广东省中山市第一中学2017-2018学年高三上学期第二次统测数学(理)试题 Word版含答案
20172018学年广东省中山市高三(上)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年广东省中山市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若集合，B={1，m}，若A⊆B，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或2．（5分）若复数（i是虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为（）A．2 B．C．D．﹣23．（5分）已知实数，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a4．（5分）阅读如图所示的程序框图，输出的结果S的值为（）A．0 B．C．D．5．（5分）若x，y满足，若z=x+2y，则z的最大值是（）A．1 B．4 C．6 D．86．（5分）李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步B．20步、60步C．30步、70步D．40步、80步7．（5分）若二项式（3﹣x）n（n∈N*）中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则+的最小值为（）A．2 B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（）A．（0，4） B．C． D．（0，1），（4，+∞）9．（5分）已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．48种B．72种C．78种D．84种10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是（）A．{t|}B．{t|≤t≤2}C．{t|2} D．{t|2}11．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g（x）=|2x﹣1|﹣的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则x4+x2﹣（x3+x1）的最小值为（）A．1 B．log23 C．log26 D．312．（5分）已知函数f（x）=3sinωxcosωx﹣4cos2ωx（ω＞0），其周期为π，f（θ）=，则f（θ+）+f（θ﹣）=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知cos（α+）=，则sin2α=．14．（5分）已知=（1，﹣2），+=（0，2），则||=．15．（5分）某班运动队由足球队员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n+1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为．16．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=，且对任意正整数m，n，都有a m=a m a n，若对任意n∈N*，S n＜t恒成立，则实数t的取值范围是．+n三、解答题（本大题共7小题，共70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=a5+a6=25．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若不等式2S n+8n+27＞（﹣1）n k（a n+4）对所有的正整数n都成立，求实数k的取值范围．18．（12分）如图，在△ABC中，AB=2，cosB=，点D在线段BC上．（1）若∠ADC=π，求AD的长；（2）若BD=2DC，△ACD的面积为，求的值．19．（12分）某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y 关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？20．（12分）某市小型机动车驾照“科二”考试共有5项考察项目，分别记作①，②，③，④，⑤．（Ⅰ）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3（≤3）项的概率．项目/学号编号①②③④⑤（1）T T T（2）T T T（3）T T T T（4）T T T（5）T T T T（6）T T T（7）T T T T（8）T T T T T（9）T T T（10）T T T T T注：“T”表示合格，空白表示不合格（Ⅱ）“科二”考试中，学员需缴纳150元报名费，并进行1轮测试（按①，②，③，④，⑤的顺序进行），如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第1轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束．每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行．学员在任何1轮测试或补测中5个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考1次．某学员每轮测试或补测通过①，②，③，④，⑤各项测试的概率依次为1，1，1，，，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考．①求该学员能通过“科二”考试的概率．②求该学员缴纳的考试费用X的数学期望．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．22．（12分）已知函数．（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明．23．（10分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．2017-2018学年广东省中山市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若集合，B={1，m}，若A⊆B，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或【解答】解：∵集合={2}又∵B={1，m}若A⊆B则m=2故选A2．（5分）若复数（i是虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为（）A．2 B．C．D．﹣2【解答】解：复数==+为纯虚数，∴=0，≠0，解得a=2．故选：A．3．（5分）已知实数，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：log22＜log23＜log24=2⇒a∈（1，2），b=（x+）dx=（+lnx）|=ln2+，故选：D4．（5分）阅读如图所示的程序框图，输出的结果S的值为（）A．0 B．C．D．【解答】解：本框图为“当型“循环结构当满足n≤2010时，执行循环体：s=s+sin根据s=0，n=1第1次循环：s=0+sin =第2次循环：s=+=第3次循环：s=+0=第4次循环：s=+（﹣）=第5次循环：s=+2（﹣）=0第6次循环：s=0+0=0第7次循环：s=…当n为6的倍数时，s的值为0n=2010时，为6的倍数，故此时s=0n=2011时，s=故选B5．（5分）若x，y满足，若z=x+2y，则z的最大值是（）A．1 B．4 C．6 D．8【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）；由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大；由，解得，即A（2，2），代入目标函数z=x+2y得z的最大值是2+2×2=6．故选：C．6．（5分）李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步B．20步、60步C．30步、70步D．40步、80步【解答】解：由题意，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．方田面积减去水池面积为13.75亩，∴（40+m）2﹣=13.75×240．解得：m=20．即圆池直径20步那么：方田边长为40步+20步=60步．故选B．7．（5分）若二项式（3﹣x）n（n∈N*）中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则+的最小值为（）A．2 B．C．D．【解答】解：令x=1，可得a=2n，令x=﹣1，可得b=4n．∴+=≥2+=．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（）A．（0，4） B．C． D．（0，1），（4，+∞）【解答】解：结合图象：x∈（0，1）和x∈（4，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＜0，而g′（x）=，故g（x）在（0，1），（4，+∞）递减，故选：D．9．（5分）已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A．48种B．72种C．78种D．84种【解答】解：由题意知先使五个人的全排列，共有A55=120种结果．穿红色相邻或穿黄色相邻两种情况，有2A22A44=96种，穿红色相邻且穿黄色也相邻情况，有A22A22A33=24种，故：穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是120﹣96+24=48，故选：A10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是（）A．{t|}B．{t|≤t≤2}C．{t|2} D．{t|2}【解答】解：设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则∵A1M∥D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，∴A1M∥平面D1AE．同理可得MN∥平面D1AE，∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线∴平面A1MN∥平面D1AE，由此结合A1F∥平面D1AE，可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点．设直线A1F与平面BCC1B1所成角为θ运动点F并加以观察，可得当F与M（或N）重合时，A1F与平面BCC1B1所成角等于∠A1MB1，此时所成角θ达到最小值，满足tanθ==2；当F与MN中点重合时，A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值，满足tanθ==2∴A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围为[2，2]故选：D11．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g（x）=|2x﹣1|﹣的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则x4+x2﹣（x3+x1）的最小值为（）A．1 B．log23 C．log26 D．3【解答】解：函数y=|2x﹣1|的图象如图：∵x1＜x2，∴=1﹣k，=1+k，又∵x3＜x4，∴=1﹣，=1+，∴，=．则==﹣3+．又k∈[，1），∴﹣3+∈[3，+∞）．∴x4+x2﹣（x3+x1）=x4﹣x3+x2﹣x1∈[log23，+∞），即x4+x2﹣（x3+x1）的最小值为log23．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=3sinωxcosωx﹣4cos2ωx（ω＞0），其周期为π，f（θ）=，则f（θ+）+f（θ﹣）=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣【解答】解：f（x）=3sinωxcosωx﹣4cos2ωx===，（tanα=）．由T==π，得ω=1．∴f（x）=．由f（θ）=，得sin（2θ﹣α）﹣2=，∴sin（2θ﹣α）=1；∴f（θ+）=sin[2（θ+）﹣α]﹣2=sin（2θ+π﹣α）﹣2=﹣sin（2θ﹣α）﹣2=﹣×1﹣2=﹣；f（θ﹣）=﹣2=﹣2=﹣2．∴f（θ+）+f（θ﹣）=．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知cos（α+）=，则sin2α=﹣．【解答】解：∵，∴（cosα﹣sinα）=，可得：cosα﹣sinα=，∴两边平方可得：1﹣sin2α=，∴可解得：sin2α=﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知=（1，﹣2），+=（0，2），则||=．【解答】解：因为=（1，﹣2），+=（0，2），所以=（﹣1，4），所以；故答案为：15．（5分）某班运动队由足球队员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n+1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为6．【解答】解：由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，∵总体容量为6+12+18=36．当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为，分层抽样的比例是，抽取的乒乓球运动员人数为•6=，篮球运动员人数为•12=，足球运动员人数为•18=，∵n应是6的倍数，36的约数，即n=6，12，18．当样本容量为（n+1）时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为，∵必须是整数，∴n只能取6．即样本容量n=6．故答案为：616．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=，且对任意正整数m，n，都=a m a n，若对任意n∈N*，S n＜t恒成立，则实数t的取值范围是有a m+n．=a m•a n，【解答】解：由题意得，对任意正整数m，n，都有a m+n令m=1，得到a n=a1•a n，所以=a1=，+1则数列{a n}是首项、公比都为的等比数列，所以S n==（1﹣）＜，因为S n＜t对任意n∈N*恒成立，所以t≥，故答案为：三、解答题（本大题共7小题，共70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=a5+a6=25．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若不等式2S n+8n+27＞（﹣1）n k（a n+4）对所有的正整数n都成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，∴a1=﹣1，d=3．∴{a n}的通项公式为a n=3n﹣4．（Ⅱ）由（I）可知，，a n+4=3n；则原不等式等价于对所有的正整数n都成立．∴当n为奇数时，恒成立；当n为偶数时，恒成立．又∵，当且仅当n=3时取等号，所以当n为奇数时，的最小值为7，当n为偶数且n=4时，的最小值为，∴不等式对所有的正整数n都成立时，实数k的取值范是{k|}．18．（12分）如图，在△ABC中，AB=2，cosB=，点D在线段BC上．（1）若∠ADC=π，求AD的长；（2）若BD=2DC，△ACD的面积为，求的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=．∵∠ADC=π，∴∠ADB=．△ABD中，由正弦定理可得，∴AD=；（2）设DC=a，则BD=2a，∵BD=2DC，△ACD的面积为，∴4=，∴a=2∴AC==4，由正弦定理可得，∴sin∠BAD=2sin∠ADB．=，∴sin∠CAD=sin∠ADC，∵sin∠ADB=sin∠ADC，∴=4．19．（12分）某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y 关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？【解答】解：（1）由题意，30=xθ+10θ+2（10﹣x），∴θ=（0＜x＜10）；（2）花坛的面积为﹣==（10﹣x）（5+x）；装饰总费用为xθ•9+10θ•9+2（10﹣x）•4=9xθ+90θ+8（10﹣x）=170+10x，∴花坛的面积与装饰总费用的比为y=．令17+x=t，则y=，当且仅当t=18时取等号，此时x=1，θ=，∴当x=1时，y取得最大值．20．（12分）某市小型机动车驾照“科二”考试共有5项考察项目，分别记作①，②，③，④，⑤．（Ⅰ）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3（≤3）项的概率．项目/学号编号①②③④⑤（1）T T T（2）T T T（3）T T T T（4）T T T（5）T T T T（6）T T T（7）T T T T（8）T T T T T（9）T T T（10）T T T T T注：“T”表示合格，空白表示不合格（Ⅱ）“科二”考试中，学员需缴纳150元报名费，并进行1轮测试（按①，②，③，④，⑤的顺序进行），如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第1轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束．每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行．学员在任何1轮测试或补测中5个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考1次．某学员每轮测试或补测通过①，②，③，④，⑤各项测试的概率依次为1，1，1，，，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考．①求该学员能通过“科二”考试的概率．②求该学员缴纳的考试费用X的数学期望．【解答】解：（1）根据题意，学员（1），（2），（4），（6），（9）恰有两项不合格，从中任意抽出2人，所有可能的情况如下：学员编号补测编号项数（1）（2）②③⑤3（1）（4）②③④⑤4（1）（6）③④⑤3（1）（9）①③⑤3（2）（4）②④⑤3（2）（6）②③④⑤4（2）（9）①②⑤3（4）（6）②③④3（4）（9）①②④⑤4（6）（9）①③④⑤4由表可知，全部10种可能的情况中，有6种情况补测项数不超过3，故所求概率为=；（2）由题意可知，该学员顺利完成每1轮测试（或补测）的概率为1×1×1××=．①由题意，该学员无法通过“科二”考试，当且仅当其测试与3次补测均未能完成5项测试，相应概率为=．故学员能通过“科二”考试的概率为1﹣=．②根据题意，当且仅当该学员通过测试，或未通过测试但通过第1轮补测时X=150，其他情况时均有X=450，而P（X=150）=+×=，故X的分布列为：X150450P故E（X）=150×+450×=126+72=198（元）．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，又∵AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，∴AB∥面PCD，…（2分）又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF；…（4分）（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB，∵PA=PD，∴PG⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥GB，在菱形ABCD中，∵AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，∴AD⊥GB，…（6分）如图，建立空间直角坐标系G﹣xyz，设PA=PD=AD=2，则G（0，0，0），A（1，0，0），，，D（﹣1，0，0），，又∵AB∥EF，点E是棱PC中点，∴点F是棱PD中点，∴，，，，…（8分）设平面AFE的法向量为，则有，∴，不妨令x=3，则平面AFE的一个法向量为，…（10分）∵BG⊥平面PAD，∴是平面PAF的一个法向量，∵，∴平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为．…（12分）22．（12分）已知函数．（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值；（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣ax2+x，f（1）=0，∴a=2，且x＞0．∴f（x）=lnx﹣x2+x，∴f′（x）=﹣2x+1=﹣，当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）的单调递减，∴函数f（x）的单调减区间（1，+∞）．（2）令F（x）=f（x）﹣ax+1=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，则F′（x）=﹣ax+1﹣a=﹣=﹣a ，当a≤0时，在（0，+∞）上，函数F（x）单调递增，且F（1）=2﹣a＞0，不符合题意，当a＞0时，函数F（x）在x=时取最大值，F（）=ln+，令h（a）=ln+=﹣lna，则根据基本函数性质可知，在a＞0时，h（a）单调递减，又∵h（1）=＞0，h（2）=﹣ln2＜0，∴符合题意的整数a的最小值为2．（3）∵a=﹣2，∴f（x）=lnx+x2+x，∴f（x1）+f（x2）+x1x2=lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x1x2+x2=（x1+x2）2+x1+x2+lnx1x2﹣x1x2令g（x）=lnx﹣x，则g′（x）=﹣1，∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）max=g（1）=﹣1，∴f（x1）+f（x2）+x1x2≤（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1，即（x1+x2）2+（x1+x2）﹣1≥0，又∵x1，x2是正实数，∴x1+x2≥．23．（10分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴，．∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=====．当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．。
