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高三数学不等式解法15个典型例题

高三数学不等式解法15个典型例题典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或（2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ；（2）12731422<+-+-x x x x分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。

全国高三高中数学专题试卷带答案解析

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、解答题1.如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC,AD ⊥AB,AB=,AD=2,BC=4,AA 1=2,E 是DD 1的中点,F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点.(1)证明:①EF ∥A 1D 1;②BA 1⊥平面B 1C 1EF.(2)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值.2.如图,ABEDFC 为多面体,平面ABED 与平面ACFD 垂直,点O 在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF 都是正三角形.(1)证明直线BC ∥EF;(2)求棱锥F OBED 的体积.3.如图,在四棱锥P ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,AB ∥DC,AB ⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.(1)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥P ABCD 的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);(2)若M 为PA 的中点,求证:DM ∥平面PBC;(3)求三棱锥D PBC 的体积.4.如图,四棱锥P ABCD 中,AB ⊥AC,AB ⊥PA,AB ∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N 分别为PB,AB,BC,PD,PC 的中点(1)求证:CE ∥平面PAD;(2)求证:平面EFG ⊥平面EMN.5.如图,在三棱锥S ABC 中,平面SAB ⊥平面SBC,AB ⊥BC,AS=AB.过A 作AF ⊥SB,垂足为F,点E,G 分别是棱SA,SC 的中点.求证:(1)平面EFG ∥平面ABC;(2)BC ⊥SA.6.如图,在四棱锥P ABCD 中,底面是边长为2的菱形,∠BAD=120°,且PA ⊥平面ABCD,PA=2,M 、N 分别为PB 、PD 的中点.(1)证明:MN ∥平面ABCD;(2)过点A 作AQ ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A MN Q 的平面角的余弦值.7.如图,直三棱柱ABC A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=,AA′=1,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.(1)证明:MN∥平面A′ACC′;(2)求三棱锥A′MNC的体积.(锥体体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高)8.如图,几何体E ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.(1)求证:BE=DE;(2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.9.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求证:CF⊥平面BDE.10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°,E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.(1)求证:BF∥平面A′DE;(2)设M为线段DE的中点,求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.11.如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.(1)求证:DE∥平面BCP.(2)求证:四边形DEFG为矩形.(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.12.如图,四棱锥S ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD;(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P AC D的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由. 13.如图五面体中,四边形ABCD是矩形,DA⊥平面ABEF,AB∥EF,AB=EF=2,AF=BE=2,P、Q、M分别为AE、BD 、EF 的中点.(1)求证:PQ ∥平面BCE;(2)求证:AM ⊥平面ADF. 14.如图所示,四棱锥E ABCD 中,EA=EB,AB ∥CD,AB ⊥BC,AB=2CD.(1)求证:AB ⊥ED;(2)线段EA 上是否存在点F,使DF ∥平面BCE?若存在,求出;若不存在,说明理由.15.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,N 分别是AB,AC 的中点,G 是DF 上的一动点.(1)求该多面体的体积与表面积;(2)求证:GN ⊥AC;(3)当FG=GD 时,在棱AD 上确定一点P,使得GP ∥平面FMC,并给出证明.16.如图所示,四边形ABCD 中,AB ⊥AD,AD ∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,点E 、F 分别在BC 、AD 上,EF ∥AB.现将四边形ABEF 沿EF 折起,使平面ABEF ⊥平面EFDC,设AD 中点为P.(1)当E 为BC 中点时,求证:CP ∥平面ABEF;(2)设BE=x,问当x 为何值时,三棱锥A CDF 的体积有最大值?并求出这个最大值.17.如图所示,已知三棱柱ABC A 1B 1C 1,(1)若M 、N 分别是AB,A 1C 的中点,求证:MN ∥平面BCC 1B 1;(2)若三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长均为2,∠B 1BA=∠B 1BC=60°,P 为线段B 1B 上的动点,当PA+PC 最小时,求证:B 1B ⊥平面APC.18.如图所示,四棱锥P ABCD 的底面为正方形,侧棱PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H 分别是线段PA,PD,AB的中点.(1)求证:PB ∥平面EFH;(2)求证:PD ⊥平面AHF.19.如图所示,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中,AD ∥BC,PD ⊥平面ABCD,AD=1,AB=,BC=4.(1)求证:BD ⊥PC;(2)求直线AB 与平面PDC 所成的角;(3)设点E 在棱PC 上,=λ,若DE ∥平面PAB,求λ的值.全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、解答题1.如图,在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC,AD ⊥AB,AB=,AD=2,BC=4,AA 1=2,E 是DD 1的中点,F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点.(1)证明:①EF ∥A 1D 1;②BA 1⊥平面B 1C 1EF.(2)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:①因为C 1B 1∥A 1D 1,C 1B 1⊄平面ADD 1A 1,所以C 1B 1∥平面A 1D 1DA.又因为平面B 1C 1EF∩平面A 1D 1DA=EF,所以C 1B 1∥EF,所以A 1D 1∥EF. ②因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,所以BB 1⊥B 1C 1.又因为B 1C 1⊥B 1A 1,所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1,所以B 1C 1⊥BA 1.在矩形ABB 1A 1中,F 是AA 1的中点,tan ∠A 1B 1F=tan ∠AA 1B=,即∠A 1B 1F=∠AA 1B,故BA 1⊥B 1F.所以BA 1⊥平面B 1C 1EF.(2)解:设BA 1与B 1F 交点为H,连接C 1H.由(1)知BA 1⊥平面B 1C 1EF,所以∠BC 1H 是BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角.在矩形AA 1B 1B 中,AB=,AA 1=2,得BH=.在Rt △BHC 1中,BC 1=2,BH=,得sin ∠BC 1H==.所以BC 1与平面B 1C 1EF 所成角的正弦值是.2.如图,ABEDFC 为多面体,平面ABED 与平面ACFD 垂直,点O 在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF 都是正三角形.(1)证明直线BC ∥EF;(2)求棱锥F OBED 的体积.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:如图所示,设G 是线段DA 延长线与线段EB 延长线的交点.由于△OAB 与△ODE 都是正三角形,且OD=2,所以OBDE,OG=OD=2.同理,设G′是线段DA 延长线与线段FC 延长线的交点,有OCDF,OG′=OD=2. 又由于G 和G′都在线段DA 的延长线上,所以G 与G′重合.在△GED 和△GFD 中,由OB DE 和OC DF, 可知B 、C 分别是GE 和GF 的中点,所以BC 是△GEF 的中位线,故BC ∥EF.(2)解:由OB=1,OE=2,∠EOB=60°,知S △OBE =,而△OED 是边长为2的正三角形,故S △OED =.所以S 四边形OBED =S △OBE +S △OED =.过点F 作FQ ⊥AD,交AD 于点Q,由平面ABED ⊥平面ACFD 知,FQ 就是四棱锥F OBED 的高,且FQ=,所以=FQ·S 四边形OBED =. 3.如图,在四棱锥P ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,AB ∥DC,AB ⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.(1)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥P ABCD 的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);(2)若M 为PA 的中点,求证:DM ∥平面PBC;(3)求三棱锥D PBC 的体积.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）8【解析】解:(1)在梯形ABCD中,过点C作CE⊥AB,垂足为E.由已知得,四边形ADCE为矩形,AE=CD=3,在Rt△BEC中,由BC=5,CE=4,依勾股定理得BE=3,从而AB=6.又由PD⊥平面ABCD,得PD⊥AD,从而在Rt△PDA中,由AD=4,∠PAD=60°,得PD=4.正视图如图所示.(2)取PB中点N,连接MN,CN.在△PAB中,∵M是PA中点,∴MN∥AB,MN=AB=3,又CD∥AB,CD=3,∴MN∥CD,MN=CD,∴四边形MNCD为平行四边形,∴DM∥CN.又DM平面PBC,CN⊂平面PBC,∴DM∥平面PBC.·PD,(3)==S△DBC=6,PD=4,又S△DBC所以=8.4.如图,四棱锥P ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点(1)求证:CE∥平面PAD;(2)求证:平面EFG⊥平面EMN.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)取PA的中点H,连接EH,DH.因为E为PB的中点,所以EH∥AB,EH=AB.又AB∥CD,CD=AB,所以EH∥CD,EH=CD.因此四边形DCEH是平行四边形.所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,因此CE∥平面PAD.(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.又AB⊥PA,所以AB⊥EF,同理可证AB⊥FG.又EF∩FG=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,因此AB⊥平面EFG.又M,N分别为PD,PC的中点,所以MN∥CD,又AB∥CD,所以MN∥AB,因此MN⊥平面EFG,又MN⊂平面EMN,所以平面EFG⊥平面EMN.5.如图,在三棱锥S ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG∥平面ABC;(2)BC⊥SA.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)因为AS=AB,AF⊥SB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,又AF⊂平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC,所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC,AF∩AB=A,AF⊂平面SAB,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB,所以BC⊥SA.6.如图,在四棱锥P ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=2,M、N分别为PB、PD的中点.(1)证明:MN∥平面ABCD;(2)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A MN Q的平面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:连接BD,因为M、N分别是PB、PD的中点,所以MN是△PBD的中位线,所以MN∥BD. 又因为MN⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.(2)解: 如图所示,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,得AC=AB=BC=CD=DA,BD=AB.又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥AD.所以PB=PC=PD.所以△PBC≌△PDC.而M、N分别是PB、PD的中点,所以MQ=NQ,且AM=PB=PD=AN.取线段MN的中点E,连接AE,EQ,则AE⊥MN,QE⊥MN,所以∠AEQ为二面角A MN Q的平面角.由AB=2,PA=2,故在△AMN中,AM=AN=3,MN=BD=3,得AE=.在直角△PAC中,AQ⊥PC,得AQ=2,QC=2,PQ=4,在△PBC中,cos∠BPC==,得MQ==.在等腰△MQN中,MQ=NQ=,MN=3,得QE==.在△AEQ中,AE=,QE=,AQ=2,得cos∠AEQ==.所以二面角A MN Q的平面角的余弦值为.7.如图,直三棱柱ABC A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=,AA′=1,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.(1)证明:MN∥平面A′ACC′;(2)求三棱锥A′MNC的体积.(锥体体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高)【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:法一连接AB′,AC′,如图所示,由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABC A′B′C′为直三棱柱,所以M为AB′的中点.又因为N为B′C′的中点,所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′,AC′⊂平面A′ACC′,所以MN∥平面A′ACC′.法二取A′B′的中点P,连接MP,NP,AB′,如图所示,因为M,N分别为AB′与B′C′的中点,所以MP∥AA′,PN∥A′C′.所以MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP=P,所以平面MPN∥平面A′ACC′.而MN⊂平面MPN,所以MN∥平面A′ACC′.(2)解:连接BN,如图所示,由题意知A′N⊥B′C′,平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′,所以A′N⊥平面NBC.又A′N=B′C′=1,故====.8.如图,几何体E ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.(1)求证:BE=DE;(2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)如图所示,取BD的中点O,连接CO,EO.由于CB=CD,所以CO⊥BD.又EC⊥BD,EC∩CO=C,CO,EC⊂平面EOC,所以BD⊥平面EOC,因此BD⊥EO.又O为BD的中点,所以BE=DE.(2)法一如图所示,取AB的中点N,连接DM,DN,MN.因为M是AE的中点,所以MN∥BE.又MN平面BEC,BE⊂平面BEC,所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形,所以∠BDN=30°.又CB=CD,∠BCD=120°,因此∠CBD=30°.所以DN∥BC.又DN平面BEC,BC⊂平面BEC,所以DN∥平面BEC.又MN∩DN=N,所以平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN,所以DM∥平面BEC.法二如图所示,延长AD,BC交于点F,连接EF.因为CB=CD,∠BCD=120°,所以∠CBD=30°.因为△ABD为正三角形,所以∠BAD=60°,∠ABC=90°,因此∠AFB=30°,所以AB=AF.又AB=AD,所以D为线段AF的中点,连接DM,由点M是线段AE的中点,得DM∥EF.又DM平面BEC,EF⊂平面BEC,所以DM∥平面BEC.9.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求证:CF⊥平面BDE.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)设AC与BD交于点G.因为EF∥AG,且EF=1,AG=AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形.所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,所以AF∥平面BDE.(2)连接FG.因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以四边形CEFG为菱形.所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°,E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.(1)求证:BF∥平面A′DE;(2)设M为线段DE的中点,求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明:如图所示,取A′D的中点G,连接GF,GE,由条件易知FG∥CD,FG=CD,BE∥CD,BE=CD,所以FG∥BE,FG=BE,故四边形BEGF为平行四边形,所以BF∥EG.因为EG⊂平面A′DE,BF⊄平面A′DE,所以BF∥平面A′DE.(2)解:在平行四边形ABCD中,设BC=a,则AB=CD=2a,AD=AE=EB=a.连接CE,因为∠ABC=120°,在△BCE中,可得CE= a.在△ADE中,可得DE=a.在△CDE中,因为CD2=CE2+DE2,所以CE⊥DE.在正三角形A′DE中,M为DE的中点,所以A′M⊥DE.由平面A′DE⊥平面BCD,可知A′M⊥平面BCD,所以A′M⊥CE.取A′E的中点N,连接NM,NF,则NF∥CE.则NF⊥DE,NF⊥A′M.因为DE交A′M于点M,所以NF⊥平面A′DE,则∠FMN为直线FM与平面A′DE所成的角.在Rt△FMN中,NF=a,MN=a,FM=a,则cos∠FMN=,所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为.11.如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.(1)求证:DE∥平面BCP.(2)求证:四边形DEFG为矩形.(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）存在，理由见解析【解析】证明:(1)因为D,E分别为AP,AC的中点,所以DE∥PC.又因为DE⊄平面BCP,所以DE∥平面BCP .(2)因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点,所以DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF,所以四边形DEFG为平行四边形.又因为PC⊥AB,所以DE⊥DG,所以四边形DEFG为矩形.(3)解:存在点Q满足条件,理由如下:连接DF,EG,设Q为EG的中点.由(2)知,DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG=EG.分别取PC,AB的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN.与(2)同理,可证四边形MENG为矩形,其对角线交点为EG的中点Q,且QM=QN=EG,所以Q为满足条件的点.12.如图,四棱锥S ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD;(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P AC D的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.【答案】（1）见解析（2）30°（3）存在，2∶1【解析】(1)证明:连接BD,设AC交BD于O,由题意知SO⊥AC.在正方形ABCD中,AC⊥BD,所以AC⊥平面SBD,得AC⊥SD.解:(2)设正方形边长为a,则SD=a,又OD=a,所以∠SDO=60°,连接OP,由(1)知AC⊥平面SBD,所以AC⊥OP,且AC⊥OD,所以∠POD是二面角P AC D的平面角.由SD⊥平面PAC,知SD⊥OP,所以∠POD=30°,即二面角P AC D的大小为30°.(3)在棱SC上存在一点E,使BE∥平面PAC.由(2)可得PD=a,故可在SP上取一点N,使PN=PD.过N作PC的平行线与SC的交点即为E.连接BN,在△BDN中,知BN∥PO.又由于NE∥PC,故平面BEN∥平面PAC,得BE∥平面PAC.由于SN∶NP=2∶1,故SE∶EC=2∶1.13.如图五面体中,四边形ABCD是矩形,DA⊥平面ABEF,AB∥EF,AB=EF=2,AF=BE=2,P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点.(1)求证:PQ∥平面BCE;(2)求证:AM⊥平面ADF.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)法一连接AC,∵四边形ABCD是矩形,∴AC与BD交于点Q.在△ACE中,Q为AC中点,P为AE中点,∴PQ∥CE.又PQ⊄平面BCE,CE⊂平面BCE,∴PQ∥平面BCE.法二取AB的中点G,连接PG,QG,如图所示,∵Q、G分别为BD、BA的中点,∴QG∥AD.又∵AD∥BC,∴QG∥BC,∵QG⊄平面BCE,BC⊂平面BCE,∴QG∥平面BCE.同理可证,PG∥平面BCE.又PG∩QG=G,∴平面PQG∥平面BCE,∴PQ∥平面BCE.(2)∵M为EF中点,∴EM=MF=EF=AB=2,又AB∥EF,∴四边形ABEM是平行四边形,∴AM=BE=2.在△AFM中,AF=AM=2,MF=2,∴AM⊥AF.又DA⊥平面ABEF,AM⊂平面ABEF,∴DA⊥AM.∵DA∩AF=A,∴AM⊥平面ADF.14.如图所示,四棱锥E ABCD中,EA=EB,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD.(1)求证:AB⊥ED;(2)线段EA上是否存在点F,使DF∥平面BCE?若存在,求出;若不存在,说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在，【解析】(1)证明:取AB中点O,连接EO,DO,∵EA=EB,∴EO⊥AB,∵AB∥CD,AB=2CD,∴BO CD.又因为AB⊥BC,所以四边形OBCD为矩形,所以AB⊥DO.因为EO∩DO=O,所以AB⊥平面EOD.所以AB⊥ED.(2)解:存在满足条件的点F,=,即F为EA中点时,有DF∥平面BCE.证明如下:取EB中点G,连接CG,FG.因为F为EA中点,所以FG AB,因为AB∥CD,CD=AB,所以FG∥CD.所以四边形CDFG是平行四边形,所以DF∥CG.因为DF⊄平面BCE,CG⊂平面BCE,所以DF∥平面BCE.15.一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,N分别是AB,AC的中点,G是DF上的一动点.(1)求该多面体的体积与表面积;(2)求证:GN⊥AC;(3)当FG=GD时,在棱AD上确定一点P,使得GP∥平面FMC,并给出证明.【答案】（1）(3+)a2（2）见解析（3）见解析【解析】解:(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱,在△ADF中,AD⊥DF,DF=AD=DC=a,所以该多面体的体积为a3,表面积为a2×2+a2+a2+a2=(3+)a2.(2)连接DB,FN,由四边形ABCD为正方形,且N为AC的中点知B,N,D三点共线,且AC⊥DN.又∵FD⊥AD,FD⊥CD,AD∩CD=D,∴FD⊥平面ABCD.∵AC⊂平面ABCD,∴FD⊥AC.又DN∩FD=D,∴AC ⊥平面FDN,又GN ⊂平面FDN,∴GN ⊥AC.(3)点P 与点A 重合时,GP ∥平面FMC.取FC 的中点H,连接GH,GA,MH.∵G 是DF 的中点,∴GHCD. 又M 是AB 的中点,∴AM CD.∴GH ∥AM 且GH=AM, ∴四边形GHMA 是平行四边形. ∴GA ∥MH. ∵MH ⊂平面FMC,GA ⊄平面FMC, ∴GA ∥平面FMC,即当点P 与点A 重合时,GP ∥平面FMC.16.如图所示,四边形ABCD 中,AB ⊥AD,AD ∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,点E 、F 分别在BC 、AD 上,EF ∥AB.现将四边形ABEF 沿EF 折起,使平面ABEF ⊥平面EFDC,设AD 中点为P.(1)当E 为BC 中点时,求证:CP ∥平面ABEF;(2)设BE=x,问当x 为何值时,三棱锥A CDF 的体积有最大值?并求出这个最大值.【答案】（1）见解析（2）当x=3时,有最大值,最大值为3 【解析】(1)证明:取AF 的中点Q,连接QE 、QP,则QP DF, 又DF=4,EC=2,且DF ∥EC,所以QP EC,即四边形PQEC 为平行四边形,所以CP ∥EQ,又EQ ⊂平面ABEF,CP ⊄平面ABEF,故CP ∥平面ABEF.(2)解:因为平面ABEF ⊥平面EFDC,平面ABEF∩平面EFDC=EF,又AF ⊥EF,所以AF ⊥平面EFDC.由已知BE=x,所以AF=x(0<x≤4),FD=6-x.故=··2·(6-x)·x=(6x-x 2)=[-(x-3)2+9]=-(x-3)2+3,∴当x=3时,有最大值,最大值为3.17.如图所示,已知三棱柱ABC A 1B 1C 1,(1)若M 、N 分别是AB,A 1C 的中点,求证:MN ∥平面BCC 1B 1;(2)若三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长均为2,∠B 1BA=∠B 1BC=60°,P 为线段B 1B 上的动点,当PA+PC 最小时,求证:B 1B ⊥平面APC.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)连接AC 1,BC 1,则AN=NC 1,因为AM=MB,所以MN ∥BC 1.又BC 1⊂平面BCC 1B 1,MN ⊄平面BCC 1B 1,所以MN ∥平面BCC 1B 1.(2)将平面A 1B 1BA 展开到与平面C 1B 1BC 共面,A 到A′的位置,此时A′BCB 1为菱形,可知PA+PC=PA′+PC,A′C 即为PA+PC 的最小值,此时BB 1⊥A′C, ∴BB 1⊥PA′,BB 1⊥PC,即BB 1⊥PA,BB 1⊥PC, ∴BB 1⊥平面PAC.18.如图所示,四棱锥P ABCD 的底面为正方形,侧棱PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H 分别是线段PA,PD,AB 的中点.(1)求证:PB ∥平面EFH;(2)求证:PD ⊥平面AHF.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:(1)∵E 、H 分别是PA 、AB 的中点,∴EH ∥PB.又EH ⊂平面EFH,PB ⊄平面EFH,∴PB ∥平面EFH.(2)∵PA ⊥平面ABCD, ∴PA ⊥AB.又∵AB ⊥AD,PA∩AD=A,∴AB ⊥底面PAD.又∵PD ⊂平面PAD,∴AB ⊥PD.Rt △PAD 中,PA=AD=2,F 为PD 的中点, ∴AF ⊥PD.又∵AF∩AB=A,AF ⊂平面AHF,AB ⊂平面AHF,∴PD ⊥平面AHF.19.如图所示,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中,AD ∥BC,PD ⊥平面ABCD,AD=1,AB=,BC=4.(1)求证:BD ⊥PC;(2)求直线AB 与平面PDC 所成的角;(3)设点E在棱PC上,=λ,若DE∥平面PAB,求λ的值.【答案】（1）见解析（2）60°（3）【解析】(1)证明:由题意知,AB⊥AD,AD=1,AB=,∴BD=2,BC=4,∴DC=2,则BC2=DB2+DC2,∴BD⊥DC,∵PD⊥平面ABCD,∴BD⊥PD,而PD∩CD=D,∴BD⊥平面PDC.∵PC在平面PDC内,∴BD⊥PC.解:(2)如图所示,过D作DF∥AB交BC于F,过点F作FG⊥CD交CD于G.∵PD⊥平面ABCD,∴平面PDC⊥平面ABCD,∴FG⊥平面PDC,∴∠FDG为直线AB与平面PDC所成的角.在Rt△DFC中,∠DFC=90°,DF=,CF=3,∴tan∠FDG=,∴∠FDG=60°.∴直线AB与平面PDC所成角为60°.(3)连接EF,∵DF∥AB,∴DF∥平面PAB.∵DE∥平面PAB,∴平面DEF∥平面PAB,∴EF∥AB,如图所示,∵AD=1,BC=4,BF=1,∴==,∴=,即λ=.。

高三数学练习题含答案

高三数学练习题含答案1. 题目：已知函数$f(x)=2x^2-3x+5$，求函数$f(x)$的最小值及对应的$x$值。

解析：函数$f(x)$是一个二次函数，其对应的抛物线开口朝上。

根据二次函数的性质，最小值出现在抛物线的顶点处。

首先，我们需要找到抛物线的顶点。

对于二次函数$ax^2+bx+c$，其中$a>0$，顶点的横坐标可以通过公式$x=-\frac{b}{2a}$来计算。

根据题目中给出的函数$f(x)=2x^2-3x+5$，可以得到$a=2$，$b=-3$。

代入公式，得到$x=-\frac{-3}{2(2)}=\frac{3}{4}$。

接下来，我们将$x=\frac{3}{4}$代入函数$f(x)$中，计算最小值。

即$f\left(\frac{3}{4}\right)=2\left(\frac{3}{4}\right)^2-3\left(\frac{3}{4}\right)+5=\frac{39}{8}$。

因此，函数$f(x)$的最小值为$\frac{39}{8}$，对应的$x$值为$\frac{3}{4}$。

2. 题目：已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，前三项依次为$a_1=3$，$a_2=6$，$a_3=9$。

求等差数列的通项公式。

解析：等差数列的通项公式可以表示为$a_n=a_1+(n-1)d$。

我们可以利用已知的前三项来确定公差$d$。

根据题目中给出的前三项$a_1=3$，$a_2=6$，$a_3=9$，我们可以得到以下方程组：$a_2=a_1+d$，即$6=3+d$；$a_3=a_1+2d$，即$9=3+2d$。

