§1.4.3等比数列(第1课时)
高中数学选择性必修二 4 3 1 1等比数列的概念和通项公式(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
4.3.1.1等比数列的概念和通项公式知识点一 等比数列的概念(1)文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q ≠0)表示． (2)符号语言：a n ＋1a n ＝q (q 为常数，n ∈N *)【重点总结】(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列．(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒．(3)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略．要点二 等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 【重点总结】(1)若G 是a 与b 的等比中项，则G a ＝bG，所以G 2＝ab ，G ＝±ab.(2)与“任意两个实数a ，b 都有唯一的等差中项A ＝a ＋b2”不同，只有当a 、b 同号时a 、b 才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是ab 与－ab ；当a ，b 异号时没有等比中项．(3)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． 要点三 等比数列的通项公式设等比数列{a n }的公比为q ，则这个等比数列的通项公式是a n ＝11n a q (a 1，q ≠0且n ∈N *)． 【重点总结】(1)已知首项a 1和公比q ，可以确定一个等比数列． (2)在公式a n ＝a 1q n －1中，有a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a 1，q 为两个基本量．(3)对于等比数列{a n }，若q<0，则{a n }中正负项间隔出现，如数列1，－2,4，－8,16，…；若q>0，则数列{a n }各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一个数列为{a n }，且满足a na n －1＝q (n ≥2，q 为不等于0的常数)，则这个数列是等比数列．( )(2)在等比数列{a n }中，若已知任意两项的值，则可以求出首项、公比和数列任一项的值．( ) (3)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(4)若一个数列从第二项开始，每一项都是它前后两项的等比中项，则这个数列是等比数列．( ) 【答案】（1）√（2）√（3）×（4）× 2．(多选题)下列数列不是等比数列的是( )A ．2,22,3×22，… B.1a ，1a 2，1a3，…C ．s －1，(s －1)2，(s －1)3，…D ．0,0,0，… 【答案】ACD【解析】A 中，222≠3×2222，A 不是等比数列；B 中，1a 21a ＝1a 31a 2＝…，B 是等比数列；C 中，当s ＝1时，不是等比数列；当s ≠1时，是等比数列，所以C 不是等比数列；D 显然不是等比数列．故选ACD. 3．已知{a n }是等比数列，a 1＝1，a 4＝22，则a 3＝( ) A ．±2 B ．2 C ．－2 D ．4 【答案】B【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则有1×q 3＝22＝(2)3，∴q ＝2，∴a 3＝a 4q＝2，故选B.4．已知等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则a n ＝________. 【答案】－2n 或(－2)n【解析】∵a 1＝－2，a 3＝－8，∴a 3a 1＝q 2＝－8－2＝4，∴q ＝±2，∴a n ＝(－2)·2n －1或a n ＝(－2)·(－2)n －1，即a n＝－2n 或a n ＝(－2)n .题型一 等比数列通项公式的求法及应用 探究1 基本量的计算 【例1】在等比数列{a n }中 (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .【解析】(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ② 由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22-53n .(2)方法一：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ①a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ② 由②①得q ＝12，从而a 1＝32.又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，所以n ＝6. 方法二：因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，得a 1＝32.由a n ＝a 1q n －1＝1，得n ＝6. 【重点小结】 (1)由a 7a 4＝q 3便可求出q ，再求出a 1，则a n ＝a 1·q n －1.(2)两个条件列出关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再由a n ＝1求n ；也可以直接先由q ＝a 3＋a 6a 2＋a 5入手．【方法归纳】等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再求a n ，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q 后，再求a 1，最后求a n ，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．探究2 等比数列的实际应用【例2】计算机的价格不断降低，若每台计算机的价格每年降低13，现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为( )A ．300元B ．900元C ．2 400元D ．3 600元 【答案】C【解析】降低后的价格构成以23为公比的等比数列，则现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为8 100×⎝⎛⎭⎫233＝2 400(元)． 【方法技巧】关于等比数列模型的实际应用题，先构造等比数列模型，确定a 1和q ，然后用等比数列的知识求解． 【跟踪训练1】(1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q 等于( ) A ．－2 B ．1或－2 C ．1 D ．1或2 【答案】B【解析】a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2q 2＝2q ＋2q 2＝4， 即q 2＋q －2＝0，解得q ＝1或q ＝－2，故选B.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，已知a 1＝6，a 1＋a 2＋a 3＝78，则a 2等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．36 【答案】B【解析】设公比为q ，由已知得6＋6q ＋6q 2＝78， 即q 2＋q －12＝0解得q ＝3或q ＝－4(舍去)． ∴a 2＝6q ＝6×3＝18.故选B.(3)某林场的树木每年以25%的增长率增长，则第10年末的树木总量是今年的________倍． 【答案】1.259【解析】设这个林场今年的树木总量是m ，第n 年末的树木总量为a n ，则a n ＋1＝a n ＋a n ×25%＝1.25a n . 则a n ＋1a n＝1.25，则数列{a n }是公比q ＝1.25的等比数列． 则a 10＝a 1q 9＝1.259 m.所以a 10a 1＝1.259.题型二 等比中项【例3】已知等比数列的前三项和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项．【解析】设该等比数列的公比为q ，首项为a 1， 因为a 2－a 5＝42，所以q ≠1，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168a 1q －a 1q 4＝42， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1＋q ＋q 2)＝168a 1q (1－q 3)＝42①②因为1－q 3＝(1－q )(1＋q ＋q 2)，所以由②除以①，得q (1－q )＝14.所以q ＝12.所以a 1＝4212－⎝⎛⎭⎫124＝96.若G 是a 5，a 7的等比中项，则应有G 2＝a 5a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962×⎝⎛⎭⎫1210＝9. 所以a 5，a 7的等比中项是±3. 【方法归纳】(1)首项a 1和q 是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法． (2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项． 【跟踪训练2】如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9【答案】B【解析】∵－1，a ，b ，c ，－9成等比数列， ∴a 2＝(－1)×b ，b 2＝(－1)×(－9)＝9 ∴b <0，∴b ＝－3.又b 2＝ac ，∴ac ＝9.故选B.题型三 等比数列的判定与证明【例4】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．【解析】(1)当n ＝1时，S 1＝13(a 1－1)＝a 1，解得：a 1＝－12，当n ＝2时，S 2＝13(a 2－1)＝a 1＋a 2，解得a 2＝14.(2)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12.又a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．【变式探究1】将本例中条件换为“数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1”，求证：{a n ＋1}成等比数列，并求a n .【解析】由a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2，∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2×2n －1＝2n ， ∴a n ＝2n －1.【变式探究2】将本例中的条件换为“数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1”，求a n . 【解析】令a n ＋1－A ·⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝13⎣⎡⎦⎤a n －A ·⎝⎛⎭⎫12n ，则a n ＋1＝13a n ＋A 3·⎝⎛⎭⎫12n ＋1. 由已知条件知A3＝1，得A ＝3，所以a n ＋1－3×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝13⎣⎡⎦⎤a n －3×⎝⎛⎭⎫12n . 又a 1－3×⎝⎛⎭⎫121＝－23≠0， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －3×⎝⎛⎭⎫12n 是首项为－23，公比为13的等比数列． 于是a n －3×⎝⎛⎭⎫12n ＝－23×⎝⎛⎭⎫13n －1，故a n ＝3×⎝⎛⎭⎫12n －2×⎝⎛⎭⎫13n . 【方法归纳】判定数列是等比数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 是常数)或a na n －1＝q (q 是常数，n ≥2)⇔{a n }为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．(3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列． 【易错辨析】忽略等比数列各项的符号规律致错【例5】在等比数列{a n }中，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( ) A ．9或－9 B ．9 C ．27或－27 D ．－27 【答案】B【解析】由等比中项的性质得a 27＝a 5a 9＝81，∴a 7＝±9，由于等比数列中的奇数项的符号相同，所以a 7＝9，故选B. 【易错警示】 1. 出错原因没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得a 7＝±9，错选A. 2. 纠错心得在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．解此类题时要小心谨慎，以防上当.一、单选题1．已知等比数列{}n a 中，3a 是1a ，2a 的等差中项，则数列{}n a 的公比为（ ） A ．12-或1B ．12-C ．12D ．1【答案】A【分析】首先根据题意得到3122a a a =+，从而得到2210q q --=，再解方程即可. 【解析】由题知：3122a a a =+，所以221q q =+，即2210q q --=，解得12q =-或1q =.故选：A2．已知等比数列{}n a 满足2512,4a a ==，则公比q =（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】B 【分析】由352a a q =即可求出．【解析】 352a a q =，即3124q =，解得12q =． 故选：B ．3．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和．若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ） A ．29 B ．31 C ．33 D ．35【答案】B 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知可得q 和1a ，代入等比数列的求和公式即可 【解析】因为 2312a a a =23114a q a a ==，42a ∴=，3474452224a a a a q +=⨯=+， 所以11,162q a ==，551161231112S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，故选：B.4．