截面几何性质

已知：a=150mm d=100mm
y
a
IZ =
d ( 2a ) 3 12
⎧π d 4 π d 2 +2 ⎨ − 8 ⎩ 128
⎛ 2d ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 3π ⎠
2
2
a
z
d
+
π d 2 ⎛ 2d ⎪ ⎞ ⎫ + a⎟ ⎬ ⎜ ⎝ 3π ⎠ ⎪ 8 ⎭
CL6TU11
=4.57×108 mm4
y
已知：a=150mm d=100mm
A
ydA I z =
∫
A
y 2 dA
恒正
m2
可正可负
恒正
可正可负
恒正
a z
a
m3
m4
不为零
I y1 = I y + b2 A Iz1 = Iz + a2 A
轴过 不为零 形心
等于零
S y = A ⋅ zC S z = A ⋅ yC
轴为对称轴 不为零 时才为零
d
解：
O
y
dy
y
⎛ y2 ⎞ = h⎜1 − 2 ⎟ ⋅ dy ⎜ b ⎟ ⎝ ⎠
O
y b
dy
y
b
§5-1 静矩和形心
例：确定图示图形形心C的位置。
z
10
4bh 2 2h zC = = 15 = 2bh A 5 3 Sy
解：
C1(45，5) C2(5，60)
120 C2
S z ⎫ 10 × 120 × 5 + 70 × 10 × 45 = 19.7 mm ⎪= 1200 + 700 ∑ Ai ⎪ ⎪ i =1 ⎬ S y ⎪ 10 × 120 × 60 + 70 ×10 × 5 zC = n = 39.7 mm = ⎪ 1200 + 700 ∑ Ai ⎪ z i =1 ⎭ yC =
A
2
2
y1 = y + a
2 I z 1 = ∫ y dA = ∫A ( y + a) ⋅ dA = ∫A y dA + 2a ∫A ydA + a ∫AdA
= I z + 2aS z + a 2 A = I z + a 2 A
§5-3 惯性矩的平行移轴公式
惯性矩的平行移轴公式：
§5-3 惯性矩的平行移轴公式
y d O z
§5-3 惯性矩的平行移轴公式
y z
z1
Ip =
πd 4
32
一、惯性矩的平行移轴公式
dA y
y1
y1
b
形心轴：z、y轴
z
c
a
I y + Iz = I p
o
Iz
I z1
Iy
I y1
I yz I y1z1
Iy = Iz =
πd 4
64
z1
先求 : I z1
A 2 1
I z = ∫ y 2 dA
y
Sy = 4bh 2 15
b
b 2 2 解： S = z dA = 1 h 2 ⎛ 1 − y ⎞ d y = 4bh y ∫2 ∫ 2 ⎜ b2 ⎟ 15 ⎝ ⎠ A 0
2
Sz =
b2h 4
⎛ y2 ⎞ b2h S z = ∫ y dA = ∫ yh⎜ 1 − 2 ⎟ d y = 4 b ⎠ ⎝ A 0
二、主轴和主惯性矩
Iz1 = Iz + a A
2
y1
z1
y z
dA
b
I y 1 = I y + b2 A
y z
y1
主轴——当平面图形对某一对正交坐标轴的惯性积 等于零时，则该坐标轴称为主惯性轴。 具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面 图形的主轴。 主惯性矩——平面图形对任一主轴的惯性矩 形心主轴——通过形心的主轴 形心主惯性矩——平面图形对任一形心主轴的惯性矩
n
10
C
C1 10 80
A1 = 70 ×10 A2 = 10 ×120
y
C1(45，5) C2(5，60)
120 C2
C
C1 80 10
A1 = 70 × 10 A2 = 10 × 120
y
§5-2 惯性矩和惯性积
一、惯性矩 微面积元dA对z 轴的惯性矩定义为y2dA
y
§5-2 惯性矩和惯性积
截面对z轴的惯性矩定义为：
y
§5-1 静矩和形心
二、静矩 微面积元dA对z 轴之矩ydA 通常称为dA 对z 轴 的静矩，或面积矩，而对整个截面的积分定义为截 面对z轴的静矩。
y
形心位置的计算公式为：
z
dA
zC
y
C
yC
z
⎧ y ⋅ dA ⎪ yC = ∫A ⎪ A ⎨ ⎪ ∫Az ⋅ dA ⎪ zC = A ⎩
O
截面对y轴和z轴的静矩分别为：
