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决胜2020中考数学压轴题全揭秘专题01数与式问题试题

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2020年中考数学压轴题(含答案)

2020年中考数学压轴题(含答案)

2020年中考数学压轴题一、选择题1．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，延长AC到D，使CD＝BC，点P是△ABD的内心，则∠BPC＝（）A．145°B．135°C．120°D．105°2．如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D，E两点，且∠ACD＝45°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时．设AF＝x，DE＝y，下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题3．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0）、（﹣3m，0）（m≠0），对称轴为直线x＝1，则该二次函数的最小值为．4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．下列结论：①4a+2b+c＜0；②a＜﹣1；③b2+8a＞4ac；④2a﹣b＜0．其中结论正确的有．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）三、解答题5．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB．AB＝16cm，BC＝6cm，CD＝8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），0＜t＜5．（1）用含t的代数式表示AP；（2）当以点A．P，Q为顶点的三角形与△ABD相似时，求t的值；（3）当QP⊥BD时，求t的值．6．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（﹣4，0），B（0，3），动点P从点O出发，沿x轴负方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点Q从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，过点P作PC⊥AB于点C，连接PQ，CQ，以PQ，CQ为邻边构造平行四边形PQCD，设点P运动的时间为t秒．（1）当点Q在线段OB上时，用含t的代数式表示PC，AC的长；（2）在运动过程中．①当点D落在x轴上时，求出满足条件的t的值；②若点D落在△ABO内部（不包括边界）时，直接写出t的取值范围；（3）作点Q关于x轴的对称点Q′，连接CQ′，在运动过程中，是否存在某时刻使过A，P，C三点的圆与△CQQ′三边中的一条边相切？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【分析】已知P为△ABD的内心，则P点必在∠BAC的角平分线上，由于AB＝AC，根据等腰三角形的性质可知：P点必在BC的垂直平分线上，即BP＝PC，△BPC也是等腰三角形，欲求∠BPC，必先求出∠PBC的度数．等腰△ABC中，已知了顶角∠A的度数，可求得∠ABC、∠ACB的度数；由于CB＝CD，∠ACB是△ABC的外角，由此可求出∠D和∠CBD的度数；由于P是△ABD的内心，则PB平分∠ABD，由此可求得∠PBD的度数，根据∠PBC＝∠PBD﹣∠CBD可求出∠PBC的度数，由此得解．【解答】解：△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°；∴∠ABC＝∠ACB＝70°；∵P是△ABD的内心，∴P点必在等腰△ABC底边BC的垂直平分线上，∴PB＝PC，∠BPC＝180°﹣2∠PBC；在△CBD中，CB＝CD，∴∠CBD＝∠D＝∠ACB＝35°；∵P是△ABD的内心，∴PB平分∠ABD，∴∠PBD＝∠ABD＝（∠ABC+∠CBD）＝52.5°，∴∠PBC＝∠PBD﹣∠CBD＝52.5°﹣35°＝17.5°；∴∠BPC＝180°﹣2∠PBC＝145°．故选：A．2．【分析】本题考查动点函数图象的问题．【解答】解：点C从点A运动到点B的过程中，x的值逐渐增大，DE的长度随x值的变化先变大再变小，当C与O重合时，y有最大值，∵x＝0，y＝ABx＝AB﹣AB时，DE过点O，此时：DE＝ABx＝AB，y＝AB所以，随着x的增大，y先增后降，类抛物线故选：A．二、填空题3．【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标和抛物线的对称性得到x＝﹣m＝1，解得m＝﹣1，则抛物线与x轴两交点的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），根据抛物线的交点式得到y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，然后根据抛物线的最值问题求解．【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0）、（﹣3m，0）（m≠0），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣m＝1，解得m＝﹣1，∴抛物线与x轴两交点的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴x＝1时，y的最小值为﹣4．故答案为﹣4．4．【分析】由抛物线可知当x＝2时y＜0，x＝﹣1时y＜0，则有4a+2b+c＜0，a﹣b+c＜0；由抛物线过（1，2）可得a+b+c＝2；由抛物线的开口方向可得a＜0；由抛物线的顶点位置和对称轴位置可得，＞0；然后进行推理，即可对各个结论作出判断．【解答】解：由二次函数的图象可得：当x＝2时y＜0，则有4a+2b+c＜0（1），故①正确；∵二次函数的图象经过点（1，2），∴a+b+c＝2（2），由二次函数的图象可得：当x＝﹣1时，y＜0，则有a﹣b+c＜0（3），把（2）代入（1）得到2+3a+b＜0，则有a＜，把（2）代入（3）得到2﹣2b＜0，则有b＞1，则a＜﹣1，故②正确；由二次函数的图象中顶点的位置，可得：＞2（4），由抛物线开口向下，可得：a＜0，则由（4）可得4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故③正确；由抛物线的对称轴的位置，可得＞0，则b＞0，又由a＜0，则有2a﹣b＜0，故④正确；故答案为：①②③④．三、解答题5．【分析】（1）如图作DH⊥AB于H则四边形DHBC是矩形，利用勾股定理求出AD的长即可解决问题；（2）根据相似三角形的性质列方程即可得到结论；（3）当PQ⊥BD时，∠PQN+∠DBA＝90°，∠QPN+∠PQN＝90°，推出∠QPN＝∠DBA，推出tan∠QPN＝＝，由此构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图作DH⊥AB于H，则四边形DHBC是矩形，∴CD＝BH＝8，DH＝BC＝6，∴AH＝AB﹣BH＝8，AD＝＝10，BD＝＝10，由题意AP＝AD﹣DP＝10﹣2t．（2）当以点A．P，Q为顶点的三角形与△ABD相似时，∴或，∴＝或，解得：t＝或t＝，∴当t＝或t＝时，当以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABD相似；（3）过P作PN⊥AB于N，当PQ⊥BD时，∠PQN+∠DBA＝90°，∵∠QPN+∠PQN＝90°，∴∠QPN＝∠DBA，∴tan∠QPN＝＝，∴＝，解得t＝，经检验：t＝是分式方程的解，∴当t＝s时，PQ⊥BD．6．【分析】（1）利用三角函数sin∠OAB＝＝，cos∠OAB＝＝，列出关系式即可解决问题．（2）①当D在x轴上时，如图2中，由QC∥OA，得＝，由此即可解决问题．②当点D在AB上时，如图3中，由PQ∥AB，得＝，求出时间t，求出①②两种情形时的△POQ的面积即可解决问题．（3）如图4中，当QC与⊙M相切时，则QC⊥CM，首先证明QB＝QC，作QN∠BC 于N，根据cos∠ABO＝＝，列出方程即可解决问题，当CQ′是⊙M切线时，方法类似，t＝0时，也符合题意；【解答】解：（1）如图1中，∵OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝＝5，在Rt△ACP中，P A＝4﹣t，∵sin∠OAB＝＝，∴PC＝（4﹣t），∵cos∠OAB＝＝，∴AC＝（4﹣t）．（2）①当D在x轴上时，如图2中，∵QC∥OA，∴＝，∴＝，解得t＝．∴t＝s时，点D在x轴上，②如图3中，∵PQ∥AB，∴＝，∴＝，∴t＝，综上所述，当＜t＜时，点D落在△ABO内部（不包括边界）．（3）如图4中，作QN⊥BC于N，∵Q（0，3﹣2t），Q′（0，2t﹣3），当QC与⊙M相切时，则QC⊥CM，∴∠QCM＝90°，∴∠QCP+∠PCM＝90°，∵∠QCP+∠QCB＝90°，∴∠BCQ＝∠PCM＝∠CPM，∵∠CPM+∠P AC＝90°，∠OBA+∠OAB＝90°，∴∠APC＝∠OBA，∴∠QBC＝∠QCB，∴BQ＝CQ，∵cos∠ABO＝＝，∴＝，解得t＝，当CQ′是⊙M切线时，同法可得＝，解得t＝，t＝0时，⊙M与QQ′相切∴t＝0s或s或时，过A，P，C三点的圆与△CQQ′三边中的一条边相切．2020年中考数学压轴题一、选择题1．如图，菱形AOBC的顶点A在x轴上，反比例函数kyx=(0,0k x>>)的图像经过顶点B，和边AC的中点D.若6OA=，则k的值为A. 5B. 25C. 45D.852．已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG的最大值为（）A．1+B．1+2C．2+D．2﹣1二、填空题3．如图，矩形ABCD中，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，若∠DAF＝18°，则∠DCF＝度．第3题第4题4．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段P A的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是．三、解答题5．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB 的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y＝的图象上．P A的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．（1）求∠P的度数及点P的坐标；（2）求△OCD的面积；（3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．6．已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC，BD交于点O．点P 从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OECQF：S△ACD＝9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题 1．【分析】如图，延长CB 交y 轴于点E ，设出D 点坐标，表示出C ，B 的坐标，因为B ，D 在反比例函数图像上，利用反比例函数积为定值，从而构造出方程，进而解决问题. 【解答】延长CB 交y 轴于点E ，设D （a ，k a ），所以C （2a －6, 2k a ），B （2a －12, 2ka ）因为，B （2a －12,2k a ）在反比例函数y=kx上， 所以，（2a －12）·2ka =k ，解得a =8 所以B （4, k4）所以BE =4，因为BO =6，在直角三角形BEO 中，由勾股定理得EO =2 5 所以k =4×2 5 =8 5 故选D2．【分析】如图，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°得到线段OT ，连接AT ，GT ，OP ．则AO ＝OT ＝1，AT ＝，利用相似三角形的性质求出GT ，再根据三角形的三边关系解决问题即可，【解答】解：如图，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°得到线段OT ，连接AT ，GT ，OP ．则AO ＝OT ＝1，AT ＝，∵△AOT ，△APG 都是顶角为120°的等腰三角形， ∴∠OAT ＝∠P AG ＝30°，E∴∠OAP＝∠TAG，＝＝∴＝，∴△OAP∽△TAG，∴＝＝，∵OP＝2，∴TG＝2，∵OG≤OT+GT，∴OG≤1+2，∴OG的最大值为1+2，故选：B．二、填空题3．【分析】由折叠的性质得：FE＝BE，∠F AE＝∠BAE，∠AEB＝∠AEF，求出∠BAE＝∠F AE＝36°，由直角三角形的性质得出∠AEF＝∠AEB＝54°，求出∠CEF＝72°，求出FE＝CE，由等腰三角形的性质求出∠ECF＝54°，即可得出∠DCF的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠BCD＝90°，由折叠的性质得：FE＝BE，∠F AE＝∠BAE，∠AEB＝∠AEF，∵∠DAF＝18°，∴∠BAE＝∠F AE＝（90°﹣18°）＝36°，∴∠AEF＝∠AEB＝90°﹣36°＝54°，∴∠CEF＝180°﹣2×54°＝72°，∵E为BC的中点，∴BE＝CE，∴FE＝CE，∴∠ECF＝（180°﹣72°）＝54°，∴∠DCF＝90°﹣∠ECF＝36°；故答案为：36．4．【分析】连接BP，如图，先解方程x2﹣4＝0得A（﹣4，0），B（4，0），再判断OQ为△ABP的中位线得到OQ＝BP，利用点与圆的位置关系，BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，然后计算出BP′即可得到线段OQ的最大值．【解答】解：连接BP，如图，当y＝0时，x2﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，则A（﹣4，0），B（4，0），∵Q是线段P A的中点，∴OQ为△ABP的中位线，∴OQ＝BP，当BP最大时，OQ最大，而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，∵BC＝＝5，∴BP′＝5+2＝7，∴线段OQ的最大值是．三、解答题5．【分析】（1）如图，作PM⊥OAYM，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．利用全等三角形的性质解决问题即可．（2）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，利用勾股定理求出a，b 之间的关系，求出OC，OD即可解决问题．（3）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，可得AB＝6﹣a﹣b，推出OA+OB+AB＝6，可得a+b+＝6，利用基本不等式即可解决问题．【解答】解：（1）如图，作PM⊥OAYM，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．∴∠PMA＝∠PHA＝90°，∵∠P AM＝∠P AH，P A＝P A，∴△P AM≌△P AH（AAS），∴PM＝PH，∠APM＝∠APH，同理可证：△BPN≌△BPH，∴PH＝PN，∠BPN＝∠BPH，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠MON＝∠PNO＝90°，∴四边形PMON是矩形，∴∠MPN＝90°，∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝（∠MPH+∠NPH）＝45°，∵PM＝PN，∴可以假设P（m，m），∵P（m，m）在y＝上，∴m2＝9，∵m＞0，∴m＝3，∴P（3，3）．（2）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，∴AB＝6﹣a﹣b，∵AB2＝OA2+OB2，∴a2+b2＝（6﹣a﹣b）2，可得ab＝18﹣6a﹣6b，∴9﹣3a﹣3b＝ab，∵PM∥OC，∴＝，∴＝，∴OC＝，同法可得OD＝，∴S△COD＝•OC•DO＝＝＝＝6．（3）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，∴AB＝6﹣a﹣b，∴OA+OB+AB＝6，∴a+b+＝6，∴2+≤6，∴（2+）≤6，∴≤3（2﹣），∴ab≤54﹣36，∴S△AOB＝ab≤27﹣18，∴△AOB的面积的最大值为27﹣18．6．【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC＝10，①当AP＝PO＝t，如图1，过P 作PM⊥AO，根据相似三角形的性质得到AP＝t＝，②当AP＝AO＝t＝5，于是得到结论；（2）过点O作OH⊥BC交BC于点H，已知BE＝PD，则可求△BOE的面积；可证得△DFQ∽△DOC，由相似三角形的面积比可求得△DFQ的面积，从而可求五边形OECQF 的面积．（3）根据题意列方程得到t＝，t＝0，（不合题意，舍去），于是得到结论；（4）由角平分线的性质得到DM＝DN＝，根据勾股定理得到ON＝OM＝＝，由三角形的面积公式得到OP＝5﹣t，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝10，①当AP＝PO＝t，如图1，过P作PM⊥AO，∴AM＝AO＝，∵∠PMA＝∠ADC＝90°，∠P AM＝∠CAD，∴△APM∽△ACD，∴，∴AP＝t＝，②当AP＝AO＝t＝5，∴当t为或5时，△AOP是等腰三角形；（2）过点O作OH⊥BC交BC于点H，则OH＝CD＝AB＝3cm．由矩形的性质可知∠PDO＝∠EBO，DO＝BO，又得∠DOP＝∠BOE，∴△DOP≌BOE，∴BE＝PD＝8﹣t，则S△BOE＝BE•OH＝×3（8﹣t）＝12﹣t．∵FQ∥AC，∴△DFQ∽△DOC，相似比为＝，∴＝∵S△DOC＝S矩形ABCD＝×6×8＝12cm2，∴S△DFQ＝12×＝∴S五边形OECQF＝S△DBC﹣S△BOE﹣S△DFQ＝×6×8﹣（12﹣t）﹣＝﹣t2+t+12；∴S与t的函数关系式为S＝﹣t2+t+12；（3）存在，∵S△ACD＝×6×8＝24，∴S五边形OECQF：S△ACD＝（﹣t2+t+12）：24＝9：16，解得t＝3，或t＝，∴t＝3或时，S五边形S五边形OECQF：S△ACD＝9：16；（4）如图3，过D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，∵∠POD＝∠COD，∴DM＝DN＝，∴ON＝OM＝＝，∵OP•DM＝3PD，∴OP＝5﹣t，∴PM＝﹣t，∵PD2＝PM2+DM2，∴（8﹣t）2＝（﹣t）2+（）2，解得：t＝16（不合题意，舍去），t＝，∴当t＝时，OD平分∠COP．2020年中考数学压轴题一、选择题1．若整数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣＝﹣3有正整数解，则满足条件的a的值之积为（）A．28 B．﹣4 C．4 D．﹣22．如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题3．如图，点P是⊙O的直径AB的延长线上一点，过点P作直线交⊙O于C、D两点．若AB＝6，BP＝2，则tan∠P AC•tan∠P AD＝．第3题第4题4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E，F分别在AC，BC边上运动（点E不与点A，C重合），且保持ED⊥FD，连接DE，DF，EF，在此运动变化的过程中，有下列结论：①AE＝CF；②EF最大值为2；③四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化；④点C到线段EF的最大距离为．其中结论正确的有（把所有正确答案的序号都填写在横线上）三、解答题5．阅读下列材料，解答下列问题材料一：一个三位以上的自然数，如果该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是11的倍数，我们称满足此特征的数叫“网红数”，如：65362，362﹣65＝297＝11×27，称65362是“网红数”．材料二：对任的自然数p均可分解为P＝100x+10y+z（x≥0，0≤y≤9，0≤z≤9且x、y，z均为整数）如：5278＝52×100+10×7+8，规定：G（P）＝．（1）求证：任两个“网红数”之和一定能被11整除；（2）已知：S＝300+10b+a，t＝1000b+100a+1142（1≤a≤7，0≤b≤5，其a、b均为整数），当s+t为“网红数”时，求G（t）的最大值．6．如图已知：直线y＝﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y＝﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组无解确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，由分式方程有正整数解确定出a的值，即可求出所求．【解答】解：不等式组整理得：，由不等式组无解，得到3a﹣2≤a+2，解得：a≤2，分式方程去分母得：ax+5＝﹣3x+15，即（a+3）x＝10，由分式方程有正整数解，得到x＝，即a+3＝1，2，10，解得：a＝﹣2，2，7，综上，满足条件a的为﹣2，2，之积为﹣4，故选：B．2．【分析】连接OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，再证明∠BOD＝∠COE，于是可判断△BOD≌△COE，所以BD＝CE，OD＝OE，则可对①进行判断；利用S△BOD＝S△COE得到四边形ODBE的面积＝S△ABC＝，则可对③进行判断；作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，计算出S△ODE＝OE2，利用S△ODE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断；由于△BDE的周长＝BC+DE＝4+DE＝4+OE，根据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．【解答】解：连接OB、OC，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵点O是△ABC的中心，∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，∴∠BOD＝∠COE，在△BOD和△COE中，∴△BOD≌△COE，∴BD＝CE，OD＝OE，所以①正确；∴S△BOD＝S△COE，∴四边形ODBE的面积＝S△OBC＝S△ABC＝××42＝，所以③正确；作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，∵∠DOE＝120°，∴∠ODE＝∠OEH＝30°，∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，∴DE＝OE，∴S△ODE＝•OE•OE＝OE2，即S△ODE随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值，∴S△ODE≠S△BDE；所以②错误；∵BD＝CE，∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝4+DE＝4+OE，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝，∴△BDE周长的最小值＝4+2＝6，所以④正确．故选：C．二、填空题3．【分析】连接BC、BD．因为AB是直径，推出∠ACB＝∠ADB＝90°，可得tan∠P AC•tan ∠P AD＝•＝•，利用相似三角形的性质转化即可解决问题；【解答】解：连接BC、BD．∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴tan∠P AC•tan∠P AD＝•＝•，∵△PCB∽△P AD，∴＝，∵△PBD∽△PCA，∴＝，∴tan∠P AC•tan∠P AD＝•＝＝，故答案为．4．【分析】①作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，即可证得AE ＝CF；②根据AE＝CF，设CE＝x，用含x的式子表示出CF的长，根据勾股定理，即可表示出EF的长，根据二次函数的增减性，表示出EF的最小值；③由割补法可知四边形CEDF的面积保持不变；④由①可知，DE＝EF，可得△DEF是等腰直角三角形，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值2，此时点C到线段EF的最大距离．【解答】解：如图，连接CD．∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵D是AB的中点，∴CD＝AD＝BD，∠ADC＝90°，∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠1+∠2＝90°，∵ED⊥FD，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF；故①正确；（2）设CE＝x，则CF＝AE＝4﹣x，在Rt△CEF中，，∵2（x﹣2）2+8有最小值，最小值为8，∴EF有最小值，最小值为．故②错误；③由①知，△ADE≌△CDF，∴S四边形EDFC＝S△EDC+S△FDC＝S△EDC+S△ADE＝S△ADC，∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化．故③正确；④由①可知，△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，∴△DEF是等腰直角三角形，∴，当EF∥AB时，∵AE＝CF，∴E，F分别是AC，BC的中点，故EF是△ABC的中位线，∴EF取最小值＝，∵CE＝CF＝2，∴此时点C到线段EF的最大距离为．故④正确．故答案为：①③④．三、解答题5．【分析】（1）设两个“网红数”为，，（n、b表示末三位表示的数，m、a表示末三位之前的数字），则n﹣m＝11k，b﹣a＝11h，所以+＝1001m+1001a+11（k+h）＝11（91m+91n+h+k），即可证明；（2）s＝3×100+10b+a，t＝1000（b+1）+100（a+1）+4×10+2，所以s+t＝1000（b+1）+100（a+4）+10（b+4）+a+2；①当1≤a≤5时，s+t＝，则﹣（b+1）能被11整除，即101a+9b+441＝11×9a+2a+11b﹣2b+40×11+1能被11整除，由已知可得﹣7≤2a﹣2b+1≤11，求出a＝5，b＝0；②当6≤a≤7时，s+t＝，则﹣（b+2）能被11整除，所以101a+9b﹣560＝11×9a+2a+11b﹣2b﹣51×11+1能被11整除，可得3≤2a﹣2b+1≤15，求出a＝6，b＝1或a＝7，b＝2，分别求出相应的G（t）值即可．【解答】解：（1）设两个“网红数”为，，（n、b表示末三位表示的数，m、a表示末三位之前的数字），∴n﹣m＝11k，b﹣a＝11h，∵+＝1001m+1001a+11（k+h）＝11（91m+91n+h+k），∴m、a、k、h都是整数，∴91m+91n+h+k为整数，∴任两个“网红数”之和一定能被11整除；（2）s＝3×100+10b+a，t＝1000（b+1）+100（a+1）+4×10+2，∴s+t＝1000（b+1）+100（a+4）+10（b+4）+a+2，①当1≤a≤5时，s+t＝，则﹣（b+1）能被11整除，∴101a+9b+441＝11×9a+2a+11b﹣2b+40×11+1能被11整除，∴2a﹣2b+1能被11整除，∵1≤a≤5，0≤b≤5，∴﹣7≤2a﹣2b+1≤11，∴2a﹣2b+1＝0或11，∴a＝5，b＝0，∴t＝1642，G（1642）＝17.25；②当6≤a≤7时，s+t＝，则﹣（b+2）能被11整除，∴101a+9b﹣560＝11×9a+2a+11b﹣2b﹣51×11+1能被11整除，∴2a﹣2b+1能被11整除，∵6≤a≤7，0≤b≤5，∴3≤2a﹣2b+1≤15，∴2a﹣2b+1＝11，∴a＝6，b＝1或a＝7，b＝2，∴t＝2742或3842，∴G（2742）＝28或G（3842）＝39，∴G（t）的最大值39．6．【分析】（1）首先确定A、B、C三点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）△ABO为等腰直角三角形，若△ADP与之相似，则有两种情形，如答图1所示．利用相似三角形的性质分别求解，避免遗漏；（3）如答图2所示，分别计算△ADE的面积与四边形APCE的面积，得到面积的表达式．利用面积的相等关系得到一元二次方程，将点E是否存在的问题转化为一元二次方程是否有实数根的问题，从而解决问题．需要注意根据（2）中P点的不同位置分别进行计算，在这两种情况下，一元二次方程的判别式均小于0，即所求的E点均不存在．【解答】解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3）∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y＝ax2+bx+c，得方程组解得：∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形，如答图1所示，若△ABO∽△AP1D，则∴DP1＝AD＝4，∴P1（﹣1，4）若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD＝4，∵△ABO为等腰三角形，∴△ADP2是等腰三角形，由三线合一可得：DM＝AM＝2＝P2M，即点M与点C重合，∴P2（1，2）综上所述，点P的坐标为P1（﹣1，4），P2（1，2）；（3）不存在．理由：如答图2，设点E（x，y），则S△ADE＝①当P1（﹣1，4）时，S四边形AP1CE＝S△ACP1+S△ACE＝＝4+|y| ∴2|y|＝4+|y|，∴|y|＝4∵点E在x轴下方，∴y＝﹣4，代入得：x2﹣4x+3＝﹣4，即x2﹣4x+7＝0，∵△＝（﹣4）2﹣4×7＝﹣12＜0∴此方程无解②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE＝S△ACP2+S△ACE＝＝2+|y|，∴2|y|＝2+|y|，∴|y|＝2∵点E在x轴下方，∴y＝﹣2，代入得：x2﹣4x+3＝﹣2，即x2﹣4x+5＝0，∵△＝（﹣4）2﹣4×5＝﹣4＜0∴此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E．2020年中考数学压轴题一、选择题1．如图，小桥用黑白棋子组成的一组图案，第1个图案由1个黑子组成，第2个图案由1个黑子和6个白子组成，第3个图案由13个黑子和6个白子组成，按照这样的规律排列下去，则第9个图案中共有（）和黑子．A．37 B．42 C．73 D．1212．如图，已知A，B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题3．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝4，将纸片折叠，折痕的一个端点F在边AD上，另一个端点G在边BC上，若顶点B的对应点E落在长方形内部，E到AD的距离为1，BG＝5，则AF的长为．第3题第4题4．如图，射线OP过Rt△ABC的边AC、AB的中点M、N，AC＝4cm，BC＝4cm，OM ＝3cm．射线OP上有一动点Q从点O出发，沿射线OP以每秒1cm的速度向右移动，以Q为圆心，QM为半径的圆，经过t秒与BC、AB中的一边所在的直线相切，请写出t的所有可能值（单位：秒）三、解答题5．△ABC内接⊙O，AD⊥BC与D，连接OA．（1）如图1，求证：∠BAO＝∠CAD；（2）如图2，作BE⊥AC交CA延长线于E交⊙O于F，延长AD交⊙O于G，连接AF，求证：AD+AF＝DG；（3）在第（2）问的条件下，如图3，OA交BC于点T，CA＝CT，AD＝2AF，AB＝4，求DT长．6．如图1，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC如图放置，点C（0，4），点A，B 在x轴上，且OB＝4OA，tan∠CBO＝．（1）求过点A、C直线解析式；（2）如图2，点M为线段BC上任意一点，点D在OC上，且CD＝DM，设M的横坐标为t，△CDM的面积为S，求S与t之间的函数关系式，直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，如图3，在OB上取点N，过N作NF⊥DM，垂足为点F，连接CF，AF，∠DCF+∠AFN＝60°，NF＝BO时，求点D的坐标．【答案与解析】一、选择题1．【分析】观察图象得到第1、2图案中黑子有1个，第3、4图案中黑子有1+2×6＝13个，第5、6图案中黑子有1+2×6+4×6＝37个，…，据此规律可得．【解答】解：第1、2图案中黑子有1个，第3、4图案中黑子有1+2×6＝13个，第5、6图案中黑子有1+2×6+4×6＝37个，第7、8图案中黑子有1+2×6+4×6+6×6＝73个，第9、10图案中黑子有1+2×6+4×6+6×6+8×6＝121个，故选：D．2．【分析】结合点P的运动，将点P的运动路线分成O→A、A→B、B→C三段位置来进行分析三角形OMP面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案．【解答】解：设∠AOM＝α，点P运动的速度为a，当点P从点O运动到点A的过程中，S＝＝a2•cosα•sinα•t2，由于α及a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增大；当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为k，保持不变，故本段图象应为与横轴平行的线段；当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，△OPM的高与在B点时相同，故本段图象应该为一段下降的线段；故选：A．二、填空题3．【分析】设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，然后求出EM、EN，在Rt△ENG中，利用勾股定理列式求出GN，再根据△GEN和△EKM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出EK、KM，再求出KH，然后根据△FKH和△EKM 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，∵E到AD的距离为1，∴EM＝1，EN＝4﹣1＝3，在Rt△ENG中，GN＝＝＝4，∵∠GEN+∠KEM＝180°﹣∠GEH＝180°﹣90°＝90°，∠GEN+∠NGE＝180°﹣90°＝90°，∴∠KEM＝∠NGE，又∵∠ENG＝∠KME＝90°，∴△GEN∽△EKM，∴＝＝，即＝＝，解得EK＝，KM＝，∴KH＝EH﹣EK＝4﹣＝，∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°，∴△FKH∽△EKM，∴＝，即＝，解得FH＝，∴AF＝FH＝．故答案为．4．【分析】如图，作OG⊥AB于G，由题意OG＝ON＝＞3，所以⊙Q在AC的左边不可能与AB相切．接下来分三种情形讨论求解即可．【解答】解：如图，作OG⊥AB于G，由题意OG＝ON＝＞3，所以⊙Q在AC的左边不可能与AB相切．相切有三种可能：当⊙Q与BC相切时，MQ＝2，∴|t﹣3|＝2，∴t＝1或5．当⊙Q与AB相切时，设切点为H，连接QH．易知QN＝2QH，∴2﹣（t﹣3）＝2（t﹣3），解得t＝，综上所述，t＝1s或5s或（）s时，⊙Q与BC/AB相切．故答案为1s或5s或（）s三、解答题5．△ABC内接⊙O，AD⊥BC与D，连接OA．（1）如图1，求证：∠BAO＝∠CAD；（2）如图2，作BE⊥AC交CA延长线于E交⊙O于F，延长AD交⊙O于G，连接AF，求证：AD+AF＝DG；（3）在第（2）问的条件下，如图3，OA交BC于点T，CA＝CT，AD＝2AF，AB＝4，求DT长．【分析】（1）延长AO交圆于点M，连结BM，由∠M+∠BAM＝90°，∠C+∠CAD＝90°，结论可得证；（2）分别延长DA、BE交于点H，连结BG，可证得△AFM和△BGM是等腰三角形，由等腰三角形的性质可证出结论；（3）连GO并延长GO交AB于点N，连BG，由CA＝CT可得∠TAC＝∠ATC，证得AG ＝BG，得出AN长，证出△BAD∽△GAN，由比例线段可求出AD长，BD长，再证明△ADT∽△BDA，得AD2＝DT•BD，则DT长可求．【解答】（1）证明：如图1，延长AO交圆于点M，连结BM，∵AM是圆的直径，∴∠ABM＝90°，∴∠M+∠BAM＝90°，∵AD⊥BC，∴∠C+∠CAD＝90°，∵∠M＝∠C，∴∠BAO＝∠CAD；（2）证明：如图2，分别延长DA、BE交于点H，连结BG，∵AE⊥BE，AD⊥DC，∴∠EAH+∠H＝90°，∠DAC+∠C＝90°，∵∠DAC＝∠EAH，∴∠H＝∠C，∵四边形AFBC是圆内接四边形，∴∠EF A＝∠C，∴∠EF A＝∠H，∴AF＝AH，又∵∠C＝∠BGH，∴∠H＝∠BGH，∵BD⊥GH，∴DG＝DM＝AD+AH＝AD+AF；（3）解：如图3，连GO并延长GO交AB于点N，连BG，∵CT＝AC，∴∠TAC＝∠ATC，∵∠TAC＝∠TAD+∠DAC，∠ATC＝∠TBA+∠BAT，∠DAC＝∠BAT，∴∠TAD＝∠TBA，又∵∠GBC＝∠DAC＝∠BAO，∴AG＝BG，由轴对称性质可知NG⊥AB，∴∠GNA＝∠BDA＝90°，AN＝BN＝2，∵∠NAG＝∠BAD∴△BAD∽△GAN，∴，∵AD+AF＝DG，AD＝2AF，∴，∴，设AD＝x，则AG＝，∴，解得：x＝4，即AD＝4，∴＝＝8，在△ADT和△BDA中，∠TAD＝∠DBA，∠TDA＝∠BDA＝90°，∴△ADT∽△BDA，∴，∴，∴DT＝2．6．【分析】（1）由锐角三角函数可求点A坐标，由待定系数法可求解析式；（2）过点M作MH⊥OC于H，由锐角三角函数可求∴∠BCO＝30°，由直角三角形的性质可求CD的长，由三角形面积公式可求解；（3）作FE⊥OB于E，CP⊥EF于P，FK⊥OC于K．则四边形CPEO是矩形，设PC＝OE＝m．只要证明△PCF∽△EF A，可得，由此构建方程求出m即可解决问题．【解答】解：（1）∵点C（0，4），∴OC＝4，∵tan∠CBO＝＝，∴OB＝4，∵OB＝4OA，∴OA＝1，∴点A（﹣1，0）设过点A、C直线解析式为：y＝kx+4，∴0＝﹣k+4，∴k＝4，∴过点A、C直线解析式为：y＝4x+4；（2）如图2，过点M作MH⊥OC于H，∵M的横坐标为t，∴MH＝t，∵tan∠BCO＝＝＝，∴∠BCO＝30°，∵CD＝DM，∴∠DCM＝∠CMD＝30°，∴∠MDH＝60°，且MH⊥OC，∴DH＝t，DM＝2DH＝t＝CD，∴△CDM的面积为S＝×t×t＝t2，（0＜t≤4）（3）作FE⊥OB于E，CP⊥EF于P，FK⊥OC于K．则四边形CPEO是矩形，∴CP＝OE，CO＝PE＝4，设PC＝OE＝m．∵∠DON+∠DFN+∠ODF+∠ONF＝360°，∴∠FNO＝120°，∴∠FNE＝60°，且EF⊥BO，FN＝OB＝4，∴EF＝2，∴PF＝2∵∠DCF+∠AFN＝60°，∠DCF+∠DFC＝60°，∴∠DFC＝∠AFN，∴∠CF A＝∠DFN＝90°，∴∠FCP+∠PFC＝90°，∠PFC+∠AFE＝90°，∴∠PCF＝∠AFE，且∠P＝∠AEF＝90°，∴△PCF∽△EF A，∴，∴∴m＝3或﹣4（舍弃），∴F（3，2），在Rt△DEK中，∵∠DFK＝30°，FK＝3，∴DK＝，∴OD＝3，∴D（0，3）．2020年中考数学压轴题一、选择题1．如图，是半径为1的圆弧，△AOC为等边三角形，D是上的一动点，则四边形AODC 的面积s的取值范围是（）A．≤s≤B．＜s≤C．≤s≤D．＜s＜2．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F 为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC＝30，下列结论：①EF⊥AC；②AD＝AE；③AD＝4AG；④记△ABC的面积为S1，四边形FBCE的面积为S2，则S1：S2＝2：3．其中正确的结论的序号是（）A．①③B．②④C．①③④D．①②③④二、填空题3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，其中AB是⊙O的直径，将△ABC沿AB翻折后得到△ABD，点E在AD延长线上，BE与⊙O相切于点B，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BD＝3，AE＝10，则线段EF的长为．4．已知关于x的方程x2﹣4x+t﹣2＝0（t为实数）两非负实数根a，b，则（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是．三、解答题5．如图，已知AC为正方形ABCD的对角线，点P是平面内不与点A，B重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接AE，BP，CE．（1）求证：△APE∽△ABC；（2）当线段BP与CE相交时，设交点为M，求的值以及∠BMC的度数；（3）若正方形ABCD的边长为3，AP＝1，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP 的长．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y＝．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【分析】根据题意，得四边形AODC的最小面积即是三角形AOC的面积，最大面积即是当OD⊥OC时四边形的面积．要求三角形AOC的面积，作CD⊥AO于D．根据等边三角形的性质以及直角三角形的性质，求得CD＝，得其面积是；要求最大面积，只需再进一步求得三角形DOC的面积，即是，则最大面积是．【解答】解：根据题意，得四边形AODC的面积最小即是三角形AOC的面积，最大面积即是当OD⊥OC时四边形的面积．作CH⊥AO于H，∵△AOC为等边三角形∴CH＝∴S△AOC＝；当OD⊥OC时面积最大，∴S△OCD＝，则最大面积是+＝∴四边形AODC的面积s的取值范围是＜s≤．故选：B．2．【分析】根据直角三角形的性质和线段垂直平分线的性质，可得①正确；根据等边三角形的性质和直角三角形的斜边与直角边不相等，可得②不正确；根据等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，可得③正确；根据直角三角形的性质、三角形面积、梯形面积公式，可得④正确．【解答】证明：如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD 和等边△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC＝30，下列结论：①EF。

决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品(上海专版) 专题01 创新题型(教师版含解析)