《莱茵德纸草书》（RhindPapyrus ）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最大的一份是（ ）个． A ．12 B ．24 C ．36 D ．48【答案】D 【分析】设等比数列{}n a 的首项为10a >，公比1q >，根据题意，由()()211513141931a q a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩求解. 【解析】设等比数列{}n a 的首项为10a >，公比1q >，由题意得：123123453493a a a a a a a a ⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，即()()211513141931a q a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩， 解得132a q =⎧⎨=⎩，所以45148a a q ==，故选：D5．在等比数列{}n a 中，若1614a a a ⋅⋅为定值，n T 为数列{}n a 的前n 项积，则下列各数为定值的是（ ） A ．11T B ．12TC ．13TD ．14T【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式用1,a q 表示出1614a a a ，然后再分别表示出各选项中的积进行判断． 【解析】设公比为q ，则()35133186161411111a a a a a q a q a q a q =⋅==为定值，即61a q 为定值，(1)112(1)211111n n n n n n n T a a q a qa qa q--+++-=⋅==，11555111111()T a q a q ==，不是定值，1211126621211T a q a q ⎛⎫== ⎪⎝⎭，不是定值，13786131311()T a q a q ==，是定值，1413131414221411()T a q a q ⨯==，不是定值．故选：C ．6．在各项都为正数的数列{}n a 中，首项12,n a S =为数列{}n a 的前n 项和，且()2121(42)0n n n S S a n ----=≥，则10S =（ ） A ．1022 B ．1024C ．2046D ．2048【答案】C 【分析】当2n ≥时，1n n n a S S -=-，故可以得到()()11220n n n n a a a a --+-=，因为120n n a a -+>，进而得到120n n a a --=，所以{}n a 是等比数列，进而求出102046S = 【解析】由()2121(42)0n n n S S a n ----=≥，得22140nn a a --=，得()()11220n n n n a a a a --+-=， 又数列{}n a 各项均为正数，且12a =， ∴120n n a a -+>，∴120n n a a --=，即12nn a a -= ∴数列{}n a 是首项12a =，公比2q 的等比数列，其前n 项和()12122212n n nS +-==--，得102046S =，故选：C.7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S a =-，则202120221S a +=（ ）A ．2B ．1C ．12D ．13【答案】B 【分析】由21n n S a =-，根据n a 与n S 的关系，得出{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【解析】由数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-，当1n =时，可得11121a S a ==-，所以11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=， 所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以202120212021122112S -==--，202120222a =，所以2021202211S a +=. 故选：B.8．在等比数列{}n a 中，()23122a a a a +=+，则数列{}n a 的公比q =（ ） A ．2 B ．1 C ．1-或1 D ．1-或2【答案】D 【分析】用1,a q 表示出已知等式后可得结论． 【解析】由题意知()()211210a q q a q +-+=，所以()()120q q +-=，所以1q =-或2q.故选：D .二、多选题9．(多选题)已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，则下列说法一定成立的是（ ） A ．若30a >，则20210a > B ．若40a >，则20200a > C ．若30a >，则20210S > D ．若30a >，则20210S <【答案】ABC【分析】根据等比数列通项式，前n 项和n S 代入即可得出答案. 【解析】设数列{}n a 的公比为q ，当30a >，则2018202130a a q=>，A 正确； 当40a >，则2016202040a a q=>，B 正确. 又当1q ≠时，()20211202111a q qS -=-，当1q <时，2021202110,10,0q qS ->->∴>，当01q <<时，2021202110,10,0q q S ->->∴>，当1q >时，2021202110,10,0q qS -<-<∴>当1q =时，2021120210S a =>，故C 正确，D 不正确. 故选：ABC10．(多选题)若数列{a n }是等比数列，则下面四个数列中也是等比数列的有（ ） A ．{ca n }(c 为常数) B ．{a n ＋a n ＋1}C ．{a n ·a n ＋1)D ．{}3n a【答案】CD 【分析】A. 由c ＝0判断；B.q ＝－1时判断；CD.由等比数列的定义判断. 【解析】当c ＝0时，{ca n }不是等比数列，故A 错误；当数列{a n }的公比q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，{a n ＋a n ＋1}不是等比数列，故B 错误； 由等比数列的定义，选项CD 中的数列是等比数列，故CD 正确. 故选：CD11．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n T 是{}n a 的前n 项之积，227a =，369127a a a ⋅⋅=，则当n T 最大时，n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】AB【分析】 设等比数列{}n a 的公比为q ，求出q 的值，进而可求得数列{}n a 的通项公式，解不等式1n a ≥，求出n 的取值范围，即可得解.【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则33696127a a a a ⋅⋅==，可得613a =，13q ∴==，所以，225212733n n n n a a q ---⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 令531n n a -=≥，解得5n ≤，故当n T 最大时，4n =或5.故选：AB.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．在等比数列{}n a 中，1521,8,n a a a S ==是数列{}n a 的前n 项和，若63k S =，则k =________．【答案】6【分析】由1521,8a a a ==，解得2q求解. 【解析】在等比数列{}n a 中，设公比为q ，因为1521,8a a a ==，所以48,0q q q =≠，解得2q， 所以126312kk S -==-，解得6k =， 故答案为：613．在正项等比数列{}n a 中，若13a 、312a 、22a 成等差数列，则2021202020232022a a a a -=-________．【答案】19【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，根据已知条件求出q 的值，再结合等比数列的基本性质可求得结果.【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为13a 、312a 、22a 成等差数列，则31232a a a =+，即211132a q a a q =+， 可得2230q q --=，0q >，解得3q =， 因此，()20212020202120202202320222021202019a a a a a a q a a --==--. 故答案为：19. 14．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若241,4n n a S b a a +==，数列{}n a 的通项公式为___________． 【答案】21()2n n a -= 【分析】当1n =时，求得102b a =>，再由n n S a b =-+，得到11(2)n n S a b n --=-+≥， 相减可得120n n a a --=，结合等比数列的通项公式，求得b ，进而求得数列的通项公式.【解析】由题意，正项数列{}n a 满足241,4n n a S b a a +==， 当1n =时，可得1111a S a a b =++=，则102b a =>， 由n n S a b =-+，则11(2,)n n S a b n n N +--=-+≥∈，两式相减可得120n n a a --=，所以1(22)1,n n n n N a a +-≥=∈， 即数列{}n a 为公比为12的等比数列， 所以2416,4b a a b ==，所以2441461a b a b =⨯=，解得4b =， 所以122b a ==，所以数列{}n a 的通项公式为1121112()()22n n n n a a q ---==⨯=.故答案为：21()2n n a -=.四、解答题15．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =，172n n S a ++=，2211log log n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2022n m T >对所有*n N ∈恒成立，求满足条件m 的最小整数值.【答案】（1）322n n a -= （2）674【分析】（1）利用递推公式，结合前n 项和与第n 项的关系、等比数列的定义进行求解即可； （2）根据对数的运算性质，结合裂项相消法进行求解即可.（1）由题意172n n S a ++=，当2n ≥时，172n n S a -+=，两式相减得：17n n n a a a +=-，即：()182n n a a n +=≥，所以2n ≥时，{}n a 为等比数列又因为1n =时，217272216a S =+=⨯+=， 所以218a a =， 所以，对所有*n N ∈，{}n a 是以2为首项，8为公比的等比数列，所以132282n n n a --=⨯=；（2） 由题知：32312212211log log log 2log 2n n n n n b a a -++==⋅⋅ ()()13231n n =-+11133231n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭所以12111111111134473231331n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭所以111202220221674167433131n T n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以满足2022n m T >恒成立的最小m 值为674.16．等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =. （1）求n a 与n b ；（2）求12111nS S S +++. 【答案】（1）33(1)3n a n n =+-=，13n n b -=（2）()231n n + 【分析】（1）由{}n b 的公比22S q b =及2212b S +=可解得3q =，由11b =则n b 可求，又由22S q b =可得29S =，26a =，213d a a =-=，则n a 可求；（2）由（1）可得3(1)2n n n S +=，则122113(1)31n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，故由裂项相消法可求12111nS S S +++. （1） 等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =，222212S q b b S ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3q =，13n n b -=. {}n b 各项均为正数，∴3q =，13n n b -=.由23b =，得29S =，26a =，213d a a =-=，∴()3313n a n n =+-=. （2）3(1)3(1)322n n n n n S n -+=+=， 122113(1)31n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，12111211111132231n S S S n n ⎛⎫+++=-+-++- ⎪+⎝⎭ 2121313(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 17．已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＋1＝2a n －5，求证{a n －5}是等比数列．【答案】证明见解析【分析】由a n ＋1－5＝2(a n －5)结合等比数列的定义证明即可.【解析】证明：由a n ＋1＝2a n －5得a n ＋1－5＝2(a n －5)． 又a 1－5＝－1≠0，故数列{a n －5}是首项为－1，公比为2的等比数列．。
4.3.1等比数列的概念(第1课时等比数列的概念及通项公式)课件高二上学期数学人教A版选择性
1 = 3,
1 = 6,
解(1)设{an}的公比为 q,则
3 解得
1 所以{an}的通项公式为
4
1 = 8 ,
= 2,
an=6×
1 -1
.
2
(2)由a2=4,q=2,得a1=2,所以2×2n-1=128,解得n=7.
