2019-2020学年高中数学 椭圆及其标准方程教案 新人教A版选修2-1.doc
2019-2020年高中数学 椭圆及其标准方程教案 新人教A版选修1
2019-2020年高中数学椭圆及其标准方程教案新人教A版选修1一、教学目标：1．知识与技能目标：（1）掌握椭圆定义和标准方程.（2）能用椭圆的定义解决一些简单的问题.2．过程与方法目标：（1）通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力.（2）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法3．情感态度与价值观目标：（1）通过椭圆定义的归纳过程获得培养学生探索数学的兴趣.（2）通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”.（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.二、教学重点、难点：1．重点：椭圆定义的归纳及其标准方程的推导。
2．难点：椭圆标准方程的推导。
三、教材与教法分析（一）、教材、学习者特征分析：本节课是圆锥曲线的第一课时。
它是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。
椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。
因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容；椭圆的标准方程推导过程中，化简两个根式的方程的方法特殊，难度较大，学生初次遇到。
（二）、教学方法和教学策略分析：探究式、启发式教学方法，引导学生主动参与、积极体验、自主探究，形成师生互动的教学氛围。
以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习。
充分利用了青少年学生富有创造性和好奇心，敢想敢为，对新事物具有浓厚的兴趣的特点。
让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题。
四、教具：多媒体直尺、细绳、钉子、笔、小木黑板第一课时五、教学过程新课引入2010年10月1日，中国的航天史又被翻开了新的一页，我国自主研制的嫦娥二号探月卫星升上太空，在太空中探索宇宙的奥秘。
这一事件，再一次向世界表明，我们中国人有信心、有能力攀登一个又一个科学高峰。
人教版高中选修2-1《椭圆及其标准方程》教学设计
人教版高中选修2-1《椭圆及其标准方程》教学设计《人教版高中选修2-1《椭圆及其标准方程》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！教学目标知识与技能：(1)初步掌握椭圆的定义及其标准方程。
(2)能对两个根号的代数式化简。
过程与方法：(1)能动手从圆中做出椭圆和用绳子画出椭圆，能将它转化成数学语言。
(2)能在分组讨论及引导下化简两个根号的代数式。
(3)类比圆的学习过程学习椭圆。
情感与价值观：体会数形结合的思想，方程思想，类比的思想在本节课中的应用。
感悟椭圆及椭圆方程的对称美。
教学重点：掌握椭圆的定义及其标准方程，理解坐标法的基本思想。
教学难点：椭圆标准方程的推导与化简。
教学过程：(一)椭圆概念的形成画一画，椭圆初步印象师：前面我们学习了圆，现在我们在圆中进行一个作图游戏，如图，圆的圆心为，在圆内取异于一定点，在圆上取一点，连接，做出线段的垂直平分线交于，然后在圆上依次取，依次得。
最后用一条光滑的曲线连接，。
为了方便大家画图，我给每个小组设计了一个画板。
请各小组合作完成作图。
(PPT演示一个作图例子)师：大家得到了什么图形呢?学生：椭圆师：为了图形更加的准确，我们用计算机验证一下。
(PPT几何画板演示)师：的确是一个椭圆，生活中还有哪些物品是椭圆形的呢?学生：师：我也准备了几个，请大家看看。
(PPT演示图片)师：椭圆就是我们这节课要研究的对象。
(PPT演示标题)。
通过本节课的学习，将达到以下目标。
(PPT演示三维目标)师：我们对椭圆已经有了一个初步印象，请分析刚才做出椭圆的过程中，哪些内容是确定的，哪些内容是变化的呢?(PPT演示作图例子) 学生：师：在平面内确定两个定点，动点到两个定点的距离之和为定值。
所以我们可以取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板上，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，就可以画出椭圆。
请各小组试一试。
议一议，椭圆定义的条件师：大家注意到，板上有3根绳子，大家选的那一根?学生：师：如果用另外两根，能画出什么图形呢?学生：一根画出线段，另外一根画不出任何图形。
人教A版选修2-1第二章第2节《椭圆及其标准方程》的教学设计
椭圆及其标准方程（人教A选修2-1第二章第二节）一、教学设计内容和内容解析（1）内容椭圆是常见的曲线，通过对引言及日常生活的体验，学生对椭圆已经有了一定的认识.本节将在此基础上，引导他们具体学习椭圆的定义、椭圆的标准方程的推导.本节是继直线与圆的方程之后，用坐标法研究曲线和方程的又一次实际演练.（2）内容解析圆锥曲线是高中数学中十分重要的内容之一.它的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用.本节是《圆锥曲线与方程》的第一节课，主要学习椭圆的定义和标准方程.它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识，原因如下：第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用.一方面，前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，另一方面，椭圆、双曲线、抛物线无论是定义、性质、方程还是坐标法运用上都有很多相似之处，可以说学习椭圆就是学习其他圆锥曲线的基础.第二，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想.而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习.第三，对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础.目标和目标解析（1）目标通过观察、实验、证明等方法的运用，让学生能够理解椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式，并根据条件会求椭圆的标准方程.