2019年湖北省武汉市黄陂区第二中学中考数学四模试卷(解析版)

2019年湖北省武汉市黄陂区第二中学中考数学四模试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．如果|a|＝a，下列各式成立的是（）A．a＞0B．a＜0C．a≥0D．a≤02．下列几何体中，主视图和俯视图都是矩形的是（）A．B．C．D．3．已知直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝35°，则∠2等于（）A．25°B．35°C．40°D．45°4．下列运算正确的是（）A．2x﹣x＝1B．（x2）3＝x5C．﹣＝D．20＝05．下列说法：①要了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式；②若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖；③甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同若方差S甲2＝0.2，则甲组数据比乙组数据稳定；④“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件．正2＝0.1，S乙确的说法有（）个．A．4B．3C．2D．16．平面直角坐标系中点（﹣2，1）关于y轴对称的点的坐标为（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）7．如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图），这个几何体的表面能展开成下面的哪个平面图形？（）A． B．C． D．8．某公司有10名工作人员，他们的月工资情况如下表（其中x 为未知数）．他们的月平均工资是2.22万元．根据表中信息，计算该公司工作人员的月工资的中位数和众数分别是（ ）A ．2，4B ．1.8，1.6C ．2，1.6D ．1.6，1.89．如图，已知A （2，6）、B （8，﹣2），C 为坐标轴上一点，且△ABC 是直角三角形，则满足条件的C 点有（ ）个．A ．6B ．7C ．8D ．910．如图，⊙O 是等边△ABC 的内切圆，又是等边△DEF 的外接圆，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．计算＝12．计算：+＝ ．13．甲、乙、丙3名学生随机排成一排拍照，其中甲排在中间的概率是 ．14．如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别是AB 、DC 边上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD ＝16cm 2，S △BQC ＝25cm 2，则图中阴影部分的面积为 cm 2．15．若点P （a ，b ）在一次函数y ＝﹣2x +1的图象上，则2a +b +1＝ ． 16．在△ABC 中，若AB ＝AC ＝5，BC ＝8，则sin B ＝ ． 三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）解方程：﹣1＝．18．（8分）如图，在△ADF 与△CBE 中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，已知AD ∥BC ，AD ＝CB ，∠B ＝∠D ．求证：AF ＝CE ．19．（8分）八年级（1）班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了以下统计图．请根据图中信息解决下列问题：（1）共有名同学参与问卷调查；（2）补全条形统计图和扇形统计图；（3）全校共有学生1500人，请估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少．20．（8分）某文化用品商店出售书包和文具盒，书包每个定价40元，文具盒每个定价10元，该店制定了两种优惠方案：方案一，买一个书包赠送一个文具盒；方案二：按总价的九折付款，购买时，顾客只能选用其中的一种方案．某学校为给学生发奖品，需购买5个书包，文具盒若干（不少于5个）．设文具盒个数为x（个），付款金额为y（元）．（1）分别写出两种优惠方案中y与x之间的关系式；方案一：y1＝；方案二：y2＝．（2）若购买20个文具盒，通过计算比较以上两种方案中哪种更省钱？（3）学校计划用540元钱购买这两种奖品，最多可以买到个文具盒（直接回答即可）．21．（8分）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC＝BD；（2）求证：DE为⊙O的切线．22．（10分）如图，过点P（2，）作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线于点N，作PM⊥AN交双曲线于点M，连接AM，若PN＝4．（1）求k的值；（2）设直线MN解析式为y＝ax+b，求不等式的解集．23．（10分）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC，AE⊥BD，EF⊥CE（1）试证明△AEF∽△BEC；（2）如图，过C点作CH⊥AD于H，试探究线段DH与BF的数量关系，并说明理由；（3）若AD＝1，CD＝5，试求出BE的值？24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2a与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴将于点C（0，﹣）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D（2，n）是抛物线上的一点，在y轴左侧的抛物线上存在点T，使△TAD的面积等于△TBD的面积，求出所有满足条件的点T的坐标；（3）直线y＝kx﹣k+2，与抛物线交于两点P、Q，其中在点P在第一象限，点Q在第二象限，PA交y轴于点M，QA交y轴于点N，连接BM、BN，试判断△BMN的形状并证明你的结论．