(3)设{an}的公比为 q.
的 公比
,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
名师点睛
对等比数列定义的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等
比数列的基本特征).
(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠
倒.
(4)等比数列中的任何一项均不能为零.
a1qn-1
.
名师点睛
已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的
三个,可以求得第四个量.
思考辨析
已知等比数列{an}的通项公式an=2×3n,那么这个数列的首项和公比分别
为多少?
提示 首项a1=6,公比q=3.
自主诊断
[人教B版教材习题]已知{an}为等比数列,填写下表.
1 + 1 4 = 18,
(方法 1)由已知,得
1 2 + 1 5 = 9,
1 = 32,
1
6
解得
故 a7=a1q =32×
1
2
= ,
6
2
(方法 2)因为 a3+a6=q(a2+a5),所以
人教课标版高中数学必修五《等比数列(第1课时)》教案(1)-新版
2.4.1等比数列第一课时一、教学目标1.核心素养通过学习等比数列提高从数学角度发现和提出、分析和解决问题的能力,锻炼数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标（1）由特殊到一般,理解并会判断等比数列.（2）掌握等比数列通项公式及证明.（3）应用等比数列知识解决相应问题.3.学习重点（1）等比数列定义及判断.（2）通项公式的推导.4.学习难点会用等比数列解决相应问题.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材,思考:什么是等比数列?任务2观察等比数列,总结等比数列的规律,前后两项的比值可以是任意实数吗?任务3结合之前的探索,能写出其通项公式吗?等比数列何时递增,递减,或者变成等差数列?2．预习自测1．数列4,16,64,256…是什么数列?第五项是多少?答案:等比数列；1024.【知识点:等比数列】【解析】等比数列的通项公式是:11n n a a q -=2．在等比数列{}n a 中,472,16,a a ==则n a ＝________．.23-n 答案：【知识点:等比数列通项公式】【解析】等比数列的通项公式是:11n n a a q -=,由题意求出n 和q 3．已知x ,y ,z ∈R ,若－1,x ,y ,z ,－3成等比数列,则xyz 的值为（ ） A ．－3 B ．±3 C ．－3 3 D ．±3 3 答案:C【解析】∵-1,x,y,z ,-3成等比数列,∴2y =xz =（-1）×（-3）=3,且2x y =-＞0,即y”的什么条件？有都”是“对任意正整数是公比，则“是首项，等比数列中n n a a n q a q a >>>+111,1,0,.4答案:充分不必要条件.【知识点:等比数列通项公式,充要条件的判断；数学思想:推理论证能力】【解析】充分不必要条件.由q >1,得1n n q q ->,又10a >得111n n a q a q -⋅>⋅即1n a +>n a 反之不然.取11n n a a q -==)21(n-,可得 1n a +>n a ,但1a =21-（二）课堂设计 1．知识回顾 （1）等差数列概念.（2）等差数列通项公式及推导. 2．问题探究问题探究一 借助等差数列的定义,类比得到等比数列定义 ●活动一 回顾旧知,夯实基础.之前我们学习了等差数列,我们是怎样定义并且判断等差数列?如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示． 数学语言表达式:1n n a a d +-= (n ∈N *,d 为常数),或1n n a a d --= (2,n d ≥为常数)． ●活动二 探索规律,发现新知. 类比于等差数列,观察以下几个数列2,4,8,16,32…；1,1,1,1,1…；1,-1,1,-1,1,-1…；1,0,1,0,1,0,…；3,9,27,81,243,…；它们都有着怎样的规律 ●活动二 新旧整合,得出结论.结合活动一与活动二,能给出等比数列定义吗?如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非0常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q (q ≠0)表示．数学语言表达式:1n n a q a -=(2,n ≥q 为非0常数),或1n naq a +=(n ∈N *,q 为非0常数)．问题探究二 类比等差数列通项公式及性质,结合等比数列定义得到等比数列通项公式和性质,●活动一 温故知新,迎难而上. 回忆等差数列,写出通项公式.通项公式:()11n a a n d =+-．推广:()n m a a n m d =+-(m,n ∈N *)． ●活动二 类比旧知得出新知.在等比数列中,是否只需确定某些量就可以写出通项公式?只需确定首项与公比即可得到通项公式11n n a a q -=.推广: n m n m a a q -=,公比为非0常数.●活动三 思维谨慎,扎实前进. 能否给出通项公式证明?借助定义,a na n －1＝q (n ≥2,q 为非0常数),列出n -1个式子,累乘后得到通项公式. ●活动四 夯实基础,勇于探索.等差数列中,公差大于0时,数列递增；反之递减.等比数列也有相似结论吗?请归纳总结.首相大于0,公比大于1时递增;公比大于0小于1时递减；首项小于0时,公比大于0小于1时递增,公比大于1时递减；首项不等于0,公比等于1时,既是等差又是等比；公比小于0时,为摆动数列.问题探究三●活动一 初步运用 基础知识的掌握例1.在等比数列{}n a 中,253618,9,1n a a a a a +=+==,则n ＝________． 【知识点:等比数列通项公式】 答案:6例2.在等比数列{}n a 中, 1a <0, 若对正整数n 都有1n n a a +<,那么公比q 的取值范围是?【知识点:等比数列通项公式】答案:由1n n a a +<得1111,,01n n n n a q a q q q q --<∴>∴<< ●活动二 能力提升 通项公式性质的运用例1. 数列{}n a 是等差数列,若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列,则q ＝________.【知识点:等比数列性质】 答案:1.例2.在正项等比数列{}n a 中, 1n n a a +>,28466,5a a a a ⋅=+=,则57a a ＝（ ） A.56 B.65 C.23D.32【知识点:等比数列性质】 答案:D 3．课堂总结 【知识梳理】（1）等比数列定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非0常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q (q ≠0)表示． 数学语言表达式:1n n a q a -= (n ≥2,q 为非0常数),或1n naq a +=(n ∈N *,q 为非0常数)．（2）等比数列通项公式: 11n n a a q -=；通项公式的推广: n m n m a a q -=. 【重难点突破】（1）等比数列通项公式运用时为了减少计算量可以尝试使用其推广式. （2）公比0≠q 这是必然的,不存在公比为0的等比数列,还可以理解为等比数列中,不存在数值为0的项,各项不为0的常数列既是等差数列又是等比数列；至于等比数列的增减,则可以从首项与公比的正负及范围,通过列不等式进行确定. （3）等比数列的定义中有“从第二项起”“同一个常数”的描述应与等差数列中的描述理解一致.（4）等比数列的通项公式可以用迭代法累乘法推导,其中累乘法与累加法相似,可做一做比较,便于掌握. 4．随堂检测 一、选择题1.在等比数列{}n a 中,64,852==a a ,则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案:A.解析：【知识点:等比数列的通项公式】 二、解答题1.求下列各等比数列的通项公式: （1）21-=a ,83-=a . （2）51=a ,且12+n a n a 3-=. （3）51=a ,且11+=+n na a n n . 答案:（1）n n n n n n a a )2()2)(2(22)2(11-=--=-=-=--或.（2）1)23(5--⨯=n n a .（3）na n a n 311==.解析：【知识点:等比数列通项公式】 2.求以下等比数列的第4项与第5项: （1）5,－15,45,……. （2）1.2,2.4,4.8,…….（3）213,, (328).答案:（1）1354-=a ,4055=a . （2）6.94=a ,2.195=a . （3）4a =329,5a =12827. 解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】3.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数. 答案:这四个数为0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1.解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】 设四个数依次为x,y,12-y,16-x ．依题意,有 x +(12−y )=2y ①()()21612y x y -=-②由①式得x =3y -12 ③将③式代入②式得y （16-3y +12）=（12-y ）2,整理得y 2-13y +36=0,解得124,9y y ==,代入③式得120,15x x ==.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 5.(1)已知{}n a 是等比数列,且2435460,225n a a a a a a a >++=, 求53a a +.(2)c a ≠,三数c a ,1,成等差数列,22,1,c a 成等比数列,求22ca ca ++. 答案:(1) 3a ＋55=a . (2)3122=++c a c a .解析：【知识点:等差数列的性质,等比数列】(1)∵{}n a 是等比数列,∴()224354635225a a a a a a a a ++=+=.又0n a >, ∴355a a +=.（三）课后作业基础型自主突破 一、填空题1.已知等比数列{}n a 的公比为正数,且248522,1,a a a a ⋅==则1a = .答案: 1a =解析：【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】设等比数列{}n a 的公比为q ,∵ 2482a a a ⋅=211a a ==,∴ 1a =2.设数列{}n a 是首项为1,公比为-3的等比数列12345||||||a a a a a ++++=______． 答案:121.解析：【知识点:等比数列】∵数列{}n a 是首项为1,公比为-3的等比数列,∴()1113n n n a a q --==-,∴123451,3,9,27,81,a a a a a ==-==-=∴则12345||||||1392781121a a a a a ++++=++++=． 3.等比数列{}214n +的公比为 ______ ． 答案:16.解析：【知识点:等比数列的通项公式】 等比数列的通项公式是：11n n a a q -=4.若1、a 、b 、c 、9成等比数列,则b = ______ ． 