2017-2018学年广东省中山一中高二级第二学期第一次段考数学(理)试题-解析版
绝密★启用前广东省中山一中2017-2018学年高二级第二学期第一次段考数学（理）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．函数在区间上的平均变化率为A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值，再利用平均变化率公式求出该函数在区间上的平均变化率.详解：，该函数在区间上的平均变化率为，故选B.点睛：本题主要考查函数在区间上的平均变化率，意在考查学生的计算能力与理解能力，属于简单题.2．若，则复数在复平面上对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数在复平面上对应的点的坐标，即可得结果.详解：因为所以复数在复平面上对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．已知曲线上一点，则处的切线斜率等于A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：求出曲线的导函数，然后把切点的横坐标代入导函数即可求出切线的斜率.详解：，时，，即处切线的斜率是，故选B.点睛：本题主要考查导数的几何意义，以及已知切点坐标求斜率，属于简单题.要解答本题，首先必须掌握在曲线上某点的导函数就是该点处的切线斜率，先对函数求导，再将切点横坐标代入即可.4．方程有实根，且，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由复数相等的意义将方程转化为实系数方程，解方程求出两根.详解：方程，可以变为，由复数相等的性质得，解得，方程有实根，故，复数，故选A.点睛：本题主要考查复数相等的意义，两个复数相等，则它们的实部与实部相等，虚部与虚部相等. 5．在用反证法证明时的反设为A. 且B.或C.D.【答案】B【解析】分析：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，命题“”的否定，即是所求.详解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立， 因为命题“”的否定为“”，用反证法证明时的反设为 “或”，故选B.点睛：本题考查命题的否定，用反证法证明数学命题，属于简单题.6．某个命题与正整数有关，如果当()*n k k N =∈时，该命题成立，那么可推得当1n k =+时命题也成立．现在已知当5n =时，该命题不成立，那么可推得( )A. 当6n =时该命题不成立B. 当6n =时该命题成立C. 当4n =时该命题不成立D. 当4n =时该命题成立 【答案】C【解析】如果当()*n k k N =∈时，该命题成立，那么可推得当1n k =+时命题也成立．所以其逆命题为：当1n k =+时命题不成立，那么()*n k k N =∈时，该命题也不成立，故已知当5n =时，该命题不成立，那么可推得当4n =时该命题不成立7．复数不可能在A. 在第一象限B. 在第二象限C. 在第三象限D. 在第四象限【答案】A【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，令复数实部、虚部大于零，得到不等式组无解，即对应的点不在第一象限.详解：由已知，复平面对应的点如果在第一象限，则，而此不等式无解，即在复平面对应的点不可能在第一象限，故选A.点睛：本题主要考查数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，考查复数的几何意义，复数与复平面内的以实部为横坐标，虚部为纵坐标的点一一对应.8．函数的切线方程为，则A. 2B. 1C. 3D. 0【答案】A【解析】分析：求出导函数，令可得切点坐标，将切点坐标代入切线方程即可得结果.详解：因为，所以，令，得，时，切点坐标为，代入切线方程可得，不合题意；时，切点坐标为，代入切线方程可得，符合题意，故选A.点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.9．数列，则此数列的第项是A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：分析给数列的变化规律，可以将数列如下分组：第一组个数，为；第二组个数，为；第三组个数，为，分析可得项应该在第组，列举第组的每个数，即可得到结论.详解：根据题意，数列，可以将数列如下分组：第一组个数，为；第二组个数，为；第三组个数，为，前组共有个数，第组有个数，第项应该在第组，第组为，则第项是，故选B.点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.10．某运动员罚球命中得1分，不中得0分，如果该运动员罚球命中的概率为，那么他罚球一次的得分的方差为A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：直接利用期望公式与方差公式求解即可.详解：，，，故选B.点睛：本题考查离散型随机变量的期望与方差，属于中档题. 求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．11．计算（其中）的结果为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：，利用微积分基本定理求解即可.详解：，，故选A.点睛：本题考查定积分的求法，考查计算能力.对于求分段函数以及含绝对值符号的函数求定积分，往往将所求定积分化为多个定积分的和或差解答.12．若存在使不等式成立，则实数的范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：,先证明符合题意，若，利用单调性可得，利用导数可得，利用可得结果.详解：由，（1）若，当时，，而，此时结论成立；（2）若，由于，所以在是减函数，则.由于与轴的交点为，那么，如果存在使不等式成立，则，由（1）、（2）得实数的范围为，故选C.点睛：本题考查不等式能成立问题，考查利用导数研究函数的单调性，以及分类讨论思想的应用，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中。
广东省中山一中等七校联合体高三数学上学期第二次联考
七校联合体2017届高三第二次联考试卷数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合{}0,1A =,集合{}|B x x a =>，若A B φ=I ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a ≥ C ．0a ≥ D ．0a ≤2、 命题：“00x ∃>，使()0020xx a ->”，这个命题的否定是（ ）A ．0x ∀>，使2()1x x a ->B ．0x ∀>，使2()1xx a -≤ C ．0x ∀≤，使2()1xx a -≤ D ．0x ∀≤，使2()1xx a ->3、已知()()12a i bi i +-=(其中,a b 均为实数,i 为虚数单位), 则a bi +等于（ ） A ．2 B ．2 C ．1 D ．1或24、设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)(2324a a a +=，则47S S 等于（ ） A ．47 B ．514 C ．7 D ．14 5、若函数2()22xf x a x a =+-的零点在区间(0,1)上，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,)2-∞ B ．(,1)-∞ C ．1(,)2+∞ D ．(1,)+∞ 6、函数cos 2y x =的图像向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位后，与函数sin(2)6y x π=-的图像重合，则ϕ=（ ） A ．12πB ．6π C ．3π D ．512π7、等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项都是1 , 公差公比都是2,则135a a a b b b =（ ） A ．64 B ．32 C ．256 D ．4096 8、由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．329B ．2ln3-C ．4ln3+D ．4ln3-9、已知P 是ABC V 所在平面内一点，PB u u u r ＋PC uuu r ＋2PA u u u r 0=r，现将一粒黄豆随机撒在ABC V 内，则黄豆落在PBC V 内的概率是: （ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．2310、把,,,A B C D 四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具, 且,A B 两件玩具不能分给同一个人，则不同的分法有（ ）A ．36种B ．30种C ．24 种D ．18种 11、若),2,0(π∈x ),2,0(π∈y 且)tan(32tan y x x -＝，则y x +的可能取值．．．．是（ ） A.12π B. 4π C. 3π D. 127π12、已知点P 为函数x x f ln )(=的图象上任意一点，点Q 为圆1)]1([22=++-y ee x 上任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为（ ）A ．e e e 12--B ．e e e -+122C ．e e e -+12D ．11-+ee第Ⅱ卷 （非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
广东省中山市第一中学2018届高三第二次统测数学(理)试题 Word版含解析
广东省中山市第一中学2018届高三第二次统测数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得：，结合交集的定义可得：.本题选择D选项.2. 若复数在复平面内对应的点在轴上，则（）A. 1B. 3C. 2D. 4【答案】C【解析】由题意结合复数的运算法则有：，其对应的点在y轴上，则：，则：.本题选择C选项.3. 设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，据此可得：.本题选择B选项.点睛：在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．4. 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么（）A. B. C. 4 D. 13【答案】A【解析】试题分析：由条件可知，，所以.故本题答案选A.考点：向量的数量积．5. 已知角的终边过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，则：.本题选择B选项.6. 已知等差数列中，.若，则数列的前5项和等于（）A. 30B. 45C. 90D. 186【答案】C【解析】试题分析：因为，等差数列中，，所以，其公差为，通项公式为，即，所以，数列的前5项和等于90，选C。
考点：等差数列的通项公式点评：简单题，由等差数列中的任意两项，可确定得到其通项公式，进一步研究其相关数列问题。
7. 下列选项中，说法正确的是（）A. 若，则B. 向量垂直的充要条件是C. 命题“”的否定是“”D. 已知函数在区间上的图象是连续不断的，则命题“若，则在区间内至少有一个零点”的逆命题为假命题【答案】D【解析】解:A，y=lnx 是增函数，a>b，所以lna>lnb,故A不对．B，两个向量垂直的充要条件为，所以,m=0．故B不对．C，该命题的否定是“，．D，逆命题为若在区间内至少有一个零点，则若．是假命题，例如正弦函数在（0，上，有一个零点但是．故选D.8. 函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则（）A. 12B. 8C. 4D. 0【答案】C【解析】∵函数y=f(x)满足对任意x∈R都有f(x+2)=f(−x)成立，且函数y=f(x−1)的图象关于点(1,0)对称∴f(x+4)=−f(x+2)=−[−f(x)]=f(x).∴函数的周期为4.∵函数f(x)为奇函数,∴f(0)=0,∴f(2)=−f(0)=0.∵f(1)=4,∴f(−1)=−f(1)=−4,f(2)=f(0)=0，f(2016)+f(2017)+f(2018)=f(0)+f(1)+f(2)=0+4+0=4，本题选择C选项.9. 设函数在处取得极值，则的值为（）A. 1B.C.D. 2【答案】D【解析】由题意可得：f′(x)=sinx+xcosx；∵f(x)在x=x0处取得极值；∴f′(x0)=sinx0+x0cosx0=0；∴，则：.本题选择D选项.点睛：处理三角函数问题时要注意公式的变形应用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sin α＝tan α·cos α等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在．10. 如图可能是下列哪个函数的图象（）A. B. C. D.【答案】C【解析】逐一考查所给的选项：A选项中：当时，不合题意；B选项中：当时，，不合题意；D选项中：当时，无意义，不合题意；本题选择C选项.11. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（）A. 3B. 2C.D.【答案】C【解析】函数的图象向右平移个单位，可得在上为增函数，∴,(k∈Z)解得：ω⩽3−12k且,(k∈Z)∵ω>0，∴当k=0时,ω取得最大值为.本题选择C选项.12. 已知函数（为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题可知在上有根，等价于，令，则，若则，若，则，所以在单调增，在单调减，又，，，所以的取值范围是，故选A．考点：1、利用导数求值域;2、参变分离．【方法点睛】本题考查利用导数求值域，属于难题.首先将题目转化为方程在有根，再根据参数分离可得，的取值范围就是的值域，利用导数求值域，分别令，解出的范围，可以得到在单调增，在单调减，可知的范围是，即求得的取值范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数（且）恒过定点，则__________. 【答案】【解析】令指数，则：，据此可得定点的坐标为：，则：.14. 已知函数的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为，且过点，则函数__________.【答案】【解析】由题意可得,∴,函数.再把点代入函数的解析式可得，∴.再由,,可得,据此可得函数的解析式为：.点睛：已知f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象(性质)求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象(性质)上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.15. 已知与的夹角为,，，且，则的值为__________.【答案】【解析】由题意，建立平面直角坐标系，如图所示，则，则：，结合可得：，结合可得：.故答案为：.16. 已知数列中，，，记.若，则__________.【答案】1343【解析】∵a1=a(0<a⩽2),，∴a2=−a1+3=3−a∈[1,3).①当a∈[1,2]时,3−a∈[1,2],∴a3=−a2+3=a，∴当n=2k−1,k∈N∗时,a1+a2=a+3−a=3,∴S2k−1=3(k−1)+a=2015，a=1时舍去，a=2时，k=672，此时n=1343；当n=2k,k∈N∗时,a1+a2=a+3−a=3,∴S2k=3k=2015,k=671+，不是整数，舍去；②当a∈(0,1)时,3−a∈(2,3),∴a3=a2−2=1−a∈(0,1),∴a4=−a3+3=a+2∈(2,3),a5=a4−2=a∈(2,3)，当n=4k,k∈N∗时,=a+3−a+1−a+a+2=6,∴S4k=6k=2015，k不为整数，舍去；当n=4k−1,k∈N∗时,=a+3−a+1−a=4−a,∴S4k−1=6(k−1)+(4−a)=2015，舍去；当n=4k−2,k∈N∗时,a1+a2=3,∴S4k−2=6(k−1)+3=2015，舍去。
2018届广东省中山市高三第一学期期末统一考试理科数学试题及答案