解方程组，可以得到$d=3$。

将$d=3$代入通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$中，得到$a_n=3+(n-1)3=3n$。

因此，等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3n$。

3. 题目：已知等比数列$\{b_n\}$的首项为$b_1=2$，公比为$r$，前三项的乘积为$64$。

全国高三高中数学专题试卷带答案解析

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知命题“如果x⊥y，y∥z，则x⊥z”是假命题，那么字母x，y，z在空间所表示的几何图形可能是() A．全是直线B．全是平面C．x，z是直线，y是平面D．x，y是平面，z是直线2.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l3.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行4.设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β5.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的有()A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n6.将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图(2))，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直二、填空题1.已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的________条件．2.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．3.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M ∈AB 1，N ∈BC 1，且AM ＝BN ≠，有以下四个结论：①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ；③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④MN 与A 1C 1是异面直线．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题1.已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝2EC .(1)求证：BE ∥平面PDA ；(2)若N 为线段PB 的中点，求证：NE ⊥平面PDB .2.如图，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ；(2)BC ⊥SA .3.如图，点C 是以AB 为直径的圆上的一点，直角梯形BCDE 所在平面与圆O 所在平面垂直，且DE ∥BC ，DC ⊥BC ，DE ＝BC .(1)证明：EO ∥平面ACD ；(2)证明：平面ACD ⊥平面BCDE .全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.已知命题“如果x ⊥y ，y ∥z ，则x ⊥z ”是假命题，那么字母x ，y ，z 在空间所表示的几何图形可能是( )A ．全是直线B ．全是平面C ．x ，z 是直线，y 是平面D ．x ，y 是平面，z 是直线【答案】D【解析】当x 、y 、z 是A 、B 、C 中的几何图形时，命题“如果x ⊥y ，y ∥z ，则x ⊥z ”是真命题，故选D.2.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l【答案】D【解析】根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D3.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行【答案】C【解析】若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾．故选C.4.设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【答案】C【解析】选项A中也可以l∥β，选项B中也可以l∥β，选项D中也可以l⊂β，l∥β或l与β斜交．5.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的有()A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【答案】D【解析】若m∥α，n∥α，m，n可以平行，可以相交，也可以异面，故①不正确；若α⊥γ，β⊥γ，α，β可以相交，故②不正确；若m∥α，m∥β，α，β可以相交，故③不正确；若m⊥α，n⊥α，则m∥n，④正确．故选D.6.将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图(2))，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直【答案】C【解析】在题图(1)中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如题图(2)，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD、CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.故选C.二、填空题1.已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的________条件．【答案】充分不必要【解析】E ，F ，G ，H 四点不共面时，EF ，GH 一定不相交，否则，由于两条相交直线共面，则E ，F ，G ，H 四点共面，与已知矛盾，故甲可以推出乙；反之，EF ，GH 不相交，含有EF ，GH 平行和异面两种情况，当EF ，GH 平行时，E ，F ，G ，H 四点共面，故乙不能推出甲．即甲是乙的充分不必要条件．2.如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题：①PA ∥平面MOB ；②MO ∥平面PAC ；③OC ⊥平面PAC ；④平面PAC ⊥平面PBC .其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．【答案】②④【解析】①错误，PA ⊂平面MOB ；②正确；③错误，否则，有OC ⊥AC ，这与BC ⊥AC 矛盾；④正确，因为BC ⊥平面PAC .3.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M ∈AB 1，N ∈BC 1，且AM ＝BN ≠，有以下四个结论：①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ；③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④MN 与A 1C 1是异面直线．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确命题的序号都填上)【答案】①③【解析】过N 作NP ⊥BB 1于点P ，连接MP ，可证AA 1⊥平面MNP ，得AA 1⊥MN ，①正确；过M ，N 分别作MR ⊥A 1B 1，NS ⊥B 1C 1于点R ，S ，则当M 不是AB 1的中点，N 不是BC 1的中点时，直线A 1C 1与直线RS 相交；当M ，N 分别是AB 1，BC 1的中点时，A 1C 1∥RS ，所以A 1C 1与MN 可以异面，也可以平行，故②④错误；由①正确知，AA 1⊥平面MNP ，而AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以平面MNP ∥平面A 1B 1C 1D 1，故③正确．三、解答题1.已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC ∥PD ，且PD ＝2EC .(1)求证：BE ∥平面PDA ；(2)若N 为线段PB 的中点，求证：NE ⊥平面PDB .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)∵EC ∥PD ，PD ⊂平面PDA ，EC ⊄平面PDA ，∴EC ∥平面PDA ，同理可得BC ∥平面PDA .∵EC ⊂平面EBC ，BC ⊂平面BEC 且EC ∩BC ＝C ， ∴平面BEC ∥平面PDA .又∵BE ⊂平面BEC ，∴BE ∥平面PDA .(2)连接AC ，交BD 于点F ，连接NF ，∵F 为BD 的中点，∴NF∥PD且NF＝PD，又EC∥PD且EC＝PD，∴NF∥EC且NF＝EC.∴四边形NFCE为平行四边形，∴NE∥FC，∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD，又DB⊥AC，PD∩BD＝D，∴AC⊥平面PDB，∴NE⊥平面PDB.2.如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.3.如图，点C是以AB为直径的圆上的一点，直角梯形BCDE所在平面与圆O所在平面垂直，且DE∥BC，DC⊥BC，DE＝BC.(1)证明：EO∥平面ACD；(2)证明：平面ACD⊥平面BCDE.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)如图，取BC的中点M，连结OM、ME.在△ABC中，O为AB的中点，M为BC的中点，∴OM∥AC，在直角梯形BCDE中，DE∥BC，且DE＝BC＝CM，∴四边形MCDE为平行四边形，∴EM∥DC，∴面EMO∥面ACD，又∵EO⊂面EMO，∴EO∥面ACD.(2)∵C在以AB为直径的圆上，∴AC⊥BC，又∵面BCDE⊥面ABC，面BCDE∩面ABC＝BC，∴AC⊥面BCDE，又∵AC⊂面ACD，∴面ACD⊥面BCDE.。

2020年高考数学大题专项练习数列一(15题含答案解析)

2020年高考数学大题专项练习数列一(15题含答案解析)高中高中数学题号一总分得分一、解答题1.已知数列的前项和为,,,求.2.设等差数列{a n}满足，，（1）求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的前项和为，求满足成立的值。

3.设数列A：， ,… (N≥2)。

如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有＜，则称n是数列A的一个“G时刻”。

记“G（A）是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。

（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素；(2)证明：若数列A中存在使得>，则G（A）≠；(3）证明：若数列A满足-≤1（n=2,3, …,N）,则G（A）的元素个数不小于 -。

4.设数列的前项和为，且.(1) 求的值，并用表示；(2) 求数列的通项公式；(3) 设，求证：.5.已知在数列{a n }中，a 1=1，a n a n ＋1=n .(12)(1)求证：数列{a 2n }与{a 2n －1}都是等比数列；(2)若数列{a n }的前2n 项的和为T 2n ，令b n =(3－T 2n )·n·(n ＋1)，求数列{b n }的最大项． 6.单调递增数列{a n }的前项和为，且满足．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }满足，求数列{b n }的前项和7.已知等差数列的前n 项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）求证：.8.已知为等差数列，前n 项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和.9.已知数列的前项和为，，且满足（1）求及通项公式；（2）若，求数列的前项和.10.各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知点（a n，a n+1）（n∈N*）在函数的图象上，且．（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（2）已知数列{b n}满足b n=4﹣n，设其前n项和为T n，若存在正整数k，使不等式T n ＞k有解，且（n∈N*）恒成立，求k的值．11.在等差数列中，，，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.12.在数列{a n}中，，（1）写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式；（2）证明这个数列的通项公式.13.数列{a n}的前项和为.（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前项和.为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过14.x的最大整数，如.（I）求；（II）求数列的前1 000项和.15.已知数列的前n项和S n=3n2+8n，是等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令求数列的前n项和T n.2020年高考数学大题专项练习数列五(15题含答案解析)答案解析一、解答题1.答案为：2.3.解：4.5.解：(1)证明：由题意可得a 1a 2=，则a 2=.1212又a n a n ＋1=n ，a n ＋1a n ＋2=n ＋1，∴=.(12)(12)an ＋2an 12∴数列{a 2n －1}是以1为首项，为公比的等比数列；12数列{a 2n }是以为首项，为公比的等比数列．1212(2)T 2n =(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )=＋=3－3·n .1－(12)n 1－1212[1－(12)n ]1－12(12)∴b n =3n(n ＋1)n ，b n ＋1=3(n ＋1)(n ＋2)n ＋1，∴=，(12)(12)bn ＋1bn n ＋22n∴b 1b 4>…>b n >…，∴数列{b n }的最大项为b 2=b 3=.926.7.8.（1）..（2）.9.10.11.12.13.（1）；（2）数列的前项或前项的和最大；（3）．14.解：15.。

全国高三高中数学专题试卷带答案解析

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知两条直线a，b与两个平面α，β，b⊥α，则下列命题中正确的是()．①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b∥β.A．①③B．②④C．①④D．②③2.已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，那么a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是()．A．①或②B．②或③C．①或③D．只有②3.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()．A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β4.已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，给出下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n.其中正确的个数有()．A．1B．2C．3D．45.如图所示，在四边形A-BCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()．A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC二、填空题1.设α和β为两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．其中为真命题的是________(写出所有真命题的序号)．2.下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．3.如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC 上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．三、解答题1.如图，正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直，EF ∥BD ，AB ＝EF .(1)求证：BF ∥平面ACE ；(2)求证：BF ⊥BD .2.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是PD 的中点，AB ＝2，∠BAD ＝60°.(1)求证：OM ∥平面PAB ；(2)求证：平面PBD ⊥平面PAC ；(3)当四棱锥P-ABCD 的体积等于时，求PB 的长．3.如图，在四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.(1)证明：AA 1⊥BD ；(2)证明：CC 1∥平面A 1BD .全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.已知两条直线a，b与两个平面α，β，b⊥α，则下列命题中正确的是()．①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b∥β.A．①③B．②④C．①④D．②③【答案】A【解析】过直线a作平面γ使α∩γ＝c，则a∥c，再根据b⊥α可得b⊥c，从而b⊥a，命题①是真命题；下面考虑命题③，由b⊥α，b⊥β，可得α∥β，命题③为真命题．故正确选项为A.2.已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，那么a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是()．A．①或②B．②或③C．①或③D．只有②【答案】C【解析】由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行”可得，横线处可填入条件①或③，结合各选项知，选C.3.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()．A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β【答案】B【解析】根据定理、性质、结论逐个判断．因为α⊥β，m⊂α⇒m，β的位置关系不确定，可能平行、相交、m在β面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误．4.已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，给出下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n.其中正确的个数有()．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】①中m，n可能异面或相交，故不正确；②因为m∥α，n⊥β且α⊥β成立时，m，n两直线的关系可能是相交、平行、异面，故不正确；③因为m⊥α，α∥β可得出m⊥β，再由n∥β可得出m⊥n，故正确；④分别垂直于两个垂直平面的两条直线一定垂直，正确．故选B.5.如图所示，在四边形A-BCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()．A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC【答案】D【解析】在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC.所以平面ABC⊥平面ADC.D选项正确．二、填空题1.设α和β为两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．其中为真命题的是________(写出所有真命题的序号)．【答案】①②【解析】由①知α内两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，故①为真命题；由线面平行的判定定理知，②为真命题；对于③，如图，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，但不一定有α⊥β，故③为假命题；对于④，直线l与平面α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直，故④为假命题．综上所述，真命题的序号为①②.2.下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．【答案】①③【解析】对于①，注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行，因此直线AB平行于平面MNP；对于②，注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，注意到此时直线AB与平面MNP内的一条直线MP平行，且直线AB位于平面MNP外，因此直线AB与平面MNP平行；对于④，易知此时AB与平面MNP相交．综上所述，能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是①③.3.如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________．【答案】【解析】如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连接GK，∵平面ABD⊥平面ABC，DK⊥AB，∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF.又DG⊥AF，∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.容易得到，当F运动到E点时，K为AB的中点，t＝AK＝＝1；当F运动到C点时，在Rt△ADF中，易得AF＝，且AG＝，GF＝，又易知Rt△AGK∽Rt△ABF，则，又AB＝2，AK＝t，则t＝.∴t的取值范围是.三、解答题1.如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EF∥BD，AB＝EF.(1)求证：BF∥平面ACE；(2)求证：BF⊥BD.【答案】见解析【解析】(1)设AC与BD交于O点，连接EO.在正方形ABCD中，BO＝AB，又因为AB＝EF，∴BO＝EF，又因为EF∥BD，∴四边形EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵BF⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，∴BF∥平面ACE.(2)在正方形ABCD中，AC⊥BD，又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面ACE＝AC，∴BD⊥平面ACE，∵EO⊂平面ACE，∴BD⊥EO，∵EO∥BF，∴BF⊥BD.2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：OM∥平面PAB；(2)求证：平面PBD⊥平面PAC；(3)当四棱锥P-ABCD的体积等于时，求PB的长．【答案】【解析】(1)证明∵在△PBD中，O，M分别是BD，PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB.∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，∴OM∥平面PAB.(2)证明∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC.∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.又AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC.∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.(3)解∵底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°，∴S＝2××AB×AD×sin 60°＝2×2×＝2.菱形ABCD∵四棱锥P-ABCD的高为PA，∴×2×PA＝，解得PA＝.又∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA ⊥AB .在Rt △PAB 中，PB ＝＝＝.3.如图，在四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.(1)证明：AA 1⊥BD ；(2)证明：CC 1∥平面A 1BD .【答案】见解析【解析】(1)法一因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以D 1D ⊥BD .在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos ∠BAD .又因为AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，所以BD 2＝3AD 2.所以AD 2＋BD 2＝AB 2，因此AD ⊥BD .又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1.又AA 1⊂平面ADD 1A 1，所以AA 1⊥BD .法二因为DD 1⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥D 1D .如图1，取AB 的中点G ，连接DG .图1在△ABD 中，由AB ＝2AD ，得AG ＝AD .又∠BAD ＝60°，所以△ADG 为等边三角形，所以GD ＝GB ，故∠DBG ＝∠GDB .又∠AGD ＝60°，所以∠GDB ＝30°，所以∠ADB ＝∠ADG ＋∠GDB ＝60°＋30°＝90°，所以BD ⊥AD .又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1.又AA 1⊂平面ADD 1A 1，所以AA 1⊥BD .(2)如图2，连接AC ，A 1C 1.设AC ∩BD 于点E ，图2连接EA 1.因为四边形ABCD 为平行四边形，所以EC ＝AC .由棱台的定义及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知，A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ，所以四边形A 1ECC 1为平行四边形，因此CC 1∥EA 1.又因为EA 1⊂平面A 1BD ，CC 1⊄平面A 1BD ，所以CC 1∥平面A 1BD .。

高考数学真题分类汇编：专题(15)复数(理科)及答案

专题十五复数1.【20xx 高考新课标2，理2】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．【考点定位】复数的运算．【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题．2.【20xx 高考四川，理2】设i 是虚数单位，则复数32i i-( ) （A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i【答案】C【解析】32222i i i i i i i i-=--=-+=，选C. 【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.3.【20xx 高考广东，理2】若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（）A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i -【答案】D ．【解析】因为()3223z i i i =-=+，所以z =23i -，故选D ．【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念，z a bi =+的共轭复数为z a bi =-．4.【20xx 高考新课标1，理1】设复数z 满足11z z+-=i ，则|z|=( )（A ）1 （B （C （D ）2【答案】A【解析】由11z i z +=-得，11i z i -+=+=(1)(1)(1)(1)i i i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z ，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性.5.【20xx 高考北京，理1】复数()i 2i -=（）A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】A考点定位：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意21i =-.【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意21i =-，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.6.【20xx 高考湖北，理1】 i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-【答案】A【解析】i i i i -=⋅=⨯31514607,所以607i 的共轭复数．．．．为i ，选A . 【考点定位】共轭复数.【名师点睛】复数中，i 是虚数单位,24142434111()n n n n i i i i i i i n +++=-==-=-=∈Z ；，，，7.【20xx 高考山东，理2】若复数z 满足1z i i=-，其中i 为虚数为单位，则z =（）（A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+【答案】A 【解析】因为1z i i=-，所以，()11z i i i =-=+ ，所以，1z i =- 故选：A. 【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.8.【20xx 高考安徽，理1】设i 是虚数单位，则复数21i i-在复平面内所对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】B 【解析】由题意22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B.【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义.【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z a bi =+在复平面内一一对应的点为(,)Z a b .9.【20xx 高考重庆，理11】设复数a +bi （a ，b ∈R ），则（a +bi ）（a -bi ）=________.【答案】3【解析】由a +得=，即223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=.【考点定位】复数的运算.【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要相应的运算支持．本题首先根据复数模的定义得a +，复数相乘可根据平方差公式求得()()a bi a bi +-22()a bi =-22a b =+，也可根据共轭复数的性质得()()a bi a bi +-22a b =+．10.【20xx 高考天津，理9】i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .【答案】2-【解析】()()()12212i a i a a i -+=++-是纯虚数，所以20a +=，即2a =-.【考点定位】复数相关概念与复数的运算.【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算，再利用纯虚数的概念可求结果，是容易题.11.【20xx 江苏高考，3】设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.【解析】22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=【考点定位】复数的模【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模，利用复数模的性质求解就比较简便：2211121222||||||||||||.||z z z z z z z z z z ==⋅=，， 12.【20xx 高考湖南，理1】已知()211i i z -=+（i 为虚数单位），则复数z =（） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --【答案】D.【考点定位】复数的计算.【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.13.【20xx 高考上海，理2】若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．【答案】1142i +【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则113()1412142a bi a bi i a b z i ++-=+⇒==⇒=+且【考点定位】复数相等，共轭复数【名师点睛】研究复数问题一般将其设为(,)z a bi a b R =+∈形式，利用复数相等充要条件：实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题：解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为(,)z a bi a b R =-∈，复数加法为实部与实部，虚部与虚部分别对应相加.【20xx 高考上海，理15】设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若1z 、2z 皆是实数，则12z z -一定不是虚数，因此当12z z -是虚数时，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当1z 、2z 中至少有一个数是虚数，12z z -不一定是虚数，如12z z i ==，即充分性不成立，选B.【考点定位】复数概念，充要关系【名师点睛】形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.。

高三数学复习附加题专项训练15套有答案

ABC •••2013届高三数学复习附加题专项训练（一）烟雾满山飘制作上传选修4-2：矩阵与变换二阶矩阵M 对应的变换将点(1,1)-与(2,1)-分别变换为点(1,1)--与(0,2)-，设直线l 在变换M 作用下得到了直线:24m x y -=，求直线l 的方程答案：直线l 的方程为40x +=选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．答案：解得4a =+【必做题】22．如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.求APB ∆的重心G 的轨迹方程.答案：重心G 的轨迹方程为：221(34)20,(42)3x y x y x x --+-==-+即．23. 如图所示，某城市有南北街道和东西街道各2n +条，一邮递员从该城市西北角的邮局A 出发，送信到东南角B 地，要求所走路程最短.求该邮递员途径C 地的概率()f n 答案：概率[]2212222(1)!(2)!1()2(!)(22)!21n n n n C n n n f n C n n n ++++==⋅=++。

（第4题）BACA 1B 1C 12013届高三数学一轮复习附加题专项训练（二）1设A=1212⎤⎥⎢⎢⎢⎣，则6A的逆矩阵是。

答案：逆矩阵为 1 00 -1-⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

选修4-4：坐标系与参数方程已知点),(y x P 在椭圆1121622=+y x 上，试求y x z 32-=的最大值. 答案： 10z 的最大值是【必做题】22.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且12AB AC A B ===．（1）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（2）在棱11B C 上确定一点P ，使AP =1P AB A --的平面角的余弦值．答案（1）1AA 与棱BC 所成的角是π3．（2）二面角1P ABA --．23. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点(4,0)M .（1）若点F 到直线l l 的斜率；（4分）（2）设,A B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值.（6分）答案：（1）直线l 的斜率为（2）线段AB 中点的横坐标为定值2.2013届高三数学一轮复习附加题专项训练（三）选修4-2：矩阵与变换若点(2,2)A 在矩阵cos sin sin cos M αααα-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应变换的作用下得到的点为(2,2)B -，求矩阵M 的逆矩阵答案： 10110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求经过三点O (0，0)，A (2，2π)，B (4π)的圆的极坐标方程．解答： )4ρθπ=-．【必做题】第22题口袋中有3个白球，4个红球，每次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为X ．（I ）若取到红球再放回，求X 不大于2的概率；（II ）若取出的红球不放回，求X 的概率分布与数学期望．解答：（Ⅰ） ∴33(1)(2)49P P X P X ==+==；∴32631()12345277353535E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 第23题已知1()ln(1)(1)nf x a x x =+--,其中*n N ∈,a 为常数, (1)当2n =时,求函数()f x 的极值；(2)当1a =时,证明:对任意的正整数n ,当2x ≥时,()1f x x ≤-.答案:(1) 2n =时,当0a >时,()f x 在1x =+处取得极小值2(1(1ln )2a f a+=+；当0a ≤时, ()f x 无极值. (2)略2013届高三数学一轮复习附加题专项训练（四）选修4-2：矩阵与变换.已知矩阵1101,20201⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A B ，若矩阵AB 对应的变换把直线l ：20x y +-=变为直线'l ，求直线'l 的方程.答案：直线l '的方程为480x y +-=选修4-4：坐标系与参数方程求直线12,12x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）被圆3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）截得的弦长．答案：弦长为【必做题】第22题假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5，记此时教室里敞开的窗户个数为X . （Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变.记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y ，求Y 的分布列.答案：（Ⅰ）X 的分布列为（Ⅱ）Y 的分布列为第23题已知2()1f x x x =+-,()ln g x =若对任意12x >,都有()()f x g x ≤,试求a 的取值范围.答案: a 的取值范围是[,)e +∞.2013届高三数学一轮复习附加题专项训练（五）1选修4-2：矩阵与变换设A=，则A 6= 答案：66cos -sin 0 14466-1 0sin cos 44ππππ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦选修4-4：坐标系与参数方程椭圆2211612x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值. 答案：当 53πθ=时，min d =，此时所求点为(2,3)-【必做题】第22题已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=o，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥．（I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ；（II ）求1CC 到平面1A AB 的距离；答案：（I ）略（II ）1||||AC n d n ⋅==u u u u r rr 7．第23题设数列{}n a 满足*1112,().n n na a a n N a +==+∈ （1）证明：n a 对*n N ∈恒成立；（2）令*)n b n N =∈，判断n b 与1n b +的大小，并说明理由．23题提供答案证明：（1）111111(0)(0,1)12,22,{}(2,)12111k k n n kk kk k y x x x xa a a a a n a a nn k nk a a a ++=+>∈∈∞==+≥≥+∞===>>==>=+=+>=是减函数,x (1,+)为增函数。

高三数学选择题专题训练(17套)含答案

（每个专题时间：35分钟，满分：60分）1．函数y =的定义域是（）A ．[1,)+∞B ．23(,)+∞ C ．23[,1] D ．23(,1]2．函数221()1x f x x -=+, 则(2)1()2f f = （） A ．1 B ．－1 C ．35D ．35-3．圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为（）A ．2 BC ．1 D4．不等式221x x +>+的解集是（） A ．(1,0)(1,)-+∞ B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(1,0)(0,1)- D ．(,1)(1,)-∞-+∞5．sin163sin 223sin 253sin313+=（）A ．12-B ．12C． D6．若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．127．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。