通过对椭圆的认识及其方程的推导，使学生的分析、探究、抽象、概括等逻辑思维能力得到一定提高，用坐标法解决圆锥曲线问题的能力得到加强.鼓励学生积极、主动的参与教学的整个过程，激发其求知的欲望.（2）目标解析椭圆及其标准方程是圆锥曲线的基础，它的学习方法对《圆锥曲线》这一章具有导向和引领作用，直接影响其他圆锥曲线的学习，它是后继学习的基础和示范.同时，也是求曲线方程的深化和巩固.因此，学生对椭圆定义的理解，直接影响到他们对后续双曲线及抛物线定义的理解，又因为对椭圆定义的学习及其标准方程的推导过程是培养学生观察、分析、发现、概括、推理和探索能力的极好素材，所以让学生理解椭圆的定义及标准方程的推导，成为本节课的重点.另外，让学生集体参与、主动参与，让学生动手、动脑，通过观察、猜想、归纳等合情推理，鼓励学生多向思维、积极活动、勇于探索.所以，在平等的教学氛围中，让学生体验数学学习的成功与快乐，增加学生的求知欲和自信心；培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度成为本节课要达成的情感目标.教学重点：椭圆的定义、椭圆标准方程的推导教学问题诊断分析（1）教学的第一个问题是椭圆是怎样画出的，椭圆中存在的等量关系是什么，定义中要有什么样的约束条件？解决方案：①可通过两定点距离、绳长与图形的关系，通过操作，完善定义；②利用三角形中的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边原理，完善定义.（2）教学的第二个问题是平面直角坐标系怎么建立可以使得标准方程变得简单.解决方案：引导学生类比“圆心在原点及不在原点的圆的方程的求解过程”得到建系的方法.（3）教学的第三个问题是椭圆标准方程的推导与化简中含有两个根式的等式化简.解决方案：由于用两边同时平方法化简较为繁琐，有些学生完成可能的有困难，老师要及时加以指导.（4）教学的第四个问题可能是焦点在Y轴上的椭圆方程的得出.解决方案：可以利用类比“化归”的思想，通过翻折和旋转的方式实现图形变换，从而利用焦点在x轴上椭圆的标准方程得到焦点在y轴上椭圆的标准方程，避免繁琐、重复的推导过程.教学难点：椭圆标准方程的推导教学支持条件分析①动手切割圆锥形的事物，结合教材中的课后阅读材料，让学生了解圆锥曲线名称的来历及圆锥曲线的样子.②对椭圆定义的引入，可借助多媒体辅助工具及实物模型，直观形象的进行展示，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，进而形成正确的概念.③借助绳子及图钉等作为教具，动手绘制椭圆，通过演示，让学生掌握椭圆绘制方法并从中理解椭圆定义的实质.④注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系.⑤推导椭圆的标准方程时，可利用多媒体辅助工具，让学生类比圆的方程的求解方法，得到求椭圆标准方程的建系方法.⑥利用多媒体辅助翻转图形，启发学生得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程.然后，鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点，进一步加深对椭圆的认识.⑦合理利用实物展台，对学生所获得的经验进行展示，引导学生积极参与学习活动,培养学生的好奇心和学习兴趣；体验学习数学的成功与快乐，增强自信心.教学过程(一)直观感受，形象体会①把装有咖啡的圆柱形杯子适度倾斜，让学生观察水面所形成的图形.②动手切割圆锥形的胡萝卜，让学生观察切片的形状.③多媒体辅助：圆及其水平放置的直观图，椭圆形状的实物.得出结论——椭圆，教材中的课后阅读材料，介绍“圆锥曲线”名称的由来.设计目的：利用生动形象的演示实验及实物展图，提高学生的学习兴趣、激活思维，使他们的注意力、记忆力、思维凝聚在一起，加强学生对椭圆形象的认识，通过介绍“圆锥曲线”名称的由来,让学生对圆及椭圆之间的形变关系有一点点的体会.（二）新课教学1、椭圆的定义【问题一】将一根绳子的两端固定在同一个图钉处，再将铅笔套在绳子的折点处绷紧，然后旋转一周，便可在一块硬纸板上绘制出一个圆.如果将绳子的两端分别固定在距离小于绳长的两个图钉上，将铅笔卡在绳子内侧的任意位置绷紧，同样旋转一周，可以在硬纸板上绘制出什么样的图形呢？事实上，是可以做到的.将绳子的一端固定在硬纸板上的图钉处，将铅笔套在绳子的另一端，旋转一周，便得到一个圆.结合将装有咖啡的圆柱形杯子适度倾斜，得到的咖啡上底面是椭圆形，可知圆形和椭圆形存在着形变的关系.圆柱形杯子倾斜时，圆形水面的圆心便会向两侧均匀移动，圆心这个定点就拆分成为两个定点，到定点的距离也就变成了到两个定点之间的距离关系，再进行探索便可发现，当绳子的长度大于两个定点间的距离时，将铅笔卡在绳子上拉直，再旋转一周，所得到的图形便是椭圆形了.得出结果后，教师可就圆的绘制及椭圆的绘制过程及结果进行实践展示，加深学生的印象，也为后续问题做铺垫.设计目的：让学生对所掌握的知识重新进行归纳及整理，能大胆猜想，敢于实践，培养他们的探究精神.焦点及焦距的定义：椭圆的两个定点通常称为椭圆的两个焦点，两个焦点间的距离称之为焦距.【问题二】设椭圆的两个焦点分别为12,F F ，椭圆上任一点P ,能否从以上绘制出的椭圆图形中，抽象出一个等量关系，并由此归纳椭圆的定义？由椭圆的绘制过程，容易观察出，绳子的长度始终是保持不变的，不妨设绳子的长度为2a ，焦距为2c ，则可得到等式：12|PF ||PF |2a +=（22a c >），定义：平面上到两个定点12,F F 的距离之和恒等于常数2a （122|FF |a >）的点的轨迹.设计目的：锻炼学生的观察能力，培养学生抽象概括的能力.【问题三】椭圆的定义中，去掉122|FF |a >这个条件，所得到的轨迹还是椭圆吗？事实上，当绳子的长度恰好等于两定点间的距离时，是无法绘制出椭圆的，即满足12|PF ||PF |2a +=（122|FF |a =）的点P 的轨迹是线段12F F ，当绳子的长度小于两定点间的距离时，是无法绘制出图像的，即满足12|PF ||PF |2a +=（122|FF |a <）的点P 是不存在的.设计目的：培养学生严密的逻辑思维能力，让他们懂得分析问题时，应注意全面性.在归纳定义时，再次强调定义要满足三个条件：①平面内（这是大前提）；②任意一点到两个定点的距离的和等于常数；③常数大于12|FF |.2、椭圆标准方程的推导播放课件：哈雷慧星1986年2月9日是上世纪第二次也是最后一次回归地球，天文学家推算出哈雷慧星每隔76年到达离地球最近点一次.【问题四】天文学家推算出76年以后它还将光临地球上空的依据是什么？原来，哈雷彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行的周期及轨道的周期，预测它接近地球的时间.