第三讲 典型应用题
【精品奥数】三年级下册数学思维训练讲义-第三讲 应用题(二) 人教版(含答案)
第三讲应用题（二）第一部分：趣味数学邓世昌献身大海爱国故事自古以来，牺牲在战场上，一直是爱国军人引以自豪的志向。
特别是那些明知死在眼前仍勇敢赴难的人，更令人崇敬。
在中日甲午海战中牺牲的邓世昌就是这样的人。
邓世昌是我国最早的一批海军军官中的一个，是清朝北洋舰队中“致远”号的舰长。
他有强烈的爱国心，常对士兵们说:“人谁无死？但愿我们死得其所，死得值！”1894年，中国和日本之间爆发了甲午战争。
邓世昌多次表示：如果在海上和日舰相遇，遇到危险，我就和它同沉大海！这年9月的一天，日本舰队突然袭击中国舰队，一场海战打响了，这就是黄海大战。
战中，中国担任指挥的旗舰被击伤，大旗被击落，邓世昌立即下令在自己的舰上升起旗帜，吸引住敌舰。
他指挥的“致远”号”在战斗中最英勇，前后火炮一齐开火，连连击中日舰。
日舰包围过来，“致远”号受了重伤，开始倾斜，炮弹也打光了。
邓世昌感到最后时刻到了，对部下说：“我们就是死，也要撞出中国海军的威风，报国的时刻到了！”他下令开足马力向日舰吉野号冲过去，要和它同归于尽，这大无畏的气概把日本人吓呆了。
不幸一发炮弹击中“致远”舰的鱼雷发射管，管内鱼雷发生爆炸导致“致远”舰沉没。
200 多名官兵大部分牺牲。
邓世昌坠身入海，随从抛给他救生圈，他执意不接，爱犬“太阳”飞速游来，衔住他的衣服，使他无法下沉，可他见部下都没有生还，狠了狠心，将爱犬按入水中，一起沉入碧波，献出了宝贵的生命，享年45岁。
【启示】爱国，是一种使命。
作为一名爱国军人，能够牺牲在战场上，是他们引以自豪的志向。
但是邓世昌却是明知死在眼前仍勇敢赴难，更令人由衷地敬佩。
他强烈的爱国心永远激。
二年级奥数培优专题第三讲 应 用 题3
二年级奥数培优专题第三讲应用题（三）【专题导引】小朋友,我们已经学过怎样解答两步计算的应用题。
知道了在解答时,首先要弄清题意,仔细分析题中的数量关系,然后才能正确解答,这讲我们再来做些这方面的练习。
要想顺利地解答应用题,可以根据题中所给的条件和问题画出线段图,再进行认真分析,这样题中的数量关系可一目了然,从而找准隐藏条件,正确列式解答。
【典型例题】【例1】果园里有桃树20棵,苹果树是桃树的2倍,两种树一共有多少棵？【试一试】1、弟弟有故事书8本,哥哥故事书的本数是弟弟的2倍,兄弟俩共有多少本故事书？2、胡大婶家有9只鸭,鸡的只数是鸭的4倍,她家共有鸡鸭多少只？【例2】小明看一本故事书,每天看12页,他看了5天还剩4页没看完,这本书共多少页？【试一试】1、某工厂8天内要赶造一批零件,计划每天造100个就能完成任务,实际第7天共完成了690个,那么在第8天必须造多少个？2、二（1）班教室有8个小组,其中7个小组都是每组5人,有一个小组坐了6人,二（1）班共有多少同学？【例3】小明看一本书,每天看7页,6天后还剩35页,小明看完这本书一共需要多少天？【试一试】1、一堆煤,每次运走3吨,运了8次后还剩42吨,运完这堆煤,一共要多少次？2、张师傅加工一批零件,每天加工10个,8天后还剩40个,加工完这批零件需要多少天？【例4】仓库里有一些水泥,第一天用去一半,第二天用去剩下的一半,结果还剩18包。
仓库里原来有多少包水泥？【试一试】1、一筐鲜鱼,先卖出鲜鱼的一半,再卖出剩下的一半,这时还有鲜鱼17千克,原来这筐鲜鱼重多少千克？2、小明看一本书,第一天看了总数的一半,第二天看了剩下的一半,第三天看了5页,正好全部看完。
请你算出这本书一共有多少页？【例5】体育室有足球和篮球共45个,篮球比足球多7个,足球有多少个？【试一试】1、育红小学五六年级学生共植树106棵,六年级比五年级多植树24棵,五年级植树多少棵？2、小红家养了30只鸡,母鸡比公鸡多8只,小红家养公鸡几只？【例6】瓶里装着一些油,把油加到原来的2倍,称重为5千克,把油加到原来的4倍时,再称重为9千克,问原来有油多少千克？【试一试】1、玻璃瓶里装着一些水,把水加到原来的3倍,称得重10千克,把水加到原来的5倍,称得重14千克,问原来水多少千克？2、杯里装着一些牛奶,把牛奶加到原来的8倍,是320毫升,把牛奶加到原来的5倍,是230毫升,问杯里原有多少毫升的牛奶？【※例7】甲乙两个工程队修路,甲队每天修18米,比乙队每天多修2米,3天后甲乙两队共修多少米？【※试一试】1、甲、乙两个汽车队运沙子,甲队每天运25吨,比乙队每天多运5吨,4天后甲乙两个汽车队共运多少吨沙子？2、6名少先队员平均分成两组剪纸花,第一组每人剪13朵,比第二小组每人多剪2朵,两队共剪多少朵纸花？课外作业家长签名：_____________1、小明有7本科技书,小亮的科技书本数是小明的7倍,他们俩共有科技书多少本？2、图书室新到了一批书,平均分给8个班,每个班分到15本,还剩7本,图书室新到了多少本书？3、玲玲看一本书,计划每天看10页,15天看完。
08春小学五年级 第03讲 典型应用题(一) 系统复习班 教师版
关于植树的路线，有封闭与不封闭两种路线.1.不封闭路线例：如图① 若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.如上图把总长平均分成5段，但植树棵数是6棵.全长、棵数、株距三者之间的关系是：棵数=段数+1=全长÷株距+1全长=株距×（棵数-1）株距=全长÷（棵数-1）② 如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：全长=株距×棵数；棵数=全长÷株距；株距=全长÷棵数.③ 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵.棵数=段数-1=全长÷株距-1.如右图所示.段数为5段，植树棵数为4棵.株距=全长÷（棵数+1）.2.封闭的植树路线例如：在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数.如右图所示.棵数=段数=周长÷株距.有些植树问题，从表面上看并没有出现“植树”情节，但题意反映的是植树问题的基本数量关系．我们要认真读题，分析.【例1】晶晶上楼，从第一层走到第三层需要走36级台阶．如果从第一层走到第六层需要走多少级台阶?(各层楼之间的台阶数相同)【分析】题意的实质反映的是一线段上的点数与间隔数之间的关系．线段示意图如下：解：①每相邻两层楼之间有多少级台阶?36÷(3-1)=18(级)②从第一层走到第六层共多少级台阶?18×(6-1)=90(级)答：从第一层走到第六层需要走90级台阶．【例2】有三根木料，打算把每根锯成3段，每锯开一处需用3分钟，全部锯完需要多少分钟?【分析】求锯的次数属植树问题思路．一根木料锯成了3段，只要锯3-1=2次，锯3根木料要2×3=6次，问题随之可求．解：①一根木料要锯成3段，共要锯多少次?3-1=2(次)②锯开三根木料要多少次?2×3=6(次)③锯三根木料要多少时间?3×6=18(分钟)综合算式：3×[(3-1)×3]=18(分钟)或3×(3-1)×3=18(分钟)答：全部锯完要18分钟．【例3】从甲地到乙地每隔45米安装一根电线杆，加上两端共53根；现在改成每隔60米安装一根电线杆．求可余下多少根电线杆?【分析】该题含植树问题、相差关系两组数量关系.解：①从甲地到乙地距离多少米?45×(53-1)=2340(米)②间隔距离变化后，甲乙两地之间安装多少根电线杆?2340÷60+1=40(根)③可余下多少根电线杆?53-40=13(根)综合算式：53-[45×(53-1)÷60+1]=13(根)答：可余下13根电线杆．【拓展】在某校周长400米的环形跑道上，每隔8米插一面红旗，然后在相邻两面红旗之间每隔2米插一面黄旗，应准备红旗______面，黄旗______面．【分析】40O ÷8=50 （红旗）8÷2-1=3 3×50=150 （黄旗）【例4】 园林工人要在周长300米的圆形花坛边等距离地栽上树.他们先沿着花坛的边每隔3米挖一个坑，当挖完30个坑时，突然接到通知：改为每隔5米栽一颗树.这样，他们还要挖多少个坑才能完成任务？【分析】这道题的关键就在之间每3米一个，已经挖的坑，和后来改成5米挖一个坑，有多少个是重复不需要挖的，那么一步一步分析如下：（1）从第1个坑到第30个坑，共有多长？（30-1）×3=87（米）（2）改为“每5米栽一棵树”，有多少坑仍然有用？87÷15=5 (12)5+1=6（个）（3）改为“每5米栽一棵树”，一共应挖多少个坑？300÷5=60（个）（4）还要挖多少个？60-6=54（个）答：还要挖54个才能完成任务.解题要点：对于鸡兔同笼问题，应先假设，然后把假设情形与事实情形作比较，得出两种情形下总数的差.然后找到出现这个“差”的原因是经过假设，每份数增加了.最后根据这个因果关系列式，求出份数.【例5】 （1）在一个笼子里有鸡和兔共8只，鸡兔共22只脚．问鸡和兔各有多少只?【分析】鸡和兔共8只，就是说鸡、兔一共有8个头，每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚．这是一道古代的“鸡兔同笼问题”．根据题意画出图，可用图示法解答．解：(1)先画出8个头，用“〇”表示：(2)每个头的下面画出两只脚：把8只全看做是鸡，共画了16只脚，比题中给出的脚少了22-16=6只脚．(3)再给每只鸡添上两只脚使鸡变成兔，边画边数，画够22只脚：答：笼子里有5只鸡，3只兔．（2）今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只，问鸡兔各几只?【分析】方法一：从已知的35个头，可知鸡兔共35只；又知鸡一只有2只脚，兔一只有’4只脚，假设笼中全是鸡，那么笼中共有(2×35)=70只脚，实际上笼中有94只脚，多出(94—70)=24只脚，什么原因?