信号与系统课件SandS-3-6

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§3-6 离散时间系统
3-6-1 离散时间系统的运算
讨论题3-6-2 讨论由
y(n) x(n) x* (n 1)
定义的系统是否具有可加性和齐次性。
讨论：由y(n) x(n) x* (n 1) 定义的系统是可加但非齐次的，因为
{x1(n) x2(n)}{x1(n 1) x2(n 1)}* {x1(n) x1*(n 1)}{x2(n) x2*(n 1)}
x1 (n)
离散时间 线性系统
y1 (n)
C1 x1 (n)
离散时间 线性系统
C1 y1(n)
a) 齐次性
x1 (n) x2 (n)
离散时间 线性系统
至于延迟或右移k个单位，则一般表示为 zk 。前向（或左）移位 x(n)
算子则用z的正幂表示，也就是说 z k 表示超前或左移k个单位，即将 x(n)
变换为 x(n k) ，用运算符号表示则为 zk{x(n)} x(n k)。可以看出，借
助于算子可以将一种函数变换为另外一种函数。如前所述，如果我们用算
(x1(n) x2 (n))2 x1(n 1) x2 (n 1)
T{x1(n)
x2 (n)}
x12 (n) x1(n 1)
x22 (n) x2 (n 1)
不相同。但该系统却是齐次的，因为对于运算，有
T{cx(n)} (cx(n)) 2 c x2 (n) cT{x(n)} cx(n 1) x(n 1)
输入/输出模型：描述系统输入序列和输出序列之间的关系；
状态（或内部）变量模型：描述系统输入序列、内部状态和输出 序列之间的关系。
本书主要研究输入-输出模型描述。具体讲将重点研究4种输入/输出描 述形式：
1、卷积模型 2、差分方程（关于输入/输出）模型 3、离散傅立叶变换模型 4、传输函数模型
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§3-6 离散时间系统
T{cx(n)} cT{x(n)}
（对齐次运算） （3-6-3）
讨论题3-6-1
由 y(n) x 2 (n) 定义的运算是可加的吗？ x(n 1)
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§3-6 离散时间系统
3-6-1 离散时间系统的运算
讨论： y(n) x 2 (n) 的运算不是可加的，因为 x(n 1)
与
T{x1(n)
x2 (n)}
例如，输入输出之间的关系可以如上所述用数学表达式或函数关系进 行描述；也可以用某种算法来估计；甚至在某些情况下，还可以用表格 （表查询）来确定一个系统，这个表格可能定义了相关的输入-输出序列 对的某种集合。
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§3-6 离散时间系统
3-6-1 离散时间系统的运算
前已述及，离散时间系统的描述模型之一是差分方程。差分方程中 包含序列及其移位序列，移位序列一般可用运算符号方便地加以描述。 通常，单位延迟或后向（右）移位运算可以用运算符号 z1表示，它将 x(n) 变换为 x(n 1) ，因此可用算子 z 1{x(n)} x(n 1) 表示。
便起见，可以用算子T[•] 表示一个离散时间系统，如图3-6-1所示，图中
输入信号序列x(n)通过算子T[•]被变换为输出信号序列y(n) 。
x(n)
y(n)=T[x(n)]
T[●]
图3-6-1 输入序列通过离散时间系统(T[•])映射成输出序列
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§3-6 离散时间系统
3-6 离散时间系统
应用中有两种基本的系统模型描述形式：
3-6 离散时间系统
其中前两种方法给出的是系统的离散时间函数，故称之为时域模型；而 后两种方法是以频率为变量，故称之为频域模型。但离散傅立叶变换模 型一般又可认为是传输函数表示法的一种特例，因此实际上只需要研究 3种基本的输入-输出描述形式。
在工程应用中，系统的输入-输出特性是关于系统行为属性的非常重要的 参数，可以用多种方法获得。
我们称一个系统是可加的，是指对于任意序列 x1(n)和 x2 (n)，有
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§3-6 离散时间系统
3-6-1 离散时间系统的运算
T{x1(n) x2 (n)} T{x1(n) T{x2 (n)}
（对可加运算） （3-6-2）
称一个系统是齐次（均匀）的，是指对于任意复常数c和任意输入序列
x(n) ，如果有
子T表示一种运算或变换，那么用T将系统输入、输出关系表示为
y(n) T{(x(n)} （3-6-1）
读做 y(n) 是T对 x(n)的响应，其中包括相应的系统初始条件（如果存在）。
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§3-6 离散时间系统
3-6-1 离散时间系统的运算
式中算子T起着标识系统及说明由输入序列 x(n) 产生输出序列 y(n) 的作 用。对于多输入、多输出系统，x(n) 和y(n)为矢量。
式（3-6-1）实际上表示的是函数 x(n) 在算子T的操作（或运算）下，得到 一个新的函数 y(n) 的过程。 例如，下列算子运算：
T{} 4z3{} 6
表示 y(n)是通过将 x(n)左移3个单位，再乘4加6得到，即：
4z3{x(n)} 6 4x(n 3) 6 y(n)
在讨论离散时间系统的性质之前，首先需要引入线性运算和叠加性的概念。
于是，一个系统若为线性，则对任意两个输入和 ，以及任意实或者复 常数c1和c2，有
T{c1x1(n) c2 x2 (n)} c1T{x1(n)} c2T{x2 (n)} （3-6-4）
图3-6-2给出了线性性质三要素（齐次性、可加性和叠加性）的图解-6-2 离散系统的性质
国家“十二五”规划教材——《信号与系统》
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§3-6 离散P时ow间e系rTe统TmhempeGlaaltleery
重点 离散系统的性质 难点 离散系统的计算
3-6 离散时间系统
离散时间系统是一种数学映射或算子，它通过一组约定的法则或者运算 将一个（组）序列(输入激励)变换为另一个（组）序列(输出响应)。为方
但显然
cT{x(n)} cx(n) c*x*(n 1) cx(n) cx*(n 1)
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§3-6 离散时间系统
3-6-2 离散系统的性质
线性系统
满足叠加性的系统定义为线性系统。叠加性是指系统即满足齐次性又 满足可加性，同时还隐含系统是松弛的（具有零初始条件），而且系统差 分方程中只包含线性运算。换句话说，线性性质需要满足三个要素，即齐 次性、可加性和叠加性。