由此可说明轨迹方程有很大作用，怎样才能算出彗星运行轨道的方程呢？设计目的：利用课件生动形象的演示提高学生学习兴趣、激活学生思维，使学生的注意、记忆、思维凝聚在一起，加强学生对椭圆形象的认识，提高参与程度，让学生认识到学习椭圆的必要性.复习回顾：求曲线轨迹方程的步骤：建系——设点——列式——化简（坐标法）——验证启发学生类比求圆的方程的建系方法，建立适当的直角坐标系.学生可能会有如下几种建系方案：方案1：以定点1F 为原点，两定点的连线为X 轴；方案2：以定点2F 为原点，两定点的连线为X 轴；方案3：以两定点的连线为X 轴，其垂直平分线为Y 轴；方案4：以两定点的连线为Y 轴，其垂直平分线为X 轴.方案１ 方案２ 方案３ 方案4 【问题五】类比圆的方程的推导，四种建系方案中，哪些方案得出的椭圆的方程较为简便？事实上，圆心在原点，半径为r 的圆的方程为222x y r +=；圆心为(,0)a （0a ≠），半径为r 的圆的方程为222()x a y r -+=；圆心为(,)a b （,0a b ≠），半径为r 的圆的方程为222()()x a y b r -+-=，可观察得出，圆心在原点的圆的方程最为简便，抓住图形的对称性来建立直角坐标系是这种建系方案最大的特点.从而，可猜想，方案3及方案4的建系方法得出的椭圆的方程应该比较简便.以方案三为例，推导椭圆的标准方程：①建系：以21,F F 所在直线为x 轴，以线段21F F 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系.②设点：设),(1y x M 是椭圆上任意一点，为了使21,F F 的坐标简单及化简过程不那么繁杂，设12||2(0)F F c c =>，则12(,0),(,0)F c F c -设M 与两定点21,F F 的距离的和等于a 2③列式：12||||2MF MF a += 2,a④化简：（这里是本节的一个难点.为突破难点，教师进行设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？还有没有其他方法，集思广议，进行筛选后，选择方案如下）2a -两边平方，得：22222()44()x c y a x c y ++=--+即2a cx -=两边平方，得：422222222()a a cx c x a x c a y -+=-+整理，得：22222222()()a c x a y a a c -+=-令222(0)a c b b -=>，则方程可简化为：222222b a y a x b =+ 整理成：)0(12222>>=+b a by a x 指出：方程)0(12222>>=+b a by a x 叫做椭圆的标准方程，焦点在x 轴上，焦点是22221),0,(),0,(b a c c F c F -=-【难点突破】1、学生对含有两个根式之和的等式进行化简有一定困难，可采用以下方法突破难点：首先让学生明确，含根号的等式化简的目的就是要去掉根号，变无理式为有理式；其次复习含有一个根式的等式的化简方法——将根式放在等式的一边，其它项移到等式另一边，两边平方可去掉根号；有了这一基础，可启发学生，化简含两个根式之和的等式，只要将两个根式分别放在等号两边，其中一边只含一个根式，平方一次后即可转化为只含一个根式的化简问题.2、化简的方法还有很多，如等差中项法等，可布置为课后的思考题，发散学生的思维，进一步锻炼学生的计算能力.【问题六】如果以21,F F 所在直线为y 轴，线段21F F 的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，焦点是),0(),,0(21c F c F -，椭圆的方程又如何呢？教师可结合多媒体进行辅助，翻转方案3的图形，引导学生得出焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：)0(12222>>=+b a bx a y 【问题七】已知椭圆标准方程，如何判断焦点位置？引导学生思考：看2x ，2y 的分母大小，哪个分母大就在哪一条轴上.设计目的：通过对比总结，强化不同类型的方程的异同，从而深化学生对椭圆标准方程的理解；通过讨论，学生自主学习，构建新的知识体系，不但能学习到真正属于自己的、可灵活运用的知识，而且在此过程中掌握求知的方法，深化学生对椭圆标准方程的理解.（三）典型例题研究：例1、下列方程是否表示椭圆,为什么? (1)14422=+y x ;(2) 04322=+y x ;(3) 1522=+y x ;(4) 19422=-y x . <思考题>方程22Ax By C +=中，A 、B 、C 满足什么条件，方程可以表示椭圆？设计目的：使学生进一步熟悉椭圆的标准方程，在辨别中加深印象，加强对知识的理解.例2、已知4a =,3b =，求焦点分别在x 、y 轴上的椭圆的标准方程.分析：（略）<变式训练1> 根据已知条件，求焦点分别在x 、y 轴上的椭圆的标准方程．（1）6,4a b ==； （2）3,1a b ==；（3） 2,5==c a ； （4）2,3==c b ．设计目的：检测学生的掌握情况，及时反馈，强化知识点的学习，为下节课内容的学习打好基础；加深对所学知识的理解和运用，使学生掌握基础知识，利于学生思维能力的培养.例3、已知椭圆两个焦点的坐标分别是()0,2-，()0,2，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23-25，，求它的标准方程.解：因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为 ()012222>>=+b a by a x 由椭圆的定义知102232252322522222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a ， 所以10=a ，又因为2=c ，所以6410222=-=-=c a b . 因此，所求的椭圆的标准方程为161022=+y x . 【想一想】你还能用其他求它的方法吗？哪种方法更简单？你有什么体会？设计目的：教师板书示范，强调解题的规范．并让学生熟练椭圆标准方程的运用.让学生知道用待定系数法也可以解决这道题.<变式训练2>1.已知椭圆的焦点在y 轴上，且椭圆经过点()2,2-P 和()3,0-Q ，求此椭圆的标准方程.2.已知椭圆经过两个点()2,2-P 和()3,0-Q ，求此椭圆的标准方程.通过引导分析：焦点分别在x 轴和y 轴时对应有不同的方程，需要分两类来说明.变式1与例3类似，可以让学生自主练习，巩固方程的求法和待定系数法.变式2：引导学生观察,两道题条件有什么不同？当椭圆的焦点不确定时，应该如何选择方程？是否两类方程都适合呢？