-+-+-+-=乙，即正确的有①④，故选B .【考点定位】1.茎叶图；2.平均数、方差、标准差.【名师点睛】本题考查茎叶图的概念以及平均数、方差、标准差的概念及其计算，解答本题的关键，是记清公式，细心计算.本题属于基础题，较全面地考查了统计的基础知识.7.【2015高考湖北，文2】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石 【答案】B .【解析】设这批米内夹谷的个数为x ，则由题意并结合简单随机抽样可知，282541534x=，即281534169254x =⨯≈，故应选B . 【考点定位】本题考查简单的随机抽样，涉及近似计算.【名师点睛】本题以数学史为背景，重点考查简单的随机抽样及其特点，通过样本频率估算总体频率，虽然简单，但仍能体现方程的数学思想在解题中的应用，能较好考查学生基础知识的识记能力和估算能力、实际应用能力.8.【2015高考山东，文7】在区间[]0,2上随机地取一个数x ,则事件“121-1log 2x ≤+≤（）1”发生的概率为( ) （A ）34 （B ）23 （C ）13 （D ）14【答案】A【解析】由121-1log 2x ≤+≤（）1得，11122211113log 2log log ,2,022222x x x ≤+≤≤+≤≤≤（），所以，由几何概型概率的计算公式得，332204P -==-，故选A . 【考点定位】1.几何概型；2.对数函数的性质.【名师点睛】本题考查几何概型及对数函数的性质，在理解几何概型概率计算方法的前提下，解答本题的关键，是利用对数函数的单调性，求得事件发生的x 范围. 本题属于小综合题，较好地考查了几何概型、对数函数等基础知识.9.【2015高考陕西，文12】 设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率（ ）A ．3142π+ B ． 112π+ C ．1142π- D ． 112π- 【答案】C【解析】2222(1)||(1)1(1)1z x yi z x y x y =-+⇒=-+≤⇒-+≤如图可求得(1,1)A ,(1,0)B ，阴影面积等于21111114242ππ⨯-⨯⨯=-， 若||1z ≤，则y x ≥的概率211142142πππ-=-⨯，故答案选C 【考点定位】1.复数的模长；2.几何概型.【名师点睛】1.本题考查复数的模长和几何概型，利用z a bi =+22||z a b ⇒=+把此题转化成几何概型，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.2.求几何概型，一般先要求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件A 构成区域长度（面积或体积），最后再代入几何概型的概率公式求解；求几何概型概率时，一定要分清“试验”和“事件”，这样才能找准基本事件构成的区域长度（面积或体积）.3.本题属于题，注意运算的准确性.10.【2015高考湖北，文8】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ） A ．1212p p << B ．1212p p << C ．2112p p <<D ．2112p p << 【答案】B .【解析】由题意知，事件“12x y +≤”的概率为11111222118p ⨯⨯==⨯，事件“12xy ≤”的概率02S p S =，其中11021111(1ln 2)222S dx x=⨯+=+⎰，111S =⨯=，所以0 21(1ln2)11 2(1ln2)1122S pS +===+>⨯，故应选B.【考点定位】本题考查几何概型和微积分基本定理，涉及二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域.【名师点睛】以几何概型为依托，融合定积分的几何意义、二元一次不等式所表示的区域和反比例函数所表示的区域等内容，充分体现了转化的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生灵活运用基础知识解决实际问题的能力.11.【2015高考广东，文7】已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1【答案】B【考点定位】古典概型．【名师点晴】本题主要考查的是古典概型，属于容易题．解题时要抓住重要字眼“恰有”，否则很容易出现错误．列举基本事件一定要注意按顺序列举，做到不重不漏，防止出现错误．解本题需要掌握的知识点是古典概型概率公式，即()AP A=包含的基本事件的个数基本事件的总数．12.【2015高考湖北，文4】已知变量x和y满足关系0.11y x=-+，变量y与z正相关. 下列结论中正确的是（）A．x与y负相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y正相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关【答案】A .【解析】因为变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，其中0.10-<，所以x 与y 成负相关；又因为变量y 与z 正相关，不妨设z ky b =+(0)k >，则将0.11y x =-+代入即可得到：(0.11)0.1()z k x b kx k b =-++=-++，所以0.10k -<，所以x 与z 负相关，综上可知，应选A .【考点定位】本题考查正相关、负相关，涉及线性回归方程的内容.【名师点睛】将正相关、负相关、线性回归方程等联系起来，充分体现了方程思想在线性回归方程中的应用，能较好的考查学生运用基础知识的能力.其易错点有二：其一，未能准确理解正相关与负相关的定义；其二，不能准确的将正相关与负相关问题进行转化为直线斜率大于和小于0的问题.13.【2015高考福建，文8】如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)．且点C 与点D 在函数1,0()11,02x x f x x x +≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩的图像上．若在矩形ABCD 内随机 取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（ ） A ．16 B ．14 C ．38 D ．12【答案】B【解析】由已知得(1,0)B ，(1,2)C ，(2,2)D -，(0,1)F ．则矩形面积为326⨯=，阴影部分面积为133122⨯⨯=，故该点取自阴影部分的概率等于31264=．【考点定位】几何概型．【名师点睛】本题考查几何概型，当实验结果由等可能的无限多个结果组成时，利用古典概型求概率显然是不可能的，可以将所求概率转化为长度的比值（一个变量）、面积的比值（两个变量）、体积的比值（三个变量或根据实际意义）来求，属于中档题．14.【2015高考北京，文4】某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（ ）A ．90B ．100 C ．180 D ．300 类别 人数老年教师900xyOBCDAF中年教师 1800 青年教师 1600 合计 4300【答案】C【解析】由题意，总体中青年教师与老年教师比例为1600169009=；设样本中老年教师的人数为x ，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即320169x =，解得180x =，故选C. 【考点定位】分层抽样.【名师点晴】本题主要考查的是分层抽样，属于容易题．解题时一定要清楚“320”是指抽取前的人数还是指抽取后的人数，否则容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是分层抽样，即抽取比例=样本容量总体容量．15.【2015高考重庆，文15】在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程22320x px p 有两个负根的概率为________. 【答案】32【解析】方程22320xpx p 有两个负根的充要条件是2121244(32)020320p p x x p x x p ⎧∆=--≥⎪+=-<⎨⎪=->⎩即21,3p <≤或2p ≥，又因为[0,5]p ∈，所以使方程22320x px p 有两个负根的p 的取值范围为2(,1][2,5]3，故所求的概率2(1)(52)23503-+-=-，故填：32. 【考点定位】几何概率.【名师点睛】本题考查几何概率及一元二次方程实根的分布，首先将方程22320x px p 有两个负根的充要条件找出来，求出p 的取值范围，再利用几何概率公式求解，本题属于中档题，注意运算的准确性.16.【2015高考湖北，文14】某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000.【解析】由频率分布直方图及频率和等于1可得0.20.10.80.1 1.50.120.1 2.50.10.11a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解之得3a =.于是消费金额在区间[0.5,0.9]内频率为0.20.10.80.120.130.10.6⨯+⨯+⨯+⨯=，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为：0.6100006000⨯=，故应填3；6000. 【考点定位】本题考查频率分布直方图，属基础题.【名师点睛】以实际问题为背景，重点考查频率分布直方图，灵活运用频率直方图的规律解决实际问题，能较好的考查学生基本知识的识记能力和灵活运用能力.17.【2015高考广东，文12】已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为 ．【答案】11【解析】因为样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，所以样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为2125111x +=⨯+=，所以答案应填：11．【考点定位】均值的性质．【名师点晴】本题主要考查的是均值的性质，属于容易题．解本题需要掌握的知识点是均值和方差的性质，即数据1x ，2x ，，n x 的均值为x ，方差为2s ，则（1）数据1x a ±，2x a ±，，n x a ±的均值为x a ±，方差为2s ；（2）数据1kx ，2kx ，，n kx 的均值为kx ，方差为22k s ；（3）数据1kx a ±，2kx a ±，，n kx a ±的均值为kx a ±，方差为22k s ．18.【2015高考北京，文14】高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是．【答案】乙；数学【解析】①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙.②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学.【考点定位】散点图.【名师点晴】本题主要考查的是散点图，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“语文”和“更”，否则很容易出现错误．解此类图象题一定要观察仔细，分析透彻，提取必要的信息．19.【2015高考福建，文13】某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______．【答案】25【解析】由题意得抽样比例为45190020=，故应抽取的男生人数为15002520⨯=．【考点】分层抽样．【名师点睛】本题考查抽样方法，要搞清楚三种抽样方法的区别和联系，其中分层抽样是按比例抽样；系统抽样是等距离抽样，属于基础题．20.【2015高考安徽，文17】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50],[50,60],,[80,90],[90,100]（Ⅰ）求频率分布图中a的值；（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（Ⅲ）从评分在[40,60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50]的概率.