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专题01创新题型模块一：定义应用例1.定义[x ]为不超过x 的最大整数，如[3.6] = 3，[ 3.6-] = 4-．对于任意实数x ，下列式子错误的是( ) A ．[x ] = x (x 为整数)B ．0[]1x x ≤-<C ．[][][]x y x y +≤+D ．[][]n x n x +=+(n 为整数)【难度】★★ 【答案】C ．【解析】由反例[][3.8 2.7] 6.56+==，[3.8][2.7]325+=+=可知C 错误． 【总结】本题考查取整函数[x ]的定义及应用．例 2.在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (x ，y )和Q (x ，'y )，给出如下定义：若()()0'0y x y y x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则称点Q 为点P 的“可控变点”．如果点(1-，2-)为点M 的可控变点，则点M 的坐标为___________． 【难度】★★ 【答案】(-1，2)【解析】由题意得，当0<x 时，'=-y y ，且x 不变，所以当1x =-，时'2=y ， 即点M 坐标为(1-，2)．【总结】把握好“可控变点”的定义，找出'y 与y 两者之间存在的关系．例3.定义一种新运算：2x y x y x +*=，如2212122+⨯*==，则()()421**-=______． 【难度】★★ 【答案】0．【解析】先计算()4224224+⨯*==，再计算()()2122102+-⨯*-==． 【总结】根据运算法则进行运算，注意运算顺序．例4.已知1m x =+，2n x =-+，若规定()()11m n m n y m n m n ⎧+-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，则y 的最小值为( )A ．0B ．1C ．1-D ．2【难度】★★ 【答案】B ．【解析】把1m x =+，2n x =-+代入，得到1221222⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩x x y x x ，当12≥x 时，1≥y ；当12<x 时，1>y ．所以y 的最小值是1，故选B ． 【总结】考查分段函数求最值的问题．例5.定义运算“*”：规定x y ax by *=+(其中a 、 b 为常数)，若113*=，()111*-=，12*=______．【难度】★★ 【答案】4．【解析】把113*=，()111*-=代入运算法则，得31+=⎧⎨-=⎩a b a b ，解得：21=⎧⎨=⎩a b ，所以12*=2×1+1×2=4．【总结】根据新运算，求出a 、b 的值是解答本题的关键．例 6.对于实数m 、n ，定义一种运算“*”为：m n mn n *=+．如果关于x 的方程()14x a x **=-有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a 的值是______．【难度】★★ 【答案】0．【解析】根据运算法则，()*=+a x ax x ，()()*+=+++x ax x x ax x ax x ， 整理得()()211104++++=a x a x ，此方程有两个相等的实数根， 则()()210110+≠⎧⎪⎨=+-+=⎪⎩a a a ，解得：1201a a ==-，(舍)，所以a=0． 【总结】由运算法则整理得一元二次方程的一般形式，再结合一元二次方程根的判别式进行 求解，注意二次项系数不能为零．例7.(2020黄浦区一模)定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD 中，对角线BD 是它的相似对角线，∠ABC =70°，BD 平分∠ABC ，那么∠ADC =____________度 【答案】145【分析】先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在△ABD 和△DBC 中，已知∠ABD=∠CBD ，所以需另一组对应角相等，若∠A=∠C ，则△ABD 与△DBC 全等不符合题意，所以必定有∠A=∠BDC,再根据四边形的内角和为360°列式求解. 【详解】解：根据题意画出示意图，已知∠ABD=∠CBD ， △ABD 与△DBC 相似，但不全等， ∴∠A=∠BDC ，∠ADB=∠C.又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°， ∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°， ∴∠ADB+∠BDC=145°， 即∠ADC=145°.【点睛】对于新定义问题，读懂题意是关键.例8.(2020杨浦区一模).在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF ．如果△DEF 与△ABC 相似(相似比不为1)，那么△DEF 的面积为______．【答案】1；【分析】根据小正方形的边长，分别求出ABC 和DEF 三边的长，然后判断它们是否对应成比例，再用三角形面积公式求解即可. 【详解】如图，∵1AB BC ==，，AC∴:?:?AB BC AC =∵DE =2EF =，DF =∴::DE EF DF ==∴:?:?::AB BC AC DE EF DF = ∴~ABC DEF ∴12112DEFS=⨯⨯= 故答案为：1【点睛】本题考查了在网格中画与已知三角形相似的三角形、三角形全等的判定以及三角形面积公式，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键.例9.我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt ABC ∆和Rt ACD ∆中，90ACB ACD ∠=∠=︒，点D 在边BC 的延长线上，如果BC = DC = 3，那么ABC ∆和ACD ∆的外心距是______．【难度】★★ 【答案】3．【解析】直角三角形的外心为斜边的中点，所以ABC ∆和ACD ∆ 的外心分别为AB 和AD 的中点，这两个三角形的外心距 即∆ABD 的中位线，长度是132=BD ．【总结】本题考查的知识点有直角三角形的外心、三角形的中位线．例10.定义[a ，b ，c ]为函数2y ax bx c =++的“特征数”．如：函数232y x x =+-的“特征数”是[1，3，2-]，函数4y x =-+的“特征数”是[0，1-，4]．如果将“特征数”是[2，0，4]的函数图像向下平移3个单位，得到一个新函数图像，那么这个新函数的解析式是__________________． 【难度】★★ 【答案】221=+y x ．【解析】由题意得“特征数”是[2，0，4]的函数解析式为224=+y x ，向下平移3个单位可 得新函数的解析式为：221=+y x ．【总结】特征数[a ，b ，c ]即为二次函数的三个系数，已知特征数则可求得二次函数的解析 式，再根据抛物线的平移法则“上加下减、左加右减”进行解题．例11.在平面直角坐标系xOy 中，C 的半径为r ，点P 是与圆心C 不重合的点，给出如下定义：若点'P 为射线CP 上一点，满足2'CP CP r =，则称点'P 为点P 关于C 的反演点．如图为点P 及其关于C 的反演点'P 的示意图．请写出点M (12，0)关于以原点O 为圆心，以1为半径的O 的反演点'M 的坐标 ．AB D【难度】★★★【答案】(2，0)．【解析】由反演点的定义可得2'=OM OM r ，即21'12=OM ，解得：'2=OM ，又点'M 在x 轴上， 所以点'M 的坐标为(2，0)．【总结】掌握“反演点”的定义中，两点之间存在的关系．例12.如图1，对于平面上不大于90°的MON ∠，我们给出如下定义：如果点P 在MON ∠的内部，作PE OM ⊥，PF ON ⊥，垂足分别为点E 、F ，那么称PE + PF 的值为点P 相对于MON ∠的“点角距离”，记为d (P ，MON ∠)．如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点P 在第一象限内，且点P 的横坐标比纵坐标大1，对于xOy ∠，满足d (P ，xOy ∠)= 5，点P 的坐标是__________．【难度】★★★ 【答案】(3，2)．x yP' CPO ENF OPM 图1yx-11-11O图2【解析】过点P 分别作PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴， ∵点P 在第一象限内且横坐标比纵坐标大1， ∴设PA =a ，则PB =a +1， ∵d (P ，xOy ∠)= 5，可得：PA +PB =5，即a +a +1=5，解得：a =2， 所以点P 的坐标为(3,2)．【总结】本次考查“点角距离”的定义，利用定义求解相关点的坐标．模块二：阅读理解例1.一组数1，1，2，x ，5，y ，…，满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y 表示的数为______． 【难度】★ 【答案】8．【解析】由题得，x =1+2=3，y =3+5=8． 【总结】本题难度不大，运算也比较简单．例2.四个数a 、b 、c 、d 排列成a b c d，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：a b ad bc c d=-．若331233x x x x +-=-+，则x =______．【难度】★★ 【答案】1．【解析】由运算法则得()()22333333+-=+---+x x x x x x ，整理得：1212=x ，解得：x =1．【总结】由运算法则整理，再解关于x 的方程即可．例3.对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定符号{max a ，}b 表示a 、b 中的较大值，如：{max 2，}44=，按照这个规定，方程{max x ，}21x x x+-=的解为( )A ．1B ．2-C ．11D ．11-【难度】★★ 【答案】D ．【解析】当x >0时，{}max x x x -=，，解方程21+=x x x，得：1=±x所以1=+x 当x <0时，{}max x x x -=-，，解方程21x x x+-=，得：121==-x x ，所以1=-x ；综上，1=x 1-，故选D ．【总结】本题注意分类讨论，根据定义进行取值，再解关于x 的方程．例4.我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为45°，那么该三角形的面积等于______． 【难度】★★ 【答案】1或2．45x +，45，则180x =，解得：45x =，此三角形为等腰直角三角形， ∴此三角形的面积=12当顶角为x 时，则4545180x x x ++++=，解得：30x =． 如图，2==AB AC ，30A ∠=，作CD ⊥AB ，在Rt ADC ，∵30A ∠=，∴112==CD AC ， 211⨯=．综上所述，该三角形的面积等于1或2．【总结】本题注意分类讨论．根据“内角正度值”的定义求出三角形各内角的度数，再进行 面积的求解．例 5.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三D CBA角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt ABC ∆，90C ∠=︒，较短的一条直角边边长为1，如果Rt ABC ∆是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于 ． 【难度】★★【解析】“有趣中线”有三种情况：若“有趣中线”为斜边AB 上的中线，直角三角形的斜边中点到三顶点距离相等，不合 题意；若“有趣中线”为BC 边上的中线，根据斜边大于直角边，矛盾，不成立；若“有趣中线”为另一直角边AC 上的中线， 如图所示，BC =1，设2BD x =，则CD x =． 在Rt BCD 中，勾股定理得1+()222=x x ， 解得：xBD =2x． 【总结】本题考查“有趣中线”的定义，注意分类讨论．例6.如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1 : 2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为______． 【难度】★★ 【答案】8或10．【解析】由题意可知，存在两种情况：(1)一组邻边长分别为3和1，周长=8； (2)一组邻边长分别为3和2，周长=10．【总结】本题考查“协调平行四边形”的定义及平行四边形的性质．例7.设正n 边形的半径为R ，边心距为r ，如果我们将Rr的值称为正n 边形的“接近度”，那么正六边形的“接近度”是______(结果保留根号)．DCBA【难度】★★【解析】设正六边形的边长为a ，则半径为R=a ，边心距为，所以R r． 【总结】本题考查“接近度”的定义及正六边形的性质．例8.将关于x 的一元二次方程20x px q ++=变形为2x px q =--，就可将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知210x x --=，可用“降次法”求得431x x --的值是____________． 【难度】★★ 【答案】1．【解析】由210x x --=，得21=+x x ，代入431x x --=()221311+--=-=x x x x ． 【总结】本题运用“降次”及“整体代入”的思想进行解题．例9.在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y = x 平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A 的圆心为(2-，3)A 的所有“孪生圆”的圆心坐标为_________． 【难度】★★【答案】(0，5)或(-4，1)．【解析】由题意得，连心线所在直线为5=+y x ，因为两圆外切，设另一圆心为圆B ，所以圆心距=AB ，设(),5+B x x ，所以AB 解得：10=x ，24=-x ，所以圆心B 的坐标为(0,5)或(-4,1)．【总结】本题考查了“孪生圆”的定义、一次函数的图像以及圆与圆的位置关系．例10.当两个圆有两个公共点，且其中一个圆的圆心在另一圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．如果1O 、2O 半径分别3和1，且两圆“内相交”，那么两圆的圆心距d 的取值范围是___________． 【难度】★★ 【答案】23<<d ．【解析】两个圆有两个公共点即两圆相交，可得24<<d ，当小圆的圆心恰好在大圆上时，3=d ，所以内相交的圆心距d 取值范围是23<<d ．【总结】本题考查圆与圆的位置关系及“内相交”的定义．模块三：规律探究例1.观察下列各数：1，43，97，1615，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为( )A ．2531B ．3635C ．47D ．6263【难度】★★ 【答案】C ．【解析】根据题意，可知规律为221n n -，故第6个数为：3663，化简为47，故选C ．【总结】本题考查针对给定的一列数字找规律．例2.按一定规律排列的一列数：12，22，32，52，82，132，…．若x 、y 、z 表示这列数中的连续三个数，猜测x 、y 、z 满足的解析式是____________． 【难度】★★ 【答案】=xy z ．【解析】由给出的这一列数字，可得出规律：从第三个数字开始，每个数等于它两个数的乘积，所以=xy z ．【总结】本题考查针对给定的一列数字找规律．例3.在平面直角坐标系中，有三个点A (1，1-)、B (1-，1-)、C (0，1)，点P (0，2)关于点A 的对称点为1P ，1P 关于点B 的对称点为2P ，2P 关于点C 的对称点为3P ，按此规律，继续以点A 、B 、C 为对称中心重复前面的操作，依次得到点4P ，5P ，6P ，…，则点2017P 的坐标为( ) A ．(0，0) B ．(0，2)C ．(2，4-)D ．(4-，2)【难度】★★ 【答案】C ．【解析】由题意得1P (2，-4)、2P (-4，2)、3P (4，0)、4P (-2，-2)、5P (0，0)，6P (0，2)，每6个数形成一个周期，2017÷6=336……1，所以2017P 的坐 标和1P 的坐标相同，故选C ．【总结】本题考查了点的对称问题及周期问题的处理．例4.如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2S ，…，按照此规律继续下去，则2017S 的值为_____________．【难度】★★★【答案】20141()2．【解析】由题意得1S =2×2=4=22，2S 12=，3S =111⨯==20，…… 由以上规律，可知2017S =2-201420141()2=．【总结】本题考查了找规律在几何图形中的应用．1.(2020松江二模)如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”.已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于 度.【分析】设直角三角形的最小内角为x ，另一个内角为y ，根据三角形的内角和列方程组即可得到结论．【解答】解：设直角三角形的最小内角为x ，另一个内角为y ， 由题意得，，解得：，答：该三角形的最小内角等于22.5°， 故答案为：22.5．2．(2020静安二模)如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，DC＝AD，∠B是锐角，cot B＝，AB＝17．如果点E在梯形的边上，CE是梯形ABCD的“等分周长线”，那么△BCE的周长为．【分析】作CH⊥AB于H，设BH＝5a，证明四边形ADCH为矩形，得到AD＝CH＝12a，根据题意求出a，根据勾股定理求出BC，根据“等分周长线”计算，得到答案．【解答】解：作CH⊥AB于H，设BH＝5a，∵cot B＝，∴＝，∴CH＝12a，∵AB∥CD，∴∠D＝∠A＝90°，又CH⊥AB，∴四边形ADCH为矩形，∴AD＝CH＝12a，CD＝AH，∵DC＝AD，∴AH＝CD＝12a，由题意得，12a+5a＝17，解得，a＝1，∴AD＝CD＝AH＝12，BH＝5，在Rt△CHB中，BC＝＝13，∴四边形ABCD的周长＝12+12+17+13＝54，∵CE是梯形ABCD的“等分周长线”，∴点E在AB上，∴AE＝17+13﹣27＝3，∴EH＝12﹣3＝9，由勾股定理得，EC＝＝15，∴△BCE 的周长＝14+13+15＝42， 故答案为：42．3.(2020嘉定二模)定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α=2∠β,那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”，如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个【考查内容】新定义题型，黄金三角形 【评析】中等为底角时，用内角和公式求得∠β= 36，此时为黄金三角形，腰长与底边用内角和公式求得∠β= 45，此时为等腰直角三角 【答案】22或215+4.(2020长宁二模)如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为2的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是 ．【分析】先根据题意画出图形，连接BD 、OD ，设AM ＝x ，根据AD 2﹣AM 2＝OD 2﹣OM 2，列出方程，求出x ，再根据OC ＝OA ﹣AM ﹣CM 计算即可． 【解答】解：根据题意画图如下：连接BD ，与AC 交与点M ， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠AMD ＝∠DMC ＝90°，∠ACD ＝∠ACB ，CD ＝CD ，AM ＝CM ， ∴DM 2＝AD 2﹣AM 2，设AM＝x，则DM2＝(2)2﹣x2，连接OD、OB，在△OCD和△OCB中，，∴△OCD≌OCB(SSS)，∴∠OCD＝∠OCB，∴∠ACD+∠OCD＝∠ACB+∠OCB＝180°，∴OC与AC在一条直线上，∴△OMD是一个直角三角形，OM＝OA﹣AM＝5﹣x，∴DM2＝OD2﹣OM2，＝52﹣(5﹣x)2，∴(2)2﹣x2＝52﹣(5﹣x)2，x＝2，∴AM＝CM＝2，∴OC＝OA﹣AM﹣CM＝5﹣2﹣2＝1．故答案为：1．5.(2020青浦二模)小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．如图1、图2，直线CG、DH分别是两个不相似的Rt△ABC和Rt△DEF的相似分割线，CG、DH 分别与斜边AB、EF交于点G、H，如果△BCG与△DFH相似，AC＝3，AB＝5，DE＝4，DF＝8，那么AG＝．【分析】先由勾股定理得出BC的值，再由△BCG∽△DFH列出比例式，设AG＝x，用含x 的式子表示出DH；按照相似分割线可知，△AGC∽DHE，但要先得出两个相似三角形的边或角是如何对应的，再根据相似三角形的性质列出比例式，解得x值即可．解：∵Rt△ABC，AC＝3，AB＝5，∴由勾股定理得：BC＝4，∵△BCG∽△DFH，∴＝，已知DF＝8，设AG＝x，则BG＝5﹣x，∴＝，∴DH＝10﹣2x，∵△BCG∽△DFH，∴∠B＝∠FDH，∠BGC＝∠CHF，∴∠AGC＝∠DHE，∵∠A+∠B＝90°，∠EDH+∠FDH＝90°，∴∠A＝∠EDH，∴△AGC∽DHE，∴＝，又DE＝4，∴＝，解得：x＝3，经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意．∴AG＝3．故答案为：3．6.(2020杨浦二模) 定义：对于函数y ＝f (x )，如果当a ≤x ≤b 时，m ≤y ≤n ，且满足n ﹣m ＝k (b ﹣a )(k 是常数)，那么称此函数为“k 级函数”．如：正比例函数y ＝﹣3x ，当1≤x ≤3时，﹣9≤y ≤﹣3，则﹣3﹣(﹣9)＝k (3﹣1)，求得k ＝3，所以函数y ＝﹣3x 为“3级函数”．如果一次函数y ＝2x ﹣1(1≤x ≤5)为“k 级函数”，那么k 的值是 ． 【分析】根据一次函数y ＝2x ﹣1(1≤x ≤5)为“k 级函数”解答即可． 【解答】解：因为一次函数y ＝2x ﹣1(1≤x ≤5)为“k 级函数”， 可得：k ＝2， 故答案为：2．7.定义：如果二次函数2111y a x b x c =++(10a ≠，1a 、1b 、1c 是常数)与2222y a x b x c =++(20a ≠，2a 、2b 、2c 是常数)满足120a a +=，12b b =，120c c +=，那么称这两个函数互为“旋转函数”．若函数2423y x mx =-+-与22y x nx n =-+互为“旋转函数”，则()2017m n +=________． 【难度】★★ 【答案】-1．【解析】由“旋转函数”的定义得42320⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩m nn ，解得：32=-⎧⎨=⎩m n ，所以()2017m n +=(-1)2017=-1．【总结】本题考查“旋转函数”的定义．8.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若Rt ABC ∆是“好玩三角形”，则tan A =_______． 【难度】★★【解析】由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此斜边上的中线不满足； 故只能是直角边上的中线等于此直角边的长， 如图所示，设BD =2x ，CD =x ，则=BC ，在Rt ABC 中，AC =2x，=BC ． 当∠A为较小锐角时，tan A =当∠A为较大锐角时，tan A =． 【总结】本题考查“好玩三角形”的定义，注意分类讨论．9.我们把四边形两条对角线中点的连线段称为“奇异中位线”．现有两个全等三角形，边长分别为3cm 、4cm 、5cm ．将这两个三角形相等的边重合拼成凸四边形，如果凸四边形的“奇异中位线”的长不为0，那么“奇异中位线”的长是______cm ． 【难度】★★【答案】710．【解析】如图，将两个全等的直角ABC 与DEF 的斜边AC 与DF 重合，拼成凸四边形ABCE ，AC 与BE 交于点O ，M 为AC 的中点．∵△ABC ≌△DEF ，易证AO ⊥BE ．在Rt AOB 中，AO =AB •cos ∠BAO =95，因为1522==AM AC ，所以5972510=-=-=OM AM OA ． 即奇异中位线的长是710． 【总结】本题考查了“奇异中位线”的定义，注意根据题目要求画出合适的图形．10.如果一个二次函数的二次项系数为1，那么这个函数可以表示为2y x px q =++，我们将[p ，q ]称为这个函数的特征数．例如二次函数242y x x =-+的特征数是[4-，2]．请根据以上的信息探究下面的问题：如果一个二次函数的特征数是[2，3]，将这个函数的图像先DCBA向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么此时得到的图像所对应的函数的特征数为______． 【难度】★★ 【答案】[6，8]．【解析】特征数是[2，3]的二次函数为223=++y x x ，即2(1)2=++y x ，将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的二次函数为2(3)1=+-y x ，即268=++y x x ， 所以特征数为[6，8]．【总结】本题考查了“特征数”的定义及二次函数图像的平移．11.如图1，点P 是以r 为半径的圆O 外一点，点'P 在线段OP 上，若满足2'OP OP r =，则称点'P 是点P 关于圆O 的反演点．如图2，在Rt ABO ∆中，90B ∠=︒，AB = 2，BO = 4，圆O 的半径为2，如果点'A 、'B 分别是点A 、B 关于圆O 的反演点，那么''A B 的长是______．【难度】★★★【答案】5．【解析】由反演点的定义，可知：2'=OA OA r ，2'=OB OB r ，则'=OA OA 'OB OB ，即''=OA OB OB OA ，又∠=∠O O ，可证''OA B ∽OBA ， ∴'''=OB A B OA AB ，即225''=A B ，解得：''A B =5． 【总结】本题考查了“反演点”的定义，以及相似三角形的判定与性质．12.正方形111A B C O ，2221A B C C ，3332A B C C ，…，按如图所示的方式放置．点1A ，2A ，3A ，…和点1C ，2C ，3C ，…，分别在直线y kx b =+(0k >)和x 轴上，已知点1B (1，1)，2B (3，2)，OPP'BOA图1 图2则点6B 的坐标是__________，点n B 的坐标是__________．【难度】★★★【答案】(63，32)，1(212)nn--，．【解析】由1A (0，1)、2A (1，2)， 可求得直线解析式为1=+y x ． 可求得3A (3，4)、3B (7，4)，4A (7，8)、 4B (15，8)，5A (15，16)、5B (31，16)， 6A (31，32)、6B (63，32)， ……，按照此规律可得n B 1(212)n n --，． 【总结】本题考查了一次函数与几何图形背景下找出点坐标的规律．13.对于平面直角坐标系 xOy 中的点P (a ，b )，若点'P 的坐标为(ba k+，ka b +)(其中k 为常数，且0k ≠)，则称点'P 为点P 的“k 属派生点”．例如：P (1，4)的“2属派生点”为'P (412+，214⨯+)，即'P (3，6)．若点P 的“k 属派生点”'P 的坐标为(3，3)，请写出一个符合条件的点P 的坐标：____________． 【难度】★★★ 【答案】(2，1)．【解析】由题意得33⎧+⎪=⎨⎪+=⎩b a k ka b ，整理得：33+=⎧⎨+=⎩ka b k ka b ，所以1=k ， 只要满足3+=a b 即可，可取点P (2，1)．x yO【总结】本题考查了“派生点”的定义，关键是求出k 的值，答案不唯一．14.如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，…，如此下去，第n 个正方形的边长为__________．【难度】★★★ 【答案】12-n ． 【解析】第一个正方形的边长为1，第二个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为2，依次规律，第n 个正方形的边长为12-n ． 【总结】本题考查了几何图形背景下线段长度上存在的规律．A BC D E FGH。

2020年中考数学压轴题(含答案)

2020年中考数学压轴题(含答案)

2020年中考数学压轴题一、选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（）A．5 B．6 C．7 D．82．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，点D为AB的中点，若直角EDF绕点D旋转，分别交AC于点E，交BC于点F，则下列说法正确的个数有（）①AE＝CF；②EC+CF＝AD；③DE＝DF；④若△ECF的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝6，点P为AB边上一点，且AP≤3，连接DP，将△ADP沿DP 折叠，点A落在点M处，连接CM，BM，当△BCM为等腰三角形时，BP的长为．第3题第4题4．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是．三、解答题5．如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现如图①，当∠ACB＝∠AED＝60°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则∠CEB的度数为，线段AE、BE、CE之间的数量关系是；（2）拓展探究如图②，当∠ACB＝∠AED＝90°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE．请判断∠CEB的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题如图③，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝2，AE＝2，连接CE、BD，在△AED绕点A旋转的过程中，当DE⊥BD时，请直接写出EC的长．6．如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．（1）使∠APB＝30°的点P有个；（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【分析】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，MN最小值为OP﹣OF＝，当N在AB边上时，M与B重合时，MN最大值＝+1＝，由此不难解决问题．【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5∵∠OPB＝90°，∴OP∥AC∵点O是AB的三等分点，∴OB＝×5＝，＝＝，∴OP＝，∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC，∴OD∥BC，∴＝＝，∴OD＝1，∴MN最小值为OP﹣OF＝﹣1＝，如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN最大值＝+1＝，∴MN长的最大值与最小值的和是6．故选：B．2．【分析】①如果连接CD，可证△ADE≌△CDF，得出AE＝CF；②由①知，EC+CF＝EC+AE＝AC，而AC为等腰直角△ABC的直角边，由于斜边AB＝8，由勾股定理可求出AC＝BC＝4；③由①知DE＝DF；④△ECF的面积＝×CE×CF，如果这是一个定值，则CE•CF是一个定值，又EC+CF＝4，从而可唯一确定EC与EF的值，由勾股定理知EF的长也是一个定值．【解答】解：①连接CD．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，在△ADE与△CDF中，∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD，∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF，∴AE＝CF．说法正确；②∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝8，∴AC＝BC＝4．由①知AE＝CF，∴EC+CF＝EC+AE＝AC＝4．说法正确；③由①知△ADE≌△CDF，∴DE＝DF．说法正确；④∵△ECF的面积＝×CE×CF，如果这是一个定值，则CE•CF是一个定值，又∵EC+CF＝4，∴可唯一确定EC与EF的值，再由勾股定理知EF的长也是一个定值，说法正确．故选：D．二、填空题3．【分析】①当BC＝CM时，△BCM为等腰三角形，当BM＝CM时，当△BCM为等腰三角形时，③当BC＝BM＝3时，由折叠的性质得，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．【解答】解：①如图1，当BC＝CM时，△BCM为等腰三角形，∴点M落在CD边上，如图1，DN＝AD＝3，∴四边形APMD是正方形，∴AP＝3，∵AB＝CD＝6，∴BP＝3；②如图2，当BM＝CM时，当△BCM为等腰三角形时，∴点M落在BC的垂直平分线上，如图2，过M作BC的垂直平分线交AD于H交BC于G，∴AH＝DH＝AD，∵将△ADP沿DP折叠，点A落在点M处，∴AD＝DM，∴DH＝DM，∴∠ADM＝60°，∴∠ADP＝∠PDM＝30°，∴AP＝AD＝，∴PB＝6﹣；③当BC＝BM＝3时，由折叠的性质得，DM＝AD＝3，∴DM+BM＝6，而BD＝＝3，∴DM+BM＜BD，故这种情况不存在，综上所述，BP的长为3或6﹣，故答案为：3或6﹣．4．【分析】设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形FC+FD＝PQ，由三角形的三边关系知，CF+FD＞CD；只有当点F在CD上时，FC+FD＝PQ有最小值为CD的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ＝CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD＝BC•AC÷AB＝4.8．【解答】解：如图，∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，∴PQ是⊙F的直径，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则FD⊥AB．∴FC+FD＝PQ，∴CF+FD＞CD，∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ＝CD有最小值∴CD＝BC•AC÷AB＝4.8．故答案为4.8．三、解答题5．【分析】（1）证明△ACE≌△ABD，得出CE＝AD，∠AEC＝∠ADB，即可得出结论；（2）证明△ACE∽△ABD，得出∠AEC＝∠ADB，BD＝CE，即可得出结论；（3）先判断出BD＝CE，再求出AB＝2，①当点E在点D上方时，先判断出四边形APDE是矩形，求出AP＝DP＝AE＝2，再根据勾股定理求出，BP＝6，得出BD＝4；②当点E在点D下方时，同①的方法得，AP＝DP＝AE＝1，BP＝4，进而得出BD＝BP+DP＝8，即可得出结论．【解答】解：（1）在△ABC为等腰三角形，AC＝BC，∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠CAB＝60°，同理：AE＝AD，∠AED＝∠ADE＝∠EAD＝60°，∴∠EAD＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴CE＝AD，∠AEC＝∠ADB，∵点B、D、E在同一直线上，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝120°，∴∠AEC＝120°，∴∠CEB＝∠AEC﹣∠AEB＝60°，∵DE＝AE，∴BE＝DE+BD＝AE+CE，故答案为60°，BE＝AE+CE；（2）在等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴AB＝AC，∠CAB＝45°，同理，AD＝AE，∠AED＝90°，∠ADE＝∠DAE＝45°，∴，∠DAE＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∴△ACE∽△ABD，∴，∴∠AEC＝∠ADB，BD＝CE，∵点B、D、E在同一条直线上，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝135°，∴∠AEC＝135°，∴∠EBC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，∵DE＝AE，∴BE＝DE+BD＝AE+CE；（3）由（2）知，△ACE∽△ABD，∴BD＝CE，在Rt△ABC中，AC＝2，∴AB＝AC＝2，①当点E在点D上方时，如图③，过点A作AP⊥BD交BD的延长线于P，∵DE⊥BD，∴∠PDE＝∠AED＝∠APD，∴四边形APDE是矩形，∵AE＝DE，∴矩形APDE是正方形，∴AP＝DP＝AE＝2，在Rt△APB中，根据勾股定理得，BP＝＝6，∴BD＝BP﹣AP＝4，∴CE＝BD＝2；②当点E在点D下方时，如图④同①的方法得，AP＝DP＝AE＝2，BP＝4，∴BD＝BP+DP＝8，∴CE＝BD＝4，即：CE的长为2或4．6．【分析】（1）已知点A、点B是定点，要使∠APB＝30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个．（2）结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标．（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．【解答】解：（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2．在优弧AP1B上任取一点P，如图1，则∠APB＝∠ACB＝×60°＝30°．∴使∠APB＝30°的点P有无数个．故答案为：无数．（2）①当点P在y轴的正半轴上时，过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1．∵点A（1，0），点B（5，0），∴OA＝1，OB＝5．∴AB＝4．∵点C为圆心，CG⊥AB，∴AG＝BG＝AB＝2．∴OG＝OA+AG＝3．∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB＝4．∴CG＝＝＝2．∴点C的坐标为（3，2）．过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP2，如图1，∵点C的坐标为（3，2），∴CD＝3，OD＝2．∵P1、P2是⊙C与y轴的交点，∴∠AP1B＝∠AP2B＝30°．∵CP2＝CA＝4，CD＝3，∴DP2＝＝．∵点C为圆心，CD⊥P1P2，∴P1D＝P2D＝．∴P2（0，2﹣）．P1（0，2+）．②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P3（0，﹣2﹣）．P4（0，﹣2+）．综上所述：满足条件的点P的坐标有：（0，2﹣）、（0，2+）、（0，﹣2﹣）、（0，﹣2+）．（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．理由：可证：∠APB＝∠AEH，当∠APB最大时，∠AEH最大．由sin∠AEH＝得：当AE最小即PE最小时，∠AEH最大．所以当圆与y轴相切时，∠APB最大．①当点P在y轴的正半轴上时，连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．∵⊙E与y轴相切于点P，∴PE⊥OP．∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO＝∠POH＝∠EHO＝90°．∴四边形OPEH是矩形．∴OP＝EH，PE＝OH＝3．∴EA＝3．∵∠EHA＝90°，AH＝2，EA＝3，∴EH＝＝＝∴OP＝∴P（0，）．②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P（0，﹣）．理由：①若点P在y轴的正半轴上，在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示．∵∠ANB是△AMN的外角，∴∠ANB＞∠AMB．∵∠APB＝∠ANB，∴∠APB＞∠AMB．②若点P在y轴的负半轴上，同理可证得：∠APB＞∠AMB．综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，此时点P的坐标为（0，）和（0，﹣）．。

2020年全国中考数学压轴题全解全析

2020年全国中考数学压轴题全解全析

2020年全国中考数学压轴题全解全析一年一度的中考就要开始了，中考数学中的压轴题向来是广大师生非常关注的，因为这些试题往往在很大程度上决定了考分的高下，为了帮助大家迎接今年的中考，特别制作了此资料，希望能对大家有一定的帮助。

1、（北京课改B 卷）我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60o时，这对60o角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．[解] （1）答案不唯一，如正方形、矩形、等腰梯形等等．（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60o时，这对60o角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．已知：四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AC BD =，且60AOD ∠=o．求证：BC AD AC +≥．证明：过点D 作DF AC ∥，在DF 上截取DE ，使DE AC =． 连结CE ，BE ．故60EDO ∠=o ，四边形ACED 是平行四边形． 所以BDE △是等边三角形，CE AD =． 所以DE BE AC ==．①当BC 与CE 不在同一条直线上时（如图1）， 在BCE △中，有BC CE BE +>． 所以BC AD AC +>．②当BC 与CE 在同一条直线上时（如图2）， 则BC CE BE +=． 因此BC AD AC +=．综合①、②，得BC AD AC +≥．即等对角线四边形中两条对角线所夹角为60o时，这对60o角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长．[点评]本题是一道探索题，是近年来中考命题的热点问题，在第2小题中要求学生先猜想可能的结论，再进行证明，这对学生的确有较高的能力要求，而在探索结论前可以自己先画几个草图，做到心中有数再去努力求证；很多学生往往会忽略特殊情况没有进行讨论，应当予以关注，总之这是一道新课标形势下的优秀压轴题。

决胜2020年中考数学压轴题全揭秘——一次函数的应用及综合问题(含答案)

决胜2020年中考数学压轴题全揭秘——一次函数的应用及综合问题(含答案)

