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高一下学期数学期末考试试卷第48套真题

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大一下学期高等数学期末试题及答案__数套

大一下学期高等数学期末试题及答案__数套

高等数学（下）试卷一一、 填空题（每空3分，共15分）（1）函数z =的定义域为 （2）已知函数arctanyz x =，则z x ∂=∂（3）交换积分次序，2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则()L x y ds +=⎰（5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面π为4220x y z -+-=，则（ ）A. L 平行于πB. L 在π上C. L 垂直于πD. L 与π斜交 （2）设是由方程xyz =(1,0,1)-处的dz =（ ）A.dx dy +B.dxD.dx （3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域，将22()x y dv Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为（ ） A.22530d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.24530d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D.2252d r dr dzπθ⎰⎰⎰（4）已知幂级数12nnn n x ∞=∑，则其收敛半径（ ）A. 2B. 1C. 12D. （5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=（ ）A.B.()x ax b xe +C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题（每题8分，共48分）1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知22(,)z f xy x y =，求zx ∂∂， z y ∂∂3、 设22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、 求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-⎰， 其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程 x xy y xe '+=满足 11x y ==的特解四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰，其中∑由圆锥面z =与上半球面z =所围成的立体表面的外侧 (10)'2、（1）判别级数111(1)3n n n n ∞--=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6'）（2）在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数（6'）高等数学（下）试卷二一．填空题（每空3分，共15分）（1）函数z =的定义域为 ； （2）已知函数xyz e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；（3）交换积分次序，ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰＝ ；（4）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则=⎰；（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 . 二．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（ ）；A. 0B. 2πC. 3πD. 4π（2）设(,)z f x y =是由方程333z xyz a -=确定，则z x ∂=∂（ ）； A. 2yz xy z - B. 2yz z xy - C. 2xz xy z - D. 2xy z xy -（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=（ ）；A.2()x ax b e +B.2()x ax b xe +C.2()x ax b ce ++D.2()xax b cxe ++ （4）已知Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域, 将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为（ ）； A222sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.20ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰（5）已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑，则其收敛半径（ ）.2 B.1 C. 12 D.三．计算题（每题8分，共48分）5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、 已知(sin cos ,)x yz f x y e +=，求zx ∂∂， z y ∂∂ . 7、 设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy -+-⎰，其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段. 6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1nn x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰，∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧高等数学（下）模拟试卷三一． 填空题（每空3分，共15分）1、 函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .2、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .3、已知2ln(1)y x =+，在1x =处的微分dy = . 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰.5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx =.二．选择题（每空3分，共15分）1、2x =是函数22132x y x x -=-+的 间断点 （A ）可去 （B ）跳跃 （C ）无穷 （D ）振荡2、积分10⎰= .(A) ∞ (B)-∞(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是 。

安徽省安庆市一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

安徽省安庆市一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

安徽省安庆市一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.若复数为纯虚数,则复数在复平面上的对应点的位置在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知两个单位向量与的夹角为,则( )A.C. D.3.设为两条直线,为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是( )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则4.在平行四边形ABCD 中,是线段EF 的中点,则( )A. B. C. D.5.已知圆台的上、下底面圆的半径之比为,侧面积为,在圆台的内部有一球,该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球的表面积为( )A. B. C. D.6.已知中,角所对的边分别是,若,且,则是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形7.设A,B 是一个随机试验中的两个事件且,则( )A.B.C.D.8.如图,在正方体中,分别是的中点,有下列四个结论:①AP 与CM 是异面直线;②相交于一点;③，④MN //平面.(2)(21)i()z a a a =-+-∈R z a -a bπ,()3a kab ⊥+ k =1212-,a b ,αβ//,a b αα⊂//a b //,//,//a b αβαβ//a b ,,//a b a b αβ⊂⊂//αβ,,a b αβαβ⊥⊥⊥a b⊥15,,56BE BC DF DC M ==AM = 113125AB AD + 1223AB AD + 112123AB AD + 1325AB AD + 129πO O 3π5π8π9πABC V ,,A B C ,,a b c cos cos b C c B b +=cos a c B =ABC V 1137(),(,(22424P A P B P AB AB ==+=()P AB =1811482117131111ABCD A B C D -,,M N P 1111,,C D BC A D 1,,AP CM DD 1//MN BD 11BB D D其中所有正确结论的编号是( )A.①④B.②④C.①③④D.②③④二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若是非零复数,则下列说法正确的是( )A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则10.若数据的平均数为3,方差为4,则下列说法正确的是( )A.数据的平均数为13B.数据的方差为12C.D.11.如图,平面ABCD ,正方形ABCD 边长为1,E 是CD 的中点,是AD 上一点,当时,则()A. B.C.若,则异面直线PE 与BC 所成角的余弦值为D.若,则直线PE 与平面ABCD 所成角为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知复数满足:,则______________.z 0z z +=i z z=2||z z z ⋅=||2z =1z z =1z z=10z z +=21||0z z z ⋅=1210,,,x x x 121041,41,,41x x x +++ 12103,3,,3x x x 10130ii x==∑1021130ii x==∑PA ⊥F BF PE ⊥:2:1AF FD =:1:1AF FD =1PA =231PA =30︒z 22024(1i)42iz -=+||z =13.已知如图边长为的正方形ABCD外有一点且平面,二面角的大小的正切值_____________.14.如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形,此图由三个半圆构成,直径分别是直角三角形ABC的斜边AB,直角边AC,BC,点在以AC为直径的半圆上,延长AE,BC交于点.若,,则的面积是_____________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分13分)已知复数,i是虚数单位.(1)若是实数,求的值;(2)在①点在实轴上,②点在虚轴上,③点在一、三象限的角平分线上,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中，并解答.问题:若,复数在复平面内对应的点为,且_____________,求实数的值.注:如果选择多个条件分别求解,按第一个解答记分.16.(本题满分15分)已知向量满足.(1)求;(2)若,求的最小值.17.（本题满分15分）某校对2023级高一上学期期中数学考试成绩(单位:分)进行分析,随机抽取100名学生,将分数按照,分成6组,制成了如图所示的频率分布直方图：a P PA⊥,ABCD PA a=P BD A--E D5AB=33sin,sin54CAB DCE∠=∠=ABEVi(R)z b b=∈12iz-+bP P P12b=-2()m z+P m,a b2(4,6),2(3,8)a b a b-=-+=sin,a b〈〉//(0)a c c≠||b c+[30,50),[50,70),[70,90),[90,110)[110,130),[130,150](1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均分；(2)估计该校高一期中数学考试成绩的第80百分位数；(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况,由频率分布直方图,成绩在和的两组中,用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率.18.（本题满分17分）如图，在平面四边形ABCD 中，.(1)若,求的面积:(2)若,求BC .19.(本题满分17分)如图,已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是平行四边形,M,N 分别是棱PB,PC 的中点,是棱PA 上一点,且.(1)求证:平面MCD ;(2)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.[50,70)[70,90)[50,70)ππ2,26DC AD BAD BDC ==∠=∠=cos ABD ∠=ABD V C ADC ∠=∠Q 3AQ QP =//NQ 14,8,AB BC PB PD PA PC ======安庆一中2023-2024学年度第二学期高一年级期末考试数学学科参考答案一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。

2019-2020学年辽宁省大连市第四十八中学高一数学理下学期期末试卷含解析

2019-2020学年辽宁省大连市第四十八中学高一数学理下学期期末试卷含解析

2019-2020学年辽宁省大连市第四十八中学高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=的单调递增区间是 ( )A B C D参考答案：B2. 函数的定义域是（）A．B．C． D．参考答案：D略3. 将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是A．B．C．D．参考答案：A略4. 函数的图象如图所示，为了得到的图象，可将的图象（）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位参考答案：A【分析】函数过代入解得，再通过平移得到的图像.【详解】，函数过向右平移个单位得到的图象故答案选A【点睛】本题考查了三角函数图形，求函数表达式，函数平移，意在考查学生对于三角函数图形的理解.5. 函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】讨论a与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可．【解答】解：函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可以看成把函数y=a x的图象向下平移个单位得到的．当a＞1时，函数y=a x﹣在R上是增函数，且图象过点（﹣1，0），故排除A，B．当1＞a＞0时，函数y=a x﹣在R上是减函数，且图象过点（﹣1，0），故排除C，故选D．6. 已知e是自然对数的底数，函数的零点为a，函数的零点为b，则下列不等式中成立的是（）A．B．C．D．参考答案：D∵函数的零点为，f（0）=-1＜0，f（1）=e-1＞0，∴0＜a＜1．∵函数的零点为b，g（1）=-1＜0，g（2）=ln2＞0，∴1＜b＜2．综上可得，0＜a＜1＜b＜2．再由函数在（0，+∞）上是增函数，可得，故选D．7. 已知直线和互相平行，则实数m的取值为（）A．－1或3 B．－1 C．－3 D．1或－3参考答案：B∵两条直线x+my+6=0和（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，∴解得m=﹣1，故选：B．8. 直线与平行，则实数的值是（）A．-1或3 B．-1 C. -3或1 D．3参考答案：D由两条直线平行的充要条件的到当时两条直线重合，所以舍去；所以得到故答案选择D.9. 设f（x）=lgx+x﹣3，用二分法求方程lgx+x﹣3=0在（2，3）内近似解的过程中得f （2.25）＜0，f（2.75）＞0，f（2.5）＜0，f（3）＞0，则方程的根落在区间（）A．（2，2.25）B．（2.25，2.5）C．（2.5，2.75）D．（2.75，3）参考答案：C【考点】二分法求方程的近似解．【分析】由已知“方程lgx+x﹣3=0在x∈（2，3）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（2.25）＜0，f（2.75）＞0，f（2.5）＜0，f（3）＞0，即可求得结果．【解答】解析：∵f（2.5）?f（2.75）＜0，由零点存在定理，得，∴方程的根落在区间（2.5，2.75）．故选C．【点评】二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点．10. 等比数列中，，，则的值为（）A. B.C. 128D. 或参考答案：D【分析】根据等比数列的通项公式得到公比，进而得到通项.【详解】设公比为，则，∴，∴或，∴或，即或.故选D.【点睛】本题考查了等比数列通项公式的应用，属于简单题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则_____．参考答案：【分析】利用，得到，再利用向量的内积运算求解即可【详解】解：∵，∴又∵∴设，则又∵∴显然，与的夹角是45°又∵又∵∴∴同理，，两边同时乘以，由数量积可得，∴【点睛】本题考查向量在几何中的应用，解题的难点在于找到向量之间的夹角，属于中档题12. 已知集合，，，则实数的取值范围是________．参考答案：略13. （5分）已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则cosα=．参考答案：考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：先求出角α的终边上的点P（﹣3，4）到原点的距离为 r，再利用任意角的三角函数的定义cosα=求出结果．解答：角α的终边上的点P（﹣3，4）到原点的距离为 r=5，由任意角的三角函数的定义得cosα==．故答案为：．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，考查计算能力．14. 函数的单调递减区间参考答案：15. 若某几何体的三视图（单位：cm）如右图所示，则此几何体的体积等于.参考答案：2416. 若函数f（2x+1）=x2﹣2x，则f（3）= ．参考答案：﹣1【考点】分析法的思考过程、特点及应用．【分析】这是一个凑配特殊值法解题的特例，由f（2x+1）=x2﹣2x，求f（3）的值，可令（2x+1）=3，解出对应的x值后，代入函数的解析式即可得答案．本题也可使用凑配法或换元法求出函数f（x）的解析式，再将 x=3代入进行求解．【解答】解法一：（换元法求解析式）令t=2x+1，则x=则f（t）=﹣2=∴∴f（3）=﹣1解法二：（凑配法求解析式）∵f（2x+1）=x2﹣2x=∴∴f（3）=﹣1解法三：（凑配法求解析式）∵f（2x+1）=x2﹣2x令2x+1=3则x=1此时x2﹣2x=﹣1∴f（3）=﹣1故答案为：﹣117. 若幂函数f（x）=xα（α为常数）的图象恒过定点A，直线恒过定点B，则直线AB的倾斜角是．参考答案：150°【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】求出A、B的坐标，从而求出直线AB的斜率即可．【解答】解：幂函数f（x）=xα（α为常数）的图象恒过定点A，则A（1，1），直线恒过定点B，则y﹣1﹣=k（x+2），故B（﹣2，1+），故直线AB的斜率k==﹣，故直线AB的倾斜角是150°，故答案为：150°．【点评】本题考查了幂函数的性质，考查直线方程问题，是一道基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

高一数学第二学期期末考试试题(带参考答案)

高一数学第二学期期末考试试题(带参考答案)

高一数学第二学期期末考试试题(带参考答案)选择题1. 以下属于集合 {1, 2, 3, 4} 的真子集的个数是：A. 3B. 7C. 15D. 16正确答案：A2. 已知集合 A = {x | -2 ≤ x ≤ 3}，则集合 A 中的元素个数是：A. 4B. 5C. 6D. 7正确答案：C3. 设集合 A = {a, b, c}，集合 B = {1, 2, 3}，则集合 A × B 的元素个数是：A. 3B. 6C. 9D. 12正确答案：D4. 已知集合 A = {x | -5 ≤ x ≤ 5}，则集合 A 的幂集的元素个数是：A. 10B. 20C. 32D. 64正确答案：C解答题1. 已知函数 f(x) = 2x + 3，求 f(-4) 的值。

解答：将 x = -4 代入函数 f(x) = 2x + 3 中，得到 f(-4) = 2(-4) + 3 = -5。

2. 计算下列算式的值：(-3)^4 - 2 × 5^2解答：首先计算指数，得到(-3)^4 = 81，5^2 = 25。

然后代入算式，得到值为 81 - 2 × 25 = 31。

3. 已知一组数据为 {2, 4, 6, 8, 10}，求这组数据的中位数。

解答：将数据从小到大排序为 {2, 4, 6, 8, 10}，可以看出中间的数为 6，所以这组数据的中位数为 6。

4. 某商品标价为 800 元，商场打折后的售价为 720 元，求打折幅度。

解答：打折幅度为原价与打折后价之间的差值除以原价，所以打折幅度为 (800 - 720) ÷ 800 = 0.1，即打折幅度为 10%。

以上为高一数学第二学期期末考试试题及参考答案。

北京海淀人大附2024届高一数学第二学期期末统考试题含解析

北京海淀人大附2024届高一数学第二学期期末统考试题含解析

北京海淀人大附2024届高一数学第二学期期末统考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设全集U =R ，集合{}13A x x =-<<,{}21B x x x =≤-≥或,则()U A C B =（ ）A ．{}11x x -<< B ．{}23x x -<< C ．{}23x x -≤<D ．{}21x x x ≤->-或2．若α是第四象限角，则πα-是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角3．已知角α的终边上有一点P （sin23π，cos 23π），则tanα=（ ）A ．BC ．D4．在ABC 中，1cos 2A =-，BC =ABC 的外接圆半径为（ ）A ．1B ．2C D ．5．已知函数()ln(1)f x x =+，()g x kx =（*k N ∈），若对任意的(0,)x t ∈（0t >），恒有2()()f x g x x -<，那么k 的取值集合是（ ） A ．{1}B ．{2}C ．{1,2}D ．{1,2,3}6．一个钟表的分针长为 10，经过35分钟，分针扫过图形的面积是( ) A ．353πB ．1753πC ．3153πD ．1756π7．已知等差数列{}n a 中，若261,5a a =-=-，则7S =（ ）A ．-21B ．-15C ．-12D ．-178．若a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．22ax bx > C ．22a b >D ．33x xa b > 9．在边长为(a 2)a >的正方形内有一个半径为1的圆，向正方形中随机扔一粒豆子（忽略大小，视为质点），若它落在该圆内的概率为35，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）A ．235a B ．225a C ．25a D ．35a10．设0,0a b >>，且4a b +=，则a bab+的最小值为 （ ） A ．8 B ．4C ．2D ．1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2019-2020学年高一(下)期末数学试卷 (48)-720(解析版)

2019-2020学年高一(下)期末数学试卷 (48)-720(解析版)