那么p 是q 成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题（）①////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭ ② //////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭ ③ ,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 ④ //m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭其中假命题有：（） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个9．若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S > 成立的最大自然数n 是（） A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．400810．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为（）A ．43B ．53C ．2D ．7311．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为（）A ．2140B ．1740C ．310D ．712012．如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是A ．258B ．234C ．222D ．2101．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则()U C A B 等于( )A ．{1，2，4}B ．{4}C ．{3，5}D ．∅2．︒+︒15cot 15tan 的值是（）A ．2B ．2+3C ．4D ．334 3．命题p ：若a 、b ∈R ，则|a |+|b|>1是|a +b|>1的充要条件；命题q ：函数y=2|1|--x 的定义域是（－∞，－1]∪[3，+∞).则（）A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真4．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率为（）A ．32 B ．33 C ．22 D ．235．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（） A ．1B ．－1C ．2D ．216．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：其中真命题的个数是（） ①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β； ④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β.A ．0B ．1C ．2D ．37．已知函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x )，则函数y= f —1(1－x )的图象是（）8．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（）A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 9．已知8)(xa x -展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（）A ．28B ．38C ．1或38D ．1或2810．如图，A 、B 、C 是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60º，O 为球心，则直线OA 与截面ABC 所成的角是（） A ．arcsin 63 B ．arccos 63C ．arcsin 33 D ．arccos 3311．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[3，4] 时，f(x)= x －2，则（） A ．f (sin21)<f (cos 21) B ．f (sin 3π)>f (cos 3π) C ．f (sin1)<f (cos1) D ．f (sin 23)>f (cos 23) 12．如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流的沿岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ，现要在曲线PQ 上任意选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物，经测算，从M 到B 、C 两地修建公路的费用都是a 万元/km 、那么修建这两条公路的总费用最低是（）A ．(7+1)a 万元B ．(27－2) a 万元C ．27a 万元D ．(7－1) a 万元专题训练（三）1．已知平面向量a =（3，1），b =（x ，–3），且a b ⊥，则x= （） A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 2．已知{}{}2||1|3,|6,A x x B x xx =+>=+≤则A B =（）A ．[)(]3,21,2-- B ．(]()3,21,--+∞C ． (][)3,21,2--D ．(](],31,2-∞-3．设函数2322,(2)()42(2)x x f x x x a x +⎧->⎪=--⎨⎪≤⎩在x=2处连续,则a= （）A ．12-B ．14- C ．14 D ．134．已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ，则++2221a a …2n a +等于（）A ．2)12(-nB ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n5．函数f(x)22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）是（） A ．周期为π的偶函数 B ．周期为π的奇函数 C ．周期为2π的偶函数 D ．.周期为2π的奇函数6．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（）A ．0.1536B ． 0.1808C ． 0.5632D ． 0.97287．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是（）A ．23 B ． 76 C ． 45 D ． 568．若双曲线2220)x y kk -=>（的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= （） A ． 6 B ． 8C ． 1D ． 49．当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值是（） A ． 4 B ． 12 C ．2 D ． 1410．变量x 、y 满足下列条件：212,2936,2324,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩ 则使z=3x+2y 的值最小的（x ，y ）是（）A ． ( 4.5 ,3 )B ． ( 3,6 )C ． ( 9, 2 )D ． ( 6, 4 )11．若tan 4f x x π=+（）（），则（） A ． 1f -（）>f (0)>f (1) B ． f （0）>f(1)>f (-1) C ． 1f （）>f (0)>f (-1) D ． f （0）>f(-1)>f (1) 12．如右下图,定圆半径为 ( b ,c ), 则直线ax+by+c=0 与直线 x –y+1=0的交点在( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限1．设集合P={1A ．{1，2} B ． {3，4} C ． {1} D ． {-2，-1，0，1，2}2．函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为（）A ．2πB ．πC ．π2D ．π43．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A ．140种B ．120种C ．35种D ．34种4．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是（）A ．33π100cmB ． 33π208cmC ． 33π500cmD ． 33π3416cm 5．若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．22C ． 4D ．246．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（）A ．0.6小时B ．0.9小时C ．1.0小时D ．1.5小时 7．4)2(x x +的展开式中x 3的系数是（） A ．6 B ．12 C ．24 D ．488．若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则（）A ．a =2,b=2B ．a = 2 ,b=2C ．a =2,b=1D ．a = 2 ,b= 29．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（）A ．5216B ．25216C ．31216D ．9121610．函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（）A ．1，-1B ．1，-17C ．3，-17 D．9，-1911．设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于（）A ．3B ．32C ．43D ．6512．设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个人数(人)时间(小时)专题训练（五）1．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．对于10<<a ，给出下列四个不等式，其中成立的是( )① )11(log )1(log a a a a +<+ ②)11(log )1(log aa a a +>+ ③aa a a 111++<④aaaa 111++>A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④3．已知α、β是不同的两个平面，直线βα⊂⊂b a 直线,，命题b a p 与:无公共点；命题βα//:q . 则q p 是的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 4．圆064422=++-+y x y x 截直线x -y -5＝0所得弦长等于（） A ．6 B ．225 C ．1 D ．5 5．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A ．21p pB ．)1()1(1221p p p p -+-C ．211p p -D ．)1)(1(121p p --- 6．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 7．已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是( )A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数 8．已知随机变量ξ的概率分布如下：则==)10(ξP ( )A ．932 B ．103 C ．93 D ．103 9．已知点)0,2(1-F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是21时，点P 到坐标原点的距离是( )A ．26 B ．23 C ．3D ．210．设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是( )A ．π68B ．π664C ．π224D ．π27211．若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是( )A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-== 12．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不．左右相邻，那么不同排法的种数是( )A ．234B ．346C ．350D ．3631．设集合U A ．{2} B ．{2，3} C ．{3} D ． {1，3} 2．已知函数=-=+-=)(,21)(,11lg )(a f a f x x x f 则若（） A ．21 B ．－21 C ．2 D ．－23．已知a +b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |=（） A ．7 B ．10C ．13D ．44．函数)1(11>+-=x x y 的反函数是（）A ．)1(222<+-=x x x yB ．)1(222≥+-=x x x y C ．)1(22<-=x x x y D ．)1(22≥-=x x x y5．73)12(xx -的展开式中常数项是（）A ．14B ．－14C ．42D ．－426．设)2,0(πα∈若,53sin =α则)4cos(2πα+=（） A ．57B ．51C ．27 D ．47．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =（） A ．23B ．3C ．27 D ．48．设抛物线x y 82=的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（）A ．]21,21[-B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则ST等于（）A ．91 B ．94 C ．41 D ．31 11．从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（）A ．95 B ．94 C ．2111 D ．2110 12．已知ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为（）A ．3－21B ．21－3C ．－21－3D ．21+31．已知集合}032|{|,4|{22<--=<=x x x N x x M ，则集合N M ⋂=（） A ．{2|-<x x } B ．{3|>x x } C ．{21|<<-x x } D ． {32|<<x x }2．函数)5(51-≠+=x x y 的反函数是（） A ．)0(51≠-=x x y B ．)(5R x x y ∈+=C ．)0(51≠+=x xy D ．)(5R x x y ∈-=3．曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为（） A ．43-=x y B ．23+-=x y C ．34+-=x y D ．54-=x y4．已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆C 的方程为（）A ．1)1(22=++y xB ．122=+y xC ．1)1(22=++y xD ．1)1(22=-+y x5．已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π，则ϕ可以是（）A ．6π-B ．6π C ．12π-D ．12π 6．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（） A ．75° B ．60° C ．45° D ．30° 7．函数xe y -=的图象（） A ．与xe y =的图象关于y 轴对称B ．与xe y =的图象关于坐标原点对称C ．与x e y -=的图象关于y 轴对称D ．与xe y -=的图象关于坐标原点对称 8．已知点A （1，2）、B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 9．已知向量a 、b 满足：|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |=（） A ．1B ．2C ．5D ．610．已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为（）A ．31 B ．33 C ．32 D ．36 11．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（）A ．4π B ．2π C ．π D ．2π12．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（） A ．56个 B ．57个 C ．58个 D ．60个专题训练（八）1、设集合22,1,,M x y xy x R y R =+=∈∈，2,0,,N x y xy x R y R =-=∈∈，则集合MN 中元素的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42、函数sin 2xy =的最小正周期是（） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π3、记函数13xy -=+的反函数为()y g x =，则(10)g =（） A ． 2 B ． 2-C ． 3D ． 1- 4、等比数列{}n a 中，29,a = 5243a =，则{}n a 的前4项和为（）A ． 81B ． 120C ．168D ． 1925、圆2240x y x +-=在点(P 处的切线方程是（）A ． 20x +-=B ． 40x +-=C ． 40x -+=D ． 20x +=6、61x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为（）A ． 15B ． 15-C ． 20D ． 20-7、若△ABC 的内角满足sin A ＋cos A ＞0，tan A -sin A ＜0，则角A 的取值范围是（）A ．（0，4π） B ．（4π，2π） C ．（2π，43π） D ．（43π，） 8、设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =（）A ． 5B ．C ．D ． 549、不等式113x <+<的解集为（）A ． ()0,2B ． ()()2,02,4- C ． ()4,0- D ． ()()4,20,2--10、正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（）A ．B ．C ． 3D ．11、在ABC 中，3,4AB BC AC ===，则边AC 上的高为（）A ．B ．C ． 32D ．12、4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（）A ． 12 种B ． 24 种C 36 种D ． 48 种1．设集合U={1U A ．{5} B ．{0，3} C ．{0，2，3，5} D ． {0，1，3，4，5}2．函数)(2R x e y x∈=的反函数为（） A ．)0(ln 2>=x x y B ．)0)(2ln(>=x x y C ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y 3．正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为（） A ．26 B ． 6C ．66 D ．36 4．函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．为了得到函数xy )31(3⨯=的图象，可以把函数xy )31(=的图象（）A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度6．等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于 A ．160 B ．180 C ．200 D ．2207．已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k （）A ．41-B ．41 C ．21-D ．21 8．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（）A ．03222=--+x y xB ．0422=++x y xC ．03222=-++x y x D ．0422=-+x y x9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种10．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（） A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－511．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=BC=23，则球心到平面ABC 的距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．212．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b =（） A ．231+ B ．31+ C ．232+ D ．32+1．设集合A ．PQ P = B ．P Q 包含Q C ．P Q Q = D ． P Q 真包含于P2．不等式21≥-xx 的解集为（） A ． )0,1[- B ． ),1[+∞- C ．]1,(--∞ D ．),0(]1,(+∞--∞ 3．对任意实数,,a b c 在下列命题中，真命题是（）A ．""ac bc >是""a b >的必要条件B ．""ac bc =是""a b =的必要条件C ．""ac bc >是""a b >的充分条件D ．""ac bc =是""a b =的充分条件 4．若平面向量b 与向量)2,1(-=的夹角是o 180，且53||=，则=b （） A ． )6,3(- B ． )6,3(- C ． )3,6(- D ． )3,6(-5．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点。

高考数学数列大题训练50题含答案解析

高考数学《数列》大题训练50题1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+.（1）求{n a }的通项公式；（2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++.2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线0121=+-y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）函数)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且，求函数)(n f 最小值. 3 ．已知函数xab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，81）和Q （4，8）(1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。

4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数.（1）求证: {}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++的结果.6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上. (1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322a a a +++ (1)2n n a -+8n =对任意的∈n N*都成立，数列1{}n n b b +-是等差数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）问是否存在k ∈N *，使得(0,1)k k b a -∈？请说明理由．8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值；（II ）若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列，试求λ的值. 9 ．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1,211++=⋅=+n n S a n a n n ，（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）令n nn S T 2=，∈当n 为何正整数值时，1+>n n T T ：∈若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围。

2020年高考数学大题专项练习导数与函数二(15题含答案解析)

2020年高考数学大题专项练习导数与函数二1.已知函数f(x)=e x －x 2－ax 有两个极值点x 1，x 2(e 为自然对数的底数)．12(1)求实数a 的取值范围；(2)求证：f(x 1)＋f(x 2)>2．2.设函数f(x)=lnx-0.5ax 2-bx.(1)当a=b=0.5时，求f(x)的最大值；(2)令，其图像上任意一点P(x 0,y 0)处切线的斜率k ≤0.5恒成立，求实数a 的取值范围.3.已知函数f(x)=e x -(x+a)ln(x+a)+x,(x ∈R).（1）当a=1时，求函数f(x)的图像在x=0处的切线方程；（2）若函数f(x)在定义域上为单调递增函数，①求a 的最大整数；②证明：4.已知函数f(x)=kx 3+3(k ﹣1)x 2﹣k 2+1在x=0，x=4处取得极值.(1)求常数k 的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值；(3)设g(x)=f(x)+c ，且∀x ∈[﹣1，2]，g(x)≥2c+1恒成立，求c 的取值范围.5. (1)已知函数f(x)=x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[-1,2]，求b ，c 的值.(2)设f(x)=ax 3＋x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围.6.已知函数f （x ）=+x 在x=1处的切线方程为2x ﹣y+b=0．（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）设函数g （x ）=f （x ）+x 2﹣kx ，且g （x ）在其定义域上存在单调递减区间（即g /（x ）＜0在其定义域上有解），求实数k 的取值范围．7.已知f(x)=x 2-a 2ln x ，a>0.12(1)若f(x)≥0，求a 的取值范围；(2)若f(x 1)=f(x 2)，且x 1≠x 2，证明：x 1＋x 2>2a.8.若函数f(x)+g(x)和f(x)·g(x)同时在x=t 处取得极小值，则称f(x)和g(x)为一对“P(t)函数”．（1）试判断f(x)=x 与g(x)=x 2+ax+b 是否是一对“P(1)函数”；（2）若f(x)=e x 与g(x)=x 2+ax+1是一对“P(t)函数”．①求a 和t 的值；②若a ＜0，若对于任意x ∈ [1，+∞)，恒有f(x)+g(x)<m·f(x)g(x)，求实数m 的取值范围．9.已知函数f(x)=ae x －ln x －1.(1)设x=2是f(x)的极值点，求a ，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a≥时，f(x)≥0.1e10.已知函数f(x)=x-1-alnx(其中a 为参数)．(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若对任意x ∈(0，＋∞)都有f(x)≥0成立，求实数a 的取值集合；(3) 证明：n <e<n ＋1(其中n ∈N *，e 为自然对数的底数)．(1＋1n )(1＋1n )11.已知函数．(1)若a=e ，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a 的取值范围．12.设函数f(x)=e 2x －aln x.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a＋aln .2a 13.已知函数在处的切线与轴平行，（）（1）试讨论在上的单调性；（2）①设，求的最小值；②证明：.14.已知函数①若函数f(x)在定义域内单调递增，求的取值范围；②若且关于x的方程在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 取值范围；③设各项为正的数列满足:求证：.15.设函数f(x)=x2e x-1+ax3+bx2，已知x=-2和x=1为f(x)的极值点．(1)求a和b的值.(2)设试比较f(x)与g(x)的大小.答案解析1.解：(1)∵f(x)=e x －x 2－ax ，∴f′(x)=e x －x －a ．12设g(x)=e x －x －a ，则g′(x)=e x －1．令g′(x)=e x －1=0，解得x=0．∴当x ∈(－∞，0)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x ∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．∴g(x)min =g(0)=1－a ．当a≤1时，f′(x)=g(x)≥0，函数f(x)单调递增，无极值点；当a>1时，g(0)=1－a<0，且当x→＋∞时，g(x)→＋∞；当x→－∞时，g(x)→＋∞．∴当a>1时，f′(x)=g(x)=e x －x －a 有两个零点x 1，x 2．不妨设x 1<x 2，则x 1<0<x 2．∴函数f(x)有两个极值点时，实数a 的取值范围是(1，＋∞)．(2)证明：由(1)知，x 1，x 2为g(x)=0的两个实数根，x 1<0<x 2，且g(x)在(－∞，0)上单调递减．下面先证x 1<－x 2<0，只需证g(－x 2)<0．∵g(x 2)=ex2－x 2－a=0，得a=ex2－x 2，∴g(－x 2)=e －x2＋x 2－a=e －x2－ex2＋2x 2．设h(x)=e －x －e x ＋2x(x>0)，则h′(x)=－－e x ＋2<0，1ex∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴h(x)<h(0)=0，∴g(－x 2)<0，即x 1<－x 2<0．∵函数f(x)在(x 1，0)上单调递减，∴f(x 1)>f(－x 2)，∴要证f(x 1)＋f(x 2)>2，只需证f(－x 2)＋f(x 2)>2，即证ex2＋e －x2－x －2>0．2设函数k(x)=e x ＋e －x －x 2－2(x>0)，则k′(x)=e x －e －x －2x ．设φ(x)=k′(x)=e x －e －x －2x ，φ′(x)=e x ＋e －x －2>0，∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴φ(x)>φ(0)=0，即k′(x)>0，∴k(x)在(0，＋∞)上单调递增，k(x)>k(0)=0，∴当x ∈(0，＋∞)时，e x ＋e －x －x 2－2>0，则ex2＋e －x 2－x －2>0，2∴f(－x 2)＋f(x 2)>2，∴f(x 1)＋f(x 2)>2．2.解：3.解：4.解：5.解:(1)∵函数f(x)的导函数f ′(x)=3x 2＋2bx ＋c ，由题设知-1<x<2是不等式3x 2＋2bx ＋c<0的解集.∴-1,2是方程3x 2＋2bx ＋c=0的两个实根，∴-1＋2=-b ，(-1)×2=，即b=-1.5，c=-6.23c 3(2)∵f ′(x)=3ax 2＋1，且f(x)有三个单调区间，∴方程f ′(x)=3ax 2＋1=0有两个不等的实根，∴Δ=02-4×1×3a>0，∴a<0.∴a 的取值范围为(-∞，0).6.7.解：(1)f′(x)=x-=(x>0)．a2x x ＋a x －a x当x ∈(0，a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．当x=a 时，f(x)取最小值f(a)=a 2-a 2ln a.12令a 2-a 2ln a≥0，解得0<a<.12e 故a 的取值范围是(0，]．e (2)证明：由(1)知，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，不失一般性，设0<x 1<a<x 2<2a ，则2a-x 2<a.要证x 1＋x 2>2a ，即x 1>2a-x 2，则只需证f(x 1)<f(2a-x 2)．因为f(x 1)=f(x 2)，则只需证f(x 2)<f(2a-x 2)．设g(x)=f(x)-f(2a-x)，a≤x≤2a.则g′(x)=x-＋2a-x-=-≤0，a2x a22a －x 2a a －x 2x 2a －x所以g(x)在[a,2a)上单调递减，从而g(x)≤g(a)=0.又a<x 2<2a ，于是g(x 2)=f(x 2)-f(2a-x 2)<0，即f(x 2)<f(2a-x 2)．因此x 1＋x 2>2a.8.解：9.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)=ae x －.1x由题设知，f ′(2)=0，所以a=.12e2从而f(x)=e x －ln x －1，f ′(x)=e x －.12e212e21x当0＜x ＜2时，f ′(x)＜0；当x ＞2时，f ′(x)＞0.所以f(x)在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．(2)证明：当a≥时，f(x)≥－ln x －1.1e ex e设g(x)=－ln x －1，则g′(x)=－.ex e ex e 1x当0＜x ＜1时，g ′(x)＜0；当x ＞1时，g ′(x)＞0.所以x=1是g(x)的最小值点．故当x ＞0时，g(x)≥g(1)=0.因此，当a≥时，f(x)≥0.1e10.解：(1) f ′(x)=1-=(x>0)，a x x －a x当a ≤0时，f ′(x)=1-=>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数；a x x －a x当a>0时，所以f(x)的增区间是(a ，＋∞)，减区间是(0，a)．综上所述，当a ≤0时，f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调递增区间是(a ，＋∞)，单调递减区间是(0，a)．(2) 由题意得f(x)min ≥0.当a ≤0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，当x →0时，f(x)→-∞，故不合题意；(6分)当a>0时，由(1)知f(x)min =f(a)=a-1-alna ≥0.令g(a)=a-1-alna ，则由g ′(a)=-lna=0，得a=1，所以g(a)=a-1-alna ≤0，又f(x)min =f(a)=a-1-alna ≥0，所以a-1-alna=0，所以a=1，即实数a 的取值集合是{1}．(10分)(3) 要证不等式1＋n <e<1＋n ＋1，1n 1n两边取对数后，只要证nln1＋<1<(n ＋1)ln1＋，即只要证<ln1＋<，1n 1n 1n ＋11n 1n令x=1＋，则只要证1-<lnx<x-1(1<x ≤2)．1n 1x由(1)知当a=1时，f(x)=x-1-lnx 在(1,2]上递增，因此f(x)>f(1)，即x-1-lnx>0，所以lnx<x-1(1<x ≤2)令φ(x)=lnx ＋-1(1<x ≤2)，则φ′(x)=>0，1x x －1x2所以φ(x)在(1,2]上递增，故φ(x)>φ(1)，即lnx ＋-1>0，所以1-<lnx(1<x ≤2)．1x 1x综上，原命题得证．11.解：12.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)=2e 2x －(x ＞0)．a x当a≤0时，f ′(x)＞0，f ′(x)没有零点；当a ＞0时，设u(x)=e 2x ，v(x)=－，a x因为u(x)=e 2x 在(0，＋∞)上单调递增，v(x)=－在(0，＋∞)上单调递增，a x所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(a)＞0，当b 满足0＜b ＜且b ＜时，f ′(b)＜0，a 414故当a ＞0时，f ′(x)存在唯一零点．(2)证明：由(1)可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x∈(0，x 0)时，f ′(x)＜0；当x∈(x 0，＋∞)时，f ′(x)＞0.故f(x)在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x=x 0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x 0)．由于2e2x 0－=0，所以f(x 0)=＋2ax 0＋aln ≥2a ＋aln .a x0a 2x02a 2a故当a ＞0时，f(x)≥2a＋aln .2a 13.14.解：15.解：。

2020年高考数学大题专项练习导数与函数五(15题含答案解析)