一次函数的应用及综合问题【考点1】一次函数图象与性质【例1】（2020•杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据直线判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线经过的象限即可，做出判断．【解析】A、由图可知：直线y1，a＞0，b＞0．∴直线y 2经过一、二、三象限，故A 正确；B 、由图可知：直线y 1，a ＜0，b ＞0．∴直线y 2经过一、四、三象限，故B 错误；C 、由图可知：直线y 1，a ＜0，b ＞0．∴直线y 2经过一、二、四象限，交点不对，故C 错误；D 、由图可知：直线y 1，a ＜0，b ＜0，∴直线y 2经过二、三、四象限，故D 错误． 故选：A ．点睛：本题主要考查的是一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【例2】（2020•绍兴）若三点（1，4），（2，7），（a ，10）在同一直线上，则a 的值等于（ ） A ．﹣1B ．0C ．3D ．4【分析】利用（1，4），（2，7）两点求出所在的直线解析式，再将点（a ，10）代入解析式即可； 【解析】设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为y ＝kx +b ， ∴{4=k +b 7=2k +b ∴{k =3b =1， ∴y ＝3x +1，将点（a ，10）代入解析式，则a ＝3； 故选：C ．点睛：本题考查一次函数上点的特点；熟练待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【考点2】一次函数选填压轴题【例3】（2018•绍兴）实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是15cm ，底面的长是30cm ，宽是20cm ，容器内的水深为xcm ．现往容器内放入如图的长方体实心铁块（铁块一面平放在容器底面），过顶点A 的三条棱的长分别10cm ，10cm ，ycm （y ≤15），当铁块的顶部高出水面2cm 时，x ，y 满足的关系式是 ．【分析】分两种情况：利用实心铁块浸在水中的体积等于容器中水位增加后的体积减去原来水的体积建立方程求解即可．【解析】①当长方体实心铁块的棱长为10cm和ycm的那一面平放在长方体的容器底面时，则铁块浸在水中的高度为8cm，此时，水位上升了（8﹣x）cm（x＜8），铁块浸在水中的体积为10×8×y＝80ycm3，∴80y＝30×20×（8﹣x），∴y=120−15x2，∵y≤15，∴x≥6，即：y=120−15x2（6≤x＜8），②当长方体实心铁块的棱长为10cm和10cm的那一面平放在长方体的容器底面时，同①的方法得，y=6x+105（0＜x≤656），故答案为：y=6x+105（0＜x≤656）或y=120−15x2（6≤x＜8）点睛：此题主要考查了从实际问题列一次函数关系式，正确找出相等关系是解本题的关键．【例4】（2018•温州）如图，直线y=−√33x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB 上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为．【分析】延长DE交OA于F，如图，先利用一次函数解析式确定B（0，4），A（4√3，0），利用三角函数得到∠OBA＝60°，接着根据菱形的性质判定△BCD为等边三角形，则∠BCD＝∠COE＝60°，所以∠EOF＝30°，则EF=12OE＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解析】延长DE交OA于F，如图，当x＝0时，y=−√33x+4＝4，则B（0，4），当y＝0时，−√33x+4＝0，解得x＝4√3，则A（4√3，0），在Rt△AOB中，tan∠OBA=4√34=√3，∴∠OBA＝60°，∵C是OB的中点，∴OC＝CB＝2，∵四边形OEDC是菱形，∴CD＝BC＝DE＝CE＝2，CD∥OE，∴△BCD为等边三角形，∴∠BCD＝60°，∴∠COE＝60°，∴∠EOF＝30°，∴EF=12OE＝1，△OAE的面积=12×4√3×1＝2√3．故答案为2√3．点睛：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（−bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．也考查了菱形的性质．【考点3】一次函数与实际生活图象综合问题【例5】（2020•湖州）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米．甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米．设甲步行的时间为x（分），图1中线段OA和折线B﹣C﹣D分别表示甲、乙离开小区的路程y（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象（不完整）．根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）在图2中，画出当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）根据函数图象中的数据可以求得OA的函数解析式，然后将x＝18代入OA的函数解析式，即可求得点E的纵坐标，进而可以求得乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）根据题意可以求得乙到达学校的时间，从而可以函数图象补充完整．【解析】（1）由图可得，甲步行的速度为：2400÷30＝80（米/分），乙出发时甲离开小区的路程是10×80＝800（米），答：甲步行的速度是80米/分，乙出发时甲离开小区的路程是800米；（2）设直线OA的解析式为y＝kx，30k＝2400，得k＝80，∴直线OA的解析式为y＝80x，当x＝18时，y＝80×18＝1440，则乙骑自行车的速度为：1440÷（18﹣10）＝180（米/分），∵乙骑自行车的时间为：25﹣10＝15（分钟），∴乙骑自行车的路程为：180×15＝2700（米），当x＝25时，甲走过的路程为：80×25＝2000（米），∴乙到达还车点时，甲乙两人之间的距离为：2700﹣2000＝700（米），答：乙骑自行车的速度是180米/分，乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离是700米；（3）乙步行的速度为：80﹣5＝75（米/分），乙到达学校用的时间为：25+（2700﹣2400）÷75＝29（分），当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象如右图所示．点睛：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．【例6】（2020•宁波）某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）．第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示．（1）求第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式．（2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间．（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）【分析】（1）设y＝kx+b，运用待定系数法求解即可；（2）把y ＝1500代入（1）的结论即可；（3）设小聪坐上了第n 班车，30﹣25+10（n ﹣1）≥40，解得n ≥4.5，可得小聪坐上了第5班车，再根据“路程、速度与时间的关系”解答即可．【解析】（1）由题意得，可设函数表达式为：y ＝kx +b （k ≠0），把（20，0），（38，2700）代入y ＝kx +b ，得{0=20k +b 2700=38k +b ，解得{k =150b =−3000，∴第一班车离入口处的路程y （米）与时间x （分）的函数表达为y ＝150x ﹣3000（20≤x ≤38）； （2）把y ＝1500代入y ＝150x ﹣3000，解得x ＝30， 30﹣20＝10（分），∴第一班车从入口处到达塔林所需时间10分钟； （3）设小聪坐上了第n 班车，则 30﹣25+10（n ﹣1）≥40，解得n ≥4.5， ∴小聪坐上了第5班车，等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：1200÷150＝8（分）， 步行所需时间：1200÷（1500÷25）＝20（分）， 20﹣（8+5）＝7（分），∴比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了7分钟．点睛：本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是解答本题的关键． 【考点4】一次函数应用—最优化问题【例7】（2018•湖州）“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A ，B 两个果园运送有机化肥，甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥；A ，B 两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥．两个仓库到A ，B 两个果园的路程如表所示：路程（千米）甲仓库乙仓库 A 果园 15 25 B 果园2020设甲仓库运往A 果园x 吨有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元， （1）根据题意，填写下表．运量（吨）运费（元）甲仓库乙仓库甲仓库乙仓库A果园x110﹣x2×15x2×25（110﹣x）B果园80﹣x x﹣10 2×20×（80﹣x）2×20×（x﹣10）（2）设总运费为y元，求y关于x的函数表达式，并求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？【分析】（1）设甲仓库运往A果园x吨有机化肥，根据题意求得甲仓库运往B果园（80﹣x）吨，乙仓库运往A果园（110﹣x）吨，乙仓库运往B果园（x﹣10）吨，然后根据两个仓库到A，B两个果园的路程完成表格；（2）根据（1）中的表格求得总运费y（元）关于x（吨）的函数关系式，根据一次函数的增减性结合自变量的取值范围，可知当x＝80时，总运费y最省，然后代入求解即可求得最省的总运费．【解析】（1）填表如下：运量（吨）运费（元）甲仓库乙仓库甲仓库乙仓库A果园x110﹣x2×15x2×25（110﹣x）B果园80﹣x x﹣10 2×20×（80﹣x）2×20×（x﹣10）故答案为80﹣x，x﹣10，2×20×（80﹣x），2×20×（x﹣10）；（2）y＝2×15x+2×25×（110﹣x）+2×20×（80﹣x）+2×20×（x﹣10），即y关于x的函数表达式为y＝﹣20x+8300，∵﹣20＜0，且10≤x≤80，∴当x＝80时，总运费y最省，此时y最小＝﹣20×80+8300＝6700．故当甲仓库运往A果园80吨有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元．点睛：此题考查了一次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题意，读懂表格，求得一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解．【考点5】一次函数与几何综合问题【例8】（2020•温州）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+4分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE．动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某一点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点B的坐标和OE的长．（2）设点Q2为（m，n），当nm=17tan∠EOF时，求点Q2的坐标．（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．【分析】（1）令y＝0，可得B的坐标，利用勾股定理可得BC的长，进而求出OE的长；（2）如图1，作辅助线，证明△CDN∽△MEN，得CN＝MN＝1，计算EN的长，根据面积法可得OF的长，利用勾股定理得OF的长，由nm=17tan∠EOF和n=−12m+4，可得结论；（3）①先设s关于t成一次函数关系，设s＝kt+b，根据当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合，得t＝2时，CD＝4，DQ3＝2，s＝2√5，根据Q3（﹣4，6），Q2（6，1），可得t＝4时，s＝5√5，利用待定系数法可得s关于t的函数表达式，根据s和t都不是负数，确定t的取值；②分三种情况：（i）当PQ∥OE时，如图2，根据cos∠QBH=ABBQ3=BHBQ=65=25√5，表示BH的长，根据AB＝12，列方程可得t的值；（ii）当PQ∥OF时，如图3，根据tan∠HPQ＝tan∠CDN=14，列方程为2t﹣2=14(7−32t)，可得t的值．（iii）由图形可知PQ不可能与EF平行．【解析】（1）令y＝0，则−12x+4＝0，∴x＝8，∴B（8，0），∵C（0，4），∴OC＝4，OB＝8，在Rt△BOC中，BC=√82+42=4√5，又∵E为BC中点，∴OE=12BC＝2√5；（2）如图1，作EM⊥OC于M，则EM∥CD，∵E是BC的中点∴M是OC的中点∴EM=12OB＝4，OE=12BC＝2√5∵∠CDN＝∠NEM，∠CND＝∠MNE ∴△CDN∽△MEN，∴CNMN =CDEM=1，∴CN＝MN＝1，∴EN=2+42=√17，∵S△ONE=12EN•OF=12ON•EM，∴OF=3×4√17=1217√17，由勾股定理得：EF=√OE2−OF2=(2√5)2−(121717)2=1417√17，∴tan∠EOF=EFOF=14√171712√1717=76，∴nm =17×76=16，∵n=−12m+4，∴m＝6，n＝1，∴Q 2（6，1）；（3）①∵动点P 、Q 同时作匀速直线运动， ∴s 关于t 成一次函数关系，设s ＝kt +b ， ∵当点P 运动到AO 中点时，点Q 恰好与点C 重合， ∴t ＝2时，CD ＝4，DQ 3＝2， ∴s ＝Q 3C =√22+42=2√5， ∵Q 3（﹣4，6），Q 2（6，1），∴t ＝4时，s =√(6+4)2+(6−1)2=5√5，将{t =2s =2√5和{t =4s =5√5代入得{2k +b =2√54k +b =5√5，解得：{k =32√5b =−√5， ∴s =3√52t −√5， ∵s ≥0，t ≥0，且32√5＞0，∴s 随t 的增大而增大， 当s ≥0时，3√52t −√5≥0，即t ≥23，当t =23时，Q 3与Q 重合，∵点Q 在线段Q 2Q 3上，综上，s 关于t 的函数表达式为：s =3√52t −√5（23≤t ≤4）；②（i ）当PQ ∥OE 时，如图2，∠QPB ＝∠EOB ＝∠OBE ， 作QH ⊥x 轴于点H ，则PH ＝BH =12PB ，Rt △ABQ 3中，AQ 3＝6，AB ＝4+8＝12， ∴BQ 3=2+122=6√5，∵BQ ＝6√5−s ＝6√5−3√52t +√5=7√5−3√52t ，∵cos ∠QBH =AB BQ 3=BH BQ =126√5=25√5， ∴BH ＝14﹣3t ， ∴PB ＝28﹣6t ， ∴t +28﹣6t ＝12，t =165； （ii ）当PQ ∥OF 时，如图3，过点Q 作QG ⊥AQ 3于点G ，过点P 作PH ⊥GQ 于点H ，由△Q 3QG ∽△CBO 得：Q 3G ：QG ：Q 3Q ＝1：2：√5， ∵Q 3Q ＝s =3√52t −√5， ∴Q 3G =32t ﹣1，GQ ＝3t ﹣2，∴PH ＝AG ＝AQ 3﹣Q 3G ＝6﹣（32t ﹣1）＝7−32t ，∴QH ＝QG ﹣AP ＝3t ﹣2﹣t ＝2t ﹣2， ∵∠HPQ ＝∠CDN ，∴tan ∠HPQ ＝tan ∠CDN =14， ∴2t ﹣2=14(7−32t)，t =3019，（iii ）由图形可知PQ 不可能与EF 平行， 综上，当PQ 与△OEF 的一边平行时，AP 的长为165或3019．点睛：此题是一次函数的综合题，主要考查了：用待定系数法求一次函数关系式，三角形相似的性质和判定，三角函数的定义，勾股定理，正方形的性质等知识，并注意运用分类讨论和数形结合的思想解决问题．【考点6】一次函数与动点问题、存在性问题【例9】（2018•衢州）如图，Rt △OAB 的直角边OA 在x 轴上，顶点B 的坐标为（6，8），直线CD 交AB 于点D （6，3），交x 轴于点C （12，0）．（1）求直线CD 的函数表达式；（2）动点P 在x 轴上从点（﹣10，0）出发，以每秒1个单位的速度向x 轴正方向运动，过点P 作直线l 垂直于x 轴，设运动时间为t ．①点P 在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA ＝∠B ，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；②请探索当t 为何值时，在直线l 上存在点M ，在直线CD 上存在点Q ，使得以OB 为一边，O ，B ，M ，Q 为顶点的四边形为菱形，并求出此时t 的值．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）①如图1中，作DP ∥OB ，则∠PDA ＝∠B ．利用平行线分线段成比例定理，计算即可，再根据对称性求出P ′；②分两种情形分别求解即可解决问题：如图2中，当OP ＝OB ＝10时，作PQ ∥OB 交CD 于Q ．如图3中，当OQ ＝OB 时，设Q （m ，−12m +6），构建方程求出点Q 坐标即可解决问题； 【解析】（1）设直线CD 的解析式为y ＝kx +b ，则有{12k +b =06k +b =3，解得{k =−12b =6，∴直线CD 的解析式为y =−12x +6．（2）①如图1中，作DP ∥OB ，则∠PDA ＝∠B ．∵DP ∥OB ， ∴PA AO =AD AB ，∴PA 6=38，∴PA =94， ∴OP ＝6−94=154， ∴P （154，0），根据对称性可知，当AP ＝AP ′时，P ′（334，0），∴满足条件的点P 坐标为（154，0）或（334，0）．②如图2中，当OP ＝OB ＝10时，作PQ ∥OB 交CD 于Q ．∵直线OB 的解析式为y =43x ， ∴直线PQ 的解析式为y =43x +403， 由{y =43x +403y =−12x +6，解得{x =−4y =8，∴Q （﹣4，8）， ∴PQ =√62+82=10， ∴PQ ＝OB ，∵PQ ∥OB ， ∴四边形OBQP 是平行四边形， ∵OB ＝OP ，∴四边形OBQP 是菱形，此时点M 与点Q 重合，满足条件，t ＝0． 如图3中，当OQ ＝OB 时，设Q （m ，−12m +6），则有m 2+（−12m +6）2＝102， 解得m =12±4√895， ∴点Q 的横坐标为12+4√895或12−4√895，设点M 的横坐标为a ， 则有：a+02=12+4√895+62或a+02=12−4√895+62，∴a =42+4√895或42−4√895， 又因为点P 从点（﹣10，0）开始运动， ∴满足条件的t 的值为92+4√895或92−4√895． 如图4中，当点Q 与C 重合时，M 点的横坐标为6，此时t ＝16，综上所述，满足条件的t 的值为0或16或92+4√895或92−4√895． 点睛：本题考查一次函数综合题、待定系数法、菱形的判定、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标，所以中考压轴题．【考点7】一次函数综合问题—新定义问题【例10】（2020•衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x =a+c 3，y =b+d3那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x=−1+43=1，y=8+(−2)3=2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．【分析】（1）x=13（﹣1+7）＝2，y=13（5+7）＝4，即可求解；（2）①由题意得：x=13（t+3），y=13（2t+3），即可求解；②分∠DTH＝90°、∠TDH＝90°、∠HTD＝90°三种情况，分别求解即可．【解析】（1）x=13（﹣1+7）＝2，y=13（5+7）＝4，故点C是点A、B的融合点；（2）①由题意得：x=13（t+3），y=13（2t+3），则t＝3x﹣3，则y=13（6x﹣6+3）＝2x﹣1；②当∠DHT＝90°时，如图1所示，点E （t ，2t +3），则T （t ，2t ﹣1），则点D （3，0）， 由点T 是点D ，E 的融合点得：t =t+33，2t ﹣2=2t+33， 解得：t =32，即点E （32，6）； 当∠TDH ＝90°时，如图2所示，则点T （3，5），由点T 是点D ，E 的融合点得：点E （6，15）； 当∠HTD ＝90°时，如图3所示，过点T 作x 轴的平行线交过点D 与y 轴平行的直线于点M ，交过点E 与y 轴的平行线于点N ， 则∠MDT ＝∠NTE ，则tan ∠MDT ＝tan ∠NTE ，D （3，0），点E （t ，2t +3），则点T （t+33，2t+33）则MT ＝3−t+33=6−t3，MD =2t+33， NE =2t+33−2t ﹣3=−2(2t+3)3，NT =t+33−t =3−2t3，由tan ∠MDT ＝tan ∠NTE得：6−t 32t+33=2(2t+3)33−2t 3， 解得：方程无解，故∠HTD 不可能为90°． 故点E （32，6）或（6，15）．点睛：本题是一次函数综合运用题，涉及到直角三角形的运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解．一．选择题（共3小题）1．（2020•拱墅区校级模拟）如图，直线y ＝x +m 与y ＝nx ﹣5n （n ≠0）的交点的横坐标为3，则关于x 的不等式x +m ＞nx ﹣5n ＞0的整数解为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】令y ＝0可求出直线y ＝nx ﹣5n 与x 轴的交点坐标，根据两函数图象与x 轴的上下位置关系结合交点横坐标即可得出不等式x +m ＞nx ﹣5n ＞0的解，找出其内的整数即可． 【解析】当y ＝0时，nx ﹣5n ＝0， 解得：x ＝5，∴直线y ＝nx ﹣5n 与x 轴的交点坐标为（5，0）．观察函数图象可知：当3＜x ＜5时，直线y ＝x +m 在直线y ＝nx ﹣5n 的上方，且两直线均在x 轴上方， ∴不等式x +m ＞nx ﹣5n ＞0的解为3＜x ＜5， ∴不等式x +m ＞nx ﹣5n ＞0的整数解为4． 故选：B ．2．（2020•温岭市校级一模）已知函数y 1={−x −1(x ≤−1)x +1(−1＜x ≤0)−x +1(0＜x ≤1)x −1(x ＞1)的图象为“W ”型，直线y ＝kx ﹣k +1与函数y 1的图象有三个公共点，则k 的值是（ ）A ．1或12B ．0或12C ．12D ．12或−12 【分析】如图，易知直线y ＝kx ﹣k +1，经过定点P （1，1）．①当直线y ＝kx ﹣k +1过点P 与x 轴平行时满足条件，此时k ＝0．②当直线y ＝kx ﹣k +1过点A （﹣1，0）时满足条件，此时k =12． 【解析】如图，易知直线y ＝kx ﹣k +1，经过定点P （1，1）．①当直线y ＝kx ﹣k +1过点P 与x 轴平行时满足条件，此时k ＝0． ②当直线y ＝kx ﹣k +1过点A （﹣1，0）时满足条件，此时k =12． 综上所述，满足条件的k 的值为0或12，故选：B ．3．（2020•温州三模）如图，已知直线y =−12x +b （b ＞0）交x 轴，y 轴于点M ，N ，点A ，B 是OM ，ON 上的点，以AB 为边作正方形ABCD ，CD 恰好落在MN 上，已知AB ＝2，则b 的值为（ ）A ．1+√5B ．√5C ．75√5D ．2+√55【分析】由直线的解析式可知tan ∠OMN =12，结合正方形性质可得∠OAB ＝∠OMN ＝∠NBC ，在Rt △BCN 中，BC ＝2，tan ∠NBC =12，则BN =√5；在Rt △BOA 中，BA ＝2，tan ∠OAB =12，则BO =2√55；又由b ＝ON 即可求解．【解析】∵直线y =−12x +b ， ∴tan ∠OMN =12， ∵正方形ABCD ， ∴AB ∥CD ，∴∠OAB ＝∠OMN ＝∠NBC ， ∵AB ＝2， ∴BC ＝AD ＝2，在Rt △BCN 中，BC ＝2，tan ∠NBC =12， ∴BN =√5，在Rt △BOA 中，BA ＝2，tan ∠OAB =12， ∴BO =2√55， ∵b ＞0， ∴b ＝ON =7√55； 故选：C ．二．填空题（共5小题）4．（2020•金华模拟）如图，一次函数y ＝﹣x ﹣2与y ＝2x +m 的图象相交于点P （n ，﹣4），则关于x 的不等式组{2x +m ＜−x −2−x −2＜0的解集为 ﹣2＜x ＜2 ．【分析】先将点P （n ，﹣4）代入y ＝﹣x ﹣2，求出n 的值，再找出直线y ＝2x +m 落在y ＝﹣x ﹣2的下方且都在x 轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可． 【解析】∵一次函数y ＝﹣x ﹣2的图象过点P （n ，﹣4）， ∴﹣4＝﹣n ﹣2，解得n ＝2，∴P（2，﹣4），又∵y＝﹣x﹣2与x轴的交点是（﹣2，0），∴关于x的不等式组{2x+m＜−x−2−x−2＜0的解集为：﹣2＜x＜2．故答案为：﹣2＜x＜2．5．（2020•金华模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A，点B分别是x轴正半轴和直线y＝x（x＞0）上的动点，以AB为边在右侧作矩形ABCD，AB＝2，BC＝1．（1）若OA=√6时，则△ABO的面积是3±√32；（2）若点A在x轴正半轴移动时，则CO的最大距离是√5+√2．【分析】（1）由于点B是直线y＝x（x＞0）上的点，设B（a，a），解直角三角形得到BE=√6±√22，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）根据点B在一次函数y＝x（x＞0）的图象上，得到tan∠AOB＝1，作△AOB的外接圆⊙P，连接OP、PA、PB、PC，作PG⊥CD，交AB于H，垂足为G，推出AB∥CD，四边形BHGC是矩形，得到PG⊥AB，GH＝BC＝1，根据勾股定理得到PC=√PG2+CG2=√22+12=√5，OP＝PB=√BH2+PH2=√12+12=√2，于是得到结论．【解析】（1）∵点B是直线y＝x（x＞0）上的点，∴设B（a，a），∴BE＝OE＝a，∵AB＝2，∴AE=√4−a2，∵OA=√6，∴OE+AE＝a+√4−a2=√6，∴a=√6−√22，a=√6+√22，∴BE =√6±√22，∴△ABO 的面积=12OA •BE =12×√6×√6±√22=3±√32； 故答案为：3±√32；（2）∵点B 在一次函数y ＝x （x ＞0）的图象上，∴tan ∠AOB ＝1，作△AOB 的外接圆⊙P ，连接OP 、PA 、PB 、PC ，作PG ⊥CD ，交AB 于H ，垂足为G ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，四边形BHGC 是矩形，∴PG ⊥AB ，GH ＝BC ＝1，∵∠APB ＝2∠AOB ，∠BPG =12∠APB ，BH =12AB ＝1＝CG ，∴∠BPH ＝∠AOB ，∴tan ∠BPH ＝tan ∠AOB ＝1，∴BH PH =1，∴PH ＝1，∴PG ＝1+1＝2，∴PC =√PG 2+CG 2=√22+12=√5，OP ＝PB =√BH 2+PH 2=√12+12=√2，在△OPC 中，OP +PC ≥OC ，∴OC 的最大值为√5+√2，故答案为：√5+√2．6．（2020•杭州模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣x +3过点A （5，m ）且与y 轴交于点B ，把点A 向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C ．过点C 且与y ＝2x 平行的直线交y 轴于点D ．直线AB 与CD 交于点E ，将直线CD 沿EB 方向平移，当平移到经过点B 时，直线CD 与x 轴交点的横坐标是−32．【分析】先把A（5，m）代入y＝﹣x+3得A（5，﹣2），再利用点的平移规律得到C（3，2），接着利用两直线平移的问题设CD的解析式为y＝2x+b，然后把C点坐标代入求出b即可得到直线CD的解析式；先确定B（0，3），再求出直线CD与x轴的交点坐标为（2，0）；易得CD平移到经过点B时的直线解析式为y＝2x+3，然后求出直线y＝2x+3与x轴的交点坐标．【解析】把A（5，m）代入y＝﹣x+3得m＝﹣5+3＝﹣2，则A（5，﹣2），∵点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C，∴C（3，2），∵过点C且与y＝2x平行的直线交y轴于点D，∴CD的解析式可设为y＝2x+b，把C（3，2）代入得6+b＝2，解得b＝﹣4，∴直线CD的解析式为y＝2x﹣4；当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则B（0，3），当y＝0时，2x﹣4＝0，解得x＝2，则直线CD与x轴的交点坐标为（2，0）；易得CD平移到经过点B时的直线解析式为y＝2x+3，当y＝0时，2x+3＝0，解得x=−32，则直线y＝2x+3与x轴的交点坐标为（−32，0），所以当平移到经过点B时，直线CD与x轴交点的横坐标是−3 2，故答案为：−3 2．7．（2020•嘉善县模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A与原点O重合，顶点B在直线l上，将正方形沿射线OB方向无滑动地翻滚．若直线y=√33x，正方形边长为2√3则：（1）翻滚后点A第一次落在直线l上的坐标是（12，4√3）；（2）当正方形翻滚2002次点A对应点的坐标是（6009−√3，3+2003√3）．【分析】（1）观察图形即可得到翻滚后点A 第一次落在直线l 上，经过4次翻滚后点A 对应点一循环，解直角三角形即可求得点A 第一次落在直线l 上的坐标（2）先求出2002÷4的商和余数，从而解答本题．【解析】（1）由正方形和直线的斜率可知，D （−√3，3），C （−√3+3，3+√3），E （−√3+3×3，3+3√3）， 观察图形，即可得到翻滚后点A 第一次落在直线l 上，∴此时OA 1＝4×2√3=8√3，∴此时A 1的坐标是（√32×8√3，12×8√3）， 即（12，4√3）；（2）观察图形可得经过4次翻滚后点A 对应点一循环，2002÷4＝500…2，∴经过500次翻滚后点A 对应点A 2000的坐标为（500×12，500×4√3），即（6000，2000√3）， ∴正方形翻滚2002次点A 对应点的坐标是（6000+3×3−√3，2000√3+3+3√3），即（6009−√3，3+2003√3） 故答案为：（6009−√3，3+2003√3）．8．（2020•宁波模拟）当m ，n 是正实数，且满足mn ＝m +2n 时，就称点P （m ，mn ）为“新时代点”．如图，已知点A （0，10）与点M 都在直线y ＝﹣x +b 上，点B ，C 是“新时代点”，且点B 在线段AM 上．若MC ＝3，AM ＝8√2，则△MBC 的面积为 √2 ．【分析】由m +2n ＝mn 变式为m n =m ﹣2，可知P （m ，m ﹣2），所以在直线y ＝x ﹣2上，点A （0，10）在直线y ＝﹣x +b 上，求得直线AB ：y ＝﹣x +10，进而求得B （6，4），根据直线平行的性质从而证得直线AM 与直线y ＝x ﹣2垂直，然后根据勾股定理求得BC 的长，从而求得三角形的面积．【解析】∵m +2n ＝mn 且m ，n 是正实数，∴m n +2＝m ，即m n =m ﹣2，∴P （m ，m ﹣2），即“新时代点”B 在直线y ＝x ﹣2上，∵点A （0，10）在直线y ＝﹣x +b 上，∴b ＝10，∴直线AB ：y ＝﹣x +10，∵“新时代点”B 在直线AB 上，∴由{y =x −2y =−x +10解得{x =6y =4， ∴B （6，4），∵一、三象限的角平分线y ＝x 垂直于二、四象限的角平分线y ＝﹣x ，而直线y ＝x ﹣2与直线y ＝x 平行，直线y ＝﹣x +10与直线y ＝﹣x 平行，∴直线AB 与直线y ＝x ﹣2垂直，∵点B 是直线y ＝x ﹣2与直线AB 的交点，∴垂足是点B ，∵点C 是“新时代点”，∴点C 在直线y ＝x ﹣2上，∴△MBC 是直角三角形，∵B （6，4），A （0，10），∴AB ＝6√2，∵AM ＝8√2，∴BM ＝2√2， 又∵MC ＝3，∴BC ＝1，∴S △MBC =12BM •BC =√2，故答案为√2．三．解答题（共12小题）9．（2020•拱墅区校级模拟）甲乙两人同时登同一座山，甲乙两人距地面的高度y （米）与登山时间x （分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙在提速前登山的速度是 15 米/分钟，乙在A 地提速时距地面的高度b 为 30 米；（2）若乙提速后，乙比甲提前了9分钟到达山顶，请求出乙提速后y 和x 之间的函数关系式；（3）登山多长时间时，乙追上了甲，此时甲距C 地的高度为多少米？【分析】（1）由图象可求乙的速度，即可求解；（2）用待定系数法可求解析式；（3）求出CD 解析式，乙追上了甲即此时的y 的值相等，然后求出时间再计算距C 地的高度．【解析】（1）由图形可得乙一分钟走了15米，则乙在提速前登山的速度是15米/分钟，2分钟走了30米，∴b ＝30，故答案为：15，30；（2）由图形可得：t ＝20﹣9＝11分，设AB 解析式为：y ＝kx +b ，{30=2k +b 300=11k +b解得：{k =30b =−30∴直线AB 解析式为：y ＝30x ﹣30（2≤x ≤11）；（3）∵C （0，100），D （20，300）∴线段CD 的解析式：y ＝10x +100（0≤x ≤20），由{y =30x −30y =10x +100∴{x =6.5y =165∴经过6.5分钟后，乙追上甲，此时甲距C 地的高度＝165﹣100＝65米．10．（2020•萧山区一模）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA 表示货车离甲地距离y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系；折线OBCDA 表示轿车离甲地距离y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：（1）当轿车刚到乙地时，此时货车距离乙地 30 千米；（2）当轿车与货车相遇时，求此时x 的值；（3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x 的值．【分析】（1）根据图象可知货车5小时行驶300千米，由此求出货车的速度为60千米/时，再根据图象得出货车出发后4.5小时轿车到达乙地，由此求出轿车到达乙地时，货车行驶的路程为270千米，而甲、乙两地相距300千米，则此时货车距乙地的路程为：300﹣270＝30千米；（2）先求出线段CD 对应的函数关系式，再根据两直线的交点即可解答；（3）分两种情形列出方程即可解决问题．【解析】（1）根据图象信息：货车的速度V 货=3005=60， ∵轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时，∴轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：4.5×60＝270（千米），此时，货车距乙地的路程为：300﹣270＝30（千米）．所以轿车到达乙地后，货车距乙地30千米．故答案为：30；（2）设CD 段函数解析式为y ＝kx +b （k ≠0）（2.5≤x ≤4.5）．∵C （2.5，80），D （4.5，300）在其图象上，{2.5k +b =804.5k +b =300，解得{k =110b =−195， ∴CD 段函数解析式：y ＝110x ﹣195（2.5≤x ≤4.5）；易得OA ：y ＝60x ，{y =110x −195y =60x，解得{x =3.9y =234， ∴当x ＝3.9时，轿车与货车相遇；（3）当x ＝2.5时，y 货＝150，两车相距＝150﹣80＝70＞20，由题意60x ﹣（110x ﹣195）＝20或110x ﹣195﹣60x ＝20，解得x ＝3.5或4.3小时．答：在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x 的值为3.5或4.3小时．11．（2020•江干区二模）在图（1）中，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 从点C 出发，以√5cm /s 的速度沿射线CB 运动，当点E 与点B 重合时，运动停止．过点E 作EF ⊥AC ，垂足为点F ，将线段EF 绕点F 顺时针旋转90°，点E 在射线CA 上的对应点为点H ，连接EH ．若△EFH 与△ACD 的重叠部分面积为S （cm 2），点E 的运动时间为ts ，S 关于t 的函数图象如图（2）所示（其中0＜t ＜103，103＜t ≤m ，m ＜t ≤92时，函数解析式不同）（1）求BC 的长；（2）求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．【分析】（1）由题意得：BC =√5t ，即可求解； （2）分点H 在与点A 重合（含）前；点E 在点D 之前、点H 过A 点后；E 从D 到B 三种情况，分别求解即可．【解析】（1）由题意得：BC =√5t =√5×92=9√52， 故BC 的长为：9√52；（2）设∠C ＝α，则EF =√5t sin α，FC =√5t cos α，当点H 在与点A 重合（含）前，即：0≤t ≤103，如图1，S ＝S △HFE ，且当t =103时，A 、H 重合， S =12（EF ）2=12（√5t sin α）2，当t =103时，S =509，即：509=12×（√5×103sin α）2， 解得：sin α=√55，则cos α=2√55，tan α=12， FC =√5t cos α＝2t ，EF =√5t sin α＝t ，则S =12t 2， CH ＝CA ＝CF +FH ＝3t ，而A 、H 重合时，t =103，故CA ＝10， 则AD ＝AC sin α＝2√5，CD ＝4√5， BD ＝BC ﹣CD =√52；当点E 在点D 之前、点H 过A 点后，即103＜t ＜4时，如图2，设直线HE 交AD 于点M ，CE ′=√5t =√5×103=10√53，同理DE ′=2√53，而CD ＝4√5，故点E ′运动到点E 需要的时间为：4√5−10√53√5=23秒， 则点M 从点A 运动到点D 的速度为：2√523=3√5，连接AE ， S ＝S △AEF +S △AEM =12×AF ×EF +12AM ×DE =12（10﹣2t ）t +12×3√5（t −103）（4√5−√5t ）=−172t 2+60t ﹣100， CD ＝4√5，m =√55=4； 综上，AD ＝2√5，CD ＝4√5，m ＝4；①当0＜t ≤103时，S =12t 2； ②当103＜t ≤4时，如图3，作GI ∥EF ，则△AIG ∽△ACD ，故IG ＝2AG ＝2（3t ﹣10），S ＝S △HEF ﹣S △HAI =12t 2−12（3t ﹣10）×2（3t ﹣10）=−172t 2+60t ﹣100；③当4＜t≤92时，如图4，则△AIF∽△ACD，则IF＝2（10﹣2t），S＝S△AIF=12（10﹣2t）×2（10﹣2t）＝（10﹣2t）2．综上，S={12t2(0＜t≤103)−172t2+60t−100(103＜t≤4)(10−2t)2(4＜t≤92)．12．（2020•海宁市二模）某电视台摄制组乘船往返于A码头和B码头进行拍摄，在A、B两码头间设置拍摄中心C．在往返过程中，假设船在A、B、C处均不停留，船离开B码头的距离s（千米）与航行的时间t （小时）之间的函数关系式如图所示．根据图象信息，解答下列问题：（1）求船从B码头返回A码头时的速度及返回时s关于t的函数表达式．（2）求水流的速度．（3）若拍摄中心C设在离A码头12千米处，摄制组在拍摄中心分两组拍摄，其中一组乘橡皮艇漂流到B码头处，另一组同时乘船到达A码头后马上返回，求两摄制组相遇时离拍摄中心C的距离．【分析】（1）根据图象可知，船从B地返回A地，距B地的距离为27千米，用时3小时，可求出速度，用待定系数法可求出正比例函数的关系式；（2）通过图象又可知从A返回到B用时1.5小时，可求出速度，于是便知从A到B是顺水，反之逆水，根据速度差可求出水流速度；（3）先求出船到A的时间，求出橡皮艇离开C的距离，然后是追及问题，设出追及时间，列出方程可求出追及时间，进而求出相遇是距C地的距离．【解析】（1）船从B码头返回A码头时的速度27÷3＝9千米/时，。

决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品 专题01 数与式问题(教师版含解析)

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决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品专题01数与式问题【考点1】实数与数轴问题【例1】(2020·贵州铜仁·中考真题)实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是()A ．a ＞bB ．﹣a ＜bC ．a ＞﹣bD ．﹣a ＞b【答案】D【解析】【分析】根据数轴即可判断a 和b 的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解．【详解】 根据数轴可得：0a <，0b >，且a b >，则a b <，选项A 错误；a b >﹣，选项B 错误；a b <﹣，选项C 错误；a b >﹣，选项D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．【变式1-1】(2020·福建中考真题)如图，数轴上两点,M N 所对应的实数分别为,m n ，则m n -的结果可能是( )A ．1-B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】根据数轴确定m 和n 的范围，再根据有理数的加减法即可做出选择．【详解】解：根据数轴可得0＜m ＜1，2-＜n ＜1-，则1＜m n -＜3故选：C【点睛】本题考查的知识点为数轴，解决本题的关键是要根据数轴明确m 和n 的范围，然后再确定m n -的范围即可． 【变式1-2】(2019年枣庄)点O ，A ，B ，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，AC ＝1，OA ＝OB ．若点C 所表示的数为a ，则点B 所表示的数为( )A ．﹣(a +1)B ．﹣(a ﹣1)C ．a +1D ．a ﹣1【分析】根据题意和数轴可以用含a 的式子表示出点B 表示的数，本题得以解决．【解析】∵O 为原点，AC ＝1，OA ＝OB ，点C 所表示的数为a ，∴点A 表示的数为a ﹣1，∴点B 表示的数为：﹣(a ﹣1)，故选：B ．【点拨】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-3】(2020·贵州铜仁·中考真题)实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是( )A ．a ＞bB ．﹣a ＜bC ．a ＞﹣bD ．﹣a ＞b【答案】D【解析】【分析】根据数轴即可判断a 和b 的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解．【详解】根据数轴可得：0a <，0b >，且a b >，则a b <，选项A 错误； a b >﹣，选项B 错误；a b <﹣，选项C 错误；a b >﹣，选项D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．【考点2】整式的求值问题【例2】(2020·湖南岳阳·中考真题)已知221x x +=-，则代数式5(2)x x ++的值为___________．【答案】4【解析】【分析】先根据整式的乘法去括号化简代数式，再将已知式子的值代入求值即可．【详解】25(2)52x x x x ++=++将221x x +=-代入得：原式5(1)4=+-=故答案为：4．【点睛】本题考查了代数式的化简求值，利用整式的乘法对代数式进行化简是解题关键．【变式2-1】(2020·四川甘孜·中考真题)若221m m -=，则代数式2243m m -+的值为________．【答案】5【解析】【分析】把2243m m -+化为22(2)3m m -+的形式，再整体代入求值即可.【详解】解：∵221m m -=，∴222432(2)32135m m m m -+=-+=⨯+=．故答案为：5．【点睛】本题考查了求代数式的值，运用整体的数学思想是解决问题的关键．【变式2-2】(2020·江苏连云港·中考真题)按照如图所示的计算程序，若2x =，则输出的结果是________．【答案】-26【解析】【分析】首先把x=2代入210x -计算出结果，判断是否小于0，若小于0，直到输出的结果是多少，否则将计算结果再次代入计算，直到小于0为止．【详解】解：当x=2时，2210=10260x --=>，故执行“否”，返回重新计算，当x=6时，2210=106260x --=-<，执行“是”，输出结果：-26．故答案为：-26．【点睛】此题主要考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，要熟练掌握．解题关键是理解计算流程．【考点3】分式的求值问题【例3】(2020·四川南充·中考真题)若231x x +=-，则11xx __________． 【答案】2- 【解析】【分析】 11x x 中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再根据231x x +=-，代入化简即可得到结果． 【详解】 解：2211321222(1)211111x x x x x x x x x x x x x故答案为：-2【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式3-1】(2019·四川内江·中考真题)若112m n+=，则分式552m n mn m n +---的值为_____． 【答案】﹣4. 【解析】【分析】 将已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，得到m+n=2mn ，代入所求式子中计算，即可求出值．【详解】112m n+=，可得2m n mn +=，()()5255210mn 2n 2n m n mn m n mn m m n m n m +-+--==---+- ＝﹣4；故答案为﹣4.【点睛】此题考查分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键【变式3-2】(2020·内蒙古赤峰·中考真题)先化简，再求值：221121m m m m m m---÷++，其中m 满足：210m m --=.【答案】2m m+1，1． 【解析】【分析】将分式运用完全平方公式及平方差公式进行化简，并根据m 所满足的条件得出2m =m+1，将其代入化简后的公式，即可求得答案．【详解】 解：原式为22m -1m-1m-m +2m+1m÷ =2(m+1)(m-1)m m-(m+1)m-1⨯ =m m-m+1 =2m m m -m+1m+1+ =2m m+1， 又∵m 满足2m -m-1=0，即2m =m+1，将2m 代入上式化简的结果，∴原式=2m m+1==1m+1m+1． 【点睛】本题主要考察了分式的化简求值、分式的混合运算、完全平方公式及平方差公式的应用，该题属于基础题，计算上的错误应避免．【考点4】二次根式的性质与化简【例4】(2020·四川攀枝花·中考真题)实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简222(1)(1)()a b a b ++---的结果是( )．A ．2-B ．0C ．2a -D ．2b【答案】A【解析】【分析】根据实数a 和b 在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案．【详解】解：由数轴可知-2＜a ＜-1，1＜b ＜2，∴a+1＜0，b-1＞0，a-b ＜0， 222(1)(1)()a b a b +---=11a b a b ++---=()()()11a b a b -++-+-=-2故选A.【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断． 【变式4-1】(2020·内蒙古赤峰·中考真题)估计(123323 ( ) A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小.【详解】()1 23323+⨯=11 233233⨯+⨯=2+6，∵4<6<6.25，∵2<6<2.5，∴4<2+6<5，故选：A.【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的运算法则、会进行无理数的大小估算是解题的关键.【变式4-2】(2019年内江)若|1001﹣a|a，则a﹣10012＝1002．【分析】由二次根式有意义的条件得到a≥1002，据此去绝对值并求得a的值，代入求值即可．【解析】∵a﹣1002≥0，∴a≥1002．由|1001﹣a|a，得﹣1001+a a，∴1001，∴a﹣1002＝10012．∴a﹣10012＝1002．故答案是：1002．【变式4-3】(2020·甘肃金昌·中考真题)已知2(4)5y x x=-+，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应y值的总和是__________．【答案】2032【解析】【分析】先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得．【详解】545y x x x =+=--+当4x <时，4592y x x x =--+=-当4x ≥时，451y x x =--+=则所求的总和为(921)(922)(923)111-⨯+-⨯+-⨯++++75312017=+++⨯2032=故答案为：2032．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．【考点5】数字的变化规律【例5】(2020·四川中考真题)将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为(2)，(4，6)，(8，10，12)，(14，16，18，20)…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m 组第n 个数字，则m +n ＝_____．【答案】65【解析】【分析】根据题目中数字的特点，可知每组的个数依次增大，每组中的数字都是连续的偶数，然后即可求出2020是多少组第多少个数，从而可以得到m 、n 的值，然后即可得到m +n 的值．【详解】解：∵将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为(2)，(4，6)，(8，10，12)，(14，16，18，20)…， ∴第m 组有m 个连续的偶数，∵2020＝2×1010， ∴2020是第1010个偶数，∵1+2+3+…+44＝44(441)2⨯+＝990，1+2+3+…+45＝45(451)2⨯+＝1035， ∴2020是第45组第1010－990＝20个数，∴m ＝45，n ＝20，∴m +n ＝65．故答案为：65．【点睛】本题考查探索规律，认真观察所给数据总结出规律是解题的关键【变式5-1】(2020·广西中考真题)如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区共有8排， 其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是_____．【答案】556个【解析】【分析】先计算前区共有多少个座位和前区最后一排有多少个座位，再计算后区一共有多少个座位即可得解．【详解】∵前区共有8排， 其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，∴前区共有座位数为：20+(20+1×2)+(20+2×2)+(20+3×2)+⋯⋯+(20+7×2) =8×20+(1+2+3+4+5+6+7) ×2=216(个)；∵前区最后一排的座位数为：20+7×2=34， ∴后区的座位数为：34×10=340(个) 因此，该礼堂的座位总数是216+340=556(个)故答案为：556个．【点睛】此题考查了找规律，根据题干得出每一排座位的个数排列规律是解决本题的关键．【变式5-2】(2020·青海中考真题)观察下列各式的规律：①2132341⨯-=-=-；②2243891⨯-=-=-；③235415161⨯-=-=-．请按以上规律写出第4个算式________．用含有字母的式子表示第n 个算式为________．【答案】246524251⨯-=-=-()()2211n n n ⨯+-+=- 【解析】【分析】(1)按照前三个算式的规律书写即可； (2)观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于-1，根据此规律写出即可；【详解】(1)2132341⨯-=-=-，②2243891⨯-=-=-，③235415161⨯-=-=-，④246524251⨯-=-=-；故答案为246524251⨯-=-=-．(2)第n 个式子为：()()2211n n n ⨯+-+=-． 故答案为()()2211n n n ⨯+-+=-．【点睛】本题主要考查了规律性数字变化类知识点，准确分析是做题的关键． 【变式5-3】(2020·湖北咸宁·中考真题)按一定规律排列的一列数：3，23，13-，33，43-，73，113-，183，…，若a ，b ，c 表示这列数中的连续三个数，猜想a ，b ，c 满足的关系式是__________．【答案】bc=a【解析】【分析】根据题目中的数字，可以发现相邻的数字之间的关系，从而可以得到a ，b ，c 之间满足的关系式．【详解】解：∵一列数：3，23，13-，33，43-，73，113-，183-，…，可发现：第n 个数等于前面两个数的商，∵a ，b ，c 表示这列数中的连续三个数，∴bc=a ，故答案为：bc=a．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出a，b，c之间的关系式．【考点6】图形的变化规律【例6】(2020·山东日照·中考真题)用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是( )A．59 B．65 C．70 D．71【答案】C【解析】【分析】由题意观察图形可知，第1个图形共有圆点5+2个；第2个图形共有圆点5+2+3个；第3个图形共有圆点5+2+3+4个；第4个图形共有圆点5+2+3+4+5个；…；则第n个图形共有圆点5+2+3+4+…+n+(n+1)个；由此代入n=10求得答案即可．【详解】解：根据图中圆点排列，当n＝1时，圆点个数5+2；当n＝2时，圆点个数5+2+3；当n＝3时，圆点个数5+2+3+4；当n＝4时，圆点个数5+2+3+4+5，…∴当n＝10时，圆点个数5+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11＝4+(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11)＝1411(111) 2+⨯⨯+ 70=．故选：C．【点睛】本题考查图形的变化规律，注意找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，利用规律解决问题．【变式6-1】(2020·山东济宁·中考真题)小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是( )A．1100B．120C．1101D．2101【答案】D 【解析】【分析】根据图形规律可得第n个图形共有1+2+3+4+...+n=()12n n+个正方体，最下面有n个带“心”字正方体，从而得出第100个图形的情况，再利用概率公式计算即可．【详解】解：由图可知：第1个图形共有1个正方体，最下面有1个带“心”字正方体；第2个图形共有1+2=3个正方体，最下面有2个带“心”字正方体；第3个图形共有1+2+3=6个正方体，最下面有3个带“心”字正方体；第4个图形共有1+2+3+4=10个正方体，最下面有4个带“心”字正方体；...第n个图形共有1+2+3+4+...+n=()12n n+个正方体，最下面有n个带“心”字正方体；则：第100个图形共有1+2+3+4+...+100=()11001002+=5050个正方体，最下面有100个带“心”字正方体； ∴从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是10025050101=， 故选：D ．【点睛】本题考查了图形变化规律，概率的求法，解题的关键是总结规律，得到第100个图形中总正方体的个数以及带“心”字正方体个数．【变式6-2】(2020·内蒙古赤峰·中考真题)一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点O 起跳，落点为A 1，点A 1表示的数为1；第二次从点A 1起跳，落点为OA 1的中点A 2；第三次从A 2点起跳，落点为0A 2的中点A 3；如此跳跃下去……最后落点为OA 2019的中点A 2020.则点A 2020表示的数为__________．【答案】201912【解析】【分析】 先根据数轴的定义、线段中点的定义分别求出点1234,,,A A A A 表示的数，再归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】由题意得：点1A 表示的数为0112=点2A 表示的数为11111222OA == 点3A 表示的数为22111242OA == 点4A 表示的数为33111282OA == 归纳类推得：点n A 表示的数为112n -(n 为正整数) 则点2020A 表示的数为2020120191122-= 故答案为：201912．【点睛】本题考查了数轴的定义、线段中点的定义，根据点1234,,,A A A A 表示的数，正确归纳类推出一般规律是解题关键．【变式6-3】(2020·山东烟台·中考真题)如图，12OA A △为等腰直角三角形，OA 1＝1，以斜边OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3，再以OA 3为直角边作等腰直角三角形OA 3A 4，…，按此规律作下去，则OA n 的长度为( )A ．(2nB ．2n ﹣1C ．(22)nD ．(22)n ﹣1 【答案】B【解析】【分析】 利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案．【详解】解：∵△OA 1A 2为等腰直角三角形，OA 1＝1，∴OA 22∵△OA 2A 3为等腰直角三角形，∴OA 3＝2＝2(2)；∵△OA 3A 4为等腰直角三角形，∴OA 4＝23(2)．∵△OA 4A 5为等腰直角三角形，∴OA 5＝4＝4(2)，……∴OA n的长度为(2)n﹣1，故选：B．【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．1．(2020·山东临沂·中考真题)如图，数轴上点A对应的数是32，将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，则点B对应的数是( )A．12-B．2-C．72D．12【答案】A【解析】【分析】数轴上向左平移2个单位，相当于原数减2，据此解答. 【详解】解：∵将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，则点B对应的数为：32-2=12-，故选A.【点睛】本题考查了数轴，利用了数轴上的点右移加，左移减，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．2．(2020·广西玉林·中考真题)观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10,12，…；若最后三个数之和是3000，则n等于()A．499 B．500 C．501 D．1002【答案】C【解析】【分析】根据题意列出方程求出最后一个数,除去一半即为n 的值．【详解】设最后三位数为x －4,x －2,x ．由题意得: x －4+x －2+x =3000,解得x =1002．n =1002÷2=501．故选C ．【点睛】本题考查找规律的题型,关键在于列出方程简化步骤．3．(2020·内蒙古呼伦贝尔·中考真题)已知实数a 在数轴上的对应点位置如图所示，则化简2|1|(2)a a ---的结果是( )A ．32a -B ．1-C ．1D ．23a - 【答案】D【解析】【分析】根据数轴上a 点的位置，判断出(a−1)和(a−2)的符号，再根据非负数的性质进行化简．【详解】解：由图知：1＜a ＜2，∴a−1＞0，a−2＜0，原式＝a−1-2a＝a−1＋(a−2)＝2a−3．故选D ．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a−1＞0，a−2＜0是解题关键．4．(2020·北京中考真题)实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b 满足a b a -<<，则b 的值可以是( )A ．2B ．-1C ．-2D ．-3【答案】B【解析】【分析】 先根据数轴的定义得出a 的取值范围，从而可得出b 的取值范围，由此即可得．【详解】由数轴的定义得：12a <<21a ∴-<-<-2a ∴<又a b a -<<b ∴到原点的距离一定小于2观察四个选项，只有选项B 符合故选：B ．【点睛】本题考查了数轴的定义，熟记并灵活运用数轴的定义是解题关键．5．(2020·湖南娄底·中考真题)下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为( )A ．135B ．153C ．170D ．189【答案】C【解析】【分析】 由观察发现每个正方形内有：224,236,248,⨯=⨯=⨯=可求解b ，从而得到a ，再利用,,a b x 之间的关系求解x 即可．【详解】解：由观察分析：每个正方形内有：224,236,248,⨯=⨯=⨯=218,b ∴=9,b ∴=由观察发现：8,a =又每个正方形内有：2419,36220,48335,⨯+=⨯+=⨯+=18,b a x ∴+=1898170.x ∴=⨯+=故选C ．【点睛】本题考查的是数字类的规律题，掌握由观察，发现，总结，再利用规律是解题的关键．6．(2020·云南中考真题)按一定规律排列的单项式：a ，2a -，4a ，8a -，16a ，32a -，…，第n 个单项式是( )A ．()12n a --B ．()2n a -C ．12n a -D ．2n a【答案】A【解析】【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面(符号、系数的绝对值、指数)总结规律，发现规律进行概括即可得到答案．【详解】 解： a ，2a -，4a ，8a -，16a ，32a -，…，可记为：()()()()()()0123452,2,2,2,2,2,,a a a a a a ------•••∴ 第n 项为：()12.n a --故选A ．【点睛】 本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．7．(2020·内蒙古呼和浩特·中考真题)下列运算正确的是( )A12==± B ．()325ab ab =C ．22422()xy xy y x y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫--+++=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ D ．223152845c a c c ab ab a-÷=- 【答案】C【解析】【分析】分别根据二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则判断即可.【详解】解：A12===，故选项错误； B 、()3236ab a b =，故选项错误；C 、2422xy xy y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫--+++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=()()()22422x y x y y x xy xy y x y x y y x y x ⎛⎫-+-⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ =()()22x y x y x y y x+-⋅--- =()2x y +，故选项正确；D 、22222315348481510c a c c ab c ab ab ab a c a-÷=⨯=--，故选项错误； 故选C.【点睛】本题考查了二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则，解题的关键是学会计算，掌握运算法则.8．(2020·湖北黄冈·中考真题)计算：221yx x y x y ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭的结果是____________． 【答案】1x y- 【解析】 【分析】先计算括号内分式的减法、将被除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得． 【详解】 解：221y x x y x y ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭()()yx y x x y x y x y x y ⎛⎫+=÷- ⎪+-++⎝⎭()()yyx y x y x y=÷+-+ ()()yx yx y x y y+=⋅+- 1x y=-， 故答案为：1x y-． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 9．(2020·四川成都·中考真题)已知73a b =-，则代数式2269a ab b ++的值为_________． 【答案】49 【解析】 【分析】先将条件的式子转换成a +3b =7，再平方即可求出代数式的值． 【详解】解：∵73a b =-， ∴37a b +=，∴()2222693749a ab b a b ++=+==，故答案为：49． 【点睛】本题考查完全平方公式的简单应用，关键在于通过已知条件进行转换． 10．(2020·山东临沂·中考真题)若1a b +=，则2222a b b -+-=________． 【答案】-1 【解析】 【分析】将原式变形为()()22a b a b b +-+-，再将1a b +=代入求值即可. 【详解】解：2222a b b -+- =()()22a b a b b +-+- 将1a b +=代入， 原式=22a b b -+- =2a b +- =1-2 =-1故答案为：-1. 【点睛】本题考查了代数式求值，其中解题的关键是利用平方差公式将原式变形为()()22a b a b b +-+-. 11．(2020·山东烟台·中考真题)按如图所示的程序计算函数y 的值，若输入的x 值为﹣3，则输出y 的结果为_____．【答案】18 【解析】 【分析】根据﹣3＜﹣1确定出应代入y ＝2x 2中计算出y 的值． 【详解】解：∵﹣3＜﹣1，∴x ＝﹣3代入y ＝2x 2，得y ＝2×9＝18， 故答案为：18． 【点评】本题主要考查函数值的计算，理解题意是前提条件，熟练掌握函数值的定义是解题的关键．12．(2020·山西中考真题)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形按此规律摆下去，第n 个图案有_______个三角形(用含n 的代数式表示)．【答案】()31n + 【解析】 【分析】由图形可知第1个图案有3+1=4个三角形，第2个图案有3×2+ 1=7个三角形，第3个图案有3×3+ 1=10个三角形...依此类推即可解答．【详解】解：由图形可知：第1个图案有3+1=4个三角形， 第2个图案有3×2+ 1=7个三角形， 第3个图案有3×3+ 1=10个三角形， ...第n 个图案有3×n+ 1=(3n+1)个三角形． 故答案为(3n+1)． 【点睛】本题考查图形的变化规律，根据图形的排列、归纳图形的变化规律是解答本题的关键．13．(2020·海南中考真题)海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图中有_____________个菱形， 第n 个图中有____________个菱形(用含n 的代数式表示)．【答案】41 2221n n -+ 【解析】 【分析】根据第1个图形有1个菱形，第2个图形有2×2×1+1=5个菱形，第3个图形有2×3×2+1=13个菱形，第4个图形有2×4×3+1=25个菱形，据此规律求解即可. 【详解】解：∵第1个图形有1个菱形， 第2个图形有2×2×1+1=5个菱形， 第3个图形有2×3×2+1=13个菱形， 第4个图形有2×4×3+1=25个菱形， ∴第5个图形有2×5×4+1=41个菱形， 第n 个图形有2×n ×(n-1)+1=2221n n -+个菱形.故答案为：41，2221n n -+. 【点睛】本题考查了规律型—图形类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．14．(2020·黑龙江绥化·中考真题)在函数15y x =+-中，自变量x 的取值范围是_________． 【答案】3x ≥且5x ≠ 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围． 【详解】根据题意得：301050x x x -≥⎧⎪+>⎨⎪-≠⎩，解得：3x ≥且5x ≠． 故答案为：3x ≥且5x ≠． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．15．(2020·山东安丘·初三三模)观察下列各式：11111122⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭，111112323⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭，111113434⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭，请利用你发现的规律，计算：2222222211111111111112233420182019+++++++++⋯+++，其结果为____． 【答案】201820182019． 【解析】 【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可． 【详解】2222222211111111111112233420182019++++++++++++ 11111111122320182019⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111201812233420182019=+-+-+-++- 201820182019=，故答案为：201820182019．【点睛】本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题 的关键．16．(2020·黑龙江大庆·中考真题)如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为_________．【答案】440 【解析】 【分析】先观察图形得出前四个图中黑色棋子的个数，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】观察图形可知，黑色棋子的个数变化有以下两条规律：(1)正多边形的各顶点均需要1个黑色棋子(2)从第1个图开始，每个图的边上黑色棋子的个数变化依次是0,1,2,3,即第1个图需要黑色棋子的个数为330+⨯ 第2个图需要黑色棋子的个数为441+⨯第3个图需要黑色棋子的个数为552+⨯ 第4个图需要黑色棋子的个数为663+⨯归纳类推得：第n 个图需要黑色棋子的个数为(2)(2)(1)(2)n n n n n +++-=+，其中n 为正整数 则第20个图需要黑色棋子的个数为20(202)440⨯+= 故答案为：440． 【点睛】本题考查了整式的图形规律探索题，依据图形，正确归纳类推出一般规律是解题关键．17．(2020·辽宁鞍山·中考真题)先化简，再求值：2344111x x x x x ++⎛⎫--÷⎪++⎝⎭，其中2x =．【答案】22x x -+，1-【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x 的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式=()()()21131112x x x x x x +-⎡⎤+-⨯⎢⎥+++⎣⎦=()()()211222x x x x x ++⨯+-+=22x x -+当2x =时，原式1-【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．(2020·山东菏泽·中考真题)先化简，再求值：21242244a a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中a 满足2230a a +-=． 【答案】2a 2+4a,6 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再代值计算即可求出值． 【详解】解：原式=2224124()+22(2)a a a a a a a +--÷++ =22284+2(2)a a a a a --÷+ =22(4)(+2)+24a a a a a -⨯- =2a(a+2) =2a 2+4a.∵2230a a +-=， ∴a 2+2a=3.∴原式=2(a 2+2a )=6. 【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．19．(2020·贵州黔南·中考真题)在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点12348A A A A ⋯、、分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x 与通电话次数y 之间的关系用如图模型表示：(1)填写上图中第四个图中y 的值为_______，第五个图中y 的值为_______．(2)通过探索发现，通电话次数y 与该班级人数x 之间的关系式为________，当48x =时，对应的y =________．(3)若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？ 【答案】(1)10，15；(2)(1)2x x y -=，1128；(3)20 【解析】 【分析】(1)观察图形，可以找出第四和第五个图中的y 值； (2)根据y 值随x 值的变化，可找出(1)2x x y -=，再代入48x =可求出当48x =时对应的y 值； (3)根据(2)的结论结合九年级1班全体女生相互之间共通话190次，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：(1)观察图形，可知：第四个图中y 的值为10，第五个图中y 的值为15． 故答案为：10；15．(2)∵21324354651,3,6,10,1522222⨯⨯⨯⨯⨯=====， ∴(1)2x x y -=，当48x =时，48(481)11282y ⨯-==． 故答案为：(1)2x x y -=；1128．(3)依题意，得：(1)1902x x -=， 化简，得：23800x x --=，解得：1220,19x x ==-(不合题意，舍去)．答：该班共有20名女生． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及图形的变化规律，观察图形找出变化规律是解题的关键． 20．(2019·江苏徐州·中考真题)(阅读理解)用1020cm cm 的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为20cm 的图案．已知长度为10cm 、20cm 、30cm 的所有图案如下：(尝试操作)(1)如图，将小方格的边长看作10cm ，请在方格纸中画出长度为40cm 的所有图案．(归纳发现)(2)观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整． 图案的长度10cm 20cm 30cm 40cm50cm60cm所有不同图案的个数123【答案】(1)见解析；(2)5，8，13. 【解析】 【分析】(1)根据已知条件作图可知40cm 时，所有图案个数5个；(2)推出长度为50cm 时的所有图案，继而根据已知猜想60cm 时所有图案的个数即可. 【详解】 (1)如图：根据作图可知40cm 时，所有图案个数5个；(2)50cm时，如图所示，所有图案个数8个；同理，60cm时，所有图案个数13个，故答案为5，8，13.【点睛】本题考查应用与设计作图，规律探究；能够根据条件作图图形，探索规律是解题的关键．。