2019-2020学年高一（下）期末数学试卷 (48)一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 在△ABC 中，已知a =2，b =√6，A =45°，则满足条件的三角形有( )A. 1个B. 2个C. 0个D. 无法确定2. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a +b)2=c 2+ab ，B =30°，a =4，则△ABC 的面积为( )A. 4B. 3√3C. 4√3D. 6√33. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 6=9，则log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a 10=( )A. 12B. 2+log 35C. 8D. 104. S n 是等差数列{a n }的前n 项和，如果S 10=120，那么a 1+a 10的值是( )A. 12B. 36C. 24D. 485. 不等式16−x 2≥0的解集是( )A. (−∞,4]B. [4,+∞)C. [−4,4]D. (−4,4)6. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若a =12b ，A =2B ，则cos B 等于( ) A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 7. 已知函数f (x )={2x ,(x ≥2)f (x +2),(x <2)，则f(log 45)等于( ) A. 2√5B. 4√5C. 3√5D. √5 8. 在等比数列{a n }中，若a 1=−8，前3项和S 3=−6，则a 5=( )A. 1B. −lC. 12D. −12 9. 对任意的实数x ，不等式mx 2−mx −1<0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. (−4,0)B. (−4,0]C. [−4,0]D. [−4,0)10. 数列{a n }满足a n+1={2a n , 0≤a n <1a n −1, 1≤a n <2，若a 1=43，则a 2018的值是 ( ) A. 83 B. 43 C. 23 D. 13 二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11. △ABC 中，A =π3,S △ABC =15√34,5sinB =3sinC ，则△ABC 的周长为______． 12. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，，则△ABC 的形状为______ ．13. 记数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2(a n −1)，则a 3= ______ ．14. 在数列{a n }中，a 1=−1，a 2=0，且a n+2−a n =0(n ∈N ∗)，则a 1+a 2+a 3+⋯+a 2015= ______ ．15. 已知：f(x)=x 2+2x −1，g(x)=kx +b(k ≠0)，且f(g(0))=−1，g(f(0))=−2，则实数k = ________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16. 已知实数x 1，x 2，…，x n (n ∈N ∗且n ≥2)满足|x i |≤1(i =1,2，…，n)，记S(x 1,x 2,…,x n )=∑x i 1≤i<j≤n x j ．)及S(1,1，−1，−1)的值；(Ⅰ)求S(−1,1,−23(Ⅱ)当n=3时，求S(x1,x2,x3)的最小值；(Ⅲ)当n为奇数时，求S(x1,x2,…,x n)的最小值．x j表示x1，x2，…，x n中任意两个数x i，x j(1≤i<j≤n)的乘积之和．注：∑x i1≤i<j≤n17.在△ABC中，已知，其中角A,B,C所对的边分别为a,b,c.求：(1)求角A的大小；(2)若a=√6，△ABC的面积为√3，求sinB+sinC的值．218.设数列{a n}的前n项和为S n，满足tS n=na n，且a3<a2，求常数t的值．19.已知等差数列{a n}中，若S2=16，S4=24，求数列{|a n|}的前n项和T n．20.等差数列{a n}为递减数列，且a2+a4=16，a1a5=28，求数列{an}的通项公式．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查三角形个数的判断，利用正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．根据正弦定理求出sin B，然后进行判断即可．【解答】解：∵a=2，b=√6，A=45°，∴由正弦定理asinA =bsinB，可得sinB=bsinAa =√6×√222=√32，∵b>a，∴B=60°或120°，即满足条件的三角形个数为2个．故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．首先利用余弦定理求出B的值，进一步判定三角形为等腰三角形，进一步利用面积公式的应用求出结果．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a+b)2=c2+ab，整理得a2+b2−c2=−ab，所以cosC=a2+b2−c22ab =−12，由于0<C<π，故C=2π3．由于B=30°，a=4，则△ABC为等腰三角形，所以b=4，所以S△ABC=12⋅4⋅4⋅√32=4√3．故选：C．3.答案：D解析：解：根据等比数列的性质：a1a10=a2a9=⋯=a5a6=9，∴log3a1+log3a2+⋯+log3a10=log3(a1a2⋅…⋅a10)=log3(a5a6)5=log3310=10，故选：D．根据等比数列的性质：a1a10=a2a9=⋯=a5a6=9，再利用对数的运算性质即可得出．本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：C解析：解：等差数列{a n}中，∵S10=120，∴102(a1+a10)=120，∴a1+a10=24．故选：C．等差数列{a n}中，由S10=120，知102(a1+a10)=120，由此能求出a1+a10．本题考查等差数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．5.答案：C解析：【分析】本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题．将二次项系数化正，然后分解因式，小于零取两边．【解答】解：由16−x2≥0得x2−16≤0，即(x+4)(x−4)≤0，解得−4≤x≤4．故选C．6.答案：B解析：解：∵a=12b，A=2B，∴由正弦定理asinA =bsinB得：12b sin2B =12b2sinBcosB=bsinB，∴14cosB=1，∴cosB=14，故选：B．根据正弦定理和余弦的倍角公式，直接代入即可求得结果．本题主要考查正弦定理的应用，要求熟练掌握正弦定理的公式和应用以及余弦的倍角公式．7.答案：B解析：解：∵1<log45<2∴2+log45>2∴f(log45)=f(2+log45)=22+log45=22⋅2log45=4√5故选B由题意可得，1<log45<2，代入f(log45)=f(2+log45)=22+log45可求本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是熟练应用指数及对数的运算性质． 8.答案：D解析：【分析】本题考查等比数列的通项公式，以及等比数列的求和公式，熟练掌握等比数的通项及求和是解本题的关键，属于基础题．利用等比数列的求和公式求出公比q 的值，再利用等比数列的通项公式求解即可．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，a 1=−8，前3项和S 3=−6，则q ≠1，所以S 3=a 1(1−q 3)1−q=−8(1−q 3)1−q =−6， 解得q =−12则a 5=a 1q 4=(−8)×(−12)4=−12． 故选D ．9.答案：B解析：【分析】本题考查不等式恒成立问题，利用一元二次函数图象求解．【解答】解：当m >0时，由函数f(x)=mx 2−mx −1的图象开口向上可知，f(x)=mx 2−mx −1<0不可能恒成立，当m =0时，−1<0恒成立，当m <0时，要f(x)=mx 2−mx −1<0恒成立，则△=m 2+4m <0，解得−4<m <0， 综合得−4<m ≤0，故选B ．10.答案：D解析：【分析】本题考查了数列的递推公式和周期性的应用，解题的关键是求出数列的周期．根据首项的值和递推公式依次求出a 2、a 3、a 4的值，可求出数列的周期．【解答】解：∵数列{a n }满足a n+1={2a n (0≤a n <1)a n −1(1≤a n <2)，a 1=43， ∴a 2=a 1−1=13，a3=2a2=23，a4=2a3=43，…，∴a n+3=a n，则a2018=a672×3+2=a2=13．故选D.11.答案：8+√19解析：解：在△ABC中，角A=60°，∵5sinB=3sinC，∴由正弦定理可得5b=3c，再由S△ABC=15√34=12bc⋅sinA，可得bc=15，∴解得：b=3，c=5．又∵由余弦定理可得：a2=b2+c2−2bc⋅cosA=19，解得：a=√19．∴三角形的周长a+b+c=8+√19．故答案为：8+√19．由条件利用正弦定理可得5b=3c，再由S△ABC=15√34=12bc⋅sinA，求得bc，从而求得b和c的值．再由余弦定理求得a，从而得到三角形的周长．本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．12.答案：直角三角形解析：解：，，∴c(1+b2+c2−a22bc)=b+c，化为b2+a2=c2．∴C=90°．∴△ABC的形状为直角三角形．由，利用倍角公式可得，再利用余弦定理即可得出．本题考查了倍角公式、余弦定理，属于基础题．13.答案：8解析：解：∵S n=2(a n−1)，∴当n=1时，S1=2(a1−1)=a1，解得a1=2，当n≥2时，S n=2(a n−1)，①S n+1=2(a n+1−1)，②，两者相减得2(a n+1−a n)=S n+1−S n=a n+1，即a n+1=2a n，∴a2=2a1=2×2=4，∴a3=2a2=2×4=8，故答案为：8根据数列的递推关系，依次进行递推即可得到结论．本题主要考查数列的递推数列的应用，根据a n与S n的关系是解决本题的关键．14.答案：−1008解析：解：∵a n+2−a n=0(n∈N∗)，a1=−1，a2=0，∴a1=a3=a5=⋯=−1，a2=a4=a6=⋯=0，∴a1+a2+a3+⋯+a2015=(a1+a3+⋯+a2015)+(a2+a4+⋯+a2014)=−1008+0=−1008．故答案为：−1008．由a n+2−a n=0(n∈N∗)，a1=−1，a2=0，可得a1=a3=a5=⋯=−1，a2=a4=a6=⋯=0，即可得出．本题考查了数列的周期性、分组求和方法，考查了计算能力，属于基础题．15.答案：2解析：【分析】本题考查了函数解析式的应用，以及函数值的求法，根据题意得f(0)=−1,g(0)=b，分别代入f(g(0))=−1，g(f(0))=−2，即可得到结果．【解答】解：∵f(x)=x2+2x−1，g(x)=kx+b(k≠0)，∴f(0)=−1,g(0)=b，∵f(g(0))=−1，g(f(0))=−2，∴f(g(0))=f(b)=b2+2b−1=−1，g(f(0))=g(−1)=−k+b=−2，∴{b2+2b−1=−1，−k+b=−2∴k=2或k=0(舍),∴k=2．故答案为2．16.答案：解：(Ⅰ)由已知得S(−1,1,−23)=−1+23−23=−1．S(1,1，−1，−1)=1−1−1−1−1+1=−2. …(3分)(Ⅱ)n =3时，S =S(x 1,x 2,x 3)=∑x i 1≤i<j≤3x j =x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3．固定x 2，x 3，仅让x 1变动，那么S 是x 1的一次函数或常函数，因此S ≥min{S(1,x 2,x 3)，S(−1,x 2,x 3)}．同理S(1,x 2,x 3)≥min{S(1,1，x 3)，S(1,−1,x 3)}．S(−1,x 2,x 3)≥min{S(−1,1，x 3)，S(−1,−1,x 3)}．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可以被某一组取值±1的x 1，x 2，x 3所达到， 于是S ≥min{S(x 1,x 2,x 3)}．当x k =±1(k =1,2，3)时，S =12[(x 1+x 2+x 3)2−(x 12+x 22+x 32)]=12(x 1+x 2+x 3)2−32． 因为|x 1+x 2+x 3|≥1，所以S ≥12−32=−1，且当x 1=x 2=1，x 3=−1，时S =−1，因此S min =−1. …(7分)(Ⅲ)S =S(x 1,x 2,…,x n )=∑x i 1≤i<j≤n x j =x 1x 2+x 1x 3+⋯+x 1x n +x 2x 3+⋯+x 2x n +⋯+x n−1x n ． 固定x 2，x 3，…，x n ，仅让x 1变动，那么S 是x 1的一次函数或常函数，因此S ≥min{S(1,x 2,x 3,…,x n )，S(−1,x 2,x 3,…,x n )}．同理S(1,x 2,x 3,…,x n )≥min{S(1,1，x 3，…，x n )，S(1,−1,x 3,…,x n )}．S(−1,x 2,x 3,…,x n )≥min{S(−1,1，x 3，…，x n )，S(−1,−1,x 3,…,x n )}．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可以被某一组取值±1的x 1，x 2，…，x n 所达到， 于是S ≥min{S(x 1,x 2,x 3,…,x n )}．当x k =±1(k =1,2，…，n)时，S =12[(x 1+x 2+⋯+x n )2−(x 12+x 22+⋯+x n 2)]=12(x 1+x 2+⋯+x n )2−n 2． 当n 为奇数时，因为|x 1+x 2+⋯+x n |≥1，所以S ≥−12(n −1)，另一方面，若取x 1=x 2=⋯=x n−12=1，x n−12+1=x n−12+2=⋯=x n =−1， 那么S =−12(n −1)，因此S min =−12(n −1).…(13分)解析：(Ⅰ)根据已知中S(x 1,x 2,…,x n )的计算方法可得得S(−1,1,−23)及S(1,1，−1，−1)的值． (Ⅱ)n =3时，S =S(x 1,x 2,x 3)=∑x i 1≤i<j≤3x j =x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3.再固定x 2，x 3，仅让x 1变动，那么S 是x 1的一次函数或常函数，因此S ≥min{S(1,x 2,x 3)，S(−1,x 2,x 3)}.同理S(1,x 2,x 3)≥min{S(1,1，x 3)，S(1,−1,x 3)}.S(−1，x 2，x 3)≥min{S(−1,1，x 3)，S(−1,−1,x 3)}.以此类推，我们可以看出S ≥min{S(x 1,x 2,x 3)}.从而求得S(x 1,x 2,…,x n )的最小值．(Ⅲ)S =S(x 1,x 2,…,x n )=∑x i 1≤i<j≤n x j =x 1x 2+x 1x 3+⋯+x 1x n +x 2x 3+⋯+x 2x n +⋯+x n−1x n .固定x 2，x 3，…，x n ，仅让x 1变动，那么S 是x 1的一次函数或常函数，类似于(II)中的方法得出S(x 1,x 2,…,x n )的最小值．本题主要考查函数与方程的综合运用、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑推理能力．属于难题．17.答案：【解答】解：(1)由正弦定理得，，即sin(A−π6)=1，而A∈(0,π)，∴A−π6=π2，则A=2π3；(2)由得bc=2，由a=√6及余弦定理得(√6)2=b2+c2−2bccosA=b2+c2+bc=(b+c)2−bc，即b+c=2√2，所以．解析：【分析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．(1)已知等式利用正弦定理，二倍角的余弦函数公式及辅助角公式化简，整理，即可确定出A的度数；(2)利用三角形面积公式列出关系式，代入整理表示出bc，再利用余弦定理化简求出b+c的值，由正弦定理确定出sinB+sinC的值即可．18.答案：解：由tS n=na n，得ta1=a1，∴t=1或a1=0．若t=1，则S n=na n，有a1+a2=2a2，得a1=a2．a1+a2+a3=3a3，得a2=a3，与a3<a2矛盾，∴a1=0，当n=2时，有t(a1+a2)=2a2，即ta2=2a2，∴t=2或a2=0．若t=2，则由2S3=2(a2+a3)=3a3，得a3=2a2，当a2>0时不成立．若a2=0，由t(a1+a2+a3)=ta3=3a3，∵a3<a2≠0，∴t=3．解析：通过已知条件，令n=1，可得t≠1，a1=0，再令n=2，可得t≠2，a2=0，再由tS3=3a3，且a3<a2求得t=3．本题考查数列的通项和求和之间的关系，考查运算能力，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．19.答案：解：设等差数列{a n}的公差为d，由S2=16，S4=24，第11页，共11页 得{2a 1+2×12d =164a 1+4×32d =24, 即{2a 1+d =162a 1+3d =12, 解得{a 1=9d =−2, ∴等差数列{a n }的通项公式为a n =11−2n(n ≥1,n ∈N ∗).(1)当n ≤5时，T n =|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |=a 1+a 2+⋯+a n =S n =−n 2+10n ；(2)当n ≥6时，T n =|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |=a 1+a 2+⋯+a 5−a 6−a 7−⋯−a n=2S 5−S n=2×(−52+10×5)−(−n 2+10n)=n 2−10n +50；故T n ={−n 2+10n(n ≤5)n 2−10n +50(n ≥6)．解析：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，属于中档题． 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可求得d 与a 1，从而可得a n =11−2n ，对n 分n ≤5与n ≥6讨论，即可求得数列{|a n |}的前n 项和T n ．20.答案：解：a 2+a 4=a 1+a 5=16，所以{a 1+a 5=16a 1a 5=28，又数列单调递减， 解得a 1=14，a 5=2，d =−3，故a n =14−3(n −1)=17−3n ．即通项公式为a n =17−3n ．解析：本题考查等差数列的通项公式和性质，由性质得a 2+a 4=a 1+a 5=16，联立方程组解得a 1=14，a 5=2，进而可得公差，可得通项公式．属基础题．。

2023-2024学年全国高中高一下数学苏教版期末试卷(含解析)

2023-2024学年全国高中高一下数学苏教版期末试卷(含解析)