2020年高考数学大题专项练习导数与函数五1.已知函数f(x)=lnx －x ，g(x)=ax 2＋2x(a<0)．(1)求函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最值； (2)求函数h(x)=f(x)＋g(x)的极值点． 2.已知函数f(x)=x 3-3x 2+2x ，g(x)=tx ，．（1）求函数的单调增区间；（2）令h(x)=f(x)-g(x)，且函数h(x)有三个彼此不相等的零点0,m,n ，其中m<n ． ①若n=2m ，求函数h(x)在x=m 处的切线方程； ②若对，恒成立，求实数t 的取值范围．3.已知函数f(x)=xlnx.（1）若函数，求g(x)的极值；（2）证明：f(x)+1<e x-x 2. （参考数据：,,,）4.已知函数f(x)=(x －1)e x＋1，x ∈[0,1]．(1)证明：f(x)≥0；(2)若a<e x－1x<b 对任意的x ∈(0,1)恒成立，求b －a 的最小值．5.已知函数f(x)=e x (x －ae x)．(1)当a=0时，求f(x)的极值；(2)若f(x)有两个不同的极值点，求a 的取值范围． 6.已知函数，．(1)当m<1时，讨论函数f(x)的单调性； (2)若函数f(x)有两个极值点x 1,x 2，且x 1<x 2.求证．7.已知（1）求函数的单调区间; （2）求函数在上的最小值;（3）对一切的,恒成立,求实数的取值范围.8.已知函数f(x)=ln x,g(x)=21ax+b. (1)若曲线f(x)与g(x)在x=1处相切,求g(x)的表达式; (2)若φ(x)=1)1(+-x x m -f(x)在[1,+∞)上是减函数,求实数m 的取值范围.9.设函数f(x)=(1-x 2)e x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求实数a 的取值范围．10.已知函数，（为自然对数的底数）．（1）求函数的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数的值；（3）在（2）的条件下，证明：．11.已知函数f(x)=xlnx+ax+1-a.(1)求证：对任意实数a，都有[f(x)]min≤1；(2)若a=2，是否存在整数k，使得在x∈(2,+∞)上，恒有f(x)>(k+1)x-2k-1成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由.（e=2.71828）12.已知函数f(x)=ax2+1(a＞0)，g(x)=x3+bx．(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1，c)处有公共切线，求a，b的值；(2)当a=3，b=﹣9时，函数f(x)+g(x)在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．13.已知函数f(x)=x ＋ax＋b(x≠0)，其中a ，b ∈R.(1)若曲线y=f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y=3x ＋1，求函数f(x)的解析式； (2)讨论函数f(x)的单调性；(3)若对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，不等式f(x)≤10在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恒成立，求b 的取值范围． 14.已知函数(1)求函数的极值；(2)设函数，其中k ∈R ，求函数在区间[1，e]上的最大值．15.已知函数f （x ）=a x +x 2﹣xlna （a ＞0，a ≠1）．（Ⅰ）当a ＞1时，求证：函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f （x ）﹣t|﹣1有三个零点，求t 的值．答案解析1.解：(1)依题意，f′(x)=1x －1，令1x－1=0，解得x=1.因为f(1)=－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e =－1－1e ，f(e)=1－e ，且1－e<－1－1e <－1，故函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为－1，最小值为1－e. (2)依题意，h(x)=f(x)＋g(x)=lnx ＋ax 2＋x(x>0)，h′(x)=1x ＋2ax ＋1=2ax 2＋x ＋1x，当a<0时，令h′(x)=0，则2ax 2＋x ＋1=0. 因为Δ=1－8a>0，所以h′(x)=2ax 2＋x ＋1x =2a (x －x 1)(x －x 2)x ，其中x 1=－1－1－8a 4a ，x 2=－1＋1－8a4a.因为a<0，所以x 1<0，x 2>0，所以当0<x<x 2时，h′(x)>0；当x>x 2时，h′(x)<0，所以函数h(x)在区间(0，x 2)内是增函数，在区间(x 2，＋∞)内是减函数，故x 2=－1＋1－8a4a为函数h(x)的极大值点，无极小值点．2.解：（1），所以，令得到，所以的单调增区间是．（2）由方程得是方程的两实根，故，且由判别式得， ①若，得，故，得，因此，故函数在处的切线方程为． ②若对任意的，都有成立，所以，因为，所以，当时，对有，所以，解得，又因为，得，则有；当时，，则存在的极大值点，且，由题意得，将代入得，进而得到，得，又因为，得，综上可知t的取值范围是或．3.解:（1），，当，，当，，在上递增，在上递减，在取得极大值，极大值为，无极大值.（2）要证f（x）+1＜e x﹣x2．即证e x﹣x2﹣xlnx﹣1＞0，先证明lnx≤x﹣1，取h（x）=lnx﹣x+1，则h′（x）=，易知h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故h（x）≤h（1）=0，即lnx≤x﹣1，当且仅当x=1时取“=”，故xlnx≤x（x﹣1），e x﹣x2﹣xlnx≥e x﹣2x2+x﹣1，故只需证明当x＞0时，e x﹣2x2+x﹣1＞0恒成立，令k（x）=e x﹣2x2+x﹣1，（x≥0），则k′（x）=e x﹣4x+1，令F（x）=k′（x），则F′（x）=e x﹣4，令F′（x）=0，解得：x=2ln2，∵F′（x）递增，故x∈（0，2ln2]时，F′（x）≤0，F（x）递减，即k′（x）递减，x∈（2ln2，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，即k′（x）递增，且k′（2ln2）=5﹣8ln2＜0，k′（0）=2＞0，k′（2）=e2﹣8+1＞0，由零点存在定理，可知∃x1∈（0，2ln2），∃x2∈（2ln2，2），使得k′（x1）=k′（x2）=0，故0＜x ＜x 1或x ＞x 2时，k ′（x ）＞0，k （x ）递增，当x 1＜x ＜x 2时，k ′（x ）＜0，k （x ）递减，故k （x ）的最小值是k （0）=0或k （x 2），由k ′（x 2）=0，得=4x 2﹣1， k （x 2）=﹣2+x 2﹣1=﹣（x 2﹣2）（2x 2﹣1），∵x 2∈（2ln2，2），∴k （x 2）＞0，故x ＞0时，k （x ）＞0，原不等式成立． 4.解：(1)证明：因为f ′(x)=xe x≥0，即f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)≥f(0)=0，即结论成立．(2)令g(x)=e x －1x ，则g ′(x)=x －1e x ＋1x2>0，x ∈(0,1)，所以当x ∈(0,1)时，g(x)<g(1)=e －1，要使e x－1x a 成立，只需e x－ax －1>0在x ∈(0,1)恒成立，令h(x)=e x －ax －1，x ∈(0,1)，则h ′(x)=e x－a.由x ∈(0,1)，得e x∈(1，e)． ①当a≤1时，h ′(x)>0，此时x ∈(0,1)，有h(x)>h(0)=0成立，所以a≤1满足条件； ②当a≥e 时，h′(x)<0，此时x ∈(0,1)，有h(x)<h(0)=0，不符合题意，舍去； ③当1<a<e 时，令h′(x)=0，得x=ln a ．当x ∈(0，ln a)时，h′(x)<0，即x ∈(0，ln a)时，h(x)<h(0)=0，不符合题意，舍去．综上，a≤1.又b≥e－1，所以b －a 的最小值为e －2. 5.解：(1)当a=0时，f(x)=xe x ，f′(x)=(x ＋1)e x，令f′(x)>0，可得x>－1，故f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，同理可得f(x)在(－∞，－1)上单调递减，故f(x)在x=－1处有极小值f(－1)=－1e .(2)依题意，可得f′(x)=(x ＋1－2ae x )e x=0有两个不同的实根．设g(x)=x ＋1－2ae x ，则g(x)=0有两个不同的实根x 1，x 2，g′(x)=1－2ae x，若a≤0，则g′(x)≥1，此时g(x)为增函数，故g(x)=0至多有1个实根，不符合要求；若a>0，则当x<ln 12a 时，g′(x)>0，当x>ln 12a时，g′(x)<0，故此时g(x)在－∞，ln 12a 上单调递增，在ln 12a ，＋∞上单调递减，g(x)的最大值为gln 12a =ln 12a －1＋1=ln 12a，又当x→－∞时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→－∞，故要使g(x)=0有两个不同实根，则gln 12a =ln 12a>0，得0<a<12或作图象知要使g(x)=0有两个不同实根，则gln 12a =ln 12a>0.设g(x)=0的两个不同实根为x 1，x 2(x 1<x 2)，当x<x 1时，g(x)<0，此时f′(x)<0；当x 1<x<x 2时，g(x)>0，此时f′(x)>0；当x>x 2时，g(x)<0，此时f′(x)<0.故x 1为f(x)的极小值点，x 2为f(x)的极大值点，0<a<12符合要求．综上所述，a 的取值范围为(0，0.5). 6.解：，，令，，，令则，当，即时，令则；令则．此时函数在上单调递减；在上单调递增．当，即时，令，则；令则，此时函数在上单调递减；在和上单调递增．由知，若有两个极值点，则且，又，是的两个根，则，，令，则，令，则，令，则，所以在上单调递减；在上单调递增．，，，得证．7.8.解析：9.解：(1)f′(x)=(1-2x-x2)e x，令f′(x)=0，得x=-1±2，当x∈(-∞，-1-2)时，f′(x)<0；当x∈(-1-2，-1＋2)时，f′(x)>0；当x∈(-1＋2，＋∞)时，f′(x)<0.所以f(x)在(-∞，-1-2)，(-1＋2，＋∞)上单调递减，在(-1-2，-1＋2)上单调递增．(2)令g(x)=f(x)-ax-1=(1-x2)e x-(ax＋1)，令x=0，可得g(0)=0.g′(x)=(1-x2-2x)e x-a，令h(x)=(1-x2-2x)e x-a，则h′(x)=-(x2＋4x＋1)e x，当x≥0时，h′(x)<0，h(x)在[0，＋∞)上单调递减，故h(x)≤h(0)=1-a，即g′(x)≤1-a，要使f(x)-ax-1≤0在x≥0时恒成立，需要1-a≤0，即a≥1，此时g(x)≤g(0)=0，故a≥1.综上所述，实数a的取值范围是[1，＋∞)．10.（1）；（2）；（3）证明见解析.11.解：（1）证明：由已知易得，所以令得：显然，时，<0，函数f（x）单调递减；时，>0，函数f（x）单调递增，所以，令，则由得，时，>0，函数t（）单调递增；时，<0，函数t（）单调递减，所以，即结论成立.（2）由题设化简可得，令，所以由=0得①若，即时，在上，有，故函数单调递增所以 ②若，即时，在上，有，故函数在上单调递减，在上，有.故函数在上单调递增，所以，在上，故欲使，只需即可令, 由得所以，时，，即单调递减又，故12.解：(1)f(x)=ax 2+1(a ＞0)，则f ′(x)=2ax ，k 1=2a ，g(x)=x 3+bx ，则g ′(x)=3x 2+b ，k 2=3+b ，由(1，c)为公共切点，可得：2a=3+b ①又f(1)=a+1，g(1)=1+b ，∴a+1=1+b ，即a=b ，代入①式，可得：a=3，b=3． (2)当a=3，b=﹣9时，设h(x)=f(x)+g(x)=x 3+3x 2﹣9x+1则h ′(x)=3x 2+6x ﹣9，令h'(x)=0，解得：x 1=﹣3，x 2=1；∴k ≤﹣3时，函数h(x)在(﹣∞，﹣3)上单调增，在(﹣3，1]上单调减，(1，2)上单调增，所以在区间[k ，2]上的最大值为h(﹣3)=28﹣3＜k ＜2时，函数h(x)在区间[k ，2]上的最大值小于28 所以k 的取值范围是(﹣∞，﹣3] 13.解：(1)f′(x)=1－ax2(x≠0)，由已知及导数的几何意义得f′(2)=3，则a=－8.由切点P(2，f(2))在直线y=3x ＋1上可得－2＋b=7，解得b=9，所以函数f(x)的解析式为f(x)=x －8x＋9.(2)由(1)知f′(x)=1－ax2(x≠0)．当a≤0时，显然f′(x)>0，这时f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数．当a>0时，令f′(x)=0，解得x=±a ，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以当a>0时，f(x)在(－∞，－a)，(a ，＋∞)上是增函数，在(－a ，0)，(0，a)上是减函数．(3)由(2)知，对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，不等式f(x)≤10在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恒成立等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤10，f 1≤10，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤394－4a ，b≤9－a对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2成立，从而得b≤74，所以满足条件的b 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，74.14.15.。

高考数学试题158道及答案

高考数学试题158道及答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(1)的值为：A. -2B. 0C. 2D. 4答案：B2. 已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，集合B={x|x^2-5x+6=0}，则A∩B为：A. {1, 2}B. {2, 3}C. {1, 3}D. {2}答案：D3. 若直线l：y=2x+3与直线m：y=-x+1平行，则它们的斜率关系为：A. 相等B. 互为相反数C. 垂直D. 无法确定答案：A4. 已知等比数列{an}中，a1=2，公比q=3，则a5的值为：A. 486B. 162C. 243D. 81答案：C5. 函数y=x^3-3x^2+2在区间(0, 2)上是：A. 增函数B. 减函数C. 先增后减D. 先减后增答案：D6. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=c^2，三角形ABC的形状为：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定答案：B7. 若复数z=1+i，则|z|的值为：A. √2B. 2C. 1D. 0答案：A8. 已知向量a=(2, -1)，b=(1, 3)，则a·b的值为：A. 3B. 1C. -1D. -3答案：B二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）9. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求f(0)的值。

答案：810. 已知等差数列{an}中，a1=1，d=2，则a10的值为。

答案：1911. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a=2，b=1，则双曲线的渐近线方程为。

答案：y=±x/212. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9，求圆心坐标。

答案：(2, -1)13. 已知直线l：y=x-1与圆x^2+y^2=4相交于点A和点B，求弦AB的长度。

答案：2√214. 已知向量a=(1, 2)，b=(-3, 4)，则|a+b|的值为。

高三数学复习专题参考答案

高三数学复习专题参考答案专题一、数列与不等式（1）一、选择题1. C2. A3. D4.A5.B6.D7.B8.C 二、填空题9.36 10. 5 11. 4 12. (1,)-+∞ 13. 36；3987 三、解答题14.解：（1）方程2560x x -+=的两个根为2，3，由题意得因为242,3a a ==设数列{}n a 的公差为d ，则422a a d-=，故12d =，从而132a =所以{}n a 的通项公式为112n a n =+（2）设{}2n n a 的前n 项和为n S ，由（1）知1222n n n a n ++=，则 2313412...2222n n n n n S +++=++++ ①341213412...22222n n n n n S ++++=++++ ②①-②得3412131112...242222n n n n n S ++++=++++- 123112(1)4422n n n -++=+--所以，1422n n n S ++=-. 15.解：设生产A 、B 两种产品各为x 、y 吨，利润为z 万元，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,02005436049300103y x y x y x y x z ＝7x ＋12y作出可行域，如图阴影所示．当直线7x ＋12y ＝0向右上方平行移动时，经过M （20，24）时z 取最大值.∴该企业生产A 、B 两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润. 16. 解：（1）由题意得燃料费21W kv =，把v =10，196W =代入得0.96k =. （2）21001001500.96W v v v ⨯=⋅+，=150********v v+≥=，其中等号当且仅当1500096v v=时成立，解得12.515v ==<，所以，该轮船航行100海里的总费用W 的最小值为2400（元）. 17. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1235,7.a a a +=⎧⎨=⎩即1125,27.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,3.a d =⎧⎨=⎩所以()()1113132n a a n d n n =+-=+-=-．所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-*()n ∈N ．（2）因为()()111111323133231n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1223341111111n n nn n S a a a a a a a a a a -+=+++++1111111111111113434737103353233231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11133131nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭．假设存在正整数m 、n ，且1m n <<，使得1S 、m S 、n S 成等比数列，则21m n S S S =．即2131431m n m n ⎛⎫=⨯ ⎪++⎝⎭．所以224361m n m m =-++．因为0n >，所以23610m m -++>．即23610m m --<．因为1m >，所以113m <<+<．因为*m ∈N ，所以2m =．此时22416361m n m m ==-++．所以存在满足题意的正整数m 、n ，且只有一组解，即2m =，16n =．18.解：（1）由11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==故33a b +≥≥，且当a b == 所以33a b +的最小值为（2）由（1）知，23a b +≥由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=.（2）一、选择题1. A2. D3. A4. C5. C6. A7. C8.D 二、填空题9. 3x<2x >或 10. 0 11. 3_ 12. 121+⎪⎭⎫⎝⎛-=n n a 13. [2,0]-三、解答题 14.解:(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,因为⎪⎩⎪⎨⎧==+,,122222b S q S b ，所以⎪⎩⎪⎨⎧+==++．，q d q d q 6126解得 3=q 或4-=q (舍),3=d 故33(1)3n a n n=+-= ,13-=n n b(2)略15解：（1）证明：1,n n a a +是方程220()nn x x b n N *-+=∈两根，112nn n n n n a a b a a +-⎧+=∴⎨=⎩111111222(2)3331111222333n n n n n n n n n nn n n a a a a a a +++-⨯--⨯--⨯===--⨯-⨯-⨯ 故数列123n n a ⎧⎫-⨯⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项121,33a -=公比为-1的等比数列（2）由（1）得1112(1)33n n n a --⨯=⨯-，即12(1)3n nn a ⎡⎤=--⎣⎦ 123n nS a a a a =++++{}1231231(2222)(1)(1)(1)(1)3n n ⎡⎤=+++--+-+-++-⎣⎦…14分=12(12)1[1(1)]3121(1)n n ⎡⎤-----⎢⎥---⎣⎦ =11(1)12232n n +⎡⎤----⎢⎥⎣⎦16. 解:(1)在221n n a S -=中,令1=n ,2=n , 得⎪⎩⎪⎨⎧==,,322121S a S a 即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,33)(,121121d a d a a a解得11=a ,2=d ,21n a n ∴=-又21n a n =-时,2n S n =满足221n n a S -=,21n a n ∴=- 111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+,111111(1)2335212121n nT n n n ∴=-+-++-=-++(2)①当n 为偶数时,要使不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立,即需不等式(8)(21)8217n n n n n λ++<=++恒成立828n n +≥,等号在2n =时取得.∴此时λ 需满足25λ<②当n 为奇数时,要使不等式8(1)nn T n λ<+⋅-恒成立,即需不等式(8)(21)8215n n n n n λ-+<=--恒成立82n n -是随n 的增大而增大, 1n ∴=时82n n -取得最小值6-.∴此时λ 需满足21λ<-.综合①、②可得λ的取值范围是21λ<-17解：设楼房每平方米的平均综合费为()f x 元,则()()2160100001080056048560482000f x x x x x⨯=++=++()10,x x N +≥∈ 方法一: ()21080048f x x '=-, 令 ()0f x '= 得 15x =当 15x > 时,()0f x '> ;当 015x <<时,()0f x '<, 因此当15x =时,()f x 取最小值 .答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层方法二:()1080056048f x x x=++560248108002000≥+⨯=, 当且仅当1080048x x=时成立,即15x =时, ()152000f =. 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层18解：（Ⅰ）当1a =时，()1f x >化为|1|2|1|10x x +--->; 当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<；当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<所以()1f x >的解集为2{|2}3x x <<;（Ⅱ）由题设可得，12,1,()312,1,12,.x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,1)C a a +，ABC 的面积为22(1)3a +,由题设得22(1)63a +>，故2a >，所以a 的取值范围为(2,)+∞.专题二、三角函数（1）一、选择题1． A ；2． B ；3. C ；4．A ；5．C ；6. D ；7. D ；8. C 二、 9. π ； 10．510 ；11．⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0π；12．3 ；13．8 三、解答题14．(Ⅰ) 由41)6sin()6cos()3cos()6cos(-=++=-•+απαπαπαπ，有21)32sin(-=+πα，又∵)2,3(ππα∈，∴)34,(32πππα∈+，23)32cos(-=+πα， ∴21]3)32sin[(2sin =-+=ππαα.(Ⅱ) 322sin 2cos tan 1tan =-=-αααα. 15．当223x πππ≤-≤时,即52123x ππ≤≤时，()f x 单调递减，综上可知，()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减.16．(Ⅰ) ∵1cos 2cos sin 321)6sin(cos 4)(2+-=+-•=x x x x x x f ωωωπωω)62sin(2πω-=x ，∴1=ω，所以增区间为)](3,6[Z k k k ∈++-ππππ.(Ⅱ) 最大值和最小值分别为226,2-. 17．（Ⅰ）∵2()cos )(2cos 1)2cos 22sin(2)6f x x x x x x x π=+-=+=+；又∵∈x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴]67,6[62πππ∈+x ，又(0)1,2,162f f f ππ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为-1．（Ⅱ）∵06()5f x =，∴03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而04cos 265x π⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，∴0000cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 18．（Ⅰ）2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222A AA A A A A A-===. （Ⅱ）由180A C +=，得180,180C A D B =-=-. 由（Ⅰ），有tantan tan tan 2222A B C D +++ 1cos 1cos 1cos(180)1cos(180)sin sin sin(180)sin(180)A B A B A B A B ------=+++--22sin sin A B=+ 连结BD ，在ABD ∆中，有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅，在BCD ∆中，有2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅，所以 222cos AB AD AB AD A +-⋅222cos BC CD BC CD A =++⋅，则2222222265343cos 2()2(6534)7AB AD BC CD A AB AD BC CD +--+--===⋅+⋅⨯+⨯，于是223210sin 1cos 1()77A A =-=-=. 连结AC ，同理可得2222222263541cos 2()2(6354)19AB BC AD CD B AB BC AD CD +--+--===⋅+⋅⨯+⨯，于是221610sin 1cos 1()1919B B =-=-=. 所以tantan tan tan 2222A B C D +++22sin sin A B =+14219210210⨯=+ 4103=. （2）一、选择题1．C ；2．C ；3. C ；4．A ；5．C ；6. D ；7. A ；8. B提示：二、填空题9. 8 ；10．3 ；11．32π；12．2；13．1516- 三、解答题14．(I) 1)62sin(2cos sin 32cos 2)(2++=+=πx x x x x f ，所以函数)(x f 单调递增区间为]6,0[π.(II)由21)62sin(2)(=++=πC C f ,有3π=C ;因为向量m )sin ,1(A =与向量n )sin ,2(B =共线，所以21sin sin ==b a B A ，由余弦定理有922=-+ab b a ，故3=a ，32=b .15．如图, 设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，由余弦定理得90cos 2222=-+=A bc c b a , 310a =.又由正弦定理得sin sinb BAC B a ∠===.由题设知04B π<<，所以cos B ===在ABD ∆中，由正弦定理得sin 6sin 3sin(2)2sin cos cos AB B B AD B B B Bπ⋅====-.16．（Ⅰ）21)62sin(cos 2sin 23)(2--=-=πωωωx x x x f ，所以2=ω. (II)2122cos 22222≥-+=-+=ac ac c a ac b c a x ，所以30π≤<x ；所以]67,6(64πππ-∈-x ，k x f =)(21)64sin(+=-⇔k x π，由图象可得，要有两个不同的实数解，需12121<+<-k ，即211<<-k . 因为6532ππαπ≤+≤，所以)(αf 的最小值为1，最大值为2．17．(Ⅰ)1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠，因为2ABD ADC S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以BD =在ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．18．(Ⅰ)∵x x x f sin 2)2cos(2)(=-=π，∴x x f sin 2)(=图像的对称轴方程为)(2Z k k x ∈+=ππ；(Ⅱ)（ⅰ） f()g()2sin cos 5(sin cos )55x x x x x x 5sin()x （其中sin,cos 55）依题意，sin()=5x 在区间)2,0[π内有两个不同的解,，当且仅当|1，故m 的取值范围是(5,5).（ⅱ）∵,)=m x在区间)2,0[π内的两个不同解，∴sin()=5，sin()=5。

高三数学高考大题专项训练全套 (15个专项)(典型例题)(含答案)