设计目的：这道题在设计上难度逐步加深，目的是要巩固知识，学习分类讨论的思想. ﹙四﹚ 课堂小结1.椭圆的定义（注意定义中的三个条件）2.椭圆的标准方程（注意焦点的位置与方程形式的关系）3.解析几何的基本思想设置目的：通过小结，使学生对所学的知识有一个完整的体系，突出重点，抓住关键，培养概括能力.（五）作业布置(1)必做题：教材P 42 1，2，3(2)选做题：求与圆（x-2）2+y 2=1外切，且与圆（x+2）2+y 2=49内切的动圆圆心的轨迹方程.设计目的：作业由易到难，分必做题和选做题，体现分层教学的思想，提高学生的学习积极性，使各层次的学生都找到各自的学习区，进一步促进教学目标的实现.（六）板书设计板书设计目的：条理清晰，把本节课的重点、难点写在黑板最突出的地方，便于不断强化学生对本节课知识的掌握.二、教学实践心得创设良好的教学情境，提高高中数学教学的实效性任何一个学生与生俱来都具有探究问题的心理需求、被人认可或欣赏的精神满足、获得成功或失败的情感体验，而这一些的获取，必须在一定的教育教学情境中才能实现.因此教师在教学中必须把学生要学习的内容巧妙地转化为教学情境，让学生带着强烈的好奇心和探究欲望，愉快地参与教学活动.创设教学情境经常采用的方法有：1、利用信息技术创设教学情境现代的多媒体技术，能把生动的动画图象、清晰的文字、注解和优美的声音有机地合成，并显示在大屏幕上，具有很强的真实感和表现力，可以调动学生学习积极性.对一些抽象的概念、难以观察的现象、跨越时空的事物和不需实现的愿望，利用信息技术和多媒体创设教学情境，可以吸引学生注意力，激发学生的探究兴趣.教学实录1：（多媒体辅助教学）请欣赏下面几幅图片，行星运行的轨道，生活中的盘子，水果的切面，椭圆形的镜子，这些都给我们以椭圆的形象.教学实录2：播放课件：哈雷慧星1986年2月9日是上世纪第二次也是最后一次回归地球，天文学家推算出哈雷慧星每隔76年到达离地球最近点一次.天文学家推算出76年以后它还将光临地球上空的依据是什么？实践表明，采用多媒体辅助教学，不仅使抽象的内容形象化，使便于学生认识，而且能增加学生的探究兴趣.提高分析问题和解决问题的能力.2、联系生活实际创设教学情境数学来源于生活，又为生活服务.我们可以利用学生所熟悉的生产、生活情境，创设情境，让学生体会到生活中的数学美，这样容易激发学生的愉悦心情，触发学生的情感和求知欲，更能提升学生探究学习的兴趣.课堂实录：师：今天早晨老师冲了杯咖啡带来，请观察，此时水的横截面边缘是什么图形？（圆柱形杯子竖直放置）生：圆师：我们如果将杯子倾斜一定的角度，此时水的横截面边缘又是什么图形呢？生：椭圆师：今天我们一起来探讨“椭圆及其标准方程”（点明主题）3、创设让学生动手操作的情境苏霍姆林斯基曾指出：“在人的灵魂深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者.”心理学研究也认为：“智慧出于手指尖” . 国际学习科学研究领域也有句名言：“听来的忘得快，看到的记得住，动手做更能学得好.”因此，在教学当中，我们就应尽可能地创设各种动手操作的情境，在教学中尽可能让学生的手、眼、脑、口等多种感官共同参与知识的内化过程，既有助于知识的掌握，又培养了学生的动手能力和探索精神，满足学生作为个体的需要，集中学生的注意力，调动学生学习兴趣，激励学生去努力成为一个发现者，研究者、探索者.课堂实录1：利用一根绳子及一枚图钉，可以在一块硬纸板上绘制出一个圆，类比这圆的绘制方法，利用绳子及图钉在硬纸板上绘制出椭圆.4、创设问题情境通过情境，提出问题，使教学信息具有新奇性，从而使学生产生浓厚的好奇心及求知欲，极大地激发了学生探究动机和兴趣，是创设问题情境来实施教学的主要功能表现.在探索创新过程中渗透和运用一些创造性的方法提出假设，建立新理论、给出新方法，有利于培养学生在创新过程中所需要的思维素质和探究能力.教学实录：【问题情境一】利用一根绳子及一枚图钉，可以在一块硬纸板上绘制出一个圆，类比这圆的绘制方法，你能否利用绳子及图钉在硬纸板上绘制出椭圆呢？【问题情境二】设椭圆的两个焦点分别为12,F F ，椭圆上任一点P ,能否从以上绘制出的椭圆图形中，抽象出一个等量关系，并由此归纳椭圆的定义？【问题情境三】椭圆的定义中，去掉122|FF |a >这个条件，所得到的轨迹还是椭圆吗？5、创设竞争情境美国心理学家、教育学家杰罗姆·布鲁纳强调，学习的最好动机是对所学材料的兴趣，是奖励、竞争之类的外在刺激.因此，教学中，教师可适当创设竞争情境，引入竞争教学模式，为学生创造展示自我、表现自我的机会，促进所有学生比、学、赶、超，以激发学习兴趣.教学实录：<思考题>方程22Ax By C +=中，A 、B 、C 满足什么条件，方程可以表示椭圆？在该思考题的教学中，可将班级分成8个小组进行讨论，然后将各小组的讨论结果用投影仪进行展示，教师再对各小组的收获进行评价与补充.总之，经过教师精心创设教学情境，可以激发学生的学习动机，让他们在思想上产生浓厚的兴趣，使他们自觉主动的去深思、探究、发现和解决问题，从而享受学习的乐趣，收获成功的喜悦，真正成为学习的主人.作为新课程改革进程下的教育教学工作者，我们背负着神圣的使命，要真正调动学生学习数学的积极性，培养他们自主创新的意识及能力，我们还需要做得更多.参考文献：1、章建跃．关于课堂教学中设置问题情境的几个问题【J】．数学通报，1994，6：3-4．2、钟启泉．课程与教学论【M】．广州：广东高等教育出版社，1999．3、张新华．关于在课堂多媒体网络环境下的情境创设【J】．电化教育研究，2001，5，48-52．4、王文静．情境认知与学习理论述评【J】．全球教育展望，2002，(1)：51．55三、专家点评本节课选自高中数学人教A选修2—1第二章第二节第一课时，题目是《椭圆及其标准方程》，纵观这节课的教学设计，有以下几个特点：1、能灵活创设适宜的教学情境，引发学生的兴趣，如联系生活实际，引导观察圆柱形杯子中咖啡的截面形状，斜切圆锥形胡萝卜获得的截面等，多种角度给学生再一次的视觉体验，直观感受，进而引出课题.2、能很好的营造探究氛围，塑造学生的竞争意识，引导合作交流的能力.该设计环环相扣，选择的突出重点及突破难点的方法巧妙，还能经常性的以设问的方式，承上启下的进行教学，引导学生带着思索进入下一个环节.3、能抓住教学的本质，注重基础知识及基本技能的训练.如在推导椭圆的标准方程是，能引导学生复习回顾曲线方程的求解步骤，耐心的引导他们选择适当的坐标系、化简无理方程等.这样的一个过程既让学生进一步掌握用坐标法求曲线方程的方法和步骤，还为双曲线及抛物线定义的教学埋下了铺垫.既发散了学生的思维，还让学生抓住问题的核心，学会探究.4、能在教学设计中体现数学文化的传承，并渗透情感教育.有意识的加强对数学文化的传承.引导学生利用课余时间去研读课后的阅读材料，从而自然传播了“椭圆”一词的产生及其定义的完善与发展.还经常性地鼓励学生积极、主动的参与教学的整个过程.5、理解教学大纲及课程标准，合理应用教材.教案的编写体现了教师的教材观，作到了用好教材、用活教材.在实际问题的研究过程中引入椭圆的概念. 注意在前面学段的基础上进行学习，教学过程以问题为主线，层层推进，引导和组织学生的思维活动，使学生在问题解决过程中经历椭圆标准方程的推导.这节课的设计基于教材，又不拘泥于教材.教师利用教材中椭圆图形的形成过程设计了一个实验，同时教师还通过丰富的不同层次的实例，使学生理解椭圆的定义.在教学过程中，充分利用青年教师的优势，结合高二学生的活泼的特征，对信息技术合理、适度的使用，使得让学生难以理解的知识变得易于理解，起到了较好的教学辅助作用.（福建省南安第一中学张伟民）。
