第六章 梁的位移
第六章 结构位移计算
1、位移的分类
（1）、线位移 （2）、角位移 （3）、相对线位移
F
1 1 23
3
3 4 3 4 3 x4 34 3 y 3
q
3
（4）、相对角位移
1
12 1 2
2
2
2、产生位移的原因 荷载和非荷载因素（温度改变、支座移动、材料收缩、制造误差） 3、计算位移的目的 （1）、校核结构的刚度 （2）、施工过程中的位移计算 （3）、位移计算是分析超静定结构的基础 （4）、位移计算是动力分析和稳定分析的基础
5 (0.33 3) ()
30
(1 3)
)
2
3
-
0.33
FN图
+
0.33
M图
M=1
1
4
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
() FRc
其中：
FR ——单位力作用下的支座反力
c —— 支座位移
—— 所有杆件的计算结果求和
正负号：支座位移与单位力作用下的支座反力方向一致时取 “+”，不一致时取“-”
2
10kN/m 2EI
M=1 3
EI
4m
3、求 3
80 80
1 1 801 4 ( 80 4) 1 3 3 2 EI 2 EI
1
1 4m
20
1
2 ( 20 4) 1 3 2EI
M图
MP图(kN· m)
213 .3 ( EI
)
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
2
M图(m)
2 2 160 2 2 40 0 160 0 40 2 6 EI
第六章 位移法 视频例题及其答案
视频例题: ➢602结构简化。
➢603确定未知量。
➢604用位移法求出下列结构的弯矩图。
➢605求出下列结构的弯矩图。
<1>用位移法求下图所示梁的M图。
已知EI=常数，B支座弹簧刚度k=3EI/l3。
<2>下图所示刚架温度变化，各杆截面EI相同，矩形截面高度h=0.5m、宽b=0.3m，
线膨胀系数为α。
试求弯矩图。
➢606求出下图所示有斜杆刚架的位移法方程。
➢607求出下图所示有弹性支座结构的位移法方程。
<1>如下图所示为具有弹性支座的连续梁，kr为弹性抗扭转刚度，
k为弹簧抗侧移刚度。
试列出位移法基本方程。
➢608关于位移法的无穷刚度问题。
<1>用位移法求下图所示结构M图，并校核M图的正确性。
<2>下图所示梁，AB和DE段的抗弯刚度为EI，而BCD段的抗弯刚度为∞，
试用位移法作梁的M图。
<3>下图所示梁，AB和DE段的抗弯刚度为EI，而BCD段的抗弯刚度为∞，
试用位移法作梁的M图。
➢609排架结构或横梁刚度无穷大的刚架问题。
<1>下图所示为一个三跨排架和三跨刚架，杆的轴向变形不计。
（1）试作必要的分析或计算后，分别画出排架和刚架中柱子的弯矩图和剪力图；（2）分别定性地画出两结构在图示荷载作用下的变形图。
第六章 位移法
ql 2 8
2）令B结点产生转角 B ( ) 。此时AB、BC杆 类似于B端为固端且产生转角 的单跨超静定梁。 B
9
A A
i i
B
B
i
C i
B 3i B
B
B
3i B
B
EI i l
C
3）杆端弯矩表达式
M BA 3i B M BC ql 2 3i B 8
F l/2 A B EI = 常数 l D l l
结点B只转动一个角度，没有水平和竖向位移。 力 法：六个未知约束力。 位移法：一个未知位移（θB）。
C
F
B
C
B
F
B
B
C
l
l/ 2
l/2
A
l/ 2
l/ 2
三次超静定图示刚架
力
法：三个未知约束力。
位移法：一个未知位移（θB）。
二、 位移法基本思路
（８-6）
位移法典型方程的物理意义：基本结构在荷载和 各结点位移共同作用下，各附加约束中的反力等于零, 反映了原结构的静力平衡条件。
二、位移法典型方程
对于具有n个独立结点位移的的结构,有n个基本 未知量,可建立n个平衡方程，位移法典型方程
r11Z1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r21Z1 r22 Z 2 r2 n Z n R2 P 0 rn1 Z1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0
r11 r 21 rn1
r12 r1n Z1 R1P 0 Z R 0 r22 r2 n 2 2P rn 2 rnn Z n RnP 0
第6章 静定结构位移计算
二、 单位荷载法 1、定义：在所求点所在位移方向加上单位 力，将实际状态的真实位移视作虚拟平衡状态的 虚位移。应用虚功原理，通过加单位荷载求实际 位移的方法。 2、计算结构位移的一般公式
F K+ FRiCi= M d + FNdu + FQdv
式中， F =1 则
六．线弹性体系的特征 1）结构的变形与其作用力成正比
若单位力P1=1作用下产生
的位移δ ，则力P作用下在 K处产生的位移为Pδ
2）结构的变形或位移服从叠加原理