因为我们把笼中的兔都当作了鸡，每只兔少算了2只脚，所以笼中兔应有(24÷2)=12只，那么鸡有(35—12)=23只．综合算式：(94—2×35)÷(4—2)=12(只)，35—12=23(只)方法二：还可假设笼中都是兔，则35只兔有(4×35)=140只脚，这比笼中实际脚的只数多(140—94)=46只，原因是把鸡都算作了兔，每只鸡多算了2只脚，总共多算了46只脚，所以鸡应该有(46÷2)=23只，兔有(35—23)=12只．综合算式：(4×35—94)÷(4—2)=23(只)，35—23=12(只)方法三：还可以这样假设；假设笼中每个动物砍掉2只脚，则鸡无脚，每只兔只剩下2只脚，笼还剩的脚共有(94—2×35)=24只，所以有24÷(4—2)=12只兔，所以鸡有35—12=23只．答：笼中有12只兔，23只鸡．【例6】鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只.问：鸡、兔各多少只?【分析】假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零.这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200—20=180(只).现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6(只)，而180÷6=30，因此有兔子30只，鸡100—30=70(只).【例7】（1）某次数学竞赛，共有20道题，每道题做对得5分，没做或做错都要扣3分，小聪得了60分，他做对了_______道题.【分析】20道题全对应该得20×5=100分，还有100+60=40（分）没有得.做错(5×20-60 ) ÷(5+3)=5(道)因此，做对的20-5=15(道).（2）春风小学3名云参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道题扣3分，这3名同学都回答了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分，他们三人一共答对了_____道题.【分析】三人共得87+74+9=170(分)，比满分10×10×3=300(分)少300-170=130(分)因此三个人共做错：130÷(10+3)=10(道)题，共答对了30-10=20(道)题【例8】 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？【分析】这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿.因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为 6×18=108（条），所差 118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少 20-13＝7（对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7÷（2-1）=7（只）.盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．盈亏问题的一般思维方法是比较法．一般解法是：(盈+亏)÷两次分配数的差=人数物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.【例9】 王老师去买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还差30元.则儿童小提琴多少钱一把?王老师带了多少钱?【分析】本题在购物的两个方案中，每一个方案都出现钱不足的情况，买7把小提琴差110元，买5把小提琴差30元.从买7把变成买5把，少买了7—5=2(把)提琴，而钱的差额减少了110—30=80(元)，即80元钱可以买2把小提琴，可见小提琴的单价为每把40元.王老师带了40×7-110=170元钱.【例10】某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床位，问宿舍几间?住宿生几人?【分析】由已知条件每间5人少14个床位每间7人多4个床位比较两次分配的方案，可以看出，由于第二种方案比第一种每间多住(7—5)=2人，一共要多出(14+4)=18个床位，根据两种方案每间住的人数的差和床位差，可以求出宿舍间数，然后根据已知条件可求出住宿生人数．解：(4+14)÷(7—5)＝9(间)5×9+14=59(人)，或7×9—4=59(人)答：有宿舍9间，住宿生59人．【例11】有一批笔记本奖给三好生，如果每人发5本就多12本；如果每人发8本就多3本．问有多少本笔记本?【分析】由题意可知，第一次每人发5本，多出12本；第二次每人发8本就多出3本，这两次分配结果相差(12—3)=9本，这是因为两次分配中每人所发本数相差(8—5)=3本，多少人就相差9本呢?9÷3=3(人)，再求出一共有多少本笔记本．解：(12—3)÷(8—5)=9÷3=3(人)5×3+12=27(本)答：有27本笔记本．【例12】有若干个苹果和若干个梨.如果按每1个苹果配2个梨分堆，那么梨分完时还剩2个苹果；如果按每3个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨.苹果和梨各有多少个?【分析】容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到.原因在于第一种方案是1个苹果“搭配”2个梨，第二种方案是3个苹果“搭配”5个梨.如果将这两种方案统一为1个苹果“搭配”若干个梨，那么问题就好解决了.将原题条件变为“1个苹果搭配2个梨，缺4个梨；1个苹果搭配5/3个梨，多1个梨”，此时盈亏总额为4+1=5(个)梨，两次分配数之差为2-5/3=1/3(个)梨.所以有苹果(4+1)÷（2-5/3）=15(个)，有梨15×2—4=26(个).【附1】一个圆形花坛，周长是180米.每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药？多少棵月季？两棵月季之间的株距是多少米？【分析】 ①在圆形花坛上栽花，是封闭路线问题，其株数=段数.② 由于相邻的两棵芍药花之间等距的栽有两棵月季，则每6米之中共有3棵花，且月季花棵数是芍药的2倍.解：共可栽芍药花：180÷6＝30（棵）共种月季花：2×30＝60（棵）两种花共：30+60=90（棵）两棵花之间距离：180÷90=2（米）相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍药花，所以月季花的株距是2米或4米. 答：种芍药花30棵，月季花60棵，两棵月季花之间距离为2米或4米.【附2】马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米？【分析】 张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树了；只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度.解：5分钟汽车共走了：9×（501-1）=4500（米），汽车每分钟走：4500÷5=900（米），汽车每小时走：900×60=54000（米）=54（千米）列综合式：9×（501-1）÷5×60÷1000=54（千米）答：汽车每小时行54千米.【附3】现有大小油桶50个，每个大桶可装油4千克，每个小桶可装油2千克，大桶比小桶共多装油20千克，问大小桶各多少个?分析与解答一：假设50个油桶都是大桶，则共装油(4×50)=200千克，而这小桶所装油则为0．这样大桶比小桶多装200千克，比条件所给的差数多了(200—80)=180千克，若在50个大桶中把一部分大桶换成小桶，则每拿一个大桶换成小桶，大桶装的油就减少4千克，而小桶共装的油就增加2千克，那么大桶比小桶多装的数量就减少(4+2)=6千克，那么该把多少个大桶换成小桶才符合题意呢?解： (4×50—20)÷(4+2)=180÷6=30(个)(小桶)50—30=20(个) (大桶)分析与解答二：这道题也可以用另外一种假设；每个大桶比每个小桶多装2千克，如果大小桶同样多，大桶要比小桶共多装20千克，则应该大小桶各20÷(4—2)=10个，现在共有50个桶，在剩下的(50—10×2)=30个桶中，大小桶应装同样多的油，而每个大桶装的油是每个小桶装的(4÷2)=2倍，那么在这30个桶中，应该有[30÷(1+2)]=10个大桶，(30—10)=20个小桶；所以可求出50个桶中，有大小桶各多少个．解：20÷(4—2)=10(个)(50—10×2)÷(1+2)=10(个) (大桶)10+10=20(个) (大桶共有)50一20=30(个) (小桶共有)答：有大桶20个，小桶30个．【附4】100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍.问：大、小和尚各有多少人？【分析】本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得.如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解.假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）.