福建省高三数学毕业班5月联合考试质量检测卷理(扫描

福建省泉州市高三第二次(5月)质量检查数学理试题(解析版)

福建省泉州市高三第二次（5月）质量检查数学理试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.2. 设向量，满足，，，则与的夹角为（）A. B. C. D.3. 设等差数列的前项和为.若，，则（）A. B. C. D.4. 若双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.5. 执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内可以填入（）A. B. C. D.6. 若函数的部分图象如图所示，则的一条对称轴为（）A. B. C. D.7. 李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中，到“东亚文化之都--泉州”“二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有（）A. 16种B. 18种C. 20种D. 24种 8. 已知偶函数在上单调递增，则（）A. B.C.D.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.10. 已知正三棱柱的所有棱长都相等，分别为的中点.现有下列四个结论：：；：；：平面；：异面直线与所成角的余弦值为.其中正确的结论是（）A.B.C.D.11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，．也是抛物线的焦点，点为与的一个交点，且直线的倾斜角为，则的离心率为（）A. B. C. D.12. 函数则关于的方程的实数解最多有（）A. 4个B. 7个C. 10个D. 12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 在复平面内复数对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是_________.14. 若满足约束条件则的最大值为___________.15. 甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有（）五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是___________.16. 已知数列，，满足且，，，则数列的前项和为___________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 的内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若，，求的面积．18. 如图，在四棱锥中，，，，，，点为的中点．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．19. 某工厂有两台不同机器A和B生产同一种产品各10万件,现从各自生产的产品中分别随机抽取二十件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如下所示：该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到的产品，质量等级为合格．将这组数据的频率视为整批产品的概率．（1）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，记为来自B机器生产的产品数量，写出的分布列，并求的数学期望；（2）完成下列列联表，以产品等级是否达到良好以上（含良好）为判断依据，判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为B机器生产的产品比A机器生产的产品好；（3）已知优秀等级产品的利润为12元/件，良好等级产品的利润为10元/件，合格等级产品的利润为5元/件，A机器每生产10万件的成本为20万元，B机器每生产10万件的成本为30万元；该工厂决定：按样本数据测算，两种机器分别生产10万件产品，若收益之差达到5万元以上，则淘汰收益低的机器，若收益之差不超过5万元，则仍然保留原来的两台机器.你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗？20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，离心率为．（1）求的方程；（2）过的左焦点且斜率不为的直线与相交于，两点，线段的中点为，直线与直线相交于点，若为等腰直角三角形，求的方程．21. 函数的图像与直线相切．（1）求的值；（2）证明：对于任意正整数，.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线：（）.（1）求和的极坐标方程；（2）设点是与的一个交点（异于原点），点是与的交点，求的最大值.23. 已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2），，求的取值范围．数学（理）试题（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:先解方程组,再求.详解:解方程组得x=1,y=0.所以.点睛：本题易错选C,注意集合A都是点集，所以的元素是点，不是数，所以不能选C.2. 设向量，满足，，，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：直接利用数量积的公式化简即得与的夹角.详解：由题得，所以故答案为：B点睛：本题主要考查数量积的运算等知识，意在考查数量积基础知识的掌握能力.3. 设等差数列的前项和为.若，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据已知条件列出方程组求出，再求得解.详解：由题得所以故答案为：B点睛：本题主要考查等差数列的通项和前n项和，意在考查学生等差数列基础知识的掌握能力和基本的运算能力.4. 若双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：直接利用已知条件求出双曲线的a、b、c，即可求解双曲线的渐近线方程．详解：双曲线C：的右焦点F（4，0）到其渐近线的距离为2，∴c=4，b=2，∴a2=c2﹣b2=16﹣4=12，∴a=2，所以双曲线的方程为，所求的双曲线的渐近线方程为y=．故答案为：A点睛：本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生双曲线的几何性质等基础知识的掌握能力.5. 执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内可以填入（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．详解：模拟程序的运行，可得S=2，i=1此时，由题意应该满足判断框内的条件，执行循环体，S=﹣1，i=2满足判断框内的条件，执行循环体，S=，i=3满足判断框内的条件，执行循环体，S=2，i=4满足判断框内的条件，执行循环体，S=﹣1，i=5满足判断框内的条件，执行循环体，S=，i=6满足判断框内的条件，执行循环体，S=2，i=7满足判断框内的条件，执行循环体，S=﹣1，i=8观察可得，当i=7时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为2．可得：6≤i＜7．故答案为：C点睛：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论．6. 若函数的部分图象如图所示，则的一条对称轴为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意可得函数的图象的一个对称中心为（，0），再根据（，0）是图象上和（，0）相邻的一个对称中心，从而求得它的一条对称轴．详解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（0，π））的部分图象，可得函数的图象的一个对称中心为（，0），再根据（﹣，0）是图象上和（，0）相邻的一个对称中心，故它的一条对称轴为x=，故答案为：C点睛：本题主要考查正弦函数的图像和性质，意在考查正弦函数的图像性质等基础知识的掌握能力.7. 李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中，到“东亚文化之都--泉州”“二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有（）A. 16种B. 18种C. 20种D. 24种【答案】A【解析】分析：根据分类计数原理，“东亚文化之都﹣﹣泉州”“二日游”，任意相邻两天组合一起，一共有6种情况，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，分两种情况讨论即可．详情：任意相邻两天组合一起，一共有6种情况，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，若李雷选①②或⑥⑦，则韩梅梅有4种选择，选若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥，则韩梅梅有3种选择，故他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有2×（4+6）=20，故答案为：C点睛：本题主要考查计数原理，意在考查计数原理等基础知识的掌握能力和分类讨论思想的运用能力.8. 已知偶函数在上单调递增，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据偶函数的定义，以及f（x）在（0，+∞）上单调递增，这样根据函数单调性定义以及幂函数、指数函数和对数函数的单调性即可判断每个选项的正误，从而选出正确选项．详解：f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增；A．f（﹣3e）=f（3e），且2e＜3e；∴f（2e）＜f（3e）；∴f（2e）＜f（﹣3e），∴该选项错误；B．f（﹣e3）=f（e3），且e2＜e3；∴f（e2）＜f（e3）；∴f（e2）＜f（﹣e3），∴该选项错误；C.，；∴；∵f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增；∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；∴，∴该选项错误；D.，；∴；∴，∴该选项正确．故答案为：D点睛：本题主要考查偶函数的定义，偶函数在对称区间上的单调性特点，函数单调性定义，以及幂函数、指数函数和对数函数的单调性．意在考查函数的性质及幂函数、指数函数和对数函数的单调性等基础知识的掌握能力及基本的运算能力.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:先根据三视图找到几何体的原图,再求几何体的体积得解.详解：由三视图可知几何体是一个底面半径为1高为2的圆柱，且圆柱的右上角切去了一半，变成了个球，所以几何体的体积为.故答案为:C点睛：本题主要考查三视图和组合体的体积，意在考查三视图和几何体体积等基础知识的掌握能力.根据三视图找几何体原图一般有两种方法：直接法和模型法.本题用的是直接法.10. 已知正三棱柱的所有棱长都相等，分别为的中点.现有下列四个结论：：；：；：平面；：异面直线与所成角的余弦值为.其中正确的结论是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据题意，判断AC1与MN不平行，是异面直线，知p1错误；利用线面垂直的定义判断A1C⊥C1N，知p2正确；判断B1C⊥平面AOP，得出B1C与平面AMN不垂直，知p3错误；找出异面直线AB与MN所成的角，计算余弦值，知p4正确．详解：正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，M，N分别为B1C1，BB1的中点；对于p1：如图①所示，MN∥BC1，BC1∩AC1=C1，∴AC1与MN不平行，是异面直线，p1错误；对于p2：如图②所示，连接AC1，交A1C于点O，连接ON，易知A1C⊥AC1，ON⊥平面ACC1A1，∴ON⊥A1C，又ON∩AC1=O，∴A1C⊥平面ONC1，∴A1C⊥C1N，p2正确；对于p3：如图③所示，取BC的中点O，连接AO，BC1，过点O作OP∥BC1，交CC1于点P，连接AP，则AO⊥平面BCC1B1，∴AO⊥B1C，又BC1∩⊥OP，∴B1C⊥OP，∴B1C⊥平面AOP，又平面ABC1与平面AOP有公共点A，∴B1C与平面AMN不垂直，p3错误；对于p4，如图④所示，连接BC1，AC1，则MN∥BC1，∴∠ABC1是异面直线AB与MN所成的角，设AB=1，则AC1=BC1=，∴cos∠ABC1=p4正确．综上，其中正确的结论是p2、p4．故答案为：C点睛：本题主要考查空间线面位置关系的证明和异面直线所成的角，空间直线位置关系的证明一般利用转化的思想进行证明，由线线平行（垂直）到线面平行（垂直）到面面平行（垂直），由面面平行（垂直）到线面平行（垂直）到线线平行（垂直）.11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，．也是抛物线的焦点，点为与的一个交点，且直线的倾斜角为，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意可得：c==．直线AF1的方程为：y=x+c．联立，解得A（c，2c），代入椭圆方程可得：，即，化为：e2+=1，解出即可得出．详解：由题意可得：c==直线AF1的方程为y=x+c．联立，解得x=c，y=2c．∴A（c，2c），代入椭圆方程可得：，∴，化为：e2+=1，化为：e4﹣6e2+1=0，解得e2=3，解得e=﹣1．故答案为：B点睛：(1)本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的解法，考查了学生的推理能力与计算能力.(2)求离心率常用的方法是找关于离心率的方程再解方程,本题就是利用点A(c,2c)在椭圆上找到关于离心率的方程的.12. 函数则关于的方程的实数解最多有（）A. 4个B. 7个C. 10个D. 12个【答案】D【解析】分析：判断f（x）的单调性，作出f（x）大致函数图象，求出f（t）=0的解，再根据f（x）的图象得出f（x）=t的解得个数即可得出结论．详解：当x＞﹣1时，=，∴f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．∴当x=0时，f（x）取得极小值f（0）=1+a．当x≤﹣1时，由二次函数性质可知f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，﹣1]上单调递增，∴当x=﹣2时，f（x）取得极小值f（﹣2）=﹣1．不妨设1+a＜0，则f（x）=0有4个解，不妨设从小到大依次为t1，t2，t3，t4，则t1=﹣3，t2=﹣1，﹣1＜t3＜0，t4＞0．再令1+a＜﹣3，作出f（x）的函数图象如图所示：∵f[f（x）]=0，∴f（x）=t i，（i=1，2，3，4）．由图象可知f（x）=﹣3有2解，f（x）=﹣1有3解，f（x）=t3有4解，f（x）=t4有3解，∴f（f（x））=0最多有12解．故答案为：D点睛：(1)本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的零点，考查导数求函数的单调性和极值等，意在考查导数研究函数问题的基础知识的掌握能力和推理分析能力.(2)处理本题最关键的是把问题转化成f （x）=﹣3，f（x）=﹣1，f（x）=t3，f（x）=t4的解的个数之和,关键是图像的分析能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 在复平面内复数对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】分析：先化简复数z=+ai对应的点位于第三象限，可得＜0，解得a范围即可得出．详解：在复平面内复数z=，对应的点位于第三象限，∴＜0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）点睛：本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义，意在考查复数的基础知识的掌握能力和计算能力．14. 若满足约束条件则的最大值为___________.【答案】【解析】分析：画出约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．详解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x﹣2y为y=x﹣，由图可知，当直线y=x﹣过点A（﹣1，1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为﹣3．故答案为：﹣3点睛：本题考查简单的线性规划，意在考查学生线性规划基础知识的掌握能力和数形结合的解题思想方法.15. 甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有（）五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是___________.【答案】【解析】分析：先分析甲手里的数，再推理出乙手中的数字.详解：由题得卡片上的5个数字是因为甲说，我不知道谁手中的数更大，所以甲的数可能为乙听了甲的判断后说，我也不知道谁手中的数更大，说明他手中的数不可能是只能是故答案为：点睛：本题主要考查推理论证，意在考查学生推理论证的能力和分析能力.16. 已知数列，，满足且，，，则数列的前项和为___________.【答案】【解析】分析：先根据已知求出，,再利用分组求和和错位相减求数列的前项和.详解：记由得，所以数列为首项，公比为的等比数列，所以.由得，所以数列为常数数列，所以,同理得，由可得，所以，,记数列的前项和为，由错位相减法求得 ,数列的前项和为，所以数列的前项和.点睛：本题关键是利用方程组求出数列，，的通项，要求它们必须找到三个方程，，，解这三个方程即得数列，，的通项.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 的内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若，，求的面积．【答案】（1）；（2）2【解析】分析: (1)利用正弦定理边化角、和角的正弦化简得B的值.(2)先求出sinC,再求出a,再利用面积公式求的面积．详解：（1）由已知得，因为，所以，所以，由，得.（2）由，得，，在中，，由正弦定理得，，所以．点睛：本题主要考查正弦定理、三角形面积公式和三角恒等变换，意在考查学生解三角形和三角恒等变换等基础知识的掌握能力和基本的运算推理能力.18. 如图，在四棱锥中，，，，，，点为的中点．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）取中点，连结．先证明，再证明平面．（2）利用向量的方法求直线与平面所成角的正弦值．详解：（1）取中点，连结．因为点为的中点，所以且，又因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）在平面中，过作，在平面中，过作．因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，所以两两互相垂直.以为原点，向量的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），则，，，，， 7分所以，，，设是平面的一个法向量，则即取，得．设直线与平面所成角为．则，所以直线与平面所成角的正弦值为．点睛：本题主要考查空间几何位置关系的证明和线面角的求法，意在考查学生位置关系的证明和线面角的计算等基础知识的掌握能力和基本运算能力. 位置关系的证明和空间角的求法都有两种方法，一是几何方法，一是向量的方法，注意理解掌握和灵活运用.19. 某工厂有两台不同机器A和B生产同一种产品各10万件,现从各自生产的产品中分别随机抽取二十件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如下所示：该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到的产品，质量等级为合格．将这组数据的频率视为整批产品的概率．（1）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，记为来自B机器生产的产品数量，写出的分布列，并求的数学期望；（2）完成下列列联表，以产品等级是否达到良好以上（含良好）为判断依据，判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为B机器生产的产品比A机器生产的产品好；（3）已知优秀等级产品的利润为12元/件，良好等级产品的利润为10元/件，合格等级产品的利润为5元/件，A机器每生产10万件的成本为20万元，B机器每生产10万件的成本为30万元；该工厂决定：按样本数据测算，两种机器分别生产10万件产品，若收益之差达到5万元以上，则淘汰收益低的机器，若收益之差不超过5万元，则仍然保留原来的两台机器.你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】分析：（1）先计算出样本中优秀的产品有2个来自A机器，3个来自B 机器，再写出x的分布列和期望. (2)先完成2×2列联表，再求出作出判断.(3)先计算出A、B机器每生产10万件的利润,再下结论.详解：（1）从茎叶图可以知道，样本中优秀的产品有2个来自A机器，3个来自B 机器；所以的可能取值为．，，．的分布列为：所以．（2）由已知可得，列联表为，所以不能在误差不超过0.05的情况下，认为产品等级是否达到良好以上与生产产品的机器有关．（3）A机器每生产10万件的利润为万元，B机器每生产10万件的利润为万元，所以，所以该工厂不会仍然保留原来的两台机器，应该会卖掉A机器，同时购买一台B机器．点睛：本题主要考查随机变量的分布列和期望，考查独立性检验，意在考查离散型随机变量的分布列期望和独立性检验等基础知识的掌握能力，考查学生基本的运算推理能力.20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，离心率为．（1）求的方程；（2）过的左焦点且斜率不为的直线与相交于，两点，线段的中点为，直线与直线相交于点，若为等腰直角三角形，求的方程．【答案】（1）；（2）或【解析】分析:(1)根据题意列方程，解方程得a,b,c的值即得E的方程.(2)先设直线的方程为，，，再根据已知求出k即得直线l的方程.详解：（1）依题意，得，解得，所以的方程为．（2）易得，可设直线的方程为，，，联立方程组消去，整理得，由韦达定理，得，，所以，，即，所以直线的方程为，令，得，即，所以直线的斜率为，所以直线与恒保持垂直关系，故若为等腰直角三角形，只需，即，解得，又，所以，所以，从而直线的方程为：或．点睛：(1)本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆是位置关系，意在考查直线和圆锥曲线的基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2)本题的关键是对为等腰直角三角形的转化.21. 函数的图像与直线相切．（1）求的值；（2）证明：对于任意正整数，.【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：（1）先根据导数几何意义得到再整理得，再利用导数解方程得a的值. (2)利用第（1）问的结论，构造函数利用导数证明不等式.详解：（1）．设直线与曲线相切于点．依题意得：整理得，（*）．令，．所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减．当时，取得最小值，即．故方程（*）的解为，此时．（2）（i）由（1）知，，即，因此，，…，．上式累加得：，，，，即.（ii）令，则．所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.当时，取得最大值，即，．由得：，，…，．上式累加得：，，，，即.综上，点睛：本题的难点在第（2）问，难在要先找到不等式对应的函数，通过分析要证明左边的不等式需要构造函数，先证明，再给不等式赋值.通过分析要证明右边的不等式，需要构造，先证明再给不等式赋值.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线：（）.（1）求和的极坐标方程；（2）设点是与的一个交点（异于原点），点是与的交点，求的最大值.【答案】（1），；（2）见解析.【解析】分析：（1）先消参得到普通方程，再利用极坐标公式求出和的极坐标方程.(2)先利用极坐标求出|OA|、|OB|，再求出，再求函数的最大值得解.详解：（1）曲线的一般方程为，由得，化简得的极坐标方程为；因为的一般方程为，极坐标方程为，即.（2）设，则，，由射线与相交，则不妨设，则，所以当即时，取最大值，此时.点睛：(1)本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生参数方程极坐标和三角基础知识的掌握能力及基本的运算推理能力.(2)求三角函数的值域时，要注意的范围，由射线与相交，则不妨设.如果不考虑的范围，解答就会出错.始终注意一个原则，函数的问题，定义域优先. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...23. 已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2），，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）利用零点分类讨论法求不等式的解集.(2)先转化为，再对a 分类讨论，通过函数的最值求a的取值范围.详解：（1）当时，，①当时，，令，即，此时无解；②当时，，令，即，所以；③当时，，令，即，解得，综上所述，不等式的解集为．（2）当时，，即；①当时，，恒成立；②当，时，，恒成立；时，恒成立，即恒成立，令，的最大值只可能是或，，，得，又，所以；综上所述：的取值范围是．点睛：(1)本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的恒成立问题，意在考查绝对值不等式的基础知识的掌握能力和基本的推理运算能力.(2) 当，恒成立,进一步转化需要不等式两边同时平方，得到恒成立，再利用二次函数的图像分析得解，这里转化比较关键.。