2019-2020年高中数学《2.2.1椭圆及其标准方程》教案 新人教A版选修2-1
2019-2020年高中数学《2.2.1椭圆及其标准方程》教案 新人教A 版选修2-1◆ 知识与技能目标理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．◆ 过程与方法目标（1）预习与引入过程当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究P 41页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm 长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm ，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗2．1．1椭圆及其标准方程．（2）新课讲授过程（i ）由上述探究过程容易得到椭圆的定义．〖板书〗把平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse ）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为时，椭圆即为点集．（ii ）椭圆标准方程的推导过程提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系．无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理．设参量的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、的关系有明显的几何意义． 类比：写出焦点在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程．（iii ）例题讲解与引申例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程．分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出．引导学生用其他方法来解．另解：设椭圆的标准方程为，因点在椭圆上，则22222591444a a b b a b ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩-=⎩例 2 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？分析：点在圆上运动，由点移动引起点的运动，则称点是点的伴随点，因点为线段的中点，则点的坐标可由点来表示，从而能求点的轨迹方程．引申：设定点，是椭圆上动点，求线段中点的轨迹方程．解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设，；②（点与伴随点的关系）∵为线段的中点，∴；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵，∴点的轨迹方程为；④伴随轨迹表示的范围．例3如图，设，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程．分析：若设点，则直线，的斜率就可以用含的式子表示，由于直线，的斜率之积是，因此，可以求出之间的关系式，即得到点的轨迹方程．解法剖析：设点，则，；代入点的集合有，化简即可得点的轨迹方程．引申：如图，设△的两个顶点，，顶点在移动，且，且，试求动点的轨迹方程．引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当值在变化时，线段的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴．◆情感、态度与价值观目标通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；必须让学生认同与体会：椭圆的定义及特殊情形当常数等于两定点间距离时，轨迹是线段；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美；让学生认同与领悟：例1使用定义解题是首选的，但也可以用其他方法来解，培养学生从定义的角度思考问题的好习惯；例2是典型的用代入法求动点的伴随点的轨迹，培养学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题；通过例3培养学生的对问题引申、分段讨论的思维品质．◆能力目标（1）想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是椭圆、双曲线和抛物线的实际例子，能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示．（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（4）数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力．（5）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．练习：第45页1、2、3、4、作业：第53页2、3、2019-2020年高中数学《2.2.1用样本的频率分布估计总体分布》导学案2新人教A版必修3则ｎ＝．。
人教A版高中数学选修2-1第二章第二节《椭圆及其标准方程》教学设计
《椭圆及其标准方程》教学设计第一课时一、内容和内容解析（一）内容椭圆及其标准方程（二）内容解析解析几何是数学一个重要的分支，它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学》（人民教育出版社，课程教材研究所和中学数学课程教材研究开发中心编著）A版选修2-1第二章第二节《椭圆及其标准方程》第一课时。