2023-2024学年全国高一下数学期末试卷考试总分：141 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）1. 设为虚数单位，如图，网格纸上小正方形的边长为，图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是（ ）A.B.C.D.2. 为了调查青春期学生的身高情况，某中学从该校学生中采用分层抽样抽取男生和女生各人，记录下他们的身高，其数据（单位：）如茎叶图所示，则下列结论错误的是（ ）A.男生身高的极差为B.男生身高的均值为C.男生的身高方差比女生的身高方差小D.女生身高的中位数为i 1Z z (1+i)⋅z MNPQ10cm 25177.2166A =3. 从装有个红球、个白球的袋中任取个球，若事件“所取的个球中至少有个白球”，则事件的对立事件是（ ）A.个白球个红球B.个白球个红球C.个都是红球D.至少有一个红球4. 已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为（ ）A.B.C.D.5. 在中，是边上一点，，且，则的值为（ ）A.B.C.D.6. 不解三角形，下列三角形中有两解的是（ ）A.B.C. D.7. 在三棱锥中，三个侧棱两两互相垂直，侧面，，的面积分别为，，，则此三棱锥的外接球的表面积为( )323A =31A 12213P PA PB 34PA 60∘△PAB 7–√2π2–√π2–√π26–√3π6–√3△ABC D AB =2AD →DB →=λ+CD →AC →23CB →λ14−1413−13a =2,b =3,B =105∘a =2,b =3,B =35∘a =2b =3,A =90∘a =3,b =2,B =35∘S −ABC △SAB △SAC △SBC 112A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）8. 已知复数，其中是的共轭复数，则下列结论正确的是( )A.的实部为B.的虚部为C.为纯虚数D.在复平面内对应的点位于第四象限9. 年是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年，某研究性学习小组调查了某脱贫县的甲、乙两个家庭，对他们过去年（年到年）的家庭收入情况分别进行统计，得到这两个家庭的年人均纯收入（单位：百元/人）茎叶图．对甲、乙两个家庭的年人均纯收入（以下分别简称“甲”“乙”）情况的判断，正确的是（ ）A.过去的年，“甲”的极差小于“乙”的极差B.过去的年，“甲”的平均值小于“乙”的平均值C.过去的年，“甲”的中位数小于“乙”的中位数D.过去的年，“甲”的平均增长率小于“乙”的平均增长率10. 已知非零单位向量和，若，向量在向量上的投影向量为，向量在向量上的投影向量为，则下列结论正确的是（ ）A.B.C.8π9π10π12πz =+i 11+iz ¯¯¯z z 12z ¯¯¯−i 12z +12z¯¯¯20206201420196666a →b →⋅=−a →b →3–√3b →a →c →a →b →d →||=||c →d →⋅=⋅a →b →a →c→=d →3–√3b →=−–√D.11. 如图，在正方体中，点为线段上一动点，则 A.直线平面B.异面直线与所成角为C.三棱锥的体积为定值D.平面与底面的交线平行于卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）12. 已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为，则当母线的长度取最小值时，该圆锥的表面积为________.13. 某学校为了提高学生的安全意识，防止安全事故的发生，学校拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则选择的天中恰好仅有天连续的概率为________．14. 在中，角，，的对边分别是，，，若＝，＝，则的值为________．15. 如图，在中，为上一点，，为上一点，，为和的交点．若，则的值为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）16. 求的值．⋅=−c →d →3–√9ABCD −A 1B 1C 1D 1P C B 1()B ⊥D 1DA 1C 1CB 1A 1C 145∘P −D A 1C 1D A 1C 1ABCD A 1C 117332△ABC A B C a b c B 2C 2b 3c cos C △ABC E BC BE =EC 13F AC AF =FC 12G AE BF =+CG →λ1AB →λ2AC →+λ1λ2+(a,b ∈R)a +bi b −ai a −bi b +ai17. 某公司对销售员实行目标管理，即给销售员确定一个具体的销售目标．这个销售目标确定是否合适，直接影响公司的经济效益．如果目标过高，多数销售员完不成任务，会使推销员失去信心；如果目标定得太低，将不利于挖掘销售员的工作潜力．通过抽样，获得了年月到月名销售员的月均销售额（单位：千元），将数据按照 …，分成组，制成如图所示的频率分布直方图．已知组的频数比组的频数多人．求频率分布直方图中和的值；根据频率分布直方图，若公司希望恰有的销售人员能够完成销售目标，试估计公司制定的销售目标值． 18. 年“双十一”购物节之后，某网站对购物超过元的名购物者进行年龄调查，得到如下统计表：分组编号年龄分组购物人数（1）从这名购物者中随机抽取人，求该购物者的年龄不低于岁的概率；（2）从年龄在的购物者中用分层抽样的方法抽取人进一步做调查问卷，再从这人中随机抽取人中奖求中奖的人中年龄在,内各有一人的概率．19. 已知平面向量，Ⅰ若，求Ⅱ若，求与所成夹角的余弦值 20. 如图，三棱柱中，为等边三角形，，，＝＝．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值． 21. 在中，角，，所对边分别为，，，现有下列四个条件：202051250[12,14),[14,16)[22,24]6[14,16)[12,14)4(1)a b (2)75%20201000200001[20,30)55002[30,40)45003[40,50)3a 4[50,60)30005[60,70]4a20000150[50,70]7722[50,60)[60,70]=(2,2)a =(x,−1)b ()//a b x ()⊥(−2)a a b a b ABC −A 1B 1C 1△BC A 1C ⊥C C 1A 1B ⊥B B 1A 1BC 2BB 14A ⊥A 1B 1C 1B −AC −B 1△ABC A B C a b c +−=−ac.2222–√①；②；③；④③④两个条件可以同时成立吗？请说明理由；已知同时满足上述四个条件中的三个，请选择使有解的三个条件，求的面积．注：如果选择多个组合作为条件分别解答，按第一个解答计分．a =3–√b =2cos 2A +cos A =0+−=−ac.a 2c 2b 223–√3(1)(2)△ABC △ABC △ABC参考答案与试题解析2023-2024学年全国高一下数学期末试卷一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）1.【答案】C【考点】复数的代数表示法及其几何意义复数的运算【解析】由图求得，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】由图可知，，则．∴表示复数的点的坐标为，是．2.【答案】C【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数、百分位数【解析】无【解答】解：男生身高的极差是，故正确；男生身高的平均值为，故正确；女生数据较集中，男生数据分散，应该是男生方差大，女生方差小，故错误；女生身高的中位数为，故正确．z (1+i)⋅z z =2−i (1+i)⋅z =(1+i)(2−i)=2−i +2i +1=3+i(1+i)⋅z (3,1)P 192−167=25A =177.2167+168+173+175+176+177+179+183+182+19210B C 166D C故选．3.【答案】C【考点】互斥事件与对立事件【解析】事件的对立事件是所取的个球中没有白球，从而得到事件的对立事件是所取的个球都是红球．【解答】解：从装有个红球、个白球的袋中任取个球，事件“所取的个球中至少有个白球”，则事件的对立事件是所取的个球中没有白球，∴事件的对立事件是所取的个球都是红球．故选．4.【答案】C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的体积．【解答】圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，可得．由的面积为，得，即＝．与圆锥底面所成角为，可得圆锥的底面半径为：，∴高为．则该圆锥的体积为：．5.【答案】C A 3A 3323A =31A 3A 3C P PA PB 34sin ∠APB ==1−co ∠APB s 2−−−−−−−−−−−−√7–√4△PAB 7–√⋅P ⋅sin ∠APB =⋅P ⋅=12A 212A 27–√47–√PA 22–√PA 60∘2⋅sin =2–√30∘2–√6–√π×(×=π132–√)26–√26–√3D【考点】平面向量的基本定理【解析】由平面向量的线性运算可得：，即，得解．【解答】由在中，是边上一点，，则，即，6.【答案】D【考点】正弦定理解三角形【解析】利用正弦定理逐项判定即可.【解答】解：．由题意， ，， 有一解，故不符合题意；．由正弦定理知，，即，，，∴有一解，∴有一解，故不符合题意；．由正弦定理知， ，即 ，∴无解，故不符合题意；=+=+=+(−)=−+CD →CB →BD →CB →13BA →CB →13CA →CB →13AC →23CB→λ=−13△ABC D AB=2AD →DB →=+=+=+(−)=−+CD →CB →BD →CB →13BA →CB →13CA →CB →13AC →23CB→λ=−13A b >aB =105∘B >A△ABC A B =a sin A bsin B =2sin A 3sin 35∘sin A =sin 2335∘b >a A <B A △ABC B C =a sin A cc sin C =>12sin 90∘332△ABC C b．由正弦定理知， ，即， 有两解，故符合题意．故选．7.【答案】B【考点】球的表面积和体积【解析】三棱锥中，侧棱、、两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，转化为对角线长，即可求解外接球的表面积．【解答】解：三棱锥中，侧棱，，两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，由题意得：，，，解得：，，，所以球的直径为：，它的半径为，球的表面积为.故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）8.【答案】A,D【考点】共轭复数复数的基本概念复数的代数表示法及其几何意义复数代数形式的乘除运算【解析】D =a sin A b sin B =,∴sin 3sin A 2sin 35∘35∘a >b C D D A −BCD AB AC AD S −ABC SA SB SC SA ⋅SB =112SC ⋅SB =112SA ⋅SC =212SA =2SB =1SC =2=34+1+4−−−−−−−√324π⋅(=9π32)2B ¯¯¯¯¯¯直接由复数代数形式的乘除运算化简复数；再求出，分别求出的实部，的虚部，则答案可求．【解答】解：，，，的实部为，故正确；，，虚部为，故错误；，，不是纯虚数，故错误；．，对应的点为，在第四象限，故正确．故选．9.【答案】A,C,D【考点】众数、中位数、平均数、百分位数茎叶图【解析】根据茎叶图中数据，利用统计知识的相关性质判断即可．【解答】对于，甲的极差为＝，乙的极差为＝，所以“甲”的极差小于“乙”的极差，正确；对于，甲的平均数是＝，乙的平均数为＝，所以“甲”的平均值大于“乙”的平均值，错误；对于，甲的中位数是＝，乙的中位数是＝，所以，“甲”的中位数小于“乙”的中位数，正确；对于，过去年甲的平均增长率为：；乙的平均增长率为：，且，所以“甲”的平均增长率小于“乙”的平均增长率，正确．z z ¯¯¯z z¯¯¯z =+i =+i 11+i 1−i (1+i)(1−i)=−i +i =+i 12121212=−i z ¯¯¯1212A z 12A B =−i z ¯¯¯1212z ¯¯¯−12B C z +=+i +=1+i 1212121212C D =−i z ¯¯¯1212(,−)1212D AD A 42−36641−347A B ×(36+37+37+38+40+42)×(34+36+38+39+40+41)B C ×(37+38)37.5×(38+39)38.5C D 6−1−1<D10.【答案】A,B,D【考点】平面向量数量积的运算向量的投影平面向量数量积的性质及其运算【解析】【解答】解：设向量和的夹角为，则，易知，同理，则，故正确；，故正确；与不共线，故错误；，故正确.故选.11.【答案】A,C,D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积异面直线及其所成的角直线与平面垂直的判定直线与平面平行的性质【解析】由直线与平面垂直的判定及性质得到，，得到直线平面，判定正确；求出异面直线所成角判断错误；由直线与平面平行说明到平面的距离为定值a →b →θ⋅=cos θ=−a →b →3–√3==−c →||cos θb →a →||a →3–√3a →=−d →3–√3b →||=||=c →d →3–√3A ⋅=⋅(−)=−=⋅a →c →a →3–√3a →3–√3a →b →B b →d →C ⋅=(−)⋅(−)=⋅=−c →d →a →b →3–√3a →b →3–√9D ABD ⊥B A 1C 1D 1D ⊥B C 1D 1B ⊥D 1D A 1C 1A B P D A 1C 1C判断正确；由直线与平面平行的性质判断正确．【解答】解：∵，，，∴平面，则，同理，∵，∴直线平面，故正确；∵，，∴四边形为平行四边形，则，则为异面直线与所成角，为，故错误；∵，平面，平面，∴平面．可得到平面的距离为定值，即三棱锥的体积为定值，故正确；∵平面，平面，设平面与底面的交线为，由直线与平面平行的性质，可得平面与底面的交线平行于，故正确．故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）12.【答案】【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】解：已知底面圆心到母线距离等于，设母线与圆锥底面所成角为，则圆锥的母线长（或用正余弦表示求解，或构造等式用基本不等式求解，甚至可用导数求解．）时，求得圆锥底而半径为，高为.此时圆锥的表面积为：.【解答】解：如图，已知底面圆心到母线距离等于，设母线与圆锥底面所成角为，则圆锥的母线长，所以，当时，圆锥底面半径，则高，C D ⊥A 1C 1B 1D 1⊥B A 1C 1B 1∩B B 1D 1B 1=B 1⊥A 1C 1BB 1D 1⊥B A 1C 1D 1D ⊥B C 1D 1∩D A 1C 1C 1=C 1B ⊥D 1D A 1C 1A //CD A 1B 1A 1B 1=CD D C A 1B 1C //D B 1A 1∠DA 1C 1C B 1A 1C 160∘B C //D B 1A 1D ⊂A 1D A 1C 1C ⊂B 1D A 1C 1C //B 1D A 1C 1P D A 1C 1P −D A 1C 1C //A 1C 1ABCD ⊂A 1C 1D A 1C 1D A 1C 1ABCD l D A 1C 1ABCD A 1C 1D ACD 2(+1)π2–√18l =tan θ+≥2,=21tan θI min l ==2l min r =2–√h =2–√S =⋅2πrl +π=2(+1)π12r 22–√1θl =tan θ+≥21tan θ=2l min l ==2l min r =2–√h =2–√=×2πrl +π=2(+1)π1此时圆锥的表面积为.故答案为：.13.【答案】【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】．【考点】解三角形【解析】利用二倍角公式和正弦定理，结合题意即可求得的值．【解答】中，若＝，则＝，∴＝，由正弦定理得＝，∴；又＝，∴，∴．15.【答案】【考点】S =×2πrl +π=2(+1)π12r 22–√2(+1)π2–√cos C △ABC B 2C sin B sin 2C sin B 2sin C cos C b 2c cos C cos C 2b 3c bc cos C −13平面向量的基本定理【解析】先过点作交与点，根据已知条件求出为 的中点，进而求出结论．【解答】过点作交与点；因为，∴；∵，∴＝且，∴∴＝；故为 的中点∴；∴．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）16.【答案】．【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】F FM //BC AE MG BF F FM //BC AE M AF =FC 12MF =EC 13BE =EC 13MF BE MF //EC △MFG ≅△BEGEG GF G BF =(+)=(++)=−CG →12CF →CB →1213CA →CA →AB →12AB →56AC →+=−=−λ1λ2125613+=+a +bi b −ai a −bi b +ai (a +bi)(b +ai)(b −ai)(b +ai)(a −bi)(b −ai)(b −ai)(b +ai)=i −i =0+a 2b 2+a 2b 2+a 2b 2+a 2b 2=+(a +bi)(b +ai)(a −bi)(b −ai)．17.【答案】解：由题意得，解得，．设应制定的销售目标为千元，则在频率分布直方图中左边的面积为．前组的累计面积为，前组的累计面积为 ．因为，所以位于第三组，则，解得．所以估计公司的销售目标可定为千元．【考点】频率分布直方图【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，解得，．设应制定的销售目标为千元，则在频率分布直方图中左边的面积为．前组的累计面积为，前组的累计面积为 ．因为，所以位于第三组，则，解得．所以估计公司的销售目标可定为千元．18.【答案】∵参与调查的总人数为人，由表中数据可得＝，解得＝，∴从这名购物者中随机抽取人，该购物者的年龄不低于岁的概率为：＝＝＝．由（1）知这名购物者中，年龄在的有人，年龄在的有人，从年龄在的购物者中用分层抽样的方法抽取人，则年龄在的抽取人，用，，，表示，年龄在的抽取人，用，，表示，在这人中，随机抽取人中奖的所有可能情况有种，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，+=+a +bi b −ai a −bi b +ai (a +bi)(b +ai)(b −ai)(b +ai)(a −bi)(b −ai)(b −ai)(b +ai)=i −i =0+a 2b 2+a 2b 2+a 2b 2+a 2b 2(1){(a +b +0.12+0.14+0.10+0.04)×2=150×b ×2−50×a ×2=4,a =0.03b =0.07(2)x x 1−0.75=0.2520.03×2+0.07×2=0.230.2+0.1×2=0.40.2<0.25<0.4x (x −16)×0.10+0.2=0.25x =16.516.5(1){(a +b +0.12+0.14+0.10+0.04)×2=150×b ×2−50×a ×2=4,a =0.03b =0.07(2)x x 1−0.75=0.2520.03×2+0.07×2=0.230.2+0.1×2=0.40.2<0.25<0.4x (x −16)×0.10+0.2=0.25x =16.516.5200005500+4500+3a +3000+4a 20000a 10002000150P 10.3520000[50,60)3000[60,70]4000[50,70]7[60,70]4A B C D [50,60)3a bc 7221AB AC AD Aa Ab Ac BC BD Ba Bb Bc CD Ca Cb Cc Da Db Dc ab bc，，，中奖的人中年龄在,内各有一人包含的基本事件有种，分别为：，，，，，，，，，，，，∴从这人中随机抽取人中奖，中奖的人中年龄在,内各有一人的概率为＝．【考点】古典概型及其概率计算公式列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】（1）先求出＝，由此能求出从这名购物者中随机抽取人，该购物者的年龄不低于岁的概率．（2）这名购物者中，年龄在的有人，年龄在的有人，从年龄在的购物者中用分层抽样的方法抽取人，则年龄在的抽取人，用，，，表示，年龄在的抽取人，用，，表示，在这人中，随机抽取人中奖，利用列举法能求出中奖的人中年龄在,内各有一人的概率．【解答】∵参与调查的总人数为人，由表中数据可得＝，解得＝，∴从这名购物者中随机抽取人，该购物者的年龄不低于岁的概率为：＝＝＝．由（1）知这名购物者中，年龄在的有人，年龄在的有人，从年龄在的购物者中用分层抽样的方法抽取人，则年龄在的抽取人，用，，，表示，年龄在的抽取人，用，，表示，在这人中，随机抽取人中奖的所有可能情况有种，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，中奖的人中年龄在,内各有一人包含的基本事件有种，分别为：，，，，，，，，，，，，∴从这人中随机抽取人中奖，中奖的人中年龄在,内各有一人的概率为＝．19.【答案】（1）平面向量，若，则＝，解得＝；（2）若，则，即＝，解得＝，∴，ab ac bc 2[50,60)[60,70]12Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc Da Db Dc 722[50,60)[60,70]P a 1000200015020000[50,60)3000[60,70]4000[50,70]7[60,70]4A B C D [50,60)3a b c 722[50,60)[60,70]200005500+4500+3a +3000+4a 20000a 10002000150P 10.3520000[50,60)3000[60,70]4000[50,70]7[60,70]4A B C D [50,60)3a b c 7221AB AC AD Aa Ab Ac BC BD Ba Bb Bc CD Ca Cb Cc Da Db Dc ab ac bc 2[50,60)[60,70]12Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc Da Db Dc 722[50,60)[60,70]P =(2,2)a =(x,−1)b //a b 2×(−1)−2x 0x −1⊥(−2)a a b ⋅(−2)=−2⋅=0a a b a 2a b (+)−2(2x −2)22220x 3=(3,−1)b∴与所成夹角的余弦值为．【考点】平面向量数量积的性质及其运算数量积表示两个向量的夹角【解析】Ⅰ由平面向量的共线定理列方程求出的值；Ⅱ根据平面向量垂直的坐标表示列方程求出，再计算与所成夹角的余弦值．【解答】（1）平面向量，若，则＝，解得＝；（2）若，则，即＝，解得＝，∴，∴与所成夹角的余弦值为．20.【答案】证明：因为，，所以；又因为，＝，平面，平面，所以平面，因为，所以平面，因为平面，所以，因为，所以．由（1）可知，平面平面，取的中点为，连接，则平面；以为坐标原点，分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系．则，，，，，，，，所以，，，a bcosθ===⋅a b||×||a b2×3+2×(−1)×22+22−−−−−√32+(−1)2−−−−−−−−√5–√5()x()xa b=(2,2)a=(x,−1)b//a b2×(−1)−2x0x−1⊥(−2)a a b⋅(−2)=−2⋅=0a ab a2a b(+)−2(2x−2)22220x3=(3,−1)ba bcosθ===⋅a b||×||a b2×3+2×(−1)×22+22−−−−−√32+(−1)2−−−−−−−−√5–√5C⊥CC1A1C//BC7B1B⊥CB1A8B⊥BB1A1C∩BA2A1A1C⊂A2BCA1B⊂A1BCA6B⊥B1BCA1A//BA6B1A⊥A1BCA3BC⊂BCA1A⊥BCA1BC//B7C1A⊥A1B5C1BC⊥A1BCC6B1BC O OA1O⊥A3BCC1B1O OB2x zB(22C(−20(3,2,0)B1(−2,2,7)C5设平面的一个法向量为，由，得，令＝，得，．设平面的一个法向量为，由，得，令＝，得＝，，.．由图可知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答21.【答案】解：由条件③得，解得或（舍），因为，所以，由条件④得，因为，而在单调递减，所以于是与矛盾，ABC z 11A C B 4x 27y 2−2B −AC −B 6B −AC −B 1(1)2A +cos A −1=0cos 2cos A =12cos A =−1A ∈(0,π)A =π3cos B ==−ac >=−+−a 2c 2b 22ac 23–√312a 3–√3cos B =−<−=cos ,B ∈(0,π)3–√3122π3y =cos x (0,π)<B <π.2π3A +B >+=π,π32π3A +B <π△ABC所以不能同时满足③④．因为同时满足上述四个条件中的三个，不能同时满足③④，则满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④．若选择组合①②③：有，即，因为，所以为直角三角形，所以，所以的面积．若选择组合①②④：由，即，解得，因为，所以，所以的面积．【考点】余弦定理解三角形正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：由条件③得，解得或（舍），因为，所以，由条件④得，因为，而在单调递减，所以于是与矛盾，所以不能同时满足③④．因为同时满足上述四个条件中的三个，不能同时满足③④，则满足三角形有解的所有组合为①②③或①②④．若选择组合①②③：有，即，因为，所以为直角三角形，所以，所以的面积．若选择组合①②④：由，即，解得，△ABC (2)△ABC =a sin A b sin B=,sin B =13–√3√22sin B B ∈(0,π)B =，△ABC π2c ==1−22()3–√2−−−−−−−−−√△ABC S =×1×=123–√3–√2=+−2ac cos B b 2a 2c 2+2c =1c 2c =−12–√B ∈(0,π)sin B ===1−B cos 2−−−−−−−−√1−(−)3–√32−−−−−−−−−−−√6–√3△ABC S =ac sin B =××(−1)×=12123–√2–√6–√32−2–√2(1)2A +cos A −1=0cos 2cos A =12cos A =−1A ∈(0,π)A =π3cos B ==−ac >=−+−a 2c 2b 22ac 23–√312a 3–√3cos B =−<−=cos ,B ∈(0,π)3–√3122π3y =cos x (0,π)<B <π.2π3A +B >+=π,π32π3A +B <π△ABC (2)△ABC =a sin A b sin B=,sin B =13–√3√22sin B B ∈(0,π)B =，△ABC π2c ==1−22()3–√2−−−−−−−−−√△ABC S =×1×=123–√3–√2=+−2ac cos B b 2a 2c 2+2c =1c 2c =−12–√B ===−−−−−−−−−−−因为，所以，所以的面积．B ∈(0,π)sin B ===1−B cos 2−−−−−−−−√1−(−)3–√32−−−−−−−−−−−√6–√3△ABC S =ac sin B =××(−1)×=12123–√2–√6–√32−2–√2。