中山市高三级2018学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数113i z =-，21i z =-，则12z z +在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设全集U 是实数集,R {}22,M x x x =><-或{}2430N x x x =-+>则图中阴影部分所表示的集合是 （ ） A ．{|21}x x -≤< B ．{|22}x x -≤≤ C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x <3．已知平面向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ，则a +b 等于( ) A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-4．定义某种运算a S b =⊗，运算原理如上图所示，则式子131100lg ln )45tan 2(-⎪⎭⎫⎝⎛⊗+⊗e π的值为（ ）A ．4B ．8C ．11D ．135．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面⊥ABD 平面CBD ，形成三棱锥ABD C -的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为 （ ）（第2题图）（第4题图）A ．21B ．41 C ．42 D ． 22 6．下列四个命题中，正确的有①两个变量间的相关系数r 越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题p ：“R ∈∃0x ，01020>--x x ”的否定p ⌝：“R ∈∀x ，012<--x x ”； ③用相关指数2R 来刻画回归效果，若2R 越大，则说明模型的拟合效果越好； ④若23.0=a ，3.02=b ，2log 3.0=c ，则b a c <<． A ．①③④B ．①④C ．③④D ．②③7．对a ∀、b R ∈，运算“⊕”、“⊗”定义为：a b ⊕=,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩，a b ⊗=,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩，则下列各式其中不恒成立的是（ ） ⑴a b a b a b =+⊗+⊕⑵a b a b a b =-⊗-⊕ ⑶[][]a b a b a b =⋅⊗⋅⊕ ⑷[][]a b a b a b =÷⊗÷⊕ A ．⑴、⑶B ． ⑵、⑷C ．⑴、⑵、⑶D ．⑴、⑵、⑶、⑷8. 已知函数)(x f y =)(R x ∈满足(2)2()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()1f x x =-+，则当[10,10]x ∈-时，)(x f y =与4()log g x x =的图象的交点个数为( )A ．13B ．12C ．11D ．10二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分9．已知函数3log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f 10．如图，一不规则区域内，有一边长为1区域内随机地撒1000（含边界）的黄豆数为 375 平方米.（用分数作答）11．在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是 ．12．已知20πα<<,=+)6cos(πα53,则=αcos . 13．已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++= .14．如图, //AB MN ，且2OA OM =，若OP xOA yOB =+，（其中,x y R ∈），则终点P 落在阴影部分（含边界） 时，21y x x +++的取值范围是 .三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x =，1)2b = ，函数()1f x a b =⋅+ .（Ⅰ）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间;（Ⅱ）当9()5f α=,且263ππα<<时,求2sin(2)3πα+的值. 16．（本题满分12分）某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）估计这次测试数学成绩的平均分和众数； （Ⅱ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ． 17．（本小题满分14分）如图，在底面是矩形的四棱锥错误！未找到引用源。
中山市高三级2017-2018学年度第一学期期末统一考试(理科)答案
中山市高三级2017—2018学年度第一学期期末统一考试数学（理科）参考答案及评分标准13. 725-14. 15. 6 16. 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭17.解：（Ⅰ）设公差为d ，则11154545252a d a d a d ⨯+=+++=，∴1 1 3a d =-=，． ∴{}n a 的通项公式为34n a n =-． …………3分（Ⅱ）()312n n n S n -=-+，228273327n S n n n ++=++，43n a n +=；则原不等式等价于()911nk n n-<++对所有的正整数n 都成立． ∴当n 为奇数时，91k n n ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭； 当n 为偶数时，91k n n <++恒成立…6分又∵917n n++≥，当且仅当3n =时取等号， 所以当n 为奇数时，91n n++的最小值为7， 当n 为偶数时，4n =时，91n n ++的最小值为294， ∴不等式对所有的正整数n 都成立时，实数k 的取值范是2974k -<<…………10分18．解:（Ⅰ）在三角形中，∵1cos 3B =，∴sin 3B =． ………………2分 在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠，又2AB =，4ADB π∠=，sin 3B =．∴83AD =． ………………5分（Ⅱ）∵2BD DC =，∴2ABD ADC S S ∆∆=，3ABC ADC S S ∆∆=，又ADC S ∆=ABC S ∆= ………………7分∵1sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅，∴6BC =， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠．∴AC = ………………9分 ∵1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠， 且2ABD ADC S S ∆∆=，∴sin 2sin BAD AC CAD AB∠=⋅=∠ ………………12分19． 解: (1)由弧长计算及扇环面的周长为30米，得()30102(10)x x θ=++-，所以10210xxθ+=+， 100<<x ……3分 (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<．………5分装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+， …………………………7分 所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++， …………9分令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号，此时121,11x θ==． 答：当x ＝１时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．……………………………12分 (注：对y 也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)20． 解：(1)根据题意，学员(1)，(2)，(4)，(6)，(9)恰有两项不合格，从中任意抽出2人，所有可能的情况如下：由表可知，全部，故所求概率为610＝35． ………………6分(2)由题意可知，该学员顺利完成每1轮测试(或补测)的概率为1×1×1×910×23＝35．①由题意，该学员无法通过“科二”考试，当且仅当其测试与3次补测均未能完成5项测试，相应概率为42()5＝16625．故学员能通过“科二”考试的概率为1－16625＝609625． ………………9分②根据题意，当且仅当该学员通过测试，或未通过测试但通过第1轮补测时X ＝150，其他情况时均有X ＝450，而P (X ＝150)＝35＋25×35＝2125，故X 的分布列为故E (X )＝150×2125＋450×425＝126＋72＝198(元)． ………………12分21． 解：（1）∵底面ABCD 是菱形，∴//AB CD ，又∵AB ⊄面PCD ，CD ⊂面PCD ， ∴//AB 面PCD ，又∵A ，B ，E ，F 四点共面，且平面ABEF 平面PCD EF =，∴//AB EF ； ………………4分 （2）取AD 中点G ，连接PG ，GB ，∵PA PD =，∴PG AD ⊥， 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =，∴PG ⊥平面ABCD ，∴PG GB ⊥， ………………5分 在菱形ABCD 中，∵AB AD =，60DAB ∠=︒，G 是AD 中点，∴AD GB ⊥， ………………6分 如图，建立空间直角坐标系G xyz -，由2PA PD AD ===，得(0,0,0)G ，(1,0,0)A ，B (C -，(1,0,0)D -，P ，又∵//AB EF ，点E 是棱PC 中点， ∴点F 是棱PD 中点，∴(1,22E-，1(,0,)22F -，3(2AF =-uu u r ,1(,2EF =uu u r ，设平面AFE 的法向量为(,,)n x y z =r ，则有00n AF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uu u r ，∴z y x⎧=⎪⎨=⎪⎩，不妨令3x =，则平面AFE的一个法向量为n =r， …………9分∵BG ⊥平面PAD ，∴GB =uu u r是平面PAF 的一个法向量，……10分∵cos ,n GB <n GB >n GB⋅===⋅r uu u rr uu u r r uuu r ， ………………11分 ∴平面PAF 与平面AFE ．………………12分 22．解：（1）因为(1)102af =-=，所以2a =，此时2()ln ,0f x x x x x =-+>， 2121()21(0)x x f x x x x x-++'=-+=> 由()0f x '<，得2210x x -->，又0x >，所以1x >．所以()f x 的单调减区间为(1,)+∞．………………3分（2）方法一：令21()()1)ln (1)12g x f x ax x ax a x =-=-+-+-(， 所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=．当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>． 所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数， 又因为213(1)ln11(1)12022g a a a =-⨯+-+=-+>，所以关于x 的不等式()1f x ax ≤-不能恒成立．当0a >时，21()(1)(1)1()a x x ax a x a g x x x-+-+-+'==-， 令()0g x '=，得1x a=． 所以当1(0,)x a∈时，()0g x '>；当1(,)x a∈+∞时，()0g x '<，因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数，在1(,)x a∈+∞是减函数．故函数()g x 的最大值为2111111()ln ()(1)1ln 22g a a a a a a a a=-⨯+-⨯+=-． 令1()ln 2h a a a=-， 因为1(1)02h =>，1(2)ln 204h =-<，又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数． 所以当2a ≥时，()0h a <．所以整数a 的最小值为2． ………………8分方法二：（2）由()1f x ax -≤恒成立，得21ln 12x ax x ax -+-≤在(0,)+∞上恒成立， 问题等价于2ln 112x x a x x +++≥在(0,)+∞上恒成立． 令2ln 1()12x x g x x x ++=+，只要max ()a g x ≥． 因为221(1)(ln )2()1()2x x x g x x x +--'=+，令()0g x '=，得1ln 02x x --=．设1()ln 2h x x x =--，因为11()02h x x '=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，不妨设1ln 02x x --=的根为0x ． 当0(0,)x x ∈时，()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '<， 所以()g x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数．所以000max 020000011ln 112()()11(1)22x x x g x g x x x x x x +++====++． 因为11()ln 2024h =->，1(1)02h =-<所以0112x <<，此时0112x <<，即max ()(1,2)g x ∈．所以2a ≥，即整数a 的最小值为2． ………………8分 （3）当2a =-时，2()ln ,0f x x x x x =++>由1212()()0f x f x x x ++=，即2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=从而212121212()()ln()x x x x x x x x +++=⋅-⋅ 令12t x x =⋅，则由()ln t t t ϕ=-得，1()t t tϕ-'=可知，()t ϕ在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增． 所以()(1)1t ϕϕ=≥， 所以21212()()1x x x x +++≥，因此12x x + ………………12分。
广东省中山市第一中学2018届高三第二次统测理数试题 含答案 精品
广东省中山市第一中学2018届高三第二次统测数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2230,2A x x x B x x =--<=<，则A B ⋂=（ ）A ．{}22x x -<<B ．{}23x x -<< C. {}13x x -<< D ．{}12x x -<<2.若复数()()2z a i a R =+∈在复平面内对应的点在y 轴上，则z =（ ） A ．1 B ．3 C. 2 D ．4 3设43322log 3,2,3a b c -===，则（ ）A ．b a c <<B ．c a b << C. c b a << D ．a c b << 4.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b +=（ ）A ．135.已知角α的终边过点()4,3P -，则cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．B C. D6.已知等差数列{}n a 中，256,15a a ==.若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ） A ．30 B ．45 C. 90 D ．1867.下列选项中，说法正确的是（ ） A 若0a b >>，则ln ln a b <B.向量()()()1,,,21a m b m m m R ==-∈垂直的充要条件是1m =C 命题“()*1,322n n n N n -∀∈>+⋅”的否定是“()*1,322n n n N n -∀∈≥+⋅”D.已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b ⋅<，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题8.函数()y f x =满足对任意x R ∈都有()()2f x f x +=-成立， 且函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，()14f =，则()()()201620172018f f f ++=（ ） A ．12 B ． 8 C. 4 D ．09.设函数()sin f x x x =在0x x =处取得极值，则()()20011cos2x x ++的值为（ ） A ．1 B ．1- C. 2- D ．2 10.如图可能是下列哪个函数的图象（ ）A ．221xy x =-- B ．2sin 41x x xy =+ C. ()22x y x x e =- D ．ln x y x =11.将函数()()2sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4πω个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()y g x = 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为（ ）A ．3B ．2 C.32 D ．5412.已知函数()2g x a x =-（1,x e e e ≤≤为自然对数的底数）与()2ln h x x =的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ B ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ C.2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数941x y a -=-（0a >且1a ≠）恒过定点(),A m n ，则log m n = ．14．已知函数()()sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤≤ ⎪⎝⎭的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则函数()f x = ．15.已知AB 与AC 的夹角为90︒,2,1AB AC ==，(),AM AB AC R λμλμ=+∈，且0AM BC ⋅=，则λμ的值为 ． 16.已知数列{}n a 中，()102a a a =<≤，()()()*12232n n n nn a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-+≤⎪⎩，记12n n S a a a =+++.若2015n S =，则n = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知()113cos ,cos 714ααβ=-=，且02πβα<<<.（1）求tan 2α的值. （2）求β.18. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2234a c b ac -=-.（1）求cos B 的值；（2）若b =sin ,sin ,sin A B C 成等差数列，求ABC ∆的面积. 19.已知正数数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*11n n a a S S n N =+∈. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设n nnb a =，求证：122n b b b +++<.20.张老师开车上班，有路线①与路线②两条路线可供选择. 路线①：沿途有,A B 两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为12,23，若A 处遇红灯或黄灯，则导致延误时间2分钟；若B 处遇红灯或黄灯，则导致延误时间3分钟；若两处都遇绿灯，则全程所花时间为20分钟.路线②：沿途有,a b 两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为32,45，若a 处遇红灯或黄灯，则导致延误时间8分钟；若b 处遇红灯或黄灯，则导致延误时间5分钟；若两处都遇绿灯，则全程所花时间为15分钟.