【答案】（Ⅰ）0.006；（Ⅱ）0.4；（Ⅲ）110【解析】（Ⅰ）因为110)028.02022.00018.0004.0(=⨯+⨯+++a ，所以006.0=a（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为4.010)018.0022.0(=⨯+，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.（Ⅲ）受访职工评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即为321,,A A A ; 受访职工评分在[40,50)的有： 50×0.004×40＝2（人），即为21,B B .从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{}{}{}{},,,,,,,,21113121B A B A A A A A{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,2123132212312B B B A B A B A B A A A 又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{}21,B B ，故所求的概率为101=p . 【考点定位】本题主要考查了频率分布直方图、概率和频率的关系、古典概型等基础知识. 【名师点睛】利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重、漏的情况.21.【2015高考北京，文17】（本小题满分13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁100 √ × √ √ 217× √ × √ 200 √ √ √ × 300√ × √ × 85 √ × × × 98×√××（I ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（II ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率；（III ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？ 【答案】（I ）0.2；（II ）0.3；（III ）同时购买丙的可能性最大. 【解析】试题分析：本题主要考查统计表、概率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（I ）由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数200，计算出概率；（II ）先由统计表读出顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的人数100200+，再计算概率；（III ）由统计表读出顾客同时购买甲和乙的人数为200，顾客同时购买甲和丙的人数为100200300++，顾客同时购买甲和丁的人数为100，分别计算出概率，再通过比较大小得出结论.试题解析：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000=. （Ⅱ）从统计表可以看出，在在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=.（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.21000=， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003000.61000++=，商品顾 客人 数顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000.11000=， 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大. 考点：统计表、概率.【名师点晴】本题主要考查的是统计表和古典概型，属于中档题．解题时一定要抓住重要字眼“估计”和“最大”，否则很容易失分．解此类统计表的试题一定要理解透彻题意，提取必要的信息．解本题需要掌握的知识点是古典概型概率公式，即()A P A =包含的基本事件的个数基本事件的总数．22.【2015高考福建，文18】全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．组号分组 频数 1 [4,5) 2 2 [5,6) 8 3 [6,7) 7 4[7,8]3（Ⅰ）现从融合指数在[4,5)和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[]7,8的概率；（Ⅱ）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数． 【答案】（Ⅰ）910；（Ⅱ）6.05． 【解析】解法一：（I ）融合指数在[]7,8内的“省级卫视新闻台”记为1A ，2A ，3A ；融合指数在[)4,5内的“省级卫视新闻台”记为1B ，2B ．从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10个．其中，至少有1家融合指数在[]7,8内的基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，共9个．所以所求的概率910P =． （II ）这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于28734.5 5.5 6.57.5 6.0520202020⨯+⨯+⨯+⨯=． 解法二：（I ）融合指数在[]7,8内的“省级卫视新闻台”记为1A ，2A ，3A ；融合指数在[)4,5内的“省级卫视新闻台”记为1B ，2B ．从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10个．其中，没有1家融合指数在[]7,8内的基本事件是：{}12,B B ，共1个． 所以所求的概率1911010P =-=． （II ）同解法一．【考点定位】1、古典概型；2、平均值．【名师点睛】本题考差古典概型和平均数，利用古典概型的“等可能”“有限”性的特点，能方便的求出概率．由实际意义构造古典概型，首先确定试验的样本空间结构并计算它所含样本点总数，然后再求出事件A 所含基本事件个数，代入古典概型的概率计算公式；根据频率分布表求平均数，对于每组的若干个数可以采取区间中点值作为该组数据的数值，再求平均数．23.【2015高考广东，文17】（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？ 【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5． 【解析】试题分析：（1）由频率之和等于1可得x 的值；（2）由最高矩形的横坐标中点可得众数，由频率之和等于0.5可得中位数；（3）先计算出月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的用户的户数，再计算抽取比例，进而可得月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取的户数．试题解析：（1）由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=得：0.0075x =，所以直方图中x 的值是0.0075（2）月平均用电量的众数是2202402302+= 因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，所以月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为a ，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=得：224a =，所以月平均用电量的中位数是224（3）月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=户，月平均用电量为[)240,260的用户有0.00752010015⨯⨯=户，月平均用电量为[)260,280的用户有0.0052010010⨯⨯=户，月平均用电量为[]280,300的用户有0.0025201005⨯⨯=户，抽取比例11125151055==+++，所以月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取12555⨯=户 考点：1、频率分布直方图；2、样本的数字特征（众数、中位数）；3、分层抽样.【名师点晴】本题主要考查的是频率分布直方图、样本的数字特征（众数、中位数）和分层抽样，属于中档题．解题时一定要注意频率分布直方图的纵轴是频率组距，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是频率分布直方图、样本的数字特征（众数、中位数）和分层抽样，即在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1，众数是最高矩形的横坐标中点，中位数左边和右边的直方图的面积相等，=⨯频率频率组距组距，=样本容量抽取比例总体容量． 24.【2015高考湖南，文16】（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球12,A A 和1个白球B 的甲箱与装有2个红球12,a a 和2个白球12,b b 的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。
2015年高考理数专题复习---概率统计(解析版)
2015年高考理数专题复习---概率统计预测2013年高考中，本节的内容还是一个重点考查的内容，因为这部分内容与实际生活联系比较大，随着新课改的深入，高考将越来越重视这部分的内容，排列、组合、概率、统计都将是重点考查内容，至少会考查其中的两种类型。
（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。
（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。
这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。