精品资料——押题卷02-决胜2020年中考数学押题卷(全国通用)(解析版).docx

精品资料——押题卷02-决胜2020年中考数学押题卷(全国通用)(解析版).docx

押题卷02一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的）b= —那么直角坐标系中点A （a, b ）的位置在（ V2-1 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：C 解析：fl =-l-V2 <0, Z?=V2+l>0.I A （a, b ）在第二象限选 C2.下列四个立体图形，左视图与其它三个不同的是（ ）答案：B解析：A 左视图是三角形B 左视图是矩形C 左视图是三角形D 左视图是三角形选 B3. 三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程寸-6*+8=0的一个根，则这个三角形的 周长为（）A 11B 12C 11 或 13D 13【答案】D【解析】•.•/-6了+8=0 中 a=l , b=-6, c=8 ,；.A=（-6）2-4x 1x8=4解得户2或x=4 .1.如果a= 1 1-V2当x=2时，2+3<6 ,构不成三角形，舍去;当x=4时,符合题意，这个三角形的周长为3+4+6=13.故选D.4.在。

中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D,连结CD.如图，若点Q与圆心。

不重合，ZBAC=25° ,则ZDCA的度数（）A. 35°B.40°C. 45°D.65°【答案】B【解析】连接BCBC ,■: AB是直径，ZACB=90° ,V ZBAC=25° ,.I Z B=90°- Z BAC=90°-25 °=65 ° ,根据翻折的性质，弧AC所对的圆周角为ZB,弧ABC所对的圆周角为ZAOC, ZADC+ZB= 180° ,:.ZB=ZCDB=65° ,ZDCA^ZCDB-ZBAC=65°-25°=40° .故选B.5.如图，正方形ABCZ）的边长为2, E是3。

决胜2020年中考数学压轴题全揭秘——以三角形为载体的几何综合问题(含答案)

决胜2020年中考数学压轴题全揭秘——以三角形为载体的几何综合问题(含答案)

以三角形为载体的几何综合问题【考点1】关于三角形角度计算与证明的综合问题【例1】（2020•衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（）A．60°B．65°C．75°D．80°【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝75°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．【解析】∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．故选：D．点评：本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．【例2】（2020•杭州）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知PA＝PB，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠BAP，根据三角形的外角性质即可证得APC＝2∠B；（2）根据题意可知BA＝BQ，根据等腰三角形的性质可得∠BAQ＝∠BQA，再根据三角形的内角和公式即可解答．【解析】（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，∴PA＝PB，∴∠B＝∠BAP，∵∠APC＝∠B+∠BAP，∴∠APC＝2∠B；（2）根据题意可知BA＝BQ，∴∠BAQ＝∠BQA，∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，∴∠BQA＝2∠B，∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，∴∠B ＝36°．点评：本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，难度适中． 【考点2】关于三角形的线段计算综合问题【例3】（2020•绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（ ）A ．245B ．325C ．12√3417D ．20√3417【分析】设DE ＝x ，则AD ＝8﹣x ，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE ，再由勾股定理求出CD ，过点C 作CF ⊥BG 于F ，由△CDE ∽△CBF 的比例线段求得结果即可． 【解析】过点C 作CF ⊥BG 于F ，如图所示：设DE ＝x ，则AD ＝8﹣x ，根据题意得：12（8﹣x +8）×3×3＝3×3×6，解得：x ＝4， ∴DE ＝4， ∵∠E ＝90°，由勾股定理得：CD =2+CE 2=√42+32=5， ∵∠BCE ＝∠DCF ＝90°，∵∠DEC ＝∠BFC ＝90°， ∴△CDE ∽△CBF ， ∴CE CF =CD CB ，即3CF=58，∴CF =245． 故选：A ．点评：本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．【例4】（2020•浙江自主招生）如图，等边三角形ABC 中，AO 是∠BAC 的平分线，D 为AO 上一点，以CD 为一边且在CD 下方作等边三角形CDE ，连结BE ，延长BE 至点Q ，P 为BQ 上一点，连结CP ，CQ ，使CP ＝CQ ＝5，若BC ＝8时，则PQ 的长为 6 ．【分析】根据SAS 即可证得△ACD ≌△BCE ，过点C 作CH ⊥BQ 于H ，由等边三角形的性质，即可求得∠DAC ＝30°，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ 的长． 【解析】过点C 作CH ⊥BQ 于H ，∵△ABC 是等边三角形，AO 是角平分线，∵△ABC与△DCE是等边三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD+∠DCB＝∠ECB+∠DCB＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）；∴∠PBC＝∠DAC＝30°，∴在Rt△BHC中，CH=12BC=12×8＝4，∵PC＝CQ＝5，CH＝4，∴PH＝QH＝3，∴PQ＝6．故答案为：6．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形、等边三角形以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．【考点3】全等三角形的计算与证明【例5】（2020•温州）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED 的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF．（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝2，求得AB＝AE+BE＝1+2＝3，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）；（2）解：∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝2，∴AB＝AE+BE＝1+2＝3，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AC＝AB＝3．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【考点4】三角形与旋转变换综合问题【例6】（2020•绍兴）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10．（1）在旋转过程中，①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长．②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．【分析】（1）①分两种情形分别求解即可．②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，根据AM2＝AD2﹣DM2，计算即可，当∠ADM＝90°时，根据AM2＝AD2+DM2，计算即可．（2）连接CD．首先利用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性质证明BD2＝CD1即可．【解析】（1）①AM＝AD+DM＝40，或AM＝AD﹣DM＝20．②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，AM2＝AD2﹣DM2＝302﹣102＝800，∴AM＝20√2或（﹣20√2舍弃）．当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2+DM2＝302+102＝1000，∴AM＝10√10或（﹣10√10舍弃）．综上所述，满足条件的AM的值为20√2或10√10．（2）如图2中，连接CD．由题意：∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30√2，∵∠AD2C＝135°，∴∠CD2D1＝90°，∴CD1=√CD22+D1D22=30√6，∵∠BAC＝∠A1AD2＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD2＝∠D2AD1﹣∠CAD2，∴∠BAD2＝∠CAD1，∵AB＝AC，AD2＝AD1，∴△BAD2≌△CAD1（SAS），∴BD2＝CD1＝30√6．点评：本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【考点5】以三角形为载体的几何综合探究问题【例7】（2018•舟山）已知，△ABC中，∠B＝∠C，P是BC边上一点，作∠CPE＝∠BPF，分别交边AC，AB 于点E，F．（1）若∠CPE＝∠C（如图1），求证：PE+PF＝AB．（2）若∠CPE≠∠C，过点B作∠CBD＝∠CPE，交CA（或CA的延长线）于点D．试猜想：线段PE，PF和BD之间的数量关系，并就∠CPE＞∠C情形（如图2）说明理由．（3）若点F与A重合（如图3），∠C＝27°，且PA＝AE．①求∠CPE的度数；②设PB＝a，PA＝b，AB＝c，试证明：b=a2−c2 c．【分析】（1）只要证明PF＝BF，PE＝AF即可解决问题；（2）结论：BD＝PE+PF．如图1中，作BG∥CD交EP的延长线于G．只要证明BD＝EG，PF＝PG即可解决问题；（3）①设∠CPE＝∠BPF＝x，根据三角形内角和定理构建方程即可解决问题；②延长BA到M，使得AM＝AP．连接PM．由△ABP∽△PBM，可得BPAB =BMBP，推出PB2＝BA•BM，又PB＝a，PA＝AM＝b，AB＝c，可得a2＝c（b+c）解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵∠B＝∠C，∠CPE＝∠BPF，∠CPE＝∠C，∴∠B＝∠BPF＝∠CPE，∠BPF＝∠C，∴PF＝BF，PE∥AF，PF∥AE，∴四边形AEPF是平行四边形，∴PE＝AF，∴PE+PF＝AF+BF＝AB．（2）结论：BD＝PE+PF．理由：如图1中，作BG∥CD交EP的延长线于G．∴∠ABC＝∠C＝∠CBG，∵∠CPE＝∠BPF，∴∠BPF＝∠CPE＝∠BPG，∵BP＝BP，∴△FBP≌△GBP（ASA），∴PF＝PG，∵∠CBD＝∠CPE，∴PE∥BD，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD＝EG＝PG+PE＝PF+PE．（3）①设∠CPE＝∠BPF＝x，∵∠C＝27°，PA＝AE，∴∠APE＝∠PEA＝∠C+∠CPE＝27°+x，∵∠BPA+∠APE+∠CPE＝180°，∴x+x+27°+x＝180°，∴x＝51°，即∠CPE＝51°．②延长BA到M，使得AM＝AP．连接PM．∵∠C＝27°，∠BPA＝∠CPE＝51°，∴∠BAP＝180°﹣27°﹣51°＝102°＝∠M+∠APM，∵AM＝AP，∴∠M＝∠APM＝51°，∴∠M＝∠BPA，∵∠B＝∠B，∴△ABP∽△PBM，∴BPAB =BMBP，∴PB2＝BA•BM，∵PB＝a，PA＝AM＝b，AB＝c，∴a2＝c（b+c），∴b=a2−c2 c．点评：本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．【例8】（2018•台州）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD＝CE．（1）如图1，求证：∠CAE＝∠CBD；（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC＝2√2，CE＝1，求△CGF的面积．【分析】（1）直接判断出△ACE≌△BCD即可得出结论；（2）先判断出∠BCF＝∠CBF，进而得出∠BCF＝∠CAE，即可得出结论；（3）先求出BD＝3，进而求出CF=32，同理：EG=32，再利用等面积法求出ME，进而求出GM，最后用面积公式即可得出结论．【解析】（1）在△ACE和△BCD中，{AC=BC∠ACB=∠ACB=90°CE=CD，∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD；（2）如图2，记AE与CF的交点为M，在Rt△BCD中，点F是BD的中点，∴CF＝BF，∴∠BCF＝∠CBF，由（1）知，∠CAE＝∠CBD，∴∠BCF＝∠CAE，∴∠CAE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝90°，∴∠AMC＝90°，∴AE⊥CF；（3）如图3，记AE与CF的交点为M，∵AC＝2√2，∴BC＝AC＝2√2，∵CE＝1，∴CD＝CE＝1，在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD=√CD2+BC2=3，∵点F是BD中点，∴CF＝DF=12BD=32，同理：EG=12AE=32，连接EF，过点F作FH⊥BC，∵∠ACB＝90°，点F是BD的中点，∴FH=12CD=12，∴S △CEF =12CE •FH =12×1×12=14， 由（2）知，AE ⊥CF ，∴S △CEF =12CF •ME =12×32ME =34ME ，∴34ME =14， ∴ME =13，∴GM ＝EG ﹣ME =32−13=76， ∴S △CFG =12CF •GM =12×32×76=78． 点评：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，勾股定理，作出辅助线求出△CFG 的边CF 上的是解本题的关键．【考点5】以三角形为载体的几何阅读创新题【例9】（2018•绍兴）数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC 中，∠A ＝110°，求∠B 的度数．（答案：35°）例2 等腰三角形ABC 中，∠A ＝40°，求∠B 的度数，（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式 等腰三角形ABC 中，∠A ＝80°，求∠B 的度数．（1）请你解答以上的变式题．（2）解（1）后，小敏发现，∠A 的度数不同，得到∠B 的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC 中，设∠A ＝x °，当∠B 有三个不同的度数时，请你探索x 的取值范围．【分析】（1）由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论；（2）分两种情况：①90≤x ＜180；②0＜x ＜90，结合三角形内角和定理求解即可．【解析】（1）若∠A 为顶角，则∠B ＝（180°﹣∠A ）÷2＝50°；若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B ＝180°﹣2×80°＝20°；若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B ＝80°；故∠B ＝50°或20°或80°；（2）分两种情况：①当90≤x ＜180时，∠A 只能为顶角，∴∠B 的度数只有一个；②当0＜x ＜90时，若∠A 为顶角，则∠B ＝（180−x 2）°；若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B ＝（180﹣2x ）°；若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B ＝x °．当180−x2≠180﹣2x 且180﹣2x ≠x 且180−x2≠x ，即x ≠60时，∠B 有三个不同的度数．综上所述，可知当0＜x ＜90且x ≠60时，∠B 有三个不同的度数．点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．一．选择题（共5小题）1．（2020•衢州模拟）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章中有一题：“今有开门去阃（k ǔn ）一尺，不合二寸，问门广几何？”大意是说：如图，推开双门（AD 和BC ），门边缘D ，C 两点到门槛AB 的距离为1尺（1尺＝10寸），双门间的缝隙CD 为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）AB 为（ ）A ．103寸B ．102寸C ．101寸D ．100寸【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：设OA ＝OB ＝AD ＝BC ＝r ，过D 作DE ⊥AB 于E ，则DE ＝10，OE =12CD ＝1，AE ＝r ﹣1．在Rt △ADE 中， AE 2+DE 2＝AD 2，即（r ﹣1）2+102＝r 2，解得2r ＝101．故门的宽度（两扇门的和）AB 为101寸．故选：C ．2．（2020•拱墅区校级一模）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，∠ADC ＝3∠BAD ，BD ＝4，DC ＝3．则AB 的值为（ ）A ．5+3√2B ．2+2√15C ．7√2D ．√113【分析】延长CB 到E ，使得BE ＝BA ．设BE ＝AB ＝a ．利用相似三角形的性质，勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，延长CB 到E ，使得BE ＝BA ．设BE ＝AB ＝a ．∵BE ＝BA ，∴∠E ＝∠BAE ，∵∠ADC ＝∠ABD +∠BAD ＝2∠E +∠BAD ＝3∠BAD ，∴∠BAD ＝∠E ，∵∠ADB ＝∠EDA ，∴△ADB ∽△EDA ，∴AD ED=DB AD ， ∴AD 2＝4（4+a ）＝16+4a ，∵AC 2＝AD 2﹣CD 2＝AB 2﹣BC 2，∴16+4a ﹣32＝a 2﹣72，解得a ＝2+2√15或2﹣2√15（舍弃）．∴AB ＝2+2√15，故选：B ．3．（2020•温州模拟）如图，已知∠ACB ＝∠DBC ，添加以下条件，不能判定△ABC ≌△DCB 的是（ ）A ．∠ABC ＝∠DCB B ．∠ABD ＝∠DCAC ．AC ＝DBD ．AB ＝DC【分析】根据全等三角形的判定定理 逐个判断即可．【解答】解：A 、∵在△ABC 和△DCB 中{∠ABC =∠DCBBC =CB ∠ACB =∠DBC∴△ABC ≌△DCB （ASA ），故本选项不符合题意； B 、∵∠ABD ＝∠DCA ，∠DBC ＝∠ACB ，∴∠ABD +∠DBC ＝∠ACD +∠ACB ，即∠ABC ＝∠DCB ，∵在△ABC 和△DCB 中{∠ABC =∠DCBBC =CB ∠ACB =∠DBC∴△ABC ≌△DCB （ASA ），故本选项不符合题意； C 、∵在△ABC 和△DCB 中{BC =CB ∠ACB =∠DBC AC =DB∴△ABC ≌△DCB （SAS ），故本选项不符合题意；D 、根据∠ACB ＝∠DBC ，BC ＝BC ，AB ＝DC 不能推出△ABC ≌△DCB ，故本选项符合题意；故选：D ．4．（2020•周村区一模）如图，在△ABC 中，∠B ＝50°，∠C ＝30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN 交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为（ ）A．50°B．60°C．70°D．80°【分析】根据内角和定理求得∠BAC＝95°，由中垂线性质知DA＝DC，即∠DAC＝∠C＝30°，从而得出答案．【解答】解：在△ABC中，∵∠B＝50°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，由作图可知MN为AC的中垂线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°，故选：C．5．（2020•黄岩区模拟）如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB 与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB ＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行一一判断，从而求解．【解答】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，∴∠PAB=12∠CAB，∠PBE=12∠CBE，∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，∠PBE＝∠PAB+∠APB，∴∠ACB＝2∠APB；故①正确；过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，∴PM＝PN＝PS，∴PC 平分∠BCD ，∵S △PAC ：S △PAB ＝（12AC •PN ）：（12AB •PM ）＝AC ：AB ；故②正确； ∵BE ＝BC ，BP 平分∠CBE∴BP 垂直平分CE （三线合一），故③正确；∵PG ∥AD ，∴∠FPC ＝∠DCP∵PC 平分∠DCB ，∴∠DCP ＝∠PCF ，∴∠PCF ＝∠CPF ，故④正确．故选：D ．二．填空题（共4小题）6．（2020•温州模拟）如图，已知OP 平分∠AOB ，CP ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ．CP =254，PD ＝6．如果点M 是OP 的中点，则DM 的长是 5 ．【分析】由角平分线的性质得出∠AOP ＝∠BOP ，PC ＝PD ＝6，∠PDO ＝∠PEO ＝90°，由勾股定理得出CE =√CP 2−PE 2=74，由平行线的性质得出∠OPC ＝∠AOP ，得出∠OPC ＝∠BOP ，证出CO ＝CP =254，得出OE ＝CE +CO ＝8，由勾股定理求出OP =√OE 2+PE 2=10，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．【解答】解：∵OP 平分∠AOB ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，∴∠AOP ＝∠BOP ，PC ＝PD ＝6，∠PDO ＝∠PEO ＝90°，∴CE =√CP 2−PE 2=√(254)2−62=74，∵CP ∥OA ，∴∠OPC ＝∠AOP ，∴∠OPC ＝∠BOP ，∴OE ＝CE +CO =74+254=8， ∴OP =√OE 2+PE 2=√82+62=10，在Rt △OPD 中，点M 是OP 的中点，∴DM =12OP ＝5；故答案为：5．7．（2020•温岭市校级一模）在半径为2的⊙O 中，弦AB ＝2√2，连接OA ，OB ．在直线OB 上取一点K ，使tan ∠BAK =12，则△OAK 的面积为 23或6 ．【分析】由勾股定理的逆定理得出△AOB 是等腰直角三角形，得出∠OBA ＝45°，分两种情况：①点K 在线段OB 上时；②点K 在线段OB 延长线上时；由三角函数定义和等腰直角三角形的性质求出BK ，得出OK ，再由三角形面积公式即可得出答案．【解答】解：∵OA ＝OB ＝2，AB ＝2√2，∴OA 2+OB 2＝AB 2，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴∠OBA ＝45°，分两种情况：①点K 在线段OB 上时，如图1所示：作KD ⊥AB 于D ，则DB ＝DK ，∵tan ∠BAK =12，∴DK AD =12， ∴AD ＝2DK ＝2DB ，∴DK =13AB =2√23，∴OK ＝OB ﹣BK =23，∴S △OAK =12OA •OK =12×2×23=23； ②点K 在线段OB 延长线上时，如图2所示：作KD ⊥AB 于D ，则DB ＝DK ，∵tan ∠BAK =12，∴DK AD =12， ∴AD ＝2DK ，∵DK ＝DB ，∴DB ＝AB ＝2√2，∴BK =√2DB ＝4，∴OK ＝OB +BK ＝6，∴S △OAK =12OA •OK =12×2×6＝6；故答案为：23或6．8．（2020•萧山区一模）如图，CE 、BF 分别是△ABC 的高线，连接EF ，EF ＝6，BC ＝10，D 、G 分别是EF 、BC 的中点，则DG 的长为 4 ．【分析】连接EG、FG，根据直角三角形的性质得到EG＝FG=12BC＝5，根据等腰三角形的性质求出ED，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：连接EG、FG，∵CE，BF分别是△ABC的高线，∴∠BEC＝90°，∠BFC＝90°，∵G是BC的中点，∴EG＝FG=12BC＝5，∵D是EF的中点，∴ED=12EF＝3，GD⊥EF，由勾股定理得，DG=√GE2−DE2=4，故答案为：4．9．（2020•海宁市二模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于点E，EA 平分∠BED．（1）CD的长是 2 ；（2）当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是5+√3．【分析】（1）如图，延长DA ，CB 交于点H ，由“ASA ”可证△ADE ≌△AHE ，可得AH ＝AD ，由平行线分线段成比例可求解；（2）如图2中，作AH ⊥CD 于H ，利用垂径定理证明以及线段的垂直平分线的性质证明△ADC 是等边三角形即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，延长DA ，CB 交于点H ，∵EA 平分∠BED ，∴∠AEH ＝∠AED ，且AE ＝AE ，∠EAH ＝∠EAD ＝90°，∴△ADE ≌△AHE （ASA ）∴AH ＝AD ，∵∠ABC ＝∠BCD ＝90°，∴AB ∥CD ， ∴AB CD =AHDH ，且AB ＝1，AH ＝AD =12HD ， ∴CD ＝2，故答案为：2．（2）如图2中，作AH ⊥CD 于H ，∵∠DAE ＝∠DCE ＝90°，∴A，D，C，E四点共圆，设圆心为O，则点O是线段DE的中点，∵AF＝CF，∴DE⊥AC，∴DA＝DC，∵∠ABC＝∠BCH＝∠AHC＝90°，∴四边形ABCH是矩形，∴CH＝AB＝1，∵CD＝2，∴CH＝HD＝1，∵AH⊥CD，∴AD＝AC，∴AD＝CD＝AC＝2，∴BC=√AC2−AB2=√22−12=√3，∴四边形ABCD的周长为2+2+1+√3=5+√3．故答案为5+√3．三．解答题（共11小题）10．（2020•拱墅区校级一模）在△ABC和△DBE中，CA＝CB，EB＝ED，点D在AC上．（1）如图1，若∠ABC＝∠DBE＝60°，求证：∠ECB＝∠A；（2）如图2，设BC与DE交于点F．当∠ABC＝∠DBE＝45°时，求证：CE∥AB；（3）在（2）的条件下，若tan∠DEC=12时，求EFDF的值．【分析】（1）根据SAS可证明△ABD≌△CBE．得出∠A＝∠ECB；（2）得出△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，证明△ABD∽△CBE，则∠BAD＝∠BCE＝45°，可得出结论；（3）过点D作DM⊥CE于点M，过点D作DN∥AB交CB于点N，设DM＝MC＝a，得出DN＝2a，CE＝a，证明△CEF ∽△DNF ，可得出答案．【解答】（1）证明：∵CA ＝CB ，EB ＝ED ，∠ABC ＝∠DBE ＝60°，∴△ABC 和△DBE 都是等边三角形，∴AB ＝BC ，DB ＝BE ，∠A ＝60°．∵∠ABC ＝∠DBE ＝60°，∴∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ≌△CBE （SAS ）．∴∠A ＝∠ECB ；（2）证明：∵∠ABC ＝∠DBE ＝45°，CA ＝CB ，EB ＝ED ，∴△ABC 和△DBE 都是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝45°， ∴AB BC =√2，DB BE =√2， ∴ABBC =DBBE ，∵∠ABC ＝∠DBE ，∴∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ∽△CBE ，∴∠BAD ＝∠BCE ＝45°，∵∠ABC ＝45°，∴∠ABC ＝∠BCE ，∴CE ∥AB ；（3）解：过点D 作DM ⊥CE 于点M ，过点D 作DN ∥AB 交CB 于点N ，∵∠ACB ＝90°，∠BCE ＝45°，∴∠DCM ＝45°，∴∠MDC ＝∠DCM ＝45°，∴DM ＝MC ，设DM＝MC＝a，∴DC=√2a，∵DN∥AB，∴△DCN为等腰直角三角形，∴DN=√2DC＝2a，∵tan∠DEC=DMME=12，∴ME＝2DM，∴CE＝a，∴CEDN =a2a=12，∵CE∥DN，∴△CEF∽△DNF，∴EFDF =CEDN=12．11．（2020•天台县模拟）某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1、图2、图3中，AF、BE是△ABC 的中线，AF⊥BE于点P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”．【特例探究】（1）如图1，当∠PAB＝45°，AB＝6√2时，AC＝6√5，BC＝6√5；如图2，当sin∠PAB=12，AB＝4时，AC＝2√13，BC＝2√7；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想AB2、BC2、AC2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，在△ABC中，AB＝4√3，BC＝2√5，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，连结DE并延长至G，使得GE＝DE，连结BG，当BG⊥AC于点M时，求GF的长．【分析】（1）如图1，由等腰直角三角形的性质得到AP＝BP＝6，根据三角形中位线的性质和平行线分线段成比例定理可得PE＝PF＝3，利用勾股定理可得AC和BC的长；如图2，根据特殊三角函数值可得∠BAP ＝30°，计算PB和AP的长，同理由中线的性质和勾股定理可得结论；（2）设PF＝m，PE＝n则AP＝2m，PB＝2n，根据勾股定理分别列等式，可得结论；（3）如图4，作辅助线，证明四边形EFCG是平行四边形，得Q是FG的中点，根据中垂三角形的定义可知：△FCG是中垂三角形，利用（2）中三边的关系可得GF的长．【解答】（1）解：如图1，∵AF⊥BE，∴∠APB＝∠APE＝∠BPF＝90°，∵∠PAB＝45°，AB＝6√2，∴AP＝PB＝6，如图1，连接EF，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AB．且EF=12AB，∴PE PB =PF PA =12， ∴PE ＝PF ＝3，由勾股定理得：AE ＝BF =√AP 2+PE 2=√62+32=3√5，∴AC ＝BC ＝2AE ＝6√5，如图2，∵sin ∠PAB =12，AB ＝4，AF ⊥BE ，∴∠PAB ＝30°，∴BP =12AB ＝2，AP ＝2√3，∵AF 、BE 是△ABC 的中线，∴PE =12PB ＝1，PF =12AP =√3，由勾股定理得：AE =√PE 2+AP 2=√12+(2√3)2=√13， BF =√PF 2+PB 2=√(√3)2+22=√7，∴AC ＝2AE ＝2√13，BC ＝2BF ＝2√7，故答案为：6√5，6√5，2√13，2√7；（2）解：猜想：AB 2、BC 2、AC 2三者之间的关系是：AC 2+BC 2＝5AB 2，证明：如图3，设 PF ＝m ，PE ＝n 则AP ＝2m ，PB ＝2n ，在Rt △APB 中，（2m ）2+（2n ）2＝AB 2①，在Rt △APE 中，（2m ）2+n 2＝（AC 2）2②， 在Rt △BPF 中，m 2+（2n ）2＝（BC 2）2③，由①得：m 2+n 2=AB 24，由②+③得：5（ m 2+n 2）=AC 2+BC 24， ∴AC 2+BC 2＝5AB 2；（3）解：如图4，连接CG ，EF ，过点F 作FN ∥BG 交CG 于点N ，FG 与AC 交于点Q ，∵FN∥BG，BG⊥AC，∴FN⊥AC，∵F是BC的中点，∴N是CG的中点，∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE＝FC，DE∥FC，∵ED＝EG，∴EG＝FC，EG∥FC，∴四边形EFCG是平行四边形，∴Q是FG的中点，∴△FCG是中垂三角形，∵AB＝4√3，BC＝2√5，∴CG＝EF＝BD＝2√3，FC=√5，由（2）中结论可知：5FC2＝CG2+FG2，即5×5＝（2√3）2+FG2，∴GF=√13．12．（2020•拱墅区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AF为BC边上的中线，DE经过△ABC的重心G，且∠ADE＝∠C．（1）问：线段AG是△ADE的高线还是中线？请说明理由．（2）若AB＝6，AC＝8，求AD的长．【分析】（1）说明∠DAG+∠ADE＝90°可得结论；（2）先根据重心的性质：重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍，可得AG的长，根据等角的三角函数列式可得结论．【解答】解：（1）∵∠CAB＝90°，AF为BC边上的中线，∴AF=12BC＝CF，∴∠C＝∠FAC，∵∠ADE＝∠C，∴∠ADE＝∠FAC，∵∠FAC+∠DAG＝90°，∴∠DAG+∠ADE＝90°，∴∠AGD＝90°∴线段AG是△ADE的高线；（2）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，∴BC=√AC2+AB2=√62+82=10，∵AF为BC边上的中线，∴AF＝5，∵G为△ABC的重心，∴AG=23×5=103，∵∠ADE＝∠C，∴sin∠ADG=AGAD=sin∠C=AB BC，∴103AD=610，AD=509．13．（2020•温州模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝110°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E＝75°﹣18°＝57°，于是得到结论；（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β，①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，③如图3，当点D在点C 右侧时，∠ADC＝x°﹣α，根据题意列方程组即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝35°，∴∠BAC＝110°，∵∠BAD＝80°，∴∠DAE＝30°，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°﹣75°＝40°；（2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，∴∠E＝75°﹣18°＝57°，∴∠ADE＝∠AED＝57°，∴∠ADC＝39°，∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°，∴∠BAD＝36°；（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，∴{y°=x°+α(1)y°=x°−α+β(2)，（1）﹣（2）得2α﹣β＝0，∴2α＝β；②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，∴{x°=y°+α(1)x°+α=y°+β(2)，（2）﹣（1）得α＝β﹣α，∴2α＝β；③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，∴{x°−α+y°+β=180°(1) y°+x°+α=180°(2)，（2）﹣（1）得2α﹣β＝0，∴2α＝β．综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．14．（2020•上城区模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．【分析】（1）设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，根据勾股定理列方程即可得到结论；（2）当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，根据勾股定理列方程即可得到结论；（3）在Rt△ABC中，根据勾股定理得到AC＝4cm，根据题意得：AP＝2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，得到PC＝BC，即4﹣2t＝3，求得t=12，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，若CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图2，过P作PE⊥BC于E，求得t=194，若PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，解得t＝5，③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，由射影定理得；BC2＝BF•AB，列方程32=2t−3−42×5，即可得到结论．【解答】解：（1）设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，解得：t=25 16，∴当t=2516时，PA＝PB；（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，解得：t=8 3，当t＝6时，点P与A重合，也符合条件，∴当t=83或6时，P在△ABC的角平分线上；（3）在Rt△ABC中，∵AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝4cm，根据题意得：AP＝2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，∴PC＝BC，即4﹣2t＝3，∴t=1 2，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图2，过P作PE⊥BC于E，∴BE=12BC=32，∴PB=12AB，即2t﹣3﹣4=52，解得：t=194，②PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，解得：t＝5，③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，∴BF=12BP，∵∠ACB＝90°，由射影定理得；BC2＝BF•AB，即32=2t−3−42×5，解得：t=53 10，∴当t=12，5，5310或194时，△BCP为等腰三角形．15．（2020•杭州模拟）定义：若一个三角形一条边上的高等于这条边长的一半，则称该三角形为“半高”三角形，这条高称为“半高”．（1）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，点P在AB上，PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E，连接BD，DE求证：△BDE是“半高”三角形；（2）如图2，△ABC是“半高”三角形，且BC边上的高是“半高”，点P在AB上，PQ∥BC交AC于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N．①请探究BM，PM，CN之间的等量关系，并说明理由；②若△ABC的面积等于16，求MQ的最小值．【分析】（1）根据新定义“半高”三角形进行证明；（2）①利用新定义的概念进行转化；②将MQ的长度根据勾股定理用二次函数表示出来，利用二次函数的性质进行求解．【解答】（1）证明：∵PE⊥BC，∴∠PEC＝∠PEB＝90°＝∠ACB，又∵∠PBE＝∠ABC，∴△PBE～△ABC，∴PEBE =ACBC=12，∴BE＝2PE，∵PD⊥AC，∴∠PDC＝90°，∴四边形CEPD为矩形，∴DC＝PE，∴BE＝2DC，∴△BDE是“半高”三角形．（2）解：①BM+CN＝2PM．理由如下：如图2，过A作AE⊥BC于E，交PQ于D，∵△ABC 是“半高”三角形，且BC 边上的高是“半高”， ∴BC ＝2AE ∵PQ ∥BC ， ∴△APQ ～△ABC ， ∴AD AE =PQ BC， 即AD AE=PQ 2AE，∴PQ ＝2AD ，∴BC ﹣PQ ＝2AE ﹣2AD ＝2（AE ﹣AD ）， ∵PQ ∥BC ，PM ⊥BC ，QN ⊥BC ， ∴四边形MNQP 是矩形， ∴PQ ＝MN ，PM ＝DE ＝QN ， ∴BC ﹣MN ＝2PM ， 即BM +CN ＝2PM ．②∵S △ABC =12BC ×AE =14BC 2=16， ∴BC ＝8， 设PM ＝x ， 由①得PQ ＝8﹣2x ，∴MQ 2＝x 2+（8﹣2x ）2＝5x 2﹣32x +64＝5（x −165）2+645， ∴当x =165时，MQ 2取得最小值645，则MQ 取得最小值为8√55．16．（2020•南浔区二模）（1）尝试探究如图1，等腰Rt △ABC 的两个顶点B ，C 在直线MN 上，点D 是直线MN 上一个动点（点D 在点C 的右边），BC ＝3，BD ＝m ，在△ABC 同侧作等腰Rt △ADE ，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，EF ⊥MN 于点F ，连接CE ．①求DF 的长；②在判断AC ⊥CE 是否成立时，小明同学发现可以由以下两种思路解决此问题： 思路一：先证CF ＝EF ，求出∠ECF ＝45°，从而证得结论成立．思路二：先求DF ，EF 的长，再求CF 的长，然后证AC 2+CE 2＝AE 2，从而证得结论成立．请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程．（如用两种方法作答，则以第一种方法评分） （2）拓展探究将（1）中的两个等腰直角三角形都改为有一个角为30°的直角三角形，如图2，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，∠BAC ＝∠DAE ＝30°，BC ＝3，BD ＝m ，当4≤m ≤6时，求CE 长的范围． 【分析】（1）①根据AAS 证明△ABD ≌△DFE ，可得结论； ②思路一：先证CF ＝EF ，求出∠ECF ＝45°，从而证得结论成立．思路二：先求DF ，EF 的长，再求CF 的长，然后证AC 2+CE 2＝AE 2，从而证得结论成立．（2）如图2，作EF ⊥MN ，同理证明AC ⊥CE ，则无论m 取何大于3的数，AC ⊥CE 总成立，即点E 在一条直线上运动，可得结论．【解答】解：（1）①在等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 中，∠ABC ＝∠ADE ＝90°， ∴∠ADB +∠EDF ＝90°， ∵EF ⊥MN ，∴∠DEF +∠EDF ＝90°， ∴∠ADB ＝∠DEF ， 在△ABD 和△DFE 中， {∠ADB =∠DEF∠ABD =∠DFE AD =DE ，∴△ABD ≌△DFE （AAS ）， ∴DF ＝AB ＝BC ＝3； ②证明：思路一：由①得△ABD≌△DFE（AAS），∴DF＝AB＝BC＝3，EF＝BD＝m，∴CF＝CD+DF＝CD+BC＝BD＝m，∴CF＝EF，∵EF⊥MN，∴∠ECF＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠ACE＝90°，即AC⊥CE；思路二：由①得△ABD≌△DFE（AAS），∴DF＝AB＝BC＝3，EF＝BD＝m，∴CF＝CD+DF＝CD+BC＝BD＝m，由勾股定理得：DE2＝DF2+EF2＝32+m2＝9+m2，∴AE2＝2DE2＝2（9+m2），AC2＝32+32＝18，CE2＝CF2+EF2＝2m2，∴AC2+CE2＝AE2，∴∠ACE＝90°，即AC⊥CE；（2）如图2，作EF⊥MN，∴∠DEF+∠EDF＝90°，∵∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD∽△DFE，∴EF BD=DF AB =DE AD=tan30°=√33， ∴EF =√3m3，DF ＝3，∴CF ＝CD +DF ＝CD +BC ＝BD ＝m ， ∴在Rt △CEF 中，tan ∠ECF =√33， ∴∠ECF ＝30°，CE ＝2EF =2√3m3， ∴∠ACE ＝90°， 即AC ⊥CE ，∴无论m 取何大于3的数，AC ⊥CE 总成立，即点E 在一条直线上运动， ∴4≤m ≤6时，CE 长的范围是8√33≤CE ≤4√3． 17．（2020•瑞安市三模）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝BC ，点D 是AC 边的中点，延长BD 至点E ，使得DE ＝BD ，连结CE ．（1）求证：△ABD ≌△CED ．（2）当BC ＝5，CD ＝3时，求△BCE 的周长．【分析】（1）利用全等三角形的判定定理SAS 证得结论；（2）利用勾股定理求得BD ＝4，然后利用三角形的周长公式解答． 【解答】（1）证明：∵AB ＝BC ，点D 是AC 边的中点， ∴AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDE ＝90°． 又∵DE ＝BD ，∴△ABD ≌△CED （SAS ）；（2）解：∵BD =√BC 2−CD 2=√52−32=4， ∴BE ＝2BD ＝8． 又∵CE ＝AB ＝BC ＝5，∴BC +CE +BE ＝5+5+8＝18，即△BCE 的周长为18．18．（2020•黄岩区二模）如图，△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中点B 与点D 是直角顶点，现固定△ABC，而将△ADE绕点A在平面内旋转．（1）如图1，当点D在CA延长线上时，点M为EC的中点，求证：△DMB是等腰三角形．（2）如图2，当点E在CA延长线上时，M是EC上一点，若△DMB是等腰直角三角形，∠DMB为直角，求证：点M是EC的中点．（3）如图3，当△ADE绕点A旋转任意角度时，线段EC上是否都存在点M，使△BMD为等腰直角三角形，若不存在，请举出反例；若存在，请予以证明．【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BM＝DM=12EC，即可得出答案；（2）根据AAS证明△DFM≌∠MGB，得FM＝BG，DF＝MG，根据线段的和表示EM和MC，可得结论；（3）线段EC上都存在中点M，使△BMD为等腰直角三角形，作辅助线，构建全等三角形，证明△DFM≌∠MGB（SAS），得BM＝DM，∠FMD＝∠GBM，再证明∠DMB＝90°，可得结论．【解答】证明：（1）如图1，∵∠EDC＝90°，点M为EC的中点，∴DM=12EC．同理可得：BM=12EC．∴DM＝BM，∴△DMB是等腰三角形；（2）证明：过点D作DF⊥EA，过点B作BG⊥AC，∴∠DFM＝∠BGM＝90°，∴∠FDM+∠DMF＝90°，∵△DMB是等腰直角三角形，∴DM＝BM，∠DMB＝90°，∴∠BMG+∠DMF＝90°，∴∠FDM＝∠BMG，∴△DFM≌∠MGB（AAS），∴FM＝BG，DF＝MG，∵BG＝GC，DF＝EF，∴FM＝GC，MG＝EF，∵EM＝EF+FM，MC＝MG+GC，∴EM＝MC，∴点M是EC的中点；（3）线段EC上都存在中点M，使△BMD为等腰直角三角形，理由是：取AE中点F，AC中点G，连接FD，FM，BG，GM，∵点M是EC的中点，点G是AC的中点，∴GM=12AE，GM∥AE，∵F是AE中点，∴AF=12AE，∴AF∥GM，AF＝GM，∴四边形AFMG是平行四边形，∴∠AFM＝∠AGM，∴∠EFM＝∠MGC．∴∠DFM＝∠BGM，∵GM＝AF＝DF，∴DF＝GM，同理可得BG＝FM，∴△DFM≌∠MGB（SAS），∴BM＝DM，∠FMD＝∠GBM，∵FM∥AC，∴∠FMG＝∠CGM，∴∠DMB＝∠FMD+∠FMG+∠GMB，＝∠GBM+∠CGM+∠GMB，＝180°﹣∠BGC，＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．19．（2020•余杭区二模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AB上，且DE＝DF，连结AC，分别交DE，DF于点M，N．（1）求证：△ADF≌△CDE；（2）设△DMN和△AFN的面积分别为S1和S2；①若∠ADF＝∠EDF，求S2：S1的值．②若S2＝2S1，求tan∠ADF．【分析】（1）根据HL证明三角形全等即可．（2）①如图，作NH ⊥AB 于H ．设FH ＝a ．利用参数表示S 2，S 1即可．②如图，作NH ⊥AB 于H ．易证∠ADF ＝∠HNF ，设tan ∠ADF ＝tan ∠FNH ＝k ，设NH ＝AH ＝b ，则FH ＝kb ，利用面积关系构建方程求出k 即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠DAF ＝∠DCE ＝∠ADC ＝90°，∵DF ＝DE ，∴Rt △ADF ≌Rt △CDE （HL ）．（2）①如图，作NH ⊥AB 于H ．设FH ＝a ．∵Rt △ADF ≌Rt △CDE （HL ），∵∠ADF ＝∠CDE ，∵∠ADF ＝∠DEF ，∴∠ADF ＝∠EDF ＝∠CDE ＝30°，∴∠AFD ＝60°，∵∠NHF ＝90°，∴∠FNH ＝30°，∴HN =√3a ，∵∠NAH ＝45°，∠AHN ＝90°，∴∠NAH ＝∠ANH ＝45°，∴HA ＝HN =√3a ，∴AF ＝（1+√3）a ，AD =√3AF ＝（3+√3）a ，∴S 2=12•AF •NH =12•（1+√3）a ⋅√3a =3+√32a 2， ∵∠ADN ＝∠CDM ，AD ＝DC ，∠DAN ＝∠DCM ＝45°，∴△ADN ≌△CDM （ASA ），∴S △ADN ＝S △DCM ，∴S 1＝S △ADC ﹣2S △ADN =12•[（3+√3）a ]2﹣2×12•（3+√3）a •√3a ＝3a 2，∴S 2S 1=3+√32a 23a 2=3+√36．。