1、函数与导数（1）2、三角函数与解三角形3、函数与导数（2）4、立体几何5、数列（1）6、应用题7、解析几何8、数列（2）9、矩阵与变换10、坐标系与参数方程11、空间向量与立体几何12、曲线与方程、抛物线13、计数原理与二项式分布14、随机变量及其概率分布15、数学归纳法高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1)1．已知函数f (x )＝a e xx＋x .(1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值；(2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2，∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1.∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －(a e ＋1)＝x －1，又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1，解得a ＝－1e.(2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值．方法一当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0，则0000200201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ⎛> +> -+ = ⎝①②③由③得0e x a ＝－x 20x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0>0，结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0e x a x ＋x 0>0，得a >－020e x x ，设h (x )＝－x 2e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ，当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数， ∴a >h (x 0)>h (2)＝－4e2.又a <0，故当极大值为正数时，a ∈⎝⎛⎭⎫－4e 2，0，从而不存在负整数a 满足条件．方法二当x ∈(1，＋∞)时，令H (x )＝a e x (x －1)＋x 2，则H ′(x )＝(a e x ＋2)x ，∵x ∈(1，＋∞)，∴e x ∈(e ，＋∞)， ∵a 为负整数，∴a ≤－1，∴a e x ≤a e ≤－e ， ∴a e x ＋2<0，∴H ′(x )<0， ∴H (x )在(1，＋∞)上单调递减．又H (1)＝1>0，H (2)＝a e 2＋4≤－e 2＋4<0， ∴∃x 0∈(1,2)，使得H (x 0)＝0，且当1<x <x 0时，H (x )>0，即f ′(x )>0；当x >x 0时，H (x )<0，即f ′(x )<0.∴f (x )在x 0处取得极大值f (x 0)＝0e x a x ＋x 0.(*)又H (x 0)＝0e x a (x 0－1)＋x 20＝0， ∴00e x a x ＝－x 0x 0－1，代入(*)得f (x 0)＝－x 0x 0－1＋x 0＝x 0(x 0－2)x 0－1<0， ∴不存在负整数a 满足条件．2．已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a >0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )<g (x ).(1)求函数f (x )的极值；(2)若g (x )＝xf ′(x )，且∃x ∈[1,2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围．解 (1)∵函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1， ∴f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0或x 2＝2a ，∵a >0，∴x 1<x 2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (0)＝1，极小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝8a 2－12a 2＋1＝1－4a 2. (2)g (x )＝xf ′(x )＝3ax 3－6x 2， ∵∃x ∈[1,2]，使h (x )＝f (x )，∴f (x )≥g (x )在[1,2]上有解，即ax 3－3x 2＋1≥3ax 3－6x 2在[1,2]上有解，即不等式2a ≤1x 3＋3x在[1,2]上有解，设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1x3(x ∈[1,2])，∵y ′＝－3x 2－3x 4<0对x ∈[1,2]恒成立，∴y ＝1x 3＋3x 在[1,2]上单调递减，∴当x ＝1时，y ＝1x 3＋3x 的最大值为4，∴2a ≤4，即a ≤2.高考中档大题规范练 (一)三角函数与解三角形1．(2017·江苏宿迁中学质检)已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和值域；(2)若x ＝x 0⎝⎛⎭⎫0≤x 0≤π2为f (x )的一个零点，求sin 2x 0的值．解 (1)易得f (x )＝sin 2x ＋3sin 2x ＋12(sin 2x －cos 2x )＝1－cos 2x 2＋3sin 2x －12cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x ＋12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12，所以f (x )的最小正周期为π，值域为⎣⎡⎦⎤－32，52. (2)由f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＋12＝0，得 sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＝－14<0，又由0≤x 0≤π2，得－π6≤2x 0－π6≤5π6，所以－π6≤2x 0－π6<0，故cos ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＝154，此时sin 2x 0＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＋π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6sin π6 ＝－14×32＋154×12＝15－38.2．(2017·江苏南通四模)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2，1，n ＝⎝⎛⎭⎫1，3cos x2，函数f (x )＝m ·n . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝23，求f ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值．解 (1)f (x )＝m ·n ＝sin x 2＋3cos x2＝2⎝⎛⎭⎫12sin x 2＋32cos x 2＝2⎝⎛⎭⎫sin x 2cos π3＋cos x 2sin π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π12＝4π.(2)由f ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝23，得2sin α2＝23，即sin α2＝13. 所以f ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝2cos α ＝2⎝⎛⎭⎫1－2sin 2α2＝149. 3．(2017·江苏南师大考前模拟)已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，n ＝(cos B ，sin B )，并且m ⊥n . (1)求A －B ；(2)若cos B ＝35，AC ＝8，求BC 的长．解 (1)因为m ⊥n ，所以m ·n ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3cos B ＋sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3－B ＝0. 因为0<A ，B <π2，所以－π6<A ＋π3－B <5π6，所以A ＋π3－B ＝π2，即A －B ＝π6.(2)因为cos B ＝35，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin B ＝45，所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝sin B cos π6＋cos B sin π6 ＝45×32＋35×12＝43＋310，由正弦定理可得BC ＝sin A sin B×AC ＝43＋3.4．(2017·江苏镇江三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )(sin A ＋sin C )＝(b －3c )sin B . (1)求角A ；(2)若f (x )＝cos 2(x ＋A )－sin 2(x －A )，求f (x )的单调递增区间．解 (1)由(a －c )(sin A ＋sin C )＝(b －3c )sin B 及正弦定理，得(a －c )(a ＋c )＝(b －3c )b ，即a 2＝b 2＋c 2－3bc . 由余弦定理，得cos A ＝32，因为0<A <π，所以A ＝π6.(2)f (x )＝cos 2(x ＋A )－sin 2(x －A ) ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π32－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12cos 2x ，令π＋2k π≤2x ≤2π＋2k π，k ∈Z ，得π2＋k π≤x ≤π＋k π，k ∈Z . 则f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π2＋k π，π＋k π，k ∈Z .(二)函数与导数(2)1．设函数f (x )＝2(a ＋1)x (a ∈R )，g (x )＝ln x ＋bx (b ∈R )，直线y ＝x ＋1是曲线y ＝f (x )的一条切线． (1)求a 的值；(2)若函数y ＝f (x )－g (x )有两个极值点x 1，x 2. ①试求b 的取值范围； ②证明：g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤1e 2＋12.解 (1)设直线y ＝x ＋1与函数y ＝f (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，y 0＝2(a ＋1)x 0，a ＋1x 0＝1，解得a ＝0.(2)记h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )＝2x －ln x －bx .①函数y ＝f (x )－g (x )有两个极值点的必要条件是h ′(x )有两个正零点． h ′(x )＝1x －1x－b ＝－bx ＋x －1x ，令h ′(x )＝0，得bx －x ＋1＝0(x >0)．令x ＝t ，则t >0.问题转化为bt 2－t ＋1＝0有两个不等的正实根t 1，t 2，等价于⎩⎨⎧Δ＝1－4b >0，t 1t 2＝1b >0，t 1＋t 2＝1b >0，解得00；当x ∈(x 2，＋∞)时，h ′(x )<0.所以x 1，x 2是h (x )＝f (x )－g (x )的极值点， ∴b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，14. ②由①知x 1x 2＝x 1＋x 2＝1b.可得g (x 1)＋g (x 2)＝－2ln b ＋1b －2，f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，所以g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)＝12－b ln b －b .记k (b )＝12－b ln b －b ⎝⎛⎭⎫00，k (b )单调递增；当b ∈⎝⎛⎭⎫1e 2，14时，k ′(b )<0，k (b )单调递减，且当b ＝1e 2时，k (b )取最大值1e 2＋12，所以g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤1e 2＋12.2．设函数f (x )＝2ax ＋bx＋c ln x .(1)当b ＝0，c ＝1时，讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝3x ＋3a －6且函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2. ①求a 的取值范围； ②求f (x 2)的取值范围．解 (1)f (x )＝2ax ＋bx＋c ln x ，x >0，f ′(x )＝2a －b x 2＋c x ＝2ax 2＋cx －bx 2.当b ＝0，c ＝1时，f ′(x )＝2ax ＋1x. 当a ≥0时，由x >0，得f ′(x )＝2ax ＋1x >0恒成立，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <0时，令f ′(x )＝2ax ＋1x >0，解得x <－12a ；令f ′(x )＝2ax ＋1x <0，解得x >－12a，所以，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减．综上所述，①当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a <0时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)①函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝3x ＋3a －6，所以f (1)＝2a ＋b ＝3a －3，f ′(1)＝2a ＋c －b ＝3，所以b ＝a －3，c ＝－a ，f ′(x )＝2a －b x 2＋c x ＝2ax 2－ax ＋3－ax 2，函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2，则方程2ax 2－ax ＋3－a ＝0有两个大于0的解，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－a )2－8a (3－a )>0，a 2a >0，3－a 2a >0，解得83<a <3.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫83，3. ②2ax 22－ax 2＋3－a ＝0， x 2＝a ＋9a 2－24a 4a ＝14⎝⎛⎭⎫1＋9－24a ，由83<a <3，得x 2∈⎝⎛⎭⎫14，12，由2ax 22－ax 2＋3－a ＝0，得a ＝－32x 22－x 2－1.f (x 2)＝2ax 2＋a －3x 2－a ln x 2＝a ⎝⎛⎭⎫2x 2＋1x 2－ln x 2－3x 2 ＝－32x 2＋1x 2－ln x 22x 22－x 2－1－3x 2. 设φ(t )＝－32t ＋1t －ln t2t 2－t －1－3t ，t ∈⎝⎛⎭⎫14，12， φ′(t )＝－3⎝⎛⎭⎫2－1t 2－1t (2t 2－t －1)－⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2＋3t2＝－31t 2(2t 2－t －1)2＋3⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2＋3t 2＝3⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2.当t ∈⎝⎛⎭⎫14，12时，2t ＋1t －ln t >0,4t －1>0，φ′(t )>0，所以φ(t )在⎝⎛⎭⎫14，12上单调递增， φ(t )∈⎝⎛⎭⎫163ln 2，3＋3ln 2，所以f (x 2)的取值范围是⎝⎛⎭⎫163ln 2，3＋3ln 2. (二)立体几何1．(2017·江苏扬州调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，CD ∥AB ，AB ＝2CD ，AC 交BD 于O ，锐角△P AD 所在平面⊥底面ABCD ，P A ⊥BD ，点Q 在侧棱PC 上，且PQ ＝2QC .求证：(1)P A ∥平面QBD ； (2)BD ⊥AD .证明 (1)如图，连结OQ ，因为AB ∥CD ，AB ＝2CD ，所以AO ＝2OC . 又PQ ＝2QC ，所以P A ∥OQ . 又OQ ⊂平面QBD ，P A ⊄平面QBD ，所以P A ∥平面QBD .(2)在平面P AD 内过P 作PH ⊥AD 于点H ，因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PH ⊂平面P AD ，所以PH ⊥平面ABCD .又BD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥BD .又P A⊥BD，P A∩PH＝P，所以BD⊥平面P AD.又AD⊂平面P AD，所以BD⊥AD.2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO的中点．(1)若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；(2)若AB＝2PC，求证：CG⊥平面PBD.证明(1)连结OE，由四边形ABCD是正方形知，O为BD的中点，因为PD∥平面ACE，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝OE，所以PD∥OE.因为O为BD的中点，所以E为PB的中点．(2)在四棱锥P－ABCD中，AB＝2PC，因为四边形ABCD是正方形，所以OC＝22AB，所以PC＝OC.因为G为PO的中点，所以CG⊥PO.又因为PC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PC⊥BD.而四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为AC，PC⊂平面P AC，AC∩PC＝C，所以BD⊥平面P AC，因为CG⊂平面P AC，所以BD⊥CG.因为PO，BD⊂平面PBD，PO∩BD＝O，所以CG⊥平面PBD.3．(2017·江苏怀仁中学模拟)如图，在四棱锥E－ABCD中，△ABD为正三角形，EB＝ED，CB＝CD.(1)求证：EC⊥BD；(2)若AB⊥BC，M，N分别为线段AE，AB的中点，求证：平面DMN∥平面BCE.证明(1)取BD的中点O，连结EO，CO.∵CD＝CB，EB＝ED，∴CO⊥BD，EO⊥BD.又CO∩EO＝O，CO，EO⊂平面EOC，∴BD⊥平面EOC.又EC⊂平面EOC，∴BD⊥EC.(2)∵N是AB的中点，△ABD为正三角形，∴DN⊥AB，∵BC⊥AB，∴DN∥BC.又BC⊂平面BCE，DN⊄平面BCE，∴DN∥平面BCE.∵M为AE的中点，N为AB的中点，∴MN∥BE，又MN⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，∴MN∥平面BCE.∵MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面BCE.4．(2017·江苏楚水中学质检)如图，在三棱锥P －ABC 中，点E ，F 分别是棱PC ，AC 的中点．(1)求证：P A ∥平面BEF ；(2)若平面P AB ⊥平面ABC ，PB ⊥BC ，求证：BC ⊥P A . 证明 (1)在△P AC 中，E ，F 分别是棱PC ，AC 的中点，所以P A ∥EF .又P A ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，所以P A ∥平面BEF .(2)在平面P AB 内过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D .因为平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，PD ⊂平面P AB ，所以PD ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BC ，又PB ⊥BC ，PD ∩PB ＝P ，PD ⊂平面P AB ，PB ⊂平面P AB ，所以BC ⊥平面P AB ，又P A ⊂平面P AB ，所以BC ⊥P A .(三)数列(1)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝4，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知c n ＝2n ＋3(n ∈N *)，记d n ＝c n ＋log C a n (C >0且C ≠1)，是否存在这样的常数C ，使得数列{d n }是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由．(3)若数列{b n }，对于任意的正整数n ，均有b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n a 1＝⎝⎛⎭⎫12n －n ＋22成立，求证：数列{b n }是等差数列． (1)解 a 1＝4－a 1，所以a 1＝2，由S n ＋a n ＝4，得当n ≥2时，S n －1＋a n －1＝4，两式相减，得2a n ＝a n －1，所以a n a n －1＝12，数列{a n }是以2为首项，公比为12的等比数列，所以a n ＝22－n (n ∈N *)． (2)解由于数列{d n }是常数列， d n ＝c n ＋log C a n ＝2n ＋3＋(2－n )log C 2 ＝2n ＋3＋2log C 2－n log C 2＝(2－log C 2)n ＋3＋2log C 2为常数，则2－log C 2＝0，解得C ＝2，此时d n ＝7.(3)证明 b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n a 1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －n ＋22，①当n ＝1时，b 1a 1＝12－32＝－1，其中a 1＝2，所以b 1＝－12.当n ≥2时，b 1a n －1＋b 2a n －2＋b 3a n －3＋…＋b n －1a 1＝⎝⎛⎭⎫12n －1－n ＋12，②②式两边同时乘以12，得b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n －1a 2＝⎝⎛⎭⎫12n －n ＋14，③由①－③，得b n a 1＝－n －34，所以b n ＝－n 8－38(n ∈N *，n ≥2)，且b n ＋1－b n ＝－18，又b 1＝－12＝－18－38，所以数列{b n }是以－12为首项，公差为－18的等差数列．2．在数列{a n }中，已知a 1＝13，a n ＋1＝13a n －23n ＋1，n ∈N *，设S n 为{a n }的前n 项和．(1)求证：数列{3n a n }是等差数列； (2)求S n ；(3)是否存在正整数p ，q ，r (p <q <r )，使S p ，S q ，S r 成等差数列？若存在，求出p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由．(1)证明因为a n ＋1＝13a n －23n ＋1，所以3n ＋1a n ＋1－3n a n ＝－2. 又因为a 1＝13，所以31·a 1＝1，所以{3n a n }是首项为1，公差为－2的等差数列． (2)解由(1)知3n a n ＝1＋(n －1)·(－2)＝3－2n ，所以a n ＝(3－2n )⎝⎛⎭⎫13n，所以S n ＝1·⎝⎛⎭⎫131＋(－1)·⎝⎛⎭⎫132＋(－3)·⎝⎛⎭⎫133＋…＋(3－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ，所以13S n ＝1·⎝⎛⎭⎫132＋(－1)·⎝⎛⎭⎫133＋…＋(5－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ＋(3－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ＋1，两式相减，得23S n ＝13－2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫133＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －(3－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝13－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤19×1－⎝⎛⎭⎫13n －11－13＋(2n －3)·⎝⎛⎭⎫13n ＋1 ＝2n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1，所以S n ＝n 3n .(3)解假设存在正整数p ，q ，r (p <q <r )，使S p ，S q ，S r 成等差数列，则2S q ＝S p ＋S r ，即2q3q ＝p 3p ＋r 3r. 当n ≥2时，a n ＝(3－2n )⎝⎛⎭⎫13n<0，所以数列{S n }单调递减．又p <q ，所以p ≤q －1且q 至少为2，所以p 3p ≥q －13q －1，q －13q －1－2q 3q ＝q －33q .①当q ≥3时，p 3p ≥q －13q －1≥2q 3q ，又r 3r >0，所以p 3p ＋r 3r >2q3q ，等式不成立． ②当q ＝2时，p ＝1，所以49＝13＋r 3r ，所以r 3r ＝19，所以r ＝3({S n }单调递减，解惟一确定)．综上可知，p ，q ，r 的值为1,2,3.(三)应用题1．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内(含7天)，无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．(1)当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P 是多少元？(2)设该厂x 天购买一次配料，求该厂在这x 天中用于配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？解 (1)当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用 P ＝70＋0.03×200×(1＋2)＝88(元)．(2)①当x ≤7时，y ＝360x ＋10x ＋236＝370x ＋236，②当x >7时，y ＝360x ＋236＋70＋6[(x －7)＋(x －6)＋…＋2＋1]＝3x 2＋321x ＋432，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧370x ＋236，x ≤7，3x 2＋321x ＋432，x >7，∴设该厂x 天购买一次配料平均每天支付的费用为f (x )元．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧370x ＋236x ，x ≤7，3x 2＋321x ＋432x，x >7.当x ≤7时，f (x )＝370＋236x ，当且仅当x ＝7时，f (x )有最小值2 8267≈404(元)；当x ＞7时，f (x )＝3x 2＋321x ＋432x ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋144x ＋321≥393.当且仅当x ＝12时取等号．∵393<404，∴当x ＝12时f (x )有最小值393元．2．南半球某地区冰川的体积每年中随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年的数据，冰川的体积(亿立方米)关于t 的近似函数的关系式为V (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 3＋11t 2－24t ＋100，0<t ≤10，4(t －10)(3t －41)＋100，10<t ≤12.(1)该冰川的体积小于100亿立方米的时期称为衰退期．以i －1<t 0，解得t <3或t >8.又0<t ≤10，故0<t <3或8<t ≤10，当10<t ≤12时，V (t )＝4(t －10)(3t －41)＋100<100，解得10<t <413，又10<t ≤12，故10<t ≤12.综上得0<t <3或8<t ≤12.所以衰退期为1月，2月，3月，9月，10月，11月，12月共7个月． (2)由(1)知，V (t )的最大值只能在(3,9)内取到．由V ′(t )＝(－t 3＋11t 2－24t ＋100)′＝－3t 2＋22t －24，令V ′(t )＝0，解得t ＝6或t ＝43(舍去)．当t 变化时，V ′(t )与V (t )的变化情况如下表：由上表，V (t )在t ＝6时取得最大值V (6)＝136(亿立方米)．故该冰川的最大体积为136亿立方米．3．如图，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的OB .位于该市的某大学M 与市中心O 的距离OM ＝313 km ，且∠AOM ＝β.现要修筑一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，且经过大学M .其中tan α＝2，cos β＝313，AO ＝15 km.(1)求大学M 与站A 的距离AM ； (2)求铁路AB 段的长AB .解 (1)在△AOM 中，AO ＝15，∠AOM ＝β且cos β＝313，OM ＝313，由余弦定理，得AM 2＝OA 2＋OM 2－2OA ·OM ·cos ∠AOM ＝152＋(313)2－2×15×313×313＝13×9＋15×15－2×3×15×3＝72.∴AM ＝62，即大学M 与站A 的距离AM 为6 2 km. (2)∵cos β＝313，且β为锐角，∴sin β＝213，在△AOM中，由正弦定理，得AM sin β＝OMsin ∠MAO ，即62213＝313sin ∠MAO ，sin ∠MAO ＝22， ∴∠MAO ＝π4，∴∠ABO ＝α－π4，∵tan α＝2，∴sin α＝25，cos α＝15， ∴sin ∠ABO ＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝110，又∠AOB ＝π－α，∴sin ∠AOB ＝sin(π－α)＝25. 在△AOB 中，OA ＝15，由正弦定理，得 AB sin ∠AOB ＝OA sin ∠ABO，即AB 25＝15110，∴AB ＝302，即铁路AB 段的长为30 2 km.4．(2017·江苏苏州大学指导卷)如图，某地区有一块长方形植物园ABCD ，AB ＝8(百米)，BC ＝4(百米)．植物园西侧有一块荒地，现计划利用该荒地扩大植物园面积，使得新的植物园为HBCEFG ，满足下列要求：E 在CD 的延长线上，H 在BA 的延长线上，DE ＝0.5(百米)，AH ＝4(百米)，N 为AH 的中点，FN ⊥AH ，EF 为曲线段，它上面的任意一点到AD 与AH 的距离的乘积为定值，FG ，GH 均为线段，GH ⊥HA ，GH ＝0.5(百米)．(1)求四边形FGHN 的面积；(2)已知音乐广场M 在AB 上，AM ＝2(百米)，若计划在EFG 的某一处P 开一个植物园大门，在原植物园ABCD 内选一点Q 为中心建一个休息区，使得QM ＝PM ，且∠QMP ＝90°，问点P 在何处时，AQ 最小．解 (1)以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示．则E ⎝⎛⎭⎫－12，4，因为E 到AD 与AH 距离的乘积为2，所以曲线EF 上的任意一点都在函数y ＝－2x 的图象上．由题意，N (－2,0)，所以F (－2,1)．四边形FGHN 的面积为12×⎝⎛⎭⎫12＋1×2＝32(平方百米)． (2)设P (x ，y )，则MP →＝(x －2，y )，MQ →＝(y ，－x ＋2)，AQ →＝(y ＋2，－x ＋2)，因为点Q 在原植物园内，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤y ＋2≤8，0≤2－x ≤4，即－2≤x ≤2.又点P 在曲线EFG 上，x ∈⎣⎡⎦⎤－4，－12，所以－2≤x ≤－12，则点P 在曲线段EF 上， AQ ＝(y ＋2)2＋(2－x )2，因为y ＝－2x，所以AQ ＝ ⎝⎛⎭⎫－2x ＋22＋(2－x )2 ＝ x 2＋4x 2－4x －8x ＋8 ＝ ⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2－4⎝⎛⎭⎫x ＋2x ＋4 ＝ ⎝⎛⎭⎫x ＋2x －22＝－x ＋2－x ＋2≥22＋2. 当且仅当－x ＝－2x，即x ＝－2时等号成立．此时点P (－2，2)，即点P 在距离AD 与AH 均为2百米时，AQ 最小．(四)解析几何1．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1x 2≠0)，O 是坐标原点，P 是线段AB 的中点，若C 是点A 关于原点的对称点，Q 是线段BC 的中点，且OP ＝OQ ，设圆P 的方程为x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0.(1)证明：线段AB 是圆P 的直径；(2)若存在正数p 使得2p (x 1＋x 2)＝y 21＋y 22＋8p 2＋2y 1y 2成立，当圆P 的圆心到直线x －2y ＝0的距离的最小值为255时，求p 的值． (1)证明由题意知，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，点A (x 1，y 1)关于原点的对称点为C (－x 1，－y 1)，那么点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－x 1＋x 22，－y 1＋y 22，由OP ＝OQ ，得OP 2＝OQ 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 222＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1＋x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 1＋y 222，得(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，从而x 1x 2＋y 1y 2＝0，由此得OA ⊥OB ，由方程x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0知，圆P 过原点，且点A ，B 在圆P 上，故线段AB 是圆P 的直径．(2)解由2p (x 1＋x 2)＝y 21＋y 22＋8p 2＋2y 1y 2，得x 1＋x 2＝12p[(y 1＋y 2)2＋8p 2]，又圆心P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22到直线x －2y ＝0的距离为 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1＋x 22－(y 1＋y 2)5 ＝⎪⎪⎪⎪14p [(y 1＋y 2)2＋8p 2]－(y 1＋y 2)5＝[(y 1＋y 2)－2p ]2＋4p 245p ≥4p 245p，当且仅当y 1＋y 2＝2p 时，等号成立，所以4p 245p＝255，从而得p ＝2.2.如图，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，O 是坐标原点，OF ＝5，过点F 作OF 的垂线交椭圆C 于P 0，Q 0两点，△OP 0Q 0的面积为453.(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点M (－5，0)的直线l 与上、下半椭圆分别交于点P ，Q ，且PM ＝2MQ ，求直线l 的方程．解 (1)由题设条件，P 0F ＝00OP Q S OF ∆＝4535＝43. 易知P 0F ＝b 2a ，所以b 2a ＝43. 又c ＝OF ＝5，即a 2－b 2＝5，因此a 2－43a －5＝0，解得a ＝3或a ＝－53，又a >0，所以a ＝3，从而b ＝2.故所求椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意y 1>0，y 2<0，并可设直线l ：x ＝ty －5，代入椭圆方程得(ty －5)29＋y 24＝1，即(4t 2＋9)y 2－85ty －16＝0.从而y 1＋y 2＝85t 4t 2＋9，y 1y 2＝－164t 2＋9. 又由PM ＝2MQ ，得y 1－y 2＝PM MQ＝2，即y 1＝－2y 2. 因此y 1＋y 2＝－y 2，y 1y 2＝－2y 22，故－164t 2＋9＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 4t 2＋92，可解得t 2＝14. 注意到y 2＝－85t 4t 2＋9且y 2<0，知t >0，因此t ＝12. 故满足题意的直线l 的方程为2x －y ＋25＝0.3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线l ：y ＝－12x 与椭圆E 相交于A ，B 两点，AB ＝210，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 的两点，且直线AC ，BD 相交于点P ，直线AD ，BC 相交于点Q .(1)求椭圆E 的标准方程；(2)求证：直线PQ 的斜率为定值．(1)解因为e ＝c a ＝32，所以c 2＝34a 2，即a 2－b 2＝34a 2，所以a ＝2b .所以椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1. 由题意不妨设点A 在第二象限，点B 在第四象限，由⎩⎨⎧ y ＝－12x ，x 24b 2＋y 2b 2＝1，得A (－2b ，22b )．又AB ＝210，所以OA ＝10，则2b 2＋12b 2＝52b 2＝10，得b ＝2，a ＝4.所以椭圆E 的标准方程为x 216＋y 24＝1. (2)证明由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1， A (－22，2)，B (22，－2)．①当直线CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在，且不为零时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2，C (x 0，y 0)，显然k 1≠k 2.从而k 1·k CB ＝y 0－2x 0＋22·y 0＋2x 0－22＝y 20－2x 20－8＝4⎝⎛⎭⎫1－x 2016－2x 20－8＝2－x 204x 20－8＝－14，所以k CB ＝－14k 1.同理k DB ＝－14k 2. 所以直线AD 的方程为y －2＝k 2(x ＋22)，直线BC 的方程为y ＋2＝－14k 1(x －22)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝－14k 1(x －22)，y －2＝k 2(x ＋22)，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1，y ＝2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1，从而点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1，2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1. 用k 2代替k 1，k 1代替k 2得点P 的坐标为⎝ ⎛22(－4k 1k 2－4k 2＋1)4k 1k 2＋1，所以k PQ ＝2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1－2(－4k 1k 2＋4k 1＋1)4k 1k 2＋122(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1－22(－4k 1k 2－4k 2＋1)4k 1k 2＋1＝42(k 2－k 1)82(k 2－k 1)＝12. 即直线PQ 的斜率为定值，其定值为12. ②当直线CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，由题意得，至多有一条直线的斜率不存在，不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C (－22，－2)．设DA 的斜率为k ，由①知，k DB ＝－14k. 因为直线CA ：x ＝－22，直线DB ：y ＋2＝－14k(x －22)，得P ⎝⎛⎭⎫－22，－2＋2k .又直线BC ：y ＝－2，直线AD ：y －2＝k (x ＋22)，得Q ⎝⎛⎭⎫－22－22k ，－2，所以k PQ ＝12. 由①②可知，直线PQ 的斜率为定值，其定值为12. 4．(2017·江苏预测卷)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，右准线的方程为x ＝433.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P ⎝⎛⎭⎫12，2，过x 轴上的一个定点M 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若三条直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列，求点M 的坐标．解 (1)因为椭圆的离心率为32，右准线的方程为x ＝433，所以e ＝c a ＝32，a 2c ＝433，则a ＝2，c ＝3，b ＝1，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设M (m,0)，当直线l 为y ＝0时，A (－2,0)，B (2,0)，P A ，PM ，PB 的斜率分别为 k P A ＝45，k PM ＝41－2m，k PB ＝－43，因为直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列，所以81－2m ＝45－43，m ＝8. 证明如下：当M (8,0)时，直线P A ，PM ，PB 的斜率构成等差数列，设AB ：y ＝k (x －8)，代入椭圆方程x 2＋4y 2－4＝0，得x 2＋4k 2(x －8)2－4＝0，即(1＋4k 2)x 2－64k 2x ＋256k 2－4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝64k 21＋4k 2，x 1x 2＝256k 2－41＋4k 2，又k PM ＝0－28－12＝－415，所以k P A ＋k PB ＝y 1－2x 1－12＋y 2－2x 2－12＝kx 1－8k －2x 1－12＋kx 2－8k －2x 2－12＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －2⎝⎛⎭⎪⎫1x 1－12＋1x 2－12 ＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －2(x 1＋x 2)－1x 1x 2－12(x 1＋x 2)＋14＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －264k 21＋4k 2－1256k 2－41＋4k 2－12×64k 21＋4k 2＋14＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －260k 2－1154(60k 2－1)＝－815＝2k PM ，即证． (四)数列(2)1．已知{a n }，{b n }，{c n }都是各项不为零的数列，且满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝c n S n ，n ∈N *，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，{c n }是公差为d (d ≠0)的等差数列．(1)若数列{a n }是常数列，d ＝2，c 2＝3，求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＝λn (λ是不为零的常数)，求证：数列{b n }是等差数列；(3)若a 1＝c 1＝d ＝k (k 为常数，k ∈N *)，b n ＝c n ＋k (n ≥2，n ∈N *)，求证：对任意的n ≥2，n ∈N *，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 单调递减． (1)解因为d ＝2，c 2＝3，所以c n ＝2n －1.因为数列{a n }是各项不为零的常数列，所以a 1＝a 2＝…＝a n ，S n ＝na 1.则由c n S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 及c n ＝2n －1，得n (2n －1)＝b 1＋b 2＋…＋b n ，当n ≥2时，(n －1)(2n －3)＝b 1＋b 2＋…＋b n －1，两式相减得b n ＝4n －3.当n ＝1时，b 1＝1也满足b n ＝4n －3.故b n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)证明因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝c n S n ，当n ≥2时，c n －1S n －1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1，两式相减得c n S n －c n －1S n －1＝a n b n ，即(S n －1＋a n )c n －S n －1c n －1＝a n b n ，S n －1(c n －c n －1)＋a n c n ＝a n b n ，所以S n －1d ＋λnc n ＝λnb n .又S n －1＝λ＋λ(n －1)2(n －1)＝λn (n －1)2，所以λn (n －1)2d ＋λnc n ＝λnb n ，即(n －1)2d ＋c n ＝b n ，(*) 所以当n ≥3时，(n －2)2d ＋c n －1＝b n －1，两式相减得b n －b n －1＝32d (n ≥3)，所以数列{b n }从第二项起是公差为32d 的等差数列．又当n ＝1时，由c 1S 1＝a 1b 1，得c 1＝b 1.当n ＝2时，由(*)得b 2＝(2－1)2d ＋c 2＝12d ＋(c 1＋d )＝b 1＋32d ，得b 2－b 1＝32d . 故数列{b n }是公差为32d 的等差数列． (3)证明由(2)得当n ≥2时，S n －1(c n －c n －1)＋a n c n ＝a n b n ，即S n －1d ＝a n (b n －c n )．因为b n ＝c n ＋k ，所以b n ＝c n ＋kd ，即b n －c n ＝kd ，所以S n －1d ＝a n ·kd ，即S n －1＝ka n ，所以S n ＝S n －1＋a n ＝(k ＋1)a n .当n ≥3时，S n －1＝(k ＋1)a n －1，两式相减得a n ＝(k ＋1)a n －(k ＋1)a n －1，即a n ＝k ＋1k a n －1，故从第二项起数列{a n }是等比数列，所以当n ≥2时，a n ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k n －2， b n ＝c n ＋k ＝c n ＋kd ＝c 1＋(n －1)k ＋k 2＝k ＋(n －1)k ＋k 2＝k (n ＋k )，另外由已知条件得(a 1＋a 2)c 2＝a 1b 1＋a 2b 2.又c 2＝2k ，b 1＝k ，b 2＝k (2＋k )，所以a 2＝1，因而a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k n －2. 令d n ＝b n a n ，则d n ＋1d n ＝b n ＋1a n a n ＋1b n ＝(n ＋k ＋1)k (n ＋k )(k ＋1). 因为(n ＋k ＋1)k －(n ＋k )(k ＋1)＝－n <0，所以d n ＋1d n<1，所以对任意的n ≥2，n ∈N *，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 单调递减． 2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a 2＝2，设b n ＝a n ＋a n ＋1，c n ＝a n ·a n ＋1(n ∈N *)．(1)若数列{b 2n －1}是公比为3的等比数列，求S 2n ；(2)若数列{b n }是公差为3的等差数列，求S n ；(3)是否存在这样的数列{a n }，使得{b n }成等差数列和{c n }成等比数列同时成立，若存在，求出{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由．解 (1)b 1＝a 1＋a 2＝1＋2＝3，S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 3＋…＋b 2n －1＝3(1－3n )1－3＝3n ＋1－32. (2)∵b n ＋1－b n ＝a n ＋2－a n ＝3，∴{a 2k －1}，{a 2k }均是公差为3的等差数列，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·3＝3k －2，a 2k ＝a 2＋(k －1)·3＝3k －1，当n ＝2k (k ∈N *)时，S n ＝S 2k ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2k －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2k )＝k (1＋3k －2)2＋k (2＋3k －1)2＝3k 2＝3n 24；当n ＝2k －1(k ∈N *)时，S n ＝S 2k －1＝S 2k －a 2k ＝3k 2－3k ＋1＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122－3·n ＋12＋1＝3n 2＋14. 综上可知，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3n 24，n ＝2k ，k ∈N *，3n 2＋14，n ＝2k －1，k ∈N *.(3)∵{b n }成等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，即2(a 2＋a 3)＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)，a 2＋a 3＝a 1＋a 4，①∵{c n }成等比数列，∴c 22＝c 1c 3.即(a 2a 3)2＝(a 1a 2)·(a 3a 4)，∵c 2＝a 2a 3≠0，∴a 2a 3＝a 1a 4，②由①②及a 1＝1，a 2＝2，得a 3＝1，a 4＝2，设{b n }的公差为d ，则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝d ，即a n ＋2－a n ＝d ，即数列{a n }的奇数项和偶数项都构成公差为d 的等差数列，又d ＝a 3－a 1＝a 4－a 2＝0， ∴数列{a n }＝1,2,1,2,1,2，…，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝2k －1，k ∈N *，2，n ＝2k ，k ∈N *.此时c n ＝2，{c n }是公比为1的等比数列，满足题意．∴存在数列{a n }，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝2k －1，k ∈N *，2，n ＝2k ，k ∈N *，使得{b n }成等差数列和{c n }成等比数列同时成立．高考附加题加分练 1.矩阵与变换1．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b0，点A (1,0)在矩阵M 对应的变换作用下变为A ′(1,2)，求矩阵M 的逆矩阵M －1. 解 ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，∴a ＝1，b ＝2.∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 0，∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0121 －12. 2．(2017·江苏徐州一中检测)已知曲线C ：y 2＝12x ，在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程．解设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0，设P (x ′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上对应的点为P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y ′ x ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ′，y ＝x ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ，y ′＝－12x .又点P (x ′，y ′)在曲线C ：y 2＝12x 上，∴⎝⎛⎭⎫－12x 2＝12y ，即x 2＝2y . 3．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122x 的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．解矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4. 因为λ1＝3是方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1. 由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1.设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，得x ＝－y . 令x ＝1，则y ＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.4．(2017·江苏江阴中学质检)若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．解 M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.由M －1M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－1 0.2.坐标系与参数方程1．(2017·江苏兴化中学调研)已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－1，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，判断两曲线的位置关系．解将曲线C 1，C 2化为直角坐标方程，得 C 1：x ＋3y ＋2＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，即C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝2. 圆心到直线的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝3＋32>2，∴曲线C 1与C 2相离．2．(2017·江苏金坛一中期中)已知在极坐标系下，圆C ：ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2与直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，点M 为圆C 上的动点，求点M 到直线l 的距离的最大值．解圆C 化为直角坐标方程，得x 2＋(y ＋1)2＝1. 直线l 化为直角坐标方程，得x ＋y ＝2. 圆心C 到直线l 的距离d ＝|－1－2|2＝322，所以点M 到直线l 的距离的最大值为1＋322.3．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t ，y ＝－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝m ＋2sin θ(θ为参数)相交于A ，B 两点，m 为常数． (1)当m ＝0时，求线段AB 的长；(2)当圆C 上恰有三点到直线的距离为1时，求m 的值．解 (1)直线l ：x ＋y －1＝0，曲线C ：x 2＋y 2＝4，圆心到直线的距离d ＝12，故AB ＝2r 2－d 2＝14.(2)圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －m )2＝4，直线l ：x ＋y －1＝0，由题意，知圆心到直线的距离d ＝|m －1|2＝1，∴m ＝1± 2.4．(2017·江苏昆山中学质检)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝3，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝1＋t(t 为参数，t ∈R )．试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大．解曲线C 的普通方程是x 23＋y 2＝1，直线l 的普通方程是x ＋3y －3＝0.设点M 的直角坐标是(3cos θ，sin θ)，则点M 到直线l 的距离是d ＝|3cos θ＋3sin θ－3|2＝3⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－12.因为－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤2，所以当sin ⎝⎛⎭⎫ θ＋π4＝－1，即θ＝2k π－3π4(k ∈Z )时，d 取得最大值．此时3cos θ＝－62，sin θ＝－22. 设点M 的极角为φ，则⎩⎨⎧ρcos φ＝－62，ρsin φ＝－22，所以⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，φ＝7π6.综上，当点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，7π6时，该点到直线l 的距离最大．3.空间向量与立体几何1．(2017·江苏南通中学月考)如图，已知三棱锥O －ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝OC ＝2，E 是OC 的中点．(1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； (2)求二面角A －BE －C 的正弦值．解 (1)以O 为原点，分别以OB ，OC ，OA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，E (0,1,0)． EB →＝(2，－1,0)，AC →＝(0,2，－1)， ∴cos 〈EB →，AC →〉＝－25，即异面直线BE 与AC 所成角的余弦值为25.(2)AB →＝(2,0，－1)，AE →＝(0,1，－1)，设平面ABE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则由n 1⊥AB →，n 1⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝0，y －z ＝0，取n 1＝(1,2,2)，平面BEC 的法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23，∴二面角A －BE －C 的余弦值cos θ＝23，∴sin θ＝53，即二面角A －BE －C 的正弦值为53.2．(2017·江苏宜兴中学质检)三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3，D 是BC 的中点．(1)求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2)求二面角B 1－A 1D －C 1的正弦值．解 (1)由题意知，B (2,0,0)，C (0,4,0)，D (1,2,0)，A 1(0,0,3)，B 1(2,0,3)，C 1(0,4,3)，则A 1D →＝(1,2，－3)，A 1C 1→＝(0,4,0)，DB 1→＝(1，－2,3)．设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．由n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0，得y ＝0，x ＝3z ，令z ＝1，得x ＝3，n ＝(3,0,1)．设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈DB 1→，n 〉|＝|3＋3|10×14＝33535.(2)设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )，A 1B 1→＝(2,0,0)．由m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0，得a ＝0,2b ＝3c ，令c ＝2，得b ＝3，m ＝(0,3,2)．设二面角B 1－A 1D －C 1的大小为α， |cos α|＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝265， sin α＝3765＝345565.所以二面角B 1－A 1D －C 1的正弦值为345565.3．(2017·江苏运河中学质检)在四棱锥P －ABCD 中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ADC ＝π2，AB ＝AD ＝PD ＝1，CD ＝2.设Q 为侧棱PC 上一点，PQ →＝λPC →.试确定λ的值，使得二面角Q －BD －P 为π4.解因为侧面PCD ⊥底面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，PD ⊥CD ，所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，又∠ADC ＝π2，故DA ，DC ，DP 两两互相垂直．如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,2,0)，P (0,0,1)，则平面PBD 的一个法向量为n ＝(－1,1,0)， PC →＝(0,2，－1)，PQ →＝λPC →，λ∈(0,1)，所以Q (0,2λ，1－λ)．设平面QBD 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )，由m ·BD →＝0，m ·DQ →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，2λb ＋(1－λ)c ＝0，所以取b ＝1，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，2λλ－1，所以cos π4＝|m ·n ||m ||n |，即22·2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2λλ－12＝22. 注意到λ∈(0,1)，解得λ＝2－1.4．在三棱锥S －ABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 是AC 的中点，侧棱SB 和底面成45°角．(1)若D 为棱SB 上一点，当SDDB为何值时，CD ⊥AB ； (2)求二面角S －BC －A 的余弦值的大小．解以O 点为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系．由题意知∠SBO ＝45°，SO ＝3.所以O (0,0,0)，C (0，3，0)，A (0，－3，0)，S (0,0,3)，B (3,0,0)． (1)设BD →＝λBS →(0≤λ≤1)，则OD →＝(1－λ)OB →＋λOS →＝(3(1－λ)，0,3λ)，所以CD →＝(3(1－λ)，－3，3λ)．因为AB →＝(3，3，0)，CD ⊥AB ，所以CD →·AB →＝9(1－λ)－3＝0，解得λ＝23.故SD DB ＝12时，CD ⊥AB .。