§5-1 静矩和形心
对组合截面：
n n ⎧ S z = ∑ Ai ⋅ yi = yC ⋅ ∑ Ai ⎪ ⎪ i =1 i =1 ⎨ n n ⎪S = ∑ Ai ⋅ zi = zC ⋅ ∑ Ai y ⎪ i =1 ⎩ i =1
§5-1 静矩和形心
例：计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形 对y轴和z轴的静矩，并确定图形的形心坐标。
z dA
y z
⎧ S y = zdA ∫A ⎪ ⎨ ⎪ S z = ∫A ydA ⎩
O
§5-1 静矩和形心
静矩的性质：
y
§5-1 静矩和形心
静矩与形心的关系： ⎧
dA y z
⎧ S y = zdA ∫A ⎪ ⎨ S z = ∫ ydA ⎪ A ⎩
z
y
⎪S y = ∫AzdA = ⎨ ⎪S z = ∫A ydA = ⎩
Sz ⎫ ⎪ ∑ Ai ⎪ ⎪ i =1 ⎬ Sy ⎪ zC = n ⎪ ∑ Ai ⎪ i =1 ⎭ yC =
n
z
⎛ y2 ⎞ z = h⎜ 1 − 2 ⎟ b ⎠ ⎝
式中：Ai、yi、zi分别表示第i个简单图形 的面积和形心坐标。
O
⎛ y2 ⎞ dA = h⎜1 − 2 ⎟ ⋅ dy ⎜ b ⎟ ⎝ ⎠
a z
1 01
y
=1360000 mm4
零次矩 定义 正负 单位
一次矩
二次矩 惯性矩 惯性积 极惯性矩
I yz = ∫ yz dA I p = ∫ ρ 2 dA
A
A
求图示平面图形对z轴的惯性矩 IZ。
⎧S y = A = ∫ dA ⎪ ⎨ A ⎪Sz = ⎩
∫ ∫
A
2 zdA I y = ∫A z d A
yC = zC = Sz A Sy A
A ⋅ zC A ⋅ yC
● 静矩是对一定的轴而言的，同一截面对不同 的轴的静矩值是不同的； ● 静矩值可正、可负，也可能为零; （什么情况下为零？） 3 ● 静矩的单位为： 或mm m3
O
z
zC
y
dA
C
yC
z
§5-1 静矩和形心
⎧S y = zdA = ∫A ⎪ ⎨ ⎪S z = ∫A ydA = ⎩
3
Iz =
I z = ∫ y 2 dA = ∫ y 2bdy = 0 A
h
bh 3 3
bh3 12
h/2
h/2
b 2
C
b 2
z
I yz = ∫ yzdA = ∫0
A
b
∫
h
0
2 2 yzdydz = b h
hb 3 Iy = 12
4
I p = I y + I z = bh(b + h 3
2
2
)
例：求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。
Ip =
y
∫A ρ
dA
y
Q ρ2 = y2 + z2
z dA
∴ I p = I y + Iz
截面对任意一对相互垂直轴 的惯性矩之和等于截面对该 二轴交点的极惯性矩。
O
z
dA
I yz =
∫A yz d A
ρ
O
y z
y z
§5-2 惯性矩和惯性积
§5-2 惯性矩和惯性积
I z = ∫ y2dA
A
I yz =
c
a
o
z1
可见：截面对通过其形心 轴的惯性矩是对所有平行轴 的惯性矩中的最小者。
注意：y和z轴必须通过截面的形心
§5-4 组合截面惯性矩的计算
组合截面惯性矩的计算公式：
§5-4 组合截面惯性矩的计算
例：求图示平面图形对z0轴的惯性矩 Iz0 已知yc=30mm
60
I z = ∑ I zi
i =1
20
∫A yz d A
I y = ∫ z 2dA
A
I yz =
∫A yz d A
I p = ∫ ρ2 dA
A
y
dA dA
如果所选的正交坐标轴中， 有一个坐标轴是对称轴，则平面 图形对该对坐标轴的惯性积必等 于零。
性质： (1)惯性矩、惯性积是对轴而言的，同一 截面对不同的轴的数值是不同的；极惯性矩是 对点（称为极点）而言的，同一截面对不同点 的极惯性矩值也不同。 (2)惯性矩的值永为正；惯性积则为代 数量，可正可负。它们的常用单位都是 m 4 或 mm 4
n
z C2 C
Ⅱ
z
02
I zi = I zci + a Ai
2 i
60
a
yc
0
2
2 = ( I z′01 + a12 ⋅ A1 ) + ( I z′′02 + a2 ⋅ A2 )