复习建议在复习中，要注意理解变量的多样性，深化函数的思想方法在实际问题中的应用，充分注意一些概念的实际意义，理解概率中处理问题的基本思想方法，掌握所学概率知识的实际应用.1.把握基本题型应用本章知识要解决的题型主要分两大类：一类是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列以及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值的概率及期望、方差的求解计算；另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体.作为本章知识的一个综合应用，教材以实习作业作为一节给出，应给予足够的重视.2.强化双基训练主要是培养扎实的基础知识，迅捷准确的运算能力，严谨的判断推理能力.3.强化方法选择特别在教学中要掌握思维过程，引导学生发现解决问题的方法，达到举一反三的目的，还要进行题后反思，使学生在大脑记忆中构建良好的数学认知结构，形成条理化、有序化、网络化的有机体系.4.培养应用意识要挖掘知识之间的内在联系，从形式结构、数字特征、图形图表的位置特点等方面进行联想和试验，找到知识的“结点”.再有就是将实际问题转化为纯数学问题进行训练，以培养利用所学知识解决实际问题的能力.母题一：5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求：（1）甲中奖的概率；（2）甲、乙都中奖的概率； （3）只有乙中奖的概率； （4）乙中奖的概率.母题二：某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”则该课程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响.（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（2）求这三人该课程考核都合格的概率（结果保留三位小数）.母题三：某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）.若安检不合格，则必须整改，若整改后经复查仍不合格，则强制关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）： （1）恰好有两家煤矿必须整改的概率；（2）至少关闭一家煤矿的概率.母题四：袋中有3个白球，3个红球和5个黑球.从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分.求所得分数 的分布列.母题五:.A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用A有效的小白2，服鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组.设每一只小白鼠服用A有效的概率为31. （1）求一个试验组为甲类组的概率；（2）观察3个试验组，用ξ表示这3用B有效的概率为2个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望.7 8 99 4 4 6 4 7 3高考模拟1．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是( )（A ）8，8 （B ）10，6 （C ）9，7 （D ）12，4【答案】C2.右图是 2011年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A.84,4.84B. 84,1.6C. 85,1.6D. 85,4【答案】C 【解析】2580855x =+=,244 1.6.5s +== 3.如图，矩形O A B C 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0,f x x x π=∈及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是( ) A .712π B.23π C .34π D.56π 【答案】B【答案】A6．右图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约（ ） A ．523 B ．521 C ．519 D ．516 【答案】A 7．设一直角三角形两直角边的长均是区间（0，1）的随机数，则斜边的长小于34的概率为（ ） A ．964 B ．964π C ．916π D ．916【答案】B8．已知椭圆2214x y +=的焦点为12,F F ，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作垂直于A 1A 2的直线交椭圆于点P ，则使得120PF PF ⋅< 的点M 的概率为（ ）A B C D ．12【答案】B9.在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为160,则中间一组（即第五组）的频数为（）A.12B.24C.36D.48【答案】C10．盒子中放有编号为1,2,3,4,5的形状和大小完全相同的5个白球和5个黑球，则取出球的编号互不相同的概率为（）A．115B．112C．12D．23【答案】D【解析】32352180.33243 P C⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：则这种卉的平均花期为__ _天．【答案】16天（15.9天给满分）16．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)4050，，[)5060，，…，[]90100，后得到如下图的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[)4050，与[]90100，两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率。
2015届高三数学二轮复习(新课标)-概率与统计综合题(文
(文)二、概率与统计综合题概率解答题为每年高考的必考内容，主要考查互斥事件和对立事件的关系、古典概型和几何概型．要求学生能准确理解题意，迅速确定是古典概型还是几何概型，然后用概率公式求解．对于古典概型，要准确列出所有基本事件的个数和所求事件包含的基本事件个数．对于几何概型，一定要明确其与面积(体积、长度等)的关系．对于较复杂的问题，可以借助于图形和表格帮助分析．阅卷案例2 (2014·山东济南一模)一个袋中装有五个形状、大小完全相同的球，其中有两个红球，三个白球．(1)从袋中随机取两个球，求取出的两个球颜色不同的概率；(2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求两次取出的球中至少有一个红球的概率．审题(1切入点：转化为古典概型的概率计算．关注点：分别准确列出随机取两个球及两个球颜色不同的可能结果．(2)切入点：转化为古典概型的概率计算．关注点：分别准确列出第一次取出一球，放回后再取出一球及两次取出的球中至少有一个红球的数．解题【解】 (1)两个红球记为a 1，a 2，三个白球记为b 1，b 2，b 3，从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)共10个．(2分)设事件A 为“取出的两个球颜色不同”，A 中的基本事件有：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)共6个．(4分)P (A )＝610＝35.(6分) (2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 2，b 1)，(b 2，b 2)，(b 2，b 3)，(b 3，a 1)，(b 3，a 2)，(b 3，b 1)，(b 3，b 2)，(b 3，b 3)共25个．(8分)设事件B 为“两次取出的球中至少有一个红球”，B 中的基本事件有：(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 3，a 1)，(b 3，a 2)共16个．(10分)P (B )＝1625.(12分)阅卷现场评分细则第(1)问得分点及说明得分点：①表示出“随机取两个球”的所有结果，得2分；②表示出“两个球颜色不同”的所有结果，得2分；③运用古典概型公式并计算P (A )＝35，得2分． 说明：求“随机取两个球”或“两个球颜色不同”的所有可能结果没有求对，不得分． 第(2)问得分点及说明得分点：①表示出“先取出一球，放回后再取出一球”的所有结果，得2分；②表示出“两次取出的球中至少有一个红球”的所有结果，得2分；③运用古典概型公式并计算P (B )＝1625得2分． 说明：求“先取出一对，放回后再取出一对”或“两次取出的球中至少有一个红球”的所有可能结果没有求对，不得分．满分规则规则1得步骤分：是得分点的步骤，有则给分，无则没分如第(1)问中或第(2)问中都是按照“三步曲”来完成．先求分母，再求分子，最后代入古典概型公式．规则2得关键分：解题过程的关键点，有则给分，无则没分如第(1)问中或第(2)中红球经得a1，a2；白球经得b1，b2，b3.及思考问题中一个放回和一个不放回．规则3规范答题得分：概率问题一般都有实际背景，解答时要将复杂事件拆分为简单事件，不可以只给出一些表达式，忽略文字解析所以本题解答中的每一问都需按照如下形式：一改→二列分母→三列分子→四代X公式→五总结．阅卷心得狠抓基础保成绩，分步解决克难题通过高考阅卷，可以看出学生基础知识的掌握和计算能力非常薄弱．例如，数学概念不清楚，不能准确地理解数学语言，证明推理能力弱，缺乏思维的严谨性，运算能力差，数学过程的表述过于简单．这就告诉我们，在考前的关键阶段，要把常用的基础知识把握准．题目再难，每个题目中的条件总是可以推导出结论的，哪怕只推导出一个结论，也可能是得分点．如根据法则和公式进行正确运算、变形等．总之，考场答题重点要突出，过程以踩点、清晰、完整、工整、简洁为佳．变题2．(2014·安徽江南十校联考)某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2 000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于60分到140分之间(满分150分)，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[60,70)，第二组[70,80)，……，第八组：[130,140]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．(1)求第七组的频率，并完成频率分布直方图；(2)估计该校的2 000名学生这次考试成绩的平均分(可用中值代替各组数据平均值)；(3)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差大于10分的概率．解：(1)由频率分布直方图知第七组的频率f7＝1－(0.004＋0.012＋0.016＋0.03＋0.02＋0.006＋0.004)×10＝0.08.直方图如图．(2)估计该校的2 000名学生这次考试的平均成绩为：65×0.04＋75×0.12＋85×0.16＋95×0.3＋105×0.2＋1 15×0.06＋125×0.08＋135×0.04＝97(分)．(3)第六组有学生3人，分别记作A1，A2，A3，第八组有学生2人，分别记作B1，B2，则从中任取2人的所有基本事件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，共10个．分差大于10分表示所选2人来自不同组，其基本事件有6个：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，所以从中任意抽取2人，分差大于10分的概率P＝610＝35.。
2015高考数学复习资料考点热点讲解练习测试专题18概率与统计大题(文)(新课标版)
率分布直方图、茎叶图、平均数、方差是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题考
查知识点较单一，解答题考查得较为全面，常常和概率、
平均数等知识结合在一起，考查学生应用知识解
决问题的能力．独立性检验、回归分析高考对此部分内容考查较少，主要是以小题形式考查独立性检验、
回归分析为主，并借助解决一些简单的实际问题来考查一些基本的统计思想，在高考中多为选择、填空题， 也有解答题出现． ，根据近三年高考趋势预测 2015 年高考，频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差仍然
图上的中位数左右两侧的直方图面积应该相等，因而可以估计其近似值．平均数的估计值等于频率分布直 方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
7．方差、标准差(1) 设样本数来自为x1， x2，, ，
xn 样本平均数为
－x ，则
s2＝ 1[( n
x1－ －x ) 2＋( x2－ －x ) 2＋, ＋
一般地，如果事件 A1, A2 , , An中的任何两个都是互斥的，那么就说事件
A1, A2, , An 彼此互斥 .
对立事件：若不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；即
A B 为不可能事件，而
A B 为必然事件，那么事件 A 与事件 B 互为对立事件，其含义是：事件 A 与事件 B 在任何一次试验中
热点十八
【名师精讲指南篇】
【高考真题再现】
概率与统计大题（文）
1. 【 2012 新课标全国】某花店每天以每枝 5 元的价 格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝
出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理
.