答案:3.解析：【知识点:等比数列】利用等比数列通用公式11n n a a q -=求出相应的值421531,9,3a a q a q b ======,3b ∴=5.公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116,a a =,则210log a = ______ ． 答案:5.解析：【知识点:等比数列通项公式,对数的运算性质】∵公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116,a a =,∴7a =4,∴1a •26=4,解得1a =42-,∴9495101222a a q -==⨯=,∴52102log log 25a ==. 故答案为：5．能力型师生共研 一、选择题1.在数列{}n a 中,1111,,4n n a a a +==则99a =________. A.125504B.2500C.124504D.2401 答案:B解析:【知识点:等比关系的确定;数学思想:推理论证能力】 二、填空题1.设{}n a 为公比1q >的等比数列,若2004a 和2005a 是方程24830x x ++=的两根,则=+20072006a a _________. 答案:-18解析:【知识点:等比数列,根与系数的关系】根据{}n a 为公比q ＞1的等比数列, 2004a 和2005a 是方程4x 2+8x +3=0的两根,可得2004a =-2005=2006+2007a =-18． 三、证明题1.已知:b 是a 与c 的等比中项,且c b a ,,同号,求证:3a b c ++等比数列答案:见解析解析:【知识点:等比数列】 由题设:ac b =2得:22333)3(333ca bc ab bc b ab b c b a abc c b a ++=++=⨯++=⨯++ ∴3,3,3abc ca bc ab c b a ++++也成等比数列.探究型多维突破一、选择题1.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是（ ）A ．1(0,2+B ．C ．D ．)251,251(++- 答案:D.解析:【知识点:等比关系的确定,解三角形;数学思想:推理论证能力】 设三边:a 、qa 、2q a 、q ＞0则由三边关系:两短边和大于第三边a +b ＞c ,即 （1）当q ≥1时a +qa ＞2q a ,等价于解二次不等式:21q q --＜0,由于方程2q q --（2）当q ＜1时,a 为最大边,qa +2q a ＞a 即得2q q --⎭故选D ． 二、证明题1.设d c b a ,,,均为非零实数,()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ,求证:c b a ,,成等比数列且公比为d答案:见解析解析:【知识点:等比关系的确定;数学思想:推理论证能力,运算求解能力,创新意识,应用意识】证明:证一:关于d 的二次方程()()0222222=+++-+c b d c a b d b a 有实根, ∴()()0442222≥+-+=∆b a c a b ,∴()022≥--ac b则必有:02=-ac b ,即ac b =2,∴c b a ,,成等比数列设公比为q ,则aq b =,2aq c =代入()()024********=+++-+q a q a d aq a aq d q a a∵()0122≠+a q ,即0222=+-q qd d ,即≠=q d证二:∵()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ∴()()022222222=+-++-c bcd d b b abd d a∴()()022=-+-c bd b ad ,∴b ad =,且c bd =∵d c b a ,,,非零,∴d bca b == 自助餐 一、选择题1.等比数列{}n a 中,6a 和10a 是方程2620x x ++=的两根,则8a =（ ）A.2±B.答案:C.解析:【知识点:等比数列,根与系数的关系】等比数列{}n a 中,6a 和10a 是方程2620x x ++=的两根, 6106a a +=-,可得261082a a a ⋅==,6a 和10a 都是负数,可得8a =-2.．故选:C ．2.已知等比数列{}n a 的公比为正数,且248522,1,a a a a ⋅==则1a =（ ）A. 0.5B. 22答案:C.解析:【知识点:等比数列】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q ⋅=,即q 2=2,又因为等比数列{}n a 的公比为正数,所以q =2.22=,故选C.2.等比数列{}n a 的首项为1,项数是偶数,所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170,则10a =（ ）A.32 64.B C.512 D.1024 答案:C.解析:【知识点:等比关系的确定；数学思想:推理论证能力】设等比数列的项数为2n ,∵所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170, ∴S 奇:S 偶=1:2．∵S 奇=1321...n a a a -+++,S 偶=242...n a a a +++=q S 奇由题意可得,q =2,∴9910112512a a q ==⨯=．故选:C ．3.在等比数列{}n a 中, 11,2,32n a q a ===,则n =（ ）A.5B.6C.7D.8 答案:B.解析:【知识点:等比数列的通项公式】11n n a a q -=,求得n =84.等比数列{}n a 中, 385,2a a ==,则数列{}lg n a 的前10项和等于（ ）A.2B.5C.1050D.lg答案:B.解析:【知识点:等比数列的通项公式,对数的运算性质】由题意得,等比数列{}n a 中, 385,2a a ==,所以385610,a a a a ⋅=⋅=,由等比数列的性质得, ()551231056...10a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅=,所以数列{}lg n a 的前10项和1210l g l g ...l g 5n S a a a =+++=,故选:B ． 6.数列{}n a 的首项1,数列{}n b 为等比数列且1n n na b a +=,若10112b b ⋅=,则21a =（ ） A.20 B.512 C.1013 D.1024 答案.D.解析:【知识点:等比数列的通项公式】由1n n n a b a +=可知202120232121,,,a a b a a b a a b === ,所以202123122021a a a a a a b b b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ,又数列{}n b 为等比数列,所以1202191011b b b b b b ===L ,于是有121102a a =,即110212a a =,又11=a ,所以102421021==a ,故答案选D. 二、填空题1．已知数列{}n a 为等比数列,且5a =4,9a =64,则7a =____________． 答案:16.解析:【知识点:等比数列的通项公式】11n n a a q -=,由已知条件求出通项公式1124n n a -=⋅,所以716a =.2．数列{}n a 中, 112,n n a a a cn +==+（c 是常数,n =1,2,3,…）,且123,,a a a 成公比不为1的等比数列．则c 的值是 ______ ．答案:2.解析:【知识点:等比数列】∵112,n n a a a cn +==+,∴232,23,a c a c =+=+又∵123,,a a a 成公比不为1的等比数列,∴()()22c 223c +=+,即c 2-2c=0解得c=2,或c=0,故答案为23.若公比不为1的等比数列{}n a 满足()21213•13log a a a ⋯=,等差数列{}n b 满足77b a =,则1213b b b +⋯+的值为 ______ ． 答案:26.解析:【知识点:等比数列通项公式,等差数列前n 项和】 ∵公比不为1的等比数列{a n }满足()21213•13log a a a ⋯=,∴()()()13212132727•1313log a a a log a log a ⋯===,解得7772,2,a b a ===,由等差数列的性质可得777121372,2,...1326a b a b b b b ===+++==,故答案为:26 三、解答题1.在等比数列{}n a 中, 5142-=15,-=6a a a a ,求3a 和q ． 答案:见解析解析:【知识点:等比数列通项公式】，6=-，15=-}中中在等比数列{2415a a a a a n 答案：．4=,1=时，2=q 当31a a2.设{}n a 是一个公差为d （d ≠0）的等差数列,它的前10项和10110S =且124,,a a a 成等比数列,求数列{}n a 的通项公式． 答案: n a =2n .解析:【知识点:等差数列前n 项和,等比数列】∵124,,a a a 成等比数列,∴2214a a a =又∵{an}是等差数列,∴2141,3a a d a a d =+=+, ∴()()21113a d a a d +=+,即222111123a a d d a a d ++=+,化简可得1a d =,∵101101092110S a d =+⨯=,∴11045110a d +=．又∵1a d =,∴55d =110,∴d =2, ∴()112n a a n d n =+-=3.已知数列{}n a 的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,公差与公比均为2,并且2415798,a a a a a a a +=++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使得1212m m m m m m a a a a a a ++++⋅⋅=++成立的所有正整数m 的值． 答案:见解析解析:【知识点:等比数列,等比数列通项公式】31517142622,4,6,2,4a a a a a a a a a a =+=+=+==Q 2415798,a a a a a a a +=++=2211212124,2642a a a a a a a a ∴+=+++++=++121,2a a ∴==∴na =⎩⎨⎧为奇数为偶数n n n n,,22； （2）∵1212m m m m m m a a a a a a ++++⋅⋅=++成立, ∴由上面可以知数列{}n a 为:1,2,3,4,5,8,7,16,9,… 当m =1时等式成立,即1+2+3=-6=1×2×3；等式成立． 当m =2时等式成立,即2×3×4≠2+3+4；等式不成立. 当m =3、4时等式不成立； 当m ≥5时,∵12m m m a a a ++⋅⋅为偶数, 12m m m a a a ++++为奇数, ∴可得m 取其它值时,不成立, ∴m =1时成立．。
等比数列的概念及通项公式第一课时
A．± 4 1 C．± 4
解析： 项为± 4.
答案： A
第一章 数列
9 1 2 3．若等比数列的首项为 ，末项为 ，公比为 ，则这 8 3 3 个数列的项数为________．
解析： ∴n＝4. 9 2n－1 1 an＝8×3 ＝3
答案： 4
第一章 数列
4．下面各数列是等比数列的是________． ①0,0,0,0，②1，－1,1，－1,1，－1，③－ 2 2，4， ④a 1，a 2，a 3，a 4.