福建省龙岩市高三数学毕业班5月教学质量检查试题理

福建省龙岩市高三数学毕业班5月教学质量检查试题理数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{}1,2M =，{}2,3N =，{}|,,b N P x x a b a M ==+∈∈，P 中元素个数为A ．2B ．3C ．4D ．52．已知复数z 满足(43)25i z +=(i 是虚数单位)，则z 的虚部为A ．3-B ．3C ．35-D ．353．若双曲线22221(,0)x y a b a b -=>的渐近线方程为2y x =±，则其离心率为AB．2 C ．2 D．54．已知向量(1,1),(2,),a b x ==若a b +与a b -平行，则实数x 的值是 A ．－2 B ．0C ．2D ．15．如图给出的是计算1111124620142016+++++的值的程序框图，其中判断框内应填入的是 A ．2014?i ≤B ．2016?i ≤C ．2018?i ≤D ．2020?i ≤6．某班有34位同学，座位号记为01,02,…34，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06A ．23B ．09C ．02D ．167．等比数列{}n a 的各项均为正数，且299a a ⋅=，则3132310log log log a aa+++＝（第5题图）A ．12B ．10C ．8D ．2＋3log 58．已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题为真命题的序号是 ①若,,//,//l m l m ααββ⊂⊂，则//αβ； ②若,//,l l m αβαβ⊂=，则//l m ；③若//,//l ααβ,则//l β；④若,//,//l l m ααβ⊥，则m β⊥． A ．①④ B ．①③ C ．②④ D ．②③9．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2220a b c ab +--=．若ABC ∆的面积，则ab 的最小值为A ．24B ．12C ．6D ．410．若对任意的正实数t ，函数33()()(ln )3f x x t x t ax =-+--在R 上都是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1(,]2-∞ B ． (,]2-∞ C ．(-∞D ． (,2]-∞第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上.11．二项式8(2x +展开式中的常数项为． 12．已知圆22:680C x y y +-+=，若直线y kx =与圆C 相切，且切点在第二象限，则实数k = ．13．若不等式组2,0,360.y x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为M ，不等式y x ≥表示的平面区域为N ．现随机向区域M 内撒下一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为．14．已知函数())4f x x π=+，有下列四个结论：①函数()f x 在区间3[,]88ππ-上是增函数：②点3(,0)8π是函数()f x 图象的一个对称中心；③函数()f x的图象可以由函数2y x =的图象向左平移4π得到；④若[0,]2x π∈，则函数()f x的值域为. 则所有正确结论的序号是． 15．计算1211222(12)n n n n n n C C n C n --+⋅++⋅=+，可以采用以下方法：构造恒等式01222222(12)n n nnn n n n C C x C x C x x ++++=+，两边对x 求导，得1221122222(12)n n n n n n n C C x n C x n x --+⋅++⋅=+，在上式中令1x =，得12111222(12)3n n n n n n n C C n C n n ---+⋅++⋅=+=⋅，类比上述计算方法，计算12222332222322n nn n n n C C C n C ++++=．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为49，乙、丙应聘成功的概率均为(03)3tt <<，且三人是否应聘成功是相互独立的．（Ⅰ）若甲、乙、丙都应聘成功的概率是1681，求t 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设ξ表示甲、乙两人中被聘用的人数，求ξ的数学期望． 17．（本小题满分13分）已知函数222(sin cos )1()cos sin x x f x x x +-=-，方程()f x =(0,)+∞上的解按从小到大的顺序排成数列{}n a (*)n N ∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设23(41)(32)nn a b n n =--，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S 的表达式．18．（本小题满分13分）如图1，直角梯形ABCD 中，//,90AB CD ABC ∠=︒,42==AB CD ，2=BC ．//AE BC 交CD 于点E ，点G ,H 分别在线段DA ,DE 上，且//GH AE . 将图1中的AED ∆沿AE 翻折，使平面ADE ⊥平面ABCE （如图2所示），连结BD 、CD ，AC 、BE . （Ⅰ）求证：平面⊥DAC 平面DEB ；（Ⅱ）当三棱锥GHE B -的体积最大时，求直线BG 与平面BCD 所成角的正弦值．19．（本小题满分13分）已知动圆Q 过定点(2,0)A 且与y 轴截得的弦MN 的长为4．（Ⅰ）求动圆圆心Q 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知点(2,1)P -，动直线l 和坐标轴不垂直，且与轨迹C 相交于B A ,两点，试问：在x 轴上是否存在一定点G ，使直线l 过点G ，且使得直线PA ,PG ，PB 的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点G 的坐标；否则，请说明理由． 20．（本小题满分14分）已知函数()(sin cos )x f x e x x a =++，2()(10)xg x a a e =-+（a R ∈且a 为常数）．（Ⅰ）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线过点(1,2)，求实数a 的值；（Ⅱ）若存在实数1x ，2[0,]x π∈，使得221()()13g x f x e π<+-成立，求实数a 的取值范围；HEGDCBA图1 图2（第18题图）AB CGEHD（Ⅲ）判断函数222(1)()1()1(1)(10)b e g x x lnx b a a e x x ϕ+=-++>-+在(0,)+∞上的零点个数，并说明理由．21．（本小题满分14分）本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）已知线性变换1T 是按逆时针方向旋转90︒的旋转变换，其对应的矩阵为M ，线性变换2T ：'2'3x x y y =⎧⎨=⎩对应的矩阵为N ．（Ⅰ）写出矩阵M 、N ；（Ⅱ）若直线l 在矩阵NM 对应的变换作用下得到方程为y x =的直线，求直线l 的方程．（2）已知曲线C 的方程为22145x y +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ-=．（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知M 是曲线C 上任意一点，求点M 到直线l 距离的最小值．（3）已知函数()|2|3f x x =--．（Ⅰ）若()0f x <，求x 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求()g x =的最大值．龙岩市2015年高中毕业班教学质量检查数学（理科）参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分． 1-5 BAACB 6-10 DBCDA二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．11．7 12．- 13．34 14．①② 15．22(21)3n n n -+三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意41693381t t ⨯⨯=, …………………………………………3分所以2t =. ……………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙应聘成功的概率均为23, …………………………7分ξ的可能取值为0,1,2 ………………………………………8分428(2)9327P ξ==⋅=， 415214(1)939327P ξ==⋅+⋅=，515(0)9327P ξ==⋅=， ……………………………………………………12分所以81453010210272727279E ξ=⨯+⨯+⨯==. ……………………………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）222(sin cos )12sin cos sin 2()tan 2cos sin cos 2cos 2x x x x x f x x x x x x +-====-, …………2分由()f x =0x >得2,3x k ππ=+∴()26k x k Z ππ=+∈ ………4分方程()f x =(0,)+∞的解从小到大依次排列构成首项为6π，公差为2π的等差数列∴(32)(1)626n n a n πππ-=+-=. ………………6分（Ⅱ）23(32)(41)(32)62(21)(21)n n b n n n n ππ-=⋅=---+ …………………8分111()42121n n π=--+， ……………………………………………10分 111111(1)()()(1)4335212142142n n S n n n n πππ⎡⎤=-+-++-=-=⎢⎥-+++⎣⎦.………………………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵CD AB //，︒=∠90ABC ，42==AB CD 又BC AE //交CD 于点E .∴四边形ABCE 是边长为2的正方形 ………………………1分 ∴BE AC ⊥，AE DE ⊥. 又∵平面ADE ABCE ⊥平面平面ADEABCE AE =平面∴DE ABCE ⊥平面 ………………………3分 ∵AC ABCE ⊂平面，∴DE AC ⊥ ……………………4分又E BE DE =∴AC DBE ⊥平面 ………………………5分 ∵AC DAC ⊂平面∴平面DAC DEB ⊥平面 ………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE ABCE ⊥平面，EC AE ⊥以E 为原点，ED EC EA ,,的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系. ………………………7分则)0,0,2(A ，)0,2,2(B ，(0,2,0)C ，)2,0,0(D 设x EH =，则x DH GH -==2（20<<x ）∵CE AB //，∴DAE AB 面⊥ …………………8分∴2)]2(21[3131⨯-=⋅=∆-x x AB S V GHE GHE B]1)1([31)2(3122+--=+-=x x x ………………………9分∵20<<x ，∴1=x 时，三棱锥GHE B -体积最大，此时，H 为ED 中点. ∵AE GH //，∴G 也是AD 的中点，∴)1,0,1(G ，)1,2,1(--=.…10分设),,(z y x =是面BCD 的法向量.则⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅=⋅=-=-⋅=⋅022)2,2,0(),,(02)0,0,2(),,(z y z y x x z y x令1=y ，得)1,1,0(=n ………………………11分设BG 与面BCD 所成角为θ则||sin 6||||BG n BG n θ⋅===∴BG 与平面BCD 所成角的正弦值为6.………………………13分19.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设(,)Q x y = …………2分整理得24y x =，所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是24y x =. ………4分（Ⅱ）设存在符合题意的定点G .设直线的方程为(0x ny m n =+≠且)n R ∈，则(,0)G m . …………5分将x m ny =+代入24y x =，整理得2440y ny m --=.由题意得216160n m ∆=+>，即20n m +>. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y n+=，124y y m⋅=-，11112211114(1)2824PA y y y k y x y ---===+++，2224(1)8PB y k y -=+， 1122PG k m m ==---+，由题意得2PA PB PGk k k +=，即20PA PB PG k k k +-=,所以1222122(1)2(1)10882y y y y m --++=+++， ……………………7分即221212*********(2)()16(2)()2[()2](2)()320m y y y y m y y y y y y m y y m +++++++--+-=……………9分把124y y n+=，124y y m⋅=-代入上式，整理得(2)(2)(2)m n m m -=+-， ………11分又因为n R ∈，所以(2)(2)020m m m +-=⎧⎨-=⎩，解得2m =所以存在符合题意的定点G ，且点G 的坐标为(2,0). …………………13分 20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()(sin cos )(cos sin )x x f x e x x e x x '=++-=2cos x e x ，又曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线过点(1,2),得(0)f '=(0)201f --， …3分即21a =-，解得1a =- …………………………………………4分（Ⅱ）存在实数1x ，2[0,]x π∈，使得221()()13g x f x e π<+-成立，即2min ()()13g x f x e π<+-max ………………………………5分由（Ⅰ）知()2cos 0xf x e x '==在x [0,]π∈上的解为2x π=，函数()f x 在0,)2π（上递增，在(,2ππ）上递减2max ()()2f x f e aππ==+ …………………………………7分又2100a a -+>恒成立，2()(10)x g x a a e =-+在[0,]π上递增，2()(0)10g x g a a ==-+min ， ……………………………8分故2221013a a e a e ππ-+<++-，得2230a a --<，所以实数a 的取值范围是(1,3)- ………………………………9分（Ⅲ）由222(1)()1()1ln 0(10)b e g x x x a a xe x ϕ+=-++=-+ (0)x >得22(1)e 11ln 0x b e x xe x +-++=，化为22(1)e 1ln xb e x x x e +=--， ……10分令()1ln h x x x x =--，则()2ln h x x '=--由()2ln 0h x x '=--=，得2x e -=，故()h x 在21(0,)e 上递增，在21(,)e +∞上递减，2211()()1h x h e e ==+max . …………………………………………12分再令222(1)e 1()(1)x xb e t x b e e e +==+，因为1b >，所以函数21()(1)xt x b e e =+在(0,)+∞上递增，0222111()t(0)(1)(1)1t x b e b e e e >=+=+>+. …………………………13分知max ()()t x h x >，由此判断函数()x ϕ在(0,)+∞上没有零点，故()x ϕ零点个数为0. ………………14分21.（本小题满分14分）解：（1）（Ⅰ）0110M -⎛⎫= ⎪⎝⎭， ……………………………2分 2003N ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ……………………………3分（Ⅱ）0230NM -⎛⎫= ⎪⎝⎭, ……………………………………4分由02'30'x x y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得2'3'y x x y -=⎧⎨=⎩, ……………………………5分由题意得''y x =得32x y =-，所以直线l 的方程为320x y +=. ……7分（2）（Ⅰ）由cos()4πρθ-=得40x y +-=， ………………2分 ∴直线l 的直角坐标方程为40x y +-=. ………………………3分（Ⅱ）设(2cos )M θθ，M 到l 的距离为d ,则d ===其中2cos ,sin 33ϕϕ==, ………………………5分当cos()1θϕ-=时，d有最小值2,∴M 到直线l的距离的最小值为2. ……………7分（3）（Ⅰ）由()02332315f x x x x <⇔-<⇔-<-<⇔-<<， ………2分所以x 的取值范围是(1,5)-. ……………………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()g x =,由柯西不等式22222(34]++≥………………5分所以()g x ≤=.当且仅当=即25x =-时，()g x取最大值 ……7分。