在选修2-1第二章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。
由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法，然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。
本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。
因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：椭圆的定义、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想。
二、学生学情分析这节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念以及用坐标法研究几何问题的方法有了一些了解和认识，基本能运用求曲线方程的一般方法求曲线方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线的第一课，具有巩固旧知、熟练方法、拓展新知的承上启下作用，可为研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。
三、目标和目标解析（一）目标1.理解椭圆的定义；2.理解椭圆的标准方程的推导，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力；3.掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。
（二）目标解析1．经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力；通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风；充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识；2.巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程；重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣；通过经历椭圆方程的化简，增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美；3.对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识。
《椭圆及其标准方程》教案
《椭圆及其标准方程》教案一、教学内容解析本节课是人教A版选修2-1中的第二章第二节第一课时的内容，其主要内容是研究椭圆的定义及其标准方程，属于概念性知识。
解析几何是在直角坐标系的基础上，利用代数方法解决几何问题的一门学科。
从知识上讲，本节是在直线和圆的基础上，对解析法的又一次实际运用，同时也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上讲，三种圆锥曲线独编为一章，体现椭圆的重要地位。
解析几何的意义主要表现在数形结合的思想上，在研究椭圆定义和方程的过程中，几何直观观察和代数严格推导相互结合，同时要借助圆作类比，用类比的思想为学生的思维搭桥铺路。
因此本节课内容起到了承上启下的重要作用，是本章和本节的重点。
本节课的教学重点是：椭圆的定义及其标准方程。
二、学生学情分析（1）学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程；（2）学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤；（3）学生对于利用数形结合思想解决问题的意识还不够强；（4）对含有两个根式方程的化简能力薄弱。
三、教学目标知识目标：（1）理解椭圆的定义。
（2）掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力。
过程与方法：经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质。
情感目标：培养学生勇于探索，善于发现的创新思想，形成实事求是的科学态度并体会数学的简洁美、对称美。
教学难点及突破策略：1.本节课的教学难点：椭圆的标准方程的推导与化简。
2.突破策略：引导学生类比建立圆的方程的方法，经过学生独立思考与交流讨论，在椭圆上建立恰当的直角坐标系；化简动点满足的代数方程时，引导学生注意观察方程的特点，对其进行移项变形后再通过平方运算进行化简，配合多媒体演示。
四、教学策略分析1.为了充分调动学生学习数学的积极性，促进学生主动思考，采用问题串引导探究活动，以问题作为引领，诱导学生积极思考；2.利用手工制作的教具和现代教育手段，把教学内容与教具及现代教育手段合理整合。
新人教A版(选修2-1)《椭圆及其标准方程》word教案
学校：临清一中学科：数学编写人：周晨昌审稿人：张林椭圆及其标准方程【教学目标】1使学生理解并掌握椭圆的定义、标准方程及其推导过程，并能进行简单应用.2•通过数形结合，教学生猜想，培养学生的探索发现能力.3•帮助学生树立运动变化的观点，培养学生的探索能力和进取精神.【教学重难点】教学重点：对椭圆的定义的理解及其标准方程记忆，教学难点：椭圆标准方程的推导.【教学过程】一、复习并引入新课师：在解析几何中，我们通常把动点按照某种规律运动形成的轨迹叫做曲线•曲线和方程的关系是什么？生：如果曲线上任意一点的坐标都是方程f(x , y)=0的解，同时以方程f(x , y)=0的解为坐标的点又都在曲线上，那么方程就是曲线的方程，曲线就是方程的曲线.师：圆的定义是：在平面上，至U定点的距离等于定长的点的轨迹；那么当动点满足哪些条件时轨迹仍然是圆？生：①平面上到两个定点 (距离为2d)距离的平方和等于定值 a(a >2d2)的点的轨迹是圆；②平面上，与两个定点连线的斜率乘积为-1的点的轨迹是圆.(以上结论在本节课之前书上习题中，请学生自己总结. )师：由此可见，平面上到两个定点距离或与两个定点连线满足某种条件的点的轨迹比较特殊，下面就从这点出发研究.二、讲授新课1 •请学生观察计算机演示如图2-23，并思考两个问题.图 2-24(1) 动点是在怎样的条件下运动的？ (2) 动点运动出的轨迹是什么？ 观察后请学生回答.生：动点是在“到两个定点距离之和等于定值”这一条件下 运动的，轨迹是椭圆.师：椭圆这种曲线你在哪些地方见过？ 生：立体几何中圆的直观图是椭圆. 生：人造卫星的运行轨道.