2 2 n－1 当 q＝3 时，a1＝9，∴an＝9· ＝2×3n－3 3
第一章 数列
方法二：设等比数列{an}的公比为 q，则 q≠0， a3 2 a2＝ q ＝q，a4＝a3q＝2q， 2 20 1 ∴q＋2q＝ 3 .解得 q1＝3，q2＝3. 1 当 q＝ 时，a1＝18. 3
1 － 18 n 1＝ n－1＝2×33－n. ∴an＝18× 3 3
第一章 数列
2．对等比数列通项公式的理解 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式 为an＝a1qn－1.要注意： (1)公式成立的条件是n∈N＋，q≠0； an＋1 (2)此公式是按定义： ＝q(q是非零常数)推导出来 an 的，即an＋1＝anq，这是等比数列通项公式的一种递推关系 的表现形式；
第一章 数列
等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7
的等比中项． [策略点睛]
第一章 数列
[规范作答]
设该等比数列的公比为 q，首项为 a1，因
a1＋a1q＋a1q2＝168 q≠1， 由已知， 得 a1q－a1q4＝42
为 a2－a5＝42， 所以
，
等比数列的概念课件(第一课时)-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
（第一课时）
教学目标
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义；2.能在具体问题的情境中，发现数列的等比关系，并解决相应问题；3.体会等比数列与指数函数的关系。
1.等差数列的定义是什么？
3.它的通项公式是什么？
2.递推公式是什么？
探究：将一张很大的薄纸对折，对折30次后有多厚？不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米。
解：（1）由题意得，2与8的等比中项为 .（2） 和 的等比中项为 .
不存在
4
练习2：如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么 ( )A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
解：因为b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，所以b＝－3，且a，c必同号．所以ac＝b2＝9.
题型三：等比数列的判定方法
课堂小结
等差数列
等比数列
通项公式推导方法
累加法
不完全归纳法
定义式
公差公比
公差d可正、可负、可为零
公比q可正、可负、不可为零
通项公式
等差/比中项
累乘法
新知探究
例1.若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.
①
②
②的两边分别除以①的两边，得
两个，需对和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.
解法2：
因为是和的等比中项，所以
因此，的第5项是24或-24
例3.数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80, 第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列.
定义
a，A，b成等差数列
4.3.1 第一课时 等比数列的概念及通项公式(课件(人教版))
[做一做]
1．如果－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么
()
A．b＝3，ac＝9
B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－9
解析：因为 b2＝(－1)×(－9)＝9，且 b 与首项－1 同号，
所以 b＝－3，且 a，c 必同号．
所以 ac＝b2＝9. 答案：B
a2，a3，a4 成等比数列，a3，a4，a5 的倒数成等差数列， 证明：a1，a3，a5 成等比数列．
证明：由已知，有 2a2＝a1＋a3，
①
a23＝a2·a4，
②
a24＝a13＋a15.
③
由③得a24＝aa3＋ 3·aa55，所以 a4＝a23a＋3·aa55.
④
a1＋a3
由①得 a2＝ 2 .
4．3 等比数列
4．3.1 等比数列的概念
新课程标准解读
核心素养
1.通过生活中的实例，理解等比数列 的概念和通项公式的意义.
数学抽象
2.能在具体的问题情境中，发现数列 逻辑推理、数学运
的等比关系，并解决相应的问题.
算
3.体会等比数列与指数函数的关系.
数学抽象
第一课时 等比数列的概念及通项公式
[问题导入] 预习课本第 27～30 页，思考并完成以下问题 1．等比数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等比数列？
2．等比数列的通项公式是什么？
3．等比中项的定义是什么？
[新知初探]
知识点一 等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都 等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常 数叫做等比数列的公比，通常用字母_q__表示(q≠0)．
课时作业1：4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式
§4.3 等比数列4.3.1 等比数列的概念第1课时 等比数列的概念及通项公式1．在数列{a n }中，若a n ＋1＝3a n ，a 1＝2，则a 4为( )A ．108B ．54C ．36D ．18答案 B解析 因为a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }是公比为3的等比数列，则a 4＝33a 1＝54.2．(多选)在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为( ) A ．－4 B ．4 C ．－14 D.14答案 AB解析 由题意得a 26＝a 4a 8，因为a 1＝18，q ＝2， 所以a 4与a 8的等比中项为±a 6＝±4.3．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81答案 B解析 ∵a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍去)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.4．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( ) A. 2 B ．4 C ．2 D.12答案 C解析 因为a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中的连续三项，所以a 23＝a 1a 7，设数列{a n }的公差为d ，则d ≠0，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，所以a 1＝2d ，所以公比q ＝a 3a 1＝4d 2d＝2. 5．若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则数列{a n }的通项公式a n 等于( )A ．22n －1B ．2nC ．22n ＋1D ．22n －3答案 A解析 由a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0， 得(a n ＋1－4a n )·(a n ＋1＋a n )＝0.又{a n }是正项数列，所以a n ＋1－4a n ＝0，a n ＋1a n＝4. 由等比数列的定义知数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式，得a n ＝2×4n －1＝22n －1.6．若{a n }为等比数列，且a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q ＝________.答案 1或－2解析 根据题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＋a 1q 3＝4，a 1q ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，q ＝－2. 7．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，且a 1＝________，d ＝________.答案 23－1 解析 ∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 2a 7，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，即2d ＋3a 1＝0.①又∵2a 1＋a 2＝1，∴3a 1＋d ＝1.②由①②解得a 1＝23，d ＝－1. 8．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.答案 4×⎝⎛⎭⎫32n －1解析 由已知可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，所以a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝a 2a 1＝64＝32， 所以a n ＝4×⎝⎛⎭⎫32n －1.9．在等比数列{a n }中，a 3＝32，a 5＝8.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若a n ＝12，求n . 解 (1)因为a 5＝a 3q 2，所以q 2＝a 5a 3＝14. 所以q ＝±12. 当q ＝12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝⎛⎭⎫12n －3＝28－n ； 当q ＝－12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －3. 所以a n ＝28－n 或a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －3. (2)当a n ＝12时， 即28－n ＝12或32×⎝⎛⎭⎫－12n －3＝12， 解得n ＝9.10．在等比数列{a n }中：(1)已知a 3＝2，a 5＝8，求a 7；(2)已知a 3＋a 1＝5，a 5－a 1＝15，求通项公式a n .解 (1)因为a 5a 3＝q 2＝82， 所以q 2＝4，所以a 7＝a 5q 2＝8×4＝32.(2)a 3＋a 1＝a 1(q 2＋1)＝5，a 5－a 1＝a 1(q 4－1)＝15，所以q 2－1＝3，所以q 2＝4，所以a 1＝1，q ＝±2，所以a n ＝a 1q n －1＝(±2)n －1.11．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－2答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.12．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A ．2B ．1 C.12 D.18答案 C解析 方法一 ∵a 3，a 5的等比中项为±a 4，∴a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12.方法二 ∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12.13．(多选)已知等差数列a ，b ，c 三项之和为12，且a ，b ，c ＋2成等比数列，则a 等于() A ．－2 B ．2 C ．－8 D. 8答案 BD解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，a ＋b ＋c ＝12，a (c ＋2)＝b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝4，c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝8，b ＝4，c ＝0.故a ＝2或a ＝8.14．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________． 答案 a n ＝3·(－1)n －1解析 由a n ＝2S n －3得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)，∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，又a 1＝3，故{a n }是首项为3，公比为－1的等比数列，∴a n ＝3·(－1)n －1.15．已知在等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝16，a 1＋1，a 2＋1，a 4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________．答案 275或8解析 设公差为d ，由a 2＋a 4＝16，得a 1＋2d ＝8，①由a 1＋1，a 2＋1，a 4＋1成等比数列，得(a 2＋1)2＝(a 1＋1)(a 4＋1)，化简得a 1－d ＝－1或d ＝0，②当d ＝3时，a n ＝3n －1.由题图可得第10行第11个数为数列{a n }中的第92项，a 92＝3×92－1＝275.当d ＝0时，a n ＝8，a 92＝8.16．设数列{a n }是公比小于1的正项等比数列，已知a 1＝8，且a 1＋13,4a 2，a 3＋9成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n (n ＋2－λ)，且数列{b n }是单调递减数列，求实数λ的取值范围． 解 (1)设数列{a n }的公比为q .由题意，可得a n ＝8q n －1，且0＜q ＜1.由a 1＋13,4a 2，a 3＋9成等差数列，知8a 2＝30＋a 3，所以64q ＝30＋8q 2，解得q ＝12或152(舍去)， 所以a n ＝8×⎝⎛⎭⎫12n －1＝24－n ，n ∈N *.(2)b n＝a n(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，由b n＞b n＋1，得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n，即λ＜n＋1，所以λ＜(n＋1)min＝2，故实数λ的取值范围为(－∞，2)．。
等比数列的概念(第一课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
a2
a3
以上各式相乘得：
a 2 a 3 a4
a1 a2 a3
an 1 an
q q q
a n 2 a n 1
an
q n1，an a1q n1
a1
q q n 1
n-1个
又a1=a1q0=a1q1-1，即当n=1时上式也成立.
an=a1qn-1 (n∈ ∗ )
所以 5 =± 576=±24
因此， 的第5项是24或-24
典例分析
例2 已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.
n 1
a
a
q
①
n
1
解:由题意,得
，
m 1
am a1q ②
①的两边分别除以②的两边,得
an
q n m ,即an am q n m .