（1）若张老师选择路线①，求他20分钟能到校的概率；（2）为使张老师日常上班途中所花时间较少，你建议张老师选择哪条路线？并说明理由. 21. 已知函数()()211ln 2f x x a x a x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设0a >，证明：当0x a <<时，()()f a x f a x +<-； （3）设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭.22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是x y ⎧⎪⎪⎨⎪+⎪⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（2）设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DCBAB 6-10: CDCDC 11、12：CA 二、填空题 13.12 14.sin 26x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 15. 14 16. 1343三、解答题17.（1）由1cos ,072παα=<<得sin α.∴sin 7tan cos 1ααα===于是22tan tan 21tan1ααα==--.（2）由02πβα<<<得02παβ<-<.又∵()13cos 14αβ-=，∴()sin αβ-.由()βααβ=--，得：()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-113714=⨯+12=所以3πβ=.18.（1）由()2234a c b ac -=-，可得22254a c b ac +-=.所以222528a cb ac +-=，即5cos 8B =.（2）因为b =5cos 8B =，所以()22225131344b ac ac a c ac ==+-=+-，又sin ,sin ,sin A B C 成等差数列，由正弦定理，得2a c b +== 1313524ac =-，所以12ac =.由5cos 8B =，得sinB =ABC ∆的面积11sin 1222ABC S ac B ∆==⨯=19.（1）当1n =，2111a a a =+，又0n a >所以12a =；当2n ≥时，()()112222n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -= 因此{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. 故()*2n n a n N =∈. （2）令12231232222n n nn T b b b =+++=++++， 则234111*********n n n n nT +-=+++++， 两式相减得23111111222222n nn nT +=++++-， 所以2311111122222n n n n T -=+++++-()12222nn ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭. 20. （1）走路线①，20分钟能到校意味着张老师在,A B 两处均遇到绿灯，记该事件为A ，则121233P =⨯=.（2）设选择路线①的延误时间为随机变量ξ,则ξ的所有可能取值 为 0， 2， 3， 5.则()()1211210,2233233P P ξξ==⨯===⨯=，()()1111113,5236236P P ξξ==⨯===⨯=.ξ的数学期望()1111023523366E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.设选择路线②的延误时间为随机变量η，则η的可能取值为0， 8， 5， 13.则()()3261220,845204520P P ηη==⨯===⨯=，()()3391335,1345204520P P ηη==⨯===⨯=. η的数学期望()629308513520202020E η=⨯+⨯+⨯+⨯=. 因此选择路线①平均所花时间为20222+=分钟，选择路线②平均所花时间为15520+=分钟，所以为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线②.21. （1）()f x 的定义域为()0,+∞.由已知，得()()()()2111x a x a x x a a f x x a x x x+--+-'=+--==， 若0a ≤，则()0f x '>，此时()f x 在()0,+∞上单调递增. 若0a >，则由()0f x '=，得x a =.当0x a <<时，()0f x '<；当x a >时，()0f x '>. 此时()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增. （2）令()()()g x f a x f a x =+--，则()()()()()()()()()22111ln 1ln 22g x a x a a x a a x a x a a x a a x ⎡⎤=++-+-+--+----⎢⎥⎣⎦()()2ln ln x a a x a a x =-++-所以()22222a a x g x a x a x a x -'=--=+--. 当0x a <<时，()0g x '<，所以()g x 在()0,a 上是减函数.而()00g =，所以()()00g x g <=.故当0x a <<时，()()f a x f a x +<-.（3）由（1）可知，当0a ≤时，函数()f x 至多有一个零点， 故a >0，从而()f x 的最小值为()f a ，且()0f a <.不妨设120x x <<，则120x a x <<<，所以10a x a <-<. 由（2），得()()()()111220f a x f a a x f x f x -=+-<==. 从而212x a x >-，于是122x x a +>. 由（1）知，1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭.22．（1）直线l 的普通方程为0x y -+=.曲线C 的直角坐标方程为221x y ⎛⎛+= ⎝⎭⎝⎭.圆心⎝⎭到直线0x y -+的距离51d ==>，所以直线l 与曲线C 的位置关系是相离.（2）设cos ,sin M θθ⎫++⎪⎪⎝⎭，（θ为MC 与x 轴正半轴所成的角）则4x y πθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.因为02θπ≤<所以x y ⎡+∈⎣.。
中山市2018届高三上学期期末考试数学(理)试题含答案
中山市高三级2017-2018学年度第一学期期末统一考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，若，则的值为（）A. 2B. -1C. -1或2D. 2或【答案】A解：由题意可知：，则满足题意时， .本题选择C选项.2. 若复数（是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（）A. 2B.C.D. -2【答案】A由题意，令，则，则解得，故选A3. 已知实数，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D因为，所以，..所以.故选D.4. 阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为（）A. 0B.C.D.【答案】B执行循环得，结束循环，输出，选B. ：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5. 若满足，若，则的最大值是（）A. 1B. 4C. 6D. 8【答案】C作可行域如图，则直线过点A(2,2)时取最大值6，选C.6. 李冶（1192-1279），真实栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等. 其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A. 10步，50步B. 20步，60步C. 30步，70步D. 40步，80步【答案】B设圆池的半径为步，则方田的边长为步，由题意，得＝，解得或（舍），所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步，故选B．：求解数学文化试题主要分三步完成：（1）理解数学文化背景，挖掘出包含的数学意义；（2）联想相关的数学模型，将数学文化背景中的数学问题转化为纯数学问题；（3）利用数学知识求解，并回答求解的问题7. 若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（）A. 2B.C.D.【答案】B试题：令，可求得；令，可求得；所以，令，所以，故应选.考点：1.二项式定理；2、函数的最值；视频8. 已知函数与的图像如图所示，则函数的递减区间为（）A. B. C. D.试题：，令即，由图可得，故函数单调减区间为，故选D.考点：利用导数研究函数的单调性.9. 已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A. 48种B. 72种C. 78种D. 84种【答案】A试题：先将穿红衣服的两人排定有种排法；再将穿黄衣服的两人插空有种排法；最后将穿蓝衣服的人插入有四种插法,由分布计数原理共有种排法,应选A.考点：排列组合数公式及两个计数原理的运用.视频10. 在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（）A. B.C. D.【答案】D轨迹为线段MN,其中M，N分别为中点，所以与平面所成角的正切值范围为 ,选D.11. 已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为（）A. 1B.C.D. 3试题：由题意知：，，，，∴，，∴，又，∴，∴，∴的最小值为.考点：函数零点.12. 已知函数，其周期为，，则（）A. B. C. D.【答案】D其中，所以，因为，所以，选D.：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，则__________．【答案】14. 已知，，则__________．【答案】【答案】6n为18+12+6=36的正约数，因为18：12：6=3：2：1，所以n为6的倍数，因此因为当样本容量为时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，所以n+1为35的正约数，因此.....................【答案】因为，所以实数的取值范围是：不等式有解问题，不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立⇔，恒成立⇔.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设等差数列的前项和，且.（1）求的通项公式；（2）若不等式对所有的正整数都成立，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）试题：（1）根据等差数列通项公式以及求和公式将条件化为关于首项与公差的方程组，解得．(2)先化简不等式：，再分奇偶讨论：当为奇数时，；当为偶数时，，最后根据基本不等式以及数列单调性确定实数的取值范围.试题：（Ⅰ）设公差为，则，∴．∴的通项公式为．（Ⅱ），，；则原不等式等价于对所有的正整数都成立．∴当为奇数时，；当为偶数时，恒成立又∵，当且仅当时取等号，所以当为奇数时，的最小值为7，当为偶数时，时，的最小值为，∴不等式对所有的正整数都成立时，实数的取值范是18. 如图，在中，，，点在线段上.（1）若，求的长；（2）若，的面积为，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）试题：（Ⅰ）首先利用同角三角函数间的基本关系求得的值，然后利用正弦定理即可求得的长；（Ⅱ）首先三角形面积间的关系求得，然后利用三角形面积公式结合余弦定理即可求得的值．试题：（I）在三角形中，∵，∴．………………2分在中，由正弦定理得，又，，．∴．………………5分（II）∵，∴，，又，∴，………………7分∵，∴，∵，，，∴，………………9分在中，由余弦定理得．∴，∴．………………12分考点：1、正弦定理与余弦定理；2、三角形面积公式；3、同角三角形函数间的基本关系．19. 某单位拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成，按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）.（1）求关于的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？【答案】(1) ，(2)见试题：（1）根据已知条件，将周长米为等量关系可以建立满足的关系式，再由此关系式进一步得到函数式：，即可解得；（2）根据题意及（1）可得花坛的面积为，装饰总费用为，因此可得函数式，而要求的最大值，即求函数的最大值，可以考虑采用换元法令，从而，再利用基本不等式，即可求得的最大值：，当且仅当，时取等号，此时，，因此当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.试题：（1）扇环的圆心角为，则，∴， 3分（2）由（1）可得花坛的面积为，6分装饰总费用为， 8分∴花坛的面积与装饰总费用的， 10分令，则，当且仅当，时取等号，此时，， 12分答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． 13分考点：1.扇形公式的运用；2.利用基本不等式函数求极值.20. 某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考查项目，分别记作①，②，③，④，⑤.（1）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3（）项的概率.（2）“科二”考试中，学员需缴纳150元的报名费，并进行1轮测试（按①，②，③，④，⑤的顺序进行）；如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第1轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束；每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行，学员在任何1轮测试或补测中5个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考1次，某学院每轮测试或补考通过①，②，③，④，⑤各项测试的概率依次为，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考.①求该学员能通过“科二”考试的概率；②求该学员缴纳的考试费用的数学期望.【答案】(1) (2)见试题：（1）共有5名学员恰有两项不合格，从中任意抽出2人，列出所有可能，共10种，其中有6种情况补测项数不超过3 ，最后根据古典概型概率公式求概率(2) ①先计算顺利完成每1轮测试(或补测)的概率，再根据独立重复试验得能通过“科二”考试的概率为4次实验中至少成功一次②先确定随机变量取法，再依次计算对应概率，最后根据数学期望公式求期望试题：(1)根据题意，学员(1)，(2)，(4)，(6)，(9)恰有两项不合格，从中任意抽出2人，所有可能的情况如下：由表可知，全部10种可能的情况中，有6种情况补测项数不超过3，故所求概率为(2)由题意可知，该学员顺利完成每1轮测试(或补测)的概率为1×1×1××①由题意，该学员无法通过“科二”考试，当且仅当其测试与3次补测均未能完成5项测试，相应概率为故学员能通过“科二”考试的概率为1-②根据题意，当且仅当该学员通过测试，或未通过测试但通过第1轮补测时X=150，其他情况时均有X=450而P(X=150)=×，故X的分布列为故E(X)=150×450×126+72=198(元)：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.21. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，点是棱的中点，平面与棱交于点.（1）求证：；（2）若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见（2）．试题：（1）推导出，从而平面，由此能证明．（2）取中点，连接，，以为原点，、、所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成的二面角的余弦值．试题：（1）证明：∵是菱形，∴，又平面，平面，∴平面，∵四点共面，且面面，∴.（2）解：取中点，连接，，∵，∴，∵平面平面，平面平面，∴面，∴，在菱形中，∵，，是中点，∴，如图，以为原点，、、所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，由得，，，，，，.又∵，点是棱中点，∴点是棱中点，∴，，，设平面的法向量为，则有，，取，则.∵平面，∴是平面的一个法向量，，二面角的余弦值为，∴平面与平面所成的二面角的余弦值为.22. 已知函数.（1）若，求函数的单调递减区间；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；（3）若，正实数满足，证明：.【答案】（1）（2）2（3）见试题：（1）由求出的值，再利用导数求出函数的单调递减区间；（2）分离出变量，令，只要，利用导数求出令的最大值即可；（3）由，即，令，则由，利用导数法求得，从而可得所以，解得即可．试题：（1）因为，所以，此时，，，由，得，又，所以，所以的单调减区间为．（2）由恒成立，得在上恒成立，问题等价于在上恒成立，令，只要，因为，令，得．设，因为，所以在上单调递减，不妨设的根为，当时，；当时，，所以在上是增函数，在上是减函数，所以，因为，，所以，此时，即，所以，即整数的最小值为2．（3）当时，，由，即，从而，令，则由，得，可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以，因此成立．考点：1、函数基本性质；2、恒成立问题；3、利用导数求函数的最值．【方法】利用导数求函数单调区间的基本步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导函数；(3)由(或)，解出相应的的取值范围．当时，在相应的区间上是增函数；当时，在相应区间上是减函数．(4)结合定义域写出的单调区间．利用导数求函数的单调区间需注意的问题是首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内进行，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．本题主要考查利用导数与函数单调之间的关系以及利用导数求最值，属于中档题．。
2018届广东省中山市高三第一学期期末统一考试理科数学试题及答案 (4)
中山市高三级2017—2018学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟． 注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