师：好，这种曲线在实际生活中是很常见的，很多物体的横截面的轮廓线也是椭圆, 可见学习这种曲线的有关知识是十分必要的.(联系实际生活进行教学可以使教学内容亲切，激发学生的学习热情. )师：是否到两个定点距离之和等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢？ (学生可能一时答不出，教师可请学生观察计算机演示如图2-24并思考.)师：当两个定点位置变化时，轨迹发生了怎样的变化?生：当两个定点重合时，轨迹变化为圆；当定值等于两个定点间的距离时，轨迹是一条线段.师：可见圆是椭圆的特例•据此你能得到什么结论？生：平面上不存在到两个定点距离之和小于定值的点.说明：观察计算机演示“通过两焦点位置的改变而引起椭圆形状变化的课件”，首先从一个点分裂为两个点，曲线从圆变成椭圆；随着两点间距离的增大，椭圆越来越扁，直到动点到此两点距离之和恰好等于两点间距离时，动点的运动曲线变成了线段，然后随着两点间距离的缩小，曲线再变成椭圆；当两点重合时，曲线又变成了圆，如此反复”如图2-24 .从而启发学生发现椭圆定义中的条件，然后师生共同小结完成下表，教师可用投影进行完整的总结.在平面上到两个定点 F i, F2距离之和等于定值 2a的点的轨迹为椭圆（加〉厲巧|）；弋线段（為=|F]Fj）1不存在（2枝<|耳兔）.最后由学生口述教师板书：把平面内与两个定点F i, F2距离之和等于定值 2a的点的轨迹叫做椭圆，其中2a> IF1F2I .顺便可以指出两个定点叫做焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距，用2c（c > 0）表示.2.推导椭圆的标准方程.师：下面我们一起来推导椭圆的方程.教师提出问题：求到两个定点F i, F2距离之和等于定值 2a（2a >|F1F2|）的点的轨迹.师：求曲线方程的步骤是什么？生：求曲线方程的步骤是：①建立坐标系设动点坐标：②寻找动点满足的几何条件；③把几何条件坐标化；④化简得方程；⑤检验其完备性.师：那么此题应如何建立坐标系呢？建立直角坐标系一般应符合简单和谐化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线的斜率等）的表达式简单化，注意要充分利用图形的特殊性.（让学生思考后回答）教师归纳大体上有如下三个方案:①取一个定点为原点，以 F i , F 2所在直线为x 轴建立直角坐标系，如图 2-25 ;②，如图2-27，推导出方程.解析：i)建系：以F i , 并设椭圆上任意一点的坐标为F 2所在直线为x 轴，线段F i F 2的中点为原点建立直角坐标系, M(x, y),设两定点坐标为:F i （-c , 0） , F 2（C , 0）, 2） 则 M 满足：|MF i |+|MF 2|=2a ,3） 坐标化即：J （x 二）行戸+J （x-5仃沪二2乳4） 化简.师：我们要化简方程就是要化去方程中的根式，你学过什么办法?②以F i ，F 2所在直线为 ③以F i ，F 2所在直线为 y 轴，线段F 1F 2的中点为原点建立直角坐标系，如图 2-26 ；x 轴，线段F i F 2的中点为原点建立直角坐标系，最后选定方案團 2-25生：化去方程中的根式应该用移项平方、再移项再平方的办法.师：好，下面我们就一起来完成这部分计算. (师生共同完成)十 C)? =2a- +y ；两边平方得:(x + c)2 + y 2 - 4a 2 -4a^(x - c)a + y 2 + (K - c)2 +『, 即f w J(n)2 + J ・两边再平方得：422 2 2 2 2 2 2 2 2a -2a cx+c x =a x -2a cx+a c +a y ，整理得：22 222 22 2(a -c )x +a y =a (a -c ).师：还有其它化简的方法吗？ 一般遇到化简根式的问题你应该想到什么？生：共轭根式.师：好，下面我们就通过构造共轭根式、解方程组的办法化方程中的根式.(师生共同完成•此部分内容可根据学生情况选讲)2 2 2 2(x+c) +y -[(x-c) +y ]=4cx』(注+沪+寸=—+ a ©两边平方得 1 x 3 + 2cac + c 3 + y 3 = a a + 2cx + ——化简得： / 2 2、 2 2 2 2/ 2 2、 (a -c )x+a y =a (a -c ).师：到此我们已经推导出了椭圆的方程，但此形式还不够简洁，且x, y 的系数形式不一致，为了使方程形式和谐且便于记忆和使用，我们应该如何将方程进行变形呢？ (这里，数学审美成为研究发现的动力. )学生此时可能还不理解，教师可启发学生观察图形如图 2-28，看看a 与c 的关系如何?②，由②十①得:③.①+③得:师：请结合图形找出方程中 a、c的关系.生：根据椭圆定义知道 a2> c2,且如图所示，a与c可以看成Rt△ MOF的斜边和直角边.师：很好！那我们不妨令 b2=a2-c2,则方程就变形为 b2x2+a2y2=a2b2,如果再化简，你会得到什么形式的方程呢？生方程变册扌+春1・⑴师：其中a与b的关系如何？为什么？生：a> b>0,因为a与b分别是Rt△ MOF的斜边、直角边.教师指出（*）式就是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，最后说明：1）方程中条件a>b>0不可缺少（结合图形），当a=b>0时，就化成圆心在原点的圆的方程，从而进一步说明圆是椭圆的特例；（这实际上是一种极限情况.）2）b的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐，但也有实际的几何意义，即：b2=a2-c2;3）请学生猜想：若用方案③ （即焦点在y轴上），得到的方程形式又如何呢？（启发学生根据对称性进行猜想）生t方程形式为^ + ― = 1- a y师：请同学们课后进行推导验证.师：此时方程中a与b的关系又如何？（结合图形请学生将条件 a>b>0补上.）三、例题例1. 平面内两个定点间的距离为 8,写出到这两个定点距离之和为 10的点的轨迹方程.解析：所求轨迹是椭圆，两个定点为焦点，用R, F2表示，不妨以R, F2所在直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则 2a=10, 2c = 8,因为b2=a2-c2=9, 故所求轨迹方程为寻+ ¥“•（另一种情况壬+ ^T也可以，但只有一解）点评：很多学生不建立坐标系就写出了方程•强调建立不同的坐标系会得到不同的方程，因此当题目中没有给定坐标系时，首先应选择合适的坐标系.变式训练1。
2020学年高中数学 椭圆及其标准方程(一)导学案 新人教A版选修2-1