常数列一定是等差数列，公差为0；
非零常数列是等比数列，公比为1.
追问3：是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？
非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1.
新知探究二：等比中项
问题3 类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？
等比中项
等差中项
定
义
关
系
如果三个数a，A，b组成等
如果三个数a，G，b组成等
q 3
解 2 :由题意,得a22 a1a3 36,∴a2 6.
a4
2
当a2 6时,a4 54,∴q
第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列.
解：设前三项的公比为q,后三项的公差为d ,则数列的各项的各项依次为
等比数列的概念(教案)
§2.4 等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式一、教学内容《等比数列》是普通高中课程标准试验教科书《数学》必修5第二章《数列》第四节，内容较多，设置了两个课时，第1课时为等比数列的概念及通项公式.等比数列在我们的学习和生活中有着广泛的实际应用，例如：物理、化学、生物等均有涉及，通过该内容的学习，能够培养学生的多种数学能力。
而且它在教材中起着承前启后的作用，一方面，等比数列是一种特殊的数列，与等差数列既有区别，也有联系，另一方面，它又对进一步学习数列及其应用等内容作准备，且等比数列又是高考的考点之一。
所以本节内容比较重要，地位较突出.二、教学目标1.知识与技能：①通过学习，能说出等比数列的概念，并会使用符号语言表示；②初步掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；③运用等比数列的通项公式解决一些简单的有关问题.2.过程与方法：通过慨念、公式和例题的教学，渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到—般等数学思想，培养学生观察、比较、概括、归纳等数学能力及思想方法，增强应用意识.3.情感、态度与价值观：通过对等比数列概念的归纳,培养学生科学严谨的思维习惯以及合作探究的精神，体会类比思想.三、教学重难点1.重点：等比数列、等比中项的概念的形成，通项公式的推导及运用.2.难点：等比数列通项公式推导方法的获取.四、学情分析高一学生已经初步形成了自己的学习习惯，好奇心强，有着自主的探究能力和思考辨别能力.但通过考试成绩的分析可以看出，学生基础薄弱，知识的引入及理解都应多加强调，在教学中，需要多设计问题，化难为易，循序渐进，以问题串为载体引导学生分析问题，解决问题.五、教法与学法教法：1.直观演示法：利用多媒体课件直观的展示数列，便于学生观察，发现数列特征.2.活动探究法：引导学生通过创设生活情境获取知识，以学生为主体，使学生的独立探索性得到充分的发挥，培养学生的自学能力、思维能力、活动组织能力.3.集体讨论法：针对学生提出的问题，组织学生进行集体和分组讨论，促使学生在学习中解决问题，培养学生的团结协作的精神.学法：等差数列的概念及通项公式启发我们，使用类比的方法，学习等比数列的概念，通项公式的两种推导方法.六、教学用具多媒体，三角板，彩色粉笔，电子笔七、授课类型新授课八、教学过程（一）课前复习1.等差数列的概念2.通项公式.（二）新授课1.课堂探究1课本48页4个实例.①细胞分裂个数构成的数列②“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，将“一尺之锤”看成单位“1”，得到的数列③计算机每轮感染的数量构成的数列④银行存款中，每一年的本利和得到的数列思考：类比等差数列的定义，这4个数列项与项之间都有什么共同特征？试将共同特征用语言叙述出来，并用符号表示.【师生活动】教师引导学生从生活中的实例出发，借助等差数列的概念进行类比推理.【设计意图】以学生熟悉的等差数列的概念为背景，通过思考，引导学生进行分析，使学生形成“等比数列是后一项与前一项的比是同一常数的数列”的感知，从而流畅自然的引出等比数列的概念.2.等比数列的概念一般地，如果一个数列从第．．2．项起．．，每一项与它的前一项的比．等于同一常数．．．．，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用字母q )0(≠q 来表示.用数学符号表示为：}{n a 是等比数列⇔),2,0(1+-∈≥≠=N n n q q a a n n 且 【师生活动】在上一个环节的基础上，教师引导学生给出等比数列的概念.【设计意图】流畅的引出等比数列的概念，使学生理解等比数列.3.对概念的再认识（1）公比是否能等于0？ 等比数列中有为0的项吗？（2）公比为1的数列是什么数列？（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？（4）公比q>0的等比数列有什么特征？公比q<0的等比数列有什么特征？【师生活动】教师引导学生，观察等比数列中的各项的要求.【设计意图】使学生很自然的对等差、等比数列的异同点进行初步认知. 例1.判断下列数列是否为等比数列?若是,找出公比；若不是,请说明理由．① 1, 4, 16, 32．② 0, 2, 4, 6, 8.③ 1,－10,100,－1000,10000．④ 81, 27, 9, 3, 1.⑤ a a a a a ,,,,【师生活动】学生根据等比数列的概念进行判断.【设计意图】1.让学生体会等比数列中公比可正可负，可以大于1，也可以小于1.2.让学生体会等比数列中不能出现0.3.体会非零常数列既是等差数列，又是等比数列.4.课堂探究2 等比数列的通项公式)(11+-∈=N n q a a n n方法：累乘法【师生活动】教师引导学生回顾等差数列的通项公式推导过程，引导学生类比推导等比数列的通项公式.【设计意图】培养学生小组合作，类比推理的学习能力.5.对通项公式的再认识① 等比数列通项公式11-=n n q a a 中，是公比的．．．1-n 次方．．. ② 写出通项公式需已知的量是首项．．与公比．．，它们均不为．．．0.【师生活动】教师引导学生从等比数列的定义，通项公式的形式，推导过程，对通项公式进行再认识.【设计意图】熟练掌握等比数列的通项公式以及常用变形式.（三）练习导学案上的练习题九、课堂小结1.等比数列的概念2.等比数列的通项公式及推导方法 11-=n n q a a3.本节课所运用的数学思想方法十、课后作业练习册2.4.1等比数列的概念和通项公式十一、板书设计十二、教学反思（附页）。
等比数列第一课时教学设计
等比数列第一课时教学设计教学设计：等比数列第一课时一、教学目标1. 了解等比数列的概念和特点；2. 理解等比数列的通项公式和前n项和公式；3. 能够应用等比数列的知识解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
二、教学重点与难点1. 等比数列的特点与通项公式；2. 运用等比数列解决实际问题的能力。
三、教学准备1. 教材：数学教材、教学课件；2. 教具：黑板、白板笔、多媒体设备、计算器；3. 学具：学生练习册、习题册。
四、教学过程导入引入（5分钟）1. 开场导入：通过展示一组数字，让学生观察并思考规律。
例：2，4，8，16，32，...2. 提问导入：引导学生回忆等差数列的概念和特点，并引出等比数列的概念。
提问：你们还记得等差数列吗？它有什么特点？那么，我们来思考一下等比数列有什么特点？新课讲解（20分钟）1. 定义等比数列：引导学生对等比数列进行定义。
等比数列是指一个数列，从第二项开始，每一项与前一项的比都相等。
2. 等比数列的特点：通过例题与学生进行互动，让学生观察等比数列的特点，并总结出规律。
例题：观察数列2，4，8，16，...，这个数列是等比数列吗？他的比是多少？学生回答：是等比数列，比为2。
教师引导：我们可以发现，在这个数列中，每一项与前一项的比都是2。
这就是等比数列的一个特点，比值相等。
3. 等比数列的通项公式：结合实例，讲解等比数列的通项公式的推导过程。
例：观察数列2，4，8，16，...，求第n项的值。
教师引导：我们可以发现，每一项与前一项的比都是2，那么我们可以通过一个公式来计算第n项的值。
a1 a2 a3 a4————————2 4 8 16可以观察到，第n项与第1项的比是a^(n-1)。
因此，第n项的值可以通过通项公式计算：an = a1 * r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比。
4. 等比数列的前n项和公式：引导学生思考等比数列的前n项和公式。
例：观察数列2，4，8，16，...，求这个数列的前n项和。
4-3-1-1等比数列的概念与通项公式课件(人教版)
3．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列．
证明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1. ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1. ∴an＋1＝12an.又∵S1＝a1＝2－a1，∴a1＝1≠0. 又由 an＋1＝12an 知 an≠0，∴aan＋n 1＝12. ∴{an}是等比数列．
[解] (1)证明：因为 an＋1＝2an＋1， 所以 an＋1＋1＝2(an＋1)，即 bn＋1＝2bn，
因为 b1＝a1＋1＝2≠0，所以 bn≠0，所以bbn＋n1＝2， 所以{bn}是等比数列． (2)由(1)知{bn}是首项 b1＝2，公比为 2 的等比数列， 所以 bn＝2×2n－1＝2n，即 an＋1＝2n， 所以 an＝2n－1.