2020中考数学 计算专题：数与式(含答案)

2020中考数学 计算专题：数与式(含答案)

2020中考数学计算专题：数与式（含答案）一、选择题（本大题共6道小题）1. －2的相反数是()A. 2B. －22 C. － 2 D. －22. 下列分式中，最简分式是()A. x2－1x2＋1B.x＋1x2－1C.x2－2xy＋y2x2－xyD.x2－362x＋123. 计算(√12-3)0+√27--√33-1的结果是()A.1+83√3B.1+2√3C.√3D.1+4√34. 在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x取任何正整数，结果都会进入循环．下面选项一定不是．．该循环的是()A. 4，2，1B. 2，1，4C. 1，4，2D. 2，4，15. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a+b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”.(a+b)0=1(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…则(a+b)9展开式中所有项的系数和是()A .128B .256C .512D .10246. a是不为1的有理数，我们把11-a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为11-2=-1，-1的差倒数为11-(-1)=12.已知a 1=5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，以此类推，a 2019的值是 ( )A .5B .-14C .43D .45二、填空题（本大题共6道小题）7. 如果a -b -2=0，那么代数式1+2a -2b 的值是 .8. 64的立方根为 .9. 化简：x ＋3x 2－4x ＋4÷x 2＋3x （x －2）2＝________．10. 计算：x x －1－1x －1＝________．11. 定义运算a ⊗b ＝a(1－b)，下面给出了关于这种运算的几个结论：①2⊗(－2)＝6；②a ⊗b ＝b ⊗a ；③若a ＋b ＝0，则(a ⊗a)＋(b ⊗b)＝2ab ；④若a ⊗b ＝0，则a ＝0. 其中正确结论的序号是________．(在横线上填上你认为所有正确结论的序号)12. 已知:[x ]表示不超过x 的最大整数.例:[4.8]=4，[-0.8]=-1.现定义:{x }=x -[x ]，例:{1.5}=1.5-[1.5]=0.5，则{3.9}+{-1.8}-{1}= .三、解答题（本大题共5道小题）13. 先化简，再求值:3x+2+x -2÷x 2-2x+1x+2，其中|x|=2.14. 化简(x －1x )÷x 2－2x ＋1x 2－x.15. 先化简，再求值：a a －b (1b －1a)＋a －1b ，其中a ＝2，b ＝13.16. 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示一个二次三项式，形式如下：－3x ＝x 2－5x ＋1.(1)求所捂的二次三项式；(2)若x ＝6＋1，求所捂二次三项式的值．17. 分解因式：()()22114m n mn --+2020中考数学 计算专题：数与式-答案一、选择题（本大题共6道小题）1. 【答案】A 【解析】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数．－ 2 的相反数是2.2. 【答案】A 【解析】A.x 2－1x 2＋1分子分母中无公因式，是最简分式；B.x ＋1x 2－1＝x ＋1（x ＋1）（x －1）＝1x －1，故不是最简分式；C.x 2－2xy ＋y 2x 2－xy ＝（x －y ）2x （x －y ）＝x －y x ，故不是最简分式；D.x 2－362x ＋12＝（x ＋6）（x －6）2（x ＋6）＝x －62，故不是最简分式． 3. 【答案】D4. 【答案】D 【解析】A.4输入后得到的值为42＝2，再将2循环输入得到22＝1，再将1循环输入得到3×1＋1＝4，∴输入4，结果依次是4，2，1；B 和D 中将2输入后得到的值为22＝1，再将1循环代入得到3×1＋1＝4，∴输入2的结果依次是2，1，4，故D 错误；C.1输入后得到的值为3×1＋1＝4，再将4循环代入得到42＝2，∴输入1结果依次是1，4，2.故选D.5. 【答案】C [解析]由“杨辉三角”的规律可知，(a +b )9展开式中所有项的系数和为29=512.6. 【答案】D [解析]∵a 1=5，∵a 2=11-a 1=11-5=-14，a 3=11-a 2=11-(-14)=45，a 4=11-a 3=11-45=5，… ∵这些数以5，-14，45三个数依次不断循环.∵2019÷3=673，∵a 2019=a 3=45，故选D .二、填空题（本大题共6道小题）7. 【答案】58. 【答案】4 9. 【答案】1x 【解析】原式＝x ＋3（x －2）2·（x －2）2x （x ＋3）＝1x. 10. 【答案】1 【解析】原式＝x －1x －1＝1. 11. 【答案】①③ 【解析】本题考查新定义、求代数式的值、代数式的化简和解12. 【答案】1.1[解析]根据题意可得:{3.9}+{-1.8}-{1}=3.9-3-1.8+2-1+1=1.1，故答案为:1.1.三、解答题（本大题共5道小题）13. 【答案】解:原式=x 2-1x+2÷(x-1)2x+2=(x+1)(x-1)x+2·x+2(x-1)2=x+1x-1.∵|x|=2，∴x=±2，由分式有意义的条件可知:x=2，∴原式=3.14. 【答案】解：原式＝x2－1x·x2－xx2－2x＋1(2分)＝（x＋1）（x－1）x·x（x－1）（x－1）2(3分)＝x＋1.(5分) 15. 【答案】解：原式＝aa－b·a－bba＋a－1b＝1b＋a－1b＝ab.(4分)故当a＝2，b＝13时，原式＝ab＝2×3＝6.(6分)16. 【答案】解：(1)x2－5x＋1＋3x＝x2－2x＋1(2)x2－2x＋1＝(x－1)2，当x＝6＋1时，原式＝(6)2＝6.17. 【答案】(1)(1)mn m n mn m n+-+++-【解析】()()2222222222 1141421(2) m n mn m n m n mn m n mn m n mn --+=--++=++-+-22(1)()(1)(1)mn m n mn m n mn m n=+--=+-+++-。

2020年决胜中考九年级数学综合试卷精选试题讲评含答案解析

2020年决胜中考九年级数学综合试卷精选试题讲评含答案解析

2020年决胜中考九年级数学综合试卷精选试题讲评含答案解析2020年决胜中考九年级数学综合试卷精选试题讲评⼀．试题（共8⼩题）1．已知⊙M过原点，A（1，2），B（3，1）三点，则圆⼼M坐标为．2．如图，△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中⼼的位似图形，位似⽐为1：3，∠OCD ＝90°，CO＝CD，若B（﹣2，0），则点C的坐标为．3．已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三⾓形ABC和正⽅形BDEC组成，⼀圆过A、D、E三点，则该圆半径为．4．⼩宇计划在某外卖⽹站点如下表所⽰的菜品，已知每份订单的配送费为3元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元，如果⼩宇在购买下表中所有菜品时，采取适当的下订单⽅式，那么他点餐总费⽤最低可为元．菜品单价（含包装费）数量⽔煮⽜⾁（⼩）30元1醋溜⼟⾖丝（⼩）12元1豉汁排⾻（⼩）30元1⼿撕包菜（⼩）12元1⽶饭3元25．某公司招聘外卖送餐员，送餐员的⽉⼯资由底薪1000元加上外卖送单补贴（送⼀次外卖称为⼀单）构成，外卖送单补贴的具体⽅案如下：外卖送单数量补贴（元/单）每⽉不超过500单6超过500单但不超过m单的部分（700≤m≤900）8超过m单的部分10（1）若某“外卖⼩哥”4⽉份送餐400单，则他这个⽉的⼯资总额为多少元？（2）设5⽉份某“外卖⼩哥”送餐x单（x＞500），所得⼯资为y元，求y与x的函数关系式．（3）若某“外卖⼩哥”5⽉份送餐800单，所得⼯资为6500元，求m的值．6．如图，在平⾯直⾓坐标系xOy中，函数的图象经过点A（﹣1，6），直线y ＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0）．（1）求k，m的值；（2）过第⼆象限的点P（n，﹣2n）作平⾏于x轴的直线，交直线y＝mx﹣2于点C，交函数的图象于点D．①当n＝﹣1时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由；②若PD≥2PC，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．7．已知：如图，O为正⽅形ABCD的中⼼，E为AB边上⼀点，F为BC边上⼀点，△EBF 的周长等于BC的长．（1）求∠EOF的度数．（2）连接OA、OC．求证：△AOE∽△CFO．（3）若OE＝OF，求的值．8．对于某⼀函数给出如下定义：若存在实数p，当其⾃变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最⼤不变值与最⼩不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有⼀个不变值时，其不变长度q为零．例如，下图中的函数有0、1两个不变值，其不变长度q等于1．（1）分别判断函数y＝x+1，y＝，y＝x2﹣2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；（2）函数y＝2x2﹣bx①若其不变长度为零，求b的值；②若1≤b≤3，求其不变长度q的取值范围；（3）记函数y＝x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满⾜0≤q≤3，则m的取值范围为多少？2020年决胜中考九年级数学综合试卷精选试题讲评参考答案与试题解析⼀．试题（共8⼩题）1．已知⊙M过原点，A（1，2），B（3，1）三点，则圆⼼M坐标为（）．【解答】解：过A作EF⊥y轴于E，过B作BF⊥EF于F，∴∠AEO＝∠BF A＝90°，∴∠EAO+∠AOE＝90°，∵A（1，2），B（3，1），∴OE＝AF＝2，AE＝BF＝1，∴△AEO≌△BF A（SAS），∴∠AOE＝∠BAF，∴∠EAO+∠BAF＝90°，∴∠OAB＝90°，∴△OAB是直⾓三⾓形，∴OB是△OAB外接圆的直径，∴M是OB的中点，∵O（0，0），B（3，1），∴M（，）；故答案为：（，）．2．如图，△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中⼼的位似图形，位似⽐为1：3，∠OCD ＝90°，CO＝CD，若B（﹣2，0），则点C的坐标为（3，﹣3）．【解答】解：作AE⊥OB于E，CF⊥OD于F，∵∠OCD＝90°，CO＝CD，∴AE＝OE＝1，∴点A的坐标为：（﹣1，1），∵△OAB与△OCD是以坐标原点O为位似中⼼的位似图形，位似⽐为1：3，∴点C的坐标为（3，﹣3），故答案为：（3，﹣3）．3．已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三⾓形ABC和正⽅形BDEC组成，⼀圆过A、D、E三点，则该圆半径为2．【解答】解：如图1所⽰，作AF⊥BC，垂⾜为F，并延长AF交DE于H点．∵△ABC为等边三⾓形，∴AF垂直平分BC，∵四边形BDEC为正⽅形，∴AH垂直平分正⽅形的边DE．⼜∵DE是圆的弦，∴AH必过圆⼼，记圆⼼为O点，并设⊙O的半径为r．在Rt△ABF中，∵AB2＝BF2+AF2，∴AF＝＝．∴OH＝AF+FH﹣OA＝2+﹣r．在Rt△ODH中，OH2+DH2＝OD2．∴（2+﹣r）2+12＝r2．解得r＝2．∴该圆的半径长为2．故答案是：2．4．⼩宇计划在某外卖⽹站点如下表所⽰的菜品，已知每份订单的配送费为3元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元，如果⼩宇在购买下表中所有菜品时，采取适当的下订单⽅式，那么他点餐总费⽤最低可为54元．菜品单价（含包装费）数量⽔煮⽜⾁（⼩）30元1醋溜⼟⾖丝（⼩）12元1豉汁排⾻（⼩）30元1⼿撕包菜（⼩）12元1⽶饭3元2【解答】解：⼩宇应采取的订单⽅式是60⼀份，30⼀份，所以点餐总费⽤最低可为60﹣30+3+30﹣12+3＝54元，答：他点餐总费⽤最低可为54元．故答案为：54．5．某公司招聘外卖送餐员，送餐员的⽉⼯资由底薪1000元加上外卖送单补贴（送⼀次外卖称为⼀单）构成，外卖送单补贴的具体⽅案如下：外卖送单数量补贴（元/单）每⽉不超过500单6超过500单但不超过m单的部分（700≤m≤900）8超过m单的部分10（1）若某“外卖⼩哥”4⽉份送餐400单，则他这个⽉的⼯资总额为多少元？（2）设5⽉份某“外卖⼩哥”送餐x单（x＞500），所得⼯资为y元，求y与x的函数关系式．（3）若某“外卖⼩哥”5⽉份送餐800单，所得⼯资为6500元，求m的值．【解答】解：（1）⼯资总额＝1000+400×6＝3400元（2）当500＜x≤m，y＝1000+500×6+8（x﹣500）＝8x当x＞m，y＝1000+500×6+8（m﹣500）+10（x﹣m）＝10x﹣2m（3）当500＜x≤m时，则x＝800，y最多＝6400元，不合题意舍去当x＞m时，6500＝10×800﹣2m解得：m＝750答：m的值为7506．如图，在平⾯直⾓坐标系xOy中，函数的图象经过点A（﹣1，6），直线y ＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0）．（1）求k，m的值；（2）过第⼆象限的点P（n，﹣2n）作平⾏于x轴的直线，交直线y＝mx﹣2于点C，交函数的图象于点D．①当n＝﹣1时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由；②若PD≥2PC，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．【解答】解：（1）∵函数的图象经过点A（﹣1，6），∴k＝﹣6．∵直线y＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0），∴m＝﹣2．（2）①判断：PD＝2PC．理由如下：当n＝﹣1时，点P的坐标为（﹣1，2），∵y＝﹣2x﹣2交于于点C，且点P（﹣1，2）作平⾏于x轴的直线，∴点C的坐标为（﹣2，2），∵函数的图象于点D，且点P（﹣1，2）作平⾏于x轴的直线，点D的坐标为（﹣3，2）．∴PC＝1，PD＝2．∴PD＝2PC．②当PD＝2PC时，有两种情况，分别为：y＝2，或者y＝6．若PD≥2PC，0＜y≤2，或y≥6即0＜﹣2n≤2，或﹣2n≤6解得﹣1≤n＜0．或n≤﹣37．已知：如图，O为正⽅形ABCD的中⼼，E为AB边上⼀点，F为BC边上⼀点，△EBF 的周长等于BC的长．（1）求∠EOF的度数．（2）连接OA、OC．求证：△AOE∽△CFO．（3）若OE＝OF，求的值．【解答】（1）解：在FC上截取FM＝FE，连接OB，OM，OC．∵C△EBF的周长＝BE+EF+BF＝BC，则BE+EF+BF＝BF+FM+MC，∴BE＝MC，∵O为正⽅形中⼼，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCM＝45°，在△OBE和△OCM中，，∴△OBE≌△OCM，∴∠EOB＝∠MOC，OE＝OM，∴∠EOB+∠BOM＝∠MOC+∠BOM，即∠EOM＝∠BOC＝90°，在△OFE与△OFM中，，∴△OFE≌△OFM（SSS），∴∠EOF＝∠MOF＝∠EOM＝45°．（2）证明：由（1）可知：∠EOF＝45°，∴∠AOE+∠FOC＝135°，∵∠EAO＝45°，∴∠AOE+∠AEO＝135°，∴∠FOC＝∠AEO，∵∠EAO＝∠OCF＝45°，∴△AOE∽△CFO．（3）解：∵△AOE∽△CFO，∴＝＝＝，∴AE＝OC，AO＝CF，∵AO＝CO，∴AE＝×CF＝CF，∴＝．8．对于某⼀函数给出如下定义：若存在实数p，当其⾃变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最⼤不变值与最⼩不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有⼀个不变值时，其不变长度q为零．例如，下图中的函数有0、1两个不变值，其不变长度q等于1．（1）分别判断函数y＝x+1，y＝，y＝x2﹣2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；（2）函数y＝2x2﹣bx①若其不变长度为零，求b的值；②若1≤b≤3，求其不变长度q的取值范围；（3）记函数y＝x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满⾜0≤q≤3，则m的取值范围为多少？【解答】解：（1）∵函数y＝x+1，令y＝x，则x+1＝x，⽆解；∴函数y＝x+1没有不变值；∵函数y＝，令y＝x，则x＝，解得：x＝±，∴函数y＝的不变值为±，q＝﹣（﹣）＝2，∵函数y＝x2﹣2，令y＝x，则x＝x2﹣2，解得：x1＝2，x2＝﹣1，∴函数y＝x2﹣2的不变值为：2或﹣1，q＝2﹣（﹣1）＝3；（2）①函数y＝2x2﹣bx，令y＝x，则x＝2x2﹣bx，整理得：x（2x﹣b﹣1）＝0，∵q＝0，∴x＝0且2x﹣b﹣1＝0，解得：b＝﹣1；②由①知：x（2x﹣b﹣1）＝0，∴x＝0或2x﹣b﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝，∵1≤b≤3，∴1≤x2≤2，∴1﹣0≤q≤2﹣0，∴1≤q≤2；（3）∵记函数y＝x2﹣2x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2．∴函数G的图象关于x＝m对称，∴G：y＝，∵当x2﹣2x＝x时，x3＝0，x4＝3；当（2m﹣x）2﹣2（2m﹣x）＝x时，△＝1+8m，当△＜0，即m＜﹣时，q＝x4﹣x3＝3；当△≥0，即m≥﹣时，x5＝，x6＝，①当﹣≤m≤0时，x3＝0，x4＝3，∴x6＜0，∴x4﹣x6＞3（不符合题意，舍去）；②∵当x5＝x4时，m＝1，当x6＝x3时，m＝3；当0＜m＜1时，x3＝0（舍去），x4＝3，此时0＜x5＜x4，x6＜0，q＝x4﹣x6＞3（舍去）；当1≤m≤3时，x3＝0（舍去），x4＝3，此时0＜x5＜x4，x6＞0，q＝x4﹣x6＜3；当m＞3时，x3＝0（舍去），x4＝3（舍去），此时x5＞3，x6＜0，q＝x5﹣x6＞3（舍去）；综上所述：m的取值范围为1≤m≤3或m＜﹣．。

决胜2020年中考数学压轴题全揭秘——操作类探究问题(含答案)

决胜2020年中考数学压轴题全揭秘——操作类探究问题(含答案)

操作类探究问题1．（2020•衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为（）A．1 B．√2C．√3D．2【分析】根据正六边形的性质，正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，然后求出等边三角形的高即可．【解析】边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，所以原来的纸带宽度=√32×2=√3．故选：C．2．（2020•台州）如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH 上，使重叠部分为平行四边形，且点D 与点G 重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tan α等于（ ）A ．14B ．12C ．817D ．815【分析】由“ASA ”可证△CDM ≌△HDN ，可证MD ＝DN ，即可证四边形DNKM 是菱形，当点B 与点E 重合时，两张纸片交叉所成的角a 最小，可求CM =154，即可求tan α的值． 【解析】如图，∵∠ADC ＝∠HDF ＝90°∴∠CDM ＝∠NDH ，且CD ＝DH ，∠H ＝∠C ＝90° ∴△CDM ≌△HDN （ASA ）∴MD ＝ND ，且四边形DNKM 是平行四边形 ∴四边形DNKM 是菱形 ∴KM ＝DM∵sin α＝sin ∠DMC =CDMD∴当点B 与点E 重合时，两张纸片交叉所成的角a 最小， 设MD ＝a ＝BM ，则CM ＝8﹣a ， ∵MD 2＝CD 2+MC 2， ∴a 2＝4+（8﹣a ）2， ∴a =174∴CM=15 4∴tanα＝tan∠DMC=CDMC=815故选：D．3．（2020•台州）如图是用8块A型瓷砖（白色四边形）和8块B型瓷砖（黑色三角形）不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为（）A．√2：1 B．3：2 C．√3：1 D．√2：2【分析】如图，作DC⊥EF于C，DK⊥FH于K，连接DF．求出△DFN与△DNK的面积比即可．【解析】如图，作DC⊥EF于C，DK⊥FH于K，连接DF．由题意：四边形DCFK是正方形，∠CDM＝∠MDF＝∠FDN＝∠NDK，∴∠CDK＝∠DKF＝90°，DK＝FK，DF=√2DK，∴S△DFNS△DNK =FNNK=DFDK=√2（角平分线的性质定理，可以用面积法证明），∴SA型SB型=2S△DFN2S△DNK=√2，∴图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为√2：1，故选：A．4．（2020•温州）如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S 1，图中阴影部分的面积为S 2．若点A ，L ，G 在同一直线上，则S 1S 2的值为（ ）A ．√22B ．√23C ．√24D ．√26【分析】如图，连接AL ，GL ，PF ．利用相似三角形的性质求出a 与b 的关系，再求出面积比即可． 【解析】如图，连接AL ，GL ，PF ．由题意：S 矩形AMLD ＝S 阴＝a 2﹣b 2，PH =√a 2−b 2， ∵点A ，L ，G 在同一直线上，AM ∥GN ， ∴△AML ∽△GNL ， ∴AM GN=ML NL， ∴a+b a−b=a−b b，整理得a ＝3b ，∴S 1S 2=12⋅(a−b)⋅√a 2−b 2a −b =2√2b 28b =√24，故选：C ．5．（2020•金华）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM ，GN 是折痕．若正方形EFGH 与五边形MCNGF 的面积相等，则FM GF的值是（ ）A ．√5−√22B ．√2−1C ．12D ．√22【分析】连接HF ，设直线MH 与AD 边的交点为P ，根据剪纸的过程以及折叠的性质得PH ＝MF 且正方形EFGH 的面积=15×正方形ABCD 的面积，从而用a 分别表示出线段GF 和线段MF 的长即可求解．【解析】连接HF ，设直线MH 与AD 边的交点为P ，如图：由折叠可知点P 、H 、F 、M 四点共线，且PH ＝MF ， 设正方形ABCD 的边长为2a ， 则正方形ABCD 的面积为4a 2，∵若正方形EFGH 与五边形MCNGF 的面积相等∴由折叠可知正方形EFGH 的面积=15×正方形ABCD 的面积=45a 2， ∴正方形EFGH 的边长GF =√45a 2=2√55a ∴HF =√2GF =2√105a ∴MF ＝PH =2a−2√105a 2=5−√105a∴FM GF=5−√105a ÷2√55a =√5−√22故选：A ．6．（2020•宁波）如图所示，矩形纸片ABCD 中，AD ＝6cm ，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为（ ）A ．3.5cmB ．4cmC ．4.5cmD ．5cm【分析】设AB ＝xcm ，则DE ＝（6﹣x ）cm ，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可． 【解析】设AB ＝xcm ，则DE ＝（6﹣x ）cm ， 根据题意，得90πx 180=π（6﹣x ），解得x ＝4． 故选：B ．二．填空题（共4小题）7．（2020•湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为4√2的正方形ABCD 可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH 内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q 、R 分别与图2中的点E 、G 重合，点P 在边EH 上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH 的边长是 4√5 ．【分析】如图2中，连接EG ，GM ⊥EN 交EN 的延长线于M ，利用勾股定理解决问题即可． 【解析】如图2中，连接EG ，作GM ⊥EN 交EN 的延长线于M ．在Rt △EMG 中，∵GM ＝4，EM ＝2+2+4+4＝12，∴EG =√EM 2+GM 2=√122+42=4√10， ∴EH =EG√2=4√5， 故答案为4√5．8．（2020•衢州）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF ，其中顶点A 位于x 轴上，顶点B ，D 位于y 轴上，O 为坐标原点，则OB OA的值为12．（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F 1，摆放第三个“7”字图形得顶点F 2，依此类推，…，摆放第n 个“7”字图形得顶点F n ﹣1，…，则顶点F 2020的坐标为 （6062√55，405√5） ．【分析】（1）先证明△AOB ∽△BCD ，所以OB OA=DC BC，因为DC ＝1，BC ＝2，所有OB OA=12；（2）利用三角形相似与三角形全等依次求出F 1，F 2，F 3，F 4的坐标，观察求出F 2020的坐标． 【解析】（1）∵∠ABO +∠DBC ＝90°，∠ABO +∠OAB ＝90°， ∴∠DBC ＝∠OAB ， ∵∠AOB ＝∠BCD ＝90°， ∴△AOB ∽△BCD ， ∴OB OA=DC BC，∵DC ＝1，BC ＝2， ∴OB OA=12，故答案为12；（2）解：过C 作CM ⊥y 轴于M ，过M 1作M 1N ⊥x 轴，过F 作FN 1⊥x 轴．根据勾股定理易证得BD =√22+12=√5，CM ＝OA =2√55，DM ＝OB ＝AN =√55， ∴C （2√55，√5），∵AF ＝3，M 1F ＝BC ＝2， ∴AM 1＝AF ﹣M 1F ＝3﹣2＝1， ∴△BOA ≌ANM 1（AAS ）， ∴NM 1＝OA =2√55， ∵NM 1∥FN 1， ∴M 1N FN 1=AM 1AF， 2√55FN 1=13，∴FN 1=6√55， ∴AN 1=3√55，∴ON 1＝OA +AN 1=2√55+3√55=5√55 ∴F （5√55，6√55）， 同理，F 1（8√55，7√55），即（1×3+55√5，6+15√5） F 2（11√55，8√55），即（2×3+55√5，6+25√5） F 3（14√55，9√55），即（3×3+55√5，6+35√5） F 4（17√55，10√55），即（4×3+55√5，6+45√5） …F 2020（2020×3+55√5，6+20205√5），即（60625√5，405√5）， 故答案为即（60625√5，405√5）． 9．（2020•台州）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，A ，B ，C 分别为直线l 1，l 2，l 3上的动点，连接AB ，BC ，AC ，线段AC 交直线l 2于点D ．设直线l 1，l 2之间的距离为m ，直线l 2，l 3之间的距离为n ，若∠ABC ＝90°，BD ＝4，且m n=23，则m +n 的最大值为253．【分析】延长AB 交l 3于E ，根据已知条件得到DB CE=m m+n，求得CE ＝10，∠CBE ＝90°，设m ＝2x ，n＝3x ，构造以CE 为直径的半圆，则点B 在其弧上运动，易知BG ≤B ′G ′＝5，得到3x ≤5，由m +n ＝5x ≤253，于是得到结论．【解析】延长AB 交l 3于E ，∵m n=23，易知DB CE=m m+n，∵BD ＝4， ∴CE ＝10， ∵∠ABC ＝90°， ∴∠CBE ＝90°， 设m ＝2x ，n ＝3x ，构造以CE 为直径的半圆，则点B 在其弧上运动，易知BG ≤B ′G ′＝5， 即3x ≤5，∴x ≤53，∵m +n ＝5x ≤253， ∴m +n 的最大值为253．故答案为：253．10．（2020•温州）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB ＝∠AOE ＝90°，菱形的较短对角线长为2cm ．若点C 落在AH 的延长线上，则△ABE 的周长为 12+8√2 cm ．【分析】连接IC ，连接CH 交OI 于K ，则A ，H ，C 在同一直线上，CI ＝2，根据△COH 是等腰直角三角形，即可得到∠CKO ＝90°，即CK ⊥IO ，设CK ＝OK ＝x ，则CO ＝IO =√2x ，IK =√2x ﹣x ，根据勾股定理即可得出x 2＝2+√2，再根据S 菱形BCOI ＝IO ×CK =12IC ×BO ，即可得出BO ＝2√2+2，进而得到△ABE 的周长． 【解析】如图所示，连接IC ，连接CH 交OI 于K ，则A ，H ，C 在同一直线上，CI ＝2，∵三个菱形全等， ∴CO ＝HO ，∠AOH ＝∠BOC ， 又∵∠AOB ＝∠AOH +∠BOH ＝90°， ∴∠COH ＝∠BOC +∠BOH ＝90°， 即△COH 是等腰直角三角形，∴∠HCO ＝∠CHO ＝45°＝∠HOG ＝∠COK ， ∴∠CKO ＝90°，即CK ⊥IO ，设CK ＝OK ＝x ，则CO ＝IO =√2x ，IK =√2x ﹣x ， ∵Rt △CIK 中，（√2x ﹣x ）2+x 2＝22， 解得x 2＝2+√2，又∵S菱形BCOI＝IO×CK=12IC×BO，∴√2x2=12×2×BO，∴BO＝2√2+2，∴BE＝2BO＝4√2+4，AB＝AE=√2BO＝4+2√2，∴△ABE的周长＝4√2+4+2（4+2√2）＝12+8√2，故答案为：12+8√2．1．（2020•奉化区模拟）如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，延长EF交BC于G，FH⊥BC，垂足为H，连接BF、DG．以下结论：①BF∥ED；②BH＝3FH；③tan∠GEB=3 4；④S△BFG＝0.6，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理依次对各个选项进行判断、计算，即可得出答案．【解析】①∵AB＝4，E为AB的中点，∴AE＝BE＝2，∵将△ADE沿DE翻折得到△FDE，∴AD＝DF，AE＝EF＝2，∠AED＝∠DEF，∴AE＝EF＝BE，∴∠EBF＝∠EFB，∵∠AEF＝∠EBF+∠EFB，∴∠AED＝∠EBF，∴BF ∥ED ， 故①正确； ②∵BF ∥ED ， ∴∠ABF ＝∠AED ，∵∠ABF +∠FBH ＝90°，∠AED +∠ADE ＝90°， ∴∠FBH ＝∠ADE ，∴tan ∠FBH =FHBH =tan ∠ADE =AEAD =26=13， ∴FH BH=13，∴BH ＝3FH ， 故②正确；③过点E 作EM ⊥BF 于点M ，如图，∵AE ＝EF ＝BE ， ∴∠FEM =12∠BEF ， ∵∠DEF =12∠AEF ，∴∠FEM +∠DEF =12×180°=90°， ∵∠DEF +∠EDF ＝90°， ∴∠FEM ＝∠EDF ， ∵∠EMF ＝∠DFE ＝90°， ∴△EFM ∽△DEF ， ∴FM EF=EF ED，∴FM =√105， ∴BF =2FM =2√105，∵∠HBF +∠EBM ＝∠EBM +∠BEM ＝90°， ∴∠HBF ＝∠BEM ＝∠FEM ＝∠FDE ， ∵∠BHF ＝∠DFE ＝90°， ∴△BHF ∽△DFE ， ∴FH EF=BH DF，∵BH ＝3FH ， ∴FH =25，BH =65， 设HG ＝x ， ∵FH ⊥BC ， ∴FH ∥BE ， ∴△GFH ∽△GEB ，∴HG BG=HF BE，即xx+65=252，解得，x =310，∴BG =BH +HG =32， ∴tan ∠GEB =BG EB =34， 故③正确；④S △BFG =12BG ⋅FH =0.3， 故④错误； 综上共有3个正确． 故选：C ．2．（2020•宁波模拟）如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上，点D 落在D ′处，C′D′交AE于点M，若AB＝6，BC＝9，则AM的长为（）A．2 B．94C．52D．114【分析】先根据勾股定理求出BF，再根据△AMC′∽△BC′F求出AM即可．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，根据折叠的性质可知，FC＝FC′，∠C＝∠FC′M＝90°，设BF＝x，则FC＝FC′＝9﹣x，∵BF2+BC′2＝FC′2，∴x2+32＝（9﹣x）2，解得：x＝4，∴BF＝4，∵∠FC′M＝90°，∴∠AC′M+∠BC′F＝90°，又∵∠BFC′+BC′F＝90°，∴∠AC′M＝∠BFC′，∵∠A＝∠B＝90°，∴△AMC′∽△BC′F，∴AMBC′=AC′BF，即AM3=34，∴AM=9 4；故选：B．3．（2020•宁波模拟）如图，梯形ABCD 被分割成两个小梯形①②，和一个小正方形③，去掉③后，①和②可剪拼成一个新的梯形，若EF ﹣AD ＝2，BC ﹣EF ＝1，则AB 的长是（ ）A ．6B ．3√5C ．9D ．3√10【分析】连接AH 交EF 于点K ，根据EF ﹣AD ＝2，BC ﹣EF ＝1，可得BC ﹣AD ＝3，由图象剪拼观察可得，AD ＝HC ，四边形AHCD 是平行四边形，再证明△AEK ∽△ABH ，可得AB 的长．【解析】如图，连接AH 交EF 于点K ， ∵EF ﹣AD ＝2，BC ﹣EF ＝1， ∴BC ﹣AD ＝3， 由图象剪拼观察可知：AD ＝HC ，∴四边形AHCD 是平行四边形， ∴BC ﹣AD ＝BC ﹣HC ＝3，KF ＝AD ，EK ＝2，∵③为正方形， ∴EB ＝BH ＝3， ∵△AEK ∽△ABH ， ∴AE AB=EK BH，即AB−3AB=23，解得AB ＝9． 故选：C ．4．（2020•黄岩区模拟）如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，E 是边CD 上一点，连接AE ．折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上．若DE ＝4，则AF 的长为（ ）A ．163B ．4C ．3D ．2【分析】由矩形的性质可得AB ＝CD ＝6，AD ＝BC ＝8，∠BAD ＝∠D ＝90°，通过证明△ABF ∽△DAE ，可得AF AB=DE AD，即可求解．【解析】设BF 与AE 交于点H ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝CD ＝6，AD ＝BC ＝8，∠BAD ＝∠D ＝90°，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF ≌△GBF ，BF 垂直平分AG ， ∴BF ⊥AE ，AH ＝GH ， ∴∠BAH +∠ABH ＝90°， 又∵∠FAH +∠BAH ＝90°， ∴∠ABH ＝∠FAH ， 又∵∠BAD ＝∠D ＝90°， ∴△ABF ∽△DAE ， ∴AF AB=DE AD，∴AF =48×6=3， 故选：C ．5．（2020•路桥区模拟）如图，在矩形ABCD 中，将△ABE 沿着BE 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处，再将△DEG 沿着EG 翻折，使点D 落在EF 边上的点H 处．若点A ，H ，C 在同一直线上，AB ＝1，则AD 的长为（ ）A ．32B ．√5+12C ．√2D ．√5−1【分析】由折叠的性质可得AB ＝BF ＝1，AE ＝EF ，∠ABE ＝∠FBE ，∠A ＝∠EFB ＝90°，DE ＝EH ，可证四边形CDEF 是矩形，可得DE ＝FC ，由平行线分线段成比例可得HF AB=CF BC，可求AD 的长．【解析】连接AC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠C ＝∠ADC ＝∠ABC ＝90°，AD ＝BC ，∵将△ABE 沿着BE 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处，再将△DEG 沿着EG 翻折，使点D 落在EF 边上的点H 处，∴AB ＝BF ＝1，AE ＝EF ，∠ABE ＝∠FBE ，∠A ＝∠EFB ＝90°，DE ＝EH ， ∴AB ∥EF ，∠FEB ＝∠EBF ＝45°， ∴EF ＝BF ＝1＝AE ，∵∠EFC ＝∠C ＝∠ADC ＝90°， ∴四边形CDEF 是矩形， ∴DE ＝FC ，∴DE ＝EH ＝FC ＝AD ﹣AE ＝AD ﹣1， ∴HF ＝1﹣（AD ﹣1）＝2﹣AD ， ∵点A ，H ，C 在同一直线上，EF ∥AB ，∴HF AB =CF BC，∴2−AD1=AD−1AD，∴AD =1+√52或1−√52（舍去） ∴AD =1+√52， 故选：B ．6．（2020•宁波模拟）如图，四边形ABCD 是轴对称图形，对角线BD 所在的直线是它的对称轴，∠A ＝∠C ＝90°，AB ≠AD ，若把这个轴对称图形沿对角线BD 剪开成两个三角形后，再把这两个三角形的一边完全重合在一起，重新拼成一个中心对称图形，则拼法共有（ ）A ．0种B ．1种C ．2种D ．3种【分析】直接利用旋转的性质结合中心对称图形的性质得出符合题意的答案． 【解析】如图所示：3种拼法都是中心对称图形． 故选：D ．7．（2020•柯桥区模拟）如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AD ＝1，DC =√3，矩形OGHM 的边OM 经过点D ，边OG 交CD 于点P ，将矩形OGHM 绕点O 逆时针方向旋转α（0°＜α＜60°），OM ′交AD 于点F ，OG ′交CD 于点E ，设DF ＝y ，EP ＝x ，则y 与x 的关系为（ ）A ．y =√3xB ．y =√32xC ．y =√33xD ．y =12x【分析】由矩形的性质和余角的性质可得∠ODC ＝∠OCD ，由锐角三角函数可得AD DC=OP DO，通过证明△DOP∽△POE ，可得PEDF=PO DO，即可求解．【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ，∠ADC ＝90°， ∴DO ＝CO ， ∴∠ODC ＝∠OCD ， ∵四边形OGHM 是矩形， ∴∠MOG ＝90°， ∴∠ODC +∠OPD ＝90°， 又∵∠ODC +∠ODF ＝90°， ∴∠OPD ＝∠ODF ， ∵∠ODC ＝∠OCD ， ∴tan ∠OCD ＝tan ∠ODC ， ∴AD DC=OP DO，∵AD ＝1，DC =√3， ∴OP DO=√3，∵将矩形OGHM 绕点O 逆时针方向旋转α， ∴∠DOF ＝∠POE ， 又∵∠OPD ＝∠ODF ，∴△DFO∽△PEO，∴PEDF =PODO，∴xy =√3，∴y=√3x，故选：A．8．（2020•路桥区模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，DE是△ABC的中位线，点D在AB上，把点B绕点D按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°）角得到点F，连接AF，BF．下列结论：①△ABF是直角三角形；②若△ABF和△ABC全等，则α＝2∠BAC或2∠ABC；③若α＝90°，连接EF，则S△DEF＝4.5；其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．①②③D．②③【分析】由三角形中位线定理和旋转的性质可得AD＝BD＝DF，可得△ABF是直角三角形，可判断①；由全等三角形的性质和等腰三角形的性质，可得∠BDF＝α＝2∠DAF，∠DAF＝∠BAC或∠DAF＝∠ABC，可判断②；过点B作BN⊥DE，交ED的延长线于N，过点F作FH⊥DE，交交ED的延长线于H，由“AAS”可证△DFH≌△BDN，可得DN＝FH＝3，由三角形面积公式可得S△DEF＝4.5，可判断③，即可求解．【解析】∵DE是△ABC的中位线，∴AD＝DB，∵把点B绕点D按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°）角得到点F，∴BD＝DF，∴BD＝AD＝DF，∴△ABF是直角三角形，故①正确，∵AD＝BD＝DF，∴∠DAF＝∠DFA，∴∠BDF＝α＝2∠DAF，若△ABF和△ABC全等，且∠AFB＝∠C＝90°，∴∠DAF＝∠BAC或∠DAF＝∠ABC，∴α＝2∠BAC或2∠ABC，故②正确，如图，过点B作BN⊥DE，交ED的延长线于N，过点F作FH⊥DE，交交ED的延长线于H，∵BC＝6，DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12BC＝3，∵BN⊥DE，∠C＝90°，∴∠NEC+∠C＝180°，∴∠C＝∠NEC＝90°，又∵BN⊥DE，∴四边形BCEN是矩形，∴BC＝NE＝6，∴DN＝3，∵把点B绕点D按顺时针方向旋转90°，∴DF＝DB，∠FDB＝90°，∴∠FDH+∠BDN＝90°，又∵∠FDH+∠F＝90°，∴∠F＝∠BDN，又∵DF＝BD，∠FHD＝∠BND＝90°，∴△DFH≌△BDN（AAS），∴DN＝FH＝3，∴S△DEF＝4.5，故③正确，故选：C ．二．填空题（共6小题）9．（2020•下城区一模）如图，在矩形ABCD 中，点E 是边DC 上一点，连结BE ，将△BCE 沿BE 对折，点C 落在边AD 上点F 处，BE 与对角线AC 交于点M ，连结FM ．若FM ∥CD ，BC ＝4．则AF ＝ 2√5−2【分析】由对折的性质得∠BCM ＝∠BFM ，BC ＝BF ，再由FM ∥CD ，证明∠BFM ＝ABF ，从而得△ABF ∽△BCA ，由相似三角形的性质求得AB ，进而由勾股定理得AF ．【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AB ∥CD ，∵FM ∥CD ，∴FM ∥AB ，∴∠ABF ＝∠BFM ，由折叠的性质得，BF ＝BC ＝4，∠BFM ＝∠ACB ，∴∠ABF ＝∠ACB ，∴△ABF ∽△BCA ，∴AB BC =BF CA ， ∴AB 4=√AB 2+42， 即AB 216=16AB +16，∴AB 2=8√5−8，∴AF =√BF 2−AB 2=√16−8√5+8=√24−8√5=√(2√5−2)2=2√5−2．故答案为：2√5−2．10．（2020•柯桥区模拟）如图，在等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝4，∠A ＝30°，点D 为AC 的中点，点E 为边AB 上一个动点，连接DE ，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点F 处．当直线EF 与直线AC 垂直时，则AE 的长为 2√33或2√3 ．【分析】当直线EF与直线AC垂直时，如图1，如图2，根据折叠的性质得到和等腰三角形的判定和性质定理以及直角三角形的性质健康得到结论．【解析】∵AC＝4，点D为AC的中点，∴AD=12AC＝2，①当直线EF与直线AC垂直时，如图1，∵将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处，∴∠F＝∠A＝30°，∠AED＝∠FED，∵∠AGE＝90°，∴∠AEG＝60°，∴∠AED＝∠FED＝30°，∴AD＝DE＝2，过D作DM⊥AE与M，∴AE＝2AM＝2×√32×2＝2√3；当直线EF与直线AC垂直时，如图2，∵将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处，∴∠F＝∠A＝30°，∠ADE＝∠FDE，∵∠AGE ＝∠FGE ＝90°，∴∠FGD ＝60°，∴∠ADE ＝∠FDE ＝30°，∴∠A ＝∠ADE ，∴AE ＝DE ，∴AG =12AD ＝1， ∴AE =2√33，综上所述，2√33或2√3， 故答案为：2√33或2√3． 11．（2020•瓯海区二模）如图是一个可调节花盆支架，外围是一个圆形框架，如图1，支架AC ，BD 的长度均为14cm ，端点C ，D 固定在花盆圆形套圈的直径两端，端点A ，B 可在外围圆形框架上移动，整个花盆支架始终成轴对称，已知花盆高EF ＝15cm ，圆形套圈的直径CD ＝20cm ，且EF 被CD 平分为上下比为1：2，当端点A ，B 向上调节至最高时，AC ，BD 和CD 同一直线上（如图2所示），此时，花盆底到圆形框架最低点的距离为FG ＝6cm ，则圆形框架的半径为 26 cm ，为了整体美观要求，花盆底到圆形框架最低点的距离FG 要最大，则此时FG 为 （16﹣2√11） cm ．【分析】如图2中，设圆心为O ，连接OG ，交花盆的上底于E ，交花盆的下底于F ，交AB 于T ．连接OA ，设OA ＝OG ＝r ．在Rt △AOT 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．如图1中，如图1中，连接OG 交CD 于T ，连接OC ，OB ，观察图象可知：当，O ，C ，A 共线，O ，D ，B 共线时，OC ＝OD ＝26﹣14＝12最小，此时OE 的值最小，FG 的值最大．【解析】如图2中，设圆心为O ，连接OG ，交花盆的上底于E ，交花盆的下底于F ，交AB 于T ．连接OA ，设OA ＝OG ＝r ．由题意AB＝AC+CD+BD＝14+20+14＝48（cm），FG＝6cm，TF=23EF＝10（cm），∴TG＝TF+FG＝16（m）．在Rt△AOT中，∵OA2＝OT2+AT2，∴r2＝（r﹣16）2+242，解得r＝26．如图1中，连接OG交CD于T，连接OC，OB，观察图象可知：当，O，C，A共线，O，D，B共线时，OC＝OD＝26﹣14＝12最小，此时OE的值最小，FG 的值最大，在Rt△OCT中，CT＝10，OC＝12，∴OT=√OC2−CT2=√122−102=2√11（cm），∵TF=23EF＝10（cm），∴FG＝OG﹣OT﹣TF＝26﹣2√11−10＝（16﹣2√11）cm．故答案为26，（16﹣2√11）．12．（2020•温州一模）如图，在矩形ABCD中，BC＝8，E为BC中点，将△ABE沿AE翻折后，得到△AEF，再将CE折向FE，使点C与点F重合，折痕为EG．若CG＝3，则AG＝253．【分析】由折叠的性质可得AB ＝AF ，∠B ＝∠AFE ＝90°，FG ＝CG ＝3，∠C ＝∠EFG ＝90°，可证点A ，点F ，点G 三点共线，由勾股定理可求AB 的长，即可求解．【解析】∵将△ABE 沿AE 翻折后，得到△AEF ，再将CE 折向FE ，使点C 与点F 重合，∴AB ＝AF ，∠B ＝∠AFE ＝90°，FG ＝CG ＝3，∠C ＝∠EFG ＝90°，∴∠AFE +∠GFE ＝180°，∴点A ，点F ，点G 三点共线，∵AD 2+DG 2＝AG 2，∴64+（AB ﹣3）2＝（AB +3）2，∴AB =163， ∴AG ＝AF +FG =253，故答案为：253．13．（2020•杭州模拟）如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，E 为AB 边上一点，将△BEC 沿着CE 翻折，使点B 落在点F 处，连接AF ，当△AEF 为直角三角形时，BE ＝ 3或6 ．【分析】分三种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可BE 的长．【解析】如图，若∠AEF ＝90°，∵∠B ＝∠BCD ＝90°＝∠AEF∴四边形BCFE 是矩形∵将△BEC 沿着CE 翻折∴CB＝CF∴四边形BCFE是正方形∴BE＝BC＝AD＝6，如图，若∠AFE＝90°，∵将△BEC沿着CE翻折∴CB＝CF＝6，∠B＝∠EFC＝90°，BE＝EF∵∠AFE+∠EFC＝180°∴点A，点F，点C三点共线∴AC=√AB2+BC2=10，∴AF＝AC﹣CF＝4∵AE2＝AF2+EF2，∴（8﹣BE）2＝16+BE2，∴BE＝3，（3）若∠EAF＝90°，∵CD＝8＞CF＝6∴点F不可能落在直线AD上，∴不存在∠EAF＝90°，综上所述：BE＝3或614．（2020•余杭区二模）如图，已知矩形ABCD，E，F分别是边AB，CD的中点，M，N分别是边AD，AB上两点，将△AMN沿MN对折，使点A落在点E上．若AB＝a，BC＝b，且N是FB的中点，则ba 的值为√22．【分析】由题意可证四边形ADEF 是矩形，可得AD ＝EF ＝b ，∠EFB ＝90°，由折叠性质可得AN ＝EN =34a ，由勾股定理可求解．【解析】∵四边形ABCD 是矩形∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∠A ＝90°∵E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，N 是FB 的中点，∴DE ＝AF ＝BF =12AB =12a ，FN =14AB =14a ，∴AN ＝AF +FN =34a∵AF ＝DE ，DC ∥AB ，∠A ＝90°∴四边形ADEF 是矩形∴AD ＝EF ＝b ，∠EFB ＝90°∵将△AMN 沿MN 对折，使点A 落在点E 上∴AN ＝EN =34a ，在Rt △EFN 中，EN 2＝EF 2+FN 2，∴916a 2＝b 2+116a 2，∴b =√22a ∴b a =√22故答案为：√22 三．解答题（共6小题）15．（2020•江干区模拟）已知一张正方形ABCD 纸片，边长AB ＝2，按步骤进行折叠，如图1，先将正方形纸片ABCD 对折，得到折痕EF ；再折出矩形BCFE 的对角线BF ．（1）如图2，将CF 边折到BF 上，得到折痕FM ，点C 的对应点为C '，求CM 的长．（2）如图3，将AB 边折到BF 上，得到折痕BN ，点A 的对应点为A '，求AN 的长．【分析】（1）由折叠的性质可得CF ＝C 'F ＝1，∠C ＝∠FC 'M ＝90°，CM ＝C 'M ，可得BC '=√5−1，由锐角三角函数可得CF BC =C ′M BC ′，即可求解；（2）由折叠的性质可得AB ＝A 'B ＝2，AN ＝A 'N ，∠A ＝∠NA 'F ＝90°，由勾股定理可列方程，可求解．【解析】∵将正方形纸片ABCD 对折，∴CF ＝DF ＝1，∴BF =√CF 2+BC 2=√1+4=√5，（1）∵将CF 边折到BF 上，∴CF ＝C 'F ＝1，∠C ＝∠FC 'M ＝90°，CM ＝C 'M ，∴BC '=√5−1，∵tan ∠FBC =CF BC =C ′M BC ′， ∴12=√5−1， ∴C 'M =√5−12， ∴CM =√5−12；（2）如图，连接NF ，∵将AB 边折到BF 上，∴AB ＝A 'B ＝2，AN ＝A 'N ，∠A ＝∠NA 'F ＝90°，∴A 'F =√5−2，∵NF2＝DN2+DF2，NF2＝A'N2+A'F2，∴（2﹣AN）2+1＝AN2+（√5−2）2，∴AN=√5−1．16．（2020•宁波模拟）如图，平行四边形纸片ABCD中，折叠纸片使点D落在AB上的点E处，得折痕AF，再折叠纸片使点C落在EF上的G点，得折痕FH．（1）请说明：∠AFH＝90°；（2）请说明：GH∥AB．【分析】（1）根据折叠的性质得到∠DFA＝∠EFA，∠CFH＝∠GFH，根据平角的定义即可得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，求得∠DFA＝∠FAE，得到AD＝DF，推出四边形ADFE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AD∥EF，推出四边形BCFE是平行四边形，于是得到结论．【解析】（1）∵折叠纸片使点D落在AB上的点E处，∴∠DFA＝∠EFA，∵折叠纸片使点C落在EF上的G点，∴∠CFH＝∠GFH，∵∠DFA+∠EFA+∠GFH+∠CFH＝180°，∴∠EFA+∠GFH=12×180°=90°，∴∠AFH＝90°；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DFA＝∠FAE，∵∠DAF＝∠EAF，∴∠DAF＝∠DFA，∴AD＝DF，由折叠的性质得，AD＝AE，∴AE＝DF，∵AE∥DF，∴四边形ADFE是平行四边形，∴AD∥EF，∴EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，∴∠C＝∠BEF，由折叠的性质的，∠C＝∠FGH，∴∠FGH＝∠BEF，∴GH∥AB．17．（2020•上虞区一模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4√2，BC＝8，∠B＝60°，将平行四边形ABCD 沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D′处，折叠后点C的对应点为C′，D′C′交BC于点G，∠BGD′＝32°．（1）求∠D′EF的度数；（2）求线段AE的长．【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠B＝∠D＝60°，AD∥BC，可得∠DEF＝∠EFB，由折叠的性质可得∠D＝∠ED'G＝60°，∠DEF＝∠D'EF，由四边形内角和定理可求∠D′EF的度数；（2）过点E作EH⊥AB于点H，设AE＝x，可得AH=x2，HE=√32x，由勾股定理可求x的值，即可求线段AE的长．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴∠B＝∠D＝60°，AD∥BC∴∠DEF＝∠EFB∵将平行四边形ABCD沿EF折叠，点D恰好落在边AB的中点D′处∴∠D＝∠ED'G＝60°，∠DEF＝∠D'EF，∴∠D'EF＝∠EFB，∵∠BGD ′＝32°∴∠D 'GF ＝148°∵∠D 'GF +∠EFB +∠D 'EF +∠ED 'G ＝360°∴∠D 'EF ＝76°（2）过点E 作EH ⊥AB 于点H ，设AE ＝x ，∵AD ∥BC∴∠HAD ＝∠B ＝60°，且EH ⊥AB∴AH =x 2，HE =√32x ，∵点D '是AB 中点∴AD '=12AB ＝2√2∵HE 2+D 'H 2＝D 'E 2，∴34x 2+（2√2+x 2）2＝（8﹣x ）2， ∴x =112−14√231∴AE =112−14√231 18．（2020•萧山区模拟）如图，在矩形ABCD 中，2AB ＞BC ，点E 和点F 为边AD 上两点，将矩形沿着BE 和CF 折叠，点A 和点D 恰好重合于矩形内部的点G 处，（1）当AB ＝BC 时，求∠GEF 的度数；（2）若AB =√2，BC ＝2，求EF 的长．【分析】（1）由折叠的性质可得AB＝BG，CD＝CG；∠EGB＝∠A＝90°＝∠FGC，可得BG＝BC＝GC，可得∠BGC＝60°，∠ABG＝30°，由四边形内角和可求∠AEG＝360°﹣∠A﹣∠BGE﹣∠ABG＝150°，可求∠GEF的度数；（2）由折叠的性质可得AB＝BG，CD＝CG，AE＝EG，DF＝FG，由勾股定理的逆定理可得∠BGC＝90°，可得∠GBC＝45°，由四边形内角和可求∠AEG＝360°﹣∠A﹣∠BGE﹣∠ABG＝135°，可求∠FEG＝45°，由线段关系可求EF的长．【解析】（1）当AB＝BC时，矩形ABCD为正方形由折叠得，AB＝BG，CD＝CG；∠EGB＝∠A＝90°＝∠FGC，∵AB＝BC＝CD∴BG＝BC＝GC∴∠BGC＝60°∴∠ABG＝30°∴∠AEG＝360°﹣∠A﹣∠BGE﹣∠ABG＝150°∴∠GEF＝30°（2）在矩形ABCD中，AB＝CD=√2由折叠得，AB＝BG，CD＝CG，AE＝EG，DF＝FG∴BG＝GC=√2，∵BG2+CG2＝4，BC2＝4，∴BG2+CG2＝BC2，∴∠BGC＝90°，且BG＝CG，∴∠GBC＝45°∴∴∠AEG＝360°﹣∠A﹣∠BGE﹣∠ABG＝135°∴∠FEG＝45°，同理可得∠EFG＝45°，∴△EGF为等腰直角三角形设EG＝x，则AE＝FD＝x，EF=√2x，得（2+√2）x＝2，∴x＝2−√2∴EF=√2x＝2√2−219．（2020•义乌市校级模拟）在△ABC中，沿着中位线DE剪切后，用得到的△ADE和四边形DBCE可以拼成平行四边形DBCF，剪切线与拼图如图1所示．仿照上述的方法，按要求完成下列操作设计，并在规定位置画出图示．（画图工具不限，剪切线用实线表示，拼接线用虚线表示，要求写出简要的说明）（1）将平行四边形ABCD剪切成两个图形，再将它们拼成一个矩形，剪切线与拼图画在图2的位置；（2）将梯形ABCD剪切成两个图形，再将它们拼成一个平行四边形，剪切线与拼图画在图3的位置．【分析】（1）过点A作AE⊥BC，再把△ABE剪切，然后移到△DCF的位置即可；（2）过AB的中点作GF∥DC，再把△BGF剪切，然后旋转到△AEG的位置即可；【解析】（1）如图：过点A作AE⊥BC，再把△ABE剪切，然后移到△DCF的位置即可；（2）如图：过AB的中点作GF∥DC，再把△BGF剪切，然后旋转到△AEG的位置即可；20．（2020•新昌县一模）在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（4，4），点M，N是射线OC上两动点（OM＜ON），且运动过程中始终保持∠MAN＝45°，小明用几何画板探究其中的线段关系．（1）探究发现：当点M，N均在线段OB上时（如图1），有OM2+BN2＝MN2．他的证明思路如下：第一步：将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN＝OP．第二步：证明△APM≌△ANM，得MP＝MM．第一步：证明∠POM＝90°，得OM2+OP2＝MP2．最后得到OM2+BN2＝MN2．请你完成第二步三角形全等的证明．（2）继续探究：除（1）外的其他情况，OM2+BN2＝MN2的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）新题编制：若点B是MN的中点，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）．【分析】（1）将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN＝OP．证明△APM≌△ANM，再利用勾股定理即可解决问题．（2）如图2中，当点M，N在OB的延长线上时结论仍然成立．证明方法类似（1）．（3）如图3中，若点B是MN的中点，求MN的长．利用（2）中结论，构建方程即可解决问题．【解析】（1）如图1中，将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN＝OP．∵点A（0，4），B（4，4），∴OA＝AB，∠OAB＝90°，∵∠NAP＝∠OAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠MAP，∵MA＝MA，AN＝AP，∴△MAN≌△MAP（SAS）．（2）如图2中，结论仍然成立．理由：如图2中，将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN＝OP．∵∠NAP＝∠OAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠MAP，∵MA＝MA，AN＝AP，∴△MAN≌△MAP（SAS），∴MN＝PM，∵∠ABN＝∠AOP＝135°，∠AOB＝45°，∴∠MOP＝90°，∴PM2＝OM2+OP2，∴OM2+BN2＝MN2．（3）如图3中，若点B是MN的中点，求MN的长．设MN＝2x，则BM＝BN＝x，∵OA＝AB＝4，∠OAB＝90°，∴OB＝4√2，∴OM＝4√2−x，∵OM2+BN2＝MN2．∴（4√2−x）2+x2＝（2x）2，解得x＝﹣2√2+2√6或﹣2√2−2√6（舍弃）∴MN＝﹣4√2+4√6．。