2020学年高中数学椭圆及其标准方程(一）导学案新人教A版选修2-1【学习要求】1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.【学法指导】1．通过自己亲自动手尝试画图，发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义，培养观察、辨析、归纳问题的能力.2．通过经历椭圆方程的化简，增强战胜困难的意志并体会数学的简洁美、对称美，通过讨论椭圆方程推导的等价性，养成扎实严谨的科学态度【知识要点】1．椭圆：平面内与两个定点F1，F2的的点的轨迹叫做椭圆(ellipse).这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的 .2.椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程焦点a、b、c的关系探究点一椭圆的定义问题1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？问题2 动点P到两定点A、B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a (a>0且a为常数)的轨迹一定是椭圆吗？探究点二椭圆的标准方程问题1 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程. 问题2 建系时如果焦点在y轴上会得到何种形式的椭圆方程？怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？问题3 椭圆方程中的a、b以及参数c有什么意义，它们满足什么关系？例1 （1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点⎝⎛⎭⎪⎫52，－32，求它的标准方程；（2）若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程.跟踪训练 1 （1）已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点Q(2,1)且与椭圆x29＋y24＝1有公共的焦点，求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P1(6，1)，P2(－3，－2)两点，求椭圆的标准方程.例2 已知方程x2k－4－y2k－10＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为__________.跟踪训练2 若方程x2m－y2m2－2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是 ( )A．m>0 B．0<m<1 C．－2<m<1 D．m>1且m≠ 2探究点三椭圆的定义及标准方程的应用例3 已知椭圆的方程为x24＋y23＝1，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°(如图).求△PF1F2的面积.跟踪训练3 已知椭圆x249＋y224＝1上一点P与椭圆两焦点F1、F2的连线夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________【当堂检测】1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为 ( )A ．5B ．6C ．7D ．82．若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 ( )A ．－9<m<25B ．8<m<25C ．16<m<25D ．m>83．椭圆x 216＋y 232＝1的焦距为________.4．已知椭圆经过点(3，0)且与椭圆x 24＋y 29＝1的焦点相同，则这个椭圆的标准方程为____________ 【课堂小结】1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 当2a>|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2； 当2a<|F 1F 2|时，轨迹不存在.2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解.3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的. 【拓展提高】1．已知P 是椭圆13422=+y x 上的点，21F F 、分别是椭圆的左、右焦点，若21=，则21PF F ∆的面积为（ ）A ．33B ．3C ．32D ．33 2．已知椭圆的两焦点为P F F ),0,1()0,1(21、-为椭圆上一点，且21212PF PF F F += （1）求此椭圆方程（2）若点P 在第二象限，21012,120F PF PF F ∆=∠求的面积。
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2019-2020学年高中数学椭圆及其标准方程教案新人教A版选修2-1
【教学目标】
理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．
【重点】椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题
【难点】椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法
【教学过程】
1、预习与引入过程
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？
2、新课讲授过程
椭圆的定义：
椭圆标准方程的推导过程：
类比：写出焦点在
y轴上，中心在原点的椭圆的标准方程．
3、例题讲解与引申：
例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()
2,0
-
，
()
2,0
，并且经过点
53
,
22
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭，求它的标准方程．
例2 在圆
224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？
例3设A ，B 的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49-
，求点M 的轨迹方程．
4、巩固练习：
（1）第36页第1题
（2）第36页第2题
（3）第36页第3题（4）第36页第4题
5、课堂小结
6、课后反思。