2014年江门一模理科数学

1A BCDE1A 1B 1C 1D 2图江门市2014年高考模拟考试数学（理科）班级 姓名 座号 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．在复平面内，复数i z 21+-=（ i 是虚数单位）对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．从2、3、5、7这四个质数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．83．已知函数)(x f 为奇函数，且当0<x 时，x x x f 2)(2+=，则=)1(f ( ) A ．1 B ．1- C ．3 D ．3- 4．将甲、乙两个篮球队10场比赛的得分数据 整理成如图1所示的茎叶图，由图1可知( ) A ．甲、乙两队得分的平均数相等 B ．甲、乙两队得分的中位数相等 C ．甲、乙两队得分的极差相等D ．甲、乙两队得分在) 39 , 30 [分数段的频率相等5．在平面直角坐标系xOy 中，已知) , 1(t OA -=，)2 , 2(=OB ，若090=∠ABO 则=t ( )A ．2B ．4C ．5D ．8 6．已知两条不重合直线1 l 、2l 的斜率分别为1 k 、2k ，则 “21//l l ”是“21k k =”成的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 7．如图2，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是 棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，并且//1F A 平面1AED ，则动点F 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．线段8．设函数2sin )(-+=x x x f ，2ln )(-+=x e x g x，若实数a ，b 满足0)(=a f ，0)(=b g ，则( )A ．)(0)(b f a g <<B ．)(0)(a g b f <<C ．)()(0b f a g << D ．0)()(<<a g b f2二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题（9～13题）9．已知命题p ：R x ∈∀，0222>++x x ．则命题p 的否定p ⌝： ． 10．执行如图3的程序框图，输出的=S ． 11．定积分=⎰-11|| dx x ．12．已知直线 l 过点)1 , 2(A 和) , 1(2m B （R m ∈），则直线 l 斜率的取值范围是 ， 倾斜角的取值范围是 ．13．某个部件由三个元件如图4方式连接而成，元件A或元件B 正常工作，且元件C 正常工作，则部件正已知函数16sin(cos 4)(-+=πx x x f ，R x ∈．⑴求)0(f 的值；⑵若将)(x f y =的图象向右平移ϕ（0>ϕ）个单位，所得到的曲线恰好经过坐标原点，求ϕ的最小值．3BD随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下列联表： 性别与读营养说明列联表0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系？⑵从被询问的16名不读营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到男生人数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．（注：)(22bc ad n K -=，其中d c b a n +++=为样本容量．）18．（本小题满分14分）如图6，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是平行四边形，⊥PA 底面ABCD ，3=PA ，2=AD ，4=AB ，060=∠ABC ．⑴求证：PC AD ⊥；⑵E 是侧棱PB 上一点，记λ=，是否存在实数λ，使⊥PC 平面ADE ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项11=a ，*∈∀N n nnn a a a +=+221． ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵求证：*∈∀N n ，312<∑=ni i a ．4已知椭圆Γ的焦点为)0 , 1(1-F 、)0 , 1(2F ，点)23, 1(M 在椭圆Γ上． ⑴求椭圆Γ的方程；⑵设双曲线∑：12222=-by a x （0>a ，0>b ）的顶点A 、B 都是曲线Γ的顶点，经过双曲线∑的右焦点F 作x 轴的垂线，与∑在第一象限内相交于N ，若直线MN 经过坐标原点O ，求双曲线∑的离心率．21．（本小题满分14分）已知函数)ln ()(2x x a x x f ++=，0>x ，R a ∈是常数．试证明： ⑴R a ∈∀，)12)(1(-+=x a y 是函数)(x f y =的图象的一条切线； ⑵R a ∈∀，存在) , 1(e ∈ξ，使1)1()()(/--=e f e f f ξ．5评分参考一、选择题 BCAA CDDB二、填空题 ⒐ R x ∈∃0（3分），022020≤++x x ⒑ 3 ⒒ 1 ⒓ ]1 , (-∞，[0 , ]( , )42πππ⋃ ⒔ 2711 ⒕ 22 ⒖ 15三、解答题⒗⑴11211416sin0cos 4)0(=-⨯⨯=-=πf ……4分 ⑵向右平移ϕ个单位，所得到的曲线为1)6sin()cos(4-+--=πϕϕx x y ……6分曲线经过坐标原点，得01)6sin()cos(4=-+--πϕϕ……7分 化简（和差化积或积化和差），得0)62sin(=-πϕ（或332tan =ϕ）……10分ππϕk =-62，Z k ∈……11分，122ππϕ+=k ，ϕ的最小正值为12πϕ=……12分．