10 元的 价格
（ 1）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，求当天的利润 y ( 单位：元 ) 关于当天需求量 n （单位：枝， n N ）
2015高考数学(理)(江西)二轮专题补偿练：概率与统计
补偿练10 概率与统计(建议用时：40分钟)一、选择题1．将参加夏令营的编号为1,2,3，…，52的52名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号为 ( )．A ．3B ．12C ．16D ．19解析 把52人分成4组，每组13人，第一组抽6号，则第二组抽19号，故未知的学生编号是19. 答案 D2．如图是2014年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为( )．A ．85,84B ．84,85C ．86,84D ．84,86解析 由图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,84,86,87.∴平均数为84＋84＋84＋86＋875＝85，众数为84.答案 A3．某大学对1 000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图)，则这1 000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是( )．A ．300B ．400C ．500D ．600解析 依题意得，题中的1 000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是1 000×(0.035＋0.015＋0.010)×10＝600. 答案 D4，PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是 ( )．A ．甲B ．乙C ．甲、乙相等D ．无法确定解析 从茎叶图上可以观察到：甲监测点的样本数据比乙监测点的样本数据更加集中，因此甲地浓度的方差较小． 答案 A5．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a^的值是( )．A. B ．18 C.14 D ．12解析 由题意知x ＝34，y ＝38，故样本中心为(34，38)，代入回归直线方程y ^＝13x ＋a^，得a ^＝18. 答案 B6．在(x 2－1x )5的二项展开式中，第二项的系数为 ( )．A ．10B ．－10C ．5D ．－5解析 (x 2－1x )5的展开式的通项是T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 5(－1)r x 10－3r .令r ＝1，则第二项的系数是C 15(－1)1＝－5.答案 D7．从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a ，b ，使得a 2≥4b 的概率是 ( )．A.13 B ．512 C.12D ．712解析 从1,2,3,4这四个数字中依次取两个数a ，b 的基本事件有： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)(4,3)，共12个，其中符合a 2≥4b 的事件有6个，故所求概率为P ＝612＝12. 答案 C8．已知变量x 服从正态分布N (4，σ2)，且P (x ≥2)＝0.6，则P (x ＞6)＝ ( )． A ．0.4 B ．0.3 C ．0.2D ．0.1解析 依题意得，P (x ＞6)＝P (x ＜2)＝1－P (x ≥2) ＝1－0.6＝0.4. 答案 A9．航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )．A ．12种B ．16种C ．24种D ．36种解析 当甲排在边上时，有2A 33＝12种方法；当甲不排在边上时，有12A 22＝24种方法，这样一共有12＋24＝36种不同的着舰方法． 答案 D10．向边长分别为5,6，13的三角形区域内随机投一点M ，则该点M 与三角形三个顶点距离都大于1的概率为( )．A ．1－π18B ．1－π12 C ．1－π9D ．1－π4解析 在△ABC 中，设AB ＝5，BC ＝6，AC ＝13，则cos B ＝52＋62－(13)22×5×6＝45，则sin B ＝35，S △ABC ＝12×5×6×35＝9，分别以A ，B ，C 为圆心，以1为半径作圆，则三个扇形面积之和为以1为半径的半圆，故所求概率为S △ABC －12×π×12S △ABC＝1－π18.答案 A11．在一次学习方法成果交流会上，需要交流示范学校的5篇论文和非示范学校的3篇论文，交流顺序可以是任意的，则最先和最后交流的论文不能来自同类学校的概率是 ( )．A.1528 B ．1328 C.1556D ．1356解析 最先和最后交流为示范学校论文的情况有A 25A 66种，最先和最后交流为非示范学校论文的情况有A 23A 66种，故所求概率P ＝1－A 25A 66＋A 23A 66A 88＝1528.答案 A12．一个五位自然数a1a2a3a4a5，a i∈{0,1,2,3,4,5}，i＝1,2,3,4,5，当且仅当a1＞a2＞a3，a3＜a4＜a5时称为“凹数”(如32 014,53 134等)，则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为()．A．110 B．137C．145 D．146解析分四种情况进行讨论：(1)a3是0，a1和a2有C25种排法，a4和a5有C25种排法，则五位自然数中“凹数”有C25C25＝100个；(2)a3是1，有C24C24＝36个；(3)a3是2，有C23C23＝9个；(4)a3是3，有C22C22＝1个，由分类加法计数原理知五位自然数中“凹数”共有100＋36＋9＋1＝146个．答案 D二、填空题13．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．解析第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1020×0.5＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015.答案50,101514．投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1,2,3,4,5,6)一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为________．解析抛掷两颗相同的正方体骰子共有6×6＝36种等可能的结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)．点数积等于12的结果有：(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4种，故所求事件的概率为436＝19.答案1 915．若(2x＋ax)4(a＞0)的展开式中常数项为96，则实数a等于______．解析(2x＋ax)4的展开式通项为C r4(2x)4－r(ax)r＝24－r a r C r4x4－2r，令4－2r＝0，得r＝2，∴22a2C24＝96，∴a2＝4，∴a＝2.答案 216．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有________种．解析若大一的孪生姐妹乘坐甲车，则此时甲车中的另外2人分别来自不同年级，有C13C12C12＝12(种)；若大一的孪生姐妹不乘坐甲车，则2名同学来自一个年级，另外2名分别来自两个年级，有C13C12C12＝12(种)，共有24种．答案24。
2015年高考数学二轮专题六 第三讲 概率、统计与统计案例
[解析]
∵阴影部分面积为 16 SE ＝ ， ∴该点落在 E 中的概率 P＝ ＝ 3 SD
2 1 3 2 2 SE＝ x dx＝ x 3 －2 － 2
16 3 1 ＝ . 42 3
[答案]
1 3
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84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 58 07 13 42 83 92 12 06 76 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 44 39 52 38 79 99 66 02 79 54 63 01 63 78 59
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热点一 古典概型与几何概型
高考对该部分的考查，主要是以选择题或填空题的 形式考查古典概型或者几何概型的计算，在解答题中和 随机变量综合作为解决问题的工具进行考查.
专题六 第三讲
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(2)分层抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层，实质 是等比例抽样，求解此类问题需先求出抽样比——样本容量与 总体容量的比，则各层所抽取的样本容量等于该层个体总数与 抽样比的乘积．
2015年高考数学理真题分项解析：专题12-概率和统计
专题十二 概率和统计1.【2015高考重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下：0891258200338312则这组数据的中位数是（ ）A 、19B 、20C 、21.5D 、23 【答案】B .2.【2015高考广东，理4】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。
从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ） A ．1 B. 2111 C. 2110 D. 215 【答案】B ．3.【2015高考新课标1，理4】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )（A ）0.648 （B ）0.432（C ）0.36（D ）0.312【答案】A4.【2015高考陕西，理11】设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（ ） A ．3142π+ B ．1142π- C ．112π- D ．112π+ 【答案】B5.【2015高考陕西，理2】某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为 （ ）A ．167B ．137C ．123D ．93【答案】B6.【2015高考湖北，理2】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石 【答案】B7.【2015高考安徽，理6】若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准 差为（ ）（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32 【答案】C8.【2015高考湖北，理4】设211(,)X N μσ ，222(,)Y N μσ ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥【答案】C9.【2015高考福建，理4】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y （万元）6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+ ，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元 【答案】B10.【2015高考湖北，理7】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ）A ．123p p p <<B ．231p p p <<C ．312p p p <<D ．321p p p <<【答案】B11.【2015高考山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ ，则()68.26%P μσξμσ-<<+= ，()2295.44%P μσξμσ-<<+=。
2015年高考数学二轮专题六 第四讲 高考中的概率与统计(解答题型)
专题六 第四讲
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故X的分布列为 X P 1 17 42 2 43 84 3 1 12
17 43 1 47 从而E(X)＝1×42＋2×84＋3×12＝28.
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Z主干知识整合
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主干整合 1．独立重复试验的概率公式
k n－k Pn(k)＝Ck p (1 － p ) ，k＝0,1,2，„，n. n
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3 1 1 1 － P(X＝12)＝P(A B C)＝ × × ＝ ， 4 2 3 8 － － P(X＝13)＝P(AB＋ A BC)＝P(AB)＋P( A BC) 3 1 1 1 1 5 ＝4×2＋4×2×3＝12. ∴X的分布列为 X P 6 1 8 7 1 4 8 1 12 12 1 8 13 5 12
2．超几何分布的概率 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰
k n －k Cm CN－M 有X件次品，则事件(X＝k)发生的概率为P(x＝k)＝ (k＝ Cn N
0,1,2，„，m)(m≤M，m≤n，M≤N)．
【高考解码】(新课标)2015届高考数学二轮复习 概率与统计综合题1 文
【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习概率与统计综合题1 文5．(2014·某某高考)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学 A B C女同学X Y Z现从这6)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．【解】(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．因此，事件M发生的概率P(M)＝615＝25.6．(2014·某某潍坊一模)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？【解】如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积πR2(R为圆盘的半径)，阴影区域的面积为4×15πR2360＝πR26.∴在甲商场中奖的概率为P1＝πR26πR2＝16.如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a1，a2，a3,3个红球为b1，b2，b3，记(x，y)为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共15种．摸到的2球都是红球的情况有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共3种．∴在乙商场中奖的概率为P2＝315＝15.∴P1<P2，∴顾客在乙商场中奖的可能性大．7．(2014·东北三校联考)某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API的API[0,50](50,100](100,150](150,200][200,250](250,300]>300 空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失S (单位：元)与空气质量指数API(记为w )的关系式为：S ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，0≤w ≤100，4w －400，100<w ≤300，2 000，w >300.试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率；(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染．完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？非重度污染 重度污染 合计供暖季非供暖季合计 100附：P (K 2≥k 0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d【解】 (1)设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元”为事件A ，由200<S ≤600，得150<w ≤250.频数为39，P (A )＝39100. (2)根据题中数据得到如下列联表：非重度污染 重度污染 合计供暖季 22 8 30非供暖季 63 7 70合计 85 15 100K 2的观测值k ＝100×63×8－22×7285×15×30×70≈4.575>3.841， 所以有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关．8．(2014·某某某某一模)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗x 3 4 5 6y 2.5 3 4 4.5(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？【解】 (1)如图所示：(2)∑i ＝14x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x －＝3＋4＋5＋64＝4.5， y －＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5， ∑i ＝14x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86， b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52 ＝66.5－6386－81＝0.7， a ^＝y ^－b ^x －＝3.5－0.7×4.5＝0.35.故线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)根据回归方程预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，故能耗减少了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．。
【志鸿优化设计】2015高考数学+二轮总复习【专项能力训练课件】专题19+概率与统计
=
10 ������ +10a
= ������ +a=1+a.
关闭
A
解析
答案
第七部分
能力目标解读 热点考题诠释
专题19
概率与统计 -61 2 3 4
4.(2014 天津高考,理 9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践 活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个 容量为 300 的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级 的本科生人数之比为 4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取 名 学生. 命题定位:本题考查分层抽样的定义及其应用,分层抽样题目中最核心 的是把握好层数和抽样比.