参考公式：锥体体积公式Sh V 31=椎体；第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集{12345,6}U =，，，，，集合{1,3}A =，{3,4,5}B =，则集合()U C A B =（ ）.A {3,6} .B {4,5} .C {3,4,5,6} .D {1245,6}，，，2.给出函数①3cos y x x =②2sin y x =③2y x x=-④x x y e e -=-，其中是奇函数的是 （ ）.A ①② .B ①④ .C ②④ .D ③④ 3.执行如图所示的程序框图,若输入的n 值为7,则输出的 的s 值为（ ）A ．11B ．15C ．16D ．22 4.已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则2()a b cd+的最小值是（ ）.A 0.B 1.C 2 .D 45.已知向量a 与b 的夹角为120︒，3a =，13a b +=，则b = （ ）.A 5.B 4 .C 3 .D 16.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积（ ）AB俯视图C D ．7.下列四种说法中， ①命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是“对于任意2,0x R x x ∈-<”； ②命题“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的必要不充分条件； ③已知数据12,,,n x x x L 的平均数5=x ，方差42=S ，则数据1221,21,,21n x x x +++L 的平均数和方差分别为11和16④已知向量(3,4)a =-，(2,1)b =，则向量a 在向量b 方向上的投影是25.⑤()3221f x x ax bx a x =+++=在处有极小值10，则a+b=0或a+b=7 说法正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 ８.定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()5x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为( )A ．()(),03,-∞+∞UB ．()0,+∞C ．()(),01,-∞+∞UD ．()3,+∞第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)９．复数()212i i-的模为____________10．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区200名年龄为17.5岁－18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如图：根据上图可得这200名学生中体重在[)5.64,5.56的学生人数是_____________.11.若等比数列{}n a 的首项811=a ，且2412a xdx =⎰，则数列{}n a 的公比是______12．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-00101y y x y x 表示的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，若向E 中随机投一点，则所投点落在D 中的概率是 .13.若nx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________ 14.对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立；②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立； ③对任意0x >，不等式()k f x x≤恒成立，则实数k 的取值范围是9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． ④函数()ln(1)y f x x =--有3个零点；则其中所有真命题的序号是 ．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分12分）已知40,sin 25παα<<=（1）求22sin sin 2cos cos 2αααα++的值； （2）求5tan()4πα-的值。
广东省中山市第一中学2017届高三上学期第二次统测数学(理)试题 含答案
中山一中2017届高三第二次统测理科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共50分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、设A 、B 是非空集合,定义A ×B =｛x x AB ∈且x A B ∉}，己知A ={22x x y x -=｝，B =｛22x y y =},则A ×B 等于 （ )A 。
（2，+∞）B 。
［0，1]∪[2，+∞）C 。
[0，1)∪（2,+∞） D.[0．1]∪(2，+∞）2、在ABC ∆中，“()sin()cos cos sin 1A B B A B B -+-≥"是“ABC ∆是直角三角形”的（ )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3、已知命题 p :对任意x ∈R ，总有20x≥;q :“x >1”是“x 〉2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是 ( )A ．q p ∧B ．q p ⌝⌝∧ C ． q p ∧⌝D ．q p ⌝∧4、已知正方形ABCD 的边长为4,动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点P 运动的路程为x,△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f(x ）的图象是 （ ）5、已知复数错误!为纯虚数，则实数a ＝（ ）命题人： 审题人:A ．－2B ．4C ．－6D ．66、已知a ＝5log 错误!3。
4,b ＝5log 错误!3.6，c ＝错误!错误!，则（ )A ．a 〉b 〉cB ．b >a 〉cC ．a 〉c 〉bD ．c >a >b7、在函数①y ＝cos|2x ｜，②y ＝｜cos x ｜，③y ＝cos 错误!，④y ＝tan 错误!中，最小正周期为π的所有函数为（ )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③8、函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）A ．2,3π- B ．2,6π-C ．4,6π- D ．4,3π9、已知函数)()1(x f x y '-=的图象如图所示，其中)(x f '为函数)(x f 的导函数,则)(x f y =的大致图象是( ）10、已知函数22(1)()714(1)x ax x f x a x a x ⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩,若12,x x ∃∈R ，且12x x ≠,使得12()()f x f x =，11Oyx11π125π122-2O则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,3](,5]-∞- B ．(,2)(3,5)-∞ C ．[2,3] D ．[5,)+∞11、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()(1)5,()g x f x g x '=++为()g x 的导函数，对x R ∀∈，总有()2g x x '>，则()24g x x<+的解集为（ ）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．RD ．()1,-+∞12.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为75°,30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(错误!－1）mB ．180（错误!－1）mC ．120(错误!－1)mD ．30（错误!＋1)m第Ⅱ卷 （非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
广东省中山市2018届高三上学期期末考试数学(理)试题(含答案)
取值范围．
18．（本小题满分 12 分）
如图，在 ABC 中， AB 2 ， cos B 1 ，点 D 在线段 BC 上． 3
D．3
12．已知函数 f (x) 3sin x cos x 4 cos 2 x ( 0 )，其周期为 ， f ( ) 1 ，则 2
f ( ) f ( ) ( )
2
4
A． 5 2
B． 9 2
C． 11 2
D． 13 2
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
（I）若 ADC 3 ，求 AD 的长； 4
9．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人成
一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有( )
A．48 种
B．72 种
C．78 种
D．84 种
高三（理科）数学试卷 第 2页（共 6 页）
10．在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 是棱 CC1 的中点， F 是侧面 BCC1B1 内的动点，
池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为 13．75 亩，若方田的四边到水池的最
近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240 平方步为 1 亩，圆周
率按 3 近似计算）( )
A．10 步，50 步
B．20 步，60 步
C．30 步，70 步
D．40 步，80 步
7． 若二项式 (3 x)n (n N *) 中所有项的系数之和为 a ，所有项的系数的绝对值之和为
2017-2018学年广东省中山市第一中学高二上学期第二次统测数学(理)试题(解析版)
2017-2018学年广东省中山市第一中学高二上学期第二次统测数学（理）试题一、单选题1．“0x ≠”是“0x >”是的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】 当1x =-时，满足0x ≠，但0x >不成立，当0x >时，一定0x ≠成立，所以0x ≠是0x >的必要不充分条件，故选B ．2．在数列1，2，， 是这个数列的第（ ）A. 16项B. 24项C. 26项D. 28项 【答案】C【解析】 ,341,⨯+ ，所以n a ==，==26n =，所以是这个数列的第26项，故选C ．3．在ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ，c ，且1a =， b =30A =︒，则B =（ ）A. 60︒或120︒B. 60︒C. 120︒D. 30︒或150︒【答案】A【解析】 由正弦定理，可得sin sin a b A B =，所以01sin30=sin B = 因为b a >，所以060B ∠=获0120，故选A ． 4．下列各式中最小值是2的是（ ）A. ＋B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：A 不正确，例如：，的符号相反时，式子的最小值不可能等于2；B 不正确，由于，但等号不可能成立，故最小值不是2；C 不正确，当时，它的最小值显然不是2；D 正确，因为，当且仅当时，等号成立．故选D ．【考点】基本不等式．5．数列{}n a 满足115a =且12n n a a +=-，则使10k k a a +⋅<的k 的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C【解析】 因为12n n a a +=-，所以12n n a a +-=-， 所以数列{}n a 是首项为15，公差为2-的对称数列，所以()()1512217n a n n =+-⨯-=-+，由2170n a n =-+>，解得8.5n <，所以使得10k k a a +⋅<的k 的值为8，故选D ． 6．在ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ，c ，且60A =︒， 1b =，ABC 外接圆的直径是（ ）A.B.C. D. 【答案】D【解析】 因为60A =︒， 1b =11sin602c =⨯⨯⨯，解得4c =，所以由余弦定理可得13a =所以利用正弦可得， ABC ∆外接圆的直径2sin a R A ===D ． 7．在等比数列中，若，则的最小值为（ ）A.B. 4C. 8D. 16【答案】B【解析】试题分析：因为，所以由基本不等式可得，，故选B.【考点】1、等比数列的性质；2、基本不等式求最值. 8．不等式111x x <+-的解集是（ ）A. {}3x x -B. 4{|3x x << C. {|1}x x <D. {x1}x <<【答案】D【解析】 由不等式111x x <+-，可得(21210111x x x x x x x -+-+-==>---，解得x >1x <<，所以不等式的解集为{x1}x <，故选D ． 9．已知正数x ， y 满足21x y +=，则1x ＋1y的最小值为（ ）A. 3+B. 4C.D. 2+【答案】A【解析】由题意得()11112233222y yxx y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭ 当且仅当2y xx y=时等号是成立的，故选A ． 10．已知:p R x ∃∈， 210mx +≤， :q R x ∀∈， 210x mx ++>，若p q ∨为假命题，则实数m 的取值范围为（ ）A. 2m ≥B. 2m ≤-C. 2m ≤-或2m ≥D. 22m -≤≤ 【答案】A【解析】 由2:,10p R mx ∃∈+≤，可得0m <，由2,10x R x mx ∀∈++>，可得240m ∆=-<，解得22m -<<，因为p q ∨为假命题，所以p 与q 都是假命题，若p 是假命题，则有0m ≥；若q 是假命题，则有2m ≤-或2m ≥， 所以符合条件的实数m 的取值范围是2m ≥，故选A ． 11．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则角的最大值为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意得，又,时等号成立。
中山市高二级2017-2018学年度第一学期期末统一考试理科数学(附答案)
中山市高二级2017-2018学年度第一学期期末统一考试 数学试卷（理科附答案）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设c b a ,,是实数，则“b a >”是“22bc ac >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且满足ba cC B A B +=--sin sin sin sin ，则=A （ ）A ．6π B ．3π C ．32π D ．3π或32π3.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知9,105123=+=a a a S ，则=1a （ ） A ．31 B ．31- C ．91 D ．91- 4.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A 处测得水柱顶端的仰角为 45，沿A 向北偏东 30方向前进m 100后到达B 处，在B 处测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度试（ ） A ．m 50 B ．m 100 C. m 120 D ．m 1505.已知等差数列}{n a 的前n 项和为130,210,40,44===-n n n S S S S ，则=n （ ） A ．12 B ．14 C. 16 D ．186.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥12340y x x y x ，则132+++x y x 取值范围是（ ）A ．]5,1[B ．]6,2[ C. ]10,3[ D ．]11,3[7.直线b x y +=21与曲线x x y ln 21+-=相切，则b 的值为（ ） A ．2- B ．1- C. 21- D ．18.已知函数)(,cos 41)(2x f x x x f '+=是函数)(x f 的导函数，则)(x f '的图象大致是（ ） A ． B ．C. D ．9.双曲线116922=-y x 上一点M 到左焦点1F 的距离为N ,7是1MF 的中点，则=||ON （ ） A ．213 B ．4 C. 213或4 D ．213或21 10.空间四点)2,0,2(),01,0(),2,3,4(),6,3,2(D C B A 的位置关系式（ ） A ．共线 B ．共面 C.不共面 D ．无法确定11.已知点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右支上的一点，21,F F 为双曲线的左、右焦点，使0)(22=⋅+→→→P F OF OP （O 为坐标原点）且||3||21→→=PF PF ，则双曲线的离心率为（ ） A ．216+ B ．16+ C. 213+ D ．13+ 12.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S .在同一坐标系中，)(n f a n =及)(n g S n =的部分图象如图所示，则（ ）A ．当4=n 时，n S 取得最大值B ．当3=n 时，n S 取得最大值C. 当4=n 时，n S 取得最小值 D ．当3=n 时，n S 取得最小值第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线28x y =的准线方程为 ．14.已知02>++c bx ax 的解集为}21|{<<x x ，则不等式02<++a bx cx 的解集为 ． 15. )2,0(πα∈，则ααα22cos 4sin 2sin +的最大值为 ． 16.定义在R 上的函数)(x f 的导函数为)(x f '，若对任意的实数x ，有)()(x f x f '>，且2017)(+x f 为奇函数，则不等式02017)(<+x e x f 的解集是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，且0sin 3cos =--+c b C a C a . （1）求A ；（2）若AD 为BC 边上的中线，2129,71cos ==AD B ，求ABC ∆的面积.18. 设数列}{n a 的前n 项积为n T ，且n n a T 22-=. （1）求证：数列}1{nT 是等差数列； （2）设1112++=n n n T T b ，求数列}{n b 的前n 项和n S .19. 某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x （万件）之间满足关系：⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-=c x c x x P ,321,61（其中c 为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如1.0=P 表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T （万元）表示为日产量x （万件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？20. 如图所示的几何体中，四边形ABCD 为等腰梯形，60,22,//=∠==DAB AD AB CD AB ，四边形CDEF 为正方形，平面⊥CDEF 平面ABCD .（1）若点G 是棱AB 的中点，求证：//EG 平面BDF ； （2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正弦值.21. 设函数)(ln 1)(R a x a xx x f ∈--=. （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若)(x f 有两个极值点1x 和2x ，记过点))(,()),(,(2211x f x B x f x A 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得a k -=2？