现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3——1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80 人，大和尚有100－80＝20（人）.【附5】东东从家去学校，如果每分走80米，结果比上课提前6分到校，如果每分走50米，则要迟到3分，那么东东家到学校的路程是______米．【分析】这道题看似行程问题，实质却可以用盈亏问题来解.先求出东东从家到学校路上要用多长时间，根据已知，(80×6＋50×3)÷(80—50)＝630÷30＝21(分钟)，然后可求东东家离校的路程为：80×(21—6)＝1200(米)．【附6】有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？【分析】法一：如果小明第一次测验24题全对，得5×24=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是8×6-2×（15-6）=30（分）.两次相差120-30=90（分）.比题目中条件相差10分，多了80分.说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少6+10=16（分）.（90-10）÷（6+10）=5（题）.因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11（题）.第一次得分5×19-1×（24- 9）=90.第二次得分8×11-2×（15-11）=80.法二：答对30题，也就是两次共答错24+15-30=9（题）.第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16 （分）.如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分”，要少了6×9+10.因此，第二次答错题数是（6×9+10）÷（6+10）=4（题）.第一次答错 9-4=5（题）.第一次得分 5×（24-5）-1×5=90（分）.第二次得分 8×（15-4）-2×4=80（分）.1. 有一条公路长900米，在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？【分析】 要以两棵电线杆之间的距离作为分段标准.公路全长可分成若干段.由于公路的两端都要求栽杆，所以电线杆的根数比分成的段数多1.解：以10米为一段，公路全长可以分成900÷10＝90（段）共需电线杆根数：90+1=91（根）答：可栽电线杆91根.2. 小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只.问：小梅家的鸡与兔各有多少只？【分析】假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了.如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只.因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数.解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有鸡16-6＝10（只）.答：有6只兔，10只鸡.3. 小明妈妈养鸡兔若干只，已知鸡比兔多13只，鸡的脚比兔的脚多16只，问妈妈养鸡兔各几只?【分析】如果每只兔砍去2只脚，则鸡比兔要多出(2×13)=26只脚，实际上只多出16只脚，相差(26—16)=10只脚，这就是砍去的兔脚，每只兔砍去2只脚，从而可求出兔的只数．解： (2×13—16)÷2’=10÷2=5(只) (兔)5+13=18(只) (鸡)答：小明妈妈养兔5只，养鸡18只．4. 小朋友分糖果，若每人分3粒则剩2粒；若每人分5粒则少6粒.问：有多少个小朋友？多少粒糖果？【分析】 （6＋2）÷（4-2）＝4（人），3×4＋2＝14（粒）.答：有4个小朋友，14粒糖果.5. 一张数学试卷，只有25道选择题，做对一题得4分，做错一题倒扣1分，如不做，不得分也不扣分，若某同学得了78分，那么他做对______题，做错______题，不做______题.【分析】78÷4=19.5>19，就是说小明至少做对20道题，假设他做对21题，即使其余4题全做错了，也应得21×4-4×1=80(分) >78(分)，所以小明做对20题，从而易知小明3题不做 ，做错2道题.答案为20，2，3.断 箭不相信自己的意志，永远也做不成将军.春秋战国时代，一位父亲和他的儿子出征打战.父亲已做了将军，儿子还只是马前卒.又一阵号角吹响，战鼓雷鸣了，父亲庄严地托起一个箭囊，其中插着一只箭.父亲郑重对儿子说："这是家袭宝箭，配带身边，力量无穷，但千万不可抽出来.那是一个极其精美的箭囊，厚牛皮打制，镶着幽幽泛光的铜边儿，再看露出的箭尾.一眼便能认定用上等的孔雀羽毛制作.儿子喜上眉梢，贪婪地推想箭杆、箭头的模样，耳旁仿佛嗖嗖地箭声掠过，敌方的主帅应声折马而毙.果然，配带宝箭的儿子英勇非凡，所向披靡.当鸣金收兵的号角吹响时，儿子再也禁不住得胜的豪气，完全背弃了父亲的叮嘱，强烈的欲望驱赶着他呼一声就拔出宝箭，试图看个究竟.骤然间他惊呆了.一只断箭，箭囊里装着一只折断的箭.我一直刳着只断箭打仗呢！儿子吓出了一身冷汗，仿佛顷刻间失去支柱的房子，轰然意志坍塌了.结果不言自明，儿子惨死于乱军之中.拂开蒙蒙的硝烟，父亲拣起那柄断箭，沉重地啐一口道："不相信自己的意志，永远也做不成将军."把胜败寄托在一只宝箭上，多么愚蠢，而当一个人把生命的核心与把柄交给别人，又多么危险！比如把希望寄托在儿女身上；把幸福寄托在丈夫身上；把生活保障寄托在单位身上…… 温馨提示：自己才是一只箭，若要它坚韧，若要它锋利，若要它百步穿杨，百发百中，磨砺它，拯救它的都只能是自己.。
六年级上册数学同步拓展第3讲应用题审题思维训练 北师大版
第3讲应用题审题思维训练例1：甲乙两地相距375千米，一辆汽车由甲地到乙地，上午行驶了3小时，每小时行驶45千米，剩下的路程下午用5小时行完。
下午每小时行多少千米？例2：一个服装厂原来做一-套制服用布4.2米，采用新的校剪方法以后，每套节省用布0.2米。
原来做1400套制服的布，现在可以做多少套?例3：一堆同样规格的铁钉,共重765克。
取出50只，余下的重750克。
这堆铁钉共有多少只?例4：学校体育室买来12个篮球和8个排球,一共用去508元。
已知一个篮球比-一个排球贵14元，篮球和排球的单价各多少元？例5：五(1)班第一小组一次数学测试的成绩分别是79、82、73 95、53、97、80、100、74、87,这个小组的平均成绩是多少分?例6：四(3)班第一小组的同学在-次数学单元测验中，4个女生平均每人得91.5分，5个男生平均每人得87分,第一小组平均每人得几分?例7：山路长6千米,小宏上山的速度是每小时2千米,到达山项后立即下山，下山的速度是每小时6千米。
求小宏上、下山的平均速度。
例8：小李和小红同时从相距28 千米的，A、B两地相向而行。
小李每小时行4千米。
小红每小时行3千米，经过几小时后两人相遇?例9：甲乙两车同时从相隔6千米的两地背向而行，甲车每小时行32千米，乙车每小时行38千米,4小时后，两车相距多少千米?例10：(1) 5头猪一天要吃50千克饲料,如果猪增加3倍，一天要吃掉多少千克饲料?(2)5头猪一天要吃50千克饲料,如果猪增加到原来的3倍，.一天要吃掉多少千克饲料?[反馈训练]1.电视机厂装配车间计划每天装配840台电视机,要12天完成，现在要提前2天完成,则比原计划每天多装几台?2.两个修路队原计划16天修路3400米,实际第一队平均每天修162米，第二队平均银、修178米,这样,可提前几天完成任务?3.制皂厂6天可生产香息27000块,现在要生产香皂360箱,每箱50块，需要多少天?4.妈妈买来5.4千克苹果和8千克橘子,共付人民币46.12元。
北师大三年级下奥数第三讲《对应法解题》
对应法解题例题1、奶奶去买水果，如果她买4千克梨和5千克荔枝，需花58元；如果她买6千克梨和5千克荔枝，那么需花62元。
问1千克梨和1千克荔枝各多少元？练习一1、3筐苹果和5筐橘子共重270千克，3筐苹果和7筐橘子共重342千克。
一筐苹果和一筐橘子各重多少千克？2、张老师为图书室买书，如果他买6本童话书和7本故事书需要144元；如果买9本童话书和7本故事书，需要174元。
现在张老师买7本童话书和6本故事书，共需多少元？3、粮店运来一批粮食，4袋大米和5袋面粉共重600千克，4袋大米和3袋面粉共重340千克。
一袋大米和一袋面粉各重多少千克？4、学校需要买一些足球和排球，若买1个足球和3个排球需要100元，若买2个足球和3个排球则需要140元。
买一个足球和一个排球共需要多少钱？例题2、学校买足球和排球，买3个足球和4个排球共需要190元，如果买6个足球和2个排球需要230元。
一个足球和一个排球各多少元？练习二1、5筐番茄和2筐黄瓜共重330千克，3筐番茄和4筐黄瓜共重310千克。
一筐番茄和一筐黄瓜各重多少千克？2、4本练习本和5枝圆株笔共14元，2本练习本和4枝圆珠笔共10元。
一本练习本和一枝圆珠笔各多少元？3、2件上衣和3条裤子共480元，4件上衣和2条裤子共640地。
一件上衣和一条裤子各多少元？4、3个铜球和2个铁球共重54千克，同样的4个铜球和6个铁球共重92千克，两种球各重多少千克？例题3、商店里有一些气球，其中红气球和蓝气球共21只，蓝气球和黄气球共28只，黄气球和红气球共29只。
红气球、蓝气球和黄气球各有多少只？练习三1、小明和小红共12岁，小红和小丽共17岁，小丽和小明共13岁。
三人各多少岁？2、新华书店有批书，故事书和连环画共70本，连环画和科技书共82本，科技书和故事书共76本。