2023-2024学年北京师范大学附属中学高一下学期期末考试数学试题+答案解析

2023-2024学年北京师范大学附属中学高一下学期期末考试数学试题+答案解析

2023-2024学年北京师范大学附属中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.()A.B.C.D.2.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A. B.C.4D.23.若复数在复平面内对应的点为，且则()A.B.C.D.4.已知角与角的终边关于y 轴对称，且，则()A.3B.C. D.5.已知向量，满足，，且，则()A.B. C.D.6.已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为棱BC 上一点，则三棱锥的体积为()A.3B.C.1D.7.在中，则的形状是()A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.钝角三角形8.在中，则()A. B.C. D.9.设函数其中，，则“”是“函数图象与图象恰有4个公共点”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.已知在中，，设，记的最大值为，则的最小值为()A. B.2 C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.设方程在复数范围内的两根分别为，则__________.12.已知函数为奇函数，则符合条件的一个的取值可以为__________.13.已知正三棱锥的侧棱长，S到底面ABC的距离为则SA与BC的位置关系是__________；__________.14.已知点是半径为3的圆上三点，，点D是BC的垂直平分线上任意一点，则的最小值为__________.15.已知函数给出下列四个结论：①的最小正周期为；②当时，在区间上单调递增；③若在区间上的最小值为，则；④当时，，在区间不可能存在2024个零点.其中所有正确结论的序号为__________.三、解答题：本题共6小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.本小题12分在中，求BC和；求BC边上的中线AD的长.17.本小题12分在中，，求A的大小；再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：AC边上的高18.本小题12分设函数其中的最小正周期为求；当时，恒成立，求m的最大值；将的图象向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.直接写出方程的根的个数.19.本小题12分高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱的高OO是正四棱锥的高PO的4倍.若；求该模型的体积；求顶部正四棱锥的侧面积；若顶部正四棱锥的侧棱长为6，当PO为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大?并求出S的最大值.20.本小题12分某玩具厂为测试一款可升降玩具炮台的性能，建立了如下的数学模型：①如图，建立平面直角坐标系，炮口A的坐标为，炮台从炮口向右上方发射玩具弹，发射仰角为，初速度；②设玩具弹在运行过程中单位：时刻的横纵坐标分别为单位：，且满足；③玩具弹最终落在点根据上述模型，解决下列问题：当时.若时，玩具弹刚好落在点D，求d及此次的发射仰角的值；求d 的最大值及此时的发射仰角；当时，求证：21.本小题12分已知函数的定义域为若存在正整数k ，使得对于任意实数x ，都有则称具有性质判断函数是否具有性质，并说明理由；设函数其中是否存在、，使得具有性质若存在，求，的值；若不存在，说明理由；已知函数具有性质为正偶数，且在区间上的值域为设函数，且满足下列条件：①；②对于任意实数x ，都有；③在区间上的零点不超过个.求证：存在正偶数使得参考公式：答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式求解即可.【详解】故选：2.【答案】B【解析】【分析】利用圆柱的侧面积求解公式求解即可.【详解】依题意，得圆柱的底面半径为1，母线也为1，所以其侧面积为故选：3.【答案】C【解析】【分析】求出复数，再利用复数的除法运算求解即得.【详解】依题意，，由，得故选：C4.【答案】D【解析】【分析】利用对称性可知，再用正切的两角和公式即可求解.【详解】由角与角的终边关于y轴对称，且，可知，而，故选：5.【答案】B【解析】【分析】设，利用向量的坐标运算，及模的坐标表示列出方程组求解即得.【详解】设，而，则，又且，因此，解得，所以故选：B6.【答案】C【解析】【分析】连接，通过已知条件证明平面，即AD为三棱锥的高，再通过三棱锥的体积公式计算即可.【详解】如图所示，连接，因为为正三角形，且D为BC中点，所以，又因为平面ABC，且平面ABC，所以，因为，平面，平面，所以平面，所以AD为三棱锥的高，且，所以故选：7.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出B，再利用余弦定理推理判断即得.【详解】在中，，则，由余弦定理得，即，而，于是，即，所以是等边三角形.故选：C8.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解即可.【详解】在中，由及正弦定理，得，即，整理得，而，因此，即，由，得，则，所以故选：D9.【答案】A【解析】【分析】本题利用三角函数图像的平移变换，结合三角方程可推出结果.【详解】因为函数，所以，所以，①当时，，又因为的最小正周期，是由的图像经过如下变换得到，先使的图像纵坐标不变，横坐标缩短为原来的得到，再向右平移单位得到，再将纵坐标伸长2倍得到，在同一坐标系中画出图像如图：，显然与的图像有4个交点，所以由可以推出与的图像恰好有4个公共点；②当与的图像恰好有4个公共点时，因为，所以，解得，所以的取值不一定是2，即由与的图像恰好有4个交点不能推出，所以“”是“函数与的图像恰好有4个公共点”的充分而不必要条件.故选：10.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理、辅助角公式，结合正弦函数的性质求出，再求出最小值.【详解】在中，令内角所对边分别为，由正弦定理得，则而，则，由，得，锐角由确定，又，则，因此当时，取得最大值，即，显然函数在上单调递增，所以故选：B【点睛】结论点睛：，其中11.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用韦达定理列式计算即得.【详解】依题意，，所以故答案为：12.【答案】答案不唯一，【解析】【分析】由正余弦型函数的奇偶性，结合诱导公式列式求解即得.【详解】函数为奇函数，则，所以符合条件的一个的取值可以为故答案为：13.【答案】；；；；；；6【解析】【分析】利用正三棱锥的性质即可证明线线垂直，再用勾股定理可求得边长.【详解】再由正三棱锥可知，，所以，又因为，平面SAD，所以平面SAD，又因为平面SAD，所以②由正三棱锥的性质可知，顶点S在底面ABC的射影是底面等边三角形ABC的中心，如图可知：，又因为，所以由勾股定理得：，由O是底面等边三角形ABC的中心，可知，则故答案为：；14.【答案】【解析】【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】以圆心O为坐标原点，线段BC的垂直平分线所在直线作为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设，根据题意得，，，所以，因为，所以当时，取得最小值为，故答案为：15.【答案】②③【解析】【分析】求出时函数的最小正周期判断①；借助余弦函数单调性判断②；利用二倍角的余弦公式化成关于的二次函数，结合二次函数性质求解判断③；求出在上的零点，借助周期性判断④即可得解.【详解】对于①，当时，的最小正周期为，①错误；对于②，当时，，由，得，而余弦函数在上单调递增，因此在区间上单调递增，②正确；对于③，，令函数，显然的图象开口向下，在上的最小值只能为，解得，③正确；对于④，当时，，由，得或，当时，或，因此函数在上有两个零点，而函数的最小正周期为，则函数在上有2024零点，④错误，所以所有正确结论的序号为②③.故答案为：②③【点睛】思路点睛：涉及求含正余的二次式的最值问题，可以换元或整体思想转化为二次函数在区间或其子区间上的最值求解.16.【答案】在中，由余弦定理得，解得负根舍去，由正弦定理得，解得，故BC的值为，的值为由向量中线定理得，所以，所以，故，即AD的值为【解析】【分析】利用余弦定理求出BC，利用正弦定理求出即可.利用向量中线定理求解即可.17.【答案】在中，由及正弦定理，得，而，则，又，所以选①，，由余弦定理，得，则，显然，即方程无解，因此不存在，①不可选.选②，，在中，，由正弦定理，得，，的两角及一边已知，由三角形全等的判定知，存在且唯一，所以的面积为选③，AC边上的高，在中，，即，在中，由余弦定理，得，整理得，而，解得，的三边已知，由三角形全等的判定知，存在且唯一，所以的面积为【解析】【分析】利用正弦定理边化角即可求解.选①，由余弦定理建立方程无解；选②，利用正弦定理求出b，再利用和角的正弦求出并求出三角形面积；选③，由直角三角形边角关系求出c，再由余弦定理求出b并求出三角形面积.18.【答案】，的最小正周期为则，得；由得，因为，所以，由，得，得，故m的最大值为：；由题意得，，由，作出函数的图象，如图所示：方程的根的个数：【解析】【分析】利用三角恒等变换化简得，再由周期公式求解即可；先求得的范围，再利用整体法，结合三角函数的性质即可得解；先利用三角函数变换得到，从而将问题转化为与的图象的交点个数问题，数形结合即可得解.19.【答案】由，得，又，因此正四棱锥的体积，正四棱柱的体积，所以模型有体积取的中点E，连接，由，得，所以正四棱锥的侧面积设，正四棱柱的侧面积为，则，于是，而，因此当，即时，，所以当时，下部分正四棱柱的侧面积最大，最大面积是【解析】【分析】利用棱锥、棱柱的体积公式计算即得；求出棱锥的斜高，再利用侧面积.，求出棱柱的底面边长，再把棱柱侧面积表示为x，再求出函数最大值即可.20.【答案】当时，，由，得，因为，所以此次的发射仰角为，；当时，，由，得，所以，因为，所以，所以时，d取得最大值当时，，由，得，因为，所以，代入式整理得，得，所以，其中，所以，解得【解析】【分析】根据，求得，进而求得；根据题意，得，进而求得，即可求解；根据，整理得，再由辅助角公式化简得，即可求解.21.【答案】由，得，而，因此，函数具有性质；由，得，而，因此，所以不具有性质若函数具有性质，则，而，因此，即，由对任意实数x上式恒成立，得，则存在整数p，使得，即，为偶数，而，于是，此时，则存在整数q，使得，即，又，则，此时，所以存在使函数具有性质由函数具有性质，得，则，解得，由对于任意实数x，都有，得，，而，于是，因此存在整数n，使得，而在区间上的值域为，从而在区间上的值域为，且n为正整数.①当时，存在，使得，且与在区间上的零点不超过个矛盾，因此；②当，且n为正奇数时，因为对于任意实数x，，则，又，因此，即与矛盾，所以存在正偶数使得【解析】【分析】利用给定的定义分别验证，即可判断得解.利用给定的定义，再利用和差化积，结合恒成立得，由给定范围求出利用给定的定义，结合反证法推理得，再按n取奇偶探讨即得.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.。

2023-2024学年北京市顺义区高一(下)期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市顺义区高一(下)期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市顺义区高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量，，那么向量可以是()A. B. C. D.3.在中，已知，，，则()A. B. C. D.4.已知，则()A. B.2 C. D.15.以一个等腰直角三角形的直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，若该等腰直角三角形的直角边长度为2，则该几何体的体积为()A. B. C. D.6.已知直线m，n，l与平面，则下列四个命题中正确的是()A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则7.下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是()A. B. C. D.8.一个人骑自行车由A地出发向东骑行了xkm到达B地，然后由B地向北偏西方向骑行了到达C地，此时这个人由A地到C地位移的大小为3km，那么x的值为()A.3B.6C.3或6D.9.已知，且点P是所在平面内的动点，满足则的最小值为()A.2B.C.1D.10.如图，在扇形OMN中，半径，圆心角，B是上的动点点B不与M、N及的中点重合，矩形ABCD内接于扇形OMN，且，设矩形ABCD的面积S与的关系为，则最大值为()A.B.C.D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.设复数z满足，则______.12.在锐角中，，，的面积为，则______.13.在长方形ABCD中，，，点P满足，则______，______.14.已知函数为常数，的部分图象如图所示，则______；若将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点Q，且点Q仍在函数的图象上，则t的最小值为______.15.已知正方体的边长为2，且M为棱的中点，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，且满足MP与底面ABCD所成的角为，给出下列四个结论：①存在点P使得；②点P的轨迹长度为；③三棱锥的体积的最小值为；④线段长度最小值为其中所有正确结论的序号是______.三、解答题：本题共6小题，共85分。

2023-2024学年全国高中高一下数学人教A版期末试卷(含解析)

2023-2024学年全国高中高一下数学人教A版期末试卷(含解析)