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右顶点与上顶点分别为B A ,，椭圆的离心率为23，且过点)23,1(. （1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线l 与该椭圆交于Q P ,两点，直线AP BQ ,的斜率互为相反数. ①求证：直线l 的斜率为定值；②若点P 在第一象限，设ABP ∆与ABQ ∆的面积分别为21,S S ，求21S S 的最大值.试卷答案一、选择题1-5:BBCAB 6-10:DBAAC 11、12：DA二、填空题13. 321-=y 14. 21|{<x x 或}1>x 15. 2116. ),0(+∞三、解答题17.解：（1）0sin 3cos =--+c b C a C a ，由正弦定理得：C B C A C A sin sin sin sin 3cos sin +=+，即C C A C A C A sin )sin(sin sin 3cos sin ++=+，化简得：21)30sin(,1cos sin 3=-∴=- A A A ， 在ABC ∆中，3030,1800=-∴<<A A ，得 60=A .（2）在 60=A 中，71cos =B ，得734sin =B则1435734217123)sin(sin =⨯+⨯=+=B A C 由正弦定理得57sin sin ==C A c a 设x c x a 5,7==，在ABD ∆中，由余弦定理得：B BD AB BD AB AD cos 2222⋅-+=，则7172152494125412922⨯⨯⨯⨯-⨯+=x x x x ，解得1=x ， 即5,7==c a 故310sin 21==∆B ac S ABC . 18.解：（1）因为n n a T -=2，所以1122T T -=，即321=T ，所以2311=T又)2(221≥-=-n T T T n nn ，所以)2(2211≥-=--n T T T T n n n n ， 即)2(21111≥=--n T T n n ， 所以数列}1{n T 是以23为首项，以21为公差的等差数列. （2）由（1）知2221)1(231+=⨯-+=n n T n ， 所以)23(232223222+-+=+++=+++=n n n n n n b n所以)33(2)23(2)45(2)34(2-+=+-+++-+-=n n n S n .19.解：（1）当c x >时，0132231,32=⋅-⋅=∴=x x T P ， 当c x ≤≤1时，xP -=61， xx x x x x x T --=⋅⋅--⋅⋅--=∴6291)61(2)611(2综上，日盈利额T （万元）与日产量x （万件）的函数关系为：⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--=c x c x xx x T ,01,6292（2）由（1）知，当c x >时，每天的盈利额为0当c x ≤≤1时，31215]69)6[(2156292=-≤-+--=--=xx x x x T 当且仅当3=x 时取等号所以（i ）当63<≤c 时，3max =T ，此时3=x（ii ）当31<≤c 时，由222)6()9)(3(2)6(54242x x x x x x T ---=-+-='知函数x x x T --=6292在]3,1[上递增，cc c T --=∴6292max ，此时c x =综上，若63<≤c ，则当日产量为3万件时，可获得最大利润 若31<≤c ，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润 20.证明：由已知得CD EF //，且CD EF =. 因为ABCD 为等腰梯形，所以有CD BG //. 因为G 是棱AB 的中点，所以CD BG =. 所以BG EF //，且BG EF =， 故四边形EFBG 为平行四边形， 所以FB EG //.因为⊂FB 平面⊄EG BDF ,平面BDF ， 所以//EG 平面BDF .解：（2）因为CDEF 为正方形，所以DC ED ⊥.因为平面⊥CDEF 平面ABCD ， 平面⋂CDEF 平面DC ABCD =，⊂DE 平面CDEF ，所以⊥ED 平面ABCD .在ABD ∆中，因为 60=∠DAB ，22==AD AB ， 所以由余弦定理，得3=BD ，所以BD AD ⊥.在等腰梯形ABCD 中，可得1==CB DC .如图，以D 为原点，以DE DB DA ,,所在直线分别为z y x ,,轴，建立空间坐标系，则)1,23,21(),0,3,0(),1,0,0(),0,0,1(),0,0,0(-F B E A D ， 所以)0,3,0(),1,23,21(),1,0,1(=-=-=→→→DB DF AE . 设平面BDF 的法向量为),,(z y x n =→，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→00DF n DB n ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=++-=0232103z y x y ，取1=z ，则0,2==y x ，得)1,0,2(=→n .设直线AE 与平面BDF 所成的角为θ， 则1010|||||||,cos |sin =⋅⋅=><=→→→→→→n AE n AE n AE θ 所以AE 与平面BDF 所成的角的正弦值为1010.21.解：（1）)(x f 的定义域为222111)(),,0(x ax x x a x x f +-=-+='+∞，令1)(2+-=ax x x g ，其判别式42-=∆a①当2||≤a 时，0)(,0≥'≤∆x f ，故)(x f 在),0(+∞上单调递增，②当2-<a 时，0)(,0=>∆x g 的两根都小于0，在),0(+∞上，0)(>'x f ，故)(x f 在),0(+∞上单调递增，③当2>a 时，0)(,0=>∆x g 的两根为24,242221-+=--=a a x a a x ，当10x x <<时，0)(>'x f ；当21x x x <<时，0)(<'x f ；当2x x >时，0)(>'x f ， 故)(x f 分别在),(),,0(21+∞x x 上单调递增，在),(21x x 上单调递减. （2）由（1）知，2>a ， 因为)ln (ln )()()(2121212121x x a x x x x x x x f x f ---+-=-， 所以2121212121ln ln 11)()(x x x x a x x x x x f x f k --⋅-+=--=，又由（1）知，121=x x .于是2121ln ln 2x x x x a k --⋅-=若存在a ，使得a k -=2，则1ln ln 2121=--x x x x .即2121ln ln x x x x -=-，亦即)1(0ln 212222>=--x x x x （*） 再由（1）知，函数t tt t h ln 21)(--=在),0(+∞上单调递增，而12>x ， 所以01ln 2111ln 21222=-->--x x x .这与（*）式矛盾，故不存在a ，使得a k -=2. 22.（1）由题意，离心率23==a c e ，所以a c 32=，所以224b a =，故椭圆的方程为22244b y x =+，将点)23,1(代入，求得12=b ， 所以椭圆的标准方程为1422=+y x ； （2）①设直线BQ 的方程为1+=kx y ，则由题意直线AP 的方程为)2(--=x k y ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y ，得08)41(22=++kx x k ， 所以点Q 的坐标为)4141,418(222kk k k +-+-， 同理可求得点P 的坐标为)414,4128(222k k k k ++-. 所以直线l 的斜率为212884414128418414414122222222=+----=+--+-+-+-k k k k k k k k k k k k . ②设Q P ,两点到直线AB 的距离分别为21,d d ，因为点P 在第一象限，则点Q 必在第三象限， 所以21>k ，且点Q P 、分别在直线022:=-+y x AB 的上、下两侧， 所以022,022<-+>-+Q Q P P y x y x ， 从而5241841285222221-+++-=-+=k k k k y x d P P ， 5241824185222222++--+=-+=k k k k y x d Q Q ， 所以k k k k k k k k k k k k k k k k k d d S S 2412)41(2)82(8)41(28282418241824184128222222222222121+-=++--+-+-=++--+-+++-==， 令)0(12>=-t t k ，则2233221321231)1(241222221-=+≤++=++=+++=+-=tt t t t t t t k k k S S ， 当且仅当t t 2=，即2=t ，即212+=k 时，21S S 有最大值为223-.绝密★启用前广东省中山市2017-2018学年高二上学期期末（理）考卷 考试范围：必修五、常用逻辑用语、立体几何、解析几何、导数.考试时间：120分钟【名师解读】本卷难度中等，全卷梯度设置合理．命题内容符合考试说明命题要求，全卷涵盖了高中数学的必修五、常用逻辑用语、立体几何、解析几何、导数等内容，无偏难怪出现，命题所占比例基本符合教章所占比例，重点内容重点考查，如解三角形、数列、立体几何、解析几何、导数等.一、单选题1．设错误！未找到引用源。
广东省中山市2018届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析
中山市高三级2017-2018学年度第一学期期末统一考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，若，则的值为（）A. 2B. -1C. -1或2D. 2或【答案】A【解析】解：由题意可知：，则满足题意时， .本题选择C选项.2. 若复数（是虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（）A. 2B.C.D. -2【答案】A【解析】由题意，令，则，则解得，故选A3. 已知实数，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，..所以.故选D.4. 阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为（）A. 0B.C.D.【答案】B【解析】执行循环得，结束循环，输出，选B. 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5. 若满足，若，则的最大值是（）A. 1B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】作可行域如图，则直线过点A(2,2)时取最大值6，选C.6. 李冶（1192-1279），真实栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等. 其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A. 10步，50步B. 20步，60步C. 30步，70步D. 40步，80步【答案】B【解析】设圆池的半径为步，则方田的边长为步，由题意，得＝，解得或（舍），所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步，故选B．点睛：求解数学文化试题主要分三步完成：（1）理解数学文化背景，挖掘出包含的数学意义；（2）联想相关的数学模型，将数学文化背景中的数学问题转化为纯数学问题；（3）利用数学知识求解，并回答求解的问题7. 若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（）A. 2B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：令，可求得；令，可求得；所以，令，所以，故应选.考点：1.二项式定理；2、函数的最值；视频8. 已知函数与的图像如图所示，则函数的递减区间为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，令即，由图可得，故函数单调减区间为，故选D. 考点：利用导数研究函数的单调性.9. 已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（）A. 48种B. 72种C. 78种D. 84种【答案】A【解析】试题分析：先将穿红衣服的两人排定有种排法；再将穿黄衣服的两人插空有种排法；最后将穿蓝衣服的人插入有四种插法,由分布计数原理共有种排法,应选A.考点：排列组合数公式及两个计数原理的运用.视频10. 在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】轨迹为线段MN,其中M，N分别为中点，所以与平面所成角的正切值范围为 ,选D.11. 已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为（）A. 1B.C.D. 3【答案】B【解析】试题分析：由题意知：，，，，∴，，∴，又，∴，∴，∴的最小值为.考点：函数零点.12. 已知函数，其周期为，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】其中，所以，因为，所以，选D.点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，则__________．【答案】【解析】14. 已知，，则__________．【答案】【解析】【答案】6【解析】n为18+12+6=36的正约数，因为18：12：6=3：2：1，所以n为6的倍数，因此因为当样本容量为时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，所以n+1为35的正约数，因此.....................【答案】【解析】因为，所以实数的取值范围是点睛：不等式有解问题，不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立⇔，恒成立⇔.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设等差数列的前项和，且.（1）求的通项公式；（2）若不等式对所有的正整数都成立，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）根据等差数列通项公式以及求和公式将条件化为关于首项与公差的方程组，解得．(2)先化简不等式：，再分奇偶讨论：当为奇数时，；当为偶数时，，最后根据基本不等式以及数列单调性确定实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设公差为，则，∴．∴的通项公式为．（Ⅱ），，；则原不等式等价于对所有的正整数都成立．∴当为奇数时，；当为偶数时，恒成立又∵，当且仅当时取等号，所以当为奇数时，的最小值为7，当为偶数时，时，的最小值为，∴不等式对所有的正整数都成立时，实数的取值范是18. 如图，在中，，，点在线段上.（1）若，求的长；（2）若，的面积为，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用同角三角函数间的基本关系求得的值，然后利用正弦定理即可求得的长；（Ⅱ）首先三角形面积间的关系求得，然后利用三角形面积公式结合余弦定理即可求得的值．试题解析：（I）在三角形中，∵，∴．………………2分在中，由正弦定理得，又，，．∴．………………5分（II）∵，∴，，又，∴，………………7分∵，∴，∵，，，∴，………………9分在中，由余弦定理得．∴，∴．………………12分考点：1、正弦定理与余弦定理；2、三角形面积公式；3、同角三角形函数间的基本关系．19. 某单位拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成，按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）.（1）求关于的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？【答案】(1) ，(2)见解析【解析】试题分析：（1）根据已知条件，将周长米为等量关系可以建立满足的关系式，再由此关系式进一步得到函数解析式：，即可解得；（2）根据题意及（1）可得花坛的面积为，装饰总费用为，因此可得函数解析式，而要求的最大值，即求函数的最大值，可以考虑采用换元法令，从而，再利用基本不等式，即可求得的最大值：，当且仅当，时取等号，此时，，因此当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.试题解析：（1）扇环的圆心角为，则，∴， 3分（2）由（1）可得花坛的面积为，6分装饰总费用为， 8分∴花坛的面积与装饰总费用的， 10分令，则，当且仅当，时取等号，此时，， 12分答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． 13分考点：1.扇形公式的运用；2.利用基本不等式函数求极值.20. 某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考查项目，分别记作①，②，③，④，⑤.（1）某教练将所带10名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3（）项的概率.（2）“科二”考试中，学员需缴纳150元的报名费，并进行1轮测试（按①，②，③，④，⑤的顺序进行）；如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第1轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束；每1轮补测都按①，②，③，④，⑤的顺序进行，学员在任何1轮测试或补测中5个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多只能补考1次，某学院每轮测试或补考通过①，②，③，④，⑤各项测试的概率依次为，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考.①求该学员能通过“科二”考试的概率；②求该学员缴纳的考试费用的数学期望.【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）共有5名学员恰有两项不合格，从中任意抽出2人，列出所有可能，共10种，其中有6种情况补测项数不超过3 ，最后根据古典概型概率公式求概率(2) ①先计算顺利完成每1轮测试(或补测)的概率，再根据独立重复试验得能通过“科二”考试的概率为4次实验中至少成功一次②先确定随机变量取法，再依次计算对应概率，最后根据数学期望公式求期望试题解析：(1)根据题意，学员(1)，(2)，(4)，(6)，(9)恰有两项不合格，从中任意抽出2人，所有可能的情况如下：由表可知，全部10种可能的情况中，有6种情况补测项数不超过3，故所求概率为(2)由题意可知，该学员顺利完成每1轮测试(或补测)的概率为1×1×1××①由题意，该学员无法通过“科二”考试，当且仅当其测试与3次补测均未能完成5项测试，相应概率为故学员能通过“科二”考试的概率为1-②根据题意，当且仅当该学员通过测试，或未通过测试但通过第1轮补测时X=150，其他情况时均有X=450而P(X=150)=×，故X的分布列为故E(X)=150×450×126+72=198(元)点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.21. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，点是棱的中点，平面与棱交于点.（1）求证：；（2）若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）．【解析】试题分析：（1）推导出，从而平面，由此能证明．（2）取中点，连接，，以为原点，、、所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成的二面角的余弦值．试题解析：（1）证明：∵是菱形，∴，又平面，平面，∴平面，∵四点共面，且面面，∴.（2）解：取中点，连接，，∵，∴，∵平面平面，平面平面，∴面，∴，在菱形中，∵，，是中点，∴，如图，以为原点，、、所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，由得，，，，，，.又∵，点是棱中点，∴点是棱中点，∴，，，设平面的法向量为，则有，，取，则.∵平面，∴是平面的一个法向量，，二面角的余弦值为，∴平面与平面所成的二面角的余弦值为.22. 已知函数.（1）若，求函数的单调递减区间；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；（3）若，正实数满足，证明：.【答案】（1）（2）2（3）见解析【解析】试题分析：（1）由求出的值，再利用导数求出函数的单调递减区间；（2）分离出变量，令，只要，利用导数求出令的最大值即可；（3）由，即，令，则由，利用导数法求得，从而可得所以，解得即可．试题解析：（1）因为，所以，此时，，，由，得，又，所以，所以的单调减区间为．（2）由恒成立，得在上恒成立，问题等价于在上恒成立，令，只要，因为，令，得．设，因为，所以在上单调递减，不妨设的根为，当时，；当时，，所以在上是增函数，在上是减函数，所以，因为，，所以，此时，即，所以，即整数的最小值为2．（3）当时，，由，即，从而，令，则由，得，可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以，因此成立．考点：1、函数基本性质；2、恒成立问题；3、利用导数求函数的最值．【方法点睛】利用导数求函数单调区间的基本步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导函数；(3)由(或)，解出相应的的取值范围．当时，在相应的区间上是增函数；当时，在相应区间上是减函数．(4)结合定义域写出的单调区间．利用导数求函数的单调区间需注意的问题是首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内进行，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．本题主要考查利用导数与函数单调之间的关系以及利用导数求最值，属于中档题。