P1
P2
Pi
K Δ
Pn
δ K i 表示Pi=1时 在K处产生的位移。
Δ= P1 K 1 P2 K 2 Pn Kn
P
i i 1
n
Ki
6.2 变形体系的虚功原理 一、变形体的虚功原理 功：力对物体作用的累计效果的度量。 功=力×力作用点沿力方向上的位移 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功 静力荷载：荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地增加 到最终值。结构在静力加载过程中，荷载及内力始 终保持平衡。
虚功： 力在其他因素引起的位移上作的功 其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程 中，力的大小保持不变 梁弯曲后，再在点2处加静力荷载FP2，梁产生新 的弯曲。位移△12为力FP2引起的FP1的作用点沿FP1 方向的位移。力FP1在位移△12 上作了功，为虚功， 大小为 W12=FP1△12，此时力不随位移而变化，是 常力。
单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的 广义位移则有正负之分： 正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同 负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反
力的虚设方法
Fp=1 C Fp=1 B C
第六章位移法
第六章位移法学习目的和要求位移法是超静定结构计算的基本方法之一，许多工程中使用的实用计算方法都是由位移法演变出来的，是本课程的重点内容之一。
本章的基本要求：1.熟练掌握位移法基本未知量和基本结构的确定、位移法典型方程的建立及其物力意义、位移法方程中的系数和自由项的物理意义及其计算、最终弯矩图的绘制。
2.熟记一些常用的形常数和载常数。
3.熟练掌握由弯矩图绘制剪力图和轴力图的方法。
4.掌握利用对称性简化计算。
5.重点掌握荷载荷载作用下的计算，了解其它因素下的计算。
6.位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和写平衡方程法。
要求熟练掌握一种，另一种了解即可。
学习内容位移法的基本概念。
跨超静定梁的形常数、载常数和转角位移方程。
位移法基本未知量和位移法基本结构的确定。
用位移法计算刚架和排架。
利用对称性简化位移法计算。
直接用结点、截面平衡方程建立位移法方程。
§6.1位移法基本概念1、位移法的特点：欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。
超静定结构计算的两大基本方法是力法和位移法。
力法的特点：基本未知量——多余未知力；基本体系——静定结构；基本方程——位移条件（变形协调条件）。
位移法的特点：基本未知量——独立结点位移；（例子86）基本体系——一组单跨超静定梁；（例子87）基本方程——平衡条件。
（例子88）因此，位移法分析中应解决的问题是：①确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。
②确定结构独立的结点位移。
③建立求解结点位移的位移法方程。
下面先看第一个问题：确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。
2、杆端力和杆端位移的正负规定：杆端转角θA 、θB，弦转角β＝Δ/l都以顺时针为正。
杆端弯矩对杆端以顺时针为正，对结点或支座以逆时针为正。
剪力使分离体有顺时针转动趋势时为正，否则为负。
（与材料力学相同）3、等截面直杆的形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力。
如右图两端固定梁，由右端单位转角作用下产生的杆端力，可用力法求解，并令：得到杆端弯矩（即形常数）为：各种情形的形常数都可有力法求出如下表：4、等截面直杆的载常数:仅由跨中荷载引起单跨超静定梁的杆端力称为载常熟，也叫固端力。
结构力学(第五版)第六章 结构位移计算
相对位移 △CD= △C+ △D
3. 计算位移的目的
（1）校核结构的刚度。 （2）结构施工的需要。 （3）为分析超静定结构打 基础。
△ 起拱高度
除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、 材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。 结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。 返4回
B
变力 W= 1 M· ϕ 2
（d ）
返6回
P