2020年中考数学压轴题(含答案解析)

2020年中考数学压轴题(含答案解析)

2020年中考数学压轴题一、选择题1．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（）A．（，0）B．（2，0）C．（，0）D．（3，0）2．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，D是BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转45°得AE，连接CE，则线段CE长的最小值为（）A．B．C．﹣1 D．2﹣二、填空题3．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为．第3题第4题4．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC ＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O 到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．三、解答题5．如图（1），在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，动点P在线段AC上以5cm/s的速度从点A运动到点C，过点P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A′DP，设点P的运动时间为x（s）．（1）当点A′落在边BC上时，求x的值；（2）在动点P从点A运动到点C过程中，当x为何值时，△A′BC是以A′B为腰的等腰三角形；（3）如图（2），另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C，过点Q作QE⊥AB于点E，将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B′EQ，连结A′B′，当直线A′B′与△ABC的一边垂直时，求线段A′B′的长．6．在△AOB中，∠ABO＝90°，AB＝3，BO＝4，点C在OB上，且BC＝1，（1）如图1，以O为圆心，OC长为半径作半圆，点P为半圆上的动点，连接PB，作DB⊥PB，使点D落在直线OB的上方，且满足DB：PB＝3：4，连接AD①请说明△ADB∽△OPB；②如图2，当点P所在的位置使得AD∥OB时，连接OD，求OD的长；③点P在运动过程中，OD的长是否有最大值？若有，求出OD长的最大值：若没有，请说明理由．（2）如图3，若点P在以O为圆心，OC长为半径的圆上运动．连接PA，点P在运动过程中，PA﹣是否有最大值？若有，直接写出最大值；若没有，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，∵∠ACO+∠BCD＝90°，∠OAC+∠ACO＝90°，∴∠OAC＝∠BCD，在△ACO与△BCD中，∴△ACO≌△BCD（AAS）∴OC＝BD，OA＝CD，∵A（0，2），C（1，0）∴OD＝3，BD＝1，∴B（3，1），∴设反比例函数的解析式为y＝，将B（3，1）代入y＝，∴k＝3，∴y＝，∴把y＝2代入，∴x＝，当顶点A恰好落在该双曲线上时，此时点A移动了个单位长度，∴C也移动了个单位长度，此时点C的对应点C′的坐标为（，0）故选：A．2．【分析】在AB上截取AF＝AC＝2，由旋转的性质可得AD＝AE，由勾股定理可求AB＝2，可得BF ＝2﹣2，由“SAS”可证△ACE≌△AFD，可得CE＝DF，则当DF⊥BC时，DF值最小，即CE的值最小，由直角三角形的性质可求线段CE长的最小值．【解答】解：如图，在AB上截取AF＝AC＝2，∵旋转∴AD＝AE∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°∴AB＝2，∠B＝∠BAC＝45°，∴BF＝2﹣2∵∠DAE＝45°＝∠BAC∴∠DAF＝∠CAE，且AD＝AE，AC＝AF∴△ACE≌△AFD（SAS）∴CE＝DF，当DF⊥BC时，DF值最小，即CE的值最小，∴DF最小值为＝2﹣故选：D．二、填空题3．【分析】连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′＝∠B′CD′＝90°、AB＝CD ＝5、BC＝B′C＝4，从而得出四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形且OE＝OD＝OC＝2.5，继而求得CG＝B′E＝OH＝＝＝2，根据垂径定理可得CF的长．【解答】解：连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，则∠OEB′＝∠OHB′＝90°，∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝5、BC＝B′C＝4，∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝2.5，∴B′H＝OE＝2.5，∴CH＝B′C﹣B′H＝1.5，∴CG＝B′E＝OH＝＝＝2，∵四边形EB′CG是矩形，∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′，∴CF＝2CG＝4，故答案为：4．4．【分析】（1）在BC上截取BG＝PD，通过三角形全等证得AG＝AP，BG＝DP，得出△AGP是等边三角形，得出AP＝GP，则PA+PC＝GP+PC＝GC＝PE，即可证得结论；（2）以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，可证△GMO≌△DME，可得GO＝DE，则MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即当D、E、O、N四点共线时，MO+NO+GO值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的长度，即可求MO+NO+GO 的最小值．【解答】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，在△ABG和△ADP中，∴△ABG≌△ADP（SAS），∴AG＝AP，BG＝DP，∴GC＝PE，∵∠GAP＝∠BAD＝60°，∴△AGP是等边三角形，∴AP＝GP，∴PA+PC＝GP+PC＝GC＝PE∴PA+PC＝PE；（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．∵△MGD和△OME是等边三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME在△GMO和△DME中∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，∵MG＝．∴MF＝DF＝4，∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，∴ND＝＝＝2，∴MO+NO+GO最小值为2，故答案为2，三、解答题5．【分析】（1）根据勾股定理求出AC，证明△APD∽△ABC，△A′PC∽△ABC，根据相似三角形的性质计算；（2）分A′B＝BC、A′B＝A′C两种情况，根据等腰三角形的性质解答；（3）根据题意画出图形，根据锐角三角函数的概念计算．【解答】解：（1）如图1，∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝＝4cm，当点A′落在边BC上时，由题意得，四边形APA′D为平行四边形，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝∠C＝90°，∵∠A＝∠A，∴△APD∽△ABC，∵AP＝5x，∴A′P＝AD＝4x，PC＝4﹣5x，∵∠A′PD＝∠ADP，∴A′P∥AB，∴△A′PC∽△ABC，∴，即＝，解得：x＝，∴当点A′落在边BC上时，x＝；（2）当A′B＝BC时，（5﹣8x）2+（3x）2＝32，解得：．∵x≤，∴；当A′B＝A′C时，x＝．（3）Ⅰ、当A′B′⊥AB时，如图6，∴DH＝PA'＝AD，HE＝B′Q＝EB，∵AB＝2AD+2EB＝2×4x+2×3x＝5，∴x＝，∴A′B′＝QE﹣PD＝x＝；Ⅱ、当A′B′⊥BC时，如图7，∴B′E＝5x，DE＝5﹣7x，∴cos B＝，∴x＝，∴A′B′＝B′D﹣A′D＝；Ⅲ、当A′B′⊥AC时，如图8，由（1）有，x＝，∴A′B′＝PA′sin A＝；当A′B′⊥AB时，x＝，A′B′＝；当A′B′⊥BC时，x＝，A′B′＝；当A′B′⊥AC时，x＝，A′B′＝．6．【分析】（1）①由∠ABO＝90°和DB⊥PB可得∠DBA＝∠PBO，结合边长关系由两边对应成比例及其夹角相等的三角形相似即可证明结论．②过D点作DH⊥BO交OB延长线于H点，由AD∥OB平行可得∠DAB＝90°，而△ADB∽△OPB可知∠POB＝90°，由已知可求出AD．由Rt△DHO即可计算OD的长，③由△ADB∽△OPB可知，可求AD＝，由此可知D在以A为圆心AD为半径的圆上运动，所以OD的最大值为OD过A点时最大．求出OA即可得到答案．（2）在OC上取点B′，使OB′＝OP＝，构造△BOP～△POB′，可得＝PA﹣PB′≤AB'，求出AB’即可求出最大值．【解答】解：（1）①∵DB⊥PB，∠ABO＝90°，∴∠ADB＝∠CDP，又∵AB＝3，BO＝4，DB：PB＝3：4，即：，∴△ADB∽△OPB；②如解图（2），过D点作DH⊥BO交OB延长线于H点，∵AD∥OB，∠ABD＝90°，∴∠DAB＝90°，又∵△ADB∽△OPB，∴，∴AD＝，∵四边形ADHB为矩形，∴HD＝AB＝3，HB＝AD＝，∴OH＝OB+HB＝在Rt△DHO中，OD＝＝＝．③在△AOB中，∠ABO＝90°，AB＝3，BO＝4，∴OA＝5．由②得AD＝，∴D在以A为圆心AD为半径的圆上运动，∴OD的最大值为OD过A点时最大，即OD的最大值为＝OA+AD＝5+＝．（2）如解图（4），在OC上取点B′，使OB′＝OP＝，∵∠BOP＝∠POB′，＝，∴△BOP～△POB′，∴，∴＝PA﹣PB′≤AB'，∴∴有最大值为AB′，在Rt△ABB′中，AB＝3，BB′＝＝，∴AB′＝＝＝，即：点P在运动过程中，PA﹣有最大值为，2020年中考数学压轴题一、选择题1．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）A．90°B．100°C．110°D．120°2．如图，P是半圆O上一点，Q是半径OA延长线上一点，AQ＝OA＝1，以PQ为斜边作等腰直角三角形PQR，连接OR．则线段OR的最大值为（）A．B．3 C．D．1二、填空题3．如图，E、F，G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC＝，则AB的长为．第3题第4题4．如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝8，∠CAB＝60°，P是弧上的一个点，连接AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，在点P移动过程中，BD长的最小值为．三、解答题5．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆．AC、BD是四边形ABCD的对角线，BD经过圆心O，点E在BD的延长线上，BA与CD的延长线交于点F，DF平分∠ADE．（1）求证：AC＝BC；（2）若AB＝AF，求∠F的度数；（3）若，⊙O半径为5，求DF的长．6．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD＝AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE表示△BCE的面积，S△AEF表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当＝7时，请直接写出线段AE的长．【答案与解析】一、选择题1．【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【解答】解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交ED于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作EA延长线AH，∵∠BAE＝120°，∴∠HAA′＝60°，∴∠A′+∠A″＝∠HAA′＝60°，∵∠A′＝∠MAA′，∠NAE＝∠A″，且∠A′+∠MAA′＝∠AMN，∠NAE+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠A′+∠MAA′+∠NAE+∠A″＝2（∠A′+∠A″）＝2×60°＝120°，故选：D．2．【分析】将△RQO绕点R顺时针旋转90°，可得△RPE，可得ER＝RO，∠ERO＝90°，PE＝OQ＝2，由直角三角形的性质可得EO＝RO，由三角形三边关系可得EO≤PO+EP＝3，即可求解．【解答】解：将△RQO绕点R顺时针旋转90°，可得△RPE，∴ER＝RO，∠ERO＝90°，PE＝OQ＝2∴EO＝RO，∵EO≤PO+EP＝3∴RO≤3∴OR的最大值＝故选：A．二、填空题3．【分析】如图，连接BD．由△ADG∽△GCF，设CF＝BF＝a，CG＝DG＝b，可得＝，推出＝，可得b＝a，在Rt△GCF中，利用勾股定理求出b，即可解决问题；【解答】解：如图，连接BD．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AC＝BD＝，∵CG＝DG，CF＝FB，∴GF＝BD＝，∵AG⊥FG，∴∠AGF＝90°，∴∠DAG+∠AGD＝90°，∠AGD+∠CGF＝90°，∴∠DAG＝∠CGF，∴△ADG∽△GCF，设CF＝BF＝a，CG＝DG＝b，∴＝，∴＝，∴b2＝2a2，∵a＞0．b＞0，∴b＝a，在Rt△GCF中，3a2＝，∴a＝，∴AB＝2b＝2．故答案为2．4．【分析】以AC为直径作圆O′，连接BO′、BC．在点P移动的过程中，点D在以AC为直径的圆上运动，当O′、D、B共线时，BD的值最小，最小值为O′B﹣O′D，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．【解答】解：如图，以AC为直径作圆O′，连接BO′、BC，O'D，∵CD⊥AP，∴∠ADC＝90°，∴在点P移动的过程中，点D在以AC为直径的圆上运动，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∵AB＝8，∠CAB＝60°，∴BC＝AB•sin60°＝4，AC＝AB•cos60°＝4，∴AO'＝CO'＝2，∴BO'＝＝＝2，∵O′D+BD≥O′B，∴当O′、D、B共线时，BD的值最小，最小值为O′B﹣O′D＝2﹣2，故答案为2﹣2．三、解答题5．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠EDF＝∠ADF，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理结论得到结论；（2）根据圆周角定理得到AD⊥BF，推出△ACB是等边三角形，得到∠ADB＝∠ACB＝60°，根据等腰三角形的性质得到结论；（3）设CD＝k，BC＝2k，根据勾股定理得到BD＝＝k＝10，求得＝2，BC＝AC＝4，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】（1）证明：∵DF平分∠ADE，∴∠EDF＝∠ADF，∵∠EDF＝∠ABC，∠BAC∠BDC，∠EDF＝∠BDC，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC；（2）解：∵BD是⊙O的直径，∴AD⊥BF，∵AF＝AB，∴DF＝DB，∴∠FDA＝∠BDA，∴∠ADB＝∠CAB＝∠ACB，∴△ACB是等边三角形，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∴∠F＝∠ABD＝30°；（3）解：∵，∴＝，设CD＝k，BC＝2k，∴BD＝＝k＝10，∴k＝2，∴CD＝2，BC＝AC＝4，∵∠ADF＝∠BAC，∴∠FAC＝∠ADC，∵∠ACF＝∠DCA，∴△ACF∽△DCA，∴＝，∴CF＝8，∴DF＝CF﹣CD＝6．6．【分析】（1）过点E作EG⊥BC，垂足为点G．AE＝x，则EC＝2﹣x．根据BG＝EG构建方程求出x 即可解决问题．（2）①证明△AEF∽△BEC，可得，由此构建关系式即可解决问题．②分两种情形：当∠CAD＜120°时，当120°＜∠CAD＜180°时，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC﹣AC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．∵AD＝AC，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD＝180°，∠CAD＝90°，∠ABD＝15°，∴∠EBC＝45°．过点E作EG⊥BC，垂足为点G．设AE＝x，则EC＝2﹣x．在Rt△CGE中，∠ACB＝60°，∴，，∴BG＝2﹣CG＝1+x，在Rt△BGE中，∠EBC＝45°，∴，解得．所以线段AE的长是．（2）①设∠ABD＝α，则∠BDA＝α，∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝120°﹣2α．∵AD＝AC，AH⊥CD，∴，又∵∠AEF＝60°+α，∴∠AFE＝60°，∴∠AFE＝∠ACB，又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴，由（1）得在Rt△CGE中，，，∴BE2＝BG2+EG2＝x2﹣2x+4，∴（0＜x＜2）．②当∠CAD＜120°时，y＝7，则有7＝，整理得3x2+x﹣2＝0，解得x＝或﹣1（舍弃），．当120°＜∠CAD＜180°时，同法可得y＝当y＝7时，7＝，整理得3x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣（舍弃）或1，∴AE＝1．2020年中考数学压轴题一、选择题1．已知函数y ＝ax 2+bx +c 的图象的一部分如图所示，则a +b +c 取值范围是（ ）A ．﹣2＜a +b +c ＜0B ．﹣2＜a +b +c ＜2C ．0＜a +b +c ＜2D ．a +b +c ＜22．如图所示，矩形OABC 中，OA ＝2OC ，D 是对角线OB 上的一点，OD ＝OB ，E 是边AB 上的一点．AE ＝AB ，反比例函数y ＝（x ＞0）的图象经过D ，E 两点，交BC 于点F ，AC 与OB 交于点M ．EF与OB 交于点G ，且四边形BFDE 的面积为．下列结论：①EF ∥AC ；②k ＝2；③矩形OABC 的面积为；④点F 的坐标为（，）正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题 3．如图，二次函数y ＝（x +2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，与x 轴的一个交点为A （﹣1，0），点B 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过A ，B 两点，根据图象，则满足不等式（x +2）2+m ≤kx +b 的x 的取值范围是 ．4．如图，AE=4，以AE 为直径作⊙O ，点B 是直径AE 上的一动点，以AB 为边在AE 的上方作正方形ABCD ，取CD 的中点M ，将△ADM 沿直线AM 对折，当点D 的对应点D ´落在⊙O 上时，BE 的长为 .三、解答题5．在平面直角坐标系xOy 中，有不重合的两个点Q （x 1，y 1）与P （x 2，y 2）．若Q ，P 为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x 轴或y 轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点Q 与点P 之间的“折距”，记做D PQ ．特别地，当PQ 与某条坐标轴平EA OB D CM D´行（或重合）时，线段PQ的长即点Q与点P之间的“折距”．例如，在图1中，点P（1，﹣1），点Q（3，﹣2），此时点Q与点P之间的“折距”D PQ＝3．（1）①已知O为坐标原点，点A（3，﹣2），B（﹣1，0），则D AO＝，D BO＝．②点C在直线y＝﹣x+4上，请你求出D CO的最小值．（2）点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点F是直线y＝3x+6上以动点．请你直接写出点E与点F之间“折距”D EF的最小值．6．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E在AD上，ED＝3．动点P从点B出发沿BC方向以每秒3个单位的速度向点C运动，过点P作PF∥CE，与边BA交于点F，过点F作FG∥BC，与CE交于点G，当点F与点A重合时，点P停止运动，设点P运动的时间为t秒．（1）用含t的代数式分别表示线段BF和PF的长度，则有BF＝，PF＝．（2）如图2，作点D关于CE的对称点D′，当FG恰好过点D′时，求t的值．（3）如图3，作△FGP的外接圆⊙O，当点P在运动过程中．①当外接圆⊙O与四边形ABCE的边BC或CE相切时，请求出符合要求的t的值；②当外接圆⊙O的圆心O落在△FGP的内部（不包括边上）时，直接写出t的取值范围．【答案与解析】一、选择题1．【分析】函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下可知a小于0，由于抛物线顶点在第一象限即抛物线对称轴在y轴右侧，当x＝1时，抛物线的值必大于0由此可求出a的取值范围，将a+b+c用a表示出即可得出答案．【解答】解：由图象可知：a＜0，图象过点（0，1），所以c＝1，图象过点（﹣1，0），则a﹣b+1＝0，当x＝1时，应有y＞0，则a+b+1＞0，将a﹣b+1＝0代入，可得a+（a+1）+1＞0，解得a＞﹣1，所以，实数a的取值范围为﹣1＜a＜0．又a+b+c＝2a+2，∴0＜a+b+c＜2．故选：C．2．【分析】设E（a，b），F（m，n），则a＝OA＝BC，b＝AE，CF＝m，n＝CO＝AB，证明＝即可判断①；表示出D和E的坐标，根据系数k的几何意义求得k的值即可判断②；求得B的坐标，求得矩形OABC的面积即可判断③；求得F的坐标即可判断④．【解答】解：设E（a，b），F（m，n），则a＝OA＝BC，b＝AE，CF＝m，n＝CO＝AB，∴B（a，n），∵E，F在反比例函数y＝上，∴ab＝mn，∴BC•AE＝CF•AB，∴＝，∴EF∥AC，故①正确；∵OD＝OB，AE＝AB，∴D（a，n），E（a，n），∵OA＝2OC，∴a＝2n，∴B（2n，n），D（n，n），E（2n，n），∵反比例函数y＝经过点F，E，∴k＝mn＝2n•n，∴m＝n，∴F（n，n），∴BF＝2n﹣n＝n，BE＝n，∵四边形BFDE的面积＝S△BDF+S△BDE＝，∴×n×（n﹣n）+×n×（2n﹣n）＝，解得n＝，∴E（3，），F（，）∴k＝3×＝2，故②④正确；∵B（3，），∴矩形OABC的面积为，故③正确；故选：A．二、填空题3．【分析】将点A代入抛物线中可求m＝﹣1，则可求抛物线的解析式为y＝x2+4x+3，对称轴为x＝﹣2，则满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1．【解答】解：抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴m＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3，∴点C坐标（0，3），∴对称轴为x＝﹣2，∵B与C关于对称轴对称，点B坐标（﹣4，3），∴满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1，故答案为﹣4≤x≤﹣1．4.三、解答题5．【分析】（1）①D AO＝|3﹣0|+|﹣2﹣0|＝5，即可求解；②设点C（m，4﹣m），则D CO＝|m|+|m﹣4|，当0≤m≤4时，D CO最小，即可求解；（2）EF1是“折距”D EF的最小值，即求EF1的最小值即可，当点E在y轴左侧于平行于直线y＝﹣x+4的直线相切时，EF1最小，即可求解．【解答】解：（1）①D AO＝|3﹣0|+|﹣2﹣0|＝5，同理D BO＝1，故答案为：5，1；②设点C（m，4﹣m），则D CO＝|m|+|m﹣4|，当0≤m≤4时，D CO最小，最小值为4；（2）如图2，过点E分别作x、y轴的平行线交直线y＝﹣x+4于F1、F2，则EF1是“折距”D EF的最小值，即求EF1的最小值即可，当点E在y轴左侧于平行于直线y＝﹣x+4的直线相切时，EF1最小，如图3，将直线y＝﹣x+4向右平移与圆相切于点E，平移后的直线与x轴交于点G，连接OE，设原直线与x、y轴交于点M、N，则点M、N的坐标分别为（﹣2，0）、点N（0，6），则MN＝2，则△MON∽△GEO，则，即，则GO＝，EF1＝MG＝2﹣＝．6．【分析】（1）由△PFB∽△ECD，得＝＝，由此即可解决问题．（2）如图2中，由△D′MG∽△CDE，得＝，求出MG，根据PF＝CG＝CM﹣MG，列出方程即可解决问题．（3）①存在．如图4中，当⊙O与BC相切时，连接OP延长PO交FG于M，连接OF、OG，由PB＝MF＝MG＝FG＝PC，得到3t＝（5﹣3t），即可解决问题．如图5中，当⊙O与BC相切时，连接GO，延长GO交PF于M，连接OF、OP，由△FGM∽△PFB，得＝，列出方程即可解决问题．②求出两种特殊位置t的值即可判断．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝5，∠B＝∠D＝90°，AD∥BC，在Rt△ECD中，∵∠D＝90°，ED＝3．CD＝4，∴EC＝＝5，∵PF∥CE，FG∥BC，∴四边形PFGC是平行四边形，∴∠FPB＝∠ECB＝∠DEC，∴△PFB∽△ECD，∴＝＝，∴＝＝，∴BF＝4t，PF＝5t，故答案为4t，5t．（2）如图2中，∴D、D′关于CE对称，∴DD′⊥CE，DM＝MD′，∵•DE•DC＝•EC•DM，∴DM＝D′M＝，CM＝＝，由△D′MG∽△CDE，得＝，∴＝，∴MG＝，∴PF＝CG＝CM﹣MG，∴5t＝﹣，∴t＝．∴t＝时，D′落在FG上．（3）存在．①如图4中，当⊙O与BC相切时，连接OP延长PO交FG于M，连接OF、OG．∵OP⊥BC，BC∥FG，∴PO⊥FG，∴FM＝MG由PB＝MF＝MG＝FG＝PC，得到3t＝（5﹣3t），解得t＝．如图5中，当⊙O与EC相切时，连接GO，延长GO交PF于M，连接OF、OP．∵OG⊥EC，BF∥EC，∴GO⊥PF，∴MF＝MP＝t，∵△FGM∽△PFB，∴＝，∴＝，解得t＝．综上所述t＝或时，⊙O与四边形ABCE的一边（AE边除外）相切．②如图6中，当∠FPG＝90°时，由cos∠PCG＝cos∠CED，∴＝，∴t＝，如图7中，当∠FGP＝90°时，∴＝，∴t＝，观察图象可知：当＜t＜时，外接圆⊙O的圆心O落在△FGP的内部．2020年中考数学压轴题一、选择题1．如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k＝（）A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣82．如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（）A．△ADF≌△CGEB．△B′FG的周长是一个定值C．四边形FOEC的面积是一个定值D．四边形OGB'F的面积是一个定值二、填空题3．如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF 最大时，S△ADE＝．第3题第4题4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为．三、解答题5．如图，矩形ABCD，AB＝2，BC＝10，点E为AD上一点，且AE＝AB，点F从点E出发，向终点D 运动，速度为1cm/s，以BF为斜边在BF上方作等腰直角△BFG，以BG，BF为邻边作▱BFHG，连接AG．设点F的运动时间为t秒．（1）试说明：△ABG∽△EBF；（2）当点H落在直线CD上时，求t的值；（3）点F从E运动到D的过程中，直接写出HC的最小值．6．已知，如图，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B 左侧），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx﹣对称．（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；（2）求二次函数解析式；（3）如图2，过点B作直线BD∥AC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两动点，连接CN，NM、MD，求D的坐标并直接写出CN+NM+MD的最小值．【答案与解析】一、选择题1．【分析】根据A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点D的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示出点D的纵坐标和点E的横坐标，由三角形相似和对称，可求出AF的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值．【解答】解：过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：则△BDE≌△FDE，∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90°易证△ADF∽△GFE∴，∴AF：EG＝BD：BE，∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，∵D、E在反比例函数y＝的图象上，∴E（，4）、D（﹣8，）∴OG＝EC＝，AD＝﹣，∴BD＝4+，BE＝8+∴，∴AF＝，在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2即：（﹣）2+22＝（4+）2解得：k＝﹣12故选：C．2．【分析】A、根据等边三角形ABC的内心的性质可知：AO平分∠BAC，根据角平分线的定理和逆定理得：FO平分∠DFG，由外角的性质可证明∠DOF＝60°，同理可得∠EOG＝60°，∠FOG＝60°＝∠DOF ＝∠EOG，可证明△DOF≌△GOF≌△GOE，△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，可得AD＝CG，AF＝CE，从而得△ADF≌△CGE；B、根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF＝GF＝GE，所以△ADF≌△B'GF≌△CGE，可得结论；C、根据S四边形FOEC＝S△OCF+S△OCE，依次换成面积相等的三角形，可得结论为：S△AOC＝（定值），可作判断；D、方法同C，将S四边形OGB'F＝S△OAC﹣S△OFG，根据S△OFG＝•FG•OH，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，可作判断．【解答】解：A、连接OA、OC，∵点O是等边三角形ABC的内心，∴AO平分∠BAC，∴点O到AB、AC的距离相等，由折叠得：DO平分∠BDB'，∴点O到AB、DB'的距离相等，∴点O到DB'、AC的距离相等，∴FO平分∠DFG，∠DFO＝∠OFG＝（∠FAD+∠ADF），由折叠得：∠BDE＝∠ODF＝（∠DAF+∠AFD），∴∠OFD+∠ODF＝（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）＝120°，∴∠DOF＝60°，同理可得∠EOG＝60°，∴∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG，∴△DOF≌△GOF≌△GOE，∴OD＝OG，OE＝OF，∠OGF＝∠ODF＝∠ODB，∠OFG＝∠OEG＝∠OEB，∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，∴AD＝CG，AF＝CE，∴△ADF≌△CGE，故选项A正确；B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，∴DF＝GF＝GE，∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，∴B'G＝AD，∴△B'FG的周长＝FG+B'F+B'G＝FG+AF+CG＝AC（定值），故选项B正确；C、S四边形FOEC＝S△OCF+S△OCE＝S△OCF+S△OAF＝S△AOC＝（定值），故选项C正确；D、S四边形OGB'F＝S△OFG+S△B'GF＝S△OFD+S△ADF＝S四边形OFAD＝S△OAD+S△OAF＝S△OCG+S△OAF＝S△OAC﹣S△OFG，过O作OH⊥AC于H，∴S△OFG＝•FG•OH，由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，故选项D不一定正确；故选：D．二、填空题3．【分析】作DH⊥AE于H，如图，由于AF＝4，则△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，利用勾股定理计算出BF＝3，接着证明△ADH ≌△ABF得到DH＝BF＝3，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：作DH⊥AE于H，如图，∵AF＝4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，在Rt△ABF中，BF＝＝3，∵∠EAF＝90°，∴∠BAF+∠BAH＝90°，∵∠DAH+∠BAH＝90°，∴∠DAH＝∠BAF，在△ADH和△ABF中，∴△ADH≌△ABF（AAS），∴DH＝BF＝3，∴S△ADE＝AE•DH＝×3×4＝6．故答案为6．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．4．【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．根据切线的性质，知OE、OF是⊙O的半径；然后由三角形的面积间的关系（S△ABO+S△BOD＝S△ABD＝S△ACD）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可．【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．∵AB、BC是⊙O的切线，∴点E、F是切点，∴OE、OF是⊙O的半径；∴OE＝OF；在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴由勾股定理，得BC＝4；又∵D是BC边的中点，∴S△ABD＝S△ACD，又∵S△ABD＝S△ABO+S△BOD，∴AB•OE+BD•OF＝CD•AC，即5×OE+2×OE＝2×3，解得OE＝，∴⊙O的半径是．故答案为：．三、解答题5．【分析】（1）根据两边成比例夹角相等即可证明两三角形相似；（2）如图构建如图平面直角坐标系，作HM⊥AD于M，GN⊥AD于N．设AM交BG于K．首先证明△GFN≌△FHM，想办法求出点H的坐标，构建方程即可解决问题；（3）由（2）可知H（2+t，4+t），令x＝2+t，y＝4+t，消去t得到y＝x+．推出点H在直线y＝x+上运动，根据垂线段最短即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABE，△BGF都是等腰直角三角形，∴＝＝，∵∠ABE＝∠GBF＝45°，∴∠ABG＝∠EBF，∴△ABG∽△EBF．（2）解：如图构建如图平面直角坐标系，作HM⊥AD于M，GN⊥AD于N．设AM交BG于K．∵△GFH是等腰直角三角形，∴FG＝FH，∠GNF＝∠GFH＝∠HMF＝90°，∴∠GFN+∠HFM＝90°，∠HFM+∠FHM＝90°，∴∠GFN＝∠FHM，∴△GFN≌△FHM，∴GN＝FM，FN＝HM，∵△ABG∽△EBF，∴＝＝，∠AGB＝∠EFB，∵∠AKG＝∠BKF，∴∠GAN＝∠KBF＝45°，∵EF＝t，∴AG＝t，∴AN＝GN＝FM＝t，∴AM＝2+t，HM＝FN＝2+t，∴H（2+t，4+t），当点H在直线CD上时，2+t＝10，解得t＝．（3）由（2）可知H（2+t，4+t），令x＝2+t，y＝4+t，消去t得到y＝x+．∴点H在直线y＝x+上运动，如图，作CH垂直直线y＝x+垂足为H．根据垂线段最短可知，此时CH的长最小，易知直线CH的解析式为y＝﹣3x+30，由，解得，∴H（8，6），∵C（10，0），∴CH＝＝2，∴HC最小值是2．6．【分析】（1）令二次函数解析式y＝0，解方程即求得点A、B坐标；把点A坐标代入直线l解析式即求得直线l．（2）把二次函数解析式配方得顶点C（﹣1，﹣4a），由B、C关于直线l对称可知AB＝AC，用a表示AC的长即能列得关于的方程．求得a有两个互为相反数的解，由二次函数图象开口向上可知a＞0，舍去负值．（3）①用待定系数法求直线AC解析式，由BD∥AC可知直线BD解析式的k与AC的k相同，再代入点B坐标即求得直线BD解析式．把直线l与直线BD解析式联立方程组，求得的解即为点D坐标．②由点B、C关于直线l对称，连接BN即有B、N、M在同一直线上时，CN+MN＝BN+MN＝BM最小；作点D关于直线AC的对称点Q，连接DQ交直线AC于点E，可证B、M、Q在同一直线上时，BM+MD＝BM+MQ＝BQ最小，CN+NM+MD最小值＝BM+MD最小值＝BQ．由直线AC垂直平分DQ且AC∥BD可得BD⊥DQ，即∠BDQ＝90°．由B、D坐标易求BD的长；由B、C关于直线l 对称可得l平分∠BAC，作DF⊥x轴于F则有DF＝DE，所以DQ＝2DE＝2DF＝4；利用勾股定理即求得BQ的长．【解答】解：（1）当y＝0时，ax2+2ax﹣3a＝0解得：x1＝﹣3，x2＝1∴点A坐标为（﹣3，0），点B坐标为（1，0）∵直线l：y＝kx﹣经过点A∴﹣3k﹣＝0 解得：k＝﹣∴直线l的解析式为y＝﹣x﹣（2）∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a∴点C坐标为（﹣1，﹣4a）∵C、B关于直线l对称，A在直线l上∴AC＝AB，即AC2＝AB2∴（﹣1+3）2+（﹣4a）2＝（1+3）2解得：a＝±（舍去负值），即a＝∴二次函数解析式为：y＝x2+x﹣（3）∵A（﹣3，0），C（﹣1，﹣2），设直线AC解析式为y＝kx+b∴解得：∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣3∵BD∥AC∴设直线BD解析式为y＝﹣x+c把点B（1，0）代入得：﹣+c＝0 解得：c＝∴直线BD解析式为y＝﹣x+∵解得：∴点D坐标为（3，﹣2）如图，连接BN，过点D作DF⊥x轴于点F，作D关于直线AC的对称点点Q，连接DQ交AC于点E，连接BQ，MQ．∵点B、C关于直线l对称，点N在直线l上∴BN＝CN∴当B、N、M在同一直线上时，CN+MN＝BN+MN＝BM，即CN+MN的最小值为BM∵点D、Q关于直线AC对称，点M在直线AC上∴MQ＝MD，DQ⊥AC，DE＝QE∴当B、M、Q在同一直线上时，BM+MD＝BM+MQ＝BQ，即BM+MD的最小值为BQ∴此时，CN+NM+MD＝BM+MD＝BQ，即CN+NM+MD的最小值为BQ∵点B、C关于直线l对称∴AD平分∠BAC∵DF⊥AB，DE⊥AC∴DE＝DF＝|y D|＝2∴DQ＝2DE＝4∵B（1，0），D（3，﹣2）∴BD2＝（3﹣1）2+（﹣2）2＝16∵BD∥AC∴∠BDQ＝∠AEQ＝90°∴BQ＝∴CN+NM+MD的最小值为8．2020年中考数学压轴题一、选择题1．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，把△ABC沿EF折叠，点C的对应点为O，连接AO，使AO平分∠BAC，若∠BAC＝∠CFE＝50°，则点O是（）A．△ABC的内心B．△ABC的外心C．△ABF的内心D．△ABF的外心2．已知正方形ABCD的边长为5，E在BC边上运动，DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，问CE为多少时A、C、F在一条直线上（）A．B．C．D．二、填空题3．如图，现将四根木条钉成的矩形框ABCD变形为平行四边形木框A'BCD′，且A′D′与CD相交于CD边的中点E，若AB＝4，则△ECD′的面积是．4．如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是．三、解答题5．如图，把矩形ABCD沿AC折叠，使点D与点E重合，AE交BC于点F，过点E作EG∥CD交AC于点G，交CF于点H，连接DG．（1）求证：四边形ECDG是菱形；（2）若DG＝6，AG＝，求EH的值．6．如图，已知△BAC为圆O内接三角形，AB＝AC，D为⊙O上一点，连接CD、BD，BD与AC交于点E，且BC2＝AC•CE①求证：∠CDB＝∠CBD；②若∠D＝30°，且⊙O的半径为3+，I为△BCD内心，求OI的长．【答案与解析】一、选择题1．【分析】连接OB、OC，根据AB＝AC，AO平分∠BAC，∠BAC＝50°，可得AO是BC的垂直平分线，∠BAO＝∠CAO＝25°，得OB＝OC，根据折叠可证明∠OAC＝∠OCA＝25°，得OA＝OC，进而OA＝OB＝OC，可得点O是三角形ABC的外心．【解答】解：如图，连接OB、OC，∵AB＝AC，AO平分∠BAC，∴AO是BC的垂直平分线，∴OB＝OC，∵∠BAC＝50°，AO平分∠BAC，∴∠BAO＝∠CAO＝25°，根据折叠可知：CF＝OF，∠OFE＝∠CFE＝50°，∴∠OFC＝100°，∴∠FCO＝（180°﹣100°）＝40°，∵AB＝AC，∠BAC＝50°，∴∠ACB＝（180°﹣50°）＝65°，∴∠OCA＝∠ACB﹣∠FCO＝65°﹣40°＝25°，∴∠OAC＝∠OCA＝25°，∴OA＝OC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心．故选：B．2．【分析】过F作FN⊥BC，交BC延长线于N点，连接AC，构造直角△EFN，利用三角形相似的判定，得出Rt△FNE∽Rt△ECD，根据相似三角形的对应边成比例，求得NE＝CD＝，运用正方形性质，可得出△CNF是等腰直角三角形，从而求出CE．【解答】解：如图，过F作FN⊥BC，交BC延长线于N点，连接AC．∵DE的中点为G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，∴DE：EF＝2：1．∵∠DCE＝∠ENF＝90°，∠DEC+∠NEF＝90°，∠NEF+∠EFN＝90°，∴∠DEC＝∠EFN，∴Rt△FNE∽Rt△ECD，∴CE：FN＝DE：EF＝DC：NE＝2：1，∴CE＝2NF，NE＝CD＝．∵∠ACB＝45°，∴当∠NCF＝45°时，A、C、F在一条直线上．则△CNF是等腰直角三角形，∴CN＝NF，∴CE＝NE＝×＝，∴CE＝时，A、C、F在一条直线上．故选：D．二、填空题3．【分析】作A'F⊥BC于F，则∠A'FB＝90°，根据题意得：平行四边形A′BCD′的面积＝BC•A'F＝BC•AB，A'F＝AB＝2，得出∠D'＝∠A'BC＝30°，得出BF＝A'F＝2，由矩形和平行四边形的性质得出BC＝AD＝A'D'，A'D'∥AD∥BC，CD⊥BC，得出CD⊥A'D'，得出A'F∥CD，证出四边形A'ECF 是矩形，得出CE＝A'F＝2，A'E＝CF，证出DE＝BF＝2，即可得出答案．【解答】解：作A'F⊥BC于F，如图所示：则∠A'FB＝90°，根据题意得：平行四边形A′BCD′的面积＝BC•A'F＝BC•AB，∴A'F＝AB＝2，∴∠D'＝∠A'BC＝30°，∴BF＝A'F＝2，∵四边形ABCD是矩形，四边形A′BCD′是平行四边形，∴BC＝AD＝A'D'，A'D'∥AD∥BC，CD⊥BC，∴CD⊥A'D'，∴A'F∥CD，∴四边形A'ECF是矩形，∴CE＝A'F＝2，A'E＝CF，∴DE＝BF＝2，∴△ECD的面积＝DE×CE＝×2×2＝2；4．【分析】首先，需要证明线段B1B2就是点B运动的路径（或轨迹），如图1所示．利用相似三角形可以证明；其次，证明△APN∽△AB1B2，列比例式可得B1B2的长．【解答】解：如图1所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为B i，连接AP，AB i，BB i，∵AO⊥AB1，AP⊥AB i，∴∠OAP＝∠B1AB i，又∵AB1＝AO•tan30°，AB i＝AP•tan30°，∴AB1：AO＝AB i：AP，∴△AB1B i∽△AOP，∴∠B1B i＝∠AOP．同理得△AB1B2∽△AON，∴∠AB1B2＝∠AOP，∴∠AB1B i＝∠AB1B2，∴点B i在线段B1B2上，即线段B1B2就是点B运动的路径（或轨迹）．由图形2可知：Rt△APB1中，∠APB1＝30°，∴，Rt△AB2N中，∠ANB2＝30°，∴＝，∴，∵∠PAB1＝∠NAB2＝90°，∴∠PAN＝∠B1AB2，∴△APN∽△AB1B2，∴＝＝，∵ON：y＝﹣x，∴△OMN是等腰直角三角形，∴OM＝MN＝，∴PN＝，∴B1B2＝，综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B1B2，其长度为．故答案为：．。