������ ������ =1
^^
������������2 ,
������ =1
∑ xiyi 等,可直接代入������和������ 的求解公式.
������
^ ^
(2)有时充分利用回归直线过样本中心点(������, ������)便可快速求出������或������ 的值.
^ ^
第七部分
16 8
A2
(方法二)周六没有同学参加公益活动即 4 位同学均在周日参加公益活 动,此时只有一种情况;同理周日没有同学参加公益活动也只有一种情况,所 以周六、周日均有同学参加公益活动的情况共有 16-2=14(种).故所求概率 为 D 16 = 8.故选 D.
解析
14 7
关闭
答案
第七部分
能力目标解读 热点考题诠释
频率 组距
=频率;
(2)各小长方形的面积之和等于 1; (3)小长方形的高=
频率 组距
,所有小长方形的高的和为
高考数学二轮复习 专题六 概率与统计 第2讲 统计与统计案例训练 文
专题六概率与统计第2讲统计与统计案例训练文一、选择题1.(2015·重庆卷)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是( )A.19B.20C.21.5D.23解析由茎叶图，把数据由小到大排列，处于中间的数为20，20，所以这组数据的中位数为20.答案B2.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( ) A.p1＝p2＜p3 B.p2＝p3＜p1C.p1＝p3＜p2D.p1＝p2＝p3解析由于三种抽样过程中每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3.答案D3.(2016·山东卷)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A.56B.60C.120D.140解析由题图知，组距为2.5，故每周的自习时间不少于22.5小时的频率为：(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，∴人数是200×0.7＝140人，故选D.答案D4.某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如下表：零件数x (个) 10 20 30 加工时间y (分钟)213039现已求得上表数据线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为( ) A.84分钟 B.94分钟 C.102分钟D.112分钟解析 由表中数据得：x ＝20，y ＝30，又b ^＝0.9，故a ^＝30－0.9×20＝12，∴y ^＝0.9x ＋12.将x ＝100代入线性回归方程，得y ^＝0.9×100＋12＝102.∴预测加工100个零件需要102分钟，故选C. 答案 C5.设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1，2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( ) A.1＋a ，4 B.1＋a ，4＋a C.1，4D.1，4＋a解析x 1＋x 2＋…＋x 1010＝1，y i ＝x i ＋a ，所以y 1，y 2，…，y 10的均值为1＋a ，方差不变仍为4.故选A. 答案 A 二、填空题6.某学校有1 200名学生，现采用系统抽样的方法抽取120人做问卷调查，将1 200人按1，2，…，1 200随机编号，则抽取的120人中，编号落入区间[241，480]的人数为________. 解析 根据系统抽样的特点知，组距为1 200120＝10，所以抽取的120人中，编号落入区间[241，480]的人数为(480－241＋1)÷10＝24. 答案 247.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两人在某5次综合测评中的成绩(均为整数)，其中一个数字模糊不清，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________.解析 由茎叶图可知，x 甲＝88＋89＋90＋91＋925＝90，设模糊不清的数字为a (0≤a ≤9，a ∈N )，则x 乙＝83＋83＋87＋90＋a ＋995＝88.4＋a5.若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则88.4＋a5≥90，解得a ≥8，所以a ＝8或a ＝9，所以甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为15.答案 158.某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系，随机抽测了20人，若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”，“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”.得以下2×2列联表：高个 非高个 总计 大脚 5 2 7 非大脚 1 12 13 总计61420则在犯错误的概率不超过________的前提下认为人的脚的大小与身高之间有关系. 附：解析 由题意得K 2的观测值k ＝20×（5×12－1×2）26×14×7×13≈8.802＞6.635.而K 2的观测值k＞6.635的概率约为0.01，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为人的脚的大小与身高之间有关系. 答案 0.01 三、解答题9.(2016·广州模拟)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？ 解 (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1得：x ＝0.007 5，所以直方图中x 的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a ，由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5得：a ＝224，所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量为[220，240]的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，月平均用电量为[240，260)的用户有0.007 5×20×100＝15(户)，月平均用电量为[260，280)的用户有0.005×20×100＝10(户)，月平均用电量为[280，300]的用户有0.002 5×20×100＝5(户)，抽取比例＝1125＋15＋10＋5＝15，所以月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取25×15＝5(户).10.(2016·四川卷)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，……，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a 的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数.说明理由； (3)估计居民月均用水量的中位数.解 (1)由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0，0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04. 同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5)等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a ＋0.5×a ， 解得a ＝0.30.(2)由(1)知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)设中位数为x 吨.因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5. 而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5. 所以2≤x <2.5.由0.50×(x －2)＝0.5－0.48，解得x ＝2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.11.(2016·北京东城模拟)在微信群中抢红包已成为一种娱乐，已知某商业调查公司对此进行了问卷调查，其中男性500人，女性400人，为了了解喜欢抢红包是否与性别有关，现采用分层抽样的方法从中抽取了45人的调查结果，并作出频数统计表如下： 表1：男性表2：女性(1)性别有关”；参考公式：K 2＝（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .临界值表：(2)从表求所选2人中至少有1人是“不喜欢”的概率. 解 (1)设从男性中抽取了m 人，则m 500＝45500＋400，m ＝25，从而知从女性中抽取了20人， ∴x ＝25－20＝5，y ＝20－18＝2. 填写完整的2×2列联表如下：而K 2＝30×15×25×20＝30×15×25×20＝8＝1.125<2.706，∵1－0.9＝0.1，P (K 2≥2.706)＝0.10，∴没有90%的把握认为“喜欢抢红包与性别有关”.(2)由(1)知表1中“一般”的有5人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，表2中“不喜欢”的有2人，分别记为a ，b ，则从中随机选取2人，不同的结果为：{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，a }，{A ，b }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，a }，{B ，b }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，a }，{C ，b }，{D ，E }，{D ，a }，{D ，b }，{E ，a }，{E ，b }，{a ，b }，共21种.设事件M 表示“所选2人中至少有1人是‘不喜欢’”，则M 为“所选2人都是‘一般’”，事件M 所包含的不同的结果为：{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{C ，D }，{C ，E }，{D ，E }，共10种.∴P (M )＝1021，故P (M )＝1－P (M )＝1－1021＝1121.。
2015届高考数学(新课标版,理)二轮复习专题讲解 课件 第四讲 高考中的概率与统计(解答题型)
1．(2014·湖南高考)某企业有甲、乙两个研发小组，他 们研发新产品成功的概率分别为23和35，现安排甲组研发新产 品 A，乙组研发新产品 B，设甲、乙两组的研发相互独立．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率； (2)若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；
这表明，获得分数 X 的均值为负， 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．
1．独立重复试验的概率公式 Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
2．超几何分布的概率
一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，
其中恰有 X 件次品，则事件(X＝k)发生的概率为 P(X＝k)＝ CkMCCnNNn－－kM(k＝0,1,2，…，m)(m≤M，m≤n，M≤N)．
(1)设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与
最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统
计的相关知识分析分数减少的原因．
解：(1)X 可能的取值为：10,20,100，－200.根据题意， 有
超几何分布问题
超几何分布是一种重要的概率分 布模型，高考经常考查．高考对 超几何分布问题的考查主要有以 下几个角度： (1)求某事件的概率； (2)利用超几何分布求事件概率后 再求离散型随机变量的均值与方 差.