2019年湖北省武汉市黄陂区第二中学中考数学四模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【分析】利用平方根的定义得出a，b的值，进而利用ab的符号得出a，b异号，即可得出a﹣b 的值．【解答】解：∵a2＝4，b2＝9，∴a＝±2，b＝±3，∵ab＜0，∴a＝2，则b＝﹣3，a＝﹣2，b＝3，则a﹣b的值为：2﹣（﹣3）＝5或﹣2﹣3＝﹣5．故选：B．【点评】此题主要考查了平方根的定义以及有理数的乘法等知识，得出a，b的值是解题关键．2．【分析】由分母是否恒不等于0，依次对各选项进行判断．【解答】解：当a＝0时，a2＝0，故A、B中分式无意义；当a＝﹣1时，a+1＝0，故C中分式无意义；无论a取何值时，a2+1≠0，故选：D．【点评】解此类问题，只要判断是否存在a使分式中分母等于0即可．3．【分析】根据合并同类项，积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法，完全平方公式，可得答案．【解答】解：A、系数相加字母及指数不变，故A不符合题意；B、积的乘方等于乘方的积，故B不符合题意；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C符合题意；D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．4．【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．【解答】解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键．5．【分析】根据完全平方公式和平方差公式判断即可．【解答】解：A、（2a﹣b）（﹣2a+b）＝﹣4a2+4ab﹣b2，错误；B、（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2，错误；C、（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2，正确；D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，错误；故选：C．【点评】此题考查平方差公式，关键是根据完全平方公式和平方差公式判断．6．【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点（x，y）关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）．【解答】解：点（﹣2，1）关于y轴的对称点的坐标是（2，1），故选：B．【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．7．【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是圆可判断出此几何体为圆柱，进一步由展开图的特征选择答案即可．【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形，∴此几何体为柱体，∵俯视图是一个圆，∴此几何体为圆柱，因此图A是圆柱的展开图．故选：A．【点评】此题由三视图判断几何体，用到的知识点为：三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个视图确定其具体形状．8．【分析】依据他们的月平均工资是2.22万元，求得x的值，进而得出该公司工作人员的月工资的中位数是（2+1.6）＝1.8，众数是1.6．【解答】解：∵他们的月平均工资是2.22万元，∴（1×5+2×3+2×2+4x+1×0.8）＝2.22，解得x＝1.6，∴该公司工作人员的月工资的中位数是（2+1.6）＝1.8，众数是1.6，故选：B．【点评】此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．9．【分析】过点A作AB的垂线，交x轴于点C1，交y轴于点C2；过点B作AB的垂线，交x轴于点C3，交y轴于点C4；根据直径所对的圆周角为直角，以AB为直径作圆，根据A和B的坐标求出AB的长度，即为圆的直径，可得出半径的长，进而判断得出圆与y轴相切，可得出圆与y 轴有1个交点，与x轴交于2点．所以满足条件的点共有7个．【解答】解：分三种情况考虑：①当A为直角顶点时，过A作AC⊥AB，交x轴于点C1，交y轴于点C2，此时满足题意的点为C1，C2；②当B为直角顶点时，过B作BC⊥AB，交x轴于点C3，交y轴于点C4，此时满足题意的点为C3，C4；③当C为直角顶点时，以AB为直径作圆，由A（2，6）、B（8，﹣2），可得此圆与y轴相切，则此圆与y轴有1个交点，与x轴有2个交点，分别为C5，C6，C7．综上，所有满足题意的C有7个．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理，直角三角形以及坐标与图形性质，利用了分类讨论及数形结合的思想．注意：若△ABC是直角三角形，则它的任意一个顶点都有可能为直角顶点．10．【分析】设⊙O与BC边相切于M点，连接OM，OM与EF交于N点，等于两个等边三角形的相似比，可利用性质将相似比转化成对应高的比，利用即可解决问题．【解答】解：设⊙O与BC边相切于M点，连接OM，OM与EF交于N点，如下图所示根据切线的性质定理可知OM⊥BC，由垂径定理可知ON⊥EF∵△DEF∽△ABC∴而OM＝OF，∴又∵△ABC与△DEF都是正三角形，O为三角形的内心∴∠OFN＝30°即于是可知故选：C ．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，利用相似三角形相似比等于对应高的比即可解决问题．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．【分析】先通分，然后计算加法．