三种书各多少本？3、公园开菊花展，白菊花和黄菊花共152盆，黄菊花和红菊花共128盆，红菊花和白菊花共168盆。
五年级奥数第三讲行程问题综合
第三讲行程问题（综合问题）【知识提纲】：我们把讨论有关物体运动的速度，时间，路程问题的应用题称为行程应用题。
主指一个物体的运动和两个或几个物体的运动两大类，两个或儿个物体的运动又可以分为相遇问题和追及问题两类。
苏步青老爷爷是我国著名的数学家，他曾遇到一位外国数学家,这位数学家出了一道行程问题的题目让他做，有意思的是题目中还有一条活泼可爱好动的小狗,同学们想知道吗？那就让我们一起来看一下吧。
狗跑的时间与甲,乙两人走的时间相同【典型例题1】甲、乙两人同时从两地出发,相向而行,距离100千米。
甲每小时行6千米，乙每小时行4千米。
甲带着一只狗，狗每小时行10千米。
这只狗同甲一道出发，向乙跑去，碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边跑，碰到甲后又往乙那边跑(直到两人相遇。
这只狗共跑了多少千米?【思路解析】：由于狗从甲跑向乙，遇乙后又掉头跑向甲，遇甲又跑向乙......直至甲、乙两人相遇。
狗跑的路程来来回回比较复杂，很难用分段的方法算出狗跑的路程。
通过比较，发现狗跑的时间正好就是甲、乙两人相遇的时间，用这个时间和狗跑的速度相乘就得到狗跑的路程。
解：100÷(6+4)= 100÷10=10(小时）10x10=100(千米)答:狗一共跑了100千米。
路程差除以速度差得出相遇时间或追及时间【典型例题2】小玲每分钟行100米，小明每分钟行80米，两人同时从学校和少年宫出发相向而行，在离中点120米处相遇。
学校与少年宫相距多远?【思路解析】：两人离中点120米处相遇，因小玲速度比小明快，所以相遇时小玲行全程的一半多120米，小明行全程的一半少120米。
因此相同的时间里，小玲比小明多行了120x2=240(米)，又因小玲比小明每分钟多100-80=20(米)，从而求出小玲、小明两人相遇时小玲比小明多行240米所用的时间，即240÷20=12(分)，最后用两人的（速度和）×（相遇时间）=两地距离。
五年级奥数综合问题-第三讲-方阵问题
五年级奥数综合问题 第三讲 方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
核心公式：1．总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）2．外一层每边人数比内一层每边人数多2相邻两层之间，每层的总数相差8 3．最外层每边人数=（最外层总人数÷4）＋1 最外层总人数 = (最外层每边人数-1) ×4 4．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1 5. 中空方阵总个数=（每边个数一层数）×层数×4例1:学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。
根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。
【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？【巩固3】一个正方形的队列横竖各减少一排共27人，求这个正方形队列原来有多少人？【巩固4】小红摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚，最外边的一层共多少枚棋子？例2：参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。
问参加团体操表演的运动员有多少人？解析：从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人，因而我们可以得到如下公式：去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1解 ：方阵问题的核心是求最外层每边人数。
六年级上册数学同步拓展第3讲应用题审题思维训练 北师大版
第3讲应用题审题思维训练例1：甲乙两地相距375千米，一辆汽车由甲地到乙地，上午行驶了3小时，每小时行驶45千米，剩下的路程下午用5小时行完。
下午每小时行多少千米？例2：一个服装厂原来做一-套制服用布4.2米，采用新的校剪方法以后，每套节省用布0.2米。
原来做1400套制服的布，现在可以做多少套?例3：一堆同样规格的铁钉,共重765克。
取出50只，余下的重750克。
这堆铁钉共有多少只?例4：学校体育室买来12个篮球和8个排球,一共用去508元。
已知一个篮球比-一个排球贵14元，篮球和排球的单价各多少元？例5：五(1)班第一小组一次数学测试的成绩分别是79、82、73 95、53、97、80、100、74、87,这个小组的平均成绩是多少分?例6：四(3)班第一小组的同学在-次数学单元测验中，4个女生平均每人得91.5分，5个男生平均每人得87分,第一小组平均每人得几分?例7：山路长6千米,小宏上山的速度是每小时2千米,到达山项后立即下山，下山的速度是每小时6千米。
求小宏上、下山的平均速度。
例8：小李和小红同时从相距28 千米的，A、B两地相向而行。
小李每小时行4千米。
小红每小时行3千米，经过几小时后两人相遇?例9：甲乙两车同时从相隔6千米的两地背向而行，甲车每小时行32千米，乙车每小时行38千米,4小时后，两车相距多少千米?例10：(1) 5头猪一天要吃50千克饲料,如果猪增加3倍，一天要吃掉多少千克饲料?(2)5头猪一天要吃50千克饲料,如果猪增加到原来的3倍，.一天要吃掉多少千克饲料?[反馈训练]1.电视机厂装配车间计划每天装配840台电视机,要12天完成，现在要提前2天完成,则比原计划每天多装几台?2.两个修路队原计划16天修路3400米,实际第一队平均每天修162米，第二队平均银、修178米,这样,可提前几天完成任务?3.制皂厂6天可生产香息27000块,现在要生产香皂360箱,每箱50块，需要多少天?4.妈妈买来5.4千克苹果和8千克橘子,共付人民币46.12元。
【奥数专项】人教版小学数学6年级上册奥数思维拓展第三讲流水行船问题
奥数思维拓展第三讲流水行船问题一．选择题（共4小题）1．一艘轮船往返于甲乙两个码头之间，如果船速不变，当水流速度增加时，轮船往返一次所用时间（）A．不变B．增多C．减少D．增多、减少都有可能2．两地相距280千米，一艘轮船从甲地到乙地是顺水航行．船在静水中的速度是每小时行17千米，水速是每小时3千米．这艘轮船在甲、乙两地往返一次，共需（）小时．A．以下都错B．33C．36D．343．轮船从A城到B城匀速行驶需行3天，而从B城到A城匀速行驶需行4天，从A城放一个无动力的木筏，它漂到B城需（）天．A．24B．25C．26D．274．商场自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了30级到达楼上，男孩走了90级到达楼下．如果男孩单位时间内走的楼梯级数是女孩的3倍．问当时扶梯静止时，扶梯可看到的梯级共有（）级．A．30B．45C．60D．75二．填空题（共10小题）5．一种飞机所带的燃料最多可飞行5小时，飞出时顺风每小时飞行1500千米，返回时逆风每小时飞行1000千米，这架飞机最多能飞出千米就应往回飞．6．A、B两地有一条河流，长210km，一只船从A顺水而下2小时可以到达B地，返回时却用了14个小时，则船在静水中的速度是km/h．7．一艘轮船从A港到B港到顺水航行需6小时，从B到A逆水行进需8小时，若在静水条件下，从A港到B港需小时．8．一游客上午9时在码头租了一条小船划出，按规定他必须在12时之前回到码头．已知小船的静水速度是每小时5千米，河水流速是每小时2千米．游客每划半小时就要休息10分钟，中途不允许改变方向，并且恰好在某次休息后开始往回划．这位游客最远可划离码头千米．9．船从甲地到乙地要行驶2小时，从乙地到甲地要行驶3小时，现有一条木筏从甲地漂流到乙地要小时．10．一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，从乙港返回甲港需航行．11．甲乙两港相距247.5千米，一艘轮船从甲港驶向乙港用了4.5小时，返回时因为逆水比去时多用1小时，则水流速度为．12．两码头相距108km，一艘轮船顺水行完全程需10小时，逆水行完全程需12小时，这艘轮船的静水速度是．13．一艘轮船往返于甲、乙两个码头之间，如果船速不变，当水流速度增加时，轮船往返一次所用的时间（①不变②增加③减少）．14．有两个顽皮的小孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走．该扶梯共有150级台阶，男孩每秒可以走3级台阶，女孩每秒可以走2级台阶，结果从扶梯的一端到达另一端，女孩走了300秒，那么男孩走了秒．三．应用题（共7小题）15．轮船以同一速度往返于两码头之间，它顺流而下行了10小时，逆流而上行了12小时，如果水流速度是每小时4千米，则两码头之间的距离是多少千米？16．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，乙的速度是甲的，两人相遇后继续前进，甲到达B地、乙到达A地立即返回，已知两人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点2000米，求A、B两地的距离.17．一艘轮船从甲地开往乙地，去时顺水，每小时行25千米，回来时逆水，每小时行15千米，这样来回共用了4小时，甲乙两地相距多少千米？18．一艘轮船顺流航行120千米，逆流航行80千米共用16时；顺流航行60千米，逆流航行120千米也用16时．求水流的速度．19．东阳船厂新造了一艘船，在静水中行驶，每小时行30千米，比在顺水时慢了，这艘船在顺水时每小时可以行驶多少千米？20．快船从A码头出发，沿河顺流而下，途经B码头后继续顺流驶向C码头，到达C码头后立即反向驶回到B码头，共用10小时，若A、B相距20千米，快船在静水中的速度是40千米/时，河水的流速是10千米/时．求B、C间的距离．21．今有A、B两个港口，A在B的上游60千米处。