2023年5月福州市普通高中毕业班质量检测数学答案

质量抽测数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．B 2．C 3．A 4．A 5．D6．C7．D8．C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9．AD10．BC11．ABD12．BC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．0.1-14．2x =，3460x y --=（写其中一条直线方程即可）15．16．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭四、解答题：本大题共6小题，共70分．17．【命题意图】本小题主要考查三角恒等变换、三角函数及其性质等基础知识；考查运算求解能力、数学建模能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养的关注；体现基础性和应用性，满分10分．【解答】（1）由ABD x ∠=，则π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，····················································1分因为π6CAE x ∠=+，··················································································2分所以1πcos 6AC x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，··············································································3分2sin AB x=，·····························································································4分所以1π()sin π232cos sin 6S x AC AB x x =⋅⋅⋅=+ ⎪⎝⎭π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.······························5分（2）由（1），()22S x =⎝⎭ (6)分=····················································7分π2sin 216x =+- ⎪⎝⎭·······················································8分因为π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ5π2666x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，所以π2sin 216x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的取值范围是(]0,1，······9分所以()S x 的最小值为，此时π6x =．·····················································10分18．【命题意图】本小题主要考查随机变量的分布列与期望、条件概率与全概率公式等知识；考查数学建模能力、运算求解能力、逻辑思维能力；考查统计与概率思想、分类与整合思想；导向对发展逻辑推理、数学运算、数学建模、数学抽象、数据分析等核心素养的关注；体现综合性和应用性，满分12分．【解答】设A i =“第i 天去A 餐厅用餐”（i =1,2），B j =“第j 天去B 餐厅用餐”（j =1,2），·················································································································1分则A 1与B 1对立，A 2与B 2对立．（1）依题意得，X =0,1,2．··········································································2分()()()()121211310|1(1)346P X P B B P B P B B ⎛⎫====-⨯-= ⎪⎝⎭，······························3分()()()()()()()121212*********)(||P X P A B B A P A B P B A P A P B A P B P A B ===+=+ ，所以()1313191(1)1353430P X ⎛⎫==⨯-+-⨯=⎪⎝⎭，···················································4分()()()()121211312|355P X P A A P A P A A =====，···········································5分则X 的分布列为：X 012P16193015所以()119131012630530E X =⨯+⨯+⨯=．··························································6分（2）由全概率公式，得()()()()()2121121||P B P A P B A P B P B B =+13233(1)(1)353410=⨯-+⨯-=，······························8分所以()()()()()()121211222131|435|3910P A B P A P B A P A B P B P B ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭====，·····························9分所以()()121245|1|199P B B P A B =-=-=，·······················································10分所以()()1212||P A B P B B <，·········································································11分所以如果周同学第2天去B 餐厅，那么第1天去B 餐厅的可能性更大．·············12分解法二：（1）同解法一.···············································································6分（2）12121212()()(|)5315P A B P A P B A ==⨯=，···················································8分12211121()(|)()436P B B P B B P B ==⨯=，···························································9分所以1212()()P A B P B B <，···········································································10分因为12122()(|)()P A B P A B P B =，12122()(|)()P B B P B B P B =，所以1212(|)(|)P A B P B B <，········································································11分所以如果周同学第2天去B 餐厅，那么第1天去B 餐厅的可能性更大．·············12分19．【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；涉及的核心素养有直观想象、逻辑推理、数学运算等，体现基础性、综合性．满分12分．【解答】（1）设圆柱的高BB 1=h ，连接A 1B 交AB 1于点E ，连接DE ，····························1分因为A 1C //平面AB 1D ，平面A 1CB ∩平面AB 1D =DE ，A 1C ⊂平面A 1CB ，所以A 1C //DE ，·························································································3分又因为E 是A 1B 的中点，所以D 是BC 中点．················································4分所以12ABD ABC S S =△△，所以21112233ABC ABD V S h S h V =⋅=⨯⋅=△△．·······················································5分（2）如图，分别以CB ，CA ，1CC为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,2,0)A ，(4,0,0)B ，(2,0,0)D ，1(4,0,)B h ，所以1(4,2,)AB h =- ，(2,2,0)AD =- ，(2,0,0)CD =． (6)分设平面AB 1D 的一个法向量为111(,,)x y z =m ，则11111420,220,x y hz x y -+=⎧⎨-=⎩取12z =-，得(,,2)h h =-m ，········································8分因为A 1C 到平面AB 1D 的距离即点C 到平面AB 1D 的距离，所以||4||3CD ⋅=m m，即43=，解得4h =，·······································9分所以(4,4,2)=-m ，因为1CC =，所以111||1|cos ,|3||||CC CC CC ⋅<>===m m m ，················································11分所以直线CC 1与平面AB 1D 所成角的正弦值为13．··········································12分解法二：（1）同解法一；············································································5分（2）如图，分别以CB ，CA ，1CC为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,2,0)A ，(4,0,0)B ，(2,0,0)D ，1(4,0,)B h ，所以1(4,2,)AB h =- ，(2,2,0)AD =- ，(2,0,0)CD =． (6)分设平面AB 1D 的一个法向量为111(,,)x y z =m ，则11111420,220,x y hz x y -+=⎧⎨-=⎩取12z =-，得(,,2)h h =-m ，········································8分因为A 1C 到平面AB 1D 的距离即点C 到平面AB 1D 的距离，所以||1||CD ⋅=m m43=，解得4h =，········································9分因为CC 1//BB 1，所以直线CC 1与平面AB 1D 所成角与直线BB 1与平面所成角相等，设为θ．··············10分因为D 是BC 的中点，所以点B 到平面AB 1D 的距离d 与C 到平面AB 1D 的距离相等，即43d =．所以1413sin 43d BB θ===，所以直线CC 1与平面AB 1D 所成角的正弦值为13．··········································12分20．【命题意图】本小题主要考查数列的通项、数列的单调性和最值、数列求和等基础知识；考查逻辑思维能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注；体现基础性、综合性和创新性，满分12分．【解答】（1）依题意，10b =，·····································································1分1210n n b b n +-=-，····················································································2分于是当2n ≥时，()()111111210n n i i i n i b b b b i -+=-=-=-=-∑∑()()2422101n n =+++--- 21110n n =-+．···············································································5分即21110n b n n =-+，又10b =也符合上式，所以21110n b n n =-+．················································6分（2）由（1）可知()()1110n n n b a a n n +=-=--，·············································7分当29n ≤≤时，0n b <，即1n n a a +<，当11n ≥时，0n b >，即1n n a a +>，······························································10分当1n =或10时，0n b =，即1n n a a +=，·························································11分所以n a 取得最小值时10n =或11．······························································12分21．【命题意图】本小题主要考查双曲线的标准方程和简单几何性质，直线与双曲线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑思维能力，空间想象能力和创新能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想；导向对发展直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养的关注；体现综合性与创新性，满分12分．【解答】（1）因为(1,1)P 在C 的渐近线by x a =上，所以a b =，···························1分因为(,0)A a ，所以PAO △的面积为122a 1=，··················································2分解得1a =，所以1b =，··············································································3分所以C 的方程为221x y -=.··········································································4分（2）当直线l 的斜率不存在时，不符合题意，舍去；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(1)y k x -=-，11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221(1),1,y k x x y -=-⎧⎨-=⎩得222(1)2(1)220k x k k x k k ----+-=，·······························5分22224(1)4(1)(22)88k k k k k k ∆=----+-=-，由210,0,k ⎧-≠⎨∆>⎩得1k <且1k ≠-，则1221k x x k +=+，2122221k k x x k -+=-．····························································6分直线AM 的方程为11(1)1yy x x =--，令2x x =，得1221(1)(,1y x G x x --，·····································································7分因为H 为NG 的中点，所以12212(1)1(,)2y x y x H x -+-，所以122112212(1)1121211AH y x y x y y k x x x -+-⎛⎫==+ ⎪---⎝⎭，···············································8分因为1212121212(1)1(1)1112111111y y k x k x k x x x x x x -+-++=+=++------，·····················9分又1212121221111()1x x x x x x x x +-+=---++·····························································10分22221222111kk k k kk k -+=-+-+-+22k =-，···········································································11分所以1AH k =，所以直线AH 的斜率为定值．·····································································12分22.【命题意图】本小题主要考查导数及其应用、函数的单调性、零点等基础知识；考查运算求解能力、逻辑思维能力、空间想象能力和创新能力等；考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想；导向对发展数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注；体现综合性与创新性，满分12分．【解答】解法一：（1）由1()()e ,x f x x a x b -'=-<，·····················································1分当a b ≥时，()0f x '<，故()f x 在(,)b -∞上单调递减；·····································2分当a b <时，令()0f x '=，得x a =，故当(,)x a Î-¥时，()0f x '<，则()f x 在(,)a -¥上单调递减；当(,)x a b Î时，()0f x '>，则()f x 在(,)a b 上单调递增．···································4分综上所述，当a b <时，()f x 在(,)a -¥上单调递减，在(,)a b 上单调递增；当a b ≥时，()f x 在(,)b -∞上单调递减．（2）设切点为()11,Q x y ，因为1e x y -'=，所以切线的斜率为11e x -；则切线方程为()1111e x y y x x --=-，······························································5分因为切线经过(,)P m m ，所以()11111(e 1)e x x m m x ---+=-，即()1111(1)e 10 13x x m m x ---+-=-<<，若过点P 可以作两条直线与曲线()1e 113x y x -=+-<<相切，则上述关于1x 的方程至少有两个不等的实根．令()1(1)e 1x G x x m m -=--+-，13x -<<，·················································6分由（1）取3b =可得，当3m ≥时，()G x 在(1,3)-上单调递减，故()G x 在(1,3)-至多1个零点，不合题意，舍去；··········································7分当13m -<<时，()G x 在(1,)m -上单调递减；()G x 在(,3)m 上单调递增，故()G x 有最小值()G m ，()1e 1m G m m -=-+-，以下证明()0G m <.事实上，设1()e 1x h x x -=-+-，13x -<<，则1()e 1x h x -'=-+，由()h x '单调递减，且()10h '=，所以当11x -<<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当13x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()(1)0h x h <≤，即()0G m <．因此()G x 存在两个零点，当且仅当(1)0,(3)0,G G ->⎧⎨>⎩由()22(2)e 10,2e 10,13,m m m m m -ìï--+->ïïï-+->íïïï-<<ïî解得2222e 22e 1e 1e 1m +-<<--，此时过点P 可以作两条直线与曲线()1e 113x y x -=+-<<相切；·······················9分当1m ≤-时，()G x 在(1,3)-上单调递增，故()G x 在(1,3)-至多1个零点，不合题意，舍去．综上所述，m 的取值范围是2222e 22e 1,e 1e 1+-÷ç÷ç÷ç÷--．················································10分（ii ）m 的取值范围是2222e 22e 1,e 1e 1+-ççç--．·······················································12分解法二：（1）同解法一；············································································4分（2）设切点为()11,Q x y ，因为1e x y -'=，所以切线的斜率为11e x -；则切线方程为()1111e x y y x x --=-，······························································5分因为切线经过(,)P m m ，所以()11111(e 1)e x x m m x ---+=-，即()1111(1)e 10 13x x m m x ---+-=-<<，若过点P 可以作两条直线与曲线()1e 113x y x -=+-<<相切，则上述关于1x 的方程至少有两个不等的实根．显然11x =不是该方程的实根，所以关于x 的方程()11e 111e x x x m ---+=-在(1,1)(1,3)-U 上至少有两个不等的实数根．···············································································6分令()()11e 11,[1,1)(1,3]1e x x x G x x ---+=Î--U ，则()()1121e e 1()(1,1)(1,3)1e x x x x G x x ---+-'=∈-- ，···················································7分令()1e 1,(1,1)(1,3)x g x x x -=+-Î-U ，而1()e 1,(1,1)(1,3)x g x x -'=-∈- ，所以当(1,1)x Î-时，()0g x '<，故()g x 在(1,1)-上单调递减，当(1,3)x Î时，()0g x '>，故()g x 在(1,3)上单调递增，所以()()10g x g >=，所以当(1,1)(1,3)x Î-U 时，()0G x '>，所以()G x 在(1,1)-单调递增，在(1,3)单调递增，············································8分()G x图象如下图所示：因为e 1(0)e 1G +=-，222e 1(3)e 1G -=-，(0)(3)G G >，。

福建省三明市高三数学毕业班5月质量检查试卷理(含解析)

福建省三明市2017年普通高中毕业班5月质量检查理科数学一、选择题：共12题1．已知集合，若，则实数的取值范围是A。

B。

C.D。

【答案】A【解析】本题主要考查集合的基本运算、指数函数的性质。

因为，所以,又因为，所以2．已知是虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为A。

第一象限B。

第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】本题主要考查复数的共轭复数与四则运算以及复数的几何意义.,共轭复数为，在复平面内对应的点（)所在象限为第四象限3．6名同学合影留念，站成两排三列,则其中甲乙两人不在同一排也不在同一列的概率为A。