【解答】解：＝+＝．故答案是：． 【点评】考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 13．【分析】根据概率公式计算可得．【解答】解：∵甲、乙、丙3名学生随机排成一排拍照，共有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲这6种等可能结果，而甲排在中间的只有2种结果，∴甲排在中间的概率为，故答案为：【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝．14．【分析】连接E 、F 两点，由三角形的面积公式我们可以推出S △EFC ＝S △BCQ ，S △EFD ＝S △ADF ，所以S △EFG ＝S △BCQ ，S △EFP ＝S △ADP ，因此可以推出阴影部分的面积就是S △APD +S △BQC ．【解答】解：连接E 、F 两点，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴△EFC 的FC 边上的高与△BCF 的FC 边上的高相等，∴S △EFC ＝S △BCF ，∴S △EFQ ＝S △BCQ ，同理：S △EFD ＝S △ADF ，∴S △EFP ＝S △ADP ，∵S △APD ＝16cm 2，S △BQC ＝25cm 2，∴S 四边形EPFQ ＝41cm 2，故答案为：41．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，题目综合性较强，主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形．15．【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出b ＝﹣2a +1，将其代入2a +b +1中即可求出结论．【解答】解：∵点P （a ，b ）在一次函数y ＝﹣2x +1的图象上，∴b ＝﹣2a +1，∴2a +b +1＝2a +（﹣2a +1）+1＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y ＝kx +b 是解题的关键．16．【分析】根据勾股定理，可得AD 的长，根据正弦函数等于对边比斜边，可得答案．【解答】解：作AD ⊥BC 于D ，如图，BD ＝BC ＝4，由勾股定理，得AD＝＝3．由正弦函数，得sin B＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形，利用勾股定理得出对边的长是解题关键，再利用正弦函数的定义．三．解答题（共8小题，满分72分）17．【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【解答】解：去分母，得3（1﹣2x）﹣21＝7（x+3），去括号，得3﹣6x﹣21＝7x+21，移项，得﹣6x﹣7x＝21﹣3+21，合并，得﹣13x＝39，系数化1，得x＝﹣3，则原方程的解是x＝﹣3．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．【分析】由AD∥BC得∠A＝∠C，再由已知条件可证明△ADF≌△CBE（ASA），AF＝CE．【解答】证明：∵AD∥BC∴∠A＝∠C在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA）∴AF＝CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，若判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件，是基础知识要熟练掌握．19．【分析】（1）由读书1本的人数及其所占百分比可得总人数；（2）总人数乘以读4本的百分比求得其人数，减去男生人数即可得出女生人数，用读2本的人数除以总人数可得对应百分比；（3）总人数乘以样本中读2本人数所占比例．【解答】解：（1）参与问卷调查的学生人数为（8+2）÷10%＝100人，故答案为：100；（2）读4本的女生人数为100×15%﹣10＝5人，读2本人数所占百分比为×100%＝38%，补全图形如下：（3）估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为1500×38%＝570人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．【分析】（1）根据方案一，买一个书包赠送一个文具盒；方案二：按总价的九折付款，即可得出两种优惠方案中y与x之间的关系式；（2）将x＝20分别代入（1）中解析式，通过计算比较两种方案中哪种更省钱即可；（3）根据购买时，顾客只能选用其中的一种方案，所以分别求出y≤540时两种方案中x的最大整数值，比较即可得到答案．【解答】解：（1）由题意，可得y1＝40×5+10（x﹣5）＝10x+150，y2＝（40×5+10x）×0.9＝9x+180．故答案为10x+150，9x+180；（2）当x＝20时，y1＝10×20+150＝350，y2＝9×20+180＝360，可看出方案一省钱；（3）如果10x+150≤540，那么x≤39，如果9x+180≤540，那么x≤40，所以学校计划用540元钱购买这两种奖品，最多可以买到40个文具盒．故答案为40．【点评】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出函数解析式；（2）根据y1，y2间的关系列出不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出函数关系式（方程或不等式）是关键．21．【分析】（1）连接AD，根据中垂线定理不难求得AB＝AC；（2）要证DE为⊙O的切线，只要证明∠ODE＝90°即可．