小学数学难题讲解及答案
第一讲速算与巧算例1 计算9＋99＋999＋9999＋99999解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.9＋99＋999＋9999＋99999＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）＋（100000-1）＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5＝111110-5＝111105.例2 计算199999＋19999＋1999＋199＋19解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如 199＋1＝200）199999＋19999＋1999＋199＋19＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）＋（19＋1）－5＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5＝222220-5＝22225.例3 计算（1＋3＋5＋...＋1989）－（2＋4＋6＋ (1988)解法2：先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的结果是：从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是：从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990.1990×497＋995—1990×497＝995.例4 计算 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数.389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝390×7—1—3—7—5—6—4—＝2730—28＝2702.解法2：也可以选380为基准数，则有389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8＝2660＋42＝2702.例5 计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数.（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6＝（4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3）÷6＝（4940×6＋6）÷6（这里没有把4940×6先算出来，而是运＝4940×6÷6＋6÷6运用了除法中的巧算方法）＝4940＋1＝4941.例6 计算54＋99×99＋45解：此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简算了.54＋99×99＋45＝（54＋45）＋99×99＝99＋99×99＝99×（1＋99）＝99×100＝9900.例7 计算 9999×2222＋3333×3334解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.9999×2222＋3333×3334＝3333×3×2222＋3333×3334＝3333×6666＋3333×3334＝3333×（6666＋3334）＝3333×10000＝33330000.习题一1.计算899998＋89998＋8998＋898＋882.计算799999＋79999＋7999＋799＋793.计算（1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2）－（1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987）4.计算1—2＋3—4＋5—6＋…＋1991—1992＋19935.时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推.从1点到12点这12个小时内时钟共敲了多少下？6.求出从1～25的全体自然数之和.7.计算 1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—1018.计算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋879.计算（125×99＋125）×1610.计算 3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋9第二讲速算与巧算例1 比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.解： A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.例2 不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.241×249 242×248 243×247244×246 245×245.解：利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.241×249＝（240＋1）×（250—1）＝240×250＋1×9；242×248＝（240＋2）×（250—2）＝240×250＋2×8；243×247＝（240＋ 3）×（250— 3）＝ 240×250＋3×7；244×246＝（240＋4）×（250—4）＝240×250＋4×6；245×245＝（240＋5）×（250— 5）＝240×250＋5×5.恒等变形以后的各式有相同的部分 240 × 250，又有不同的部分 1×9， 2×8， 3×7， 4 ×6， 5×5，由此很容易看出 245×245的积最大.一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5则5×5＝25积最大.例3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五个数的总和.解：五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出1986是这五个数的平均值，故其总和为：1986×5＝9930.例4 2、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个.解：五个连续偶数的中间一个数应为 320÷5＝64，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值.如：对于2n＋1个连续自然数可以表示为：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…， x—1，x， x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中 x是这2n＋1个自然数的平均值.巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.例5 将1～1001各数按下面格式排列：一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：①1986，②2529，③1989，能否办到？如果办不到，请说明理由.解：仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即中数.又因横行相邻两数相差1，是3个连续自然数，竖列3个数中，上下两数相差7.框中的九个数之和应是9的倍数.①1986不是9的倍数，故不行；②2529÷9＝281，是9的倍数，但是281÷7＝40×7＋1，这说明281在题中数表的最左一列，显然它不能做中数，也不行；③1989÷9＝221，是9的倍数，且221÷7＝31×7＋4，这就是说221在数表中第四列，它可做中数.这样可求出所框九数之和为1989是办得到的，且最大的数是229，最小的数是213.这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.同学们，小小的月历卡上还有那么多有趣的问题呢！所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验.习题二1.右图的30个方格中，最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经填好，其余每个格子中的数等于同一横行最左边的数与同一竖列最上面的数之和（如方格中a＝14＋17＝31）.右图填满后，这30个数的总和是多少？2.有两个算式：①98765×98769，②98766 × 98768，请先不要计算出结果，用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多少？