2017届中山一中高三上学期第二次统测理科数学试题及答案
中山一中2014届高三级第二次统测理科数学试题本试卷共4页，20小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔把答题卡上考生号信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合{}1,2,3M =，{}14N x Z x =∈<<，则 （ ）A. N M ⊆B. N M =C. {2,3}M N =D. (1,4)M N = 2.等差数列{}n a 中，“13a a <”是“1n n a a +<”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．化简2001sin 352sin 20-=A ．12 B ．12- C ． 1- D ． 1 4.已知等比数列{}n a 的首项,11=a 公比2=q ，则=+++1122212log log log a a a A. 50 B. 35 C. 55 D. 465.已知平面向量()1,2a =- ，()4,b m =，且a b ⊥ ，则向量53a b -= ( )A. (7,16)--B. (7,34)--C. (7,4)--D. (7,14)- 6． 命题，p ：,R αβ∃∈，使tan()tan tan αβαβ+=+；命题q ⌝：x R ∀∈，210x x ++≥．则下列命题中真命题为（ ）A. q p ∧B. ()p q ∧⌝C. ())(q p ⌝∧⌝D. ()q p ∧⌝ 7．奇函数()f x 满足对任意x R ∈都有(2)()f x f x +=-成立，且(1)8f =， 则(2012)(2013)(2014)f f f ++的值为 （ ） A ． 2B ． 4C ． 6D ． 88．如右图所示，,,A B C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB交于圆内一点D ，若OC xOA yOB =+，则 ( )A ．01x y <+<B ．1x y +>C ．1x y +<-D ．10x y -<+<二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡的相应位置．） 9.已知等差数列{}n a ，满足381,6a a ==，则此数列的前10项的和10S =10.在ABC ∆中，AB ，=2AC ，0=60C ，则BC =11．已知向量(3,1)a = ，(1,3)b = ，(,7)c k = ，若()a c -∥b ，则k =___12．若函数()x f 的导函数()342+-='x x x f ，则函数()x f +1的单调减区间是 _____13.一物体在力5, 02,()34, 2x F x x x ≤≤⎧=⎨+>⎩(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向，从0x =处运动到4x = (单位：m )处，则力()F x 做的功为 焦. 14．下面有四个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π； ②函数x x y cos 4sin 3+=的最大值是5； ③把函数)32sin(3π+=x y 的图象向右平移6π得x y 2sin 3=的图象； ④函数)2sin(π-=x y 在),0(π上是减函数.其中真命题的序号是三、解答题（共80分。
广东省中山一中等七校联合体高三数学上学期第二次联考试题理
七校联合体2017届高三第二次联考试卷数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合{}0,1A =,集合{}|B x x a =>，若AB φ=，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．1a ≥C ．0a ≥D ．0a ≤ 2、 命题：“00x ∃>，使()0020xx a ->”，这个命题的否定是（ ）A ．0x ∀>，使2()1x x a ->B ．0x ∀>，使2()1x x a -≤C ．0x ∀≤，使2()1x x a -≤D ．0x ∀≤，使2()1x x a ->3、已知()()12a i bi i +-=(其中,a b 均为实数,i 为虚数单位), 则a bi +等于（ ）A ．2B ．1 D ．14、设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)(2324a a a +=，则47S S 等于（ ） A ．47 B ．514 C ．7 D ．14 5、若函数2()22xf x a x a =+-的零点在区间(0,1)上，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,)2-∞ B ．(,1)-∞ C ．1(,)2+∞ D ．(1,)+∞ 6、函数cos 2y x =的图像向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位后，与函数sin(2)6y x π=-的图像重合，则ϕ=（ ） A ．12πB ．6π C ．3π D ．512π7、等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项都是1 , 公差公比都是2,则135a a a b b b =（ ） A ．64 B ．32 C ．256 D ．4096 8、由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．329B ．2ln 3-C ．4ln 3+D ．4ln 3-9、已知P 是ABC 所在平面内一点，PB ＋PC ＋2PA 0=，现将一粒黄豆随机撒在ABC 内，则黄豆落在PBC 内的概率是: （ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．2310、把,,,A B C D 四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具, 且,A B 两件玩具不能分给同一个人，则不同的分法有（ ）A ．36种B ．30种C ．24 种D ．18种 11、若),2,0(π∈x ),2,0(π∈y 且)tan(32tan y x x -＝，则y x +的可能取值．．．．是（ ） A.12π B. 4π C. 3π D. 127π12、已知点P 为函数x x f ln )(=的图象上任意一点，点Q 为圆1)]1([22=++-y ee x 上任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为（ ）A ．e e e 12--B ．e e e -+122C ．eee -+12 D ．11-+e e第Ⅱ卷 （非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
广东省中山市第一中学2018届高三第二次统测理数试题含答案
广东省中山市第一中学2018届高三第二次统测数学（理)试题 第Ⅰ卷（共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}{}2230,2A x x x B x x =--<=<，则A B ⋂=（ ）A ．{}22x x -<<B ．{}23x x -<< C. {}13x x -<< D ．{}12x x -<< 2。
若复数()()2z a i a R =+∈在复平面内对应的点在y 轴上,则z =( ）A ．1B ．3C 。
2D ．4 3设43322log3,2,3a b c -===，则（ )A ．b a c <<B ．c a b << C. c b a<< D ．a c b <<4.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60︒,那么3a b +=( ）A 13B 10C 。
4D ．135。
已知角α的终边过点()4,3P -，则cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．72B 72C 。
2 D 26。
已知等差数列{}na 中,256,15a a ==。
若2nnba =，则数列{}nb 的前5项和等于（ )A ．30B ．45C 。
90D ．186 7。
下列选项中，说法正确的是( ） A 若0a b >>，则ln ln a b <B.向量()()()1,,,21a m b m m m R ==-∈垂直的充要条件是1m =C 命题“()*1,322n n n N n -∀∈>+⋅"的否定是“()*1,322n n n N n -∀∈≥+⋅”D 。
已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b ⋅<，则()f x 在区间(),a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题8。
《精编》广东省中山市高三数学上学期第二次统练试题 理 新人教A版.doc
中山一中—学年高三数学〔理科〕第二次统测试题卷一、选择题:〔本大题共8小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕 1．全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =， {2,4}B =，那么()UA B 〔 〕A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}U = 2．假设复数(2)117z i i -=+〔i 是虚数单位〕，那么z 为〔 〕A ．35i +B ．35i -C ．35i -+D ．35i -- 3．函数()23x f x x =+的零点所在的区间是〔 〕A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)4．以下函数中，与函数31xy =定义域相同的函数为〔 〕 A ．x y sin 1=B ．x xy ln = C ．x xe y = D ．xx y sin = 5．函数2()log (14)x f x x =+-的奇偶性是〔 〕A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且偶函数D ．非奇函数又非偶函数6．函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图象可能是〔 〕A B C D7．假设221,0()(1),0axax x f x a e x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩()1≠a ，在定义域()-∞+∞，上是单调函数，那么a 的取值范围是〔 〕A ．2]（,B ．[21[2--+∞，），）C ．2]12]∞（-（，D ．2(0,)23∞[，+） 8．0a >，那么0x 满足关于x 的方程ax b =的充要条件是〔 〕A ．220011,22R x ax bx ax bx ∃∈-≥- B ．220011,22R x ax bx ax bx ∃∈-≤- C ．220011,22R x ax bx ax bx ∀∈-≥- D ．220011,22R x ax bx ax bx ∀∈-≤-二、填空题〔本大题共7个小题，考生作答6个小题，每题5分，共30分〕〔一〕必做题〔9～13题〕 9．设命题“00,20R x x ∃∈≤〞的否认是 ．10．sin α是方程06752=--x x 的根，α是第三象限角，那么3sin()2cos()2παπα--=- ．11．函数24()2x x f x -=的单调增区间为 ．12．计算积分141()(sin )f x x x dx -=+=⎰．13．对于实数b a ,，定义运算“*〞：⎩⎨⎧>-≤-=*ba ab b ba ab a b a ,,22，设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程为()()R f x m m =∈恰有三个互不相等的实数根321,,x x x ，那么m 的取值范围是 ．〔二〕选做题〔14、15题，考生只能从中选做一题，两题全答的，只计前一题的得分〕 14．假设直线340x y m ++=与圆1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩〔θ为参数〕没有公共点，那么m 的取值范围 ．15．如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4， 以BC 为直径的圆交AC 边于点D ，AD ＝2，那么∠C 的大小为________．三、解答题〔本大题共6个小题，共80分，解答须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤〕16．〔本小题12分〕，命题:p (32)xy a =-是R 上的单调递增函数：命题:q 2()lg(24)g x x ax =++的定义域是R ．如果“p ∨q 〞是真命题，“p ∧q 〞是假命题，求实数a 的取值范围．17．〔本小题13分〕函数()4cos sin()16f x x x π=+-．〔1〕求()f x 的最小正周期； 〔2〕求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值．18．〔本小题13分〕年11月在广州召开亚运会，某小商品公司开发一种亚运会纪念品，每件产品的本钱是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改良工艺，产品的本钱不变，质量和技术含量提高，市场分析的结果说明：如果产品的销售价提高的百分率为(01)x x <<，那么月平均销售量减少的百分率为2x ，记改良工艺后，该公司销售纪念品的月平均利润是y 〔元〕．〔1〕写出y 与x 的函数关系式；〔2〕改良工艺后，确定该纪念品的售价，使该公司销售该纪念品的月平均利润最大．19．〔本小题14分〕()f x 是定义在区间[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，假设,[1,1]x y ∈-，0x y +≠时，()0f x y x y+>+．〔1〕解不等式1()(1)2f x f x +<-；〔2〕假设2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围．20．〔本小题14分〕k ∈R，函数111()1x x f x x ⎧<⎪-=⎨⎪≥⎩，，()()F x f x kx =-，x ∈R ，试讨论函数()F x 的单调性．21．〔本小题14分〕2()(1)lg |2|(2,)R f x x a x a a a =++++≠-∈，〔Ⅰ〕假设)(x f 能表示成一个奇函数)(x g 和一个偶函数)(x h 的和，求)(x g 和)(x h 的解析式；〔Ⅱ〕假设)(x f 和)(x g 在区间])1(,(2+-∞a 上都是减函数，求a 的取值范围； 〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的条件下，比拟61)1(和f 的大小．中山一中—学年高三数学〔理科〕第二次统测答题卷得分一、选择题:〔本大题共8小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案二、填空题〔本大题共7个小题，考生作答6个小题，每题5分，共30分〕 9． ；10． ；11． ； 12． ；13． ；14． ；15． ． 三、解答题〔本大题共6个小题，共80分，解答须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤〕16．〔本小题12分〕，命题:p (32)x y a =-是R 上的单调递增函数，命题:q 2()lg(24)g x x ax =++的定义域是R ．如果“p ∨q 〞是真命题，“p ∧q 〞是假命题，求实数a 的取值范围．17．〔本小题13分〕函数()4cos sin()16f x x x π=+-．〔1〕求()f x 的最小正周期； 〔2〕求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值．班级 姓名 登分号 统考号密 封 线 内 不 要 答 题18．〔本小题14分〕年11月在广州召开亚运会，某小商品公司开发一种亚运会纪念品，每件产品的本钱是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改良工艺，产品的本钱不变，质量和技术含量提高，市场分析的结果说明：如果该纪念品销售价提高的百分率为(01)x x <<，那么月平均销售量将减少的百分率为2x ，记改良工艺后，该公司销售纪念品的月平均利润是y 〔元〕．〔1〕写出y 与x 的函数关系式；〔2〕改良工艺后，确定该纪念品的售价，使该公司销售该纪念品的月平均利润最大．19．〔本小题14分〕()f x 是定义在区间[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，假设,[1,1]x y ∈-，0x y +≠时，()0f x y x y+>+．〔1〕解不等式1()(1)2f x f x +<-；〔2〕假设2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围．20． 〔本小题14分〕k ∈R，函数111()1x x f x x ⎧<⎪-=⎨⎪≥⎩，，()()F x f x kx =-，x ∈R ，试讨论函数()F x 的单调性．21．〔本小题14分〕2()(1)lg |2|(2,)R f x x a x a a a =++++≠-∈ 〔Ⅰ〕假设()f x 能表示成一个奇函数()g x 和一个偶函数()h x 的和，求()g x 和 ()h x 的解析式；〔Ⅱ〕假设()f x 和()g x 在区间2(,(1)]a -∞+上都是减函数，求a 的取值范围；〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的条件下，比拟(1)f 16和的大小．