⒘⑴由表中数据，得635.667.620201624)481216(402>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k ……4分 因此，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为性别与读营养说明有关……5分 ⑵ξ的取值为0，1，2……6分2011)0(216212===C C P ξ，52)1(21614112=⨯==C C C P ξ，201)2(21624===C C P ξ……12分 ξ的分布列为ξ的均值为220251200=⨯+⨯+⨯=ξE ……14分． ⒙⑴222AC AD CD +=，所以090=∠CAD ，AC AD ⊥……2分⊥PA 底面ABCD ，所以AD PA ⊥……3分因为A AC PA = ，所以⊥AD 平面PAC ……4分 因为⊂PC 平面PAC ，所以PC AD ⊥……5分⑵（方法一）过C 作AB CF ⊥于F ，则⊥CF 平面PAB ……6分6连接PF ，由⑴知⊥PC 平面ADE 当且仅当AE PC ⊥……7分 又AE CF ⊥，所以⊥AE 平面PCF ……8分，PF AE ⊥……9分 依题意，121==BC BF ，所以3=AF ，PA AF =……10分， AE 是PAF ∠的平分线，从而也是PAB ∠的平分线……11分在PAE ∆和ABE ∆中，PEA PA PAE PE ∠=∠sin sin ，BEAABBAE BE ∠=∠sin sin ……12分所以43==AB PA BE PE ……13分，73=PB PE ，即所求λ的值为73……14分． （方法二）在平面ABCD 内过点A 作CD AF ⊥，以A 为原点，AF 、AB 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系……6分则)0 , 0 , 0(A ，)0 , 4 , 0(B ，)3 , 0 , 0(P ……7分，)0 , 3 , 3(C ……8分 设) , , (c b a E ，由PB PE λ=得，)3 , 4 , 0()3 , , (-=-λc b a ……9分 解得0=a ，λ4=b ，λ33-=c ……10分由⑴知⊥PC 平面ADE 当且仅当AE PC ⊥……11分，即0=⋅……12分 所以0)33(343)33 , 4 , 0()3 , 3 , 3(=--⨯=-⋅-λλλλ……13分 ⒚⑴由nn n a a a +=+221，得21111+=+n n a a ……1分，21111=-+n n a a ……2分所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是首项11=n a ，公差21=d 的等差数列……3分212111+=-+=n n a n ……4分，所以*∈∀N n ，12+=n a n ……5分 ⑵（方法一）nn n n n a n 24124)1(42222+<++=+=222+-=n n ……7分 4>n 时，由以上不等式得212222222222()()()()()132435112nii a n n n n =<-+-+-++-+--++∑K 22122212+-+-+=n n 3<……11分7因为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑=n i i a 12是递增数列，所以*∈∀N n ，312<∑=ni n a ……12分．（方法二）)1(4)1(422+<+=n n n a n ……6分，244+-=n n ……7分 2>n 时，由以上不等式得)144()4434()3424(112212+-++-+-+<+=∑∑==n n a a ni in i i ……9分 14241+-+=n ……10分，3<……11分 因为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑=n i i a 12是递增数列，所以*∈∀N n ，312<∑=ni n a ……12分．⒛ ⑴椭圆Γ的焦距2||2211==F F c ……1分长轴423492||||22211=++=+=MF MF a ……4分 椭圆Γ的短轴3221=b ……5分，所以椭圆Γ的方程为13422=+y x ……6分 ⑵设双曲线∑焦距为c 2，依题意，1||2222=-b FN a c ……7分，a b FN 2||=……8分（方法一）) , (2ab c N ……9分，直线OM 的方程为x y 23=……10分O 、M 、N 共线，所以c a b 232=……11分，即2322=-ac a c ……12分，231=-e e ，02322=--e e ……13分，解得双曲线∑的离心率2=e （21-=e 舍去）……14分． （方法二）依题意，M OF 2∆～OFN ∆……9分，||||||||22OF FN OF M F =……10分 所以acb 223=……11分，即2322=-ac a c ……12分，231=-e e ，02322=--e e ， 解得双曲线∑的离心率2=e （21-=e 舍去）……14分821．⑴)11(2)(/xa x x f ++=……1分，直线)12)(1(-+=x a y 的斜率)1(2+=a k ， 由)1(2)11(2+=++a xa x ，取1=x 22)1(/+=a f ，曲线)(x f y =在点))1( , 1(f 的切线为)1)(22()1(-+=-x a f y ，即)12)(1(-+=x a y ，所以)12)(1(-+=x a y 是曲线)(x f y =的一条切线⑵直接计算知111)1()(-+++=--e aa e e f e f ……5分 设函数1)1(21)1()()()(/--++-=---=e ax a e x e f e f x f x g ……6分1)1()2(11)1(2----=--+-=e e e a e a a e g ……7分 )1()1(11)(2---=--+-=e e ae e e a e a e e g 当2)1(->e e a 或2)1(2--<e e a 时，222)1(])1(][)1()2([)()1(-------=e e e e a e e a e g g 0<，因为)(x g y =的图象是一条连续不断的曲线，所以存在) , 1(e ∈ξ，使0)(=ξg ，即) , 1(e ∈ξ，使1)1()()(/--=e f e f f ξ；当22)1(2)1(-≤≤--e e a e e 时，)1(g 、0)(≥e g ，而且)1(g 、)(e g 之中至少一个为正，由均值不等式知，1122)(2--+-≥e e a a x g ，等号当且仅当) , 1(2e ax ∈=时成立，所以)(x g 有最小值1)1(2)1(2112222----+-=--+-=e e a e a e e a a m ，且01)3)(1()]1(2[1)1(2)1(222<---+---=----+-=e e e e a e e a e a m ，此时存在) , 1(e ∈ξ（)2, 1(a ∈ξ或) , 2(e a∈ξ），使0)(=ξg 。