2023-2024学年全国高一下数学期末试卷考试总分：146 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）1. 已知，则 A.B.C.D.2. 甲、乙两名篮球运动员最近五场比赛的得分如茎叶图所示，则 A.甲的中位数和平均数都比乙高B.甲的中位数和平均数都比乙低C.甲的中位数比乙的中位数高，但平均数比乙的平均数低D.甲的中位数比乙的中位数低，但平均数比乙的平均数高3. 把一个体积为 ，表面涂有红色的正方体木块锯成个体积为的小正方体.从这个小正方体中随机取出块，则这块至少有面涂有红色的概率是( )A.cosα=13sin(2α+)=(π2)−7979±42–√9−89()64c m 3641c m 364111387B.C.D. 4. 已知且，则与的夹角为（ ）A.B.C.D.5. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：频率本根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）A.该地农户家庭年收入低于万元的农户比率估计为B.该地农户家庭年收入不低于万元的农户比率估计为C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于万元至万元之间6. 设，是两条不同的直线， ，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，则；③若，，则.其中正确命题的序号是( )A.①和②B.②和③C.①和③D.①②③781858||=1,||=a →b →3–√⊥a →b →a →−b →a →π33π42π35π64.56%10.510%6.5 4.58.5m n αβγm ⊥αn//αm ⊥n α//ββ//γm ⊥αm ⊥γm//αn//αm//n7. 如图，在平面直角坐标系中，扇形的圆心角为，半径为，是上一点，其横坐标为，则＝（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 5 小题 ，每题 5 分 ，共计25分 ）8. 已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由个和个排列而成，记，表示所有可能取值中的最小值．则下列说法正确的是( )A.有个不同的值B.若，则与无关C.若，则与无关D.若，则9. 已知，则以下关系成立的有( )A.B.C.xOy AOB 3π41P AB ^22–√3sin ∠BOP 2–√33–√34+2–√63+2–√6a →b →x 1→x 2→x 3→x 4→x 5→y 1→y 2→y 3→y 4→y 5→2a →3b →S =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅x 1→y 1→x 2→y 2→x 3→y 3→x 4→y 4→x 5→y 5→S min S S 5⊥a →b →S min ||a →//a →b →S min ||b →||>4||b →a →>0S min z =+i 123–√2=−1z 3=−z 2z¯¯¯=1z 12−z +1=02D.10. 从一批产品中取出三件产品，设“三件产品不是次品”，“三件产品全是次品”，“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是 A.与互斥且为对立事件B.与互斥且为对立事件C.与存在有包含关系D.与不是对立事件11. 在管理学研究中，有一种衡量个体领导力的模型，称为“五力模型”，即一个人的领导力由五种能力——影响力、控制力、决断力、前瞻力和感召力构成．如图是某企业对两位领导人领导力的测评图，其中每项能力分为三个等级，“一般”记为分、“较强”记为分、“很强”记为分，把分值称为能力指标，则下列判断正确的是( )A.甲、乙的五项能力指标的均值相同B.甲、乙的五项能力指标的方差相同C.如果从控制力、决断力、前瞻力考虑，乙的领导力高于甲的领导力D.如果从影响力、控制力、感召力考虑，甲的领导力高于乙的领导力12. 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为，则关于上、下两空间图形的说法正确的是( )A.侧面积之比为B.侧面积之比为C.体积之比为D.体积之比为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）−z +1=0z 2A =B =C =()A B B C A C A C 4561:21:41:81:271:2613. 函数的对称轴方程是________.14. 如图，四棱锥中，底面为四边形．其中为正三角形，又．设三棱锥，三棱锥的体积分别是，，三棱锥，三棱锥的外接球的表面积分别是，．对于以下结论：①；②＝；③；④；⑤＝；⑥．其中正确命题的序号为________．15. 已知样本，，，，的平均数为，方差为，则，，，，的平均数和方差分别是________.16. 在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．已知三棱柱是一个“堑堵”，其中＝＝＝，点是的中点，则四棱锥的外接球的表面积为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ） 17. 如图，，是单位圆上的动点，是圆与轴正半轴的交点，设．（1）当点的坐标为时，求的值．（2）若，且当点，在圆上沿逆时针方向移动时，总有，试求的取值范围． 18. 某教师对所教两个班名学生网课期间参加体育活动的情况调查后整理得到如下列表（已知这名学生男女比例恰为）参加体育锻炼未参加体育锻炼总计男同学女同学总计补全列联表，并判断是否有的把握认为“参加体育锻炼与性别有关系？”按分层抽样在未参加体育锻炼的学生中抽取人，再从这人中随机选取人接受采访，求抽到男同学和女同学各人的概率．附：.y =cos2x P −ABCD ABCD △ACD ⋅=⋅=3⋅DA →DB →DB →DC →DB →AB →P −ABD P −ACD V 1V 2P −ABD P −ACD S 1S 2<V 1V 2V 1V 2>V 1V 2<S 1S 2S 1S 2>S 1S 2x 1x 2x 3x 4x 551−2x 1−2x 2−2x 3−2x 4−2x 5ABC −A 1B 1C 1AB BC B B 12M A 1C 1M −CB B 1C 1A B O C x ∠COA =αA (，)3545cos2α1+sin2α0≤α≤π3A B ∠AOB =π3BC 90901:1352590(1)99.5%(2)7721=，n =a +b +c +d K 2n (ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)P (K 2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828ABCD −A B C D ABCD A B C B19. 如图，在四棱柱中，底面为菱形，＝．（1）证明：平面平面；（2）若＝，是等边三角形，求二面角的余弦值． 20. 已知．（1）求向量的夹角；（2）求． 21. 某市在开展创建“全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著，尤其是城市环境卫生大为改观，深得市民好评．“创文”过程中，某网站推出了关于环境治理和保护问题情况的问卷调查，现从参与问卷调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出的值；（2）若已从年龄较小的第，组中用分层抽样的方法抽取人，现要再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求第组恰好抽到人的概率． 22. 如图，在四棱锥中，＝＝＝，＝，＝，，，分别为，的中点，．（1）求证：平面；（2）求直线与底面所成角的大小ABCD −A 1B 1C 1D 1ABCD A B 1C B 1BD ⊥D 1B 1ABCD ∠DAB 60∘△D B B 1−BD −A 1C 1||=6,||=4,(−2)⋅(+3)=−72a b a b a b ,a b θ|+3|a b 2002001[15,25)2[25,35)3[35,45)4[45,55)5[55,65)a 1255322A −DBCE AD BD AE CE =5–√BC 4DE 2DE//BC O H DE AB AO ⊥CE DH //ACE DH DBCE参考答案与试题解析2023-2024学年全国高一下数学期末试卷一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ）1.【答案】A【考点】两角和与差的三角函数【解析】结合诱导公式及二倍角余弦公式进行化简即可求解．【解答】因为，则＝．2.【答案】B【考点】众数、中位数、平均数、百分位数【解析】分别计算出两组数据的中位数和平均数即可得出选项．【解答】解：甲的平均数为：，中位数为，乙的平均数为：，中位数为，所以甲的中位数和平均数都比乙低.故选.3.【答案】cosα=13sin(2α+)=cos2απ22α−1=−cos 279=2925+28+29+31+32529=3028+29+30+31+32530BB【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】由题意，先弄清至少有一面涂红漆的小正方体个数以及没有颜色的小正方体的个数，从中随机取出一块，根据古典概型及其概率计算公式解之即可.【解答】解：由题意可知，正方体的边长为，没有颜色的小正方体有个，至少有一面涂有红色的小正方体有个，从个正方体中随机取出块，这一块至少有一面有红色的概率是.故选.4.【答案】C【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】设与的夹角为，因为，所以，所以，故，所以又，所以，故选．【解答】C 5.【答案】C【考点】频率分布直方图【解析】=4cm 64−−√3856641P ==566478B a →−b →a →θ⊥a →b →⋅=0a →b →⋅(−)=⋅−=−1a →b →a →a →b →a →2=+−2⋅=1+3=4(−)b →a →2a →2b →2a →b →−=2∣∣∣b →a →∣∣∣cosθ===−a ⋅(b −a)||⋅a|a →−11×212θ∈[0,π]θ=2π3C此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】A【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系命题的真假判断与应用【解析】利用空间线面平行以及垂直判定定理，依次判断，即可求出选项.【解答】解：由，是两条不同直线，，，是三个不同平面，得在①中，，，则由线面垂直的性质定理得，故①正确；在②中，若，，，则由面面平行性质定理、线面垂直的判定定理得，故②正确；在③中，若，，则与相交、平行或异面，故③错误，综上所述，正确命题的序号是①②.故选.7.【答案】C【考点】任意角的三角函数两角和与差的三角函数【解析】由题意求得点坐标，根据三角函数的定义写出、，再计算的值．【解答】由题意知，点，m n αβγm ⊥αn//αm ⊥n α//ββ//γm ⊥αm ⊥γm//αn//αm n A P sin ∠P OA cos ∠P OA sin ∠BOP P (,)22–√313∠P OA =1根据三角函数的定义知，，，所以＝＝．二、 多选题 （本题共计 5 小题 ，每题 5 分 ，共计25分 ）8.【答案】B,D【考点】平面向量数量积的性质及其运算平面向量数量积【解析】写出的所有可能组合，计算它们的值，结合选项进行判断．【解答】解：共有三种组合方式，分别记作，，，则，．，故错误；当时，，故正确；当时，或，故错误；当时，，，∴，.又，∴，故正确．故选．9.【答案】A,B,D sin ∠P OA =13cos ∠P OA =22–√3sin ∠BOP sin(−∠P OA)3π4sin cos ∠P OA −cos sin ∠P OA 3π43π4=×−(−)×2–√222–√32–√213=4+2–√6S S S 1S 2S 3=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅S 1a →a →a →a →b →b →b →b →b →b →=2+3a →2b →2=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅S 2a →b →a →b →b →b →b →a →b →a →=4⋅+a →b →b →2=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅S 3a →a →a →b →b →a →b →b →b →b →=+2⋅+2a →2a →b →b →2A ⊥a →b →=S min =S 2b →2B //a →b →⋅=||||a →b →a →b →−||||a →b →C ||>4||b →a →−4<⋅<4a →2a →b →a →2>16b →2a →2>0S 2>0S 3>0S 1>0S min D BD复数的运算共轭复数【解析】根据复数的运算得到，在对选项逐一判定即可得解.【解答】解：因为，所以,，，故正确；，因为，所以，故正确；， ，故错误；， ，故正确．故选.10.【答案】B,C,D【考点】互斥事件与对立事件【解析】本题中给了三个事件，四个选项都是研究互斥关系的，可先对每个事件进行分析，再考查四个选项得出正确答案．【解答】解：为"三件产品全不是次品"，指的是三件产品都是正品，为"三件产品全是次品"，为"三件产品不全是次品"，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件，由此知：与是互斥事件，但不对立；与是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；与是互斥事件，也是对立事件．故选．11.=−+i z 2123–√2z =+i 123–√2==+i +=−+i z 2(+i)123–√22143–√234i 2123–√2A =(−+i)(+i)=−=−1z 3123–√2123–√2(i)3–√2214A B =−i z ¯¯¯123–√2=−z 2z ¯¯¯B C 1z =1+i 123√2=−i 123√2(+i)(−i)123√2123√2=−i 123–√2C D −z +1=−+i −(+i)+1=0z 2123–√2123–√2D ABD A B C A B A C B C BCDA,B【考点】众数、中位数、平均数、百分位数极差、方差与标准差【解析】【解答】解：甲的五项能力指标为，，，，，平均值为，乙的五项能力指标为，，，，，平均值为，则正确；由于均值相同，各项指标也相同（只是顺序不同），所以方差也相同，则正确；从控制力、决断力、前瞻力考虑，甲的均值为，乙的均值为，所以甲的领导力高于乙的领导力，则不正确；从影响力、控制力、感召力考虑，甲、乙的指标均值相同，方差也相同，所以甲、乙水平相当，则不正确．故选．12.【答案】B,D【考点】棱锥的结构特征棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积截面及其作法【解析】计算出小棱锥与原棱锥的相似比，结合两个棱锥侧面积之积为相似比的平方、体积之比为相似比的立方可求得结果．【解答】解：由题意可知，上部分为小棱锥，下部分为棱台，则小棱锥与原棱锥的底面边长之比为，高之比为，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为，体积之比为，65454=4.86+5+4+5+4564545=4.86+4+5+4+55A B 143133C D AB 1:31:31:91:27所以小棱锥与棱台的侧面积之比为，体积之比为．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】余弦函数的对称性余弦函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：，令，则，∴的对称轴方程为.故答案为：.14.【答案】①⑤【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积命题的真假判断与应用【解析】利用已知条件，推出，然后推出，说明三棱锥的外接球相同，然后推出结果．【解答】不妨设＝，又为正三角形，由，得，即有，所以＝，1:81:26BD x =(k ∈Z)kπ2y =cos2x 2x =kπ,k ∈Z x =,k ∈Z kπ2y =cos2x x =(k ∈Z)kπ2x =(k ∈Z)kπ2DB ⊥AC <V 1V 2P −ACD |AD |2△ACD ⋅=⋅=3⋅DA →DB →DB →DC →DB →AB →⋅−⋅=⋅(−)=0DA →DB →DB →DC →DB →DA →DC →DB ⊥AC ∠ADB 30∘=3⋅→→=3⋅(−)→→DB |=4–√得，化简可以得，∴＝，易得，故，由于＝＝，所以与的外接圆相同（四点共圆），所以三棱锥，三棱锥的外接球相同，所以＝．15.【答案】，【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数、百分位数【解析】根据平均数的变化规律可得出数据，，，，的平均数是；先根据数据，，，，的方差为，求出数据，，，，的方差是．【解答】解：数据，，，，的平均数是，数据，，，，的平均数是.数据，，，，的方差为，数据，，，，的方差是．故答案为：，．16.【答案】【考点】异面直线及其所成的角【解析】将直三棱柱中的四棱锥单独如图所示，四棱锥是外接球的球心在过底面正方形的中心做底面的垂线上，设球心为，做交于点，可得＝，连接，可得＝＝，在两个三角形中求出的值，进而求出外接球的表面积．【解答】解：连接 ，取的中点，连接，，为中点， ，且 ，⋅=3⋅DB →DC →DB →AB →⋅=3⋅(−)DB →DC →DB →DB →DA →|DB |=43–√3∠DAB 90∘S <△ABD S △ACD <V 1V 2∠ADB ∠ACD 60∘△ABD △ACD P −ABD P −ACD S 1S 231−2x 1−2x 2−2x 3−2x 4−2x 55−2x 1x 2x 3x 4x 51−2x 1−2x 2−2x 3−2x 4−2x 51∵x 1x 2x 3x 4x 55∴−2x 1−2x 2−2x 3−2x 4−2x 55−2=3∵x 1x 2x 3x 4x 51∴−2x 1−2x 2−2x 3−2x 4−2x 5×1=11231π3O ON //P E ME N NE OP OC OM OC OM R R C B 1B 1C E DE BE ∵D AC ∴DE =A 12B 1DE//A B 1A B BD ∠BDE则异面线 与所成的角即为 ，， ，， ， , , ， 为等边三角形， .故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）17.【答案】解：（1）∵点的坐标为，∴，，∴，，∴（2）∵（，），，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【考点】三角函数【解析】（1）根据三角形函数线以及点的坐标，求出，，再根据二倍角公式，分别求出，，代入计算即可；（2）先表示出点的坐标，根据点与点的距离公式，根据三角函数的图象和性质即可求出，的取值范围．【解答】解：（1）∵点的坐标为，A B 1BD ∠BDE ∵∠ABC =90∘AB =BC =B =2B 1∴AC =22–√BD =2–√A =C =2B 1B 12–√∴DE =A =12B 12–√BE =C =12B 12–√∴△BDE ∴∠BDE =π3π3A (，)354545sinα=45cosα=35cos2α=2α−1=−cos 2725sin2α=2sinαcosα=2425==−cos2α1+sin2α−7251+242517B cos(α+)π3sin(α+)π3C(1,0)|BC =[cos(α+)−1+(α+)=2−2cos(α+)|2π3]2sin 2π3π30≤α≤π3≤α+≤π3π32π3−≤cos(α+)≤12π3121≤2−2cos(α+)≤3π31≤|BC |≤3–√A sinα=45cosα=35cos2αsin2αB BC A (，)354545α=4α=3∴，，∴，，∴（2）∵（，），，∴，∵，∴，∴，∴，∴．18.【答案】解：补全列联表如下：参加体育锻炼未参加体育锻炼总计男同学女同学总计所以，故有的把握认为“参加体育锻炼与性别有关系”．因为参加未体育锻炼的男同学有人，女同学有人，按分层抽样从中抽取人，则男同学应抽取人，记为，女同学应抽取人，记为，再从这人中随机抽取人共有种情况，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，抽到男同学和女同学各人有种情况，即，故所求的概率为．【考点】独立性检验列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】此题暂无解析sinα=45cosα=35cos2α=2α−1=−cos 2725sin2α=2sinαcosα=2425==−cos2α1+sin2α−7251+242517B cos(α+)π3sin(α+)π3C(1,0)|BC =[cos(α+)−1+(α+)=2−2cos(α+)|2π3]2sin 2π3π30≤α≤π3≤α+≤π3π32π3−≤cos(α+)≤12π3121≤2−2cos(α+)≤3π31≤|BC |≤3–√(1)351045202545553590=K 290(35×25−10×20)245×45×55×35=≈10.519>7.87910×27211×9×799.5%(2)102572x,y 5a ，b ，c ，d ，e 7221xy xa xb xc xd xe ya yb yc yd ye ab ac ad ae bc bd be cd ce de 110xa ，xb ，xc ，xd ，xe ，ya ，yb ，yc ，yd ，ye 1021【解答】解：补全列联表如下：参加体育锻炼未参加体育锻炼总计男同学女同学总计所以，故有的把握认为“参加体育锻炼与性别有关系”．因为参加未体育锻炼的男同学有人，女同学有人，按分层抽样从中抽取人，则男同学应抽取人，记为，女同学应抽取人，记为，再从这人中随机抽取人共有种情况，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，抽到男同学和女同学各人有种情况，即，故所求的概率为．19.【答案】证明：如图，设与相交于点，连接，又面为菱形，故，为中点，又＝，故，又在平面内，在平面内，且＝，∴平面，又在平面内，∴平面平面；由是等边三角形，可得，故平面，∴，，两两互相垂直，则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设＝，则，则，设平面的一个法向量为，则，可取，设平面的一个法向量为，则，可取，∴，∴二面角的余弦值为．(1)351045202545553590=K 290(35×25−10×20)245×45×55×35=≈10.519>7.87910×27211×9×799.5%(2)102572x,y 5a ，b ，c ，d ，e 7221xy xa xb xc xd xe ya yb yc yd ye ab ac ad ae bc bd be cd ce de 110xa ，xb ，xc ，xd ，xe ，ya ，yb ，yc ，yd ，ye 1021AC BD O O B 1ABCD AC ⊥BD O AC A B 1C B 1O ⊥AC B 1BD BD D 1B 1O B 1BD D 1B 1BD ∩O B 1O AC ⊥BD D 1B 1AC ABCD BD ⊥D 1B 1ABCD △D B B 1O ⊥BD B 1O ⊥B 1ABCD O B 1AC BD O AB 2AO =,O =3–√B 13–√A(,0,0),B(0,1,0),(0,0,),D(0,−1,0),(,−1,),(−,−1,)3–√B 13–√A 13–√3–√C 13–√3–√BD C 1=(x,y,z)n⋅=2y =0n BD →⋅=−x −y +z =0n O C 1→3–√3–√=(1,0,1)n BD A 1=(a,b,c)m⋅=2b =0m BD →⋅=a −b +c =0m O A 1→3–√3–√=(−1,0,1)m cos <,>==0m n ⋅m n ||||m n−BD −A 1C 10【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直【解析】（1）首先由，可得平面，而在平面内，由面面垂直的判定即得证；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式计算得出答案．【解答】证明：如图，设与相交于点，连接，又面为菱形，故，为中点，又＝，故，又在平面内，在平面内，且＝，∴平面，又在平面内，∴平面平面；由是等边三角形，可得，故平面，∴，，两两互相垂直，则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设＝，则，则，设平面的一个法向量为，则，可取，设平面的一个法向量为，则，可取，∴，∴二面角的余弦值为．AC ⊥BD O ⊥AC B 1AC ⊥BD D 1B 1AC ABCD AC BD O O B 1ABCD AC ⊥BD O AC A B 1C B 1O ⊥AC B 1BD BD D 1B 1O B 1BD D 1B 1BD ∩O B 1O AC ⊥BD D 1B 1AC ABCD BD ⊥D 1B 1ABCD △D B B 1O ⊥BD B 1O ⊥B 1ABCD O B 1AC BD O AB 2AO =,O =3–√B 13–√A(,0,0),B(0,1,0),(0,0,),D(0,−1,0),(,−1,),(−,−1,)3–√B 13–√A 13–√3–√C 13–√3–√BD C 1=(x,y,z)n⋅=2y =0n BD →⋅=−x −y +z =0n O C 1→3–√3–√=(1,0,1)n BD A 1=(a,b,c)m⋅=2b =0m BD →⋅=a −b +c =0m O A 1→3–√3–√=(−1,0,1)m cos <,>==0m n ⋅m n ||||m n−BD −A 1C 1020.【答案】由＝，＝，＝，所以，所以＝；所以，又，所以向量的夹角为；＝，所以．【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】（1）由平面向量的数量积求和的值；（2）根据平面向量的数量积求模长．【解答】由＝，＝，＝，所以，所以＝；所以，又，所以向量的夹角为；＝，所以．21.【答案】由＝，解得＝．第，组的人数分别为人，人，从第，组中用分层抽样的方法共抽取人，则第，组抽取的人数依次为人，人，分别记为，，，，；设从人中随机抽取人，则有，，，，，，，，，共个基本事件；其中第组恰好抽到人包含，，，，，共个基本事件；所以第组抽到人的概率．||a 6||b 4(−2)⋅(+3)a b a b −72+⋅−6=−72a 2a b b 2⋅=−72−36+6×16a b −12cosθ===−⋅a b ||×||a b −126×412θ∈[0,π],a b θ=2π3=+6⋅+9=36+6×(−12)+9×16(+3)a b 2a 2a b b 2108|+3|==6a b 108−−−√3–√cosθθ|+3|a b ||a 6||b 4(−2)⋅(+3)a b a b −72+⋅−6=−72a 2a b b 2⋅=−72−36+6×16a b −12cosθ===−⋅a b ||×||a b −126×412θ∈[0,π],a b θ=2π3=+6⋅+9=36+6×(−12)+9×16(+3)a b 2a 2a b b 2108|+3|==6a b 108−−−√3–√10×(0.010+0.015+a +0.030+0.010)1a 0.0351220301251223a 1a 2b 1b 2b 353(,,)a 1a 2b 1(,,)a 1a 2b 2(,,)a 1a 2b 3(,,)a 1b 1b 2(,,)a 1b 1b 3(,,)a 1b 2b 3(,,)a 2b 1b 2(,,)a 2b 1b 3(,,)a 2b 2b 3(,,)b 1b 2b 31022(,,)a 1b 1b 2(,,)a 1b 1b 3(,,)a 1b 2b 3(,,)a 2b 1b 2(,,)a 2b 1b 3(,,)a 2b 2b 3622P ==61035【考点】频率分布直方图【解析】（1）由频率分布直方图能求出．（2）第，组抽取的人数分别为人，人，从第，组中用分层抽样的方法抽取人，第，组抽取的人数分别为人，人，分别记为，，，，．从人中随机抽取人，利用列举法能求出第组抽到人的概率．【解答】由＝，解得＝．第，组的人数分别为人，人，从第，组中用分层抽样的方法共抽取人，则第，组抽取的人数依次为人，人，分别记为，，，，；设从人中随机抽取人，则有，，，，，，，，，共个基本事件；其中第组恰好抽到人包含，，，，，共个基本事件；所以第组抽到人的概率．22.【答案】证明：取线段的中点，连接，．因为是的中位线，所以．又因为＝，，所以＝，．所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面．所以平面．连接，取的中点，连接，．a 1220301251223a 1a 2b 1b 2b 3532210×(0.010+0.015+a +0.030+0.010)1a 0.0351220301251223a 1a 2b 1b 2b 353(,,)a 1a 2b 1(,,)a 1a 2b 2(,,)a 1a 2b 3(,,)a 1b 1b 2(,,)a 1b 1b 3(,,)a 1b 2b 3(,,)a 2b 1b 2(,,)a 2b 1b 3(,,)a 2b 2b 3(,,)b 1b 2b 31022(,,)a 1b 1b 2(,,)a 1b 1b 3(,,)a 1b 2b 3(,,)a 2b 1b 2(,,)a 2b 1b 3(,,)a 2b 2b 3622P ==61035AC F EF HF HF △ABC HF =BC =2,HF ∥BC 12DE 2DE//BC HF DE HF //DE DEFH EF //HD EF ⊂ACE DH ⊂ACE DH //ACE OB OB G HG DG易知，易知是的中位线，所以且．因为＝，为中点，，又，所以．因为，，所以．又＝，，平面，所以底面．所以是与底面所成的角．易求等腰梯形的高为所以＝．在中，由．得＝．故直线与底面所成角的大小为．【考点】直线与平面所成的角直线与平面平行【解析】（1）利用中位线的性质及平行线的传递性，可证四边形为平行四边形，由此即可得证；（2）关键是找出是与底面所成的角，进而转化到三角形中解三角形即可．【解答】证明：取线段的中点，连接，．因为是的中位线，所以．又因为＝，，所以＝，．OD =DE =1,AO ===212A −O D 2D 2−−−−−−−−−−√−()5–√212−−−−−−−−−√HG △AOB HG//AO HG =AO =112AD AE O DE AO ⊥DE HG//AO HG ⊥DE AO ⊥CE HG//AO HG ⊥CE DE ∩CE E DE CE ⊂DBCE HG ⊥DBCE ∠HDG DH DBCE DBCE ==2C −E 2()BC −DE 22−−−−−−−−−−−−−−−−−√−()5–√2()4−222−−−−−−−−−−−−−−√DG 1Rt △HDG tan ∠HDG ===1HG DG 11∠HDG 45∘DH DBCE 45∘DEFH ∠HDG DH DBCE AC F EF HF HF △ABC HF =BC =2,HF ∥BC 12DE 2DE//BC HF DE HF //DE DEFH所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面．所以平面．连接，取的中点，连接，．易知，易知是的中位线，所以且．因为＝，为中点，，又，所以．因为，，所以．又＝，，平面，所以底面．所以是与底面所成的角．易求等腰梯形的高为所以＝．在中，由．得＝．故直线与底面所成角的大小为．DEFH EF //HD EF ⊂ACE DH ⊂ACE DH //ACE OB OB G HG DG OD =DE =1,AO ===212A −O D 2D 2−−−−−−−−−−√−()5–√212−−−−−−−−−√HG △AOB HG//AO HG =AO =112AD AE O DE AO ⊥DE HG//AO HG ⊥DE AO ⊥CE HG//AO HG ⊥CE DE ∩CE E DE CE ⊂DBCE HG ⊥DBCE ∠HDG DH DBCE DBCE ==2C −E 2()BC −DE 22−−−−−−−−−−−−−−−−−√−()5–√2()4−222−−−−−−−−−−−−−−√DG 1Rt △HDG tan ∠HDG ===1HG DG 11∠HDG 45∘DH DBCE 45∘。