第四章 数列
4．3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列的概念与通项公式
[课标解读]1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.掌 握等比数列的通项公式，等比中项的概念.3.会证明一个数列是等比数列．
[素养目标] 水平一：1.会推导等比数列的通项公式，并能应用该公式解决简 单的等比数列问题(数学运算).2.掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解 决问题(数学运算)．
列{an}的前 10 项之和是( B )
A．90
B．100
C．145
D．190
解析：设公差为 d，由题意得 a22＝a1·a5，∵a1＝1，∴(1＋d)2＝1＋4d，∴d2－2d＝ 0，∵d≠0，解得 d＝2.∴S10＝10×1＋10× 2 9×2＝100，故选 B.
2．若 1，a,3 成等差数列，1，b,4 成等比数列，则ab的值为 ±1 . 解析：由题知 2a＝1＋3，∴a＝2.由 b2＝4 得 b＝±2，∴ab＝±1.
等比数列的概念(第一课时)课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
160
,80,136- ,132- 2 .
2,
q
q
q
q
80
160
由题意 ：2（136- ）=80+132- 2
q
q
化简得 3q2-8q+8=0
2
解得 q=2或q=
3
跟踪练习
已知四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比
数列,中间两个之积为16，前后两个数之积为-128.
求这四个数.
分析 设后三个数的公比为q,第二个数b,则这4个数
⑥
观察数列①~⑥：共同特点:
从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个
类比等差数列的概念,等比数列的定义:
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的
比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.
常数叫做等比数列的公比公比,通常用字母q表示
(q≠0)
跟踪练习 1.观察并判断下列数列是否是等比数列，
是：2b-bq,b,bq,bq2
由题意
b2q=16
bq2(2b-bq)=-128
化简得 q2-2q-8=0
q=4,或q=-2
当q=4，b=±2,
即四个数为：-4,2,8,32；或 4，-2，-8，-32
当q=-2时，与已知矛盾。
综上 所求数个数为-4,2,8,32；或 4，-2，-8，-32
四 课堂小结
求 的第5项
• 分析 由4 = 48，6 = 12，
3
• 1 = 48
①
• 1 5 = 12
②
• ②的两边分别除以①的两边，得
• 即 =
1
或
2
=
1
−
2
4.3.1 等比数列的概念(第一课时)(同步练习)(附答案)
4.3.1 等比数列的概念（第一课时）（同步练习）一、选择题1．等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝( )A ．12B ．－12C ．2D ．－22.(2021年保定期末)设递增等比数列{a n }的公比为q ，且a 1＝3，3a 1，2a 2，a 3成等差数列，则q ＝( )A ．3B ．1或3C ．2D ．2或33.已知数列a ，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≠1B ．a ≠0或a ≠1C ．a ≠0D ．a ≠0且a ≠14.(2021年成都期末)已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 2·a 6＝9a 4，a 2＝1，则a 1的值为( )A ．3B ．－3C ．－13D ．135.(2022年哈尔滨四模)在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 3－a 2＝2，则a 5＝( )A ．16B ．－1C ．－16或－1D ．16或16.(多选)设{a n }是等比数列，则下列结论中正确的是( )A.若a 1＝1，a 5＝4，则a 3＝2B.若a 1＋a 3>0，则a 2＋a 4>0C.若a 2>a 1，则a 3>a 2D.若a 2>a 1>0，则a 1＋a 3>2a 27.(2022年白山期末)等比数列{a n }的公比q 为整数，且a 1＋a 4＝9，a 2·a 3＝8，则a 2＋a 4＋a 10a 1＋a 3＋a 9＝( )A ．2B ．3C ．－2D ．－38.(多选)(2021年常州期末)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，等差数列{b n }的首项b 1＝18，若a 8＞b 8且a 9＞b 9，则以下结论正确的有( )A ．a 8＞a 9B ．a 8·a 9＜0C ．b 9＞b 8D ．b 10＜09.各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( )A ．1－52B ．5＋12C ．5－12D ．5＋12或5－12二、填空题10.等比数列{a n }为单调递增数列，设其前n 项和为S n ，若a 2＝2，a 1＋a 3＝5，则a 5的值为________11.在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝33，则a 1a 7＝________12.(2022年凉山模拟)已知公差大于零的等差数列{a n }中，a 2，a 8，a 12依次成等比数列，则a 12a 2的值是________13.若x 1，x 2是函数f(x)＝x 3－mx 2＋nx(m>0，n>0)的两个不同的零点，且x 1，x 2，－3这三个数适当排列后可以成等差数列，也可以适当排列后成等比数列，则m ＝________，n ＝________三、解答题14.已知等比数列{a n }中，a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18，a n ＝12，求n.15.(2021年上海期末)已知数列{a n }满足a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋13(n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．参考答案及解析：一、选择题1．C 解析：∵等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＋a 1q 4＝40，解得q ＝2. 2.A 解析：由数列{a n }为等比数列，且a 1＝3，3a 1，2a 2，a 3成等差数列，得4a 2＝3a 1＋a 3，即12q ＝9＋3q 2，∴q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝1或q ＝3.又∵数列{a n }是递增等比数列，∴q ＝3. 3.D 解析：∵等比数列的每一项都不能为零，∴依题意得a ≠0且a ≠1.4.D 解析：因为等比数列{a n }中，a 2·a 6＝9a 4，a 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 5＝9a 1q 3，a 1q ＝1，由于q>0，所以解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝3，a 1＝13. 5.D 解析：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，若a 1＝1，a 3－a 2＝2，则有q 2－q ＝2，解得q ＝2或－1.若q ＝2，则a 5＝a 1q 4＝16；若q ＝－1，则a 5＝a 1q 4＝1.故a 5＝16或1.6.AD 解析：由等比数列的性质，可得a 23＝a 1·a 5＝4，由于奇数项的符号相同，可得a 3＝2，因此A 正确；若a 1＋a 3>0，则a 2＋a 4＝q(a 1＋a 3)，其正负由q 确定，因此B 不正确；若a 2>a 1，则a 1(q －1)>0，于是a 3－a 2＝a 1q(q －1)，其正负由q 确定，因此C 不正确；若a 2>a 1>0，则a 1q>a 1>0，可得a 1>0，q>1，所以1＋q 2>2q ，则a 1(1＋q 2)>2a 1q ，即a 1＋a 3>2a 2，因此D 正确．故选AD ．7.A 解析：因为等比数列{a n }的公比q 为整数，且a 1＋a 4＝9，a 2·a 3＝a 1·a 4＝8，所以a 1＝1，a 4＝8， 所以q ＝2，则a 2＋a 4＋a 10a 1＋a 3＋a 9＝q(a 1＋a 3＋a 9)a 1＋a 3＋a 9＝q ＝2.故选A ．8.BD 解析：因为等比数列{a n }的公比q ＝－12，所以a 8·a 9＜0，B 正确；设等差数列{b n }的公差为d ，所以a 1·⎝⎛⎭⎫－127＞18＋7d ，a 1·⎝⎛⎭⎫－128＞18＋8d ，显然a 1≠0，若a 1＞0，则18＋7d ＜0，即d ＜0，所以b 9－b 8＝d ＜0，b 10＝18＋9d ＝18＋7d ＋2d ＜0，a 8＜a 9.若a 1＜0，则18＋8d ＜0，即d ＜0，所以b 9－b 8＝d ＜0，b 10＝18＋9d ＝18＋8d ＋d ＜0，a 8＞a 9，所以A 无法确定，C 错误，D 正确．故选BD ．9.C 解析：∵a 2，12a 3，a 1成等差数列，∴a 3＝a 2＋a 1.∵{a n }是公比为q 的等比数列，∴a 1q 2＝a 1q ＋a 1，∴q 2－q －1＝0.∵q ＞0，∴q ＝5＋12，∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝a 1q 2＋a 1q 3a 1q 3＋a 1q 4＝a 1q 2(1＋q)a 1q 3(1＋q)＝1q ＝5－12.二、填空题10.答案：16 解析：设等比数列{}a n 的公比为q ，由题意可得a 1＋a 3＝2q ＋2q ＝5，整理得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12.因为等比数列{a n }为单调递增数列，则q>1，∴q ＝2，因此a 5＝a 2q 3＝2×23＝16.11.答案：89 解析：数列{a n }的公比为q ＝a 3a 2＝332，故a 1a 7＝a 1a 1q 6＝1q 6＝89.12.答案：49 解析：设数列{a n }的公差为d ，则有d>0.因为a 2，a 8，a 12依次成等比数列，所以a 28＝a 2·a 12⇒(a 1＋7d)2＝(a 1＋d)(a 1＋11d)⇒19d 2＝－a 1d.因为d>0，所以a 1＝－19d ，因此a 12a 2＝a 1＋11d a 1＋d ＝－8d －18d ＝49.13.答案：152，9 解析：由题意，x 1，x 2为方程x 2－mx ＋n ＝0的两根，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝n ，由m>0，n>0得x 1>0，x 2>0，不妨设x 1<x 2，x 1，x 2，－3这三个数适当排列后可以成等差数列，则x 1必是中间项，所以2x 1＝x 2－3.又x 1，x 2，－3这三个数适当排列后成等比数列，则－3必是中间项，所以x 1·x 2＝9，解得x 1＝32，x 2＝6，所以m ＝x 1＋x 2＝152，n ＝x 1x 2＝9. 三、解答题14.解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18，所以a 4＋a 7a 3＋a 6＝a 1q 3＋a 1q 6a 1q 2＋a 1q 5＝a 1q 3(1＋q 3)a 1q 2(1＋q 3)＝q ＝12，故a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝14a 1＋132a 1＝36，解得a 1＝27，故a n ＝27×⎝⎛⎭⎫12n －1＝28－n .令28－n ＝12＝2－1，解得n ＝9.15.(1)证明：∵a n ＋1＝13a n ＋13(n ∈N *)，∴a n ＋1－12a n －12＝13a n ＋13－12a n －12＝13a n －16a n －12＝13⎝⎛⎭⎫a n －12a n －12＝13，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12是等比数列．(2)解：由于a 1－12＝56－12＝13，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12是以13为首项、13为公比的等比数列，∴a n －12＝13×⎝⎛⎭⎫13n －1＝13n ，因此a n ＝12＋13n .。
高中数学第四章数列4.3等比数列4.3.2等比数列的前N项和公式第一课时等比数列的前n项和课件新人教
＝299－1.