押题卷01-决胜2020年中考数学押题卷(全国通用)(解析版)

押题卷01-决胜2020年中考数学押题卷(全国通用)(解析版)

押题卷01一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.实数运算-1-（-1）=（）A 0B 1C 2D -2【答案】 A2.下列几何体中，其主视图不是中心对称图形的是（）【答案】 B3.下列说法错误的是（）A．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件B．一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数C．方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越小；方差越小，波动越大D．全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式【答案】C．【分析】分别根据随机事件的定义、众数的定义、方差的意义以及调查方式判断即可．【解答】解：A．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，正确，故选项A不合题意；B．一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数，正确，故选项B不合题意；C．方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越大；方差越小，波动越小．故选项C 符合题意；D．全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式，正确，故选项D不合题意．故选：C．4.如图，在△AB C中，∠B=42°，AD⊥BC于点D，点E是BD上一点，EF⊥AB于点F，若ED=EF，则∠AEC的度数为（）A. 60°B. 62°C. 64°D. 66° 【答案】 D【解析】∵∠B =42°，AD ⊥BC ， ∴∠BAD =48°，∵ED =EF ，AD ⊥BC ，EF ⊥AB ， ∴∠BAE =∠DAE =24°， ∴∠AEC =∠B +∠BAE =66°， 故选：D ．5.如图，在⊙O 中，OD ⊥BC ，∠BOD =60°，则∠CAD 的度数等于（ ）A. 15°B. 20°C. 25°D. 30° 【答案】 D【解析】∵在⊙O 中，OD ⊥BC ， ∴弧BD =弧CD ∴∠CAD =21∠BOD =21×60°=30°．故选：D ．6.若关于x 的方程kx 2-3x -49=0有实数根，则实数的取值范围是( ) A. k =0 B. k ⩾−1且k ≠0 C. k ⩾−1 D. k ＞-1 【答案】C【解析】当k =0时，方程化为−3x −49=0，解得：x =43， 当k ≠0时，则Δ=(−3)2−4k •(−49)⩾0，解得：k ⩾−1，所以k 的取值范围为k ⩾−1． 故选C ．7.如图，某天小明发现阳光下电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量的CD =8米，BC =20米，斜坡CD 的坡度比为1：3，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（ ）A ．（14+23）米B ．28米C ．（7+3）米D ．9米【解析】如图所示：过D 作DE 垂直BC 的延长线于E ，且过D 作DF ⊥AB 于F ，∵在Rt △DE C 中，CD =8，斜坡CD 的坡度比为1：3，∴∠DCE =30°， ∴DE =4米，CE =43米，∴BF =4米，DF =20+43（米）， ∵1米杆的影长为2米，∴213420=+AF ，则AF =（10+23）米，AB =AF +BF =10+23+4=（14+23）米， ∴电线杆的高度（14+23）米． 故选：A ．8.如图，在 ABC D 中，将△ADC 沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若∠B ＝60°，AB ＝3，则△ADE 的周长为（ ）A ．12B ．15C ．18D ．21【答案】C ．【解答】解：由折叠可得，∠ACD ＝∠ACE ＝90°， ∴∠BAC ＝90°， 又∵∠B ＝60°， ∴∠ACB ＝30°， ∴BC ＝2AB ＝6， ∴AD ＝6，由折叠可得，∠E ＝∠D ＝∠B ＝60°， ∴∠DAE ＝60°， ∴△ADE 是等边三角形， ∴△ADE 的周长为6×3＝18， 故选：C ．9.如图，在正方形网格上有两个三角形△ABC 和△DEF ，则∠BAC 的度数为 ( )A. 105°B. 115°C. 125°D. 135° 【答案】D 【解析】：因为,21025,210,210105=====DE AB EF AC DF BC 所以DEABEF AC DF BC == 所以△ACB ∽△EF D ． 所以∠BAC =∠DEF =135° 故选D ．10.如图，在矩形ABC D 中，AB ＝3，AD ＝3，点E 从点B 出发，沿BC 边运动到点C ，连结DE ，点E 作DE 的垂线交AB 于点F ．在点E 的运动过程中，以EF 为边，在EF 上方作等边△EFG ，则边EG 的中点H 所经过的路径长是（ ）A ．23B ．33C ．323 D ．332 【答案】C ．【解答】解：如图，连接FH ，取EF 的中点M ，连接BM ，HM ，在等边三角形EFG 中，EF ＝FG ，H 是EG 的中点， ∴∠FHE ＝90°，∠EFH ＝21∠EFG ＝30°， 又∵M 是EF 的中点， ∴FM ＝HM ＝EM ，在Rt △FBE 中，∠FBE ＝90°，M 是EF 的中点， ∴BM ＝EM ＝FM ， ∴BM ＝EM ＝HM ＝FM ， ∴点B ，E ，H ，F 四点共圆， 连接BH ，则∠HBE ＝∠EFH ＝30°，∴点H 在以点B 为端点，BC 上方且与射线BC 夹角为30°的射线上， 如图，过C 作CH '⊥BH 于点H '，∵点E 从点B 出发，沿BC 边运动到点C ， ∴点H 从点B 沿BH 运动到点H '， 在Rt △BH 'C 中，∠BH 'C ＝90°，∴BH '＝BC •cos ∠CBH '＝3×32323= ∴点H 所经过的路径长是323 故选：C ．二、填空题(共5小题， 每小题3分， 计15分)11.已知322=+x x ，则代数式()()()22221x x x x +-+-+的值为【解答】解：()()()22221x x x x +-+-+=()222412x x x x +--++ =522++x x ∵322=+x x∴原式=3+5=812.如图，已知等边△ABC 的边长为6，以AB 为直径的⊙O 与边AC 、BC 分别交于D 、E 两点，则劣弧DE 的长为______．【答案】π【解析】如图，连接OD ，OE ．∵AB 是⊙O 的直径，AB =6 ， ∴⊙O 的半径为3． ∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =60°． ∵OB =OE ，OA =OD ，∴△BOE ，△AOD 均为等边三角形， ∴∠BOE =60°，∠AOD =60°， ∴∠DOE =180°−60°−60°=60° ∴∴ 劣弧DE 的长为ππ=⨯180360 13.如图，在四边形ABC D 中，∠B =∠D =90°，∠A =60°，B =4，则AD 的取值范围是________．【答案】2＜AD ＜8【解析】如图，延长BC 交AD 的延长线于E ，作BF ⊥AD 于F ．在Rt △ABE 中，∵∠A =60°，AB =4 ， ∴∠E =30° ， ∴AE =2AB =8 ，在Rt △ABF 中，∠ABF =90°−∠A =30° ∴AF =21AB =2 ∴AD 的取值范围为2＜AD ＜8， 故答案为：2＜AD ＜814.如图，已知抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B ，D 三点，且点B 的坐标为(4,0),点C 在抛物线上，且与点D 的纵坐标相等，点E 在x 轴上，且BE =AB ，连接CE ，取CE 的中点F,则BF 的长为【答案】22 【解析】连接A C ．因为D ，C 两点的纵坐标相等， 所以D ，C 两点关于抛物线对称轴对称．因为A ，B 两点关于抛物线对称轴对称，所以AC =BD ． 因为D 是抛物线与y 轴正半轴的交点， 所以令x =0，则y =4 ． 所以点D 的坐标为(0,4) ． 又点B 的坐标为(4,0) ， 所以AC =BD =24因为FF 是CE 的中点，AB =BE ， 所以BF =21AC =22 15.如图，已知⊙O 的半径为1，O 为坐标原点，AB 是⊙O 的弦，四边形ABCD 是以AB 为边的正方形，点C 、D 在⊙O 外，点A 在x 轴正半轴上，点B 在x 轴上方，当点B 在⊙O 上运动时，则OC 的最大值是【解析】：连接BD 交圆于E ，连接AE ，EC ，∵∠EBA =45°， ∴根据圆周角定理有∠EOA =90° ， ∴E 在y 轴上，∵∠CBE =∠ABE ，AB =BC ，BE =BE ， ∴△BCE ≌△BAE ． ∴CE =AE =21122=+，∴当点C 在y 轴正半轴上时，点C 与圆心O 距离的最大，最大值为12+ 三 解答题(共10小题,计75分.解答应写出过程)16.(本题满分4分)计算：︒+⎪⎭⎫ ⎝⎛+2sin452-1-21--88-13【答案】解：原式=22+2+2-12++2×22 =22+517.(本题满分4分) 化简求值：a a a a a a 2111222+-÷--+，其中a =2． 解：原式=1211222-+⨯--+a a a a a a =()()()112112+-+⨯--+a a a a aa a=1212++-+a a a =1-+a a当a =2时，原式=32-18.(本题满分5分)在如图所示的方格中，每个小正方形的边长都是1，△O 1A 1B 1与△OAB 是以点P 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．(1)在图中标出位似中心P 点，并写出P 点的坐标；(2)以点O 为位似中心，在y 轴的左侧画出△OAB 的位似图形△OA 2B 2 ，使它与△OAB 的位似比为2:1 ，△OA 2B 2的面积为_______． 【答案】解：(1) 如图：(1)P (−5,−1)；(2)∵ΔOAB ∽Δ△OA 2B 2， ∴5.23121122213242222=⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯===∆∆∆OAB OABB OA S S S∴22B OA S ∆=10， 故答案为10．19.(本题满分6分)某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图． 频数分布表请根据图表中的信息解答下列问题： （1）求频数分布表中m 的值；（2）求B 组，C 组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图； （3）已知F 组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从F 组中随机选取2名学生，恰好都是女生．【解答】解：（1）m ＝40﹣2﹣10﹣12﹣7﹣4＝5； （2）B 组的圆心角＝360°×405＝45°， C 组的圆心角＝360°×4010＝90°． 补全扇形统计图如图1所示：图1（3）画树状图如图2： 共有12个等可能的结果， 恰好都是女生的结果有6个，∴恰好都是女生的概率为21126=．图220.(本题满分7分)如图，一次函数y =k 1x +b (k 1≠0)与反比例函数y =k 2x (k 2≠0)的图象交于A (−1,−4) 和点B (4,m )(1)求这两个函数的解析式；(2)已知直线AB 交y 轴于点C ，点P (n,0) 在x 轴的负半轴上，若△BCP 为等腰三角形，求n 的值．【答案】解：(1)∵ 点A (−1,4) 在反比例函数y =k 2x (k 2≠0)的图象上， ∴k 2=−1×(−4)=4， ∴反比例函数解析式为y =4x ，将点B (4,m )代入反比例函数y =4x 中，得m =1， ∴B (4,1)，将点A (−1,−4) ，B (4,1) 代入一次函数y =k 1x +b 中，得⎩⎨⎧=+-=+144-11b k b k ∴⎩⎨⎧==-311b k ∴一次函数的解析式为y =x −3(2)由(1)知，直线AB 解析式为y =x −3， ∴C (0,−3)， ∵B (4,1)，P (n,0) ，∴BC 2=32 ，CP 2=n 2+9 ，BP 2=(n −4)2+1 ∵△BCP 为等腰三角形， ∴①当BC =CP 时，∴32=n2+9，-，∴n=23(舍)或n=23②当BC=BP时，32=(n−4)2+1，∴n=4+31(舍) 或n=4-31③当CP=BP时，n2+9=(n−4)2+1∴n=1(舍)) ，-或4-31即：满足条件的n为2321.(本题满分8分)已知：AB是⊙O的直径，P是OA上一点，过点P作⊙O的非直径的弦CD．(1)若PA=2，PB=10，∠CPB=30°，求CD长；(2)求证：PC•PD=PA•PB(3)设⊙O的直径为8，若PC、PDP的长度是方程x2+mx+12=0的两个解，求m的范围．【答案】解：(1)如图，连接AD，BC，OC，过点O作OE⊥CD于点E，∵PA=2，PB=10，∴AB=12，∴OA=OB=6，∴OP=4，∵∠CPB=30°，OE⊥CD，∴CE=DE，PO=2OE，∴OE=2 ，∵EC =2443622=-=-OE OC ∴CD =28(2)∵∠ADP =∠CBP ，∠DAP =∠BCP ， ∴△ADP ∽△CBP ， ∴PDPBPA PC =∴PC ⋅PD =PA ⋅PB(3)∵PC,PD 是方程x 2+mx +12=0的两根， ∴PC +PD =−m ＞0 ∴m ＜0，∵CD 是非直径的弦， ∴PC +PD ＜8 ∴m >−8∴m >−8 ，∵PC,PD 是方程x 2+mx +12=0的两根， ∴△=m 2−4×12=m 2−48⩾0 ∴m ⩽34-， ∴−8＜m ⩽34-22(本题满分9分)问题情景：一节数学课后，老师布置了一道练习题：如图1，已知Rt △ABC 中，AC =BC ，∠ABC =90°，CD ⊥AB 于点D ，点E ，F 分别在AD 和BC 上，∠1=∠2 ，FG ⊥AB 于点G ，求证：△CDE ≌△EGF(1)阅读理解，完成解答：本题证明的思路可以用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地写出这道练习题的证明过程；(2)特殊位置，证明结论：如图2，若CE 平分∠ACD ，其余条件不变，判断AE 和BF 的数量关系，并说明理由；(3)知识迁移．探究发现：如图3，已知在Rt △ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，若点E 是DB 的中点，点F 在直线CB 上，且EC =EF ，请直接写出BF 与AE 的数量关系．(不必写解答过程)【答案】(1)证明：∵AC =BC ，∠ACB =90° ， ∴∠A =∠B =45° ， ∵CD ⊥AB ， ∴∠CDB =90° ， ∴∠DCB =45°， ∵∠ECF =∠DCB +∠1=45°+∠1 ，∠EFC =∠B +∠2=45°+∠2，∠1=∠2， ∴∠ECF =∠EFC ， ∴CE =EF ，∵CD ⊥AB ，FG ⊥AB ， ∴∠CDE =∠EGF =90°， 在△CDE 和△EGF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EF CE EGF CDE 21∴△CDE ≌△EGF (AAS ) ；(2)证明：由(1)得：CE =EF ,∠A =∠B ， ∵CE 平分∠ACD ， ∴∠ACE =∠1 ， ∵∠1=∠2 ， ∴∠ACE =∠2 ，在△ACE 和△BEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EF CE ACE 2B A∴△ACE ≌△BEF (AAS ) ， ∴AE =BF ； (3)解：AE=223BF ，作EH ⊥BC 与H ，如图3所示：设DE =x ，根据题意得：BE =DE =x ，AD =BD =2x ，CD =AD =2x ，AE =3x ， 根据勾股定理得：BC =AC =x 22 ∵∠ABC =45°，EH ⊥BC ， ∴BH =22x ∴CH =BC −BH =223x ∵EC =EF ， ∴FH =CH =223x ∴BF =223x −22x =2x ， ∴22323==xx BF AE AE =223BF 23.(本题满分10分)如图，点B 在线段AC 上，点D ，E 在AC 同侧，∠A =∠C =90°，BD ⊥BE ，AD =B C ．（1）求证：AC =AD +CE ；（2）若AD =3，CE =5，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作PQ ⊥DP ，交直线BE 于点Q ；①当点P 与A ，B 两点不重合时，求PQDP的值； ②当点P 从A 点运动到AC 的中点时，求线段DQ 的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）【答案】解：（1）证明：如图，∵BD ⊥BE ，∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°。

2020年中考数学冲刺专题卷专题01 数与式(解析版)

2020年中考数学冲刺专题卷专题01 数与式(解析版)

2020年中考数学冲刺专题卷01 数与式一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（2019·辽宁中考真题）-2019的相反数是（ ） A ．2019 B ．-2019C ．12019D ．12019-【答案】A 【解析】2019的相反数是﹣2019． 故选B ．2．（2019·浙江中考真题）2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器飞行约380000千米，实现人类探测器首次在月球背面软着陆.数据380000用科学记数法表示为（ ） A ．38×104 B ．3.8×104C ．3.8×105D ．0.38×106【答案】C 【解析】 380000=3.8×105. 故选C.3．（2019·宁夏中考真题）下列各式中正确的是（ ）A 2=±B 3=-C 2=D =【答案】D 【解析】A 2=，故选项A 不合题意；B 3=，故选项B 不合题意；C 232=，故选项C 不合题意；D ==D 符合题意．故选：D ．4．（2019·山东中考真题）下列运算正确的是（ ） A ．326a a a ⨯= B ．842a a a ÷=C ．()3133a a --=-D ．2391139a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】A 、2326a a a ⨯=，故本选项错误；B 、844a a a ÷=，故本选项错误；C 、()3133a a --=-，正确；D 、2361139a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故本选项错误， 故选C ．5．（2019·四川中考模拟）下列因式分解正确的是（ ） A ．4a b ﹣63a b+92a b=2a b （2a ﹣6a+9） B ． 2124-+x x =21()2x -C ．2x ﹣2x+4=2(2)x -D ．42x ﹣2y =（4x+y ）（4x ﹣y ） 【答案】B 【解析】A 、原式=2a b （2a ﹣6a+9）=2a 2(3)a -，错误；B 、原式=21()2x -，正确； C 、原式不能分解，错误；D 、原式=（2x+y ）（2x ﹣y ），错误．6．（2019·四川中考真题）化简2b a ba a a ⎛⎫--÷⎪⎝⎭的结果是( ) A ．a-bB ．a+bC ．1a b- D ．1a b+【答案】B 【解析】2b a b a a a ⎛⎫--÷⎪⎝⎭22a b aa ab -=⨯- ()()a b a b aaa b+-=⨯- a b =+．故选B ．7．（2019·山东中考真题）点,,,O A B C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，1AC =，OA OB =．若点C 所表示的数为a ，则点B 所表示的数为（ ）A ．()1a -+B ．()1a --C ．1a +D ．1a -【答案】B 【解析】O 为原点，1AC =，OA OB =，点C 所表示的数为a ，∴点A 表示的数为1a -， ∴点B 表示的数为：()1a --，故选：B ．8．（2019·河北）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n 个图形中有120朵玫瑰花，则n 的值为（ ）A ．28B ．29C ．30D ．31【答案】C 【解析】由图可得，第n 个图形有玫瑰花：4n ，令4n=120，得n=30， 故选：C ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）9．（2019·有意义，则x 的取值范围是__． 【答案】x ＞1 【解析】由题意得：x ﹣1＞0， 解得：x ＞1， 故答案为x ＞1．10．（2019·贵州中考真题）若实数a 、b 满足10a +=，则a b +=________． 【答案】1 【解析】∵10a +=，∴1020a b +=⎧⎨-=⎩，解得1a =-，2b =，∴121a b +=-+=．故答案为1.11．（2019·河北中考模拟）已知代数式x 2﹣4x ﹣2的值为3，则代数式2x 2﹣8x ﹣5的值为_____．【答案】5 【解析】2423,x x --=245,x x ∴-=()2228524105 5.x x x x --=-=-=故答案为：5.12．（2019·江苏中考模拟）已知m 2﹣5m ﹣1＝0，则22125-+m m m＝_____． 【答案】28 【解析】∵m 2﹣5m ﹣1＝0，两边同时除以m 得，1-m m＝5， 两边平方，得：m 2﹣2+21m ＝25， ∴221+m m＝27，∵2m 2﹣5m+21m ＝m 2﹣5m+m 2+21m＝1+27，＝28．故答案为：28．三、填空题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．（2019·安徽中考模拟）计算：)214602⎛⎫-+︒ ⎪⎝⎭【答案】34-- 【解析】原式114=--+34=--14．（2019·河南中考模拟）(10分)(2017·襄阳中考)先化简，再求值：2111x y x y xy y⎛⎫+÷ ⎪+-+⎝⎭，其中x2，y 2.【答案】2xy x y - ，12【解析】解：原式=1[]()()()()()x y x y x y x y x y x y y x y -++÷+-+-+=2()()()x y x y x y x y ⋅++- =2xyx y-当2x =，2y =-时，原式=24=12． 15．（2019·湖南中考模拟）先化简，再求值：()()226x y xy 32x y xy 1---+，其中1x ,y 23=-=． 【答案】-1【解析】原式226x y 6xy 6x y 3xy 3=--+-3xy 3=--,1x 3=-，y 2=，3xy 3∴--, 13233⎛⎫=-⨯-⨯- ⎪⎝⎭,23=-,1=-.。

决胜2020中考数学压轴题全揭秘上专题01数与式问题试题

决胜2020中考数学压轴题全揭秘上专题01数与式问题试题
①3﹣2 （ 1）2，
②5﹣2 （
）2，
③7﹣2
（
）2，
… 请你根据以上规律，写出第 6 个等式 __________ ． 【分析】第 n 个等式左边的第 1 个数为 2n+1，根号下的数为 n（n+1），利用完全平方公式得到第 n 个等
式右边的式子为（
）2（n≥1 的整数）．
【解析】写出第 6 个等式为 13﹣2
任意三个相邻的数之和为 15，则第 2019 个数 a2019 的值是 6 ． 【分析】由任意三个相邻数之和都是 15，可知 a1、a4、a7、…a3n+1 相等，a2、a5、a8、…a3n+2 相等，a3、 a6、a9、…a3n相等，可以得出 a5＝a2＝5，根据 a1+a2+a3＝15 得 4+5+a3＝15，求得 a3，进而按循环规律求 得结果．
1．（2019 年北京）在数轴上，点 A，B 在原点 O 的两侧，分别表示数 a，2，将点 A 向右平移 1 个单位长度，
得到点 C，若 CO＝BO，则 a 的值为（ ）
A．﹣3
B．﹣2
C．﹣1
D．1
【分析】根据 CO＝BO 可得点 C 表示的数为﹣2，据此可得 a＝﹣2﹣1＝﹣3．
【解析】∵点 C 在原点的左侧，且 CO＝BO，
规律排列下去，这列数中的第 n 个数是 _______ ．（n 为正整数） 【分析】先确定正负号与序号数的关系，再确定分母与序号数的关系，然后确定 a 的指数与序号数的关 系．
中考 2020
【解析】第 1 个数为（﹣1）1•
，
第 2 个数为（﹣1）2•
，
第 3 个数为（﹣1）3•
，
第 4 个数为（﹣1）4•

2020中考数学压轴题全揭秘精品专题01 数与式问题【带答案解析】

2020中考数学压轴题全揭秘精品专题01 数与式问题【带答案解析】

决胜2020年中考数学压轴题全揭秘专题01数与式问题【考点1】实数与数轴问题【例1】（2019年大庆）实数m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（）A．m＞n B．﹣n＞|m| C．﹣m＞|n| D．|m|＜|n|【分析】从数轴上可以看出m、n都是负数，且m＜n，由此逐项分析得出结论即可．【解析】因为m、n都是负数，且m＜n，|m|＜|n|，A、m＞n是错误的；B、﹣n＞|m|是错误的；C、﹣m＞|n|是正确的；D、|m|＜|n|是错误的．故选：C．【变式1-1】（2019年徐州）如图，数轴上有O、A、B三点，O为原点，OA、OB分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点B表示的数最为接近的是（）A．5×106B．107C．5×107D．108【分析】先化简2.5×106＝0.25×107，再从选项中分析即可；【解析】2.5×106＝0.25×107，（5×107）÷（0.25×107）＝20，从数轴看比较接近；故选：C．【变式1-2】（2019年枣庄）点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC＝1，OA＝OB．若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为（）A．﹣（a+1）B．﹣（a﹣1）C．a+1 D．a﹣1【分析】根据题意和数轴可以用含a的式子表示出点B表示的数，本题得以解决．【解析】∵O为原点，AC＝1，OA＝OB，点C所表示的数为a，∴点A表示的数为a﹣1，∴点B表示的数为：﹣（a﹣1），故选：B．【点拨】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【考点2】整式的求值问题【例2】（2019年泰州）若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【分析】将代数式4a2﹣6ab+3b变形后，整体代入可得结论．【解析】4a2﹣6ab+3b，＝2a（2a﹣3b）+3b，＝﹣2a+3b，＝﹣（2a﹣3b），＝1，故选：B．【点拨】本题考查代数式求值；熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键．【变式2-1】（2019年常州）如果a﹣b﹣2＝0，那么代数式1+2a﹣2b的值是5．【分析】将所求式子化简后再将已知条件中a﹣b＝2整体代入即可求值；【解析】∵a﹣b﹣2＝0，∴a﹣b＝2，∴1+2a﹣2b＝1+2（a﹣b）＝1+4＝5；故答案为5．【变式2-2】（2019•济宁）已知x﹣2y＝3，那么代数式3﹣2x+4y的值是（）A．﹣3 B．0 C．6 D．9【分析】将3﹣2x+4y变形为3﹣2（x﹣2y），然后代入数值进行计算即可．【解析】∵x﹣2y＝3，∴3﹣2x+4y＝3﹣2（x﹣2y）＝3﹣2×3＝﹣3；故选：A．【考点3】分式的求值问题【例3】（2019年内江）若2，则分式的值为﹣4．【分析】由2，可得m+n＝2mn；化简，即可求解；’【解析】2，可得m+n＝2mn，＝﹣4；故答案为﹣4；【点拨】本题考查分式的值；能够通过已知条件得到m+n＝2mn，整体代入的思想是解题的关键；【变式3-1】（2019年绥化）当a＝2018时，代数式（）的值是2019．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．【解析】（）＝a+1，当a＝2018时，原式＝2018+1＝2019，故答案为：2019．【变式3-2】（2019年北京）如果m+n＝1，那么代数式（）•（m2﹣n2）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【解析】原式•（m+n）（m﹣n）•（m+n）（m﹣n）＝3（m+n），当m+n＝1时，原式＝3．故选：D．【考点4】二次根式的性质与化简【例4】（2019年绵阳）已知x是整数，当|x|取最小值时，x的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据绝对值的意义，由与最接近的整数是5，可得结论．【解析】∵，∴5，且与最接近的整数是5，∴当|x|取最小值时，x的值是5，故选：A．【点拨】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．【变式4-1】（2019年菏泽）已知x，那么x2﹣2x的值是4．【分析】根据二次根式的运算以及完全平方公式即可求出答案．【解析】∵x，∴x2﹣2x＝4，故答案为：4【变式4-2】（2019年内江）若|1001﹣a|a，则a﹣10012＝1002．【分析】由二次根式有意义的条件得到a≥1002，据此去绝对值并求得a的值，代入求值即可．【解析】∵a﹣1002≥0，∴a≥1002．由|1001﹣a|a，得﹣1001+a a，∴1001，∴a﹣1002＝10012．∴a﹣10012＝1002．故答案是：1002．【考点5】数字的变化规律【例5】（2019年河池）a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，是一列数，已知第1个数a1＝4，第5个数a5＝5，且任意三个相邻的数之和为15，则第2019个数a2019的值是6．【分析】由任意三个相邻数之和都是15，可知a1、a4、a7、…a3n+1相等，a2、a5、a8、…a3n+2相等，a3、a6、a9、…a3n相等，可以得出a5＝a2＝5，根据a1+a2+a3＝15得4+5+a3＝15，求得a3，进而按循环规律求得结果．【解析】由任意三个相邻数之和都是15可知：a1+a2+a3＝15，a2+a3+a4＝15，a3+a4+a5＝15，…a n+a n+1+a n+2＝15，可以推出：a1＝a4＝a7＝…＝a3n+1，a2＝a5＝a8＝…＝a3n+2，a3＝a6＝a9＝…＝a3n，所以a5＝a2＝5，则4+5+a3＝15，解得a3＝6，因此a2019＝a3＝6．故答案为：6．【变式5-1】（2019年益阳）观察下列等式：①3﹣2（1）2，②5﹣2（）2，③7﹣2（）2，…请你根据以上规律，写出第6个等式__________．【分析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n（n+1），利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为（）2（n≥1的整数）．【解析】写出第6个等式为13﹣2（）2．故答案为13﹣2（）2．【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【变式5-2】（2019年铜仁市）按一定规律排列的一列数依次为：，，，，…（a≠0），按此规律排列下去，这列数中的第n个数是_______．（n为正整数）【分析】先确定正负号与序号数的关系，再确定分母与序号数的关系，然后确定a的指数与序号数的关系．【解析】第1个数为（﹣1）1•，第2个数为（﹣1）2•，第3个数为（﹣1）3•，第4个数为（﹣1）4•，…，所以这列数中的第n个数是（﹣1）n•．故答案为（﹣1）n•．【点拨】本题考查了规律型：数字的变化类：寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．【考点6】图形的变化规律【例6】（2019年大庆）归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为．【分析】根据题意和图形，可以发现图形中棋子的变化规律，从而可以求得第n个“T”字形需要的棋子个数．【解析】由图可得，图①中棋子的个数为：3+2＝5，图②中棋子的个数为：5+3＝8，图③中棋子的个数为：7+4＝11，……则第n个“T”字形需要的棋子个数为：（2n+1）+（n+1）＝3n+2，故答案为：3n+2．【点拨】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中棋子的变化规律，利用数形结合的思想解答．【变式6-1】（2019年天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有6058个〇．【分析】根据题目中的图形，可以发现〇的变化规律，从而可以得到第2019个图形中〇的个数．【解析】由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1＝4，第2个图象中〇的个数为：1+3×2＝7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3＝10，第4个图象中〇的个数为：1+3×4＝13，……∴第2019个图形中共有：1+3×2019＝1+6057＝6058个〇，故答案为：6058．【点拨】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．【变式6-2】（2019年甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝1010．【分析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2﹣1＝3个，第3幅图中有2×3﹣1＝5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．【解析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2﹣1＝3个．第3幅图中有2×3﹣1＝5个．第4幅图中有2×4﹣1＝7个．…．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n﹣1）个．当图中有2019个菱形时，2n﹣1＝2019，n＝1010，故答案为：1010．【点拨】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．1．（2019年北京）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1【分析】根据CO＝BO可得点C表示的数为﹣2，据此可得a＝﹣2﹣1＝﹣3．【解析】∵点C在原点的左侧，且CO＝BO，∴点C表示的数为﹣2，∴a＝﹣2﹣1＝﹣3．故选：A．2.（2019年黄石）下列四个数：﹣3，﹣0.5，，中，绝对值最大的数是（）A．﹣3 B．﹣0.5 C．D．【分析】根据绝对值的性质以及正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小判断即可．【解析】∵|﹣3|＝3，|﹣0.5|＝0.5，||，||且0.53，∴所给的几个数中，绝对值最大的数是﹣3．故选：A．3．（2019年云南）按一定规律排列的单项式：x3，﹣x5，x7，﹣x9，x11，……，第n个单项式是（）A．（﹣1）n﹣1x2n﹣1B．（﹣1）n x2n﹣1C．（﹣1）n﹣1x2n+1D．（﹣1）n x2n+1【分析】观察指数规律与符号规律，进行解答便可．【解析】∵x3＝（﹣1）1﹣1x2×1+1，﹣x5＝（﹣1）2﹣1x2×2+1，x7＝（﹣1）3﹣1x2×3+1，﹣x9＝（﹣1）4﹣1x2×4+1，x11＝（﹣1）5﹣1x2×5+1，……由上可知，第n个单项式是：（﹣1）n﹣1x2n+1，故选：C．4．（2019年黔东南州）如果3ab2m﹣1与9ab m+1是同类项，那么m等于（）A．2 B．1 C．﹣1 D．0【分析】根据同类项的定义，含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同，列出等式，直接计算即可．【解析】根据题意，得：2m﹣1＝m+1，解得：m＝2．故选：A．5．（2019年常德）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0 B．1 C．7 D．8【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出70+71+72+…+72019的结果的个位数字．【解析】∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，∴个位数4个数一循环，∴（2019+1）÷4＝505，∴1+7+9+3＝20，∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．故选：A．6．（2019年深圳）定义一种新运算n•x n﹣1dx＝a n﹣b n，例如2xdx＝k2﹣n2，若x﹣2dx＝﹣2，则m＝（）A．﹣2 B．C．2 D．【分析】根据新运算列等式为m﹣1﹣（5m）﹣1＝﹣2，解出即可．【解析】由题意得：m﹣1﹣（5m）﹣1＝﹣2，2，5﹣1＝﹣10m，m，故选：B．7．（2019年攀枝花）一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为a千米/时，下山速度为b千米/时．则货车上、下山的平均速度为（）千米/时．A．（a+b）B．C．D．【分析】平均速度＝总路程÷总时间，设单程的路程为x，表示出上山下山的总时间，把相关数值代入化简即可．【解答】设上山的路程为x千米，则上山的时间小时，下山的时间为小时，则上、下山的平均速度千米/时．故选：D．8．（2019年临沂）计算a﹣1的正确结果是（）A．B．C．D．【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了．【解析】原式，，．9．（2019年舟山）数轴上有两个实数a，b，且a＞0，b＜0，a+b＜0，则四个数a，b，﹣a，﹣b的大小关系为b ＜﹣a＜a＜﹣b（用“＜”号连接）．【分析】根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小和负数都小于0，即可得出答案．【解析】∵a＞0，b＜0，a+b＜0，∴|b|＞a，∴﹣b＞a，b＜﹣a，∴四个数a，b，﹣a，﹣b的大小关系为b＜﹣a＜a＜﹣b．故答案为：b＜﹣a＜a＜﹣b10．（2019年咸宁）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是﹣384．【分析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．【解析】∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，∴这列数的第n个数可以表示为（﹣2）n﹣1，∵其中某三个相邻数的积是412，∴设这三个相邻的数为（﹣2）n﹣1、（﹣2）n、（﹣2）n+1，则（﹣2）n﹣1•（﹣2）n•（﹣2）n+1＝412，即（﹣2）3n＝（22）12，∴（﹣2）3n＝224，∴3n＝24，解得，n＝8，∴这三个数的和是：（﹣2）7+（﹣2）8+（﹣2）9＝（﹣2）7×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384，故答案为：﹣384．11．（2019年湘潭）若a+b＝5，a﹣b＝3，则a2﹣b2＝15．【分析】先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可．【解析】∵a+b＝5，a﹣b＝3，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝5×3＝15，故答案为：15．12．（2019年徐州）若a＝b+2，则代数式a2﹣2ab+b2的值为4．【分析】由a＝b+2，可得a﹣b＝2，代入所求代数式即可．【解析】∵a＝b+2，∴a﹣b＝2，∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝22＝4．故答案为：413．（2019年桂林）若x2+ax+4＝（x﹣2）2，则a＝﹣4．【分析】直接利用完全平方公式得出a的值．【解析】∵x2+ax+4＝（x﹣2）2，∴a＝﹣4．故答案为：﹣4．【点拨】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．14．（2019年咸宁）若整式x2+my2（m为常数，且m≠0）能在有理数范围内分解因式，则m的值可以是﹣1（写一个即可）．【分析】令m＝﹣1，使其能利用平方差公式分解即可．【解析】令m＝﹣1，整式为x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．故答案为：﹣1（答案不唯一）．15．（2019年广州）代数式有意义时，x应满足的条件是x＞8．【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出x的取值范围．【解析】代数式有意义时，x﹣8＞0，解得：x＞8．故答案为：x＞8．16．（2019年枣庄）观察下列各式：11+（1），11+（），11+（），…请利用你发现的规律，计算：，其结果为2018．【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可．【解析】＝1+（1）+1+（）+…+1+（）＝2018+1＝2018，故答案为：2018．17.（2019年西藏）观察下列式子第1个式子：2×4+1＝9＝32第2个式子：6×8+1＝49＝72第3个式子：14×16+1＝225＝152……请写出第n个式子：（2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2．【分析】由题意可知：①等号左边是两个连续偶数的积（其中第二个因数比第一个因数大2）与1的和；右边是比左边第一个因数大1的数的平方；②第1个式子的第一个因数是22﹣2，第2个式子的第一个因数是23﹣2，第3个式子的第一个因数是24﹣2，以此类推，得出第n个式子的第一个因数是2n+1﹣2，从而能写出第n个式子．【解析】∵第1个式子：2×4+1＝9＝32，即（22﹣2）×22+1＝（22﹣1）2，第2个式子：6×8+1＝49＝72，即（23﹣2）×23+1＝（23﹣1）2，第3个式子：14×16+1＝225＝152，即（24﹣2）×24+1＝（24﹣1）2，……∴第n个等式为：（2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2．故答案为：（2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2．18．（2019年海南）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是0，这2019个数的和是2．【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，本题得以解决．【解析】由题意可得，这列数为：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，…，∴前6个数的和是：0+1+1+0+（﹣1）+（﹣1）＝0，∵2019÷6＝336…3，∴这2019个数的和是：0×336+（0+1+1）＝2，故答案为：0，2．19.（2019年安顺）如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是2019．【分析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，推出第45行、第7列的数是2025﹣6＝2019【解析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，∴第45行第一个数是2025，∴第45行、第7列的数是2025﹣6＝2019，故答案为2019。