2022-2023学年福建省厦门市高一下学期期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年福建省厦门市高一下学期期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年福建省厦门市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知复数11iz =+，则复数z 共轭复数的虚部为（）A ．1-B ．1C ．12-D ．12【答案】D【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用共轭复数和复数的定义可得结果.【详解】()()11i 11i 1i 1i 1i 22z -===-++- ，则11i 22z =+，故复数z 共轭复数的虚部为12.故选：D.2．高一､1班有学生54人，高一､2班有学生42人，用分层抽样的方法从这两个班中抽出一部分人组成44⨯方队，进行会操比赛，则高一､1班和高一､2班分别被抽取的人数是（）A ．9､7B ．15､1C ．8､8D ．12､4【答案】A【分析】利用分层抽样的定义求解即可【详解】由题意得高一､1班被抽取的人数为541695442⨯=+人，高一､2班被抽取的人数421675442⨯=+人，故选：A3．甲､乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，下列说法错误的是（）A ．两人都做对的概率是0.72B ．恰好有一人做对的概率是0.26C ．两人都做错的概率是0.15D ．至少有一人做对的概率是0.98【答案】C【分析】甲乙两人做题属于相互独立事件，根据独立事件的乘法公式求得两人都做对的概率和两人都做错的概率，判断A,C;根据互斥事件的概率加法公式可求恰好有一人做对的概率，判断B ；至少有一人做对的概率等于1减去两人都做错的概率，判断D.【详解】由于甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，故两人都做对的概率是0.80.90.72⨯=，所以A 正确；恰好有一人做对的概率是0.8(10.9)(10.8)0.90.26⨯-+-⨯=，故B 正确；两人都做错的概率是(10.8)(10.9)0.02-⨯-=，故C 错误；至少有一人做对的概率是1(10.8)(10.9)0.98--⨯-=，故D 正确，故选：C4．已知向量(1,2)a =- ，(2,)b m = ，若a b ⊥，则m =（）A ．1-B ．1C ．14-D ．14【答案】B【分析】根据向量的数量积运算法则计算即可；【详解】因为a b ⊥，所以1220,1m m -⨯+==，故选：B.5．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶､掇球壶､石瓢壶､潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm ），那么该壶的最大盛水量为（）A ．368cm πB ．3152cm πC ．32010cm πD ．3204cm π【答案】B【分析】由题得上底面半径为4，下底面半径为6，圆台高为6，代入台体体积公式，即可得答案.【详解】由题意得上底面半径为4，面积21=4=16S ππ⨯，下底面半径为6，面积22=6=36S ππ⨯，圆台高h 为6，则圆台的体积()()121211=++16361636615233V S S S S h πππππ=++⨯⨯=3cm .故选：B6．已知复数1z ，2z ，则“12z z R ⋅∈”是“12z z =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】取112z i =+，224i z =-举例说明充分性不成立；再由复数的乘法运算证明必要性成立，由此即可得出结论.【详解】举反例说明充分性不成立：取112z i =+，224i z =-，则()()1212i 24i =2+8=10z z R =+-∈⋅，但得不出12z z =，下面证明必要性成立：若i z a b =+(),,0a b R b ∈≠，则z 的共轭如实为i z a b =-，所以()()22i i z z a b a b a b R ⋅=-+=+∈成立，所以由1z 与2z 互为共轭复数能得到12z z R ⋅∈；所以“12z z R ⋅∈”是“12z z =”的必要不充分条件.故选：B7．在ABC 中，角A ､B ､C 对边分别为a ､b ､c ，且cos 3sin 3A aB b=，当7a =，2b =时，ABC 的面积是（）A ．32B ．72C ．332D ．372【答案】C【分析】利用正弦定理求出3A π=，利用余弦定理求出3c =，即可求出ABC 的面积.【详解】对于cos 3sin 3A aB b =，用正弦定理得：cos 3sin sin 3sin A A B B=.因为()0,A π∈，且tan 3A =,所以3A π=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2174222c c =+-⨯⨯,解得：3c =（1c =-舍去）.所以ABC 的面积是11333sin 232222S bc A ==⨯⨯⨯=.故选：C8．某零件加工厂认定工人通过试用期的方法为：随机选取试用期中的5天，再从每天生产的零件中分别随机抽取25件，要求每天合格品均不低于22件．若甲、乙、丙三人在其5天抽检样本中的合格品件数统计如下，甲：中位数为24，极差不超过2；乙：平均数为23，方差不超过1；丙：众数为23，方差不超过1，则一定能．．．通过试用期的有（）A ．甲、乙B ．甲、丙C ．乙、丙D ．甲、乙、丙【答案】A【分析】根据甲乙丙的统计数据，判断他们的合格品数是否有可能低于22，只要不低于22，则一定能通过.【详解】对于甲：由甲的统计数据可知，甲至少有3天的合格品数不低于24，最低合格品数不低于2，所以甲一定能通过；对于乙：设乙每天的合格品件数为(1,2,3,4,5),iia i a Z =∈，则521(23)15ii a =-≤∑，即521(23)5i i a =-≤∑.若乙有不止一天的合格品数低于21，521(23)5i i a =->∑，不合题意；若乙只有一天的合格品数低于22，不妨取121a =，21(23)4a -=，因为平均数为23，则至少有一天的合格品数为25或至少有两天的合格品数为24，无论哪种情况，都可以得到521(23)5i i a =->∑，不合题意，所以乙的每一天的合格品数都不低于22，乙一定能通过；对于丙：若丙的合格品数为21，22，23，23，23，则丙的众数为23，方差为0.64，符合丙的统计数据，但丙不能通过；所以甲、乙一定能通过，A 正确；故选：A.二、多选题9．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的扇形图．则下面结论中正确的是（）A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】BCD【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为a ，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2a ，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前农村的经济收入为a ，则新农村建设后农村的经济收入为2a ，对A ，新农村建设前的种植收入为60%0.6a a ⨯=，新农村建设后的种植收入为237%0.74a a ⨯=，种植收入增加，故A 错误；对B ，新农村建设前的其他收入为4%0.04a a ⨯=，新农村建设后的其他收入为25%0.1a a ⨯=，增加了一倍以上，故B 正确；对C ，新农村建设前的养殖收入为30%0.3a a ⨯=，新农村建设后的养殖收入为230%0.6a a ⨯=，增加了一倍，故C 正确；对D ，新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和为()230%28% 1.16a a ⨯+=，超过了经济收入的一半，故D 正确.故选：BCD.10．已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且π3C ∠=，c =2．则下列结论正确的是（）A ．△ABC 的周长最大值为6B ．AC AB ⋅的最大值为4323+C ．cos cos 2b A a B +=D ．cos cos BA 的取值范围为()3,3,2∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】AB【分析】A 选项，利用余弦定理和基本不等式即可求解周长的最大值；B 选项，先利用向量的数量积计算公式和余弦定理得2242b a AC AB +-⋅= ，再利用正弦定理和三角恒等变换得到2283πcos 236b a B ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，结合B 的取值范围即可求出AC AB ⋅ 的最大值；C 选项，结合B 选项中的正弦定理进行求解即可；D 选项，用()cos cos B A C =-+进行变换得到cos 31tan cos 22B A A =-，结合A 的取值范围即可得到cos cos BA的取值范围．【详解】对于A ，由余弦定理得2241cos 22a b C ab +-==，解得224a b ab +=+，所以()22+343+42a b a b ab ⎛⎫+=+≤⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时，等号成立，解得+4a b ≤，当且仅当2a b ==时，等号成立，则△ABC 周长4+26l a b c =++≤=，所以△ABC 周长的最大值为6，故A 正确；对于B ，由222224cos 22b c a b a AC AB AC AB A bc bc +-+-⋅=⋅=⋅=，又由正弦定理得243πsin sin 3sin3a b A B ===，则43sin 3a A =，43sin 3b B =，所以()22222216162πsin sin sin sin 333b a B A B B ⎡⎤⎛⎫-=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4π1cos 2161cos 283π3cos 232236B B B ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥-⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=-- ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦，因为2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ7π2,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则2283πcos 236b a B ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭的最大值为833，即2242b a +-的最大值为4323+，所以AC AB ⋅的最大值为4323+，故B 正确；对于C ，结合B 选项得()()434343433cos cos sin cos sin cos sin sin 233332b A a B B A A B A B C +=+=+==⨯=，故C 错误；对于D ，由π31cos sin cos cos 31322tan cos cos cos 22A A A B A A A A ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭===-，又2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()tan ,30,A ∞∞∈--⋃+，所以()311tan ,2,222A ∞∞⎛⎫-∈--⋃-+ ⎪⎝⎭，故D 错误．故选：AB ．【点睛】三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解．11．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上一面的点数，用x 表示红色骰子的点数，y 表示绿色骰子的点数，定义事件：A =“7x y +=”，B =“xy 为奇数”，C =“3x >”，则下列结论错误的是（）A ．B 与C 相互独立B ．A 与B 对立C ．A 与C 相互独立D ．A 与B 互斥但不对立【答案】CD【分析】应用表格列举出(,)x y xy +的所有可能情况，根据题设描述及独立事件、互斥、对立事件定义判断各项正误即可.【详解】下表中行表示x ，列表示y ，则(,)x y xy +1234561(2,1)(3,2)(4,3)(5,4)(6,5)(7,6)2(3,2)(4,4)(5,6)(6,8)(7,10)(8,12)3(4,3)(5,6)(6,9)(7,12)(8,15)(9,18)4(5,4)(6,8)(7,12)(8,16)(9,20)(10,24)5(6,5)(7,10)(8,15)(9,20)(10,25)(11,30)6(7,6)(8,12)(9,18)(10,24)(11,30)(12,36)满足事件A 有(7,6)、(7,10)、(7,12)、(7,12)、(7,10)、(7,6)共6种，满足事件B 有(2,1)、(4,3)、(6,5)、(4,3)、(6,9)、(8,15)、(6,5)、(8,15)、(10,25)共9种，满足事件C 有(5,4)、(6,5)、(7,6)、(6,8)、(7,10)、(8,12)、(7,12)、(8,15)、(9,18)、(8,16)、(9,20)、(10,24)、(9,20)、(10,25)、(11,30)、(10,24)、(11,30)、(12,36)，即后3列，共18种，所以事件AB 有0种，事件BC 有3种，事件AC 有3种，则B 错，D 对，所以1()6P A =，1()4P B =，1()2P C =，()0P AB =，1()()12P AC P BC ==，则()()()P BC P B P C ≠，()()()P AC P A P C =，A 错，C 对，故选：CD12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、E 、F 分别为1CC 、BC 、CD 的中点，则下列说法正确的是（）A ．AP 与EF 所成角为60︒B ．点1A 到平面PEF 的距离为334C ．直线1A B 与平面PEF 所成角的正弦值为63D ．平面1PED 截正方体得到的截面图形是梯形【答案】CD【分析】对于A ，连接,AC BD ，交于点O ，则由正方体的性质和三角形的中位线定理可得EF AP ⊥，从而可求得AP 与EF 所成角，对于BC ，建立如所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解，对于D ，连接11,,BC AD AE ，利用正方体的性质和三角形的中位线定理可得结论【详解】对于A ，连接,AC BD ，交于点O ，则AC BD ⊥，因为1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥，因为1AC CC C = ，所以BD ⊥平面ACP ，因为AP ⊂平面ACP ，所以BD AP ⊥，因为E 、F 分别为BC 、CD 的中点，所以E 、F 分别为1CC 、BC 、CD 的中点，EF ∥BD ,所以EF AP ⊥，所以AP 与EF 所成角为90︒，所以A 错误，对于B ，如图建立空间直角坐标系，则1111(1,0,1),(,1,0),(0,,0),(0,1,)222A E F P ，(1,1,0)B所以111111(1,1,),(,,0),(0,,)22222PA EF FP =-=--= ,设平面PEF 的法向量为(,,)n x y z =，则1102211022n EF x y n FP y z ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令1z =，则(1,1,1)n =- ，所以点1A 到平面PEF 的距离为111153263PA n d n ++⋅===，所以B 错误，对于C ，1(0,1,1)BA =-，设直线1A B 与平面PEF 所成角为θ，则126sin cos ,332BA n θ===⨯，所以C正确，对于D ，如图，连接11,,BC AD AE ，则1BC ∥1AD ，11BC AD =，因为点P 、E 分别为1CC 、BC 的中点，所以EP ∥1BC ，112EP BC =，所以EP ∥1AD ，112EP AD =，所以四边形1AEPD 为梯形，所以平面1PED 截正方体得到的截面图形是梯形，所以D正确故选：CD三、填空题13．向量(1,2)a = ，向量(1,0)b =- ，则b 在a上的投影向量是.【答案】12(,)55--【分析】根据投影向量的定义写出b 在a上的投影向量.【详解】b 在a上的投影向量为21(1)2012(1,2)(,)55||||(5)a b a a a ⋅⨯-+⨯⋅=⋅=--.故答案为：12(,)55--14．ABC 中，5AB AC ==，8BC =，则此三角形的外接圆半径是.【答案】256【分析】根据余弦定理，可得cos A ，进而可得sin A 的值，根据正弦定理，即可得答案.【详解】由余弦定理得2222525647cos 225525AC AB BC A AC AB +-+-===-⋅⨯⨯，因为(0,)A π∈，所以224sin 1cos 25A A =-=，设外接圆半径为R ，由正弦定理得8224sin 25BC R A ==，解得256R =故答案为：25615．某单位对全体职工的某项指标进行调查．现按照性别进行分层抽样，得到男职工样本20个，其平均数和方差分别为7和4；女职工样本5个，其平均数和方差分别为8和1，以此估计总体方差为．【答案】3.56【分析】结合平均数和方差的公式即可求出结果.【详解】解：设男职工的指标数分别为1220,,,x x x ，女职工的指标数分别为125,,,y y y ，则()20202117742020ii i i x x ,==-==∑∑，()5521188155ii i i y y ,==-==∑∑，所以2020211140802049i ii i x ,x ====+⨯∑∑，55211405564i i i i y ,y ====+⨯∑∑，所以本次调查的总样本的平均数为2051114040722525i i i i x y .==++==∑∑，本次调查的总样本的方差是()()2052211727225i i i i x .y .==-+-∑∑20205522221111144207214457225i i i i i i i i x .x .y .y .====-+⨯+-+⨯=∑∑∑∑228020492072556457225..+⨯-⨯++⨯-⨯=3.56=故答案为：3.56四、双空题16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，2AC =，3BC =，13CC =，则该直三棱柱外接球的表面积为；设P 为线段1B C 上的动点，则1AP PC +的最小值为．【答案】16π19【分析】根据题意将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体1111ACBD A C B D -，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，从而可求出直三棱柱外接球的表面积，将11C B C △绕1B C 展开至与平面11BCC B 垂直的位置，则11,,,A C C B 共面，连接1AC ，则1AC 的长就是1AP PC +的最小值，然后利用余弦定理可求得结果【详解】因为直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，所以将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体1111ACBD A C B D -，如图所示，所以直三棱柱111ABC A B C -的外接球就是长方体1111ACBD A C B D -外接球，因为2AC =，3BC =，13CC =，所以外接球的直径为222124394R AC BC CC =++=++=，所以外接球的半径为2R =，所以直三棱柱外接球的表面积为24216ππ⨯=，直三棱柱中，侧面与底面垂直，因为AC BC ⊥，平面ABC ⊥平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以AC ⊥平面11BCC B ，因为1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AC B C ⊥，将11C B C △绕1B C 展开至与平面11BCC B 垂直的位置，则11,,,A C C B 共面，如图所示，连接1AC ，则1AC 的长就是1AP PC +的最小值，在11CC B 中，1111190,3,3B C C B C CC ∠=︒==，则13923B C =+=，在1ACB 中，190,2ACB AC ∠=︒=，在1ACC △中，由余弦定理得22211112cos AC AC CC AC CC ACC =+-⋅∠1149223cos(90)B CC =+-⨯⨯︒+∠11312sin B CC=+∠1111312B C B C=+⨯313121923=+⨯=,所以119AC =，所以1AP PC +的最小值为19，故答案为：16π，19五、解答题17．已知向量()()1,0,3,a b a a b ==⊥- ．(1)求a b + ；(2)求a 与a b + 的夹角的余弦值．【答案】(1)23(2)33【分析】（1）由()a ab ⊥- 可求出1a b ⋅= ，再将数量积和模长代入即可求出答案.（2）由向量的夹角公式代入即可求出答案.【详解】（1）因为()1,0a = ，所以1a = 由()a ab ⊥- 得()20a a b a a b ⋅-=-⋅= 解得1a b ⋅= ．所以2||a b a b +=+ 22222121323a a b b =+⋅+=+⨯+= ．（2）因为()22a a b a a b ⋅+=+⋅= ．所以()cos ,a a b a a b a a b ⋅++=+ ．23323==所以a 与a b + 的夹角的余弦值33．18．《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图，在阳马S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，E 为SD 的中点.(1)求证：SB ∥平面EAC ；(2)若SA AD =，求证：AE SC ⊥.【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明；（2）根据线面垂直的判定定理和性质定理分析证明.【详解】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，∵,O E 分别为,BD SD 的中点，则SB OE ，SB ⊄平面EAC ，OE ⊂平面EAC ，∴SB 平面EAC .（2）∵SA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴SA CD ⊥，又∵ABCD 为矩形，则AD CD ⊥，且,SA AD ⊂平面SAD ，SA AD A⋂=∴CD ⊥平面SAD ，由AE ⊂平面SAD ，可得CD AE ⊥，若SA AD =，且E 为SD 的中点，则SD AE ⊥，,CD SD ⊂平面SCD ，CD SD D ⋂=，则⊥AE 平面SCD ，SC ⊂平面SCD ，故AE SC ⊥.19．中国共产党第二十次全国代表大会将于2022年下半年在北京召开．某学校组织全校学生进行了一次“党代会知识知多少？的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间[]50,100，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中a 的值，并估计这40名学生测试成绩的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(2)利用比例分配的分层随机抽样方法，从成绩不低于80分的学生中抽取7人组成党代会知识宣讲团．若从这选定的7人中随机抽取2人，求至少有1人测试成绩位于区间[]90,100的概率．【答案】(1)0.03a =；平均数为74.5，中位数为75．(2)1121【分析】（1）通过频率分布直方图中所有小矩形的面积之和等于1求出a ，进而可求得平均数及中位数；（2）列出7人中随机抽取2人的21种情况，确定至少有1人测试成绩位于区间[]90,100有11种，即可得解.【详解】（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以()100.0150.020.0250.011⨯++++=a ，解得0.03a =．所以样本中40名学生的测试成绩的平均数550.15650.2750.3850.25950.174.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．设这40名学生的测试成绩的中位数为x ，由于前2组频率之和为0.35，前3组频率之和为0.65，故中位数落在第3组，于是有()700.030.350.5-⨯+=x ，解得75x =．即这40名学生的测试成绩的中位数为75．（2）由分层随机抽样可知，在区间[]80,90应抽取5人，记为a ，b ，c ，d ，e ，在区间[]90,100应抽取2人，记为A ，B ，从中任取2人的所有可能结果为：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a A ，(),a B ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b A ，(),b B ，(),c d ，(),c e ，(),c A ，(),c B ，(),d e ，(),d A ，(),d B ，(),e A ，(),e B ，(),A B ，共21种．其中至少有一人测试成绩位于区间[]90,100内有：(),a A ，(),a B ，(),b A ，(),b B ，(),c A ，(),c B ，(),d A ，(),d B ，(),e A ，(),e B ，(),A B ，共11种．所以，至少有一人的测试成绩位于区间[]90,100内的概率为1121．20．如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为梯形，其中//,224,60AB DC AB BC CD BCD ∠==== ，平面PBD ⊥平面ABCD .(1)证明：PB AD ⊥；(2)若PB PD =，且PA 与平面ABCD 所成角的正弦值为32222，求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)33.【分析】（1）在梯形中结合余弦定理证明AD BD ⊥，再利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理作答.（2）取BD 中点O ，利用线面角求出四棱锥的高PO ，再计算体积作答.【详解】（1）因2,60BC CD BCD ∠=== ，则BCD △为等边三角形，即122BD AB ==，又//AB DC ，有=60ABD ∠︒，在ABD △中，222221=+2cos =4+2242=122AD AB BD AB BD ABD -⋅∠-⨯⨯⨯，于是得222AD BD AB +=，即AD BD ⊥，而平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD 平面=ABCD BD ，AD ⊂平面ABCD ，因此AD ⊥平面PBD ，又PB ⊂平面PBD ，所以PB AD ⊥.（2）取BD 中点O ，连PO ，如图，PB PD =，则PO BD ⊥，平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD 平面=ABCD BD ，PO ⊂平面PBD ，则PO ⊥平面ABCD ，连接AO ，则AO 为PA 在平面ABCD 内的射影，即∠PAO 为PA 与平面ABCD 所成角，有322sin 22PAO ∠=，则3an 133t 1PAO ∠=，而2213AO AD DO =+=，于是得3PO =，梯形ABCD 的面积为2213132322332424ABD BCD S S S AD BD BC =+=⋅+=⨯⨯+⨯= ，所以四棱锥P ABCD -的体积133331333P ABCDS PO V -=⨯⨯==⋅.21．甲、乙、丙、丁四名选手进行羽毛球单打比赛．比赛采用单循环赛制，即任意两位参赛选手之间均进行一场比赛．每场比赛实行三局两胜制，即最先获取两局的选手获得胜利，本场比赛随即结束．假定每场比赛、每局比赛结果互不影响．(1)若甲、乙比赛时，甲每局获胜的概率为23，求甲获得本场比赛胜利的概率；(2)若甲与乙、丙、丁每场比赛获胜的概率分别为12，23，34，试确定甲第二场比赛的对手，使得甲在三场比赛中恰好连胜两场的概率最大．【答案】(1)2027(2)丁【分析】（1）分第一局第二局，第一局第三局，第二局第三局获胜求解；（2）分甲在第二场甲胜乙，甲胜丙，甲胜丁求解.【详解】（1）解：设甲在第i 局获胜为事件()1,2,3i A i =，事件B =“甲获得本场比赛胜利”，则()()12123123B A A A A A A A A =⋃⋃，所以()2222222220113333333327P B ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）若甲在第二场与乙比赛，则甲胜乙，且在甲丙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场．此时，甲恰好连胜两场的概率11232351122343412P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；若甲在第二场与丙比赛，则甲胜丙，且在甲与乙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场．此时，甲恰好连胜两场的概率2231312112342423P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；若甲在第二场与丁比赛，则甲胜丁，且在甲与乙、甲与丙的比赛中，甲只胜一场．此时，甲恰好连胜两场的概率3312123112423234P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．因为123P P P <<，所以，甲在第二场与丁比赛时，甲恰好连胜两场的概率最大．22．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 3sin 0a C a C b c +--=．(1)若ABC 的面积为34，求a 的最小值；(2)若π3A =，BC 边上的中线长为52，且ABC 的外接圆半径为3，求ABC 的周长．【答案】(1)1(2)333+．【分析】（1）由cos 3sin 0a C a C b c +--=和ABC 的面积为34，可得π3A =，bc ＝1，后由余弦定理结合基本不等式可得答案；（2）由ABC 的外接圆半径为3，结合正弦定理可得3a =.由BC 的中点为E ，可得2225c b bc ++=，后由余弦定理可得答案.【详解】（1）2cos 3sin 0cos 3sin a C a C b c ab C ab C b bc+--=⇒+=+()222222233231222cos a b c b bc b c a bc bc A +-⇒+=+⇒+-+=⇒+=，又13sin 24bc A =，则2232212322sin cos sin tan cos cos A A A A A A ===+，又()0,πA ∈，则π3A =.13sin 124ABC S bc A bc ==⇒= ，又2221cos 22b c a A bc +-==，所以2221b c a +-=，则22222122b c a bc a a =+--=-≥，解得1a ≥，当且仅当b ＝c ＝1时取等号，故a 的最小值为1；（2）由正弦定理得23sin 3a A ==，设BC 的中点为E ，则1()2AE AB AC =+ ，两边平方得()22212cos 4AE AB AC AB AC A =++⋅⋅ ，即()2225124c b bc ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2225c b bc ⇒++=①由余弦定理得222222cos 9a b c bc A b c bc =+-=+-=②，①－②得8bc =，又22()39a b c bc =+-=，解得33b c +=，故ABC 的周长为333a b c ++=+．。