3.比较568×764和567×765哪个积大？4.在下面四个算式中，最大的得数是多少？① 1992×1999＋1999② 1993×1998＋1998③ 1994×1997＋1997④ 1995×1996＋19965.五个连续奇数的和是85，求其中最大和最小的数.第三讲等差数列及其应用许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.一、等差数列什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…②1，3，5，7，9，11，13.③ 2，4，6，8，10，12，14…④ 3，6，9，12，15，18，21.⑤100，95，90，85，80，75，70.⑥20，18，16，14，12，10，8.这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：数列①中，d=2-1=3-2=4-3= (1)数列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2；数列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5；数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2.例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6，10，14，18，22， (98)②1，2，1，2，3，4，5，6；③ 1，2，4，8，16，32，64；④ 9，8，7，6，5，4，3，2；⑤3，3，3，3，3，3，3，3；⑥1，0，1，0，l，0，1，0；解：①是，公差d=4.②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.③不是，因为4-2≠2-1.④是，公差d=l.⑤是，公差d=0.⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义.为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，…，第n项记为an，an。
第三讲代数方程3.6
第3讲 代数方程【知识要点】(1）整式方程（一元一次、一元二次和简单的高次方程）的解法,分式方程和无理方程的解法，一元二次方程的判别式；(2）整式方程组（二元一次、三元一次、二元二次方程组）的解法;(3）列一次方程（组)、一元二次方程、分式方程解应用题.【典型题例】例1．解方程：（1）()1023132=--x x（2)8（2x+3）3 +27=0(3)x 5-4x 3-32x=0(4）52)2(32)2(2=-+-+-x x x x（5）0236622321222=+-+-+---++x x x x x x x x x（6）7165112=-++++--x x x x例2:解方程组：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=++-4342121272223x y y x y x y x（2）⎩⎨⎧=-=+-6249622y x y xy x（3）⎩⎨⎧=+-=++372222y xy x y xy x例3．（1）方程k 2x 2+(2k —1）x+1=0有实数根,求k 的范围.（2)如果关于x 的方程mx 2—2（m+2）x+m+5=0没有实数根,试判断方程 （m-5)x 2—2（m+2）x+m=0根的情况。
例4。
有一块长为80米，宽为50米的长方形绿地，其中有三条直路（图中的阴影部分，道路的一边AD与长方形绿地的一边平行，且道路的出入口AB、CD、EF、KI、GH、IJ的长度都相等,其余部分种植绿化，已知道路面积为352平方米，求道路出入口的边的长度.例5 .甲、乙两城市间的铁路线长1080千米，2004年火车再次提速后速度比2002年增加了18千米/时,因而运行时间缩短了3小时。
（1）求2002年的火车速度；(2）如2003年火车也曾提速一次，求这二次提速平均每次提高百分之几？（已知5=2.236 精确到1％）例6 。
如图，在十项全能比赛中，一运动员从湖中A点出发，先划船到湖边C处上岸，再跑步到达终点B，湖岸是一直线MN，点A到MN的最近处D的距离是800米。
第三讲 差倍问题(1) 许晓蕾
第三讲差倍问题（1）知识导航：什么是差倍应用题呢？已知两数的差以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题就叫做差倍应用题。
此类应用题的解题规律是两数之差÷（倍数-1）=较小的数（1倍数）较小的数×倍数=较大的数（几倍数）或较小的数＋两数之差=较大的数典型习题：【例1】小王买了一支钢笔和一支圆珠笔。
一支钢笔比圆珠笔贵4元，且钢笔的价钱正好是圆珠笔的3倍，求每支钢笔和每支圆珠笔各多少元？【练习一】1、学校开展捐书活动，四（1）班捐书本数比四（2）班多80本，四（1）班捐书本数是四（2）班的3倍。
四（1）和四（2）各捐书多少本？2、兰兰的课外书比亮亮多30本，又知兰兰的课外书是亮亮的7倍，两人各有课外书多少本？【例2】五年级学生参加课外活动，做游戏的人数比打球的3倍多6人，已知做游戏的比打球得多70人，打球的和做游戏的各有多少人？【练习二】1、一台彩色电视机比一台黑白电视机贵1900元，一台彩色电视机的价钱比黑白电视机的5倍少100元。
每台彩色电视机多少元？2、学校开展体育活动比赛，参加跳绳比赛的人数比踢毽子的4倍少15人，跳绳人数比踢毽子的多24人，参加跳绳和踢毽子比赛的各有多少人？【例3】两根同样长的铁丝，第一根减去160厘米，第二根减去260厘米，余下的部分第一个是第二根的3倍。
原来两根铁丝各为多少厘米？1、四（1）班和四（2）班的人数同样多。
如果从四（1）班调出20人，从四（2）班调出38人去大扫除，四（1）班剩下的人数正好是四（2）班的2倍。
原来两班各有多少人？2、有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？【例4】肖红有存款6400元，王刚有存款4800元。
两人各取出同样多的钱后，肖红的存款是王刚的3倍。
问：取款后两人各有存款多少元？【练习四】1、红色电线长120米，黄色电线长80米，两捆电线用去同样多后，剩下的红色电线是黄色的5倍，红、黄电线各剩下多少米？2、食堂里原来有大米560千克，面粉340千克。
小升初典型应用题精练——工程问题(附详细解答)
典型应用题精练（工程问题）知识要点和基本方法工程问题是将一般的工作问题分数化，换句话说从分率的角度研究工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）、工作效率（单位时间内完成的工作量）三者之间关系的问题。
它的特点是将工作总量看成单位“1”，用分率表示工作效率，对做工的问题进行分析解答。
工程问题的三个基本数量关系式是：工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作时间=工作效率工作总量÷工作效率=工作时间1 、一件工程，甲、乙合做需6天完成，乙、丙合做需9天完成，甲、丙合做需15天完成。
现在甲、乙、丙三人合做需要多少天完成？2 、一项工作，甲、乙合做要12天完成。
若甲先做3天后，再由乙工作8天，共完成这件工作的512。
如果这件工作由甲、乙单独做完，甲需要多少天？乙需要多少天？3 、有一水池，装有甲乙两个注水管，下面装有丙管放水，池空时，单开甲管5分钟可注满，单开乙管10分钟可注满；水池装满水后，单开丙管15分钟可将水放完，如果在池空时，将甲、乙、丙三管齐开，2分钟后关闭乙管，还要多少分钟可注满水池？4 、一份稿件，甲单独打字需6小时完成，乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时，那么甲打字用了多少小时？5 、有甲、乙两项工程，张师傅单独完成甲工程需要9天，单独完成乙工程需要12天；王师傅单独完成甲工程需要3天，单独完成乙工程需要15天，如果两人合作完成这两项工程，最少需要多少天？6 、某地要修筑一条公路，甲工程队单独干需要10天完成，乙工程队单独干需要15天完成，如果两对合作，他们的工作效率就要降低，甲队只能完成原来的45，乙队只能完成原来的910。
现在计划8天完成这项工程，且要求两队合作天数尽可能少，那么两队要合作多少天？7、一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？8、一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？9、甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元．实际从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少天?10、一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？典型应用题精练（工程问题）参考答案1、分析 先求出三人合做一天完成这件工程的几分之几，再求三人合作需要多少天完成。
六年级上奥数第三讲
