等腰梯形的性质判定复习

B
C
E
例5 : 如图, 梯形ABCD中,AD//BC,EF//AB 2.5cm 且E为CD中点,AB=5cm,则EF=_________
A B M F D E C
例6 : 如图, 梯形ABCD中,AD//BC,B C 90 AD 1
0
1 BC 3, E, F分别为AD, BC的中点, 则EF __________
C
• 答：梯形的面积为6.8.
• 误点剖析 要注意灵活应用梯形面积的求 法. • 评注（1）当梯形（或任意四边形）对角线 互相垂直时，它们的面积等于对角线乘积 的一半. • （2）本题也可以利用等量关系 D A • S梯形ABCD＝S△ABC＋S△ADC来解答.
如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是线段AD上的一个 动点（E与A、D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的 中点． （1）试探索四边形EGFH的形状，并说明理由； （2）当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形？ 并加以证明； （3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与 线段BC的关系，并证明你的结论．
距离叫做梯形的高.
两腰不相等的梯形； 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形； (2)分类:梯形： 直角梯形：一腰与底垂直的梯形叫做直角 梯形.
1 (3)面积:S 梯形＝ (上底＋下底)×高＝中位线×高． 2
2.梯形的中位线 定义:连接梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线． 判定: (1)经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰； (2)定义法． 性质:梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.
A
E
D
B
M
F
N
C
例7 : 梯形ABCD中, AD / / BC, AB 7, BC 8
1<CD<3 AD 2, 则另一腰CD的范围______________
A
D
B
E
C
例8 : 等腰梯形ABCD中, AB / / CD, AD BC 5, DC 7 P从A点出发以3个单位/秒的速度沿AD DC向终点C 运动,同时Q从B以1个单位 / 秒的速度沿BA向终点A运动
等腰梯形的性质定理2:
等腰梯形的两条对角线相等
有效训练：
如图：已知在等腰梯形ABCD中， AD ∥ BC， AB=DC，对角线AC⊥ BD，垂足为O，BD =8cm，则 梯形ABCD的面积为 32cm2 .
平行移对角线
1.梯形的定义
分类及面积
(1)定义:一组对边平行,而另一组对边不平行的
四边形叫做梯形.其中,平行的两边叫做底,两底间的
A O
D
B
E
F
C
典型例题：
例1、如图甲，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC．由4个这样
的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形． （1）求梯形ABCD最小的角为 度； （2）试探梯形ABCD四条边之间存在的数量关系，并说明理由．
五、当堂检测 1、梯形ABCD中，AD∥BC， 135 ∠A：∠B=3：1，则∠A=
• 解：∵AC⊥BD 1 1 • ∴S△ABD＝ AO· BD S△BCD＝ CO· BD 2 2 • S梯形ABCD＝S△ABD＋S△BCD •
1 ＝2
1 AO· BD＋ CO· BD 2
A O B
D
• • 即S梯形ABCD＝ AC· BD＝ ×4×3.4＝6.8
2 2
1 ＝ （AO＋CO）· BD 2 1 1
(1)(2)(3)
A
D F C
E B H
例10 : 等腰梯形ABCD中, AD / / BC , AD 3cm, BC 7cm B 600 , 点P为BC (不与B, C重合)上一动点, 连接AP, 过 P作PE交CD于E使APE=B (1)求证:ABP～PCE (2)求AB长 (3)在BC上是否存在一点P使DE:EC=5:3? 若存在求出BP的长,若不存在说明理由.
A
D
B
C
小试牛刀： 2.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC， 对角线AC⊥BD，AD＝3cm，BC＝7cm， 则梯形的高是 cm.
A D
B
C
小试牛刀：
3、（2010山东）已知等腰梯形的底角为45o，高为2， 上底为2，则其面积为（ ） A． 2 B．6 C．8 D．12
小试牛刀：
4、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线 AC⊥BD于点O，AE⊥BC,DF⊥BC，垂足分别为E、F， 设AD=a，BC=b，则四边形AEFD的周长是（ ） A．3a+b B．2(a+b) C．2b+a D．4a+b
B
A
D C
第1，2，3题图
AD，下底是BC，腰是AB、CD. AB 时， CD =
3、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，当 梯形ABCD是等腰梯形.