2023-2024学年北京市丰台区高一下学期期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市丰台区高一下学期期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市丰台区高一下学期期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数，则()A.1B.C.2D.42.已知点，，，若，则m的值为()A. B. C.1 D.33.已知复数z满足，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.一个盒子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球和2个白球，若从中任取2个球，则“恰有1个红球”的概率是()A. B. C. D.5.已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，，…，的平均数为，方差为，则()A.，B.，C.，D.，6.在正方体中，直线与直线所成角的大小为()A. B. C. D.7.在中，点D是边AB的中点．记，，则()A. B. C. D.8.同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，记事件“点数之和为5”，事件“点数之积为6”，事件“至少有一个点数为3”，事件“点数都不为3”，则()A.为不可能事件B.A与B相互独立C.B与D互斥D.C与D互为对立9.已知直线a，b与平面，，，下列说法正确的是()A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则10.八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象.八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点O为该正八边形的中心，设，点P是正八边形ABCDEFGH边上任一点，下列结论中正确的个数是()①与的夹角为；②；③在上的投影向量为其中为与同向的单位向量；④的取值范围是A.1B.2C.3D.4二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.设A，B是一个随机试验中的两个互斥事件，，，则__________.12.已知复数z和都是纯虚数，则__________.13.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知，那么__________，若，，则__________.14.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成如图已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的高为2cm，则该圆柱的体积为__________，该陀螺的表面积为__________.15.已知正方体中，点E，F，G分别为棱AB，，的中点，给出下列四个结论：①直线FG与平面相交；②直线平面EFG；③若，则点D到平面的距离为；④该正方体的棱所在直线与平面EFG所成的角都相等.其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共6小题，共72分。

河南省郑州市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学含答案

河南省郑州市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学含答案

2024学年郑州市高一年级（下）期末考试数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每道选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题p ：0x ∃>，0y >，使得不等式(5x y λ+>++成立，则命题p 成立的一个充分不必要条件可以是（）A.52λλ⎧⎪≥⎨⎪⎪⎩⎭B.53λλ⎧⎪≥⎨⎪⎪⎩⎭C.54λλ⎧⎪>⎨⎪⎪⎩⎭D.55λλ⎧⎪>⎨⎪⎪⎩⎭2.已知 1.30.920.9, 1.3,log 3a b c ===，则（）A.a c b <<B.c a b <<C .a b c<< D.c b a<<3.将函数()πcos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()()242h x g x x x =-+-的零点个数为（）A.1B.2C.3D.44.甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为123,,234且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（）A.14B.724C.1124D.17245.华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A.sin ()2xf x = B.cos ()2xf x = C.()sin 12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.()cos 12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭6.在ABC 中，D 为BC 上一点，且3BD DC =，ABC CAD ∠=∠，2π3BAD ∠=，则tan ABC ∠=（）A.3913B.133C.33D.357.已知π02α<<，()2ππ1sin 2sin 2cos cos 2714αα+=，则α=（）A.3π14B.5π28C.π7D.π148.已知z 是复数，z 是其共轭复数，则下列命题中正确的是（）A.22z z= B.若1z =，则1i z --1+C.若()212i z =-，则复平面内z 对应的点位于第一象限D.若13i -是关于x 的方程20(R)x px q p q ++=∈,的一个根，则8q =-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.已知函数()()()sin 0,0,π2πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点()π0,1,,13⎛⎫-⎪⎝⎭，则（）A.11π6ϕ=B.3ω=C.()f x 在π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D.方程()()21f x a a =-<<-在0,π]［内恰有4个互不相等的实根10.已知a ，b ，c是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（）A.一定存在实数x ，y 使得a xb yc =+成立B.若a b a c ⋅=⋅，那么一定有()a b c⊥- C.若()()a c b c -⊥-，那么2a b a b c-=+- D .若()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ，那么a ，b ，c 一定相互平行11.已知函数2()2sin cos 23cos f x x x x =-，则下列结论中正确的有（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.()f x 的对称轴为ππ32k x =+，k ∈Z C.()f x 的对称中心为ππ(0)3,2k +，k ∈ZD.()f x 的单调递增区间为π5π[π,π]1212k k -++，k ∈Z 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知142x y >->-，，且21x y +=，则19214x y +++的最小值为_________.13.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为R ，球冠的高是h ，球冠的表面积公式是2πS Rh =，如图2，已知,C D 是以AB 为直径的圆上的两点，π,6π3COD AOC BOD S ∠=∠==扇形，则扇形COD 绕直线AB 旋转一周形成的几何体的表面积为__________.14.已知点O 是ABC 的外心，60BAC ∠=︒，设AO mAB nAC =+，且实数m ，n 满足42m n +=，则mn 的值是___________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知,a b R ∈且0a >，函数4()4x xbf x a+=-是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）对任意(0,)x ∈+∞，不等式()02x mf x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.16.本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，得到如图所示频率分布直方图.（1）估计该校高二学生数学成绩的平均数和85%分位数；（2）为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在[)60,70的概率.17.已知ABC 的面积为9，点D 在BC 边上，2CD DB =．（1）若4cos 5BAC ∠=，AD DC =，①证明：sin 2sin ABD BAD ∠=∠；②求AC ；（2）若AB BC =，求AD 的最小值．18.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r，2AFFB =.（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为33，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.19.已知),cos2a x x =，()2cos ,1b x =- ，记()()R f x a b x =⋅∈（1）求函数()y f x =的值域；（2）求函数()y f x =，[]0,πx ∈的单调减区间；（3）若()π24F x f x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，π0,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恰有2个零点12,x x ，求实数m 的取值范围和12x x +的值．2024学年郑州市高一年级（下）期末考试数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每道选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