（2）实功与虚功 实功： 力本身引起的位移上所作的功。 例如： W=
A 力在其它 虚功： 因素引起的位移上所作 的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系 的两种彼此无关的状态。
△2
2
A
P1
△1
1
B P2 B
例如：
W12=P1·△2
返7回
2. 变形体的虚功原理：
A RA
P
M
q B dS
q
RB N+dN Q+dQ
Q N 力状态 A
ds B dS
dWi=Ndu+QγdS+Mdϕ Wi=
（6—2)
整个结构内力的变形虚功为
虚功方程为
W=
（6—3)
dS du
dϕ
γ γ
dS
位移状态
dS
9
返dx γ回
§6—3 位移计算的一般公式
k 1. 位移计算的一般公式 t1 K △K t2 c3 K ds 设平面杆系结构由 ds k Ｒ ３ K′ 于荷载、温度变化及支 k P1 座移动等因素引起位移 du、dϕ、γdS N MQ 、、 如图示。 Ｒ １ c2 求任一指定截面K K c1 ２ 沿任一指定方向 k—k 实际状态－位移状态 Ｒ 虚拟状态－力状态 上的位移△K 。
第六章结构的位移计算和刚度计算
各点的位置产生（相对）移动（线位移），使 杆件横截面产生（相对）转动（角位移）。 2、位移的分类：6种 绝对位移：点（截面）线位移––分解成水平、 垂直两方向 截面角位移： 杆件角位移： 相对位移：两点（截面）相对线位移––沿连线 方向 两截面相对角位移： 两杆件相对角位移：
3、引起位移的原因 A、荷载作用：（荷载→内力→变形→位移） B、温度改变：静定结构，温度改变，→0应力 非0应变→结构变形 （材料胀缩引起的位移性质同） C、支座移动；(无应力，无应变，但几何位置 发生变化) 6-2-2单位荷载法
Nl l EA
若将式改写为 及轴向线应变 l 代入，则可得出胡克定律的 l 另一表达式为
l 1 N l E A
，并以轴向应力
N A
E
故胡克定律也可简述为：当杆内应力不超 过材料的比例极限（即正应力与线应变成正比 的最高限应力）时，应力与应变成正比。
例题6-1-1 有一横截面为正方形的阶梯形砖柱， 由上下I、II两段组成。其各段的长度、横截面 尺寸和受力情况如图2-12所示。已知材料的弹 性模量E＝0.03×105MPa，外力P＝50kN。试 P 求砖柱顶面的位移。 解：假设砖柱的基础没有沉陷， A P P Ⅰ 3m 则砖柱顶面A下降的位移等于全 B 柱的缩短。由于柱上、下两段 4m 的截面尺寸和轴力都不相等， Ⅱ C 故应用公式
例题6-1-2 在图所示的结构中，杆AB为钢杆， 横截面为圆形，其直径d＝34mm；杆BC为木 杆，横截面为正方形，其边长a＝170mm。二 杆在点B铰接。已知钢的弹性模量E1＝ 2.1×105MPa，木材顺纹的弹性模量E2＝ 0.1×105MPa。试求当结构在点B作用有荷载P ＝40kN时，点B的水平位移及铅直位移。 解： （1）取出节点B为脱离体，并以N1、N2分别表 示AB及BC二杆的内力。运用平衡方程 P 40 Y 0 由 ，可得 N1 80kN o
结构力学 结构的位移计算
A1
ds
M N Q
此为局部变 形位移公式
d ds
§8-2 结构位移计算的一般公式
二.结构位移计算的一般公式
整个杆件的变形
可根据叠加原理，得：
d M N Q 0 ds
如果结构中有多个杆件，则
d M N Q 0 ds
1 c
1 cA 0 3
c
1 cA 3
1
1 1 cA 0 cA 2l 2l
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
当支座有给定位移 cK 时，静定结构的位移可用虚功原理求出，其 计算步骤如下： (1)沿拟求位移 方向虚设相应的单位荷载，并求出单位荷载作用 下的支座反力 RK 。 (2)令虚设力系在实际位移上作虚功，写出虚功方程：
求未知力
虚功原理之 虚位移原理 虚功原理之 虚力原理
单位位移法
求未知位移
单位荷载法
§8-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
三.支座移动时静定结构的位移计算
下面应用单位荷载法求支座移动时静定结构的位移
如图 ⑴求C点的竖向位移 C ；
所示：⑵杆CD的角位移 ： ⑴求C点的竖向位移 C，应在C 加—个单位竖向荷载。而求杆 CD的角位移 ，应在杆CD上加 一个单位力偶荷载，利用虚力 原理得虚功方程：
●变形类型：它既可以考虑弯曲变形，也可以考虑拉伸或剪切变形。 ●变形因素：它既可以考虑荷载引起的位移，也可以考虑温度或支
座移动引起的位移。
●结构类型：它可用于梁、刚架、桁架、拱等各类型式的结构，也 可用于静定或起静定结构。
§8-2 结构位移计算的一般公式
◆ 此式不仅是变形体体系位移计算的一般公式，也是变形体虚功原理 的一种表示形式。因为：
结构力学——第6章结构位移计算讲解