【解答】证明：（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴DC＝BD；（2）连接半径OD，∵OA＝OB，CD＝BD，∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠CED，又∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．【点评】此题主要考查了切线的判定，关键是利用等腰三角形的性质及圆周角的性质解答．22．【分析】（1）首先根据点P（2，）的坐标求出N点的坐标，代入反比例函数解析式即可求出；（2）利用图形两函数谁在上上面谁大，交点坐标即是函数大小的分界点，可以直接判断出函数的大小关系．【解答】解：（1）依题意，则AN＝4+2＝6，∴N（6，2），把N（6，2）代入y＝得：xy＝12，∴k＝12；（2）∵M点横坐标为2，∴M点纵坐标为：＝6，∴M（2，6），∴由图象知，≥ax+b的解集为：0＜x≤2或x≥6．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质以及待定系数法求解析式和利用图形判断函数的大小关系，数形结合解决比较函数的大小关系是初中阶段的难点问题，同学们重点学习．23．【分析】（1）想办法证明∠AEF＝∠BEC，∠FAE＝∠EBC即可解决问题；（2）结论：DH＝BF．利用比例的性质首先证明AD＝AF，再证明四边形ABCH是正方形即可解决问题；（3）设正方形的边长为x，在Rt△CDH中，DH＝x﹣1，CH＝x，CD＝5，可得52＝x2+（x﹣1）2，解得x＝4，再通过解直角三角形求出BE的长即可；【解答】（1）证明：∵AE⊥BD，EF⊥CE，∴∠AEB＝∠FEC＝90°，∴∠AEF＝∠BEC，∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠EBC＝90°，∠ABE+∠FAE＝90°，∴∠FAE＝∠EBC，∴△AEF∽△BEC；（2）解：结论：DH＝BF．理由：∵△AEF∽△BEC，∴＝，∵∠ABE＝∠ABD，∠AEB＝∠BAD＝90°，∴△ABE∽△DBA，∴＝，∴＝，∵BC＝AB，∴AF＝AD，∵∠ABC＝∠BAD＝∠H＝90°，∴四边形ABCH是矩形，∵AB＝BC，∴四边形ABCH是正方形，∴AB＝AH，∵AF＝AD，∴BF＝DH．（3）设正方形的边长为x，在Rt△CDH中，DH＝x﹣1，CH＝x，CD＝5，∴52＝x2+（x﹣1）2，解得x＝4，∴AB＝4，AD＝1，在Rt△ABD中，BD＝＝，∵•AD•AB＝•BD•AE，∴AE＝＝，在Rt△AEB中，BE＝＝．【点评】本题考查相似三角形综合题、比例的性质、正方形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．24．【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线的解析式．（2）△TAD与△TBD有公共底边TD，面积相等即点A、点B到直线TD距离相等．根据T的位置关系分类讨论：在点A左侧时，根据“平行线间距离处处相等”可得AB∥TD，易得点T的纵坐标，代入解析式即求出横坐标；在点A右侧时，分别过A、B作TD的垂线段，构造全等三角形，证得TD与x轴交点为AB中点，求出TD解析式，再与抛物线解析式联立方程组求出T．（3）联立直线y＝kx﹣k+2与抛物线解析式，整理得关于x的一元二次方程，根据韦达定理得到P、Q横坐标和和与积的式子（用k表示）．设M（0，m）、N（0，n），求出直线AP、AQ的解析式（分别用m、n表示）．分别联立直线AP、AQ与抛物线方程，求得P、Q的横坐标（分别用m、n表示），即得到关于m、n、k关系的式子，整理得mn＝﹣1，即OM•ON＝1，易证△BOM∽△NOB，进而求出∠MBN＝90°【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2a经过点B（1，0）、C（0，）∴解得：∴抛物线的解析式为：y ＝x 2+x ﹣（2）当x ＝2时，n ＝×22+×2﹣＝∴D （2，）①当点T 在点A 左侧时，如图1，∵S △TAD ＝S △TBD ，且△TAD 与△TBD 有公共底边为TD∴AB ∥TD ，即TD ∥x 轴∴y T ＝y D ＝x 2+x ﹣＝ 解得：x 1＝﹣3，x 2＝2（即点D 横坐标，舍去）∴T （﹣3，）②当点T 在点A 右侧时，如图2，设DT 与x 轴交点为P ，过A 作AE ⊥DT 于E ，过B 作BF ⊥DT 于F∵S △TAD ＝S △TBD ，且△TAD 与△TBD 有公共底边为TD∴AE ＝BF在△AEP 与△BFP 中，∴△AEP ≌△BFP （AAS ）∴AP ＝BP 即P 为AB 中点由x 2+x ﹣＝0 解得：x 1＝﹣2，x 2＝1∴A （﹣2，0）∴P （，0）设直线DP ：y ＝kx +c解得：∴直线DT ：y ＝解得：（即点D ，舍去）∴T （，）综上所述，满足条件的点T 的坐标为（﹣3，）与（，）（3）△BMN 是直角三角形，证明如下：设x 1为点P 横坐标，x 2为点Q 的横坐标整理得：x 2+（1﹣8k ）x +8k ﹣18＝0∴x 1+x 2＝8k ﹣1，x 1x 2＝8k ﹣18设M （0，m ），N （0，n ）则OM ＝m ，ON ＝﹣n∴直线AM 解析式：y ＝，直线AN 解析式：y ＝解得：∴P （1+4m ，3m +）同理可得：Q （1+4n ，3n +）∴整理得：mn ＝﹣1∴m •|n |＝1 即OM •ON ＝1又OB＝1，即OM•ON＝OB2∴∴△BOM∽△NOB∴∠OBM＝∠ONB∴∠MBN＝∠OBM+∠OBN＝∠ONB+∠OBN＝90°∴△BMN是直角三角形【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，全等三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的判定和性质．考查了分类讨论、数形结合思想，综合计算能力．第（2）题要结合图形找出T的特殊位置；第（3）题先判断∠MBN＝90°，大胆设用多个未知量，利用联立直线和抛物线方程求交点坐标，再通过计算整理发型其中的规律．。