B. C.D。

【答案】B【解析】本题主要考查有限制条件的排列组合问题、古典概型，考查了分类讨论思想。

6名同学排列两排有种不同的排法,其中甲乙两人不在同一排也不在同一列的排法有：先选一排的其中一列站甲,再另一排的其余两列中选一列站乙,剩余的4个人任意排即可,则有种不同的排法,因此答案为4．设,为双曲线的左、右焦点，P为上一点，与x轴垂直，直线的斜率为，则双曲线的渐近线方程为A。

B. C.D。

【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的性质、直线的斜率公式，考查逻辑推理能力与计算能力。

因为与x轴垂直,点,所以,则直线的斜率为，求解可得，所以, 双曲线的渐近线方程为5．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序,若输入的值为 2，则输出的值为A。

64 B.84 C.340 D。

1364【答案】B【解析】本题主要考查循环结构程序框图，考查了逻辑思维能力.运行程序：x=2,S=0；S=4；x=4,S=20；x=8,S=84,此时满足条件，循环结束,输出S=84.6．已知数列的前项和为，且，则A。

B。

C. D.【答案】A【解析】本题主要考查等比数列的通项公式与前项和公式、递推公式的应用，考查了逻辑推理能力与计算能力。

因为，所以，则，即数列的奇数项成公比为等比数列，偶数项也成公比为2的等比数列,则7．已知函数的图象关于直线对称，则A。

福建省福州市高三5月综合练习数学(理)试题(解析版)

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数iaiz -=3(i 为虚数单位且0a <)在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限2. 已知集合{}1M x x a =<<,{}13N x x =<<,则“3a =”是“M N ⊆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3. 若0cos 2cos tt xdx =-⎰,其中(0,)t π∈,则t =( )A.6π B.2πC.56πD.π4. 函数xx y 2⋅=的部分图象如下,其中正确的是( )5. 已知32n a n =+,n ∈N ※,如果执行右边的程序框图,那么输出的s 等于( )A.18.5B.37C.185D.3706. 已知函数2()ln(1)f x x =+的值域为}{0,1,2,则满足这样条件的函数的个数有( )个.A.8B.9C.26D.27【解析】7. 设F 1、F 2分别为双曲线C:)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点,A 为双曲线的左顶点,以F 1F 2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M 、N 两点,且满足∠MAN=120o,则该双曲线的离心率为( )A.337 B.37C.321D.3198. 设已知,,a b m 均为整数(0m >),若a 和b 被m 除所得的余数相同,则称a 和b 对模m 同余,记为(mod )a b m ≡,若4040402240140040222⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+=C C C C a ,且(mod10)a b ≡, 则b 的值可以是( )A.2011B.2012C.2013D.20149. 如图,己知3||,5||==OB OA ,∠AOB 为锐角,OM 平分∠AOB,点N 为线段AB 的中点,OP xOA yOB =+,若点P 在阴影部分(含边界)内,则在下列给出的关于x 、y 的式子中,①x≥0,y≥0;②x －y≥0;③x －y≤0;④5x －3y ≥0;⑤3x －5y ≥0.满足题设条件的为( )A.①②④B.①③④C.①③⑤D.②⑤10. 在密码理论中,“一次一密”的密码体系是理论上安全性最高的.某部队执行特殊任务使用四个不同的口令,,,a b c d,每次只能使用其中的一种,且每次都是从上次未使用的三个口令中等可能地随机选用一种.设第１次使用a口令,那么第5次也使用a口令的概率是( )A.727B.61243C.1108D.1243第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11. 在集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥+≤-+0,0,032|),(y x y x y x y x 所表示的平面区域内任取一点M,则点M 恰好取自x 轴上方的概率为___ _____.考点：1.集合的含义.2.线性规划.3.三角形面积的计算.12. 在△ABC 中,AB ＝2,D 为BC 的中点,若AD BC ⋅=32-,则AC ＝_____ __．13. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体内切球的体积为 .14. 若函数ln ()ln(1)2kxf x x =-+不存在零点,则实数k 的取值范围是．15. 已知()f x 为定义在(0,+∞)上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1(2>-x f xf x 的解集为______ _____．三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. (本小题满分13分)每年的三月十二日,是中国的植树节,林管部门在植树前,为保证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度,规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”,测得高度如下(单位:厘米):甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133;乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146.(Ⅰ)根据抽测结果,画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图,并根据你填写的茎叶图,对甲、乙两种树苗的高度作比较,写出对两种树苗高度的统计结论;(Ⅱ)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x,将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图),问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义;(Ⅲ)若小王在甲种树苗中随机领取了5株进行种植,用样本的频率分布估计总体分布,求小王领取到的“良种树苗”的株数X的分布列.②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐;17. (本小题满分13分)在ABC ∆中,,,A B C 的对边分别是,,a b c ,已知1a =,平面向量(sin(),cos )m C C π=-,(sin(),sin )2n B B π=+,且sin 2m n A ⋅=.(Ⅰ)求△ABC 外接圆的面积;(Ⅱ)已知O 为△ABC 的外心,由O 向边BC 、CA 、AB 引垂线,垂足分别为D 、E 、F,求COF B OE A OD cos ||cos ||cos ||++的值.18. (本小题满分13分)如图长方体1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是边长为1的正方形,E 为1BB 延长线上的一点且满足111BB B E ⋅=.(Ⅰ)求证:1D E ⊥平面1AD C ;(Ⅱ)当11B E BB 为何值时,二面角1E AC D --的大小为4π.19. (本小题满分13分)已知椭圆C:22221x y a b +=( 0a b >>)的离心率为21,点(1,32)在椭圆C 上. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ) 若椭圆C 的两条切线交于点M(4,t ),其中t R ∈,切点分别是A 、B,试利用结论:在椭圆22221x y a b +=上的点(00,x y )处的椭圆切线方程是00221x x y y a b +=,证明直线AB 恒过椭圆的右焦点2F ; (Ⅲ)试探究2211||||AF BF +的值是否恒为常数,若是,求出此常数;若不是,请说明理由.20. (本题满分14分) 已知函数ln ()x x k f x e+=(其中k R ∈),)('x f 为f (x )的导函数. (Ⅰ)求证:曲线y=()f x 在点(1,(1)f )处的切线不过点(2,0);(Ⅱ)若在区间]1,0(中存在0x ,使得'0()0f x =,求k 的取值范围;(Ⅲ)若0)1('=f ,试证明:对任意0x >,2'21()e f x x x -+<+恒成立.然后研究函数1ln y x x x =--，通过求导求出函数的最大值.研究函数(1)x y e x =-+，通过求导得出函数考点：1.导函数的几何意义.2.函数的极值.3.导数应用.4.通过不等式的传递性证明不等式.21. (本题满分14分)(1) 二阶矩阵A ,B 对应的变换对圆的区域作用结果如图所示.(Ⅰ)请写出一个满足条件的矩阵A ,B ;(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果,计算C=BA ,并求出曲线10x y --=在矩阵C 对应的变换作用下的曲线方程. 设曲线10x y --=上任意一点为(,)m n ,变换后的点坐标为(,)x y10210x m y n ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,12x n y m⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩，10m n --=210x y ∴+-=故所求的曲线方程为210x y +-= …………7分考点：1.图形表示矩阵的变换.2.矩阵的运算.(2) 已知曲线1C 的极坐标方程是4cos ρθ=,以极点为原点,极轴为x 轴正方向建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是2cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). (Ⅰ)求曲线1C 的直角坐标方程;(Ⅱ)设直线l 与曲线1C 交于A 、B 两点,点M 的直角坐标为(2,1),若3AB MB =,求直线l 的普通方程.6sin 4θ=,10cos 4θ=±(3) 已知函数()|1|f x x =-.(Ⅰ)解不等式:()(1)2f x f x +-≤；(Ⅱ)当0a >时, 不等式23()()a f ax af x -≥-恒成立,求实数a 的取值范围.所以23|1|a a -≥- 2a ∴≥ ……………7分考点：1.绝对值不等式.2.恒成立问题.3.分类的数学思想.。

2020高三数学毕业班5月质量检查试题理含解析

7。在“弘扬中华文化"的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了前5名的决赛（获奖名次不重复）．甲、乙、丙三人一起去询问成绩，回答者说：“第一名和第五名恰好都在你们三人之中，甲的成绩比丙好”，从这个回答分析，5人的名次排列的所有可能情况有（）．
A。 18种B。 24种C。 36种D。 48种
【答案】A
福建省厦门市2020届高三数学毕业班5月质量检查试题理（含解析）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填在答题卡和试卷的指定位置上。
2。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效.
A。 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用参变分离,将问题转化为与图象之间的关系，即可得答案；
【详解】 ,
令，则，
当；当，
在单调递增，在单调递减,且 ,
如图所示：
恒过定点，且，，
, ,
存在唯一整数使得，
当时,存在唯一的整数使得命题成立，
故选：B。
【点睛】本题考查不等式解的整数根问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意利用半分离法，将问题转化为两个函数图象之间的关系问题。
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13。的内角，，的对边分别为 , ，，且，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正弦定理将角化成边得，结合，将边统一用表示,再利用余弦定理，即可得答案；