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为： W WV
W FNdu Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。
例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。
解：实际状态FNP、MP如图b所示。 ΔDy
FN FNPl E1 A1
A yC E2 I2
虚拟状态FN、M如图c所示。
(1 2 2)Fa 4Fa3
()
E1 A1
3E2 I 2
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变
对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为
ΔKc FRc
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水 平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy
A yC 1 (l l ) Fl 1 (l 2l ) Fl EI EI 2 2 2EI 3 4
第六章 结构位移计算
1 y
1
c3
1
FR 3
F2 2 2
2x
FR1 FR 2
力状态
c2
位移状态
c1
W F11y F22 x FR1c1 FR2c2 FR3c3 F FRc
变形虚功：力状态的微段内力在位移状态的对应变形上所做的虚功， 再积分（对整段杆件）、求和（对结构所有杆件）。
F1 1
ds
1 y
1
ds
c3
dφ
FR 3
F2
2
M
FN FS
ds
FR1 FR 2
M dM FN d FN FS d FS
2
2x
ds du
γ
γd s ds
ds
c2
位移状态
力状态
c1
dWV ( FN dFN )du ( FS dFS )ds (M dM )d FN du FS ds Md
（3）、求解两点之间的相对线位移： 在两点沿连线方向施加一对指向 相反的单位力
F=1
3 4 3 F=1 4
求34
F
1
2
1
2
（4）、求解两点之间的相对角位移： 在两点施加一对方向相反的单位集 中力偶
3
4
3
4
求12
F M=1 M=1 2
1
2
1
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
q t2 FK=1
1 A yc () abl 6
正负号：如a、b在杆轴线同一侧则取“+”，在不同侧则取“-”
2、直线型与直线型图乘（斜率为常数）
A yc () EI
a
第六章 梁的位移
可解出
Fa 2 c2 , 2
1 1 1 EI z v ql 2 x 2 qlx3 qx 4 c1 x c2 4 6 24
(2)
2.16
第6章
梁的位移
6.2 用积分法求梁的位移
考虑边界条件，对于悬臂梁来说，悬臂端的转角和挠度为0，即
x0 x0
v 0
v0
将上述2个边界条件代入式(1)和式(2)，可解出积分常数为
1 1 EI z v qlx 2 qx3 c1 4 6
(2)
2.20
第6章
该梁的边界条件为
梁的位移
6.2 用积分法求梁的位移
x0 x 1
v0 v0
先将第1个边界条件代入式(2)，解出积分常数c2：
c2 0
再将第2个边界条件代入式(2)，可解出积分常数c1：
ql 3 c1 24
tan v f ( x)
即有
f ( x)
(c)
2.6
Qm
第6章
梁的位移
6.1 梁的挠曲线微分方程
式(c)称为转角方程，它表达了梁各横截面转角与挠度的关系。 在第5章，我们曾建立了挠曲线曲率(curvature)与弯矩的关系，即式 (5.1)所示 1 M EI z 在高等数学中，我们有曲率公式如下：
2.9
第6章
梁的位移
6.1 梁的挠曲线微分方程
x M (a) M (b) M M
x
M＜0
vⅱ ＞0
y y
M＞0
vⅱ ＜0
图6.2 曲率正负号的规定 (a) 梁受负弯矩作用；(b)梁受正弯矩作用
2.10
第6章
梁的位移
6.2 用积分法求梁的位移
06 结构位移计算要点
第六章 结构位移计算§6-1 概述1. 位移种类图6.1(1) 线位移，∆C 、∆D 、∆K ；(2) 角位移，ϕA 、ϕB 、ϕK ；(3) 相对线位移，∆C =∆D =∆CD ； (4) 相对角位移，B A B A ϕϕϕ=+。
2. 计算位移的目的(1) 校核结构刚度，尤其是大型结构与高层建筑；(2) 施工控制与定位；(3) 解超静定结构的需要。
3. 产生位移的原因荷载，支座移动，温度变化，材料收缩，制造误差等。
对于静定结构，只有荷载产生内力，但产生位移的原因有多种。
超静定结构，多种原因均产生内力与位移。
4. 位移计算原理 变形体虚功原理。
§6-2 变形体的虚功原理1. 实功与虚功实功：，W =F ⋅S 。