[例 1] (2014·天津高考)某大学志愿者协会有 6 名男同
学，4 名女同学．在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，
X 0 100 120 220
P
2 15
3 15
2015年高考数学(新课标Ⅱ版)分项汇编专题12概率和统计(含解析)理
专题12 概率和统计一．基础题组1. 【2014新课标，理5】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0. 75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.45 【答案】A()0.6(|)0.8()0.75P A B P B A P A ⋂===，故选A.2. 【2011新课标，理4】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A 【解析】3. 【2005全国3，理5】=+--+-→)342231(lim 221x x x x n（ ） A ．21-B ．21C ．61-D ．61【答案】C 【解析】4. 【2006全国2，理16】一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图).为了分析居民的收入与年龄,学历,职业等方面的关系,要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在［2 500,3 000)(元)月收入段应抽出人.【答案】:255. 【2014全国2，理19】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =- 6. 【2011新课标，理19】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表(2)(理)已知用B 配方生产的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤≤⎨⎪≥⎩从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率) 【解析】：(1)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为2280.3100+=，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90，94)，[94，102)，[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，因此P(X＝－2)＝0.04，P(X＝2)＝0.54，P(X＝4)＝0.42，即X的分布列为X的数学期望E(X)＝－2×0.04＋2×0.54＋4×0.42＝2.68.7. 【2006全国2，理18】某批产品成箱包装,每箱5件.一用户在购进该批产品前先取出3箱,再从每箱中任意抽取2件产品进行检验.设取出的第一,二,三箱中分别有0件,1件,2件二等品,其余为一等品.(1)用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数,求ξ的分布列及ξ的数学期望;(文19(1))求抽检的6件产品中恰有一件二等品的概率;(2)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产品被用户拒绝购买的概率.8. 【2005全国3，理17】(本小题满分12分)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.9. 【2005全国2，理19】(本小题满分12分)甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6．本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．令x 为本场比赛的局数，求x 的概率分布和数学期望．(精确到0.001)3456.0)4.06.04.06.04.06.0()5(222224=⨯⨯+⨯⨯==c p ξ所以ξ的概率分布表如下所以ξ10．【2015高考新课标2，理3】根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。
2015年高考数学真题概率和统计 答案
2015年高考数学真题分类汇编 专题11 概率和统计 文20.【2015高考安徽，文17】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50],[50,60],,[80,90],[90,100]（Ⅰ）求频率分布图中a 的值；（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（Ⅲ）从评分在[40,60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50]的概率.【答案】（Ⅰ）0.006；（Ⅱ）0.4；（Ⅲ）110【解析】（Ⅰ）因为110)028.02022.00018.0004.0(=⨯+⨯+++a ，所以006.0=a（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为4.010)018.0022.0(=⨯+， 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.（Ⅲ）受访职工评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即为321,,A A A ; 受访职工评分在[40,50)的有： 50×0.004×40＝2（人），即为21,B B .从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{}{}{}{},,,,,,,,21113121B A B A A A A A{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,2123132212312B B B A B A B A B A A A 又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{}21,B B ，故所求的概率为101=p . 【考点定位】本题主要考查了频率分布直方图、概率和频率的关系、古典概型等基础知识.【名师点睛】利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重、漏的情况.21.【2015高考北京，文17】（本小题满分13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．（I ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（II ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率；（III ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？ 【答案】（I ）0.2；（II ）0.3；（III ）同时购买丙的可能性最大. 【解析】试题分析：本题主要考查统计表、概率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（I ）由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数200，计算出概率；（II ）先由统计表读出顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的人数100200+，再计算概率；（III ）由统计表读出顾客同时购买甲和乙的人数为200，顾客同时购买甲和丙的人数为100200300++，顾客同时购买甲和丁的人数为100，分别计算出概率，再通过比较大小得出结论.试题解析：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000=. （Ⅱ）从统计表可以看出，在在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=.（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.21000=， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003000.61000++=，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000.11000=，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大. 考点：统计表、概率.【名师点晴】本题主要考查的是统计表和古典概型，属于中档题．解题时一定要抓住重要字眼“估计”和“最大”，否则很容易失分．解此类统计表的试题一定要理解透彻题意，提取必要的信息．解本题需要掌握的知识点是古典概型概率公式，即()A P A =包含的基本事件的个数基本事件的总数．22.【2015高考福建，文18】全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．（Ⅰ）现从融合指数在[4,5)和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[]7,8的概率；（Ⅱ）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数． 【答案】（Ⅰ）910；（Ⅱ）6.05． 【解析】解法一：（I ）融合指数在[]7,8内的“省级卫视新闻台”记为1A ，2A ，3A ；融合指数在[)4,5内的“省级卫视新闻台”记为1B ，2B ．从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10个．其中，至少有1家融合指数在[]7,8内的基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，共9个．所以所求的概率910P =． （II ）这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于28734.5 5.5 6.57.5 6.0520202020⨯+⨯+⨯+⨯=． 解法二：（I ）融合指数在[]7,8内的“省级卫视新闻台”记为1A ，2A ，3A ；融合指数在[)4,5内的“省级卫视新闻台”记为1B ，2B ．从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10个．其中，没有1家融合指数在[]7,8内的基本事件是：{}12,B B ，共1个． 所以所求的概率1911010P =-=． （II ）同解法一．【考点定位】1、古典概型；2、平均值．【名师点睛】本题考差古典概型和平均数，利用古典概型的“等可能”“有限”性的特点，能方便的求出概率．由实际意义构造古典概型，首先确定试验的样本空间结构并计算它所含样本点总数，然后再求出事件A 所含基本事件个数，代入古典概型的概率计算公式；根据频率分布表求平均数，对于每组的若干个数可以采取区间中点值作为该组数据的数值，再求平均数．23.【2015高考广东，文17】（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？ 【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5． 【解析】试题分析：（1）由频率之和等于1可得x 的值；（2）由最高矩形的横坐标中点可得众数，由频率之和等于0.5可得中位数；（3）先计算出月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的用户的户数，再计算抽取比例，进而可得月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取的户数．试题解析：（1）由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=得：0.0075x =，所以直方图中x 的值是0.0075 （2）月平均用电量的众数是2202402302+= 因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，所以月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为a ，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=得：224a =，所以月平均用电量的中位数是224（3）月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=户，月平均用电量为[)240,260的用户有0.00752010015⨯⨯=户，月平均用电量为[)260,280的用户有0.0052010010⨯⨯=户，月平均用电量为[]280,300的用户有0.0025201005⨯⨯=户，抽取比例11125151055==+++，所以月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取12555⨯=户 考点：1、频率分布直方图；2、样本的数字特征（众数、中位数）；3、分层抽样.【名师点晴】本题主要考查的是频率分布直方图、样本的数字特征（众数、中位数）和分层抽样，属于中档题．解题时一定要注意频率分布直方图的纵轴是频率组距，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是频率分布直方图、样本的数字特征（众数、中位数）和分层抽样，即在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1，众数是最高矩形的横坐标中点，中位数左边和右边的直方图的面积相等，=⨯频率频率组距组距，=样本容量抽取比例总体容量．24.【2015高考湖南，文16】（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球12,A A 和1个白球B 的甲箱与装有2个红球12,a a 和2个白球12,b b 的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。
高考数学二轮复习 专题整合六 概率与统计 理(含最新原创题,含解析)
【创新设计】（江苏专用）2015高考数学二轮复习专题整合六概率与统计理（含最新原创题，含解析）1．(2014·湖南卷改编)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则p1，p2，p3的大小关系为________．解析由抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等．答案p1＝p2＝p32．(2012·江苏卷)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．解析由已知，高二人数占总人数的310，所以抽取人数为310×50＝15.答案153．(2014·广东卷)从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为________．解析从a，b，c，d，e中任取两个不同字母的所有基本事件为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10个，其中取到字母a的有4个，故所求概率为410＝25.答案2 54．(2014·北京顺义区统练)某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为________万元．解析 由频率分布直方图知，9时至10时的销售额的频率为0.1，故销售总额为30.1＝30(万元)，又11时至12时的销售额的频率为0.4，故销售额为0.4×30＝12万元． 答案 125．(2013·福建卷)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为________．解析 因为0≤a ≤1，由3a －1>0得13<a ≤1，由几何概型概率公式得事件“3a －1>0”发生的概率为1－131＝23.答案 236．从甲、乙、丙等5名候选学生中选2名作为青年志愿者，则甲、乙、丙中有2个被选中的概率为________．解析 因为从5名候选学生中任选2名学生的方法共有10种，而甲、乙、丙中有2个被选中的方法有3种，所以甲、乙、丙中有2个被选中的概率为310.答案3107. 为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为________．解析 平均数x ＝14＋17＋18＋18＋20＋216＝18，故方差s 2＝16[(－4)2＋(－1)2＋02＋02＋22＋32)]＝5. 答案 58．(2014·苏、锡、常、镇模拟)袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是________．解析 总的取法是4组，能构成等差数列的有{2,3,4}，{2,4,6} 2组；故所求概率为P ＝24＝12.答案 129．设f (x )＝x 2－2x －3(x ∈R )，则在区间[－π，π]上随机取一个数x ，使f (x )＜0的概率为________．