福州市2020年5月高三综合质量数学理科试题含答案

福州市普通高中毕业班综合质量检测理科数学能力测试（完卷时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知全集为R ，集合{1,1,2,4}M =-,2{|23}N x x x =->，则()M N =R I ð （A ）{1,1,2}-（B ）{1,2}（C ）{4}（D ）{}12x x-剟2、复数z 满足(1i)|1i |z -=+，则复数z 的共轭复数在复平面内的对应点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3、函数()sin()f x A x ϕ=+（0A >）在π3x =处取得最小值，则（A ）π()3f x +是奇函数（B ）π()3f x +是偶函数（C ）π()3f x -是奇函数（D ）π()3f x -是偶函数4、在ABC ∆中，5AB AC ⋅=u u u r u u u r ,4BA BC ⋅=u u u r u u u r，则AB = （A ）9 （B ）3 （C ）2 （D ）15、已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X （单位：mm ）对工期延误天数Y 的影响及相应的概率P 如下表所示：在降水量X 至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为（A ）0.1 （B ）0.3 （C ）0.42 （D ）0.56、若,x y 满足约束条件10,20,220,x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪++⎩………且目标函数z ax y =-取得最大值的点有无数个，则z 的最小值等于降水量X 100X <100200X <... 200300X < (300)X … 工期延误天数Y 051530概率P0.4 0.2 0.1 0.3（A ）2-（B ）32-（C ）12-（D ）127、执行右面的程序框图，若输入n 值为4，则输出的结果为（A ）8 （B ）21 （C ）34（D ）558、512x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为（A ）45 （B ）60（C ）90（D ）1209、正项等比数列{}n a 满足11a =,2635a a a a +=128，则下列结论正确的是（A ）n ∀∈*N ，12n n n a a a ++… （B ）n ∃∈*N ，212n n n a a a +++=（C ）n ∀∈*N ，1n n S a +< （D ）n ∃∈*N ，312n n n n a a a a ++++=+10、双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ，P 是E左支上一点，112PF F F =，直线2PF 与圆222x y a +=相切，则E 的离心率为（A ）54（B ）3（C ）53（D ）23311、一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于（A ）2 （B ）423（C ）433（D ）312、设m ∈R ，函数222()()(e 2)x f x x m m =-+-．若存在0x 使得01()5f x …成立，则m = （A ）15（B ）25 （C ）35（D ）45第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13、知函数1,02,()1,20.x x f x x -<⎧=⎨--⎩…剟若()()[],2,2g x f x ax x =+∈-为偶函数，则实数a = ．14、所有棱长均为2的正四棱锥的外接球的表面积等于．正视图侧视图俯视图212215、抛物线2:4C yx =的准线与x 轴交于点M ，过焦点F 作倾斜角为60︒的直线与C 交于,A B 两点，则tan AMB ∠= ．16、数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知12a =,1(1)2n n n S S n ++-=，则100S =________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分12分）ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ，已知tan 21tan A cB b+=．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若BC 边上的中线22AM =，高线3AH =，求ABC ∆的面积． 18、（本小题满分12分）为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分(含80分)．（Ⅰ）（i ）请根据图示，将2×2列联表补充完整；（ii ）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率．附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=．19、（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是梯形，且//AB CD ,AB ⊥平面PAD ，E 是PB 中点，12CD PD AD AB ===．（Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAB ；（Ⅱ）若3CE =，4AB =，求直线CE 与平面PDC 所成角的大小． 20、（本小题满分12分）优分非优分总计男生女生总计 50()2P K k …0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828E DC B A P在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 的坐标分别为()()2,0,2,0-．直线,AP BP 相交于点P ，且它们的斜率之积是14-．记点P 的轨迹为Γ．（Ⅰ）求Γ的方程；（Ⅱ）已知直线,AP BP 分别交直线:4l x =于点,M N ，轨迹Γ在点P 处的切线与线段MN 交于点Q ，求MQ NQ的值．21、（本小题满分12分）已知a ∈R ，函数1()e x f x ax -=-的图象与x 轴相切．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1x >时，()(1)ln f x m x x >-，求实数m 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，ABC ∆内接于圆O ，D 是¼BAC 的中点，∠BAC 的平分线分别交BC 和圆O 于点E ,F ．（Ⅰ）求证：BF 是ABE ∆外接圆的切线；（Ⅱ）若3AB =,2AC =，求22DB DA -的值．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出1C 的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线222:14x C y +=经伸缩变换1,2x x y y⎧'=⎪⎨⎪'=⎩后得到曲线3C ，射线π3θ=（0ρ>）分别与1C 和3C 交于A ,B 两点，求||AB ． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知不等式|3|21x x +<+的解集为{|}x x m >．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设关于x 的方程1||||x t x m t-++=（0t ≠）有解，求实数t 的值．福州市普通高中毕业班综合质量检测O F E DC B A理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）A （2）D （3）B （4）B （5）D （6）C （7）C （8）D （9）C （10）C （11）A （12）B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）12- （14）8π （15）43 （16）198三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．解：（Ⅰ）因为tan 21tan A c B b +=，所以sin cos 2sin 1sin cos sin A B CB A B+=， ······················ 2分即sin()2sin sin cos sin A B C B A B+=，因为sin()sin 0A B C +=≠，sin 0B ≠，所以1cos 2A =， ················································································· 4分又因为(0,π)A ∈，所以π3A =． ····························································· 5分（Ⅱ）由M 是BC 中点，得1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r，即2221(2)4AM AB AC AB AC =++⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2232c b bc ++=，① ····································································· 7分由11sin 22S AH BC AB AC A =⋅=⋅⋅，得332bc a =，即2bc a =，② ····························································· 9分又根据余弦定理，有222a b c bc =+-，③ ·············································· 10分联立①②③，得2()3222bcbc =-，解得8bc =．所以△ABC 的面积1sin 232S bc A ==． ·············································· 12分（18）本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图、n 次独立重复试验、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：······································································································ 2分假设0H ：该学科成绩与性别无关，2K 的观测值22()50(991121) 3.125()()()()20302030n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯===++++⨯⨯⨯，因为3.125 2.706>，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关．·············································································································· 6分（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率200.450f ==视作概率．··············································································· 7分设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X ，则X 服从二项分布(3,0.4)B ， ································································································ 9分所求概率223333(2)(3)0.40.60.40.352P P X P X C C ==+==⨯⨯+⨯=． ···································································································· 12分（19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．（Ⅰ）证明：取AP 的中点F ，连结,DF EF ，如图所示．因为PD AD =，所以DF AP ⊥． ··························································· 1分因为AB ⊥平面PAD ，DF ⊂平面PAD ，所以AB DF ⊥．又因为AP AB A =I ，所以DF ⊥平面PAB ． ········································································ 3分因为点E 是PB 中点，所以//EF AB ，且2ABEF =． ······························································ 4分又因为//AB CD ，且2ABCD =，所以//EF CD ，且EF CD =，所以四边形EFDC 为平行四边形，所以//CE DF ，所以CE ⊥平面PAB ． ··················································· 6分（Ⅱ）解：设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，则//OG AB ，因为AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以AB AD ⊥，所以OG AD ⊥． ·························································· 7分因为3EC =，由（Ⅰ）知，3,DF = 又因为4AB =，所以2AD =，所以222222232,AP AF AD DF ==-=-=所以APD ∆为正三角形，所以PO AD ⊥，因为AB ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，所以AB PO ⊥．又因为AD AB A =I ，所以PO ⊥平面ABCD ．········································· 8分故,,OA OG OP 两两垂直，可以点O 为原点，分别以,,OA OG OP u u u r u u u r u u u r的方向为,,x y z 轴的正方向，优分非优分总计男生 9 21 30 女生11920总计 20 30 50建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示．(0,0,3)P ，(1,2,0),(1,0,0)C D --，13(,2,)22E ，所以(1,0,3)PD =--u u u r ，(1,2,3)PC =--u u u r ，33(,0,)22EC =--u u u r ， ··················· 9分设平面PDC 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,PD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u ru u u r 所以30,230,x z x y z ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩ 取1z =，则(3,0,1)=-n ， ································································ 10分设EC 与平面PDC 所成的角为α，则31sin |cos ,|||232EC α=<>==⋅n u u u r ， ···················································· 11分因为π[0,]2α∈，所以π6α=，所以EC 与平面PDC 所成角的大小为π6． ············································· 12分（20）本小题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）设点P 坐标为(),x y ，则直线AP 的斜率2AP yk x =+（2x ≠-）；直线BP 的斜率2BP yk x =-（2x ≠）． ·························································· 2分由已知有1224y y x x ⨯=-+-（2x ≠±）， ······················································· 3分化简得点P 的轨迹Γ的方程为2214x y +=（2x ≠±）． ····································· 4分（注：没写2x ≠或2x ≠-扣1分）（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=． ············································ 5分直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M yy x =+； ······ 6分直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-； ······· 7分设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ············· 8分由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+．将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， ·· 9分所以切线方程为()00004xy y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．··········································································································· 10分设MQ QN =u u u u r u u u rλ，所以()Q M N Q y y y y -=-λ，所以00000000162122x y y x y x x y ⎛⎫---=- ⎪+-⎝⎭λ． ······················································· 11分所以()()()()()()22000000000012621222x x y y x x y x y x -+----=+-λ．将220014x y =-代入上式，002+(2+)22x x-=-λ，解得1=λ，即1MQNQ=． ··········································································· 12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=． ············································ 5分直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M yy x =+； ······ 6分直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-； ······· 7分设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ············· 8分由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+．将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， ·· 9分所以切线方程为()00004xy y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．··········································································································· 10分所以()()000000022000008181621222244M N Q x y x y y y x y y y x x x y y ---+=+====+---， ············· 11分所以Q 为线段MN 的中点，即1MQ NQ=． ······················································ 12分（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）()1e x f x a -'=-，设切点为0(,0)x ， ················································· 1分依题意，00()0,()0,f x f x =⎧⎨'=⎩即00101e 0,e 0,x x ax a --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得01,1,x a =⎧⎨=⎩························································································ 3分所以()1e 1x f x -'=-．当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞． ························· 5分（Ⅱ）令()()(1)ln g x f x m x x =--，0x >．则11()e (ln )1x x g x m x x--'=-+-，令()()h x g x '=，则1211()e ()x h x m x x-'=-+， ··············································· 6分（ⅰ）若12m …，因为当1x >时，1e 1x ->，211()1m x x+<，所以()0h x '>，所以()h x 即()g x '在(1,)+∞上单调递增．又因为(1)0g '=，所以当1x >时，()0g x '>，从而()g x 在[1,)+∞上单调递增，而(1)0g =，所以()0g x >，即()(1)ln f x m x x >-成立． ······························· 9分（ⅱ）若12m >，可得1211()e ()x h x m x x-'=-+在(0,)+∞上单调递增．因为(1)120h m '=-<，211(1ln(2))2{}01ln(2)[1ln(2)]h m m m m m '+=-+>++，所以存在1(1,1ln(2))x m ∈+，使得1()0h x '=，且当1(1,)x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 即()g x '在1(1,)x 上单调递减，又因为(1)0g '=，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x '<，从而()g x 在1(1,)x 上单调递减，而(1)0g =，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x <，即()(1)ln f x m x x >-不成立．纵上所述，k 的取值范围是1(,]2-∞． ····················································· 12分请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修41-：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）设ABE ∆外接圆的圆心为O '，连结BO '并延长交圆O '于G 点，连结GE ，则90BEG ∠=︒，BAE BGE ∠=∠．因为AF 平分∠BAC ，所以»»=BF FC ，所以FBE BAE ∠=∠， ························ 2分所以18090FBG FBE EBG BGE EBG BEG ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒，所以O B BF '⊥，所以BF 是ABE ∆外接圆的切线． ······································ 5分（Ⅱ）连接DF ，则DF BC ⊥，所以DF 是圆O 的直径，因为222BD BF DF +=，222DA AF DF +=，所以2222BD DA AF BF -=-． ································································ 7分因为AF 平分∠BAC ，所以ABF ∆∽AEC ∆,G O'E CODBA所以AB AFAE AC=，所以()AB AC AE AF AF EF AF ⋅=⋅=-⋅, 因为FBE BAE ∠=∠，所以FBE ∆∽FAB ∆，从而2BF FE FA =⋅，所以22AB AC AF BF ⋅=-，所以226BD DA AB AC -=⋅=． ····························································· 10分（23）选修44-；坐标系与参数方程本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）将22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，化为普通方程为22(2)4x y -+=，即221:40C x y x +-=， ··············································································· 2分将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入221:40C x y x +-=，得24cos ρρθ=， ································· 4分所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ······························································ 5分（Ⅱ）将2,x x y y '=⎧⎨'=⎩代入2C 得221x y ''+=，所以3C 的方程为221x y +=．········································································ 7分 3C 的极坐标方程为1ρ=，所以||1OB =．又π||4cos 23OA ==，所以||||||1AB OA OB =-=． ········································································ 10分（24）选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）由|3|21x x +<+得，3,(3)21,x x x -⎧⎨-+<+⎩ (3)321,x x x >-⎧⎨+<+⎩·································································· 2分解得2x >．依题意2m =． ·························································································· 5分（Ⅱ）因为()1111x t x x t x t t t t t t ⎛⎫-++--+=+=+ ⎪⎝⎭…，当且仅当()10x t x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…时取等号， ···························································· 7分因为关于x 的方程1||||2x t x t-++=（0t ≠）有实数根，所以12t t+…． ························································································ 8分另一方面，12t t+…，所以12t t+=， ························································································ 9分所以1t =或1t =-． ·················································································· 10分。

福州市5月份质检理数(扫描版)

zx D CP高中毕业班数学(理科)练习参考答案与评分标准一、选择题1. B2. A3. A4.B5. B6. D7. B8. B9. C 10. A 二、填空题11. 0.0228 12. 4 13. 1)632sin(2)(++=πx x f 14. (x －2)2+(y －2)2=1. 15. 7 三、解答题:16.解:(Ⅰ)由程序框图可知, 数列{a n }的一个递推关系式:a 1=1,a 2=1,a n +2=4a n +1－4a n , (n ∈N +)………4分(Ⅱ)由a n +2－2a n +1=2(a n +1－2a n ), 且a 2－2a 1=－1∴数列{a n +1－2a n }是以－1为首项,2为公比的等比数列. ………8分(Ⅲ) 由(Ⅱ)有 a n +1－2a n =－2n －1,111224n n n n a a ++-=,又11122a = ∴数列}2{nn a 是以21为首项,41-为公差的等差数列. ∴113()(1),()22244nn n n a n n a -=+--=⋅………13分 17.解:(Ⅰ)由C A B c b c a sin sin sin +=--,得ca bc b c a +=--, 即a 2=b 2+c 2－bc ,由余弦定理,得:3,21cos π==A A . ………6分(Ⅱ)f (x )=1+cos(2x +2A )+cos(2x －2A )=1－cos2x 故f (x )的最小正周期T =π,由2k π≤2x ≤2k π+π(k ∈Z),得f (x )的单调递增区间为)](2,[Z k k k ∈+πππ.………13分18.解:(Ⅰ)图①为该几何体的直观图; ………3分 (Ⅱ)依题意,平面PBC ⊥平面ABC ,平面PBC ∩平面ABC=BC ,取BC 中点O,连接PO , 则PO ⊥BC,PO ⊥平面ABCD .取AD 中点M , 则OM ⊥BC .如图建立空间直角坐标系O-xyz.P (0,0,2),A (2,1,0),)2,1,2(-=PA ,又平面PBC 的一个法向量为32||||,cos ),0,0,1(=⋅>=<=m PA m PA m PA m , ∴直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为32.………9分 (Ⅲ)法1:∵D (2,－1,0),)2,1,2(),0,2,0(-==PA DA , 设),,(z y x n =为平面PAD 的一个法向量,则⎩⎨⎧=-+=02202z y x y ,取(1,0,1)n =1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅ ∴二面角A-l-B 的大小为45°. ………13分法2:平面PBC ∩平面PAD=l ,BC //AD ⇒BC //平面PAD ⇒BC //l,OP ⊥l,MP ⊥l⇒∠MPO 就是二面角A-l-B 的平面角,1tan ==∠POMO MPO .∴二面角A-l-B 的大小为45°. ………13分19. 解：（1）以AB 中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则()()()A B C -3030523，，，，，则()()A C k m =++=532321922即A 、C 两个救援中心的距离为219k m.………3分（2）∵||||P C P B =，所以P 在BC 线段的垂直平分线上.又∵||||P BP A -=4，所以P 在以A 、B 为焦点的双曲线的左支上，且A B =6∴双曲线方程为()x y x 224510-=<BC 的垂直平分线的方程为x y +-=370 联立两方程解得：x =-8()∴，，∠P k P A B P A-==-8533t a n ∴∠PAB ＝120°所以P 点在A 点的北偏西30°方向上. ………9分（3）如图，设P Q h P B x P A y===，，∵Q B Q A x h y h -=+-+2222()=-+++=-++++xy x h y h x y x yx h y h2222222222· 又∵x y x h y h++++<22221QB QA PB PA -<-∴1111QB QA PB PA-<-∴即从P 点的正上方Q 点处A 、B 收到信号的时间差比从P 点处A 、B 收到信号的时间差变小. ………13分20.解(Ⅰ)由ON =λOA +(1－λ)OB 得到BN =λBA ，所以B ，N ，A 三点共线. ………3分(Ⅱ)由x =λ x 1+(1－λ) x 2与向量ON =λOA +(1－λ)OB ，得N 与M 的横坐标相同．对于 [0，1]上的函数y=x 2，A (0，0)，B (1，1)，则有()221124MN x x x =-=--+，故104MN ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，；所以k 的取值范围是)14⎡+∞⎢⎣，．………8分(Ⅲ)对于定义在1e e mm +⎡⎤⎣⎦，上的函数ln y x =，A (e m m ，)，B (1e 1m m ++，)，则直线AB 的方程11(e )eem m my m x +-=--，………10分令11()ln (e )eem m mh x x m x +=----，其中()1e e m m x m +⎡⎤∈∈⎣⎦R ，，于是111()e e m m h x x +'=--，列表如下：xe m (e m ，e m +1－e m )e m +1－e m(e m +1－e m ，e m +1)e m +1 ()h'x + 0 － ()h x增1(e e )m m h +-减则MN =()h x ，且在1e e m m x +=-处取得最大值，又()1e 2(e e )ln e 1e 1m m h +--=--≈-0.12318<，从而命题成立． ………14分 21. 解:(1)解: (Ⅰ)110121,1012M M --⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,点P (2,1)在T 1作用下的点Q 的坐标为(－1,2) ………4分 (Ⅱ)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==011112M M M ,设(x,y )为变换后图象上任意一点,与之对应的变换前的点是(x 0,y 0),则⎩⎨⎧==-∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x x y x x y x y x 00000000,0111,即⎩⎨⎧-==x y y yx 00.故所求的曲线方程为y －x=y 2………7分(2)解: (Ⅰ)设动点P 的极坐标为),(θρ,点M 的极坐标为),(00θρ,则120=ρρ, 又θρθρcos 3,4cos 0=∴=(扣除极点)即动点P 的极坐标方程为3cos ρθ=(扣除极点); ………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)易知动点P 的轨迹是以(1.5,0)为圆心,1.5为半径的圆, 故RP 的最小值为1. ………7分 (3) 解(Ⅰ)由f (x )≥4得|6x+a|≥4,解得6464ax a x --≤-≥或,依题意, 1,65642164=∴⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-a a a ;………4分(Ⅱ)当a =1时,f (x)=|6x +1|.f (x +1)=|6x +7|,f (x －1)=|6x －5|f (x +1)+f (x －1)= |6x +7|+|6x －5|≥|(6x +7)－(6x －5)|=12,∴b <12. ………7分。