六年级上奥数第三讲： 分数应用题： 姓名（ ）（一） 求一个数的几分之几是多少时，应用的关系式为：单位“1”的数量×分率＝对应数量（二） 已知一个数的几分之几是多少，求这个数时，应用的关系式为：对应数量÷对应分率＝单位“1”的具体数量（在解决分数应用题时，只要找到合适的等量关系，方程思想也很实用） 例1：有40吨货物要运走，第一天运走了全部的3/8，第二天运走了剩下的2/5，还剩下多少吨?例2：张明看一本故事书，每天看30页，3天后还剩全书的85没有看，这本故事书有多少页？练习：1、修路队在一条公路上施工，第一天修了这条路的1/4，第二天修了余下的2/3，已知这两天共修了1200米，这条公路全长多少米?2、加工一批零件，甲先加工了这批零件的2/5，接着乙加工了余下的4/9，已知乙加工个数比甲少200个，这批零件共有多少个?3、王师傅计划做一批零件，第一天做了计划的74，第二天又做了余下的53，这时剩下42个零件，原计划做多少个零件？4、某小学学生中83是男生，男生比女生少328人，该小学共有学生多少人？5、甲、乙两人合买一筐西瓜，甲买了其中的52还多5.5千克，乙正好了买了其中的一半，这筐西瓜共有多少千克？6、一瓶油第一次吃了51，第二次吃了余下的43，这时瓶子还有51千克，这瓶油共有多少千克？7、水泥公司生产的水泥存放在两个仓库里面，第一仓库存水泥占总数2514，如果从第一仓库调6吨到第二仓库，那么这时两个仓库的水泥相等，这两个仓库共有多少水泥？8、食堂有一批大米，用去总重量的32后，又运进了260千克，现在存大米比原来还多51，现在存大米多少千克？例3：新民小学男生比全校学生总数的74少25人，女生比全校学生总数的94多15人，求全校人数是多少人？练习：1、文具店运来的毛笔比钢笔多1000支，其中毛笔的73与钢笔的21支数相同，文具店共运来多少支笔？2、某厂一车间人数是二车间人数的53，后来把二车间人数的41调给一车间，这时一车间有255人。
第三讲和差问题（1）
第三讲和差问题【知识要点】已知两个数的和与差，可以求出这两个数。
解和差问题的公式是：（和＋差）÷2=大数和－较大数=较小数（和－差）÷2=小数和－较小数=较大数【典型例题】例1：一次郊外钓鱼，张爷爷和李爷爷一共钓了26条鱼，张爷爷比李爷爷多钓了4条，张爷爷和李爷爷各钓了多少条鱼？分析：这道题属于和差问题。
和差问题是已知两个数的和与差，求这两个数分别是多少的应用题。
李爷爷：（26－4）÷2=11（条）张爷爷：26－11=15（条），或11＋4=15（条）例2：小王、小张共买了20本书，如果小王给小张6本书，那么小王就比小张少2本书。
问：小王、小张各买了多少本书？分析：题目中已经给出“和”为20，关键在于求“差”。
“如果小王给小张6本书，那么小王就比小张少2本书”，这句话需要仔细分析。
我们可以将它改为“小王的书数减6”等于“小张的书数加6减2”，也就是“小王的书数减6”等于“小张的书数加4”，从而小王的书比小张的书多10本（10=6+4=6+6-2）。
差：6+6-2=10，（20+10）÷2=15（小王），20-15=5（小张）。
例3：甲、乙两人同时写字，8小时两人共写了7600个字，甲每小时比乙多写50个字。
问：甲、乙两人每小时各写多少字？分析：这里的“和”与“差”并不是在同样多的时间里得到的。
应当先由“8小时两人共写了7600个字”得出“每小时两人共写950个字”，这才是我们所需要的“和”。
7600÷8=950，（950＋50）=500（甲），500－50=450（乙）。
例4：今年，爸爸、儿子和爷爷三人的年龄总和是107岁。
已知：爷爷比孙子大60岁，爸爸比儿子大29岁。
爸爸、儿子和爷爷三人各是多少岁？分析：通过线段图可以知道：儿子：107岁儿子：（107－29－60）÷3＝6（岁）爸爸：6＋29＝35（岁）爷爷：6＋60=66（岁）第一部分：基础部分1、小李买苹果、桃子共20个，苹果比桃子多6个。
(解决问题专项)第3讲 小数除法-2023-2024学年五年级数学上册解决问题专项讲义(人教版)
第3讲小数除法（思维导图+学问锦囊+典例精讲+真题演练）【思维导图】【学问锦囊】【典例精讲】【典例一】小明攒钱想买6本一套的《动物世界》丛书，每套原价86.4元。
小明刚好攒够了钱去书店买书，那天书店搞促销活动，这套书只要67.2元。
小明就用剩下的钱买了2支钢笔。
-÷解决的数学问题是：____________________？（1）(86.467.2)2（2）请你依据题目中的相关信息，再提出一个数学问题并解答。
①问题：____________________？②解答：【分析】以前的原价减去现在买书的价格，等于买这套书少花的价钱，这些钱买了2支钢笔，那么可以算出每只钢笔的价格。
一套丛书有6本，可以试着说一说买一本需要多少钱？直接用小数除法算出来即可。
【详解】-÷用剩下的钱去买了2支钢笔，相当2－这个算式表示的是剩下的钱，(86.467.2)286.467.于求每支钢笔的价钱是多少？提出的问题是：现在买《动物世界》这套丛书，每一本需要多少钱？列算式算出结果：÷=元67.2611.2答：现在买这套丛书，每一本需要11.2元。
【点评】此题的解题关键是用算式推导提问的过程，需要我们把算式拆解，一步一步的去推导最终想表达的意义。
【典例二】一家童装公司，三月份预订到一份6000件的童装业务，每套估量用布1.4米，由于改进了裁剪方法，实际每套节省0.2米。
原来的用布量现在可以做多少套？【分析】三月份预订到一份6000件的童装业务，每套估量用布1.4米，则共有布6000×1.4米，实际每套节省0.2米即实际每套用布1.4﹣0.2米，则原来的用布量现在可以做6000×1.4÷（1.4﹣0.2）米。
【详解】6000×1.4÷（1.4﹣0.2）＝8400÷1.2＝7000（套）答：现在可以做7000套。
【点评】首先依据乘法的意义求出共有多少米布是完成本题的关键。
人教版数学七年级上册课件：第三章应用题(共78张PPT)
2.用白铁皮做罐头盒,每张铁皮可制盒身15个, 或制盒底42个,一个盒身与两个盒底配成一套, 现有108张铁皮,问用多少张制盒身,多少张制 盒底,可以正好制成整套罐头盒？
3.一张方桌有一个桌面和四条桌腿组成， 如果1立方米木料可制作方桌的桌面50个 或制作桌腿300条，现有5立方米木料，请 你设计一下，用多少木料做桌面，用多少 木料做桌腿，恰好配对方桌多少张？
。
4x 列方程表示为： 1 80
3、一项工作，12个人4个小时才能完成。若这 项工作由8个人来做，要多少小时才能完成呢？
分析：
（1）人均效率（一个人做一小时的工作量）是
1 12 4
（2）这项工作由8人来做，x小时完成的工作量 8x 8x 1 是 12 4 12 4
总结：一项工作由m个人n小时完成，那么人均 效率是
7.服装厂要生产一批某种型号的学生服装， 已知3米长的某种布料可做上衣两件或裤 子3条，一件上衣和一条裤子为一套，仓 库内存有这样的布料600米，应分别用多 少布料做上衣，多少布料做裤子才能恰好 配套?
温故知新：
一件工程，甲单独做x小时完成，乙单独做 y小时完成，那么 甲的工作效率为___,乙的工作效率为___.
工作量= 人均效率×人数×时间
3、各阶段工作量的和=总工作量(按阶段分) 各人完成的工作量的和=总工作量(按人员分)
例5.整理一批图书,由一个人做要40小时完成.
现在计划由一部分人先做4小时,再增加2人和他 们一起做8小时,完成这项工作.假设这些人的工 作效率相同,具体应先安排多少人工作? 分析:这里可以把工作总量看作____ 1 1 人均效率(一个人做1小时完成的工作量)为 40 , 4x 由x先做4小时,完成的工作量为 40 , 再增加2人和前一部分人一起做8小时,完成任务
3年级奥数 第03讲 解应用题
第三讲解应用题知识导航一、倍数关系大数＝小数×倍数，用乘法小数＝大数÷倍数，用除法倍数＝大数÷小数，用除法二、平均值问题平均数＝总数量÷总份数例题精讲题型一：分油问题【例1】一桶食用油连桶重21.5千克，油用去一半后连桶重11.5千克，油和桶各重多少千克？题型二：倍数关系【例2】小明从家走到学校用了6分钟，他每分钟走85米，小明每天走2个来回，共要走多少米?【例3】公园今天共有游客456人，已知成人数量是儿童数量的2倍，儿童和成人各有多少人?题型三：认识时间【例4】小华每天早晨7：40到校，中午11：35离校，13：50到校，16：30分离校，小华一天在校时间是多长？【例5】一架飞机以每小时850千米的速度从甲地飞往乙地，它9：35从甲地起飞，下午2时35分到达乙地，甲乙两地相距多少千米？题型四：平均值问题【例6】某工厂第一季度生产机器425台，第二季度生产571台，上半年平均每月生产多少台机器？【例7】三（2）班有4个小组，每个小组有8人，一共植树224棵。
平均每人植树多少棵？拓展训练题型五：等量关系【例8】9千克草莓的价钱等于15千克苹果的价钱，1千克苹果6元，1千克草莓多少钱？课后练习1、一筐苹果，连筐共重35千克，先拿一半送给幼儿园小朋友，再拿剩下的一半送给一年级小朋友，余下的苹果连筐重11千克，这筐苹果重多少千克？（油桶问题）2、农场共养鸡和兔子639只，其中养鸡的数量是兔子的2倍，农场养鸡和兔子子各多少只？（倍数关系）3、同学们乘车去春游，8：25分开车，经过80分钟后到达春游地点，到达时间是多少？（认识时间）4、甲乙两地间的铁路长960千米，一列火车10时从甲城出发开往乙城，晚上6时到过，这列火车每小时行驶多少千米？（平均值问题）5、2千克桃子的价钱等于5千克香蕉的价钱，1千克桃子5元，1千克香蕉多少钱？（等量关系）补充知识一位数与多位数相乘的竖式计算：相同位数要对齐，从个位算起，用一位数因数分别去乘多位数因素的个位、十位和百位，哪一位上乘得的积满几十就向前一位进几。
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第三讲 典型应用题用两步或两步以上运算解答的并且有一定解答规律的应用题叫典型应用题。