解析 几何概型，x 2－2x －3＜0⇒－1＜x ＜3； ∵x ∈[－π，π]，∴P ＝42π＝2π.答案2π10．(2014·豫南五市模拟)如图是甲、乙两名运动员2014年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和为________．解析 甲运动员的比赛得分是：17,22,28,34,35,36，其中位数是28＋342＝31；乙运动员的比赛得分是：12,16,21,23,29,32,33，其中位数是23，所以甲、乙两人比赛得分的中位数之和为31＋23＝54. 答案 5411．(2014·合肥质检)从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为________． 解析 从2名男生(A 1，A 2)和2名女生(B 1，B 2)中任意选取两人在星期六、星期日参加某项公益活动，每天一人的基本事件为：A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 2A 1，A 2B 1，A 2B 2，B 1A 1，B 1A 2，B 1B 2，B 2A 1，B 2A 2，B 2B 1，共12种，其中星期六安排一名男生，星期日安排一名女生的概率为P ＝412＝13.答案 1312．(2014·南京模拟)盒中有3张分别标有1,2,3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为__________．解析 两次有放回抽取卡片所有可能的结果为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共有9种可能，其中至少有一个为偶数的结果为(2,2)，(2,1)，(1,2)，(2,3)，(3,2)，共5种，所以所求概率P ＝59.答案 5913．(2014·无锡期末)甲、乙两人玩数学游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a ，b ∈{3,4,5,6}，若|a －b |≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________． 解析 依题意，数组(a ，b )共有4×4＝16组，其中满足|a －b |＞1的共有6组(注：当a ＝3时，b ＝5,6；当a ＝4时，b ＝6；当a ＝5时，b ＝3；当a ＝6时，b ＝3,4)，因此所求的概率等于1－616＝58.答案 5814．(2014·苏北四市模拟)抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则x y为整数的概率是________．解析 将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体所得的数字x ，y 记作有序实数对(x ，y )，共包含16个基本事件，其中x y为整数的有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，共8个基本事件，故所求的概率为816＝12.答案 12。
【最高考】2015届高考数学二轮专题突破课堂讲义 第16讲 概率与统计
专题六 概率与统计、算法、复数第16讲 概率与统计1. 了解抽样方法、总体分布的估计与总体特征数的估计．统计部分在高考中依然会以填空题的形式出现，主要考查数据处理意识和初步的数据处理能力，难度较小．2. 了解随机事件概率及几何概型，掌握古典概型的处理方法，了解互斥事件及其发生的概率．概率部分在高考中主要还是以填空题的形式出现．1. 某单位200名职工的年龄分布情况如下图所示，现要从中抽取40名职工样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分成40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的为22，则第8组抽出的应该是________．若用分层抽样法，则40岁以下年龄段应取________人．答案：37 20解析：系统抽样的编号构成等差数列，公差是5，故第8组抽出的为22＋(8－5)×5＝37；50%×40＝20.2. 设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．答案：4－π4解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2，0≤y ≤2表示坐标平面内的一个正方形区域，设区域内点的坐标为(x ，y)，则随机事件：在区域D 内取点，此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x 2＋y2＝4的外部，即图中的阴影部分，故所求的概率为4－π4. 3. 某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2＝________．答案：165解析：平均数为7，代入方差公式s 2＝15[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝165. 4. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．答案：35题型一 抽样问题例1 某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：初一年级 初二年级 初三年级女生 373 x y男生 377 370 z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.(1) 求x 的值；(2) 先用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名学生．(3) 已知y≥245，z ≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．解：(1) x ＝2 000×0.19＝380.(2) 初三年级共有学生人数 2 000－(373＋377)－(380＋370)＝500人，初三应抽取48×5002 000＝12人． (3) 记女生比男生多为事件A.∵⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝500，y ≥245，z ≥245，∴(y ，z)的可能取值有(245，255)，(246，254)，(247，253)，…，(254，246)，(255，245)，共有11组，其中女生比男生多，即y ＞z 的有5组，则P(A)＝511. 题型二 古典概率问题例2 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1) 若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2) 若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解：(1) 甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E 、F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A ，D)，(A ，E)，(A ，F)，(B ，D)，(B ，E)，(B ，F)，(C ，D)，(C ，E)，(C ，F)，共9种．从中选出的2名教师性别相同的结果为(A ，D)，(B ，D)，(C ，E)，(C ，F)，共4种．所以选出的2名教师性别相同的概率为49. (2) 从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(A ，F)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(B ，F)，(C ，D)，(C ，E)，(C ，F)，(D ，E)，(D ，F)，(E ，F)，共15种．从中选出的2名教师来自同一学校的结果为(A ，B)，(A ，C)，(B ，C)，(D ，E)，(D ，F)，(E ，F)，共6种．所以选出的2名教师来自同一学校的概率为615＝25. 现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9.若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________．答案：0.2解析：从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3 m 的事件数为2，分别是2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2.题型三 几何概率问题例3已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为35，短轴的一个端点到右焦点的距离为5. (1) 求椭圆的方程；(2) 若“椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b 时，则椭圆的面积为πab ” .请针对(1)中的椭圆，求解下列问题：①若m 、n 是实数，且|m|≤5, |n|≤4.求点P(m, n)落在椭圆内的概率；②若m 、n 是整数，且|m|≤5, |n|≤4.求点P(m, n)落在椭圆外的概率及P 落在椭圆上的概率．点拨：本题考查对古典概型和几何概型的理解．解：(1) 由题知a ＝5，c ＝3，∴ b ＝4，∴椭圆方程是x 225＋y 216＝1. (2) 椭圆的面积是20π.①记点P(m ，n)落在椭圆内为事件A ，则P(A)＝20π10×8＝π4，即P(m ，n)落在椭圆内的概率为π4. ②记点P(m ，n)落在椭圆外为事件B ，(m ，n)共有11×9＝99个，其中在第一象限内符合事件B 的有(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(4，3)，(4，4)，(3，4)，(2，4)，(1，4)9个，由对称性知事件B 共包括9×4＝36个，则P(B)＝3699＝411，即P(m ，n)落在椭圆外的概率是411.同时易知落在椭圆上的概率是499. 题型四 统计综合问题例4育新中学高二(一)班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．(1) 求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；(2) 经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；(3) 实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为68，70，71，72，74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪次做实验的同学的实验更稳定？并说明理由．解：(1) P ＝n m ＝460＝115，∴某同学被抽到的概率为115，设有x 名男同学，则4560＝x 4，∴ x ＝3，∴男、女同学的人数分别为3，1.(2) 把3名男同学和1名女同学记为a 1，a 2，a 3，b ，则选取两名同学的基本事件有：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b)，(a 2，a 1)，(a 2，a 3)，(a 2，b)，(a 3，a 1)，(a 3，a 2)，(a 3，b)，(b ，a 1)，(b ，a 2)，(b ，a 3)共12种，其中有一名女同学的有6种，∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为P ＝612＝12. (3) x －1＝68＋70＋71＋72＋745＝71， x －2＝69＋70＋70＋72＋745＝71， s 21＝（68－71）2＋…＋（74－71）25＝4， s 22＝（69－71）2＋…＋（74－71）25＝3.2.∴第二次做实验的同学的实验更稳定． 1. (2014·全国卷Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为________．答案：78解析：每位同学有2种选法，基本事件的总数为24＝16，其中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有2个，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1－216＝78. 2. (2014·某某卷)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤1，x ＋y≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________．答案：78解析：依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何公式知，该点落在Ω2内的概率为P ＝12×2×2－12×1×1212×2×2＝78.3. (2014·某某卷)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．答案：60解析：由分层抽样方法可得一年级抽取人数为300×44＋5＋5＋6＝60. 4. (2014·某某卷)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a(a 为非零常数，i ＝1，2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为_________．答案：1＋a ，4解析：(方法1)∵ y i ＝x i ＋a ，∴ E(y i )＝E(x i )＋E(a)＝1＋a ，方差D(y i )＝D(x i )＋E(a)＝4.(方法2)由题意知y i ＝x i ＋a ，则y ＝110(x 1＋x 2＋…＋x 10＋10×a)＝110(x 1＋x 2＋…＋x 10)＝x ＋a ＝1＋a ， 方差s 2＝110[(x 1＋a －(x ＋a)2＋(x 2＋a －(x ＋a)2＋…＋(x 10＋a －(x ＋a)2]＝110[(x 1－x)2＋(x 2－x)2＋…＋(x 10－x)2]＝s 2＝4.5. (2014·某某卷)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组 频数 频率[25，30] 3 0.12(30，35] 5 0.20(35，40] 8 0.32(40，45] n 1 f 1(45，50] n 2 f 2(1) 确定样本频率分布表中n 1，n 2，f 1和f 2的值；(2) 根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；(3) 根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35]的概率．解：(1) n 1＝7，n 2＝2，f 1＝0.28，f 2＝0.08.(2) 样本频率分布直方图为(3) 根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间(30，35]的概率0.2，设所取的4人中，日加工零件数落在区间(30，35]的人数为ξ，则ξ～B(4，0.2)，P (ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－0.2)4＝1－0.409 6＝0.590 4，所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，50]的概率约为0.590 4.6. (2013·某某卷)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：组别 A B C D E人数 50 100 150 150 50(1) 其中从B 组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．组别 A B C D E人数 50 100 150 150 50抽取人数 6(2) 在(1)的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解：(1) 按相同的比例从不同的组中抽取人数．从B 组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从100人中抽取6人，从150人中抽取9人．(2) A 组抽取的3人中有2人支持1号歌手，则从3人中任选1人，支持1号歌手的概率为23.B 组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持1号歌手的概率为26.现从抽样评委A 组3人，B 组6人中各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率P ＝23·26＝29. 所以，从A ，B 两组抽样评委中，各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率为29. (本题模拟高考评分标准，满分14分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人互相独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14、12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12、14；两人租车时间都不会超过四小时．