福州市2020年5月高三综合质量数学理科试题含答案

福州市普通高中毕业班综合质量检测理科数学能力测试（完卷时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知全集为R ，集合{1,1,2,4}M =-,2{|23}N x x x =->，则()M N =R I ð （A ）{1,1,2}-（B ）{1,2}（C ）{4}（D ）{}12x x-剟2、复数z 满足(1i)|1i |z -=+，则复数z 的共轭复数在复平面内的对应点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3、函数()sin()f x A x ϕ=+（0A >）在π3x =处取得最小值，则（A ）π()3f x +是奇函数（B ）π()3f x +是偶函数（C ）π()3f x -是奇函数（D ）π()3f x -是偶函数4、在ABC ∆中，5AB AC ⋅=u u u r u u u r ,4BA BC ⋅=u u u r u u u r，则AB = （A ）9 （B ）3 （C ）2 （D ）15、已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X （单位：mm ）对工期延误天数Y 的影响及相应的概率P 如下表所示：在降水量X 至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为（A ）0.1 （B ）0.3 （C ）0.42 （D ）0.56、若,x y 满足约束条件10,20,220,x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪++⎩………且目标函数z ax y =-取得最大值的点有无数个，则z 的最小值等于降水量X 100X <100200X <... 200300X < (300)X … 工期延误天数Y 051530概率P0.4 0.2 0.1 0.3（A ）2-（B ）32-（C ）12-（D ）127、执行右面的程序框图，若输入n 值为4，则输出的结果为（A ）8 （B ）21 （C ）34（D ）558、512x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为（A ）45 （B ）60（C ）90（D ）1209、正项等比数列{}n a 满足11a =,2635a a a a +=128，则下列结论正确的是（A ）n ∀∈*N ，12n n n a a a ++… （B ）n ∃∈*N ，212n n n a a a +++=（C ）n ∀∈*N ，1n n S a +< （D ）n ∃∈*N ，312n n n n a a a a ++++=+10、双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ，P 是E左支上一点，112PF F F =，直线2PF 与圆222x y a +=相切，则E 的离心率为（A ）54（B ）3（C ）53（D ）23311、一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于（A ）2 （B ）423（C ）433（D ）312、设m ∈R ，函数222()()(e 2)x f x x m m =-+-．若存在0x 使得01()5f x …成立，则m = （A ）15（B ）25 （C ）35（D ）45第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13、知函数1,02,()1,20.x x f x x -<⎧=⎨--⎩…剟若()()[],2,2g x f x ax x =+∈-为偶函数，则实数a = ．14、所有棱长均为2的正四棱锥的外接球的表面积等于．正视图侧视图俯视图212215、抛物线2:4C yx =的准线与x 轴交于点M ，过焦点F 作倾斜角为60︒的直线与C 交于,A B 两点，则tan AMB ∠= ．16、数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知12a =,1(1)2n n n S S n ++-=，则100S =________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分12分）ABC ∆的内角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ，已知tan 21tan A cB b+=．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若BC 边上的中线22AM =，高线3AH =，求ABC ∆的面积． 18、（本小题满分12分）为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分(含80分)．（Ⅰ）（i ）请根据图示，将2×2列联表补充完整；（ii ）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率．附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=．19、（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面是梯形，且//AB CD ,AB ⊥平面PAD ，E 是PB 中点，12CD PD AD AB ===．（Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAB ；（Ⅱ）若3CE =，4AB =，求直线CE 与平面PDC 所成角的大小． 20、（本小题满分12分）优分非优分总计男生女生总计 50()2P K k …0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828E DC B A P在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 的坐标分别为()()2,0,2,0-．直线,AP BP 相交于点P ，且它们的斜率之积是14-．记点P 的轨迹为Γ．（Ⅰ）求Γ的方程；（Ⅱ）已知直线,AP BP 分别交直线:4l x =于点,M N ，轨迹Γ在点P 处的切线与线段MN 交于点Q ，求MQ NQ的值．21、（本小题满分12分）已知a ∈R ，函数1()e x f x ax -=-的图象与x 轴相切．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1x >时，()(1)ln f x m x x >-，求实数m 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，ABC ∆内接于圆O ，D 是¼BAC 的中点，∠BAC 的平分线分别交BC 和圆O 于点E ,F ．（Ⅰ）求证：BF 是ABE ∆外接圆的切线；（Ⅱ）若3AB =,2AC =，求22DB DA -的值．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出1C 的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线222:14x C y +=经伸缩变换1,2x x y y⎧'=⎪⎨⎪'=⎩后得到曲线3C ，射线π3θ=（0ρ>）分别与1C 和3C 交于A ,B 两点，求||AB ． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知不等式|3|21x x +<+的解集为{|}x x m >．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设关于x 的方程1||||x t x m t-++=（0t ≠）有解，求实数t 的值．福州市普通高中毕业班综合质量检测O F E DC B A理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）A （2）D （3）B （4）B （5）D （6）C （7）C （8）D （9）C （10）C （11）A （12）B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）12- （14）8π （15）43 （16）198三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．解：（Ⅰ）因为tan 21tan A c B b +=，所以sin cos 2sin 1sin cos sin A B CB A B+=， ······················ 2分即sin()2sin sin cos sin A B C B A B+=，因为sin()sin 0A B C +=≠，sin 0B ≠，所以1cos 2A =， ················································································· 4分又因为(0,π)A ∈，所以π3A =． ····························································· 5分（Ⅱ）由M 是BC 中点，得1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r，即2221(2)4AM AB AC AB AC =++⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2232c b bc ++=，① ····································································· 7分由11sin 22S AH BC AB AC A =⋅=⋅⋅，得332bc a =，即2bc a =，② ····························································· 9分又根据余弦定理，有222a b c bc =+-，③ ·············································· 10分联立①②③，得2()3222bcbc =-，解得8bc =．所以△ABC 的面积1sin 232S bc A ==． ·············································· 12分（18）本小题主要考查频率分布直方图、茎叶图、n 次独立重复试验、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：······································································································ 2分假设0H ：该学科成绩与性别无关，2K 的观测值22()50(991121) 3.125()()()()20302030n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯===++++⨯⨯⨯，因为3.125 2.706>，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关．·············································································································· 6分（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率200.450f ==视作概率．··············································································· 7分设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X ，则X 服从二项分布(3,0.4)B ， ································································································ 9分所求概率223333(2)(3)0.40.60.40.352P P X P X C C ==+==⨯⨯+⨯=． ···································································································· 12分（19）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．（Ⅰ）证明：取AP 的中点F ，连结,DF EF ，如图所示．因为PD AD =，所以DF AP ⊥． ··························································· 1分因为AB ⊥平面PAD ，DF ⊂平面PAD ，所以AB DF ⊥．又因为AP AB A =I ，所以DF ⊥平面PAB ． ········································································ 3分因为点E 是PB 中点，所以//EF AB ，且2ABEF =． ······························································ 4分又因为//AB CD ，且2ABCD =，所以//EF CD ，且EF CD =，所以四边形EFDC 为平行四边形，所以//CE DF ，所以CE ⊥平面PAB ． ··················································· 6分（Ⅱ）解：设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，则//OG AB ，因为AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以AB AD ⊥，所以OG AD ⊥． ·························································· 7分因为3EC =，由（Ⅰ）知，3,DF = 又因为4AB =，所以2AD =，所以222222232,AP AF AD DF ==-=-=所以APD ∆为正三角形，所以PO AD ⊥，因为AB ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，所以AB PO ⊥．又因为AD AB A =I ，所以PO ⊥平面ABCD ．········································· 8分故,,OA OG OP 两两垂直，可以点O 为原点，分别以,,OA OG OP u u u r u u u r u u u r的方向为,,x y z 轴的正方向，优分非优分总计男生 9 21 30 女生11920总计 20 30 50建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示．(0,0,3)P ，(1,2,0),(1,0,0)C D --，13(,2,)22E ，所以(1,0,3)PD =--u u u r ，(1,2,3)PC =--u u u r ，33(,0,)22EC =--u u u r ， ··················· 9分设平面PDC 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,PD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u ru u u r 所以30,230,x z x y z ⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩ 取1z =，则(3,0,1)=-n ， ································································ 10分设EC 与平面PDC 所成的角为α，则31sin |cos ,|||232EC α=<>==⋅n u u u r ， ···················································· 11分因为π[0,]2α∈，所以π6α=，所以EC 与平面PDC 所成角的大小为π6． ············································· 12分（20）本小题考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）设点P 坐标为(),x y ，则直线AP 的斜率2AP yk x =+（2x ≠-）；直线BP 的斜率2BP yk x =-（2x ≠）． ·························································· 2分由已知有1224y y x x ⨯=-+-（2x ≠±）， ······················································· 3分化简得点P 的轨迹Γ的方程为2214x y +=（2x ≠±）． ····································· 4分（注：没写2x ≠或2x ≠-扣1分）（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=． ············································ 5分直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M yy x =+； ······ 6分直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-； ······· 7分设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ············· 8分由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+．将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， ·· 9分所以切线方程为()00004xy y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．··········································································································· 10分设MQ QN =u u u u r u u u rλ，所以()Q M N Q y y y y -=-λ，所以00000000162122x y y x y x x y ⎛⎫---=- ⎪+-⎝⎭λ． ······················································· 11分所以()()()()()()22000000000012621222x x y y x x y x y x -+----=+-λ．将220014x y =-代入上式，002+(2+)22x x-=-λ，解得1=λ，即1MQNQ=． ··········································································· 12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设()00,P x y （02x ≠±），则220014x y +=． ············································ 5分直线AP 的方程为()0022y y x x =++，令4x =，得点M 纵坐标为0062M yy x =+； ······ 6分直线BP 的方程为()0022y y x x =--，令4x =，得点N 纵坐标为0022N yy x =-； ······· 7分设在点P 处的切线方程为()00y y k x x -=-，由()0022,44,y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=． ············· 8分由0∆=，得()()()2222000064161410k y kx k y kx ⎡⎤--+--=⎣⎦，整理得22220000214y kx y k x k -+=+．将()222200001,414x y x y =-=-代入上式并整理得200202x y k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得004x k y =-， ·· 9分所以切线方程为()00004xy y x x y -=--．令4x =得，点Q 纵坐标为()()22000000000000441441444Q x x x y x x x y y y y y y ---+-=-===．··········································································································· 10分所以()()000000022000008181621222244M N Q x y x y y y x y y y x x x y y ---+=+====+---， ············· 11分所以Q 为线段MN 的中点，即1MQ NQ=． ······················································ 12分（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（Ⅰ）()1e x f x a -'=-，设切点为0(,0)x ， ················································· 1分依题意，00()0,()0,f x f x =⎧⎨'=⎩即00101e 0,e 0,x x ax a --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得01,1,x a =⎧⎨=⎩························································································ 3分所以()1e 1x f x -'=-．当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞． ························· 5分（Ⅱ）令()()(1)ln g x f x m x x =--，0x >．则11()e (ln )1x x g x m x x--'=-+-，令()()h x g x '=，则1211()e ()x h x m x x-'=-+， ··············································· 6分（ⅰ）若12m …，因为当1x >时，1e 1x ->，211()1m x x+<，所以()0h x '>，所以()h x 即()g x '在(1,)+∞上单调递增．又因为(1)0g '=，所以当1x >时，()0g x '>，从而()g x 在[1,)+∞上单调递增，而(1)0g =，所以()0g x >，即()(1)ln f x m x x >-成立． ······························· 9分（ⅱ）若12m >，可得1211()e ()x h x m x x-'=-+在(0,)+∞上单调递增．因为(1)120h m '=-<，211(1ln(2))2{}01ln(2)[1ln(2)]h m m m m m '+=-+>++，所以存在1(1,1ln(2))x m ∈+，使得1()0h x '=，且当1(1,)x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 即()g x '在1(1,)x 上单调递减，又因为(1)0g '=，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x '<，从而()g x 在1(1,)x 上单调递减，而(1)0g =，所以当1(1,)x x ∈时，()0g x <，即()(1)ln f x m x x >-不成立．纵上所述，k 的取值范围是1(,]2-∞． ····················································· 12分请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修41-：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）设ABE ∆外接圆的圆心为O '，连结BO '并延长交圆O '于G 点，连结GE ，则90BEG ∠=︒，BAE BGE ∠=∠．因为AF 平分∠BAC ，所以»»=BF FC ，所以FBE BAE ∠=∠， ························ 2分所以18090FBG FBE EBG BGE EBG BEG ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒，所以O B BF '⊥，所以BF 是ABE ∆外接圆的切线． ······································ 5分（Ⅱ）连接DF ，则DF BC ⊥，所以DF 是圆O 的直径，因为222BD BF DF +=，222DA AF DF +=，所以2222BD DA AF BF -=-． ································································ 7分因为AF 平分∠BAC ，所以ABF ∆∽AEC ∆,G O'E CODBA所以AB AFAE AC=，所以()AB AC AE AF AF EF AF ⋅=⋅=-⋅, 因为FBE BAE ∠=∠，所以FBE ∆∽FAB ∆，从而2BF FE FA =⋅，所以22AB AC AF BF ⋅=-，所以226BD DA AB AC -=⋅=． ····························································· 10分（23）选修44-；坐标系与参数方程本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）将22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，化为普通方程为22(2)4x y -+=，即221:40C x y x +-=， ··············································································· 2分将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入221:40C x y x +-=，得24cos ρρθ=， ································· 4分所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ······························································ 5分（Ⅱ）将2,x x y y '=⎧⎨'=⎩代入2C 得221x y ''+=，所以3C 的方程为221x y +=．········································································ 7分 3C 的极坐标方程为1ρ=，所以||1OB =．又π||4cos 23OA ==，所以||||||1AB OA OB =-=． ········································································ 10分（24）选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）由|3|21x x +<+得，3,(3)21,x x x -⎧⎨-+<+⎩ (3)321,x x x >-⎧⎨+<+⎩·································································· 2分解得2x >．依题意2m =． ·························································································· 5分（Ⅱ）因为()1111x t x x t x t t t t t t ⎛⎫-++--+=+=+ ⎪⎝⎭…，当且仅当()10x t x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…时取等号， ···························································· 7分因为关于x 的方程1||||2x t x t-++=（0t ≠）有实数根，所以12t t+…． ························································································ 8分另一方面，12t t+…，所以12t t+=， ························································································ 9分所以1t =或1t =-． ·················································································· 10分。