密 封 线 内 不 要 答 题中山一中—学年高三数学〔理科〕第二次统测试题参考答案一、选择题:〔本大题共8小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C A B D B D C C二、填空题〔本大题共7个小题，考生作答6个小题，每题5分，共30分〕 〔一〕必做题〔9～13题〕 9．,20R x x ∀∈>； 10．34； 11．(0,2)； 12．52； 13．104,⎛⎫ ⎪⎝⎭； 〔二〕选做题〔14、15题，考生只能从中选做一题，两题全答的，只计前一题的得分〕 14．0<m 或10>m ； 15．6π． 三、解答题〔本大题共6个小题，共80分，解答须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤〕16．解：假设p 是真命题，那么321a ->，得1a <，…………………………2分 假设q 是真命题，那么24160a ∆=-<，得22a -<<，，…………………………4分 由条件“p ∨q 〞是真命题，“p ∧q 〞是假命题，可知p 、q 为一真一假，……… 5分 〔1〕假设p 是真命题， q 是假命题，那么a 满足122a a a <⎧⎨≥≤-⎩或，得2a ≤- (8)分〔2〕假设p 是假命题， q 是真命题，那么a 满足122a a ≥⎧⎨-<<⎩，得到12a ≤< (11)分综上所述，实数a 的取值范围是：2a ≤-或12a ≤<．…………12分17．解：〔1〕因为()4cos sin()16f x x x π=+-14cos cos )12x x x =+-…………………………2分2sin 2cos 1x x x =+-………………………………4分2cos2x x =+2sin(2)6x π=+ ………………………………6分 所以()f x 的最小正周期为π；…………7分 〔2〕因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，()f x 取得最大值2；…………10分当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，()f x 取得最小值－1．…………13分18．解：〔1〕改良工艺后，每件产品的销售价为20(1)x +元，月平均销售量为2(1)a x -件， 那么月平均利润2(1)[20(1)15]y a x x =-⋅+-〔元〕，y x ∴与的函数关系式为235(144)(01)y a x x x x =+--<< …………6分〔2〕由212125(4212)0,23y a x x x x '=--===-得〔舍〕，…………8分 110,0;1,0.22x y x y ''∴<<><<<当时当时 …………10分 ∴函数2315(144)(01)2y a x x x x x =+--<<=在处取得最大值454a ．……12分 故改良工艺后，纪念品的销售价为120(1)302+=元时，该公司销售该纪念品的月平均利润最大，最大月平均利润为454a 元． …………13分19．解：〔1〕任取12,[1,1]x x ∈-，且12x x <， 那么21212121()()()()()0f x f x f x f x x x x x +--=->-， 所以21()()f x f x >，所以()f x 在[1,1]-上是增函数，…………2分 由1()(1)2f x f x +<-得1112111112x x x x ⎧-≤+≤⎪⎪-≤-≤⎨⎪⎪+<-⎩，解得104x ≤<，…………5分 所以，不等式1()(1)2f x f x +<-的解集为1{|0}4x x ≤<；…………6分〔2〕由于()f x 是增函数，所以()f x 得最大值为(1)f =1，所以2()21f x t at ≤-+对[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立等价于220t at -≥对于[1,1]a ∈-恒成立，…………8分 ①假设t (0,)∈+∞，2t a ≥恒成立，所以2t ≥；②假设t 0=，不等式成立；③假设t (,0)∈-∞，2t a ≤所以2t ≤-， ………………………………13分 综上，实数t 的取值范围是2t ≥或t 0=或2t ≤-．………………………14分20．解：1,11()(),1kx x x F x f x kx kx x ⎧-<⎪-=-=⎨⎪≥⎩………………………………1分21,1(1)(),1k x x F x k x ⎧-<⎪-⎪'=⎨⎪->⎪⎩………………………………4分 对于1()(1)1F x kx x x =-<-，21()(1)F x k x '=--，于是 当0k ≤时，那么()0F x '>，函数()F x 在(,1)-∞上是增函数；……………………………6分当0k >时，那么当1x <-,()0F x '<，当11x <<时()0F x '>， 故函数()F x在(,1-∞-上是减函数，在(1-上是增函数；………………8分对于()(1)F x kx x =≥，又()F x k '=，于是 当0k ≥时，那么()0F x '<，函数()F x 在[)1,+∞上是减函数；…………………………10分当0k <时，那么当21114x k <<+时,()0F x '<，当2114x k>+时,()0F x '>， 故函数()F x 在21[1,1)4k+上是减函数，在21[1,)4k ++∞上是增函数．…………………12分综上所述： 当0k >时，()F x在(,1-∞-和[)1,+∞上是减函数，在(1上是增函数； 当0k =时，()F x 在(,1)-∞上是增函数，在[)1,+∞上是减函数；当0k <时，函数()F x 在21[1,1)4k +上是减函数，在(,1)-∞和21[1,)4k ++∞上是增函数．………………………14分21．〔Ⅰ〕设2()()()(1)lg |2|f x g x h x x a x a =+=++++ ①，其中)(x g 是奇函数，)(x h 是偶函数，那么有2()()()()()(1)lg |2|f x g x h x g x h x x a x a -=-+-=-+=-+++ ② 联立①，②可解得x a x g )1()(+=，|2|lg )(2++=a x x h ；……………4分〔Ⅱ〕函数x a x g )1()(+=当且仅当01<+a ，即1-<a 时才是减函数，∴1-<a又4)1(|2|lg )21(|2|lg )1()(222+-++++=++++=a a a x a x a x x f ∴)(x f 的递减区间是)21,(+--∞a ……………………………6分 由得21)1(2+-≤+a a ………………………7分 ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+-≤+-<21)1(12a a a 解得123-<≤-a ∴a 取值范围是)1,23[--；……………………………9分 〔Ⅲ〕)123(|2|lg 2|2|lg )1(1)1(-<≤-+++=++++=a a a a a f ()2u a a =+和()lg |2|v a a +=在3[,1)2--均上为增函数 ……………11分 ∴21lg 21|2)23(|lg )223()1(+=+-++-≥f 61101lg 312181lg 3121=⋅+>⋅+= ……………………………13分 ∴61)1(>f ． ……………………………14分。
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中山一中2017-2018学年高三第二次统测理科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设A 、B 是非空集合，定义A ×B ={x x A B ∈且x A B ∉}，己知A ={22x x y x -=}，B ={22x y y =}，则A ×B 等于 （ ）A .(2，+∞)B .[0，1]∪[2，+∞) C.[0，1)∪(2，+∞) D.[0．1]∪(2，+∞) 2、在ABC ∆中，“()sin()cos cos sin 1A B B A B B -+-≥”是“ABC ∆是直角三角形”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3、已知 p ：对任意x ∈R ，总有20x≥；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列为真的是 ( )A ．q p ∧B ．q p ⌝⌝∧C ． q p ∧⌝D ．q p ⌝∧4、已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f(x)的图象是 ()5、已知复数a ＋3i 1－2i为纯虚数，则实数a ＝( )A ．－2B ．4C ．－6D ．66、已知a ＝5log 2 3.4，b ＝5log 4 3.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b7、在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③8、函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ）A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π- D ．4,3π9、已知函数)1(f x y '-=的图象如图所示，其中)(x f '为函数)(x f的导函数，则)(x f y =的大致图象是（10、已知函数22(1)()714(1)x ax x f x a x a x ⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若12,x x ∃∈R ，且12x x ≠，使得12()()f x f x =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2,3](,5]-∞-B ．(,2)(3,5)-∞ C ．[2,3]D ．[5,)+∞11、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()(1)5,()g x f x g x '=++为()g x 的导函数，对x R ∀∈，总有()2g x x '>，则()24g x x <+的解集为（ ）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．RD ．()1,-+∞12.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m第Ⅱ卷 （非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
. 13、由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________． 14、3tan 12°－3sin 12°（4cos 212°－2）= .15、在ABC ∆中，D 为BC 的中点，则有)(21+=，将此结论类比到四面体中，可得一个类比结论,在四面体BCD A -中，G 为BCD ∆的重心，有______ ．16、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________． 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点Oπ后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+. (1)求函数()f α的值域；(2)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()f C b .18、（本小题满分12分）已知函数)0(2sin 4)62sin()(2>+--=ωωπωx x x f ，其图像与x轴相邻两个交点的距离为2π． （1）求函数)(x f y =的解析式；（2）若将)(x f 的图像向左平移)0(>m m 个长度单位得到函数)(x g 的图像恰好经过点（0,3π-），求当m 取得最小值时，)(x g 在]127,6[ππ-上的单调递增区间．19、（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且满足2cos 2a C b c =-．求：（1）求sin A 的值；（2）若1a =，求ΔABC 的周长l 的取值范围 20、（本小题满分12分）已知函数1()ln x f x x ax-=-（0a ≠） （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，求()f x 在1[,2]2上的最大值和最小值（0.69ln 20.70<<）21、（本小题满分12分）已知函数12)(2---=ax x e x f x,（其中∈a R,e 为自然对数的底数）.(1)当0=a 时,求曲线)(x f y =在))0(,0(f 处的切线方程；(2)当1≥x 时,若关于x 的不等式0)(≥x f 恒成立,求实数a 的取值范围.请考生在22题，23题，24题三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22、（本小题满分10分）选修4---1几何证明选讲 如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB =120°.以O 为圆心,12OA 为半径作圆. (1)证明：直线AB 与O 相切；(2)点C ,D 在⊙O 上,且A ,B ,C ,D 四点共圆,证明：AB ∥CD .23、（本小题满分10分）选修4----4坐标系与参数方程已知圆1:2cos C ρθ=-，曲线22cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）化圆1C 和曲线2C 的方程为普通方程； （2）过圆1C 的圆心1C 且倾斜角为3π的直线l 交曲线2C 于,A B 两点，求圆心1C 到,A B 两点的距离之积.24、（本小题满分10分）选修4----5不等式选讲 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1)(1a －1)·(1b －1)·(1c －1)≥8； (2)a ＋b ＋c ≤ 3.ODCBA中山一中2017届高三第二次统测理科数学试题参考答案一、选择题： ABDDDC CABBAC 二、13．2； 14．－4 3.； 15．)(31++=； 16．－8． 三、解答题：本题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解：（1）由题意，得12sin ,sin()cos 2y y πααα==+=， …………2分所以()sin cos )4f παααα=+=+， ………………4分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()(1f α∈. ………6分 （2）因为()sin()4f C C π=+=(0,)2C π∈，所以4C π=， ……………9分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即212b =+-，解得1b =. ……………12分 19．解析（1）2cos 2a C b c =-，2sin cos 2sin sin A C B C ∴=-,即2sin cos 2sin()sin A C A C C =+-，即1sin cos sin 2C A C = sin 0C ≠，1cos 2A ∴=又(0,)A π∈，所以3A π=. ……………………6分 （2）2cos 2a C b c =-，222222a b c a b c ab +-∴⨯=-，即221b c bc +=+ 2,21,222222222≤+∴+≤-+∴+≤c b c b c b c b bc又1,22b c b c +≤≤∴+≤，13l a b c b c ∴=++=++≤ 又1,2b c a l +>=∴>综上：ΔABC 的周长l 的取值范围为(2,3]. ……………………12分 18解：人： 审题人：20.(1)∵1()ln x f x x ax-=-， ∴22211(1)11()()x ax a x ax a f x ax x ax x -⨯---'=-==-， ………2分若0a <，因0x >，所以10x a->，故()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；…3分若0a >，当1(0,)x a∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当1(,)x a∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减．………5分 综上，若0a <，函数()f x 的单调减区间为(0,)+∞；若0a >，()f x 的单调增区间为1(0,)a ，单调减区间为1(,)a+∞．………6分（2）1a =时，11()ln 1ln x f x x x x x -=-=--， 由（Ⅰ）可知，1()1ln f x x x=--在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，………8分故在1[,1]2上单调递增，在[1,2]上单调递减，所以函数()f x 在1[,2]2上的最大值为1(1)1ln101f =--=；………9分而11()12ln 1ln 222f =--=-+；11(2)1ln 2ln 222f =--=-，113(2)()ln 2(1ln 2)2ln 2 1.520.70.10222f f -=---+=->-⨯=>，所以1(2)()2f f >，故函数()f x 在1[,2]2上的最小值为1()1ln 22f =-+．………12分21解：（1）当0=a 时，12)(2--=x e x f x,x e x f x -=∴)(',………1分1)0(',0)0(==∴f f , ………2分 ∴切线方程为x y =．………4分（2）x ≥1,≥≤, ………6分 设,则, ………7分 设12)1()(2+--=x e x x xϕ,则0)1()('>-=x e x x ϕ, ………8分)(x ϕ∴在),1[+∞上为增函数,)(x ϕ∴≥021)1(>=ϕ, ………9分 012)1()('22>+--=∴x x e x x g x,x x e x g x12)(2--=∴在),1[+∞上为增函数, ………11分)(x g ∴≥23)1(-=e g ,a ∴≤23-e ．………12分23．【解析】（1）圆1C 的普通方程为：22(1)1x y ++=曲线2C 的普通方程为：2214x y += ……………………4分 （2）由（1）可知：1(1,0)C -则直线l的参数方程为：112(x t t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）1 2) ( 2 - - - = ∴ ax x ex f x a ⇔ 0 xx e x 1 2 2 - - 22 1 2 ) 1 ( ) ( ' x x e x x g x + -- =x x e x g x1 2 ) ( 2- -=将其代入2214x y +=，有213304t t --=，121213t t =- 所以圆心1C 到,A B 两点的距离之积为1212.13t t =……………………10分 24. 【证明】 (1)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ， (1a －1)·(1b －1)·(1c －1)＝b ＋ca ＋ca ＋babc≥2bc ·2ac ·2ababc＝8. (5)分(2)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ， 2(a ＋b ＋c )≥2ab ＋2bc ＋2ca ，两边同加a ＋b ＋c 得3(a ＋b ＋c )≥a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝(a ＋b ＋c )2. 又a ＋b ＋c ＝1，∴(a ＋b ＋c )2≤3，∴a ＋b ＋c ≤ 3. ……………………10分 24.。