，W ≠F ⋅∆，**∆d F dW⋅=，∆∆∆⋅=⋅=⎰F d F W 210**。
虚功：，121∆F W =(实功，恒为正)；2*∆F W =，外力虚功，内力有M 与F S ，也作功，称为内力虚功，虚功可正可负。
虚功就是作功的力与位移没有关系。
2. 质点系虚功原理(虚位移原理)虚位移：一个体系发生约束条件许可的任何微小位移。
即(1) 是可能的位移状态；(2) 微小性。
质点系虚位移原理：具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要且充分条件是，对于任何虚位移，作用于质点系上的主动力所作虚总和为0.(1) 理想约束：约束反力在虚位移上的虚功恒为0称为理想约束。
(2) 主动力即作用荷载，不包括约束反力。
(3) 虚位移即可能的位移状态，即有可能。
刚体：任两点距离保持不变，可认为任两点之间有刚性链杆相连(理想约束)，即刚体是具有理想约束的质点系。
刚体体系：若干个刚体用理想约束连接起来的体系。
刚体虚位移原理：刚体体系处于平衡状态的必要且充分条件是，对于任意虚位移，所有主动力所作虚功总和为0. (注意，此处包括所有外力，即荷载与约束反力) 3. 变形体虚功原理变形体处于平衡状态的必要且充分条件是，对于任何虚位移，外力所作虚功总和等于内力在其虚变形上所作的虚功总和。
结构力学第六章位移法
面投影平衡求附加支杆中的反力。
13
16
↓↓↓↓↓↓↓↓
28 30
15kN/m 48kN
15kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
F1
48kN
Δ1 4m 当F1=0
基本体系
30 i
M图 (kN.m)
4m
i Δ1 30 2 i
2m k11 i 4i
Δ1=1
2m
20
15kN/m
F1P 36 20 MP
↓↓↓↓↓↓↓↓
48kN
2i k11 =8i 4i i 3i
3i
D1
M1
+
F1P=－16 20 0
36
F k11D1 F1P 0
M M 1D1 M P 叠加弯矩图
mAB
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
l，EI
l
ql2/2
M1
X1=1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M图
ql 2 mAB 8
mBA 0
8
4、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式：
D M AB 4i A 2i B 6i +mAB l D M BA 2i A 4i B 6i +mBA l
16
§6.5 位移法计算示例
一、连续梁
A
20kN
2kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1）确定基本未知量Δ1=θB ； 15 2）确定位移法基本体系； A 3）建立位移法典型方程；
结构力学[第六章位移法和力矩分配法]课程复习
![结构力学[第六章位移法和力矩分配法]课程复习](https://img.taocdn.com/s3/m/023ed414650e52ea5518988d.png)
第六章位移法和力矩分配法一、基本内容及学习要求本章内容包括：位移法的基本概念，位移法基本未知量的确定，位移法的计算步骤和示例，位移法的典型方程，力矩分配法的基本概念，力矩分配法计算连续梁和无结点线位移刚架，超静定结构的受力分析和变形特点等。
重点是位移法的基本原理及用位移法计算刚架，力矩分配法的基本原理和计算方法。
位移法是解算超静定结构的基本方法之一，力矩分配法是由位移法演变出来的常用渐进解法。
通过本章学习应达到：(1)掌握位移法的基本原理，准确判定位移法的基本未知量。
(2)灵活应用等截面单跨超静定梁的转角位移方程[教材式(5—3)～(5—6)]或表5—1，确定各种外因影响下的杆端弯矩和杆端剪力。
(3)熟练掌握位移法计算超静定梁和刚架的方法及步骤。
对照力法典型方程，加深对位移法典型方程的理解。
(4)掌握力矩分配法的计算原理和步骤，会计算连续梁和无结点线位移刚架。
(5)初步了解超静定结构的受力特点和变形性能。
根据不同结构选择合理的计算方法。
二、学习指导(一)位移法的解题思路§6—l以两跨连续梁为例说明了位移法的解题思路：(1)把超静定结构转化为由单跨超静定梁构成的组合体，用后者代替前者计算。
(2)利用单跨梁已知的转角位移方程，应用变形协调条件，建立结点位移与单跨梁杆端内力问的关系。
(3)根据组合体与原结构受力一致应满足的平衡条件，建立以结点位移为基本未知量的位移法方程。
(4)解方程求出结点位移，进而计算单跨梁的杆端内力。
教材§6—3以示例阐明了位移法的计算步骤和实际应用。
此外，教材§6—4介绍了建立位移法方程的另一途径，即首先选取基本结构，然后根据基本结构受力和变形应与原结构一致的条件建立位移法典型方程，求出其系数和自由项，同样解方程求得结点位移并绘出最后弯矩图。