福建省高三下学期5月质量检测数学 PDF版

2023届宁德市普通高中毕业班五月份质量检测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}2{31},60M x x N x x x =-<≤=∈--<Z ∣∣，则M N ⋂=（）A.{21}xx -<≤∣ B.{}2,1,0,1--C.{32}xx -<<∣ D.{}1,0,1-2.某学校利用实践基地开展劳动教育活动，在其中一块土地上栽种某种蔬菜，并指定一位同学观测其中一棵幼苗生长情况，该同学获得前6天的数据如下：第x 天123456高度()cm y 14791113经这位同学的研究，发现第x 天幼苗的高度()cm y 的经验回归方程为4ˆˆ2.yx a =+，据此预测第10天这棵幼苗的高度大约为（）A.19cmB.21cmC.23cmD.25cm3.使x y >成立的一个充分不必要条件是（）A.1133x y > B.12x y x y-+>-C.2ln 2ln x y> D.1(0x y a a ->>，且1)a ≠4.已知抛物线2:4C x y =的焦点为,F P 为抛物线上一个动点，()1,3A -，则PA PF +的最小值为（）A.3B.4C.5D.65.在平面直角坐标系xOy 中，点P 为圆22:1O x y +=上的任一点，()()2,0,1,1A B -.若OP OA OB λμ=+，则2λμ+的最大值为（）B.26.某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为,X Y ，且()()221122,,,X N Y N μσμσ~~，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（）A.Y 的数据较X 更集中B.()()P X c P Y c ≤<≤C.甲种茶青每500克的红茶产量超过2μ的概率大于12D.()()1P X c P Y c >+≤=7.已知()()330,sin sin ,3lnsin lnsin ,3sin sin 2a b c παβαβαβαβ<<<=-=-=-，则（）A.b c a <<B.c b a <<C.c a b<< D.a b c<<8.中国古代数学家很早就对空间几何体进行了系统的研究，中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图.E 对应的是正四棱台中间位置的长方体；B D H F ､､､对应四个三棱柱，A C I G ､､､对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为（）A.24B.28C.32D.36二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.若()623601236(1)1(1)(1)(1)x a a x a x a x a x -=+++++++++ ，则（）A.064a =B.0246365a a a a +++=C.512a = D.123456234566a a a a a a +++++=-10.某工厂有甲､乙两个车间生产同一种产品，其产量比为2:3.从两个车间中各随机抽取了10个样品进行测量，其数据（单位：mm ）如下：甲车间：9.410.19.810.210.010.110.29.610.39.8乙车间：10.39.29.610.010.39.810.49.410.210.3规定数据在()9.5,10.5之内的产品为合格品.若将频率作为概率，则以下结论正确的是（）A.甲车间样本数据的第40百分位数为9.8B.从样本数据看，甲车间的极差小于乙车间的极差C.从两个车间生产的产品任取一件，取到合格品的概率为0.84D.从两个车间生产的产品任取一件，若取到不合格品，则该产品出自甲车间的概率为0.411.在正方体1111ABCD A B C D -中，,,AB P Q M =分别为11,,BC CC BB 的中点，则以下结论正确的是（）A.直线1A M 与平面APQ 平行B.直线1DD 与直线AQ 垂直C.平面APQ 截正方体所得的截面面积为94D.四面体11A D PQ 的体积为2612.已知函数()f x 的图象关于直线1x =对称.当1x ≥时，()()()ln 1e f x x ax x =-+⋅-，则以下结论正确的是（）A.当1x <时，()()()e 2ln 221f x x x ax a ⎡⎤=-+--+-+⎣⎦B.若1a =，则()0f x >的解集为()2e,e -C.若()f x 恰有四个零点，则a 的取值范围是()0,1D.若对(),0x f x ∈≤R ，则2ea =三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数z 满足13i z z -=-，则z =__________.14.已知函数()f x 满足如下条件：①定义域为R ；②存在0x ∈R ，使得()()000f x f x '==；③()0f x ≤，试写出一个符合上述要求的函数()f x =__________.15.已知函数()()cos 0,02f x A x A πωϕϕω⎛⎫=+>≤> ⎪⎝⎭，射线()20y x =-≥与该函数图象的交点的横坐标从左至右依次构成数列{}n x ，且()*743n x n n =-∈N ，则()5f =__________.16.已知椭圆C 的一个焦点为F ，短轴12B B 的长为,P Q 为C 上异于12,B B 的两点.设1221,PB B PB B ∠α∠β==，且()()tan 3tan tan αβαβ+=-+，则PQF 的周长的最大值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知数列{}{},n n a b 满足21122,3,8n n b a n a b a b =++=+=，且数列{}n a 是等差数列.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：112n S ≤<.18.（12分）在四棱锥P ABCD -中，,90,1,2AB CD BCD BC CD PA PD AB ∠====== ∥，PB =（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）在线段PB 上是否存在点M ，使得二面角P AD M --的大小为45 ？若存在，求PMPB的值；若不存在，说明理由.19.（12分）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知,7,3B b a c π==>，且其内切圆O 的面积为3π.（1）求a 和c ；（2）连接AO 交BC 于点D ，求AD 的长.20.（12分）人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某校成立了,A B 两个研究性小组，分别设计和开发不同的AI 软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的AI 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为12,P P .为测试AI 软件的识别能力，计划采取两种测试方案.方案一：将100首音乐随机分配给,A B 两个小组识别，每首音乐只被一个AI 软件识别一次，并记录结果；方案二：对同一首歌，,A B 两组分别识别两次，如果识别的正确次数之和不少于三次，则称该次测试通过.（1）若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的35；在正确识别的音乐数中，A 组占23；在错误识别的音乐数中，B 组占12.（i ）请根据以上数据填写下面的22⨯列联表，并通过独立性检验分析，是否有95%的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？正确识别错误识别合计A 组软件B 组软件合计100（ii ）利用（i ）中的数据，视频率为概率，求方案二在一次测试中获得通过的概率；（2）研究性小组为了验证AI 软件的有效性，需多次执行方案二，假设1243P P +=，问该测试至少要进行多少次，才能使通过次数的期望值为16？并求此时12,P P 的值.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.()20P x χ≥0.1000.0500.0100.0050.0010x 2.7063.8416.6357.87910.82821.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点())12,F F ，点M 满足124MF MF -=，记点M 的轨迹为E .（1）求E 的方程；（2）点()2,0A ，点,B C 为E 上的两个动点，且满足2BAC π∠=.过A 作直线AQ BC ⊥交E 于点Q .若2BQC π∠=，求直线BC 的斜率.22.（12分）已知函数()()sin ,0,e xa xf x x π=∈.（1）若()1f x ≤，求实数a 的取值范围；（2）若4a =，且()()1212,f x f x x x =<，求证：122x x π+>且222sin ex x x ππ--<.2023届宁德市普通高中毕业班五月份质量检查数学试题参考答案及评分标准说明：1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考.如果考生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则.2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.解答题只给整数分数，填空题不给中间分.一､选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分40分.1.D2.C3.B4.B5.C6.D7.A8.B二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.ABD 10.BC11.ACD12.AD三､填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分.13.514.()2f x x =-（答案不唯一：如()()1e ,cos 1xf x x f x x =+-=-等）15.-116.8三､解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明､证明过程和演算步骤.17.本小题主要考查等差数列的通项公式､求和等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推理能力，化归与转化思想等.解：（1）由2n n b a n =+得11221,4b a b a =+=+，代入11223,8a b a b +=+=得12213,248a a +=+=，解得121,2a a ==，又因为数列{}n a 为等差数列，故公差为211d a a =-=，因此2,n n a n b n n ==+.（2）证明：由（1）可得2n b n n =+，所以211111n b n n n n ==-++，所以1231111n nS b b b b =++++ 11111111223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n =-+又因为*n ∈N ，所以110(112n n <≤=+时等号成立)，所以111121n ≤-<+，即112n S ≤<.18.本小题主要考查空间直线与直线､直线与平面､平面与平面的位置关系，空间角的计算等基础知识，考查空间想象能力､推理论证能力､运算求解能力，考查化归与转化思想等.解法一：（1）取AB 的中点F ，连结,BD DF.在四边形ABCD 中，,BC CD AB CD ⊥∥，故四边形ABCD 为直角梯形，又222AB BC CD ===，故11,2AF BF AB BD ====.又由,CD BF CD BF =∥，所以四边形BCDF 为正方形，故112DF AB ==，从而BD AD ⊥；又1,PD PB ==，所以222PD BD PB +=，故BD PD ⊥.由,PD AD D PD ⋂=⊂平面,PAD AD ⊂平面PAD ，从而BD ⊥平面PAD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .（2）取AD 的中点O ，连接,OP OF ，由1PA PD ==，所以PO AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，所以PO ⊥平面ABCD .又,O F 为,AD AB 的中点，所以OF BD ∥，且1222OF BD ==，由（1）知BD AD ⊥，故OF AD ⊥.以O 为原点，OF OA OP ､､所在的直线分别为x y z ､､轴，建立如图的空间直角坐标系，则()22220,0,0,0,,0,,0,0,,,0,2222O A D P B ⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则()0,,,0,,2222AD PB AP ⎛==--=- ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，设(),0,1PMPB λλ=∈，则22,,22PM PB λ⎫==--⎪⎪⎭，2222,,2222AM AP PM λ⎫=+=-⎪⎪⎝⎭平面PAD 的一个法向量为()1,0,0m = ，设平面ADM 的一个法向量为(),,n x y z =，则()()0,22110,22AD n AM n x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩令2z λ=，则()1,0,2n λλ=-，因为二面角P AD M--的大小为45，所以cos,2m nm nm n⋅==，由[]0,1λ∈，解得：13λ=，所以线段PB上存在点M，当13PMPB=时，使得二面角P AD M--大小为45 解法二：（1）取AD的中点,O AB的中点F，连结,,PO BO DF.在四边形ABCD中，,BC CD AB CD⊥∥，故四边形ABCD为直角梯形，又222AB BC CD===，故CD BF∥，且1CD BF BC===，所以四边形BCDF为正方形，故ADF为等腰直角三角形，从而45AD BAD∠== ，PAD为等腰直角三角形.在ABO中，2225222cos45222BO⎛⎫=+-⨯⨯=⎪⎪⎝⎭，又因为1PA PD==，所以PO AD⊥，1222PO AD==，又PB=所以222PB PO BO=+，故PO OB⊥，由,AO BO O AO⋂=⊂平面,ABCD OB⊂平面ABCD，从而PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD.（2）过B作Bz PO∥，则Bz⊥平面ABCD.以B为原点，BA BC Bz､､所在的直线分别为x y z､､轴，建立如图的空间直角坐标系，则()()()()3120,0,0,2,0,0,0,1,0,1,1,0,,,222B A C D P ⎛ ⎝⎭，设[],0,1BMBP λλ=∈，则312,,222BM BP λλλ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ，3122,,222AM BM BA λλ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，()1,1,0AD =-设平面ADM 的一个法向量为(),,n x y z =，则20,31220,222AD n x y AM n x y z λλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⎛⎫⋅=-++=⎪ ⎪⎝⎭⎩令y λ=，得)(),,21n λλλ=-，因为二面角P AD M --的大小为45 ，所以平面ADM 与平面ABCD 所成的角也等于45 ，平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =，()2222212cos ,28(1)m n m n m n λλλλ-⋅===++-，因为[]0,1λ∈，解得23λ=，所以线段PB 上存在点M ，当23BM BP =，即13PM PB =时，使得二面角P AD M --大小为45 .解法三：（1）同解法二；（2）过M 点作MH OB ⊥于H ，过H 作HE AD ⊥于E ，连结ME由（1）知平面POB ⊥平面ABCD ，所以MH ⊥平面ABCD ，故MH AD ⊥，所以AD ⊥平面MHE ，因而ME AD ⊥，所以MEH ∠是二面角M AD B --的平面角.因为平面PAD ⊥平面ABCD ，二面角P AD M --大小为45 ，所以二面角M AD B --大小为45 ，从而45MEH ∠= ，故MH EH =.设MH h =，则EH h =，因为,HE AD BD AD ⊥⊥，从而HE BD ∥，所以2OH EH hOB BD ==从而22BHOB=因为,MH OB PO OB ⊥⊥，从而MH PO ∥，所以BH MH BMOB PO PB ==，2222=，解得23h =，.所以2322232BM PB ==，从而13PM PB =.19.本题主要考查正弦定理､余弦定理､三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等.解法一：（1）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2249a c ac =+-3()11sin 3232ac a b c π=++，故()214ac a c =++，于是()2249,214,a c ac ac a c ⎧=+-⎪⎨=++⎪⎩即40,13,ac a c =⎧⎨+=⎩，得8,5a c =⎧⎨=⎩或5,8.a c =⎧⎨=⎩因为a c >，所以8,5.a c =⎧⎨=⎩（2）设,BD x CD y ==，由57ABD ADC S x S y == ，又因为8x y +=，所以5108123BD =⨯=.在ABD 中，由余弦定理2222cos 3AD BA BD BA BD π=+-⋅⋅，得210010117525259329AD =+-⨯⨯⨯=，所以573AD =.解法二：（1）设圆O 与边BC 相切于点E ，连结,OE OB ，则OE BC ⊥，且OE =6OBE π∠=，故3BE ==因为ABC 三边与圆O 相切，切线长相等所以()()337a c -+-=，即13a c +=，根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2249a c ac =+-，所以21()49403ac a c ⎡⎤=+-=⎣⎦，解得8,5a c =⎧⎨=⎩或5,8.a c =⎧⎨=⎩因为a c >，所以8,5.a c =⎧⎨=⎩.（2）由余弦定理得2549641cos 2577A +-==⨯⨯.57AB AC AD AB AC AB AC λλλ⎛⎫ ⎪=+=+ ⎪⎝⎭.又因为351,5712λλλ+==.2222116||1121177AB AC AD AB AC λλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪=+=++⨯⨯⨯= ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以3557123AD == .解法三：（1）同解法一；（2）在ABC 中，由余弦定理得2549641cos 2577A +-==⨯⨯，所以43sin 7A =，又2cos 12sin2A A =-，所以2112sin 72A =-，所以21sin 27A =.且27cos 27A =.231327121321sin sin sin 322222272714A A A ADB π∠⎛⎫=-=+=⨯ ⎪⎝⎭.在ABD 中，由sin sin 3AD AB ADB π∠=，3321214=，所以3AD =20.本小题主要考查列联表､二项分布､概率的期望等基础知识，考查运算求解能力､数据处理能力､应用意识，考查统计思想､化归与转化思想.解：（1）（i ）依题意得22⨯列联表如下：正确识别错误识别合计A 组软件402060B 组软件202040合计6040100因为22100(40202020)25 2.778 3.841604060409χ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，且()2P 3.8410.05χ≥=所以没有95%的把握认为软件类型和是否正确识别有关，.（ii ）由（i ）得1221,32P P ==，故方案二在一次测试中通过的概率为222212212222222222121121411332322329P C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）方案二每次测试通过的概率为()()()()()()22221221222112221222212211P C P P C P C P C P P C P C P =⋅-⋅⋅+⋅⋅-+⋅1212833PP PP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21212833PP PP =-+2124163927PP ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭所以当1249PP =时，P 取到到最大值1627，又1243P P +=，此时1223P P ==.因为每次测试都是独立事件，故n 次实验测试通过的次数(),X B n P ~，期望值()16E X nP ==，因为1627p ≤，所以1627162716n p =≥⨯=所以测试至少27次，此时1223P P ==.21.本题主要考查直线､双曲线､直线与双曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力､推理论证能力，考查化归与转化思想､数形结合思想，考查考生分析问题和解决问题的能力.解法一：（1）因为点M 满足124MF MF -=，所以点M 的轨迹为双曲线的右支，故2,a c ==1b =，所以曲线E 的方程为221(0)4x y x -=>.（2）设BC 与AQ 的交点为D .显然直线BC 的斜率存在，设BC 的方程为y kx m =+，联立方程22,44,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得()222418440k x kmx m -+++=，设()()1122,,,B x y C x y ，所以12221228414441km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩.又2121,22AC AB y y k k x x ==--，因为1AC AB k k ⋅=-，所以2121122y y x x ⋅=---，故()()()2212121240k x x mk x x m ++-+++=，代入()()2222244812404141m km k mk m k k +⎛⎫++--++= ⎪--⎝⎭，整理得22203160k m km ++=，即()()10320k m k m ++=，解得103m k =-或2m k =-（舍）.所以直线BC 的方程为103y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即直线BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为,,,A B Q C 四点共圆，且BC 为直径，由BC AD ⊥，所以点D 为AQ 中点，且直线AD 的方程为()12y x k =--，联立1031(2)y k x y x k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=--⎪⎩解得()()22210631431k x k ky k ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以点()()2221064,3131k k D k k ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭，故()()2221468,3131k k Q k k ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭，代入曲线E 的方程()()222221468443131k k k k ⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥-=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，解得420k k -=，即1k =±，所以直线BC 的斜率为±1.解法二：（1）同解法一；（2）由对称性，直线BC 必过定点(),0t ，设BC 的方程为x my t =+，联立方程22,44,x my t x y =+⎧⎨-=⎩消去x 得()2224240m y tmy t -++-=，设()()1222,,,B x y C x y ，所以12221222444tm y y m t y y m ⎧+=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩.2121,22AC AB y y k k x x ==--，因为1AC AB k k ⋅=-，所以2121122y y x x ⋅=---，故()()()22121212440m y y tm m y y t t ++-++-+=，代入()()222224212(2)044t tm m m t t m m -⎛⎫+⨯+--+-= ⎪--⎝⎭，因为2t ≠，整理得3100t -=，解得103t =.所以直线BC 的方程为103x my =+，即直线BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.联立103(2)x my y m x ⎧=+⎪⎨⎪=--⎩解得()()22261031431m x m m y m ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以点()()2226104,3m 131m m D m ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭，故()()2226148,3m 131m m Q m ⎛⎫+- ⎪ ⎪++⎝⎭，代入曲线E 的方程()()222226148443131m m m m ⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥-=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，解得210m -=，即1m =±，所以直线BC 的斜率为±1.解法三：（1）同解法一；（2）设AC 方程为()2y k x =-，设AB 方程为()12y x k =--，联立方程()22244y k x x y ⎧=-⎨-=⎩，消去y 得()222214161640k x k x k -+--=，设()11,C x y ，则212164214k x k --⋅=-，得2128241k x k +=-，所以212282424141k k y k k k ⎛⎫+=-= ⎪--⎝⎭，所以点222824,4141k k C k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭.用1k -替换k 得点222284,44k k B k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭.所以BC 斜率()2222222443414822841414BC k k k k k k k k k k k ---==-++-+--，故直线BC 方程为()222232844441k k k y x k k k ⎛⎫+=-++ ⎪---⎝⎭，即()()223104141k k y x k k =-+--，即()2310341k y x k ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭.所以直线BC 恒过定点10,03⎛⎫⎪⎝⎭.下同解法一.解法四：（1）同解法一；（2）将坐标系原点平移到()2,0A ，则双曲线E 的方程变为22(2)14x y +-=，即22440x y x -+=.新坐标系下直线BC 的方程设为1mx ny +=，代入双曲线方程有()22440x y x mx ny -++=，即()2214440m x y nxy +-+=，两边同除以2x 得244410y y n m x x ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，设直线,AC AB 的斜率分别为12,k k ，则124114m k k --⋅==-，所以34m =，所以直线BC 的方程为314x ny +=，从而直线BC 恒过定点4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，故原坐标系下直线BC 恒过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.由,,,A B Q C 四点共圆，设BC 的直线方程为103y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即1003kx y k --=；设AQ 的直线方程为()12y x k=--，即20x ky +-=.所以过四点,,,A B Q C 的二次曲线系方程为()()221024403kx y k x ky x y λ⎛⎫--+-+--= ⎪⎝⎭，等式左边xy 的系数为21k -，所以210k -=，所以1k =±，即直线BC 的斜率为±1.解法五：（1）同解法一；（2）由直线BC 不过点()2,0，故设直线BC 的方程为()21m x ny -+=，所以由2244x y -=得22(22)44x y -+-=，即()()()2222122]442]m x ny y m x ny ⎡⎡+-+-=-+⎣⎣，两边同除以2(2)x -得()22221244222y y y m n m n x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⋅-=+⋅ ⎪ ⎪⎢⎥---⎣⎦⎝⎭⎝⎭，设2y k x =-，上式整理得244410k nk m ---=.设直线,AC AB 的斜率分别为12,k k ，则124114m k k --⋅==-，解得34m =，所以直线BC 的方程为()3214x ny -+=，即310043x ny ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，从而BC 恒过定点10,03⎛⎫⎪⎝⎭.下同解法五.22.本小题主要考查导数及其应用､不等式等基础知识，考查推理论证能力､运算求解能力､创新意识等，考查函数与方程思想､化归与转化思想､分类与整合思想等.解法一､（1）当0a ≤时，由e 0x >，且()0,x π∈时sin 0x >，故()1f x ≤成立；当0a >时，即为max ()1f x ≤.由()cos sin ex x x f x a '-=⋅，.令()0f x '=，得4x π=，所以()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，所以max 4()14af x f ππ⎛⎫==≤ ⎪⎝⎭，即402e a π<≤.综上，42e a π≤.（2）()()()4cos sin 4sin ,e ex x x x x f x f x -='=，所以()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故1204x x ππ<<<<.先证122x x π-<，由142x ππ<-，故即证()212f x f x π⎛⎫<- ⎪⎝⎭，由()()12f x f x =，故即证()112f x f x π⎛⎫<- ⎪⎝⎭，设()(),0,24h x f x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()()22sin cos e e 402e x x x x h x f x f x πππ-'⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=--=-⨯< ⎪⎭'⎝'，所以()h x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()04h x h π⎛⎫>= ⎪⎝⎭.现证222sin e x x x ππ--<，即证()2222sin ,,e 4x x x x πππππ--⎛⎫<-∈ ⎪⎝⎭.设2t x π=-，故即证sin et t t <，即证e sin 0t t t ->.设()3g e sin ,0,4t t t t t π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则()()g e sin cos 1t t t t =+-'，设()()e sin cos 1t p t t t =+-，由()2e cos t p t t ='，所以()p t 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，又()2300,e 10,1024p p p πππ⎛⎫⎛⎫==->=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以03,24t ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00p t =，故()g t 在()00,t 单调递增，在03,4t π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，()min 3()min 0,4g t g g π⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭又()333443322e 3e 300,04444g g ππππππ--⎛⎫==-=>> ⎪⎝⎭，所以()g 0t >，即e sin 0t t t ->，故222sin e x x x ππ--<解法二､（1）()sin 1ex a x f x =≤，由e 0x >，且()0,x π∈时sin 0x >，所以mine sin x a x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.设()e sin xg x x =，则()()2e sin cos sin x x x g x x-='，令()0g x '=，得4x π=，所以()g x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以4min ()2e 4g x g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即42e a π≤（2）()()()4cos sin 4sin ,e ex x x x x f x f x -='=，所以()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故1204x x ππ<<<<.先证122x x π-<，由142x ππ<-，故即证()212f x f x π⎛⎫<- ⎪⎝⎭，由()()12f x f x =，故即证()112f x f x π⎛⎫<- ⎪⎝⎭，设()(),0,24h x f x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则()()()22sin cos e e 402e x x x x h x f x f x πππ-'⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=--=-⨯< ⎪⎭'⎝'，所以()h x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()04h x h π⎛⎫>= ⎪⎝⎭.所以()112f x f x π⎛⎫<-⎪⎝⎭，从而122x x π+>.()f x 在x π=处的切线方程为()4ey x ππ-=-，现证()()224ex f x ππ--<.设()()44sin ,,e e 4x x r x x x ππππ-⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭()()4cos sin 41cos sin 4e e e e x x x x x x r x ππ---⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭'，设()1cos sin 4e e x x x t x π-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()8cos e x x t x ='，所以()r x '在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()24110,40,0,4e 2e e r r r ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=-<='--⎪'>= ⎪ ⎪ ⎭'⎝⎭⎝⎝⎭故所以0,42x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00r x '=，故()r x 在0,4x π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在()0,x π单调递增，所以()max ()max ,4r x r r ππ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，又()344330,04e e e r r ππππππππ-⎛⎫=-=<= ⎪⎝⎭，故()0r x <，即()2224sin 4e e x x x ππ--<，所以222sin e x x x ππ--<.。