典型例题： 例2、如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，
且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF， AF、BE于点P． （1）求证：AF=BE； （2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论．
A D E
B
P
C
解 :∵APC PAB B EPC APE 且APE B PAB EPC 又∵B C ABP～PCE
B
A
D E
F
P
C
1 (2)作AF BC于F , 则BF ( BC AD) 2cm 2 又∵B 600 AB 4cm
(1)∵在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD， ∴∠BAD＝∠CDA. ∵△ABE，△CDF 均为等边三角形， ∴∠EAB＝∠FDC，AB＝AE，DC＝DF， ∴∠EAD＝∠FDA，AE＝DF. 又 AD 为公共边， ∴△AED≌△DFA(SAS)， ∴AF＝DE.
(2)如图，过点 B 作 BH⊥AD 于点 H，过 点 C 作 CK⊥AD 于点 K.∵∠BAD＝45°，AB 2 ＝a，∴AH＝BH＝ a.∵四边形 ABCD 是等 2 2 1 腰梯形， ∴DK＝ a， HK＝BC.∴S 梯形 ABCD＝ 2 2 2 3 2 2 2× 2 a＋2BC · 2 a.∵S△ABE＝S△CDF＝ 4 a ， 3 2 1 2 2 ∴2× a ＝ 2× a＋2BC · a，解得 BC 4 2 2 2 6－ 2 ＝ a. 2
还有其它的 ∴ AB∥DE，AB=DE 方法吗？ ∴ 四边形ABED是平行四边形 ∴ BE=AD=2，AB=DE=CD ∴ EC=BC – BE = 4 – 2 = 2 在等腰△DEC中，DF是高 ∴CF= ½ EC=1 在Rt △DFC中， 根据勾股定理得 CF² +DF² =CD² 即 CD² = 1² + 2² =5 ∴ CD=
A
D
B
E
C
例4 : 等腰梯形ABCD中,AD//BC,AC BD且 AD BC 16, 则S梯形 ________________ 64
析 : 作DE / / AC , 证BE 16, 则BD DE 8 2 1 S梯形 8 2 8 2 64 2
A D
度.
2、梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC， 若AC=3cm，则BD= 3 cm 3、在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠B=90°，∠C=30°， 则∠A= 90 ° ， ∠D=150 ° 4、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC， AB ∥ DE，DF是高，则CF = EF.
有效训练：
1、如图，四边形ABCD中，当AD∥BC ， 且AB不平行于CD时，四边形ABCD是梯形. 2、如图，梯形ABCD中，AD∥BC， 则上底是
• 例. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交 于O，且AC⊥BD，AC＝4，BD＝3.4，求梯形 D ABCD的面积 A •. O
B C
思路点拨:求梯形的面积常用公式 S＝ 底、下底、高都是未知数，故不能用此公式 ，但S梯形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，利用这一等量 关系可求.
1 (上底＋下底） 高 来计算，而此题上 2
等腰梯形有哪些性质？
A O B C D
等腰梯形的判定方法有哪些？
一般地，对于梯形问题，我们通过分割、 拼接，把它转化为三角形或平行四边形问题.
作 高
平行移腰
平行移腰
平行移对角线
延长两腰
小试牛刀：
1、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC， ∠B＝60°，AD＝AB＝DC=6cm，则等腰梯 形ABCD的周长是 cm.
B
E
F
C
小结: 四边形的问题 我们经常转化为特 殊三角形(Rt △)的问 题,再利用勾股定理 解决.
5
挑战自我
1、已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、 BC的中点，且∠B+∠C=90°.
1 求证：M
E
N
F
C
挑战自我
2、（2010沈阳市）若等腰梯形ABCD的上、下底之 和为2，并且两条对角线所成的锐角为60°，则等腰 梯形ABCD的面积为 .
3.解决梯形问题的基本思路及辅助线的作法 (1)基本思路:梯形问题―→转化分割,拼接三角形 或平行四边形． (2)常见辅助线的作法：
梯形辅助线的作法 : 要么作出高,要么平移腰. 有时平移对角线,有时延长到相交 腰上遇中点赶快作旋转,构造全等形 数学真简单.
4.等腰梯形的性质与判定
定 有两腰________ 相等 的梯形叫做等腰梯形. 义
24cm SAEF 6cm则S梯形 = _______________________
A D F
2
E B
C
M
例2 : 梯形ABCD中,AD//BC,AD=4,AB=3 3且 B 30 , C 60 则BC _____________ 10