其实，两种方式本质完全相同，只是建立方程的途径不同而已。
针对图6．1 a所示刚架的计算过程，可做如下扼要对比(表6．1)。
第六章 梁弯变形
(
)
q B q B1 q B 2
ql 3 ql 3 7ql 3 48 EI 384 EI 384 EI
(
)
第五节
静不定梁的解法
一.基本概念
1.超静定梁 单凭静力平衡方程 不能求出全部支反力的 梁 , 称为超静定梁
A
F
B
RA
A
F
RC
C
B
RB
MA FAx A
FAy MA FAx A FAy MA FAx
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
边界条件
x l ,时 w 0
A
q
wmax B
梁的转角方程和挠曲线方程 分别为:
q q (6lx 2 4 x 3 l 3 ) 24 EI
qA
x
qB
l
qx w (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
q l B
静定梁
q l B FB q A FAy l B FBx
超静定梁，超静定次数1
超静定梁，超静定次数2
FBy
q MB FBx FBy
MA
FAx
A FAy
l
B
超静定梁，超静定次数3
例1：如图所示之三支承梁，A处为固定绞链支座，B，C二处为
辊轴支座。梁作用有均布载荷。试求最大弯矩。 q
A
l 2
B
wqC
5qa 4 24 EI
(3)叠加
q
A B
q A q PA q qA
a2 (3 F 4qa ) 12 EI
5qa 4 Fa 3 w C ( ) 24 EI 6 EI
+
梁的位移
F
A
B
a
y
q
EI z
L
Cx
挠曲线方程应分两段AB,BC. 共有四个积分常数
边界条件
xa
xaL
连续条件
B 0 C 0
xa
B1 B2 B1 B2
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
挠曲线方程应分两段AB,BC.
共有四个积分常数
q
边界条件
A
Cx
B
EI z
k
x 0 A 0
l2
l2
xL
C
Fc k
qL 8k
y
连续条件
x L 2
B1 B2 B1 B2
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
yA 0
yB 0
在悬臂梁 中，固定端处的挠度 yA
A
B
和转角 A 都应等于零。
yA 0
θA0
例题 5.1
求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
F
x
A A
A
l
M x Fx
B
x
ddEExIIzzddxFx22MEI(CFZx1x) ddxxCC11
y
挠曲线方程(Equation of deflection curve)为 w f ( x)
式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度.
A
挠曲线
C C'
第六章 位移法
r11 Z1
EI
B
2EI iBC iCE 4
r EI 21 C
EI iBA iCD 4
E
M 0
2EI
A 0.5EI
D
M
图
1
r11 3EI
r12
r Z2 2EI 22
E
B
EI C
EI
1.5EI
r12 r21 EI r22 4.5EI
A
D 0.5EI M 2图
R R 30
Z1
R11
7EI l
Z1
实现位移状态可分两步完成：
1）在可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作 用下，附加约束上产生附加约束力； 2）在附加约束上施加外力，使结构发生与原结构一 致的结点位移。
分析：
1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特 征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；
2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约 束上的附加内力应等于0，按此可列出基本方程。
原结构上原本没有附加刚臂，故基本结构附加刚臂 上的约束力矩应为零。即
R1F
ql2 8
7EI R11 l Z1
R11 R1F 0 R11 r11Z1
r11Z1 R1F 0 （a）
Z1
ql 3 56 EI
式（a）称为位移法方程。式
r 中由：项。11它称们为的系方数向；规R1定F称与为Z1自方
A 0.5EI
D
M1图
R R 30
10k1NF·m
26.67 26.67 20kN/m
2F
40kN E
B
C
25
r12 B EI
梁弯曲的位移
max
Wmax
该梁的边界条件为：在 x=0 处 w 0, w 0.