湖南2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案

湖南2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案

湖南2023-2024学年度高一第二学期期末考试数学（答案在最后）命题人时量：120分钟满分：150分得分：_______一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．）1．已知点()2,1,4A --，则点A 关于x 轴的对称点的坐标为A ．()2,1,4---B ．()2,1,4--C ．()2,1,4D ．()2,1,4--2．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性A ．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大B ．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小C ．与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等D ．与第几次抽样无关，与样本量也无关3．已知x ，C y ∈，则“1x y ==”是“1x yi i +=+”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数为3，方差为12，则另一组数据132x -，232x -，332x -，432x -，532x -的平均数、方差分别为A ．3，12B ．3，1C ．7，32D ．7，925．已知向量()1,2a =r ，()2,2b =-r ，()1,c λ=r．若()2c a b ⊥+r r r ，则λ=A ．12-B ．12C ．-2D ．26．如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 的中点，F 为PC 上一点，当PA ∥平面EBF 时，PFFC=A ．23B ．14C ．13D ．127．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy ）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量()11,a x y =r，()22,b x y =r ，由a b a b ⋅≤r r r r 得到()()()2222212121122x x y y x y x y +≤++，当且仅当1221x y x y =时取等号．现已知0a ≥，0b ≥，5a b +=223a b +++的最大值为A ．18B ．9C ．23D ．338．冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、31x +猜想等，其描述为：任一正整数x ，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为奇数的概率为A ．110B ．35C ．710D ．56二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分．）9．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情．某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，从1000名参赛师生中随机选取100人的竞赛成绩作为样本（满分100分成绩取整数）得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是A ．a 的值为0.05B ．估计这100人竞赛成绩的众数为75C ．1000名参赛师生中成绩低于60分的约有25人D ．以频率估计概率．从1000名参赛师生中随机抽取1人，该选手成不低于90分的概率为0.0510．在ABC △中，角A 、B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下说法正确的是A ．若AB >，则sin sin A B>B ．若4a =，5b =，6c =，则ABC △为钝角三角形C ．若5a =，10b =，4A π=，则符合条件的三角形不存在D ．若cos cos a A b B =，则ABC △一定是等腰三角形11．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AB AD AA ===，1160DAB A AB A AD ∠=∠=∠=︒，若1AQ mAB nAD p AA =++，其中m ，n []0,1∈，则下列结论正确的有A ．若点Q 在平面1111ABCD 内，则1p =B ．若CQ DB ⊥，则m n =C ．当12p =时，三棱锥Q ABD -的体积为928D ．当1m n +=时，CQ 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．）12．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层随机抽的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品抽取了3件，则n =______．13．角α，β满足()()sin cos sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+⎪⎝⎭，则()tan αβ-=______．14．如图，边长为4的正方形ABCD 中，半径为1的动圆Q 的圆心Q 在边CD 和DA 上移动（包含端点A ，C ，D ），P 是圆Q 上及其内部的动点，设(),R BP mBC nBA m n =+∈，则m n +的取值范围是______．四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题13分）已知ABC △的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且2b =，()2213a c =-+．（1）求A ；（2）若4sin sin a A B =，求cos C 的值．16．（本小题15分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA PD =，直线PA 与BC 所成的角的正切值等于2，3PB =，M ，N 分别是PB ，PC 的中点．（1）判断直线AM 和DN 的位置关系并说明理由；（2）证明：平面PAD /平面ABCD ；（3）求平面MPD 与平面APD 夹角的余弦值．17．（本小题15分）某校举办“创新杯”围棋比赛活动，经过激烈的角逐后，甲、乙两名选手进入到最后的决赛，决赛采用五局三胜的赛制，决出最后的冠军．通过分析，若甲先下，则甲赢的概率为34，若乙先下，则乙赢的概率为23，每局没有和棋，不同局的结果互不影响．已知第一局甲先下，甲、乙两人依次轮流先下．（1）求比赛四局乙赢的概率；（2）已知前两局甲、乙各赢一局，求比赛五局结束的概率．18．（本小题17分）如图，已知正方体ABCD EFGH -的棱长为2，点M ，N 分别在线段AB ，BF 上．（1）当AM FN =时，求异面直线EM 与GN 所成角的取值范围；（2）已知线段HN 的中点为点K ，当2AM FN +=时，求三棱锥MNK 的体积的最小值．19．（本小题17分）已知函数()y f x =，若存在实数m ，()0k m ≠，使得对于定义域内的任意实数x ，均有()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数，有序数对(),m k 称为函数()f x的“平衡”数对．（1）若()2f x x =，求函数()f x 的“平衡”数对；（2）若1m =，判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；（3）若1m ，2m R ∈，且1,2m π⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,4m π⎛⎫ ⎪⎝⎭均为函数()cos 204f x x x π⎛⎫=< ⎪⎝⎭≤的“平衡”数对，求2212m m +的取值范围．湖南2023—2024学年度高一第二学期期末考试数学参考答案题号1234567891011答案BCADCDDABDACABD一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．）1．B 【解析】空间点关于x 轴对称，横坐标不变，另外两个坐标相反，所以点A 关于x 轴的对称点为()2,1,4--．故选B ．2．C 【解析】在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性均相同，与第几次抽样无关，但和要抽取的样本量有关，样本量越大，被抽到的概率越大．故选C ．3．A 【解析】略三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．1313．-114．1,244⎡-+⎢⎣⎦四、解答题（本大题共5个小题．共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．【解析】（1）由已知条件得()2222221322a c c c c bc b =-+=-+=-+．由余弦定理可得2222221cos 2222b c a b c c bc b bc A bc bc bc +-+-+-====，因为()0,A π∈，所以3A π=．（2）若4sin sin a A B =，则结合正弦定理得sin sin sin sin 24B A B Bb α===．所以21sin 2B =，从而sin 2B =，得4B π=或34B π=．而23B AC A πππ=--<-=，故4B π=．所以()()cos cos cos C A B A B π=--=-+sin sin cos cos A B A B =-321262sinsin cos cos 343422224ππππ-=-=⋅-⋅=．16．【解析】（1）直线AM 与DN 相交．由M ，N 分别是PB ，PC 的中点，故MN BC ∥，12MN BC =，又BC AD ∥，所以四边形AMND 为梯形，且AM 与DN 是梯形的两条腰，故直线AM 与DN 相交．（2）取AD 的中点为O ，连接PO ，BO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥，因为BC AD ∥，所以∠PAD 就是直线PA 与BC 所成的角，所以tan 2PAD ∠=，又底面ABCD 是边长为2的正方形，所以22AB AD AO ===，1AO =，BO =，由tan 2PAD POAO==∠得2PO =，又3PB =，则有222PB PO BO =+，所以PO BO ⊥，又AD ，BO ⊂平面ABCD ，BO AD O =I ，所以PO ⊥平面ABCD ，而PO ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．（3）因为M 是PB 的中点，所以平面MPD 即为平面BPD ，在正方形ABCD 中，取BC 的中点Q ，连接OQ ，则OQ AD ⊥，又由（2）知PO ⊥平面ABCD ，故以O 为原点，OQ ，OA ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,2P ，(2,2,0)BD =--u u u r ，(2,1,2)BP =--u u u r，设平面BPD 的一个法向量为(),,n x y z =r，则220220m BD x y m BP x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩u u u r u u u r 取2x =，则2y =-，1z =，故()2,2,1n =-r，平面APD 的一个法向量为()1,0,0m =r，2cos ||||3n m n m n m ⨯+-⨯+⨯===⋅⋅．所以平面MPD 与平面APD 夹角的余弦值为23．17．【解析】（1）设“乙先下乙赢”为事件A ．“甲先下乙赢”为事件B ．由题知，()23P A =，()14P B -，设比赛四局乙赢为事件C ，则()()()()P P BABA P BABA C P BABA=++3212111212321343434343434372=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=所以比赛四局乙赢的概率为1372．（2）已知前两局甲、乙各赢一场，且比赛五局结束比赛，则第三局和第四局甲、乙各赢一场，第五局甲、乙都有可能赢，设“前两局甲、乙各赢一场，比赛五局结束”为事件D ，则()()()11327434312P D P BA P BA =+=⨯+⨯=，所以前两局甲、乙各赢一场，比赛五局结束的概率为712．18．【解析】（1）由题意，正方体的三条棱长DA ，DC ，DH 两两互相垂直，故以D 为原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，2AB =，由题意不妨设AM FN a ==，[]0,2a ∈，所以()2,0,2E ，()0,2,2G ，()2,,0M a ，()2,2,2N a -，所以(0,,2)EM a =-u u u u r ，(2,0,)GN a =-u u u r，设异面直线EM 与GN 所成角为θ，0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以22cos cos 4EM GN aEM GN a EM GN θ⋅====+⋅u u u u r u u u ru u u u r u u u r u u u u r u u u r ，（4分）令()224af a a =+，[],02a ∈，当0a =时，()0f a =；当0a ≠时，()2211024,22a f a a a a==∈++⎛⎤⎥⎝⎦，[],02a ∈，综上，()1cos 0,2f a θ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则,32ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以异面直线EM 与GN 所成角θ的取值范围为32,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（9分）（2）如图所示，由题意，线段HN 的中点是K ，2AB =，不妨设AMa =，2FN a =-，[],02a ∈，所以()0,0,2H ，()2,2,N a ，1,1,12a K ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，1,1,12a KN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，取平面EMN 的一个法向量为()1,0,0n=r，所以点K 到平面EMN 的距离为1n KN d n ⋅==u u u r r r，（亦可直接说明112E d H ⨯==）而()()111222222222EMN EMA BMN EFN AEFB a S S S S S a a a =---=⨯-⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯正方形V V V V 21122a a a a---=++()2211321222a a a =-+=-+，所以三棱锥E MNK -的体积为()21111362E MNKK MNE EMN V V S a d --===-+⋅△，[],02a ∈，所以当且仅当1a =时，三棱锥E MNK -的体积取最小值12．19．【解析】（1）根据题意可知，对于任意实数x ，()()2222222mx x k x k x k =++-=+成立，即22222mxx k =+，即()22220m x k --=对于任意实数x 恒成立，则2m =，0k=，故函数()²f x x =的“平衡”数对为()2,0．（2）若1m =，则()sin m f x x ⋅=，()()()()sin sin 2sin cos f x k f x k x k x k x k ++-=++-=，要使得()f x 为“可平衡”函数，需使()12cos sin 0k x -⋅=对于任意实数x 均成立，则cos 12k =，此时23k n ππ=±，n Z ∈，故k 存在，所以()sin f x x =是“可平衡”函数．（3）假设存在实数m ，k （0m ≠），有序数对(),m k 为函数()2cos 04f x x x π⎛=<≤⎫ ⎪⎝⎭的“平衡”数对，则()()222coscos cos m x x k x k =++-，∴()()()1111cos 21cos 21cos 2222m x x k x k +=++++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，∴()1cos 21cos 2cos 2sin 2sin 21cos 2cos 2sin 2sin 2mx x k x k x k x k +=+-+++，∴()1cos 222cos 2cos 2mx x k +=+，∴1,2m π⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,4m π⎛⎫ ⎪⎝⎭均为函数()2cos 04f x x x π⎛⎫ ⎪⎝=<⎭≤的“平衡”数对，∴()11cos 222cos 2cos 22cos 2m x x x π+=+=-，()21cos 222cos 2cos22m x x π+=+=，∵04x π<≤，∴022x π<≤，∴0cos 21x ≤<，∴()2221222212sin 22cos 22sin 2tan 1cos 212cos 1cos x x xm x x x x ---====++-，22211cos 2cos m x x==+，∴22412414tan cos m m x x +=+，设()4414tan 0cos 4h x x x x π⎛⎫ ⎪⎝=<≤⎭+，函数单调递增，∴()()40h h x h π≤<⎛⎫⎪⎝⎭，即()18h x <≤，∴2212m m +的取值范围为(]1,8．。

2023-2024学年河北市张家口市高一第二学期期末考试数学试卷(含解析)

2023-2024学年河北市张家口市高一第二学期期末考试数学试卷(含解析)

2023-2024学年河北市张家口市高一第二学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知一个总体中有N 个个体，用抽签法从中抽取一个容量为10的样本，若每个个体被抽到的可能性是14，则N =( )A. 10B. 20C. 40D. 不确定2.已知复数z =3−2i2+i (其中i 为虚数单位)，则z 的虚部是( )A. 45B. 45iC. −75D. −75i3.一组数据28，39，12，23，17，43，50，34的上四分位数为( )A. 17B. 20C. 39D. 414.如图，在△ABC 中，D 是线段BC 上的一点，且满足3BD =DC ，则AD =( )A. 14AB +34ACB. 34AB +14ACC. 13AB +23ACD. 23AB +13AC5.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin B =33，c =3，若△ABC 有两解，则b 的取值范围为( )A. (3,3)B. (3,3]C. (3,+∞)D. [3,+∞)6.如图，水平放置的四边形OABC 的斜二测画法的直观图为直角梯形O′A′B′C′，已知O′A′=2，O′C′=B′C′=1，则原四边形OABC 的面积为( )A. 3 2B. 3C.3 22D. 327.随着暑假将近，某市文旅局今年为了使游客有更好的旅游体验，收集并整理去年暑假60天期间日接待游客量数据，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，估计该市今年日接待游客量的平均数为(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)( )A. 43.6万人B. 44.5万人C. 45万人D. 49.1万人8.如图，某电子元件由A ，B ，C 三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A ，B ，C 三种部件不能正常工作的概率分别为15，14，13，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是( )A. 1825B. 725C. 6475D. 1175二、多选题：本题共3小题，共15分。

2022年天津第四十八中学高一数学理期末试题含解析

2022年天津第四十八中学高一数学理期末试题含解析

2021-2022学年天津第四十八中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，则的值为（）A. －1B.C.0 D. 1参考答案：D2. 已知集合，则集合N的真子集个数为（）A．3；B．4C．7D．8参考答案：B3. 已知数列{a n}满足a n+1+a n=n，若a1=1，则a8﹣a4=( )A．﹣1 B．1 C．2 D．4参考答案：C考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列递推式得到a n+a n﹣1=n﹣1（n≥2），和原递推式作差后得到a n+1﹣a n﹣1=1，由已知求出a2，则依次可求得a4，a6，a8，则答案可求．解答：解：由a n+1+a n=n，得a n+a n﹣1=n﹣1 （n≥2），两式作差得：a n+1﹣a n﹣1=1 （n≥2），由a1=1，且a n+1+a n=n，得a2=﹣a1+1=0．则a4=a2+1=1，a6=a4+1=2，a8=a6+1=1+2=3，∴a8﹣a4=3﹣1=2．故选：C．点评：本题考查了数列递推式，解答的关键是由已知递推式得到n取n﹣1时的递推式，作差后得到数列的项之间的关系，属中档题．4. 若函数f（x）=lg（+a）为奇函数，则a=（）A．﹣1 B．C．﹣D．1参考答案：A【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的性质：f（﹣x）=﹣f（x）列出方程，利用对数的运算性质化简后求出a的值．【解答】解：∵函数f（x）=lg（+a）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），则log（）=﹣lg（+a）=，∴=，化简得（a+1）（a﹣1）x2=（a+1）（a+3），则当a=﹣1时上式恒成立，故选：A．5. 已知集合A={ x|﹣2＜x＜6}，B={ x|4＜x＜7}，则A∩B=（）A．{4，5，6} B．{5} C．（﹣2，7）D．（4，6）参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A=（﹣2，6），B=（4，7），∴A∩B=（4，6），故选：D．6. 函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()．A．a＝－3 B．a<3 C．a≤－3 D．a≥－3参考答案：C7. 函数f（x）=ax2+4（a+1）x﹣3在[2，+∞）上递减，则a的取值范围是（）A．a≤﹣B．﹣≤a＜0 C．0＜a≤D．a≥参考答案：A【考点】二次函数的性质．【分析】由于x2项的系数为字母a，应分a是否为0，以及a不为0时再对a分正负，利用二次函数图象与性质，分类求解．【解答】解：当a=0时，f（x）=4x﹣3，由一次函数性质，在区间[2，+∞）上递增．不符合题意；当a＜0时，函数f（x）的图象是开口向下的抛物线，且对称轴为x=﹣≤2，解得a≤﹣；当a＞0时，函数f（x）的图象是开口向上的抛物线，易知不合题意．综上可知a的取值范围是a．故选：A．8. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6c m的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）（A）（B）（C）(D)参考答案：C该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体积为π×32×2＋π×22×4＝34π(cm3)，原毛坯的体积为π×32×6＝54π(cm3)，切削掉部分的体积为54π－34π＝20π(cm3)，故所求的比值为＝.9. 已知变量x、y满足条件，则2x+y的最大值是（）A ．3B．6C．9D．12C10. 已知向量，则的值为（）．A． B．3 C．1 D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数，的值域是_____________．参考答案：[0.15]12. 如图，网格纸上小正方形的边长为，用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体最长的棱长为.参考答案：13. 若f （x ）=，g （x ）=，则f（x）?g （x ）= ．参考答案：x+1（x＞﹣1且x≠1）【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】直接根据根式指数幂进行计算即可得到答案．【解答】解：f（x）=，（x＞﹣1）g（x）=，（x＞﹣1且x≠1）则：f（x）?g（x）=?===x+1（x＞﹣1且x≠1）故答案为x+1．（x＞﹣1且x≠1）14. 设适合等式则的值域是 .参考答案：解析：由将换为，有,两式消去得.15. 函数是上的减函数，则的取值范围是参考答案：略16. 已知向量与的夹角为，且，；则．参考答案：17. 已知函数f（x）=且f（x0）=8，则x0= ，f（x）的值域为．参考答案：4，（﹣6，+∞）．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的值域．【分析】当x0≤﹣3时，，当x0＞﹣3时，2x0=8，由此能求出f（x0）=8时，x0的值．当x≤﹣3时，f（x）=x2+2≥11，当x＞﹣3时，f（x）=2x＞﹣6．由此能求出f（x）的值域．【解答】解：∵函数f（x）=，且f（x0）=8，∴当x0≤﹣3时，，解得，不成立；当x0＞﹣3时，2x0=8，解得x0=4，成立．∴f（x0）=8时，x0=4．当x≤﹣3时，f（x）=x2+2≥11，当x＞﹣3时，f（x）=2x＞﹣6．∴f（x）的值域为（﹣6，+∞）．故答案为：4，（﹣6，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2023-2024学年河北省石家庄市高一(下)期末数学试卷(含解析)

2023-2024学年河北省石家庄市高一(下)期末数学试卷(含解析)

2023-2024学年河北省石家庄市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.i是虚数单位，复数z=2的虚部是( )1−iA. −iB. −1C. iD. 12.若D为△ABC的边BC的中点，则AC=( )A. 2AB−ADB. 2AD−ABC. 2AD+ABD. 2AB+AD3.已知α，β为两个不同平面，m，n为不同的直线，下列命题不正确的是( )A. 若m//n，m⊥α，则n⊥αB. 若m⊥α，m⊥β，则α//βC. 若m⊥α，α⊥β，则m//βD. 若m⊥α，m⊂β，则α⊥β4.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图(图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩)，则下列说法不正确的是( )A. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差B. 甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数C. 甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数D. 甲成绩的方差小于乙成绩的方差5.如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是( )A. 8cmB. 6cmC. 2(1+2)cmD. 2(1+22)cm6.如图所示，为测量河对岸的塔高AB ，选取了与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，现测得tan ∠ACB =34，CD =50m ，cos ∠BCD =55,cos ∠BDC =35，则塔高AB 为( )A. 153m B. 203m C. 155m D. 205m7.如图，在△ABC 中，∠BAC =π3，AD =2DB ，P 为CD 上一点，且满足AP =m AC +12AB ，若△ABC 的面积为2 3，则|AP |的最小值为( )A.2B.3C. 3D. 438.如图，已知在△ABC 中，AB =1，BC =3，AB ⊥BC ，D 是BC 边上一点，且BD =1，将△ABD 沿AD 进行翻折，使得点B 与点P 重合，若点P 在平面ADC 上的射影在△ADC 内部及边界上，则在翻折过程中，动点P 的轨迹长度为( )A.212π B.28π C.26π D.24π二、多选题：本题共3小题，共18分。

2023-2024学年北京市怀柔区高一(下)期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市怀柔区高一(下)期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市怀柔区高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数z对应点的坐标是，则()A. B. C. D.2.已知向量，若，则实数()A. B.1 C. D.43.下列函数中，周期是，又是奇函数的是()A. B. C. D.4.为了得到函数的图象，可以将函数的图象()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度5.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B为()A. B. C.和 D.和6.()A. B. C.0 D.17.已知在中，，则判断的形状()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.已知a，b是两条不重合直线，，是两个不重合平面，则下列说法正确的是()A.若，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，，则9.设非零向量，则“”是“或”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.已知向量，向量，且，点P在以原点为圆心，2为半径的圆上，则的取值范围是()A. B.C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.设复数z满足，则__________.12.已知角的终边经过点，则______；______.13.已知圆锥的母线长为4，轴截面是一个顶角为的等腰三角形，则该圆锥的体积为______.14.“堑堵”最早的文字记载见于《九章算术》“商功”章.《九章算术商功》刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马；其一为鳖臑.其中“堑堵”是一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜截所得的三棱柱，如图，长方体的长为3，宽为4，高为5，若堑堵中装满水，当水用掉一半时，水面的高为______.15.设函数，则下列选项中所有正确选项的序号______.①当时，的最小正周期为；②若对任意的实数x都成立，则的最小正数为；③将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于原点对称，则；④函数的图像与直线相交，若存在相邻两个交点间的距离为，则的所有可能值为2，三、解答题：本题共6小题，共85分。

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高一下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1. 直线（为实常数）的倾斜角的大小是（）
A .
B .
C .
D .
2. 已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（）
A . 一定是异面
B . 一定是相交
C . 不可能平行
D . 不可能相交
3. 已知直线经过点A（0，4）和点B（1，2），则直线AB的斜率为（）
A . 3
B . -2
C . 2
D . 不存在
4. 在数列中，=1，，则
的值为（）
A . 512
B . 256
C . 2048
D . 1024
5. 设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A . 9π＋42
B . 36π＋18
C .
D .
6. 设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则②若，
，，则
③若，，则④若，
，则
其中正确命题的序号是
A . ①和②
B . ②和③
C . ③和④
D . ①和④
7. 设满足约束条件,则的最大值为（）
A . 5
B . 3
C . 7
D . -8
8. 圆与直线的位置关系是（）
A . 直线过圆心
B . 相切
C . 相离
D . 相交
9. 圆: 与圆:
的位置关系是（）
A . 相交
B . 外切
C . 内切
D . 相离
10. 若集合A= ，则实数的取值范围为（）
A .
B .
C .
D .
11. 在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A-CD-B的余弦值为
A .
B .
C .
D .
12. 若直线y=x+b 与曲线有公共点，则b的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题
13. 在ΔABC中，已知a=1，b= , A=30°，则B等于________；
14. 已知直线l的斜率为1，与两坐标轴围成三角形的面积为4，则直线l的方程为________ 。

15. 经过点（3，4）的圆=25的切线方程为________。

（用一般式方程表示）
16. 圆心在直线上的圆C与轴交于两点
，，则圆C的方程为________．
三、解答题
17. 在锐角三角形中，边是方程的两根，角满足：，求角的度数，边的长度及的面积.
18. 如图：在三棱锥中，已知点、、
分别为棱、、的中点
（1）求证：∥平面
（2）若，，求证：平面⊥平
面
19. 已知等差数列的首项为，公差为d,前n项的和为
,且
.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项的和为Tn,求Tn 。

20. 已知圆C：（x-1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点.
（1）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；
（2）当直线l的倾斜角为45º时，求弦AB的长.
21. 如图，在三棱锥中，，
，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．
22. 在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在x轴上,半径为2的圆C位于y轴右侧,且与直线x- y+2=0相切.
（1）求圆C的方程.
（2）在圆C上,是否存在点M,使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A,B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.。

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