2020年全国中考数学压轴题精选1

2020年全国中考数学压轴题精选1

2020年全国中考数学压轴题精选11.〔08福建莆田〕26.〔14分〕如图：抛物线通过A〔-3, 0〕、B〔0, 4〕、C〔4, 0〕三占- 八、、-〔1〕求抛物线的解析式•〔2〕AD = AB〔D在线段AC上〕，有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，通过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；〔3〕在〔2〕的情形下，抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ+MC的值最小？假设存在，要求出点M的坐标；假设不存在，请讲明理由。

2b〔注：抛物线y ax bx c的对称轴为x（第页题图）因为B〔0, 4〕在抛物线上，因此1 因此抛物线解析式为y -（x3 解法二：设抛物线的解析式为y4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/31 2 13)(x 4) x2x 43 32ax bx c (a 0),〔08福建莆田26题解析〕26〔1〕解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4)依题意得: c=4 且9a 3b 4 016a 4b 4 0a解得b1 2 1因此所求的抛物线的解析式为y x x 43 3〔2〕连接DQ，在Rt△ AOB 中，AB . AO2BO2■ 32425因此AD=AB= 5 , AC=AD+CD=3 + 4 = 7 , CD = AC - AD = 7 -5 = 2因为BD垂直平分PQ,因此PD=QD , PQ丄BD，因此/ PDB= / QDB因为AD=AB ，因此/因此/ CQD= / CBA 。

DQ CD AB CA因此AP=AD ABD= / ADB ，/ ABD= / QDB ，因此 DQ / CDQ= / CAB ，因此△ CDQ s △ CAB 2 10-,DQ — 7 710 25 25 -DP = AD -DQ=5 亠=上 t 上 1，t 7' 25 ~7因此t 的值是25 7〔3〕答对称轴上存在一点 M ，使 理由：因为抛物线的对称轴为 xMQ+MC 的值最小 b 12a 2因此A 〔- 3, 0〕，C 〔4, 0〕两点关于直线 x//AB 1连接AQ 交直线x -于点M ，那么MQ+MC 过点Q 作QE 丄x 轴，于E ，因此// BAO= / QDE ，DQ //AB ,QE DQ BO AB因此QE= 8， 7DE AO DE= 6 , 7的值最小QED= / BOA=900 △ DQE ABO10 7 DE 5因此 OE = OD + DE=2+6 20 因此设直线AQ 的解析式为kx (k 0)20k那么 7 ' 3k 由此得4124 41因此直线AQ 的解析式为 8一 x4124 41联立2 8 x 4124 41x 由此得 2 8 x 41 2441 因此28那么：在对称轴上存在点1 28.估M (—,)，使 2 41 28.〔 12分〕如图MQ+MC 的值最小 20,在平面直角坐标系中, 2.〔 08甘肃白银等9市〕 四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为〔4,3〕.平行于对角线 AC 的直线 m 从原点O 动身，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设 A图20直线m与矩形OABC的两边分不交于点M N,直线m运动的时刻为t〔秒〕.(1) 点A的坐标是___________ ，点C的坐标是 ___________ ；(2) 当t= 秒或秒时，MN== AQ2(3) 设A OMN的面积为S,求S与t的函数关系式；(4) 探求(3)中得到的函数S有没有最大值？假设有，求出最大值；假设没有，要讲明理由.解：(1)〔4, 0〕，〔0, 3〕；〔08甘肃白银等9市28题解析〕28.本小题总分值12分⑵ 2, 6;(3)当0v t w4寸，OM=t.由厶OMNOAC,得理OA ON= 3t , S=3t24 8当4 v t v 8时，ONOC ，4分如图，••• OD=t,••• AD= t-4 .方法一:3 3由厶DAM AOC，可得AM= = (t 4) BM=6-工t.4 44由厶BMNBAC,可得BN= BM =8-t, • CN=t-4 .3S=矩形OABC的面积-Rt△ OAM的面积-Rt△ MBN的面积-Rt△ NCO的面积3 =12- (t2 =3t28 4) -1〔8-t〕〔6- 31〕-3(t 4)2 4 23t .10分方法二:易知四边形ADNC 是平行四边形，• CN=AD=t-4 , BN=8-t.3 3 3由厶BM MA BAC 可得Bh=—BN =6- • Ah=—(t 4) . ........................ 8 分4 4 4以下同方法一.(4)有最大值.方法一：当0v t <4时，3•••抛物线S= t2的开口向上，在对称轴t=0的右边，S随t的增大而增大，8•当t=4时，S可取到最大值342=6；8当4 V t V 8时,〔2〕当4 t ，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值〔08广东广州25题解析〕25.〔1〕t = 4时,Q与B重合, 重合部分是BDC = 12 2 3 2、3211分3 o•••抛物线S= ±t23t的开口向下，它的顶点是〔4, 6〕，• S V6.8综上，当t=4时，S有最大值6.方法二:3t2,o•/ S= 83t28 3t,4•••当O v t V 8 时,画出明显，当t=4时, S有最大值6.讲明：只有当第〔3〕咨询解答正确时，第〔4〕咨询只回答”有最大值"无其它步骤, 可给1分; 否那么，不给分.3.〔08广东广州〕25、〔2018 广州〕〔14 分〕如图11，在梯形ABCD 中，AD // BC , AB=AD=DC=2cm ,BC=4cm，在等腰厶PQR 中，/ QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线I上，且C、Q两点重合，假如等腰△ PQR以1cm/秒的速度沿直线I箭头所示方向匀速运动, t秒时梯形ABCD与等腰△ PQR重合部分的面积记为S平方厘米〔1〕当t=4时，求S的值12分S与t的函数关系图像，如下图.12分图11(2〕当 4 痊 tWE 时，如图，［|JB Q=t-4, C R=6-t,』 由AP Q RsAB QM<^AC RN当5^1^ 1Q 时，如图，0 R =l (J-t,BE 丄恥且WK R 乃=知度，*所以 BK= f BR=2 (IQ — 0KK=¥(10 _t) 41h 2=5 =2■曰 KxK 民=zi(io-t?2 82 _4.〔08广东深圳〕22.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数 y ax bx c(a 0)的 图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的1坐标为〔3, 0〕，OB= OC , tan / ACO= — .〔 1〕求那个二次函数的表达式.3〔2〕通过C D 两点的直线，与 x 轴交于点E ,在该抛物线上是否存在如此的点 F ,使 以点A 、C E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？假设存在，要求出点 F 的坐标；假设不存在，请讲明理由.〔3〕假设平行于x 轴的直线与该抛物线交于 M N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度.〔4〕如图10,假设点G 〔2, y 〕是该抛物线上一点，点 P 是直线AG 下方的抛物线上一 动点，当点P 运动到什么位置时，△ APG 的面积最大？求出现在 P 点的坐标和△ APG 的r6-tV<2^ J狂42 」图9图10〔08广东深圳22题解析〕22.〔1〕方法一：由得：C〔0,—3〕，A〔一 1 , 0〕…1分a b c 0将A B、C三点的坐标代入得9a 3b c 0 ........................ 2分c 3a 1解得：b 2 ........................ 3分c 3因此那个二次函数的表达式为：y x22x 3 ........................ 3分方法二：由得：C〔0,—3〕，A〔一 1 , 0〕................ 1 分设该表达式为：y a(x 1)(x 3) ........................ 2分将C点的坐标代入得：a 1 ...................... 3分因此那个二次函数的表达式为：y x22x 3 ........................ 3分〔注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分〕〔2〕方法一：存在，F点的坐标为〔2,—3〕 .............. 4分理由：易得D〔1,—4〕，因此直线CD的解析式为：y X 3••• E点的坐标为〔一3, 0〕 .............. 4分由A C、E、F四点的坐标得：AE= CF= 2, AE// CF•••以A C E、F为顶点的四边形为平行四边形•存在点F,坐标为〔2, —3〕 .............. 5分方法二：易得D〔 1 , —4〕，因此直线CD的解析式为：y x 3• E点的坐标为〔一3, 0〕 ................ 4 分•••以A C E、F为顶点的四边形为平行四边形•F点的坐标为〔2, —3〕或〔一2, —3〕或〔一4, 3〕代入抛物线的表达式检验，只有〔2,—3〕符合.••存在点F,坐标为〔2,—3〕 ................ 5分6.〔 08湖北恩施〕六、（本大题总分值12分） 24.如图11,在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，/ BA （=Z AGI =90°,它们的斜边长为 2,假设?ABC 固定不动，？AFG 绕点A 旋 转，AF 、AG 与边BC 的交点分不为 DE （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合）,设BE=m CD=n.〔1〕请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明 〔2〕求m 与n 的函数关系式，直截了当写出自变量n 的取值范畴.〔3〕以？ABC 的斜边BC 所在的直线为x 轴，BC 边上的高所在的直线为 y 轴，建立平面直 角坐标系（如图12）.在边BC 上找一点D,使BD =CE 求出D 点的坐标，并通过运算验证BD 2 + CW =DE 2 .〔4〕在旋转过程中,（3）中的等量关系BD 2 + CE 2=DE 2是否始终成立，假设成立，请证明， 假设不成立，请讲明理由.〔08湖北恩施24题解析〕六、（本大题总分值12分）24. 解 :（1）?ABE s ?DAE ， ?ABE s ?DCA .. ............................................................... 1 分•••/ BAE= / BAD+45 °，Z CDA= / BAD+45 ° •••/ BAE= / CDA•••圆的半径为1 ' 17或 —XL •7分2 2〔4〕过点P 作y 轴的平行线与 AG 交于点Q,易得G 〔 2,— 3〕，直线AG 为y x 1 • ....................... 8分 设 P 〔x , x 2 2x 3〕，那么 Q 〔x , — x — 1〕，PQ X 21 2SAPG SAPQ SGPQ g (X x 2) 3当X -时，△ APG 的面积最大21 15现在P 点的坐标为 一 一 ,S2' 427APG的最大值为27•810分5.〔 08贵州贵阳〕25•〔此题总分值12分〕（此题暂无答案）某宾馆客房部有60个房间供游客居住， 每个房间每天的定价每增加10元时， 对每个房间每天支出 20元的各种费用.设每个房间每天的定价增加〔1〕房间每天的入住量 200元时，房间能够住满.当 当每个房间的定价为每天 就会有一个房间闲暇.对有游客入住的房间，宾馆需〔2〕该宾馆每天的房间收费 〔3〕该宾馆客房部每天的利润 每天多少元时， w 有最大值？最大值是多少？〔x 元.求：y 〔间〕关于x 〔元〕的函数关系式.〔3分〕z 〔元〕关于x 〔元〕的函数关系式.〔3分〕w 〔元〕关于x 〔元〕的函数关系式；当每个房间的定价为 6分〕又/ B= / C=45 °... ?ABE S ?DCA(2) •/ ?ABE S ?DCA.BE BA CA CD••• BD 2 + CE 2 =2 BD 2 =2(2 — 2 )2 =12 — 8 2 , DE 2 =(2 .2 — 2) 2 = 12- 8、2+ CE 2 =DE⑷成立一 证明：如图,将？ACE 绕点A 顺时针旋转90°至？ABH 的位置，那么CE=HB,AE=AH,/ ABH = / C=45° ,旋转角/ EAH =90°.连接HD,在？EAD 和？HAD 中•/ AE=AH , / HAD= / EAH- / FAG=45° = / EAD, AD=AD..?EAD 也?HAD .DH=DE又/ HBD = / ABH + / ABD=90°.BD 2+HB 2=DH 27.〔 08湖北荆门〕28•〔本小题总分值12分〕由依题意可知CA=BA= 2即 BD 2 + CE 2=DE 2..................................................................................... 12 分-22 /• m=—n求抛物线的解析式；在抛物线上是否存在一点 C,使以BC 为直径的圆通过抛物线的顶点A ?假设不存在讲明理由；假设存在，求出点 C 的坐标，并求出现在圆的圆心点P 的坐标；依照(2)小题的结论，你发觉B 、P 、C 三点的横坐标之间、 纵坐标之间分不有何关系 ？〔08湖北荆门28题解析〕28•解： K又 b =-4 ac , 顶点 A (- 一 ,0),2ab4ac• -==2c =2. • A (2,0).........2a 2a将A 点坐标代入抛物线解析式，得4a +2b +仁0 ,b 4a,解得 a =1, b =-1.4a 2b 1 0. 4故抛物线的解析式为 y =lx 2-x +1.4抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点A 在x 轴上，与y 轴的交点为 B 〔 0， 1〕，且b = — 4ac . (1)⑵(1)由抛物线过B (0,1)得c =1.另解：由抛物线过B (0,1)得c =1 .又2b -4 ac =0, b =-4ac ,「. b =-1 . 11 2 •a =_,故 y = x -x +1........44⑵ 假设符合题意的点 C 存在，其坐标为 C (x , y ),作CDL x 轴于D ,连接AB AC•/A 在以BC 为直径的圆上，•/ BAC 90°.• △ AOE CDA• OB ・ CD=OA- AD. y =2(x- 2) , • y =2x -4 .2x 4, 1 2xx 1.解得 x i =10, X 2=2.•••符合题意的点 ••• P 为圆心，•当点C 坐标为 C 存在，且坐标为(10,16)，或(2,0)P 为BC 中点. (10,16)时，取 OD 中点 P 1，连 PP ,• PP^OBCD n 17.I D (10,0),• P 1 (5,0),2 2当点C 坐标为(2,0)时，取OA 中点2,连PP ,那么PP 为梯形OBCD^位线. • P (5,17).2那么PPOAB 勺中位线.⑶ 设B、P C 三点的坐标为 B (x i ,y",P (X 2, y 2), C (X 3, y 3)，由⑵ 可知:片ABC 中，AC = BC = 4,/ ACB= 90o ,直角边 AC 在 x 轴上，B 点在第二象限，A 〔 1 , 0〕, AB 交y 轴于E,将纸片过E 点折叠使BE 与EA 所在直线重合，得到折痕EF 〔 F 在x 轴上〕， 再展开还原沿EF 剪开得到四边形 BCFE 然后把四边形BCFE 从 E 点开始沿射线EA 平移， 至B 点到达A 点停止.设平移时刻为t 〔s 〕，移动速度为每秒1个单位长度，平移中四 边形BCFE-与^ AEF 重叠的面积为S.〔1〕求折痕EF 的长；〔2〕是否存在某一时刻t 使平移中直角顶点 C通过抛物线y x 2 4x 3的顶点？假设存在，求出t 值；假设不存在，请讲 明理由； 〔3〕直截了当写出.S 与t 的函数关系式及自变量t 的取值范畴.9.〔 08湖北天门〕〔此题答案暂缺〕24.(本小题 总分值12分)如图①，在平面直角坐标系中， A 点坐标为(3，0)，B 点坐标为(0，4) •动点M 从点0动身，沿0A 方向以每秒1个单位长度的速度向终点 A 运动；同时，动点 N 从 点A 动身沿AB 方向以每秒5个单位长度的速度向终点B 运动•设运动了 x 秒.3(1) 点N 的坐标为( _______________ ， ______________ )；(用含x 的代数式表示) (2) 当x 为何值时，△ AMF 为等腰三角形？(3) 如图②，连结OMN △ 0M 可能为正三角形吗？假设不能， 点M 的运动速度不 变，试改变点 N 的运动速度，使 △OMF 为正三角形，并求出点 N 的运动速度和现在 x 的值.••• PF 2=1O^1-A (2,0),• P 2(1,0), • P (1,1).2 22故点P 坐标为(5,I 7),或(1, 1).2 210分X 2,y 2y i y 3 8.〔 08湖北荆州25题解析〕〔此题答案暂缺〕 .................................................... 12分25.〔此题12分〕如图，等腰直角三角形纸10.〔 08湖北武汉〕〔此题答案暂缺〕 25. 〔此题12分〕如图1，抛物线y=ax2-3ax+b 通过A 〔-1,0丨，C 〔 3,2丨两点，与y 轴交于点 D,与x 轴交于另一点 B.〔 1〕求此抛物线的解析式; 〔2〕假设直线y=kx-1〔k z 0〕将四边 形ABCD 面积二等分，求k 的值;〔3〕如图2，过点E 〔 1,-1丨作EF 丄x 轴于点卩，将厶AEF 绕平面内某点旋转 180°后 得〔点M N, Q 分不与点A , E , F 对应〕，使点M , N 在抛物线上，求点 M , N 的 坐标.1 3〔08湖北武汉25题解析〕25.⑴y- x 2-X2 211. 〔 08湖北咸宁〕24.〔此题 ⑴ 〜(3)小题总分值如图①，正方形 ABCD 中，点A B 的坐标分不为点P 在正方形 ABC 啲边上，从点 A 动身沿A T B T C - D 匀速运动，同时动点 Q 以相同速度 在x 轴上运动，当P 点到D 点时，两点同时停止运动，设运动的时刻为t 秒.(1) 当P 点在边AB 上运动时，点 Q 的横坐标x 〔长度单位〕关于运动时刻 t 〔秒〕的函数图 象如图②所示，请写出点 Q 开始运动时的坐标及点 P 运动速度； (2) 求正方形边长及顶点 C 的坐标；⑶ 在(1)中当t 为何值时，△ OPC 的面积最大，并求现在 P 点的坐标.(1)附加题：〔假如有时刻，还能够连续 解答下面咨询题，祝你成功！〕 假如点P 、Q 保持原速度速度不 变，当点P 沿A T B T C T D 匀 速运动时，OP 与PQ 能否相等， 假设能，写出所有符合条件的t 的值；假设不能，请讲明理由.〔08湖北咸宁24题解析〕24.解：〔1〕Q(1,0) ---------------------------------- 1分 点P 运动速度每秒钟 1个单位长度. ----------------------- 3分(2)过点B 作BF 丄y 轴于点F , BE 丄x 轴于点E ，那么BF = 8, OF BE 4. 二 AF 10 4 6.在 Rt △ AFB 中，AB ■. 82 6210 .过点C 作CG 丄x 轴于点G,与FB 的延长线交于点ABC 90 , AB BC ABF ^A BCH 二 BH AF 6, CH BF 8. ••• OG FH 8 6 14,CG8 4 12.•••所求C 点的坐标为〔14, 12〕. ----- 7 过点P 作PM L y 轴于点 M PN 丄x 轴于点N,42 :⑵ k:⑶ M 〔 3, 2〕，N 〔 1 ,3〕312分，(4)小题为附加题另外附加 2分〕5 分分13 47 3 2 二 S (10t)(1 t) 5 t t (0 W t W 10) ------------------------------------ 10 分2 5 10 10讲明：未注明自变量的取值范畴不扣分 •r 5 295 当t 5或t 295时，OP 与PQ 相等• 3 13 对一个加1分,不需写求解过程•12. 〔08湖南长沙〕26.如图，六边形 ABCDEF 内接于半径为r 〔常数〕的O O,其中 径，且 AB=CD=DE=FA.〔1〕当/ BAD=75时，求BC 的长； 〔2〕求证：BC// AD// FE ;〔3〕设AB=x ,求六边形ABCDEF 勺周长 关系式，并指出x 为何值时，L 取得最大值.〔08湖南长沙26题解析〕26. (1)连结OB •/ AB=CD ，•/ COD= / AOB=30，•/ BOC=120 ,故BC 的长为23£ . ..................................................................................................... 〔 3分〕(2)连结 BD AB=CD ，•/ ADB= Z CBD , • BC // AD , ...................................... 〔 5分〕同理 EF // AD ，从而 BC // AD // FE. ........................................................................ 〔6 分〕 ⑶过点B 作BM 丄AD 于M ，由⑵知四边形ABCD 为等腰梯形， 从而 BC=AD-2AM=2r-2AM . .............................................................................. 〔 7 分〕•/ AD 为直径，•••/ ABD=90，易得△ BAM DAB• AM= AD 2 =|2，• BC=2r-竽，同理 EF=2r-羊 ................................. 〔8 分〕 • L=4x+2(2r- — )= - x 2 4x 4r = - x r 2 6r ，其中 0v x v ■- 2r ............................................. 〔9 分〕r r r•••当x=r 时，L 取得最大值 6r. ........................................................................ 〔 10分〕 13〔 08湖南益阳〕七、（此题12分） 24.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为”蛋AP AM MPt AM ABAFBF106AM 3t, PM 4 t .PN55那么△ APMb A ABF设厶OPQ 勺面积为S （平方单位）MP 834 OM 10 t, ON PM t.553a — <0••47(和4时，△ OPC 的面积最大•611现在P 的坐标为9415 53、1214AD 为直〔2分〕圆"，假如一条直线与”蛋•••点C 、E 的坐标分不为 (0，-3)，(-3,0)•切线CE 的解析式为y■^x .33圆〃只有一个交点，那么这条直线叫做”蛋圆〃的切线如图12,点A 、B 、C 、D 分不是”蛋圆"与坐标轴的交点，点 D 的坐标为(0,-3) , AB 为半圆的直径，半圆圆心M 的坐标为(1,0)，半圆半径为2.(1) 请你求出”蛋圆〃抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范畴； (2) 你能求出通过点 C 的”蛋圆'’切线的解析式吗？试试看； ⑶开动脑筋想一想，相信你能求出通过点D 的”蛋圆〃切线的解析式•〔08湖南益阳24题解析〕七、(此题12分) 24•解：(1)解法1:依照题意可得：A(-1,0) ，B(3,0);那么设抛物线的解析式为y a(x 1)(x 3) (a ^0)又点D(0，-3)在抛物线上，• a(0+1 )(0-3)=-3，解之得：a=1 2• y=x -2 x-3 ................................................................................. 自变量范畴： -1 w x < 3 ................................................................ 解法2：设抛物线的解析式为y ax 2 bx c (a z 0)a b c 0a 9a 3bc 0，解之得：b2• y=x -2 x-3自变量范畴：-1 < x w 3(2)设通过点C在 Rt A MOC 中，T OM=1，CM=2，•/ CMO=60° , OC= 3 在 Rt A MCE 中，T OC=2，/ CMO=60°，「. ME=4依照题意可知，A(-1,0) , B(3,0),D(0，-3)三点都在抛物线上蛋圆"的切线 CE 交x 轴于点E ，连结CM ，⑶设过点D(0, -3)，”蛋圆"切线的解析式为：y=kx-3(k z 0)y kx 3由题意可知方程组2只有一组解y x 2x 3即kx 3 x22x 3有两个相等实根，•••k=-2 .................................................. 11分•••过点D ”蛋圆"切线的解析式y=-2x-3 .......................................................... 12分。

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专题01数与式问题【考点1】实数与数轴问题【例1】（2019年大庆）实数m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（）A．m＞n B．﹣n＞|m| C．﹣m＞|n| D．|m|＜|n|【分析】从数轴上可以看出m、n都是负数，且m＜n，由此逐项分析得出结论即可．【解析】因为m、n都是负数，且m＜n，|m|＜|n|，A、m＞n是错误的；B、﹣n＞|m|是错误的；C、﹣m＞|n|是正确的；D、|m|＜|n|是错误的．故选：C．【变式1-1】（2019年徐州）如图，数轴上有O、A、B三点，O为原点，OA、OB分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点B表示的数最为接近的是（）A．5×106B．107C．5×107D．108【分析】先化简2.5×106＝0.25×107，再从选项中分析即可；【解析】2.5×106＝0.25×107，（5×107）÷（0.25×107）＝20，从数轴看比较接近；故选：C．【变式1-2】（2019年枣庄）点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC＝1，OA＝OB．若点C 所表示的数为a，则点B所表示的数为（）A．﹣（a+1）B．﹣（a﹣1）C．a+1 D．a﹣1【分析】根据题意和数轴可以用含a的式子表示出点B表示的数，本题得以解决．【解析】∵O为原点，AC＝1，OA＝OB，点C所表示的数为a，∴点A表示的数为a﹣1，∴点B表示的数为：﹣（a﹣1），故选：B．【点拨】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【考点2】整式的求值问题【例2】（2019年泰州）若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【分析】将代数式4a2﹣6ab+3b变形后，整体代入可得结论．【解析】4a2﹣6ab+3b，＝2a（2a﹣3b）+3b，＝﹣2a+3b，＝﹣（2a﹣3b），＝1，故选：B．【点拨】本题考查代数式求值；熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键．【变式2-1】（2019年常州）如果a﹣b﹣2＝0，那么代数式1+2a﹣2b的值是 5 ．【分析】将所求式子化简后再将已知条件中a﹣b＝2整体代入即可求值；【解析】∵a﹣b﹣2＝0，∴a﹣b＝2，∴1+2a﹣2b＝1+2（a﹣b）＝1+4＝5；故答案为5．【变式2-2】（2019•济宁）已知x﹣2y＝3，那么代数式3﹣2x+4y的值是（）A．﹣3 B．0 C．6 D．9【分析】将3﹣2x+4y变形为3﹣2（x﹣2y），然后代入数值进行计算即可．【解析】∵x﹣2y＝3，∴3﹣2x+4y＝3﹣2（x﹣2y）＝3﹣2×3＝﹣3；故选：A．【考点3】分式的求值问题【例3】（2019年内江）若2，则分式的值为﹣4 ．【分析】由2，可得m+n＝2mn；化简，即可求解；’【解析】2，可得m+n＝2mn，＝﹣4；故答案为﹣4；【点拨】本题考查分式的值；能够通过已知条件得到m+n＝2mn，整体代入的思想是解题的关键；【变式3-1】（2019年绥化）当a＝2018时，代数式（）的值是2019 ．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．【解析】（）＝a+1，当a＝2018时，原式＝2018+1＝2019，故答案为：2019．【变式3-2】（2019年北京）如果m+n＝1，那么代数式（）•（m2﹣n2）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【解析】原式•（m+n）（m﹣n）•（m+n）（m﹣n）＝3（m+n），当m+n＝1时，原式＝3．故选：D．【考点4】二次根式的性质与化简【例4】（2019年绵阳）已知x是整数，当|x|取最小值时，x的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据绝对值的意义，由与最接近的整数是5，可得结论．【解析】∵，∴5，且与最接近的整数是5，∴当|x|取最小值时，x的值是5，故选：A．【点拨】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．【变式4-1】（2019年菏泽）已知x，那么x2﹣2x的值是 4 ．【分析】根据二次根式的运算以及完全平方公式即可求出答案．【解析】∵x，∴x2﹣2x+2＝6，∴x2﹣2x＝4，故答案为：4【变式4-2】（2019年内江）若|1001﹣a|a，则a﹣10012＝1002 ．【分析】由二次根式有意义的条件得到a≥1002，据此去绝对值并求得a的值，代入求值即可．【解析】∵a﹣1002≥0，∴a≥1002．由|1001﹣a|a，得﹣1001+a a，∴1001，∴a﹣1002＝10012．∴a﹣10012＝1002．故答案是：1002．【考点5】数字的变化规律【例5】（2019年河池）a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，是一列数，已知第1个数a1＝4，第5个数a5＝5，且任意三个相邻的数之和为15，则第2019个数a2019的值是 6 ．【分析】由任意三个相邻数之和都是15，可知a1、a4、a7、…a3n+1相等，a2、a5、a8、…a3n+2相等，a3、a6、a9、…a3n相等，可以得出a5＝a2＝5，根据a1+a2+a3＝15得4+5+a3＝15，求得a3，进而按循环规律求得结果．【解析】由任意三个相邻数之和都是15可知：a1+a2+a3＝15，a2+a3+a4＝15，a3+a4+a5＝15，…a n+a n+1+a n+2＝15，可以推出：a1＝a4＝a7＝…＝a3n+1，a2＝a5＝a8＝…＝a3n+2，a3＝a6＝a9＝…＝a3n，所以a5＝a2＝5，则4+5+a3＝15，解得a3＝6，∵2019÷3＝673，因此a2019＝a3＝6．故答案为：6．【变式5-1】（2019年益阳）观察下列等式：①3﹣2（1）2，②5﹣2（）2，③7﹣2（）2，…请你根据以上规律，写出第6个等式__________ ．【分析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n（n+1），利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为（）2（n≥1的整数）．【解析】写出第6个等式为13﹣2（）2．故答案为13﹣2（）2．【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【变式5-2】（2019年铜仁市）按一定规律排列的一列数依次为：，，，，…（a≠0），按此规律排列下去，这列数中的第n个数是_______ ．（n为正整数）【分析】先确定正负号与序号数的关系，再确定分母与序号数的关系，然后确定a的指数与序号数的关系．【解析】第1个数为（﹣1）1•，第2个数为（﹣1）2•，第3个数为（﹣1）3•，第4个数为（﹣1）4•，…，所以这列数中的第n个数是（﹣1）n•．故答案为（﹣1）n•．【点拨】本题考查了规律型：数字的变化类：寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．【考点6】图形的变化规律【例6】（2019年大庆）归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为．【分析】根据题意和图形，可以发现图形中棋子的变化规律，从而可以求得第n个“T”字形需要的棋子个数．【解析】由图可得，图①中棋子的个数为：3+2＝5，图②中棋子的个数为：5+3＝8，图③中棋子的个数为：7+4＝11，……则第n个“T”字形需要的棋子个数为：（2n+1）+（n+1）＝3n+2，故答案为：3n+2．【点拨】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中棋子的变化规律，利用数形结合的思想解答．【变式6-1】（2019年天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有6058 个〇．【分析】根据题目中的图形，可以发现〇的变化规律，从而可以得到第2019个图形中〇的个数．【解析】由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1＝4，第2个图象中〇的个数为：1+3×2＝7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3＝10，第4个图象中〇的个数为：1+3×4＝13，……∴第2019个图形中共有：1+3×2019＝1+6057＝6058个〇，故答案为：6058．【点拨】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．【变式6-2】（2019年甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝1010 ．【分析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2﹣1＝3个，第3幅图中有2×3﹣1＝5个，…，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．【解析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2﹣1＝3个．第3幅图中有2×3﹣1＝5个．第4幅图中有2×4﹣1＝7个．…．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n﹣1）个．当图中有2019个菱形时，2n﹣1＝2019，n＝1010，故答案为：1010．【点拨】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．1．（2019年北京）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1【分析】根据CO＝BO可得点C表示的数为﹣2，据此可得a＝﹣2﹣1＝﹣3．【解析】∵点C在原点的左侧，且CO＝BO，∴点C表示的数为﹣2，∴a＝﹣2﹣1＝﹣3．故选：A．2.（2019年黄石）下列四个数：﹣3，﹣0.5，，中，绝对值最大的数是（）A．﹣3 B．﹣0.5 C．D．【分析】根据绝对值的性质以及正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小判断即可．【解析】∵|﹣3|＝3，|﹣0.5|＝0.5，||，||且0.53，∴所给的几个数中，绝对值最大的数是﹣3．故选：A．3．（2019年云南）按一定规律排列的单项式：x3，﹣x5，x7，﹣x9，x11，……，第n个单项式是（）A．（﹣1）n﹣1x2n﹣1B．（﹣1）n x2n﹣1C．（﹣1）n﹣1x2n+1D．（﹣1）n x2n+1【分析】观察指数规律与符号规律，进行解答便可．【解析】∵x3＝（﹣1）1﹣1x2×1+1，﹣x5＝（﹣1）2﹣1x2×2+1，x7＝（﹣1）3﹣1x2×3+1，﹣x9＝（﹣1）4﹣1x2×4+1，x11＝（﹣1）5﹣1x2×5+1，……由上可知，第n个单项式是：（﹣1）n﹣1x2n+1，故选：C．4．（2019年黔东南州）如果3ab2m﹣1与9ab m+1是同类项，那么m等于（）A．2 B．1 C．﹣1 D．0【分析】根据同类项的定义，含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同，列出等式，直接计算即可．【解析】根据题意，得：2m﹣1＝m+1，解得：m＝2．故选：A．5．（2019年常德）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）A．0 B．1 C．7 D．8【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出70+71+72+…+72019的结果的个位数字．【解析】∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，∴个位数4个数一循环，∴（2019+1）÷4＝505，∴1+7+9+3＝20，∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．故选：A．6．（2019年深圳）定义一种新运算n•x n﹣1dx＝a n﹣b n，例如2xdx＝k2﹣n2，若x﹣2dx＝﹣2，则m＝（）A．﹣2 B．C．2 D．【分析】根据新运算列等式为m﹣1﹣（5m）﹣1＝﹣2，解出即可．【解析】由题意得：m﹣1﹣（5m）﹣1＝﹣2，2，5﹣1＝﹣10m，m，故选：B．7．（2019年攀枝花）一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为a千米/时，下山速度为b千米/时．则货车上、下山的平均速度为（）千米/时．A．（a+b）B．C．D．【分析】平均速度＝总路程÷总时间，设单程的路程为x，表示出上山下山的总时间，把相关数值代入化简即可．【解答】设上山的路程为x千米，则上山的时间小时，下山的时间为小时，则上、下山的平均速度千米/时．故选：D．8．（2019年临沂）计算a﹣1的正确结果是（）A．B．C．D．【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了．【解析】原式，，．9．（2019年舟山）数轴上有两个实数a，b，且a＞0，b＜0，a+b＜0，则四个数a，b，﹣a，﹣b的大小关系为b＜﹣a＜a＜﹣b（用“＜”号连接）．【分析】根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小和负数都小于0，即可得出答案．【解析】∵a＞0，b＜0，a+b＜0，∴|b|＞a，∴﹣b＞a，b＜﹣a，∴四个数a，b，﹣a，﹣b的大小关系为b＜﹣a＜a＜﹣b．故答案为：b＜﹣a＜a＜﹣b10．（2019年咸宁）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是﹣384 ．【分析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．【解析】∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，∴这列数的第n个数可以表示为（﹣2）n﹣1，∵其中某三个相邻数的积是412，∴设这三个相邻的数为（﹣2）n﹣1、（﹣2）n、（﹣2）n+1，则（﹣2）n﹣1•（﹣2）n•（﹣2）n+1＝412，即（﹣2）3n＝（22）12，∴（﹣2）3n＝224，∴3n＝24，解得，n＝8，∴这三个数的和是：（﹣2）7+（﹣2）8+（﹣2）9＝（﹣2）7×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384，故答案为：﹣384．11．（2019年湘潭）若a+b＝5，a﹣b＝3，则a2﹣b2＝15 ．【分析】先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可．【解析】∵a+b＝5，a﹣b＝3，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝5×3＝15，故答案为：15．12．（2019年徐州）若a＝b+2，则代数式a2﹣2ab+b2的值为 4 ．【分析】由a＝b+2，可得a﹣b＝2，代入所求代数式即可．【解析】∵a＝b+2，∴a﹣b＝2，∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝22＝4．故答案为：413．（2019年桂林）若x2+ax+4＝（x﹣2）2，则a＝﹣4 ．【分析】直接利用完全平方公式得出a的值．【解析】∵x2+ax+4＝（x﹣2）2，∴a＝﹣4．故答案为：﹣4．【点拨】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．14．（2019年咸宁）若整式x2+my2（m为常数，且m≠0）能在有理数范围内分解因式，则m的值可以是﹣1 （写一个即可）．【分析】令m＝﹣1，使其能利用平方差公式分解即可．【解析】令m＝﹣1，整式为x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．故答案为：﹣1（答案不唯一）．15．（2019年广州）代数式有意义时，x应满足的条件是x＞8 ．【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出x的取值范围．【解析】代数式有意义时，x﹣8＞0，解得：x＞8．故答案为：x＞8．16．（2019年枣庄）观察下列各式：11+（1），11+（），11+（），…请利用你发现的规律，计算：，其结果为2018．【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可．【解析】＝1+（1）+1+（）+…+1+（）＝2018+1＝2018，故答案为：2018．17.（2019年西藏）观察下列式子第1个式子：2×4+1＝9＝32第2个式子：6×8+1＝49＝72第3个式子：14×16+1＝225＝152……请写出第n个式子：（2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2．【分析】由题意可知：①等号左边是两个连续偶数的积（其中第二个因数比第一个因数大2）与1的和；右边是比左边第一个因数大1的数的平方；②第1个式子的第一个因数是22﹣2，第2个式子的第一个因数是23﹣2，第3个式子的第一个因数是24﹣2，以此类推，得出第n个式子的第一个因数是2n+1﹣2，从而能写出第n个式子．【解析】∵第1个式子：2×4+1＝9＝32，即（22﹣2）×22+1＝（22﹣1）2，第2个式子：6×8+1＝49＝72，即（23﹣2）×23+1＝（23﹣1）2，第3个式子：14×16+1＝225＝152，即（24﹣2）×24+1＝（24﹣1）2，……∴第n个等式为：（2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2．故答案为：（2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2．18．（2019年海南）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是0 ，这2019个数的和是 2 ．【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，本题得以解决．【解析】由题意可得，这列数为：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，…，∴前6个数的和是：0+1+1+0+（﹣1）+（﹣1）＝0，∵2019÷6＝336…3，∴这2019个数的和是：0×336+（0+1+1）＝2，故答案为：0，2．19.（2019年安顺）如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是2019 ．【分析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，推出第45行、第7列的数是2025﹣6＝2019【解析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，∴第45行第一个数是2025，∴第45行、第7列的数是2025﹣6＝2019，故答案为2019。

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