C1 0，C2 0
梁弯曲的位移
从而有 转角方程
Fxl Fx2 w EI 2 EI
Fx2l Fx3 挠曲线方程 w 2 EI 6 EI
根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值，
以及挠曲线应光滑连续描出了挠曲线的示意图。
明显不同。
1 m EI
梁弯曲的位移
在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；
顺时针转向的转角 为正，逆时针转向的转角 为负。
梁弯曲的位移
Ⅰ. 挠曲线近似微分方程的导出 在§4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下 中性层的曲率为
这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。
梁弯曲的位移
w
梁弯曲的位移
Ⅱ. 挠曲线近似微分方程的积分及边界条件
M x w EI
求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为
进行积分，再利用边界条件确定积分常数。
M x w EI
E=常数：均匀梁 。 I=常数：等截面梁 。
梁弯曲的位移
挠度： y w( x) 已知：
M x 转角： dy w / w dx EI
例题: 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角max。
x
F
max
Wmax
L
梁弯曲的位移
解：该梁的弯矩方程为
M x F l x
x
F
挠曲线近似微分方程为
EIw M x F l x
以 x 为自变量进行积分得 x2 EIw F lx C1 2 lx 2 x 3 EIw F 2 6 C1 x C2 于是得
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（ ）
（ ）
Fab 6 E Il
x1
l a
y ）
l
当a>b 时，
m ax B
l a （
简支梁最大挠度必定在转角为零处。设该截面的位置为x1，先研究 AC段， 令 1 x1 0 ，即
Fb 2l x1
2
Fb 6l
l
2
b
2
0
x1
解：挠曲线的大致形状，是根据 梁的M图和约束情况(位移条件) 画出的。 AE段M为负，挠曲线为上凸；
A
2F
M e Fa
E
C D
B
a Fa
a
a
x Fa B
A为固定端， A
0, w A 0
ED段M为正，挠曲线为下凸； E截面弯矩为零，故E点为挠 曲线上的拐点（反弯点）
M
D A
DB段M=0，挠曲线为斜直线；
z
A
C
F
B
w
x 挠曲线
w wx
挠度方程 转角方程
x y
C
x
2.挠度和转角的关系 因为θ角非常小，故转角方程可表示为
x tan x
dw x dx
w x
即： x
w x
（挠曲线上任一点处切线的斜率等于该点处横 截面的转角）
l b
2
2
3
a 2b a
3
当a>b 时，由上式得x1<a，即表明转角为零的点确在AC段，从而有
w m ax w1 x1 Fb 9 3 E Il
l
2
b
2
3
w m ax
的近似值
A
FA Fb l
A
a x
F
b
B
当集中荷载F离右支座非常 近时，即当b值甚小，则
变形和位移是两个不同的概念，但又互相联系。
Me Me Me
A
A
B
l
B
l
A wA 0
1 M EI z
B 0 wB 0
wA 0 A 0
wB 0 B 0
两根梁的长度、材料、横截面的形状和尺寸以及受力情况均相同。
由
可知
两根梁的弯曲变形程度相同，但位移明显不同。
wCM
e
wCq
5ql
4
384 EI
Aq
ql
3
24 EI
（ ）
M el 3EI
Bq
（ ）
ql
3
（ ）
24 E I
M el
2
16 EI
AM
e
M el 6EI
（ ）
wC 5ql
4
BM
e
将相应的位移叠加，得
A
ql
3
M el
2
384 EI
2 2
(5)求 m ax 和 w m ax 由挠曲线大致形状可见， 可能为 A 或 B 。
A 1 (0 )
B 2 (l )
Fab 6 E Il Fab 6 E Il
a
m ax
F
b
B
A
FA Fb l
A
w m ax
C B
FB
x
Fa l
l b
x l， w B l B D