如平均数问题、行程问题、归一问题、归总问题、植树问题、周期问题、鸡兔同笼问题等。
要特别注意认识各类典型应用题的解题规律及技巧。
一、行程问题：（一）行程问题——一般行程问题、相遇问题速度×时间=路程一般行程问题 路程÷速度=时间路程÷时间=速度速度和×相遇时间=相遇距离相遇问题 相遇距离÷相遇时间=速度和相遇距离÷速度和=相遇时间（相遇时双方所用时间相同）例9：甲、乙两车分别从A 、B 两地出发，相向而行。
出发时，甲、乙的速度之比为5:4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样当甲到达B 地时，乙离A 地还有10千米，那么A 、B 两地相距多少千米？解题思路：根据题意和所问的问题可知，相遇问题，速度与路程成正比，速度比就是路程比， 相遇时路程比为5:4，路程总长可看成9份。
相遇后甲的速度为4%)201(5=-⨯，乙的速度为8.4%)201(4=+⨯，相遇后甲乙速度比为：4:4.8，问题是求A 、B 间路长，可利用比应用解，原来每份路程为50)8.45(10=-÷（千米），则全长为450950=⨯（千米）。
解：4%)201(5=-⨯ 8.4%)201(4=+⨯50)8.45(10=-÷（千米）450950=⨯（千米）答：A、B两地相距450千米。
习题巩固：1、一列火车经过某山，上山速度每小时30.5千米，下山速度每小时50.8千米。
知道上山用6小时，下山用4小时。
求这列火车上、下山平均每小时行多少千米？2、甲、乙两地的铁路长390千米，两列火车同时从两地相对开出，快车每小时行80千米，慢车每小时行50千米，两列火车开出后，几小时可以相遇？3、甲、乙两车从相距340千米的A、B两城相向而行，甲车上午8时从A城出发，乙车上午8时30分成B城出发，甲车每小时行30千米，乙车每小时行35千米。
两车相遇时几时几分？4甲、乙两汽车同时分别从A、B两站相对开出。
第一次在离A站90千米处相遇，相遇后两车以原速继续前进，到达对方出发站后立刻返回，第二次相遇在离A站50米处。
求A、B两站之间的距离？5、王飞和田云二人转周长400米的环形跑道上练长跑，从同一点同时背向起跑。
王飞每分钟跑210米，田云每分钟跑190米，他们从起跑到第十次相遇需多少分钟？6、两地相距100千米。
甲、乙两人骑自行车同时从两地相对出发，经过4小时后相遇，相遇后再经过2小时，甲、乙两人相隔多少米？7、甲、乙两列火车同时向上海站向相反方向的两城市开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行50千米，经过几小时后两车相距1430千米？8、甲、乙两车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行52千米，两车在离中点16千米处相遇。
东、西两地相距多少千米？9、小明和小亮分别从甲、乙两地同时出发，背向而行，小明每小时行4.8千米，小亮每小时行4.4千米，经过2.5小时后两人相距31.5千米。
甲、乙两地相距多少千米？10、甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车行驶到两地中点时，乙车离中点还有全程的的路程，相遇时甲行了全程的几分之几？11、甲、乙两车由A、B两地同时相向开出，已知甲车与乙车的速度比是2：3，甲车走完全程需要小时，求两车出发后几小时相遇？（二）行程问题——追及问题速度差×追及时间=追及距离追及问题追及距离÷追及时间=速度差追及距离÷速度差=追及时间（注：追及距离就是追及开始时两者的距离）1、姐姐和妹妹都从家道学校上学，姐姐每分钟走55米，妹妹每分钟走40米，姐姐让妹妹先走3分钟，然后姐姐才出发追赶妹妹，经过多少分钟姐姐可以追上妹妹？2、小芳和小丽进行100米赛跑比赛。
小芳比小丽早到5秒钟，小芳到终点时，小丽正好跑了80米，小丽跑完100米用了多少秒？3、有一条600米长的环形跑道，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。
甲每分钟跑110米，乙每分钟跑90米，甲第一次追上乙需几分钟？此时各跑了多少圈？4、龟兔赛跑，全程2000米，龟每分钟爬25米，兔每分钟跑320米，兔自以为速度快，在途中睡了一觉，结果龟到终点时，兔离终点还有400米，兔子途中睡了多少分钟？5、龟兔赛跑，同时出发，全程7000米，龟每分钟爬30米，兔每分钟跑330米，兔跑了10分钟就停下来睡了215分钟，醒来后立即以原速往前跑。
问:龟和兔谁先到达终点？先到的比后到的快多少米？（三）行程问题——水中行船问题顺水速度=船速＋水速水中行船问题逆水速度=船速－水速船速=（顺水速＋逆水速）÷2水速=（顺水速－逆水速）÷2例10: 一条船往返于甲、乙两地之间，已知船在静水中的速度为每小时9千米，平时逆行与顺行所用的时间比为2:1。
一天因为下暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用了10小时，问甲、乙两地相距多少千米？精析 这是一道流水行船问题。
流水行船问题主要有四个公式：顺水速度=船速+水速， 逆水速度=船速-水速，船速=(顺水速度+逆水速度)2÷， 水速(=顺水速度-逆水速度)2÷。
解：路程一定，速度与时间成反比 =v v 顺逆：=t t 顺逆：2:1，所以 =v 逆9[(21)2]6÷+÷=（千米/时），6212v =⨯=顺（千米/时），(126)23v =-÷=水（千米/时）。
下暴雨后，'=32=6v ⨯水（千米/时），'9+6=15v =顺（千米/时），'=v 逆963-=（千米/时），则''=t t 顺逆：''=v v 顺逆：15:35:1=，'525=10=5+13t ⨯逆（小时），故距离为253253⨯=（千米）。
习题巩固：1、 甲船逆水航行300千米需15小时，返回原地需10小时，求船速和水速？2、 甲船逆水航行360千米需18小时，返回原地需10小时，乙船逆水航行同样一段距离需15小时，返回原地需多少小时？3、 一条船从上游甲港开往下游乙港，船速为每小时15千米，4小时到达。
已知水速为每小时3千米。
甲、乙两港相距多少千米？若船速和水速不变，从乙港回到甲港要航行多少小时？4、 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。
已知男孩子每分钟走16级梯级，女孩子每分钟走12级梯级，结果男孩子用5分钟到达楼上，女孩子用6分钟到达楼上。
该扶梯共有多少级？（四）行程问题——列车过桥问题路程=桥长＋车长列车过桥问题路程÷速度=时间例题11一列180米长的火车途经一隧道，看监控记录知火车从进入隧道到完全离开隧道用时43秒，整列火车完全在隧道内的时间为23秒，问隧道是多长？解题思路：根据题意可知要求隧道长，必须知道火车速度，要求火车速度，必须知道火车对应的时间内所行的路程，或是对应的路程内所用的时间，从火车进入隧道到完全离开与整列火车完全在隧道内，火车两次所行路程差为两个火车长，此路程对应的时间为202343=-（秒），所以火车速度为：18202180=÷⨯（米/秒），则隧道长为：59418043180=-⨯（米）或5941802318==⨯（米）。
解：18)2343(2180=-÷⨯（米/秒）59418043180=-⨯（米）或5941802318==⨯（米）答：隧道是长594米。
1、 一座桥长3400米，一列火车通过大桥时每分钟行800米，从车头上桥到车尾离开桥共需4.5分钟。
这列火车长多少米？2、一列火车通过1000米长的大桥，从车头上桥到车尾离桥恰好用了1分钟，而火车以同样的速度经过桥边站岗的士兵用了12秒。
求这列火车的长度和速度？3、一列火车车身长800米，每小时行60千米。
铁路上有两个隧道，火车从车头进入第一个隧道到车尾离开第一个隧道用2分钟，从车头进入第二个隧道到车尾离开第二个隧道用了3分钟，从车头进入第一个隧道到车尾离开第二个隧道共用了6分钟。
两个隧道之间相距多少米？二、植树问题线路是封闭的：棵树=间距个数（总距离÷间距）植树问题两端都种：棵树=总距离÷间距+1线路是不封闭的一端种树：棵树=总距离÷间距两端都不种：棵树=总距离÷间距-1例题12：学校门前有一条直直的小路长32米，在小路的一旁每隔4米种一棵松树，从头到尾一共种了多少棵松树？解析问题：首先要确定问题是属于哪一种类型。
从“一条直直的小路”和“从头到尾”可以判定此题为两端都种。
应用公式为：两端都种：棵树=总距离÷间距+1。
解答：32÷4+1=9（棵）答：从头到尾一共种了9棵松树。
习题巩固:1.两栋楼相距60米，绿化队准备把19棵杨树苗等距离地在两栋楼之间载成一行，每两棵树苗之间距离多少米？2. 在一个周长为600米的池塘周围种树。
每隔10米载一棵杨树，在相邻两棵杨树之间每隔两米栽一棵柳树。
杨树和柳树各能载多少棵？三、平均数问题 例13：某班有40名同学，期中测试有2名同学生病缺考，这个班里平均分为89分，缺考同学补考各得99分，这个班期中测试的平均分是多少分？解题思路：分析已知条件知道，由于2名同学缺考，班里平均分是89分，2名同学考后各得99分，则每人比以前的平均分高108999=-（分），共多20210=⨯（分），现在需把多出原平均分的分数再次平均分，每人得5.04020=÷（分），则现在的平均分为5.895.089=+（分），本题还可采用公式法求解。
解：5.8989402)8999(=+÷⨯-（分）答：这个班期中测试的平均分是89.5分。
习题巩固：1.王明上次考试中，语文、数学平均75分，数学、英语平均90分，语文、英语平均82.5分，那科成绩最低？2.甲、乙、丙三人的平均年龄是42岁，若将甲的岁数增加7岁，乙的岁数扩大2倍，丙的岁数缩小2倍，则三人岁数相等。
丙的年龄是多少岁？。