答案：C
知识点二 等比数列前 n 项和的性质 (一)教材梳理填空
(1)等比数列{an}中，若项数为 2n，则SS偶奇＝ q ；若项数为 2n＋1，则S奇S－偶 a1＝ q . (2)若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数 列(其中 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为 0)． (3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列 {an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔数列{an}为 _等__比__数__列___．
题型二 等比数列前n项和的性质 [学透用活]
[典例2] 已知在等比数列{an}中，S10＝10，S20＝30，则S30＝________. [解析] 设等比数列{an}的公比为 q，由于 S20≠2S10，则 q≠1. 法一：由等比数列的前 n 项和公式，
a111－－qq10＝10，
①
得a111－－qq20＝30. ②
()
A．12
B．10
C．8
D．6
解析：设该数列为 a1，a2，…，a2n，公比为 q，由题意可知SS偶 奇＝q＝2，an＋an ＋1＝24.又 a1＝1，∴qn－1＋qn＝24，即 2n－1＋2n＝24，解得 n＝4，故项数为 8.
答案：C
题型一 等比数列的前n项和公式的基本运算 [学透用活]
(1)等比数列前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此，当公比未知时， 要对公比进行分类讨论．
题型四 等差数列、等比数列的综合 [学透用活]
[典例 4] (1)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 a1＝1，且 3S1,2S2，S3 成 等差数列，则 an＝________.
等比数列第一零版
§3 等比数列（4课时）§3.1 等比数列（第一课时）●教学目标1.知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；2.过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。
3.情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。
●教学重点等比数列的定义及通项公式●教学难点灵活应用定义式及通项公式解决相关问题●教学过程Ⅰ.课题导入复习：等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +）等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。
课本P41页的4个例子：①1，2，4，8，16，…②1，12，14，18，116，… ③1，20，220，320，420，…④10000 1.0198⨯，210000 1.0198⨯，310000 1.0198⨯，410000 1.0198⨯，510000 1.0198⨯，……观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。
Ⅱ.讲授新课1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n n a a =q （q ≠0） 1︒“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛n a ｝成等比数列⇔n n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）2︒ 隐含：任一项00≠≠q a n 且 “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件．3︒ q= 1时，{a n }为常数。
等比数列的概念及其通项公式
试一试 2:(1)若{an}为等比数列,且 3a4=a6-2a5, 则公比是( B ) (A)0 (B)-1 或 3 (C)1 或-3 (D)-1 或-3 (2)在等比数列{an}中,若公比 q=4,且前三项之 和等于 21,则该数列的通项公式是 .
解析:(1)设公比为 q,则 3a1q3=a1q5-2a1q4. 3 ∵a1q ≠0, ∴q2-2q-3=0, 解得 q=-1 或 q=3.故选 B. (2)依题意 a1+4a1+42a1=21, ∴a1=1, ∴an=a1q =4 . n-1 答案:(1)B (2)an=4
n
n-1
-1),
an 得 an 1 a2 又∵ a1
1 =2 1 =2
,
,
1 ∴{a }是以2
n
1 为首项,以2
n
为公比的等比
n
1 数列,其通项公式为 a = 2
.
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n-1 n-1
等比数列的判定与证明
【例 1】 观察下面几个数列,其中一定是等比数列 的有哪些?
1 (1)数列{a }的通项公式为 a = 2
n n
·3 ;
n
(2)数列 a,a,a,„,a; (3)数列 1,2,6,18,54,„;
(4)数列{an}中,
a2 a1
=2,
a3 a2
=2;
(5)数列{an}中,
.
9 (D) 5
2
(2)若数列 x,x(x-1),x(x-1) ,„是等比数列,则 x 的取值范围是
3 5 9 解析:(1)依定义,有 = ,∴a= .故选 D. a 3 5
(2)由于等比数列的任何一项都不为 0,因此 x≠0 且 x(x-1)≠0,所以 x≠0 且 x≠1. 答案:(1)D (2)(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)
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±4 2 -4，____，-8
± 3； 2.在等比数列 n}中，a13a19=3，则a16=___； 在等比数列{a 中 在等比数列 ，
3.在等比数列 n}中，a3a5=m，则 在等比数列{a 中 在等比数列 ， 2 a1a2a6a7=____； m ； 4.在等比数列 n}中，a1=3，q=2，试问：第几 在等比数列{a 中 在等比数列 ， ，试问： 项是48？ 项是 ？ 4 在等比数列{ 中 5: 在等比数列 an}中，a 6 = 6 , a 9 = 9 , 则 a 3 = 4
在等比数列{ 中 6: 在等比数列 an}中，q = 2, S 4 = 1, 则 S 8 = 17
7: 在等比数列 an}中， m = 16, S2m = 24, 则S3m = 28 在等比数列{ 中 S
例题讲解 例1 设{an}是由正数组成的等比数列，且 a5a6=81,求log 3 a1 + log 3 a2 + log 3 a3 + L + log 3 a10 的值。 20
G = ± a b G = a b
2
五、前n项和公式 项和公式
(1) q ≠ 1 ( 2) q = 1
a1 anq a1(1 q ) = Sn = 1 q 1 q
n
Sn = na1
小练习： 在空格处填入恰当的数 在空格处填入恰当的数， 小练习：1.在空格处填入恰当的数，使以下三个成 等比数列
±9 3，____，27
第一课时
知识要点
一、等比数列的定义
如果一个数列从第2项起， 如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一 项起 项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等 同一个常数 项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等 比数列。 比数列。 公比 （公比通常用字 母
q
表示） 表示）
an = q (q ≠ 0的常数，n ≥ 2且n∈N+ ) an1
知识要点
二、等比数列的通项公式
a n = a1 q
n 1
(n ∈ N * )
三、等比数列的性质
am = q mn an
若m+n=p+q，则aman=apaq
S m , S 2 m S m , S3m S 2 m 也成等比数列
四、等比中项
知识要点
若a,G,b成等比数列，则G称a与b的等比 成等比数列， 成等比数列 称 与 的等比 中项。 中项。
练习 1;已知数列{an}的前n项和为Sn=3n-1，试判 断此数列是不是等比数列,如果是，说明原 因. 2:已知等比数列{an}中， a1+ a2+a3=7， ， a1a2a3=8，求通项 n. 求通项a
等比数列的通项公式： 等比数列的通项公式：
a n = a1 q
n 1
(n ∈ N * )
等比数列的性质： 等比数列的性质：
am mn =q an
若m+n=p+q，则aman=apaq Sm，S2m-Sm，S3m –S2m ，…也成等比数列 也成等比数列
等比中项： 等比中项：
G = ± a b G2 = a b
项和公式： 前n项和公式： 项和公式
(1) q ≠ 1 ( 2) q = 1
a1 anq a1(1 q ) = Sn = 1 q 1 q
n
Sn = na1
选择题周三检查 1、等比数列{an}中，a1+ a2=30,a3+a4=90, 、等比数列 中 求 a5+ a6 3 243 2、已知 a, , b, , c 五个数成等比数列， 、 五个数成等比数列，
2 32
试求a,b,c,的值。 的值。 试求 的值 3、在等比数列{an}中，a1=3,an=96, Sn=189, 、在等比数列 中 求q,n. 4、已知等比数列的前10项和为 ，前20 、已知等比数列的前 项和为 项和为10， 项和为30，求前30项和 项和。 项和为 ，求前 项和。 P:87-89一:5, 9,11,18,二2, 8,11,13
例2 {an}是等比数列，且an>0， a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3 + a5的值。5
已知: 例3:(1)已知 已知
5 a1 + a3 = 10, a4 + a6 = .求an , 与S n . 4
(2)已知 已知: 已知
a1 a 9 = 64 , a 3 + a 7 = 20 , 求 a11 .