2022年5月福州市高中毕业班质量检测数学试卷

2 022年 5 月福州市高中毕业班质量检测数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1 到2 页，第Ⅱ卷3 到4 页．注意事项1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A 2,3, 4，B1,3, 4,5，全集U A ，则=A．{2} B．1, 5C．2,3, 4D．1,3, 4,52. 设复数z 满足 (1 i)z 3 i ，则复平面内与z 对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3. 已知向量a ，b 为单位向量，且a ⊥b ，则b (4a 3b) =A． 3 B．3 C． 5 D．54. 某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音（如图）．已知噪音的声波曲线y A sin x （其中A 0, 0, 0 ）的振幅为1，周期为，初，则用来降噪的声波曲线的解析式为相为2A．y sin 2x B．y cos 2x C．y sin 2x D．y cos 2x数学试题（第1 页共5 页）5. 已知函数f xcos x x 12，以下结论中错误的是 A ． f x 是偶函数 B ． f x 有无数个零点C ． fx的最小值为 1D ． f x 的最大值为 1 26. 在底面半径为 1 的圆柱 O O 中，过旋转轴 OO 1 作圆柱的轴截面 ABCD ，其中母线1AB 2 ， E 是 BC 的中点， F 是 AB 的中点，则 A ． AE CF ， AC 与 EF 是共面直线 B ． AE CF ， AC 与 EF 是共面直线 C ． AECF ， AC 与 EF 是异面直线D ． AECF ， AC 与 EF 是异面直线7. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (2 x ) 2 f (x ) ，若 f (x ) 的图象关于直线 x 3 对称，则下列选项中一定成立的是 A ． f (3) 1B ． f (0) 0C ． f (3) 2D ． f (5) 18. 已知数列a，b ．现将 a和b 的通项分别为 a2n ，2n 1b 中所有的项，nnnnnn按从小到大的顺序排成数列c ，则满足 c 1 c 2c 3c n20c n 1 的 n 的最小值为nA ．21B ．38C ．43D ．44二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分． 9. 若 1 ab 0 ，则A ．11B ． a 2 b 22ab C ． a b 2 ab D ． a 1b 1a bab10. 某质量指标的测量结果服从正态分布N 80,，则在一次测量中2A ．该质量指标大于 80 的概率为 0.5B ．越大，该质量指标落在70,90的概率越大C ．该质量指标小于 60 与大于 100 的概率相等D ．该质量指标落在75,90与落在 80,95的概率相等11. 已知抛物线 y 22px (p 0) 的准线为 l ，点 M 在抛物线上，以 M 为圆心的圆与l 相切于点N ，点A(5, 0) 与抛物线的焦点F 不重合，且MN MA ，NMA 120，则A．圆M 的半径是 4B．圆M 与直线y 1相切C．抛物线上的点P 到点Ａ的距离的最小值为 4D．抛物线上的点P 到点Ａ,Ｆ的距离之和的最小值为 4数学试题（第 2 页共 5 页）12. 一个笼子里关着 10 只猫，其中有 4 只黑猫、6 只白猫．把笼子打开一个小口，使得每次只能钻出 1 只猫．猫争先恐后地往外钻．如果 10 只猫都钻出了笼子，事件A表示k “第k 只出笼的猫是黑猫”，k 1，2 ，…，10，则A．2P(A A )B．1 232P(A A )C．1 231P(A | A )D．2 13P(A | A )10 213第Ⅱ卷注意事项：用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．π13. 已知2sin() cos，则tan= ．314. 双曲线2 2x y（a 0 ,b 0）的一条渐近线为y 2x ，则它的离心率是．2 2 1a b15. 某地在 20 年间经济高质量增长，GDP 的值P（单位：亿元）与时间t（单位：年）之间的关系为P(t ) P (110%)t ，其中P 为t 0 时的P 值．假定0 0 P ，那么在t 10时，0 2GDP 增长的速度大约是．（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：1.110 2.59 ，当x 取很小的正数时，ln(1x ) x ．16. 已知正方体ABCD A1B1C1D1 的棱长为 3 ，以A1 为球心，半径为2 的球面与底面ABCD 的交线的长度为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （10 分）已知数列a 的各项均为正数，记n S 为a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个nn作为条件，证明另外一个成立．①a 2 2a1 ；②数列ln a 是等差数列；③数列S a是等比数列；．n n 1 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．数学试题（第 3 页共 5 页）18. （12 分）某种疾病可分为 A ，B 两种类型．为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2 倍，男性患 A 型疾病的人数占男性患者的5 6，女性患 A 型疾病的人数占女性患者的 1 3 ．（1）若本次调查得出“在犯错误的概率不超过 0.005的前提下认为‘所患疾病类型’ 与‘性别’有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人？（2）某团队进行预防 A 型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2 个周期接种疫苗，每人每个周期接种3 次，每次接种费用为m m 0元．该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为 p0 p1，如果一个周期内至少2 次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期．若2p ，试验人数为 1000 人，试估计该试验用于3接种疫苗的总费用．2n ad bc2K附：a b c d a c b d，P K 2k0.100.050.010.0050.001k2.7063.841 6.635 7.879 10.82819. （12 分）如图 1，在△ABC 中， C 90 ，BC3 ，AC3 ，E 是 AB 的中点，D 在 AC 上，DEAB ．沿着 DE 将△ADE 折起，得到几何体 A BCDE ，如图 2．（1）证明：平面 ABE ⊥平面 BCDE ；（2）若二面角 A DE B 的大小为 60 ，求直线 AD 与平面 ABC 所成角的正弦值．AAEEDD B C B C数学试题（第 4 页共 5 页）20. （12 分）记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知sin C 2sin A sin B ，点D 在边AB 上，且CD⊥AB．1（1）证明：CD c ；2（2）若a2 b2 6ab ，求∠ACB．21. （12 分）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到直线x 2 的距离和点P 到点C(1, 0) 的距离的比为 2 ，记点P 的轨迹为．（1）求的方程；（2）若不经过点C 的直线l 与交于M ，N 两点，且OCM xCN ，求△CMN 面积的最大值．22. （12 分）设函数 1f x x 1 a ，曲线y f (x) 在x 1处的切线与y 轴交于点( ) e x (0, e ) ．e2 （1）求a ；（2）若当x [2,) 时，f (x)≥b(x 1) ，记符合条件的b 的最大整数值、最小整数值分别为M ，m ，求M m．注：e 2.71828 为自然对数的底数．数学试题（第 5 页共 5 页）。

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