全国高三高中数学专题试卷带答案解析

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知集合A ＝{x|33－x <6}，B ＝{x|lg(x －1)<1}，则A∩B ＝________．2.已知a 、b 为正实数，函数f(x)＝ax 3＋bx ＋2x 在[0，1]上的最大值为4，则f(x)在[－1，0]上的最小值为________．3.若函数f(x)＝x 3－ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．4.已知函数y ＝f(x)是偶函数，对于x ∈R 都有f(x ＋6)＝f(x)＋f(3)成立．当x 1、x 2∈[0，3]，且x 1≠x 2时，都有>0，给出下列命题：①f(3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f(x)在[－9，－6]上为单调增函数； ④函数y ＝f(x)在[－9，9]上有4个零点．其中正确的命题是________．(填序号)5.已知函数f(x)＝||x －1|－1|，若关于x 的方程f(x)＝m(m ∈R)恰有四个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是________．6.关于函数f(x)＝lg(x>0，x ∈R)，下列命题正确的是________．(填序号)①函数y ＝f(x)的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y ＝f(x)是减函数； ③函数y ＝f(x)的最小值为lg2；④在区间(1，＋∞)上，函数y ＝f(x)是增函数．7.已知函数f(x)＝2x 2＋m 的图象与函数g(x)＝ln|x|的图象有四个交点，则实数m 的取值范围是________． 8.在平面直角坐标系xOy 中，设定点A(a ，a)，P 是函数y ＝(x>0)图象上一动点．若点P 、A 之间的最短距离为2，则满足条件的实数a 的所有值为________．9.设函数f(x)＝ (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是________． 10.已知函数f(x)＝若关于x 的方程f(x)＝kx(k ＞0)有且仅有四个根，其最大根为t ，则函数g(t)＝t 2－6t ＋7的值域为________．11.若奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝2x ，则函数g(x)的最小值是________． 12.设函数f(x)＝ (a<0)的定义域为D ，若所有点(s ，f(t))(s 、t ∈D)构成一个正方形区域，则a 的值为________．13.对于实数a 和b ，定义运算“”：ab ＝设f(x)＝(2x －1)(x －1)，且关于x 的方程为f(x)＝m(m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1、x 2、x 3的取值范围是________．二、解答题1.已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x2. (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性； (3)求函数f(x)的值域．2.已知函数f(x)＝ax 2－|x|＋2a －1(a 为实常数)． (1)若a ＝1，作函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式； (3)设h(x)＝，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a 的取值范围．3.设函数f(x)＝其中b>0，c ∈R.当且仅当x ＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若方程f(x)＝x ＋a(a ∈R)至少有两个不相同的实数根，求a 取值的集合．4.已知f(x)＝xlnx ，g(x)＝－x 2＋ax －3. (1)求函数f(x)在[t ，t ＋2](t>0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围； (3)证明对一切x ∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．5.定义在D 上的函数f(x)，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M 成立，则称f(x)是D 上的有界函数，其中M 称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·＋.(1)当a ＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由； (2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． 6.已知函数f(x)＝a x ＋x 2－xlna(a>0，a≠1)．(1)当a>1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； (2)若函数y ＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t 的值；(3)若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围．7.已知函数f(x)＝lnx －ax 2＋(2－a)x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)设a>0，证明：当0<x<时，f>f；(3)若函数y ＝f(x)的图象与x 轴交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：＜0.全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、填空题1.已知集合A ＝{x|33－x <6}，B ＝{x|lg(x －1)<1}，则A∩B ＝________．【答案】(2－log 32，11)【解析】由33－x <6，知3－x<log 36，即x>3－log 36，所以A ＝(2－log 32，＋∞)．由lg(x －1)<1，知0<x －1<10，即1<x<11，所以B ＝(1，11)，所以A∩B ＝(2－log 32，11)．2.已知a 、b 为正实数，函数f(x)＝ax 3＋bx ＋2x 在[0，1]上的最大值为4，则f(x)在[－1，0]上的最小值为________．【答案】－【解析】因为a 、b 为正实数，所以函数f(x)是单调递增的．所以f(1)＝a ＋b ＋2＝4，即a ＋b ＝2.所以f(x)在[－1，0]上的最小值为f(－1)＝－(a ＋b)＋＝－.3.若函数f(x)＝x 3－ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．【答案】[5，7]【解析】f′(x)＝x 2－ax ＋(a －1)，由题意，f′(x)≤0在(1，4)恒成立且f′(x)≥0在(6，＋∞)恒成立，即a≥x ＋1在(1，4)上恒成立且a≤x ＋1在(6，＋∞)上恒成立，所以5≤a≤7.4.已知函数y ＝f(x)是偶函数，对于x ∈R 都有f(x ＋6)＝f(x)＋f(3)成立．当x 1、x 2∈[0，3]，且x 1≠x 2时，都有>0，给出下列命题：①f(3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f(x)在[－9，－6]上为单调增函数； ④函数y ＝f(x)在[－9，9]上有4个零点．其中正确的命题是________．(填序号) 【答案】①②④【解析】令x ＝－3，得f(－3)＝0，由y ＝f(x)是偶函数，所以f(3)＝f(－3)＝0，①正确；因为f(x ＋6)＝f(x)，所以y ＝f(x)是周期为6的函数，而偶函数图象关于y 轴对称，所以直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴，②正确；由题意知，y ＝f(x)在[0，3]上为单调增函数，所以在[－3，0]上为单调减函数，故y ＝f(x)在[－9，－6]上为单调减函数，③错误；由f(3)＝f(－3)＝0，知f(－9)＝f(9)＝0，所以函数y ＝f(x)在[－9，9]上有个零点，④正确．5.已知函数f(x)＝||x －1|－1|，若关于x 的方程f(x)＝m(m ∈R)恰有四个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是________．【答案】(－3，0)【解析】f(x)＝||x －1|－1|＝方程f(x)＝m 的解就是y ＝f(x)的图象与直线y ＝m 交点的横坐标，由图可知，x 2＝－x 1，x 3＝2＋x 1，x 4＝2－x 1，且－1<x 1<0.设t ＝x 1x 2x 3x 4＝(－2)2－4，则t ＝(－2)2－4，易得－3<t<0.6.关于函数f(x)＝lg(x>0，x ∈R)，下列命题正确的是________．(填序号)①函数y ＝f(x)的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y ＝f(x)是减函数； ③函数y ＝f(x)的最小值为lg2；④在区间(1，＋∞)上，函数y ＝f(x)是增函数．【答案】①③④ 【解析】由f(－x)＝lg ＝lg ＝f(x)，知函数f(x)为偶函数，故①正确；由f(－2)＝lg＝f，知②错误；由＝|x|＋≥2，知f(x)＝lg≥lg2，故③正确；因为函数g(x)＝x ＋在(1，＋∞)上为增函数，所以y ＝f(x)在(1，＋∞)上也是增函数，故④正确．综上所述，①③④均正确．7.已知函数f(x)＝2x 2＋m 的图象与函数g(x)＝ln|x|的图象有四个交点，则实数m 的取值范围是________．【答案】【解析】由于f(x)与g(x)都是偶函数，因此只需考虑当x>0时，函数f(x)与g(x)的图象有两个交点即可．当x>0时，g(x)＝lnx ，令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x 2－lnx ＋m ，则h′(x)＝4x －，由h′(x)＝0，得x ＝.易知当x ＝时，h(x)有极小值为＋ln2＋m ，要使函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)内有两个交点，则h <0，即＋ln2＋m<0，所以m<－－ln28.在平面直角坐标系xOy 中，设定点A(a ，a)，P 是函数y ＝(x>0)图象上一动点．若点P 、A 之间的最短距离为2，则满足条件的实数a 的所有值为________．【答案】－1，【解析】设P ，x>0，则 PA 2＝(x －a)2＋＝x 2＋－2a＋2a 2＝－2a＋2a 2－2.令t ＝x ＋，则由x>0，得t≥2，所以PA 2＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a)2＋a 2－2. 由PA 取得最小值，得或解得a ＝－1或a ＝.9.设函数f(x)＝(a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是________．【答案】[1，e]【解析】若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则A(b ，f(b))，A′(f(b)，b)都在y ＝f(x)的图象上．又f(x)＝在[0，1]上单调递增，所以(x A ′－x A )(y A ′－y A )≥0，即(f(b)－b)(b －f(b))≥0，所以(f(b)－b)2≤0，所以f(b)＝b ，从而f(x)＝x 在[0，1]上有解，即＝x 在[0，1]上有解，所以a ＝e x ＋x －x 2，x ∈[0，1]，令φ(x)＝e x ＋x －x 2，x ∈[0，1]，则φ′(x)＝e x －2x ＋1≥0，所以φ(x)在[0，1]上单调递增．又φ(0)＝1，φ(1)＝e ，所以φ(x)∈[1，e]，即a ∈[1，e]．10.已知函数f(x)＝若关于x 的方程f(x)＝kx(k ＞0)有且仅有四个根，其最大根为t ，则函数g(t)＝t 2－6t ＋7的值域为________．【答案】【解析】在直角坐标系中分别画出函数f(x)在区间[0，2]，[2，4]，[4，6]上的三个半圆的图象，最大根t 一定在区间(3，4)内，g(t)＝t 2－6t ＋7是二次函数，对称轴方程为4＞t ＝＞3，g(t)的最小值为g ＝－，直线y ＝kx(k ＞0)与区间[2，4]上半圆相交，与区间[4，6]上半圆相离，故<k 2<，而k 2＝时，直线与半圆相切，由得(1＋k 2)x 2－6x ＋8＝0，取k 2＝，得x 2－6x ＋7＝－1，t<x ，所以g(t)＝t 2－6t ＋7＜－111.若奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝2x ，则函数g(x)的最小值是________．【答案】1【解析】由f(x)＋g(x)＝2x ，得f(－x)＋g(－x)＝2－x ，由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， ∴－f(x)＋g(x)＝2－x ，∴g(x)＝(2x ＋2－x )，∴g(x)≥1.12.设函数f(x)＝ (a<0)的定义域为D ，若所有点(s ，f(t))(s 、t ∈D)构成一个正方形区域，则a 的值为________．【答案】－4【解析】|x 1－x 2|＝f max (x)，＝，|a|＝2，∴a ＝－413.对于实数a 和b ，定义运算“”：a b ＝设f(x)＝(2x －1)(x －1)，且关于x 的方程为f(x)＝m(m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1、x 2、x 3的取值范围是________．【答案】【解析】由新定义得f(x)＝作出函数f(x)的图象，由图可知，当0<m<时，f(x)＝m(m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1、x 2、x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2＋x 3＝2×＝1，∴x 2x 3<.令解得x ＝或x ＝ (舍去)，∴<x 1<0，∴<x 1x 2x 3<0.二、解答题1.已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x2. (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性； (3)求函数f(x)的值域．【答案】（1）(－1，1)（2）f(x)是偶函数（3）(－∞，0] 【解析】(1)由得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1)．(2)由f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＋(－x)4－2(－x)2＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(3)f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2＝lg(1－x 2)＋x 4－2x 2，设t ＝1－x 2，由x ∈(－1，1)，得t ∈(0，1]．所以y ＝lg(1－x 2)＋x 4－2x 2＝lgt ＋(t 2－1)，t ∈(0，1]，设0<t 1<t 2≤1，则lgt 1<lgt 2，<，所以lgt 1＋(－1)<lgt 2＋(－1)，所以函数y ＝lgt ＋(t 2－1)在t ∈(0，1]上为增函数，所以函数f(x)的值域为(－∞，0]．2.已知函数f(x)＝ax 2－|x|＋2a －1(a 为实常数)． (1)若a ＝1，作函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式； (3)设h(x)＝，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a 的取值范围．【答案】（1）（2）g(a)＝（3）【解析】(1)当a ＝1时，f(x)＝x 2－|x|＋1＝作图如下．(2)当x ∈[1，2]时，f(x)＝ax 2－x ＋2a －1.若a ＝0，则f(x)＝－x －1在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝－3. 若a≠0，则f(x)＝a＋2a －－1，f(x)图象的对称轴是直线x ＝.当a<0时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a －3. 当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1，2]上是增函数，g(a)＝f(1)＝3a －2.当1≤≤2，即≤a≤时，g(a)＝f ＝2a －－1.当>2，即0<a<时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a －3.综上可得g(a)＝(3)当x ∈[1，2]时，h(x)＝ax ＋－1，在区间[1，2]上任取x 1、x 2，且x 1<x 2，则h(x 2)－h(x 1)＝＝(x 2－x 1)＝(x 2－x 1).因为h(x)在区间[1，2]上是增函数，所以h(x 2)－h(x 1)>0. 因为x 2－x 1>0，x 1x 2>0，所以ax 1x 2－(2a －1)>0，即ax 1x 2>2a －1.当a ＝0时，上面的不等式变为0>－1，即a ＝0时结论成立．当a>0时，x 1x 2>，由1<x 1x 2<4，得≤1，解得0＜a≤1. 当a<0时，x 1x 2<，由1<x 1x 2<4，得≥4，解得－≤a ＜0.所以实数a 的取值范围为3.设函数f(x)＝其中b>0，c ∈R.当且仅当x ＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若方程f(x)＝x ＋a(a ∈R)至少有两个不相同的实数根，求a 取值的集合．【答案】（1）f(x)＝（2）【解析】(1)∵当且仅当x ＝－2时，函数f(x)取得最小值－2. ∴二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－＝－2.且有f(－2)＝(－2)2－2b ＋c ＝－2，即2b －c ＝6. ∴b ＝4，c ＝2.∴f(x)＝(2)记方程①：2＝x ＋a(x>0)，方程②：x 2＋4x ＋2＝x ＋a(x≤0)．分别研究方程①和方程②的根的情况：(ⅰ)方程①有且仅有一个实数根a<2，方程①没有实数根a≥2.(ⅱ)方程②有且仅有两个不相同的实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有两个不相同的非正实数根．∴－<a≤2；方程②有且仅有一个实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有且仅有一个非正实数根． ∴2－a<0或Δ＝0，即a>2或a ＝－.综上可知，当方程f(x)＝x ＋a(a ∈R)有三个不相同的实数根时，－<a<2；当方程f(x)＝x ＋a(a ∈R)有且仅有两个不相同的实数根时，a ＝－或a ＝2.∴符合题意的实数a取值的集合为4.已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．＝（2）a≤4（3）见解析【答案】（1）f(x)min【解析】(1)解：f′(x)＝lnx＋1，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．①当0<t<t＋2<时，t无解；②当0<t<<t＋2，即0<t<时，f(x)＝f＝－；min③当≤t<t＋2，即t≥时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，f(x)＝f(t)＝tlnt，min所以f(x)＝.min(2)解：由题意，要使2xlnx≥－x2＋ax－3在x∈(0，＋∞)恒成立，即要使a≤2lnx＋x＋恒成立．设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝＋1－.当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．所以x＝1时，h(x)取得极小值，也就是最小值，即[h(x)]＝h(1)＝4，所以a≤4.min(3)证明：问题等价于证明xlnx>－，x∈(0，＋∞)．由(1)知，f(x)＝xlnx在(0，＋∞)上最小值是－，当且仅当x＝时取得．设m(x)＝－，x∈(0，＋∞)，则m′(x)＝，易得[m(x)]＝m(1)＝－，max当且仅当x＝1时取得，从而对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立5.定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·＋.(1)当a＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．【答案】（1）不是有界函数（2）[－5，1]【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝1＋因为f(x)在(－∞，0)上递减，所以f(x)>f(0)＝3，即f(x)在(－∞，0)的值域为(3，＋∞)，故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M成立，所以函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．(2)由题意知，|f(x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立．－3≤f(x)≤3，－4－≤a·≤2－，所以－4·2x－≤a≤2·2x－在[0，＋∞)上恒成立．所以≤a≤，设2x ＝t ，h(t)＝－4t －，p(t)＝2t －，由x ∈[0，＋∞)得t≥1，设1≤t 1<t 2，h(t 1)－h(t 2)＝>0，p(t 1)－p(t 2)＝<0，所以h(t)在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1，＋∞)上递增，h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，所以实数a 的取值范围为[－5，1]．6.已知函数f(x)＝a x ＋x 2－xlna(a>0，a≠1)．(1)当a>1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； (2)若函数y ＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t 的值；(3)若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）t ＝2（3）∪[e ，＋∞)【解析】审题引导：本题考查函数与导数的综合性质，函数模型并不复杂，(1)(2)两问是很常规的，考查利用导数证明单调性，考查函数与方程的零点问题．第(3)问要将“若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1”转化成|f(x)max －f(x)min |＝f(x)max －f(x)min ≥e －1成立，最后仍然是求值域问题，但在求值域过程中，问题设计比较巧妙，因为在过程中还要构造函数研究单调性来确定导函数的正负．规范解答：(1)证明：f′(x)＝a x lna ＋2x －lna ＝2x ＋(a x －1)·lna.(2分)由于a>1，故当x ∈(0，＋∞)时，lna>0，a x－1>0，所以f′(x)>0. 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(4分)(2)解：当a>0，a≠1时，因为f′(0)＝0，且f′(x)在R 上单调递增，故f′(x)＝0有唯一解x ＝0.(6分)所以x 、f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示：x(－∞，0)(0，＋∞)f′(x)－＋f(x)极小值又函数y ＝|f(x)－t|－1有三个零点，所以方程f(x)＝t±1有三个根，而t ＋1>t －1，所以t －1＝f(x)min ＝f(0)＝1，解得t ＝2.(10分)(3)解：因为存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，所以当x ∈[－1，1]时，|f(x)max －f(x)min |＝f(x)max －f(x)min ≥e －1.(12分)由(2)知，f(x)在[－1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x ∈[－1，1]时，f(x)min ＝f(0)＝1，f(x)max ＝max{f(－1)，f(1)}．而f(1)－f(－1)＝(a ＋1－lna)－＝a －－2lna ，记g(t)＝t －－2lnt(t>0)，因为g′(t)＝1＋－＝≥0(当且仅当t ＝1时取等号)，所以g(t)＝t －－2lnt 在t ∈(0，＋∞)上单调递增，而g(1)＝0，所以当t>1时，g(t)>0；当0<t<1时，g(t)<0，也就是当a>1时，f(1)>f(－1)；当0<a<1时，f(1)<f(－1)．(14分) ①当a>1时，由f(1)－f(0)≥e －1a －lna≥e －1a≥e ， ②当0<a<1时，由f(－1)－f(0)≥e －1＋lna≥e －10＜a≤，综上知，所求a 的取值范围为∪[e ，＋∞)．(16分)7.已知函数f(x)＝lnx －ax 2＋(2－a)x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)设a>0，证明：当0<x<时，f>f；(3)若函数y ＝f(x)的图象与x 轴交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：＜0.【答案】（1）在上单调递增，在上是减函数（2）见解析（3）见解析【解析】(1)解：f(x)的定义域为(0，＋∞), f′(x)＝－2ax ＋(2－a)＝－.①若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数． ②若a>0，则由f′(x)＝0得x ＝，且当x ∈时，f′(x)>0，当x>时，f′(x)<0.所以f(x)在上单调递增，在上是减函数.(2)解：设函数g(x)＝f－f，则g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax ， g′(x)＝－2a ＝.当0<x<时，g′(x)>0，而g(0)＝0，所以g(x)>0. 故当0<x<时，f>f.(3)证明：由(1)可得，当a≤0时，函数y ＝f(x)的图象与x 轴至多有一个交点，故a>0，从而f(x)的最大值为f，且f>0.不妨设A(x 1，0)，B(x 2，0)，0<x 1<x 2，则0<x 1<<x 2.由(2)得f ＝f >f(x 1)＝0. 从而x 2>－x 1，于是x 0＝>.由(1)知，f′(x 0)<0。