例6-1 求 ( x ), w ( x ) ，并确定
解：(1) 列弯矩方程
M
m ax
和w
m ax
。EI为常数。
F
x
F l x
(2) 建立挠曲线近似微分方程， 并对其积分
E Iw x M
A
EI x l
B
x
x
(1 )
注：（1）始终以x左段梁
为分离体 （2）保留（x-a）积分变量
E Iw1 x
Fb 6l
x C1 x C 2
3
(2 )
CB段 a
x l
2
a
A
FA Fb l
A
F
b
B
E Iw 2 x M
x
x F x a
x
2
C B
第六章
梁的位移
目
§6-1 概述
录
§6-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §6-3 用叠加法求梁的位移 §6-4 梁的刚度条件 提高粱刚度的措施
§6-1 概述 1.挠度和转角的概念
z
A C
F
F
B
w
C
x 挠曲线
C
z
I yz 0
y、z为形心主轴 y
y
挠度： 任一横截面的形心在垂直于原来轴线方向的线位 移（y方向），称为该截面的挠度，用w表示。 转角： 任一横截面对其原方位的角位移，称为该截面的 转角，用θ表示。 符号规定： w（↓）“+” θ（ ）“+”
C 1、 C 2
当弯矩方程需分段列出时，挠曲线近似微分方程也应分段建立。 此时除了要应用位移边界条件之外，还需利用分段处挠曲线的连 续、光滑条件。这种位移条件通常称为位移连续条件。
积分常数的确定
F
A B
一个弯矩方程，两个积分常数
x
位移边界条件：x 0， w 0 0； 0 0
例6-4 用叠加法求 w
q
A C
l 2
C
, A , B
，EI为常量。
A B
q
C B
Me
x
l 2
＝
A
Aq
wCq
Bq
Me
y
解： w C w C q w C M
e
C
B
e
A Aq AM , B Bq BM
AM
e
e
wC M
e
BM
e
由表6-1查得
Fl
2
（ ）
3
2EI Fl
w m ax w l
3EI
例6-2 求 ( x ), w ( x ) ，并确定
解：(1) 分段列弯矩方程
AC段 0 x a
M1 x Fb l x
m ax
和w
m ax
。EI为常数。 a
F
C
B
b
B
A
A
x
Fa l
FA
x
(6-1)
（6-1）式称为梁的挠曲线近似微分方程
E Iw x M
x
挠曲线近似微分方程
近似原因
1 w
不计剪力FS对位移的影响
x
2
1
用积分法求梁的挠度和转角
积分一次
E Iw x w M
x d x C1
再积分一次 E Iw x M x d x d x C 1 x C 2 为积分常数，可通过已知的位移条件来确定。 例如铰支座处的挠度等于零；固定端处的挠度和转角均等于零。 这种已知的位移条件，通常称为位移边界条件。
1 2
Fl Fx
2
y
E Iw x 1 2 F lx
2
E Iw x F lx
F x C1
1 6
F x C1 x C 2
3
(3) 确定积分常数 位移边界条件 ： x 0, w (0) 0 C 1 0
x 0, w (0 ) 0 C 2 0
0
1
y
1
0
于是（5-1）式写成
M EI
（a）
横力弯曲时，若梁的跨度远大于横截面高度时，剪力对位移的 影响很小，可忽略不计。所以（a）式仍可沿用但应作相应变化。
1
x
M
x
EI
（b）
1
x
M
x
EI
1 w x 1 w x
x l , w2 l 0
C2 0
b D 1l D 2 0
3
5 6
Fb 6
l
2
F 6
位移连续条件：
x a , w1 a w 2 a
C 1 D1
a
A
FA Fb l
A
F
b
B
C B
x
Fa l
x
7 8
(5) 求 m ax 和 w m ax
1 F 2 x w x x F lx A EI 2
F
m ax
EI x l
B
x
w m ax
m ax
1 Fl 2 F 3 wx x x EI 2 6
y
m ax w l
梁的弯曲变形仅与弯矩和梁的弯曲刚度有关，而位移不仅与弯矩、 弯曲刚度有关，还与梁的约束条件有关。
3.研究梁的位移的目的
①刚度校核（§6-4） ②为解超静定梁打下基础（§8-5）
§6-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
纯弯曲时梁中性层的曲率为
O
1
O
M EI
(5-1)
x
M
1
M
x
MHale Waihona Puke MM 0y