(1) 分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；(2) 求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．解：(1) 分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A 、B ，则P(A)＝1－14－12＝14，P(B)＝1－12－14＝14.(6分) 答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14、14.(7分) (2) 记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C ，(8分)则P(C)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14×14＋12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×14＋14×12＋14×14＝34.(12分) 答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为34.(14分)1. 在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________，________．答案：45 462. 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是____________．答案：7123. 样本容量为200的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10)内的频数为________，数据落在[2，10)内的概率约为__________．答案：64 0.44. 在区间[－1，2]上随机取一个数x ，则|x|≤1的概率为____________．答案：235. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．(1) 如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差； (2) 如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，其中x －为x 1，x 2，…，x n 的平均数)解：(1) 当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8、8、9、10，所以平均数为x －＝8＋8＋9＋104＝354.方差为s 2＝14[2(8－354)2＋(9－354)2＋(10－354)2]＝1116. (2) 记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：(A 1，B 1)、(A 1，B 2)、(A 1，B 3)、(A 1，B 4)、(A 2，B 1)、(A 2，B 2)、(A 2，B 3)、(A 2，B 4)、(A 3，B 1)、(A 3，B 2)、(A 3，B 3)、(A 3，B 4)、(A 4，B 1)、(A 4，B 2)、(A 4，B 3)、(A 4，B 4)，用C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C 中的结果有4个，它们是：(A 1，B 4)、(A 2，B 4)、(A 3，B 2)、(A 4，B 2)，故所求概率为P(C)＝416＝14.。
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概率与统计1．随机抽样方法简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样．[问题1] 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________． 答案 24解析 由抽样比例可知6x ＝480－200－160480，则x ＝24.2．对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率．茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了． [问题2] 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为________．答案 203．众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． 众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标． 平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小距形底边中点的横坐标之和． 标准差的平方就是方差，方差的计算(1)基本公式s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．(2)简化计算公式①s 2＝1n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2]，或写成s 2＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方．[问题3] 已知一个样本中的数据为0.12,0.15,0.13，0.15，0.14,0.17,0.15,0.16,0.13,0.14，则该样本的众数、中位数分别是________． 答案 0.15、0.145 4．变量间的相关关系假设我们有如下一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )．回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n (x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x y∑i ＝1n x 2i－n x2，a ^＝y －b ^x .[问题4] 回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必经过点________． 答案 (x ，y )5．独立性检验的基本方法一般地，假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表如表：根据观测数据计算由公式k ＝n (ad －bc )(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(c ＋d )所给出的检验随机变量K 2的观测值k ，并且k 的值越大，说明“X 与Y 有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X 与Y 有关系”的可信程度．[问题5] 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：则至少有________附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )答案 6．互斥事件有一个发生的概率P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) (1)公式适合范围：事件A 与B 互斥． (2)P (A )＝1－P (A )．[问题6] 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率之和为________．答案 237．古典概型P (A )＝mn (其中，n 为一次试验中可能出现的结果总数，m 为事件A 在试验中包含的基本事件个数)[问题7] 若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为________． 答案1128．几何概型一般地，在几何区域D 内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为P (A )＝d 的度量D 的度量.此处D 的度量不为0，其中“度量”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等． 即P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积和体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积和体积)[问题8] 在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.π12 B ．1－π12C.π6 D ．1－π6答案 B解析 记“点P 到点O 的距离大于1”为A ， P (A )＝23－12×43π×1323＝1－π12. 9．解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．解排列、组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配分步法；综合问题先选后排法；至多至少问题间接法． (1)排列数公式A m n ＝n (n －1)(n －2)…[n －(m －1)]＝n ！(n －m )！，其中m ，n ∈N *，m ≤n .当m ＝n 时，A n n ＝n ·(n －1)·……·2·1＝n ！，规定0！＝1. (2)组合数公式C mn ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…[n －(m －1)]m ！＝n ！m ！(n －m )！.(3)组合数性质C m n ＝C n－mn，C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1，规定C 0n ＝1，其中m ，n ∈N *，m ≤n .[问题9] (1)将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有________种．(2)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有________种． 答案 (1)35 (2)70 10．二项式定理(1)定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n －1n ab n －1＋C n n b n (n ∈N *)．通项(展开式的第r ＋1项)：T r ＋1＝C rna n －r b r ，其中C r n (r ＝0,1，…，n )叫做二项式系数．(2)二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，C 2n ＝C n －2n ，…，C r n ＝C n －r n .②二项式系数的和等于2n (组合数公式)，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1. 特别提醒：二项式系数最大项与展开式系数最大项是两个不同的概念，在求法上也有很大的差别，往往因为概念不清导致出错．[问题10] 设⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中x 3的系数为A ，二项式系数为B ，则A ∶B ＝________. 答案 4∶1 解析T r ＋1＝C r 6x6－r(－1)r ⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 6(－1)r 2r362r x-，6－32r ＝3，r ＝2，系数A ＝60，二项式系数B ＝C 26＝15，所以A ∶B ＝4∶1. 4∶1.11．要注意概率P (A |B )与P (AB )的区别：(1)在P (A |B )中，事件A ，B 发生有时间上的差异，B 先A 后；在P (AB )中，事件A ，B 同时发生．(2)样本空间不同，在P (A |B )中，事件B 成为样本空间；在P (AB )中，样本空间仍为Ω，因而有P (A |B )≥P (AB )．[问题11] 设A 、B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________．答案 3512．求分布列，要检验概率的和是否为1，如果不是，要重新检查修正．还要注意识别独立重复试验和二项分布，然后用公式．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k ·(1－p )n －k . [问题12] 若随机变量ξ的分布列如下表，则E (ξ)的值为________.答案209解析 根据概率之和为1，求出x ＝118，则E (ξ)＝0×2x ＋1×3x ＋…＋5x ＝40x ＝209.13．一般地，如果对于任意实数a <b ，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝ʃba φμ，σ(x )d x ，则称X 的分布为正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N (μ，σ2)．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)．满足正态分布的三个基本概率的值是：①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6；②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.[问题13] 已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2 答案 C解析 ∵P (ξ<4)＝0.8，∴P (ξ>4)＝0.2，由题意知图象的对称轴为直线x ＝2， P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2，∴P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6. ∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝0.3.易错点1 统计图表识图不准致误例1 如图所示是某公司(共有员工300人)2012年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的大约有________人．错解 由频率分布直方图，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.10＋0.10＋0.08)＝0.62.∴估计年薪在1.4万元～1.6万元之间约有300×0.62＝186(人)．找准失分点 本题主要混淆频率分布直方图与条形图纵轴的意义，频率分布直方图中，纵轴(矩形高)表示“频率组距”，每个小矩形的面积才表示落在该区间上的频率，由于概念不清，识图不准导致计算错误．正解 由所给图形可知，员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的频率为1－(0.02＋0.08＋0.08＋0.10＋0.10)×2＝0.24.所以员工中年薪在1.4万元～1.6万元之间的共有300×0.24＝72(人)． 答案 72易错点2 在几何概型中“测度”确定不准致误例2 如图所示，在等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM <AC 的概率．错解 记AM <AC 为事件E ，设CA ＝CB ＝a ，因为△ABC 是直角三角形， 所以，AB ＝2a ，在AB 上取一点D ，使AD ＝AC ＝a ，那么对线段AD 上的任意一点M 都有AM <AD ，即AM <AC ，因此AM <AC 的概率为P (E )＝AD AB ＝a 2a ＝22. 找准失分点 据题意，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，射线CM 在∠ACB 内部均匀分布，但是点M 在AB 上的分布不是均匀的．正解 在AB 上取一点D ，使AD ＝AC ，因为AD ＝AC ＝a ，∠A ＝π4，所以∠ACD ＝∠ADC ＝3π8，则P (E )＝∠ACD ∠ACB ＝3π8π2＝34.易错点3 分不清是排列还是组合致误例3 如图所示，A ，B ，C ，D 是海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，不同的建桥方案共有多少种？错解 对于有一个中心的结构形式有A 44，对于四个岛依次相连的形式有A 44，∴共有2A 44＝48(种)．找准失分点 没有分清是排列还是组合． 正解 由题意可能有两种结构，如图：第一种：，第二种：对于第一种结构，连接方式只需考虑中心位置的情况，共有C 14种方法．对于第二种结构，有C 24A 22种方法． ∴总共有C 14＋C 24A 22＝16(种)．易错点4 均匀分组与非均匀分组混淆致误例4 4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的4个盒中，则恰有1个空盒的放法共有________种．(用数字作答) 错解 288错误！未找到引用源。