全国高三高中数学专题试卷带答案解析

全国高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)，若f(2)>f(3)，则实数a 的取值范围是________．2.若幂函数y ＝f(x)的图象经过点，则f(25)＝________．3.函数f(x)＝ln是________(填“奇”或“偶”)函数．4.不等式lg(x －1)<1的解集为________.5.对于任意的x 1、x 2∈(0，＋∞)，若函数f(x)＝lgx ，则与f的大小关系是______________________.6.(1)设a>1，函数f(x)＝log a x 在区间[a ，2a]上的最大值与最小值之差是，则a ＝________； (2)若a ＝log 0.40.3，b ＝log 54，c ＝log 20.8，用小于号“<”将a 、b 、c 连结起来________； (3)设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x 的取值范围是________；(4)已知函数f(x)＝|log 2x|，正实数m 、n 满足m<n 且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m 2，n]上的最大值为2，则m 、n 的值分别为________.7.（1）设log a＜1，则实数a 的取值范围是________；（2）已知函数f(x)＝lg(x 2＋t)的值域为R ，则实数t 的取值范围是________；（3）若函数f(x)＝log a |x ＋1|在(－1，0)上有f(x)>0，则函数f(x)的单调减区间是________；（4）若函数f(x)＝(x 2－2ax ＋3)在(－∞，1]内为增函数，则实数a 的取值范围是________．8.已知函数f(x)＝log 2x －2log 2(x ＋c)，其中c>0，若对任意x ∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1，则c 的取值范围是________． 9.已知函数f(x)＝ln ＋1，则f(lg2)＋f ＝________．10.已知＋(0.5)－y <＋(0.5)x ，则实数x 、y 的关系为________．11.已知f(x)＝若对任意的x ∈R ，af 2(x)≥f(x)－1成立，则实数a 的最小值为________．12.若函数f(x)＝log 2|ax －1|(a ＞0)，当x≠时，有f(x)＝f(1－x)，则a ＝________．13.已知函数f(x)＝，x ∈[－1，8]，函数g(x)＝ax ＋2，x ∈[－1，8]，若存在x ∈[－1，8]，使f(x)＝g(x)成立，则实数a 的取值范围是________．14.已知函数f(x)＝|lgx|，若0<a<b ，且f(a)＝f(b)，则a ＋2b 的取值范围是________．二、解答题1.已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数． (1)求m 的值；(2)求满足不等式(a ＋1)－<(3－2a)－的实数a 的取值范围．2.已知幂函数y ＝f(x)经过点. (1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．3.已知函数f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(k ∈R)是偶函数． (1)求k 的值； (2)设g(x)＝log 4，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．4.已知函数f(x)＝lg(a x －b x )(a>1>b>0)． (1)求函数y ＝f(x)的定义域；(2)在函数y ＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x 轴； (3)当a 、b 满足什么关系时，f(x)在区间上恒取正值． 5.已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A 、B ，l 2与函数y＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C 、D.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b.当m 变化时，求的最小值．全国高三高中数学专题试卷答案及解析一、填空题1.已知函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)，若f(2)>f(3)，则实数a 的取值范围是________．【答案】(0，1)【解析】因为f(2)>f(3)，所以f(x)＝log a x 单调递减，则a ∈(0，1)．2.若幂函数y ＝f(x)的图象经过点，则f(25)＝________．【答案】【解析】设f(x)＝x α，则＝9α，∴α＝－，即f(x)＝x －，f(25)＝3.函数f(x)＝ln 是________(填“奇”或“偶”)函数．【答案】奇【解析】因为f(－x)＝ln＝ln＝－ln＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．4.不等式lg(x －1)<1的解集为________. 【答案】(1，11)【解析】由0<x －1<10，∴1<x<11.5.对于任意的x 1、x 2∈(0，＋∞)，若函数f(x)＝lgx ，则与f的大小关系是______________________. 【答案】≤f【解析】(解法1)作差运算； (解法2)寻找与f的几何意义，通过函数f(x)＝lgx 图象可得．6.(1)设a>1，函数f(x)＝log a x 在区间[a ，2a]上的最大值与最小值之差是，则a ＝________；(2)若a ＝log 0.40.3，b ＝log 54，c ＝log 20.8，用小于号“<”将a 、b 、c 连结起来________； (3)设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x 的取值范围是________；(4)已知函数f(x)＝|log 2x|，正实数m 、n 满足m<n 且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m 2，n]上的最大值为2，则m 、n 的值分别为________.【答案】(1)4(2)c ＜b ＜a(3)－1＜x ＜0(4)，2【解析】解析：(1)∵a>1，∴函数f(x)＝log a x 在区间[a ，2a]上是增函数，∴log a 2a －log a a ＝，∴a ＝4.(2)由于a>1，0<b<1，c<0，所以c<b<a. (3)由f(－x)＋f(x)＝0，得a ＝－1，则由lg<0，得解得－1<x<0.(4)结合函数f(x)＝|log 2x|的图象，易知0<m<1，n>1，且mn ＝1，所以f(m 2)＝|log 2m 2|＝2，解得m ＝，所以n＝2.7.（1）设log a＜1，则实数a 的取值范围是________；（2）已知函数f(x)＝lg(x 2＋t)的值域为R ，则实数t 的取值范围是________；（3）若函数f(x)＝log a |x ＋1|在(－1，0)上有f(x)>0，则函数f(x)的单调减区间是________；（4）若函数f(x)＝(x 2－2ax ＋3)在(－∞，1]内为增函数，则实数a 的取值范围是________．【答案】(1)0＜a ＜或a ＞1(2)a≤0(3)(－1，＋∞)(4)[1，2)【解析】(1)分a ＞1与a ＜1两种情形进行讨论． (2)值域为R 等价于x 2＋a 可以取一切正实数．(3)函数f(x)的图象是由y ＝log a |x|的图象向左平移1个单位得到，∴0<a<1. (4)令g(x)＝x 2－2ax ＋3，则解得1≤a<2.8.已知函数f(x)＝log 2x －2log 2(x ＋c)，其中c>0，若对任意x ∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1，则c 的取值范围是________．【答案】c≥【解析】由题意，在x ∈(0，＋∞)上恒成立，所以c≥9.已知函数f(x)＝ln ＋1，则f(lg2)＋f ＝________．【答案】2【解析】f(x)＋f(－x)＝ln(－3x)＋ln(＋3x)＋2＝ln(1＋9x 2－9x 2)＋2＝2，所以f(lg2)＋f ＝f(lg2)＋f(－lg2)＝2. 10.已知＋(0.5)－y <＋(0.5)x ，则实数x 、y 的关系为________．【答案】x ＋y<0 【解析】由＋(0.5)－y <＋(0.5)x ，得－(0.5)x <－(0.5)－y .设f(x)＝－(0.5)x ，则f(x)<f(－y)，由于0< 0.5<1，所以函数f(x)是R 上的增函数，所以x<－y ，即x ＋y<011.已知f(x)＝若对任意的x ∈R ，af 2(x)≥f(x)－1成立，则实数a 的最小值为________．【答案】【解析】易得x ∈R ，f(x)>0，由af 2(x)≥f(x)－1，得 a≥≤(当且仅当f(x)＝2时等号成立)，所以实数a 的最小值为.12.若函数f(x)＝log2|ax－1|(a＞0)，当x≠时，有f(x)＝f(1－x)，则a＝________．【答案】2【解析】由f(x)＝f(1－x)，知函数f(x)的图象关于x＝对称，而f(x)＝log2＋log2|a|，从而＝，所以a＝2.13.已知函数f(x)＝，x∈[－1，8]，函数g(x)＝ax＋2，x∈[－1，8]，若存在x∈[－1，8]，使f(x)＝g(x)成立，则实数a的取值范围是________．【答案】∪[1，＋∞)【解析】分别作出函数f(x)＝，x∈[－1，8]与函数g(x)＝ax＋2，x∈[－1，8]的图象．当直线经过点(－1，1)时，a＝1；当直线经过点(8，4)时，a＝.结合图象有a≤或a≥1.14.已知函数f(x)＝|lgx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是________．【答案】(3，＋∞)【解析】因为f(a)＝f(b)，即|lga|＝|lgb|，所以a＝b(舍去)或b＝，得a＋2b＝a＋.又0<a<b，所以0<a<1<b.令f(a)＝a＋，则f′(a)＝1－＜0，所以f(a)在a∈(0，1)上为减函数，得f(a)>f(1)＝1＋2＝3，即a＋2b的取值范围是(3，＋∞)．二、解答题1.已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数．(1)求m的值；(2)求满足不等式(a＋1)－<(3－2a)－的实数a的取值范围．【答案】（1）m＝1（2）a<－1或<a<【解析】(1)因为函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上是减函数，所以3m－9<0，所以m<3.因为m∈N*，所以m＝1或2.又函数图象关于y轴对称，所以3m－9是偶数，所以m＝1.(2)不等式(a＋1)－<(3－2a)－即为(a＋1)－<(3－2a)－.结合函数y＝x－的图象和性质知：a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a.解得a<－1或<a<，即实数a的取值范围是a<－1或<a<.2.已知幂函数y＝f(x)经过点.(1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．【答案】（1）f(x)＝x－3（2），【解析】(1)由题意，得f(2)＝2a＝a＝－3，故函数解析式为f(x)＝x－3.(2)定义域为∪，关于原点对称，因为f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，故该幂函数为奇函数．其单调减区间为，3.已知函数f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(k ∈R)是偶函数． (1)求k 的值； (2)设g(x)＝log 4，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）k ＝－.（2）{－3}∪(1，＋∞)．【解析】(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，∴log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx. log 4＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x ＋1)－x ＝log 4有且只有一个实根，化简得方程2x ＋＝a·2x －a 有且只有一个实根．令t ＝2x >0，则方程(a －1)t 2－at －1＝0有且只有一个正根．①a ＝1t ＝－，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a ＝或－3.若a ＝t ＝－2，不合题意，若a ＝－3t ＝；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即<0a>1.综上，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．4.已知函数f(x)＝lg(a x －b x )(a>1>b>0)． (1)求函数y ＝f(x)的定义域；(2)在函数y ＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x 轴； (3)当a 、b 满足什么关系时，f(x)在区间上恒取正值．【答案】（1）(0，＋∞)（2）不存在（3）a≥b ＋1 【解析】(1)由a x －b x >0，得x>1，因为a>1>b>0，所以>1，所以x>0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2)设x 1>x 2>0，因为a>1>b>0，所以ax 1>ax 2，bx 1<bx 2，则－bx 1>－bx 2，所以ax 1－bx 1>ax 2－bx 2>0，于是lg(ax 1－bx 1)>lg(ax 2－bx 2)，即f(x 1)>f(x 2)，因此函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．假设函数y ＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，使得直线AB 平行于x 轴，即x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f(x)是增函数矛盾．故函数y ＝f(x)的图象上不存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x 轴．(3)由(2)知，f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，所以当x ∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)，故只需f(1)≥0，即lg(a －b)≥0，即a －b≥1，所以当a≥b ＋1时，f(x)在区间(1，＋∞)上恒取正值．5.已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝，l 1与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点A 、B ，l 2与函数y ＝|log 2x|的图象从左至右相交于点C 、D.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a 、b.当m 变化时，求的最小值．【答案】8【解析】由题意得x A ＝m，x B ＝2m ，x C ＝，x D ＝，所以a ＝|x A －x C |＝，b ＝|x B－x D |＝，即＝＝·2m ＝2＋m.因为＋m ＝ (2m ＋1)＋－≥2－＝，当且仅当 (2m ＋1)＝，即m ＝时取等号．所以，的最小值为＝8.。

高三数学练习题及答案

高三数学练习题及答案高三数学练习题及答案高三是每个学生都经历过的一个重要阶段，这一年的学习任务十分繁重，尤其是数学科目。

数学是一门需要不断练习和掌握的学科，只有通过大量的练习，才能真正掌握其中的技巧和方法。

在这篇文章中，我将为大家提供一些高三数学练习题及答案，希望对同学们的学习有所帮助。

1. 题目：已知函数 f(x) = 2x^2 - 5x + 3，求函数 f(x) 的最小值。

解答：要求函数的最小值，可以通过求导数的方法来解决。

首先，求函数 f(x)的导数 f'(x)。

f'(x) = 4x - 5令 f'(x) = 0，解方程得 x = 5/4。

将 x = 5/4 代入原函数 f(x)，得到 f(5/4) = 2(5/4)^2 - 5(5/4) + 3 = 1/8。

所以，函数 f(x) 的最小值为 1/8。

2. 题目：已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn = 3n^2 - n，求该等差数列的通项公式。

解答：对于等差数列 {an}，其前 n 项和 Sn 可以表示为 Sn = n/2(2a1 + (n-1)d)，其中 a1 为首项，d 为公差。

根据题目中的信息，我们可以得到以下等式：3n^2 - n = n/2(2a1 + (n-1)d)化简得：6n^2 - 2n = 2a1n + nd - dn整理得：6n^2 - (2a1 + 3d)n + 2a1 = 0根据二次方程的求解公式，我们可以得到：n = [(2a1 + 3d) ± √((2a1 + 3d)^2 - 4(6)(2a1))]/(2(6))化简得：n = [(2a1 + 3d) ± √((2a1 + 3d)^2 - 48a1)]/12由于等差数列的项数必须为正整数，所以√((2a1 + 3d)^2 - 48a1) 必须为正整数。

令√((2a1 + 3d)^2 - 48a1) = k，其中 k 为正整数。

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1、函数与导数（1）2、三角函数与解三角形3、函数与导数（2）4、立体几何5、数列（1）6、应用题7、解析几何8、数列（2）9、矩阵与变换10、坐标系与参数方程11、空间向量与立体几何12、曲线与方程、抛物线13、计数原理与二项式分布14、随机变量及其概率分布15、数学归纳法高考压轴大题突破练(一)函数与导数(1)1．已知函数f (x )＝a e x x＋x . (1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值；(2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2， ∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1.∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y －(a e ＋1)＝x －1，又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1，解得a ＝－1e. (2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值．方法一当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0，则00000200201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ⎛ > +> -+ = ⎝①②③ 由③得0e x a ＝－x 20x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0>0，结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0e x a x ＋x 0>0，得a >－020e x x ，设h (x )＝－x 2e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x，当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数，∴a >h (x 0)>h (2)＝－4e 2.又a <0，故当极大值为正数时，a ∈⎝⎛⎭⎫－4e 2，0，从而不存在负整数a 满足条件．方法二当x ∈(1，＋∞)时，令H (x )＝a e x (x －1)＋x 2，则H ′(x )＝(a e x ＋2)x ，∵x ∈(1，＋∞)，∴e x ∈(e ，＋∞)，∵a 为负整数，∴a ≤－1，∴a e x ≤a e ≤－e ，∴a e x ＋2<0，∴H ′(x )<0，∴H (x )在(1，＋∞)上单调递减．又H (1)＝1>0，H (2)＝a e 2＋4≤－e 2＋4<0，∴∃x 0∈(1,2)，使得H (x 0)＝0，且当1<x <x 0时，H (x )>0，即f ′(x )>0；当x >x 0时，H (x )<0，即f ′(x )<0.∴f (x )在x 0处取得极大值f (x 0)＝0e x a x ＋x 0.(*) 又H (x 0)＝0e x a (x 0－1)＋x 20＝0， ∴00e x a x ＝－x 0x 0－1，代入(*)得f (x 0)＝－x 0x 0－1＋x 0＝x 0(x 0－2)x 0－1<0， ∴不存在负整数a 满足条件．2．已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a >0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )<g (x ). (1)求函数f (x )的极值；(2)若g (x )＝xf ′(x )，且∃x ∈[1,2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围．解 (1)∵函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，∴f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0或x 2＝2a， ∵a >0，∴x 1<x 2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (0)＝1，极小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝8a 2－12a 2＋1＝1－4a 2. (2)g (x )＝xf ′(x )＝3ax 3－6x 2，∵∃x ∈[1,2]，使h (x )＝f (x )，∴f (x )≥g (x )在[1,2]上有解，即ax 3－3x 2＋1≥3ax 3－6x 2在[1,2]上有解，即不等式2a ≤1x 3＋3x在[1,2]上有解，设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1x3(x ∈[1,2])， ∵y ′＝－3x 2－3x 4<0对x ∈[1,2]恒成立， ∴y ＝1x 3＋3x在[1,2]上单调递减， ∴当x ＝1时，y ＝1x 3＋3x的最大值为4， ∴2a ≤4，即a ≤2.高考中档大题规范练(一)三角函数与解三角形1．(2017·江苏宿迁中学质检)已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和值域；(2)若x ＝x 0⎝⎛⎭⎫0≤x 0≤π2为f (x )的一个零点，求sin 2x 0的值．解 (1)易得f (x )＝sin 2x ＋3sin 2x ＋12(sin 2x －cos 2x ) ＝1－cos 2x 2＋3sin 2x －12cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x ＋12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12，所以f (x )的最小正周期为π，值域为⎣⎡⎦⎤－32，52. (2)由f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＋12＝0，得 sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＝－14<0，又由0≤x 0≤π2，得－π6≤2x 0－π6≤5π6，所以－π6≤2x 0－π6<0，故cos ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＝154，此时sin 2x 0＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＋π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6sin π6＝－14×32＋154×12＝15－38. 2．(2017·江苏南通四模)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2，1，n ＝⎝⎛⎭⎫1，3cos x 2，函数f (x )＝m ·n . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝23，求f ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值．解 (1)f (x )＝m ·n ＝sin x 2＋3cos x 2＝2⎝⎛⎭⎫12sin x 2＋32cos x 2 ＝2⎝⎛⎭⎫sin x 2cos π3＋cos x 2sin π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π12＝4π. (2)由f ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝23，得2sin α2＝23，即sin α2＝13. 所以f ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝2cos α ＝2⎝⎛⎭⎫1－2sin 2α2＝149. 3．(2017·江苏南师大考前模拟)已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，n ＝(cos B ，sin B )，并且m ⊥n .(1)求A －B ； (2)若cos B ＝35，AC ＝8，求BC 的长．解 (1)因为m ⊥n ，所以m ·n ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3cos B ＋sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3sin B＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3－B ＝0. 因为0<A ，B <π2，所以－π6<A ＋π3－B <5π6，所以A ＋π3－B ＝π2，即A －B ＝π6. (2)因为cos B ＝35，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin B ＝45，所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝sin B cos π6＋cos B sin π6＝45×32＋35×12＝43＋310，由正弦定理可得BC ＝sin A sin B×AC ＝43＋3. 4．(2017·江苏镇江三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )(sin A ＋sin C )＝(b －3c )sin B .(1)求角A ；(2)若f (x )＝cos 2(x ＋A )－sin 2(x －A )，求f (x )的单调递增区间．解 (1)由(a －c )(sin A ＋sin C )＝(b －3c )sin B 及正弦定理，得(a －c )(a ＋c )＝(b －3c )b ，即a 2＝b 2＋c 2－3bc . 由余弦定理，得cos A ＝32，因为0<A <π，所以A ＝π6. (2)f (x )＝cos 2(x ＋A )－sin 2(x －A )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π32－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12cos 2x ，令π＋2k π≤2x ≤2π＋2k π，k ∈Z ，得π2＋k π≤x ≤π＋k π，k ∈Z . 则f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π2＋k π，π＋k π，k ∈Z .(二)函数与导数(2)1．设函数f (x )＝2(a ＋1)x (a ∈R )，g (x )＝ln x ＋bx (b ∈R )，直线y ＝x ＋1是曲线y ＝f (x )的一条切线．(1)求a 的值；(2)若函数y ＝f (x )－g (x )有两个极值点x 1，x 2.①试求b 的取值范围；②证明：g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤1e 2＋12. 解 (1)设直线y ＝x ＋1与函数y ＝f (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，y 0＝2(a ＋1)x 0，a ＋1x 0＝1，解得a ＝0. (2)记h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )＝2x －ln x －bx .①函数y ＝f (x )－g (x )有两个极值点的必要条件是h ′(x )有两个正零点．h ′(x )＝1x －1x－b ＝－bx ＋x －1x ，令h ′(x )＝0，得bx －x ＋1＝0(x >0)．令x ＝t ，则t >0.问题转化为bt 2－t ＋1＝0有两个不等的正实根t 1，t 2，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝1－4b >0，t 1t 2＝1b >0，t 1＋t 2＝1b >0，解得00；当x ∈(x 2，＋∞)时，h ′(x )<0. 所以x 1，x 2是h (x )＝f (x )－g (x )的极值点，∴b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，14. ②由①知x 1x 2＝x 1＋x 2＝1b.可得g (x 1)＋g (x 2)＝－2ln b ＋1b －2，f (x 1)＋f (x 2)＝2b，所以g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)＝12－b ln b －b . 记k (b )＝12－b ln b －b ⎝⎛⎭⎫00，k (b )单调递增；当b ∈⎝⎛⎭⎫1e 2，14时，k ′(b )<0，k (b )单调递减，且当b ＝1e 2时，k (b )取最大值1e 2＋12，所以g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤1e 2＋12. 2．设函数f (x )＝2ax ＋b x＋c ln x . (1)当b ＝0，c ＝1时，讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝3x ＋3a －6且函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2. ①求a 的取值范围；②求f (x 2)的取值范围．解 (1)f (x )＝2ax ＋b x＋c ln x ，x >0， f ′(x )＝2a －b x 2＋c x ＝2ax 2＋cx －b x 2. 当b ＝0，c ＝1时，f ′(x )＝2ax ＋1x. 当a ≥0时，由x >0，得f ′(x )＝2ax ＋1x>0恒成立，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <0时，令f ′(x )＝2ax ＋1x >0，解得x <－12a；令f ′(x )＝2ax ＋1x <0，解得x >－12a，所以，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减．综上所述，①当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a <0时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)①函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝3x ＋3a －6，所以f (1)＝2a ＋b ＝3a －3，f ′(1)＝2a ＋c －b ＝3，所以b ＝a －3，c ＝－a ，f ′(x )＝2a －b x 2＋c x ＝2ax 2－ax ＋3－a x 2，函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2，则方程2ax 2－ax ＋3－a ＝0有两个大于0的解，⎩⎨⎧ Δ＝(－a )2－8a (3－a )>0，a 2a >0，3－a 2a >0，解得83<a <3. 所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫83，3.②2ax 22－ax 2＋3－a ＝0，x 2＝a ＋9a 2－24a 4a ＝14⎝⎛⎭⎫1＋ 9－24a ，由83<a <3，得x 2∈⎝⎛⎭⎫14，12，由2ax 22－ax 2＋3－a ＝0，得a ＝－32x 22－x 2－1. f (x 2)＝2ax 2＋a －3x 2－a ln x 2 ＝a ⎝⎛⎭⎫2x 2＋1x 2－ln x 2－3x 2＝－32x 2＋1x 2－ln x 22x 22－x 2－1－3x 2. 设φ(t )＝－32t ＋1t －ln t 2t 2－t －1－3t ，t ∈⎝⎛⎭⎫14，12， φ′(t )＝－3⎝⎛⎭⎫2－1t 2－1t (2t 2－t －1)－⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2＋3t2 ＝－31t 2(2t 2－t －1)2＋3⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2＋3t 2＝3⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2. 当t ∈⎝⎛⎭⎫14，12时，2t ＋1t－ln t >0,4t －1>0，φ′(t )>0，所以φ(t )在⎝⎛⎭⎫14，12上单调递增，φ(t )∈⎝⎛⎭⎫163ln 2，3＋3ln 2，所以f (x 2)的取值范围是⎝⎛⎭⎫163ln 2，3＋3ln 2. (二)立体几何1．(2017·江苏扬州调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，CD ∥AB ，AB ＝2CD ，AC 交BD 于O ，锐角△P AD 所在平面⊥底面ABCD ，P A ⊥BD ，点Q 在侧棱PC 上，且PQ ＝2QC .求证：(1)P A ∥平面QBD ；(2)BD ⊥AD .证明 (1)如图，连结OQ ，因为AB∥CD，AB＝2CD，所以AO＝2OC.又PQ＝2QC，所以P A∥OQ.又OQ⊂平面QBD，P A⊄平面QBD，所以P A∥平面QBD.(2)在平面P AD内过P作PH⊥AD于点H，因为侧面P AD⊥底面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PH⊂平面P AD，所以PH⊥平面ABCD.又BD⊂平面ABCD，所以PH⊥BD.又P A⊥BD，P A∩PH＝P，所以BD⊥平面P AD.又AD⊂平面P AD，所以BD⊥AD.2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO的中点．(1)若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；(2)若AB＝2PC，求证：CG⊥平面PBD.证明(1)连结OE，由四边形ABCD是正方形知，O为BD的中点，因为PD∥平面ACE，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝OE，所以PD∥OE.因为O为BD的中点，所以E为PB的中点．(2)在四棱锥P－ABCD中，AB＝2PC，因为四边形ABCD是正方形，所以OC＝22AB，所以PC＝OC.因为G为PO的中点，所以CG⊥PO.又因为PC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PC⊥BD.而四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为AC，PC⊂平面P AC，AC∩PC＝C，所以BD⊥平面P AC，因为CG⊂平面P AC，所以BD⊥CG.因为PO，BD⊂平面PBD，PO∩BD＝O，所以CG⊥平面PBD.3．(2017·江苏怀仁中学模拟)如图，在四棱锥E－ABCD中，△ABD为正三角形，EB＝ED，CB＝CD.(1)求证：EC⊥BD；(2)若AB⊥BC，M，N分别为线段AE，AB的中点，求证：平面DMN∥平面BCE.证明(1)取BD的中点O，连结EO，CO.∵CD＝CB，EB＝ED，∴CO⊥BD，EO⊥BD.又CO∩EO＝O，CO，EO⊂平面EOC，∴BD⊥平面EOC.又EC⊂平面EOC，∴BD⊥EC.(2)∵N是AB的中点，△ABD为正三角形，∴DN⊥AB，∵BC⊥AB，∴DN∥BC.又BC⊂平面BCE，DN⊄平面BCE，∴DN∥平面BCE.∵M为AE的中点，N为AB的中点，∴MN∥BE，又MN⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，∴MN∥平面BCE.∵MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面BCE.4．(2017·江苏楚水中学质检)如图，在三棱锥P－ABC中，点E，F分别是棱PC，AC的中点．(1)求证：P A∥平面BEF；(2)若平面P AB⊥平面ABC，PB⊥BC，求证：BC⊥P A.证明(1)在△P AC中，E，F分别是棱PC，AC的中点，所以P A∥EF.又P A⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，所以P A∥平面BEF.(2)在平面P AB内过点P作PD⊥AB，垂足为D.因为平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，PD ⊂平面P AB ，所以PD ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BC ，又PB ⊥BC ，PD ∩PB ＝P ，PD ⊂平面P AB ，PB ⊂平面P AB ，所以BC ⊥平面P AB ，又P A ⊂平面P AB ，所以BC ⊥P A .(三)数列(1)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝4，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知c n ＝2n ＋3(n ∈N *)，记d n ＝c n ＋log C a n (C >0且C ≠1)，是否存在这样的常数C ，使得数列{d n }是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由．(3)若数列{b n }，对于任意的正整数n ，均有b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n a 1＝⎝⎛⎭⎫12n －n ＋22成立，求证：数列{b n }是等差数列． (1)解 a 1＝4－a 1，所以a 1＝2，由S n ＋a n ＝4，得当n ≥2时，S n －1＋a n －1＝4，两式相减，得2a n ＝a n －1，所以a n a n －1＝12，数列{a n }是以2为首项，公比为12的等比数列，所以a n ＝22－n (n ∈N *)． (2)解由于数列{d n }是常数列， d n ＝c n ＋log C a n ＝2n ＋3＋(2－n )log C 2 ＝2n ＋3＋2log C 2－n log C 2＝(2－log C 2)n ＋3＋2log C 2为常数，则2－log C 2＝0，解得C ＝2，此时d n ＝7.(3)证明 b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n a 1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －n ＋22，①当n ＝1时，b 1a 1＝12－32＝－1，其中a 1＝2，所以b 1＝－12.当n ≥2时，b 1a n －1＋b 2a n －2＋b 3a n －3＋…＋b n －1a 1＝⎝⎛⎭⎫12n －1－n ＋12，② ②式两边同时乘以12，得b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n －1a 2＝⎝⎛⎭⎫12n －n ＋14，③ 由①－③，得b n a 1＝－n －34，所以b n ＝－n 8－38(n ∈N *，n ≥2)，且b n ＋1－b n ＝－18，又b 1＝－12＝－18－38，所以数列{b n }是以－12为首项，公差为－18的等差数列．2．在数列{a n }中，已知a 1＝13，a n ＋1＝13a n －23n ＋1，n ∈N *，设S n 为{a n }的前n 项和．(1)求证：数列{3n a n }是等差数列； (2)求S n ；(3)是否存在正整数p ，q ，r (p <q <r )，使S p ，S q ，S r 成等差数列？若存在，求出p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由．(1)证明因为a n ＋1＝13a n －23n ＋1，所以3n ＋1a n ＋1－3n a n ＝－2. 又因为a 1＝13，所以31·a 1＝1，所以{3n a n }是首项为1，公差为－2的等差数列． (2)解由(1)知3n a n ＝1＋(n －1)·(－2)＝3－2n ，所以a n ＝(3－2n )⎝⎛⎭⎫13n，所以S n ＝1·⎝⎛⎭⎫131＋(－1)·⎝⎛⎭⎫132＋(－3)·⎝⎛⎭⎫133＋…＋(3－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ，所以13S n ＝1·⎝⎛⎭⎫132＋(－1)·⎝⎛⎭⎫133＋…＋(5－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ＋(3－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ＋1，两式相减，得23S n ＝13－2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫133＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －(3－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝13－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤19×1－⎝⎛⎭⎫13n －11－13＋(2n －3)·⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝2n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1，所以S n ＝n 3n .(3)解假设存在正整数p ，q ，r (p <q <r )，使S p ，S q ，S r 成等差数列，则2S q ＝S p ＋S r ，即2q3q ＝p 3p ＋r 3r. 当n ≥2时，a n ＝(3－2n )⎝⎛⎭⎫13n<0，所以数列{S n }单调递减．又p <q ，所以p ≤q －1且q 至少为2，所以p 3p ≥q －13q －1，q －13q －1－2q 3q ＝q －33q .①当q ≥3时，p 3p ≥q －13q －1≥2q 3q ，又r 3r >0，所以p 3p ＋r 3r >2q3q ，等式不成立． ②当q ＝2时，p ＝1，所以49＝13＋r 3r ，所以r 3r ＝19，所以r ＝3({S n }单调递减，解惟一确定)．综上可知，p ，q ，r 的值为1,2,3.(三)应用题1．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内(含7天)，无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．(1)当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P 是多少元？(2)设该厂x 天购买一次配料，求该厂在这x 天中用于配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？解 (1)当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用 P ＝70＋0.03×200×(1＋2)＝88(元)．(2)①当x ≤7时，y ＝360x ＋10x ＋236＝370x ＋236，②当x >7时，y ＝360x ＋236＋70＋6[(x －7)＋(x －6)＋…＋2＋1]＝3x 2＋321x ＋432，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧370x ＋236，x ≤7，3x 2＋321x ＋432，x >7，∴设该厂x 天购买一次配料平均每天支付的费用为f (x )元．f (x )＝⎩⎨⎧370x ＋236x，x ≤7，3x 2＋321x ＋432x，x >7.当x ≤7时，f (x )＝370＋236x ，当且仅当x ＝7时，f (x )有最小值2 8267≈404(元)；当x ＞7时，f (x )＝3x 2＋321x ＋432x ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋144x ＋321≥393.当且仅当x ＝12时取等号．∵393<404，∴当x ＝12时f (x )有最小值393元．2．南半球某地区冰川的体积每年中随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年的数据，冰川的体积(亿立方米)关于t 的近似函数的关系式为V (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 3＋11t 2－24t ＋100，0<t ≤10，4(t －10)(3t －41)＋100，10<t ≤12.(1)该冰川的体积小于100亿立方米的时期称为衰退期．以i －1<t 0，解得t <3或t >8.又0<t ≤10，故0<t <3或8<t ≤10，当10<t ≤12时，V (t )＝4(t －10)(3t －41)＋100<100，解得10<t <413，又10<t ≤12，故10<t ≤12.综上得0<t <3或8<t ≤12.所以衰退期为1月，2月，3月，9月，10月，11月，12月共7个月． (2)由(1)知，V (t )的最大值只能在(3,9)内取到．由V ′(t )＝(－t 3＋11t 2－24t ＋100)′＝－3t 2＋22t －24，令V ′(t )＝0，解得t ＝6或t ＝43(舍去)．当t 变化时，V ′(t )与V (t )的变化情况如下表：由上表，V (t )在t ＝6时取得最大值V (6)＝136(亿立方米)．故该冰川的最大体积为136亿立方米．3．如图，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的OB .位于该市的某大学M 与市中心O 的距离OM ＝313 km ，且∠AOM ＝β.现要修筑一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，且经过大学M .其中tan α＝2，cos β＝313，AO ＝15 km.(1)求大学M 与站A 的距离AM ； (2)求铁路AB 段的长AB .解 (1)在△AOM 中，AO ＝15，∠AOM ＝β且cos β＝313，OM ＝313，由余弦定理，得AM 2＝OA 2＋OM 2－2OA ·OM ·cos ∠AOM ＝152＋(313)2－2×15×313×313＝13×9＋15×15－2×3×15×3＝72.∴AM ＝62，即大学M 与站A 的距离(2)∵cos β＝313，且β为锐角，∴sin β＝213，在△AOM 中，由正弦定理，得AM sin β＝OMsin ∠MAO ，即62213＝313sin ∠MAO ，sin ∠MAO ＝22， ∴∠MAO ＝π4，∴∠ABO ＝α－π4，∵tan α＝2，∴sin α＝25，cos α＝15， ∴sin ∠ABO ＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝110，又∠AOB ＝π－α，∴sin ∠AOB ＝sin(π－α)＝25. 在△AOB 中，OA ＝15，由正弦定理，得 AB sin ∠AOB ＝OA sin ∠ABO，即AB 25＝15110，∴AB ＝302，即铁路AB 段的长为30 2 km.4．(2017·江苏苏州大学指导卷)如图，某地区有一块长方形植物园ABCD ，AB ＝8(百米)，BC ＝4(百米)．植物园西侧有一块荒地，现计划利用该荒地扩大植物园面积，使得新的植物园为HBCEFG ，满足下列要求：E 在CD 的延长线上，H 在BA 的延长线上，DE ＝0.5(百米)，AH ＝4(百米)，N 为AH 的中点，FN ⊥AH ，EF 为曲线段，它上面的任意一点到AD 与AH 的距离的乘积为定值，FG ，GH 均为线段，GH ⊥HA ，GH ＝0.5(百米)．(1)求四边形FGHN 的面积；(2)已知音乐广场M 在AB 上，AM ＝2(百米)，若计划在EFG 的某一处P 开一个植物园大门，在原植物园ABCD 内选一点Q 为中心建一个休息区，使得QM ＝PM ，且∠QMP ＝90°，问点P 在何处时，AQ 最小．解 (1)以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示．则E ⎝⎛⎭⎫－12，4，因为E 到AD 与AH 距离的乘积为2，所以曲线EF 上的任意一点都在函数y ＝－2x 的图象上．由题意，N (－2,0)，所以F (－2,1)．四边形FGHN 的面积为12×⎝⎛⎭⎫12＋1×2＝32(平方百米)． (2)设P (x ，y )，则MP →＝(x －2，y )，MQ →＝(y ，－x ＋2)，AQ →＝(y ＋2，－x ＋2)，因为点Q 在原植物园内，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤y ＋2≤8，0≤2－x ≤4，即－2≤x ≤2.又点P 在曲线EFG 上，x ∈⎣⎡⎦⎤－4，－12，所以－2≤x ≤－12，则点P 在曲线段EF 上，AQ ＝(y ＋2)2＋(2－x )2，因为y ＝－2x ，所以AQ ＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋22＋(2－x )2＝ x 2＋4x 2－4x －8x＋8＝⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2－4⎝⎛⎭⎫x ＋2x ＋4＝⎝⎛⎭⎫x ＋2x －22＝－x ＋2－x＋2≥22＋2. 当且仅当－x ＝－2x，即x ＝－2时等号成立．此时点P (－2，2)，即点P 在距离AD 与AH 均为2百米时，AQ 最小．(四)解析几何1．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1x 2≠0)，O 是坐标原点，P 是线段AB 的中点，若C 是点A 关于原点的对称点，Q 是线段BC 的中点，且OP ＝OQ ，设圆P 的方程为x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0.(1)证明：线段AB 是圆P 的直径；(2)若存在正数p 使得2p (x 1＋x 2)＝y 21＋y 22＋8p 2＋2y 1y 2成立，当圆P 的圆心到直线x －2y ＝0的距离的最小值为255时，求p 的值．(1)证明由题意知，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，点A (x 1，y 1)关于原点的对称点为C (－x 1，－y 1)，那么点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫－x 1＋x 22，－y 1＋y 22，由OP ＝OQ ，得OP 2＝OQ 2，即⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋⎝⎛⎭⎫y 1＋y 222＝⎝⎛⎭⎫－x 1＋x 222＋⎝⎛⎭⎫－y 1＋y 222，得(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，从而x 1x 2＋y 1y 2＝0，由此得OA ⊥OB ，由方程x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0知，圆P 过原点，且点A ，B 在圆P 上，故线段AB 是圆P 的直径．(2)解由2p (x 1＋x 2)＝y 21＋y 22＋8p 2＋2y 1y 2，得x 1＋x 2＝12p [(y 1＋y 2)2＋8p 2]，又圆心P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22到直线x －2y ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪x 1＋x 22－(y 1＋y 2)5＝⎪⎪⎪⎪14p [(y 1＋y 2)2＋8p 2]－(y 1＋y 2)5＝[(y 1＋y 2)－2p ]2＋4p 245p ≥4p 245p，当且仅当y 1＋y 2＝2p 时，等号成立，所以4p 245p ＝255，从而得p ＝2.2.如图，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，O 是坐标原点，OF ＝5，过点F 作OF 的垂线交椭圆C 于P 0，Q 0两点，△OP 0Q 0的面积为453.(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点M (－5，0)的直线l 与上、下半椭圆分别交于点P ，Q ，且PM ＝2MQ ，求直线l 的方程．解 (1)由题设条件，P 0F ＝00OP Q S OF∆＝4535＝43.易知P 0F ＝b 2a ，所以b 2a ＝43.又c ＝OF ＝5，即a 2－b 2＝5，因此a 2－43a －5＝0，解得a ＝3或a ＝－53，又a >0，所以a ＝3，从而b ＝2. 故所求椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意y 1>0，y 2<0，并可设直线l ：x ＝ty －5，代入椭圆方程得(ty －5)29＋y 24＝1，即(4t 2＋9)y 2－85ty －16＝0. 从而y 1＋y 2＝85t 4t 2＋9，y 1y 2＝－164t 2＋9.又由PM ＝2MQ ，得y 1－y 2＝PMMQ＝2，即y 1＝－2y 2.因此y 1＋y 2＝－y 2，y 1y 2＝－2y 22，故－164t 2＋9＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 4t 2＋92，可解得t 2＝14.注意到y 2＝－85t 4t 2＋9且y 2<0，知t >0，因此t ＝12.故满足题意的直线l 的方程为2x －y ＋25＝0.3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线l ：y ＝－12x 与椭圆E 相交于A ，B 两点，AB ＝210，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 的两点，且直线AC ，BD 相交于点P ，直线AD ，BC 相交于点Q .(1)求椭圆E 的标准方程； (2)求证：直线PQ 的斜率为定值． (1)解因为e ＝c a ＝32，所以c 2＝34a 2，即a 2－b 2＝34a 2，所以a ＝2b .所以椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.由题意不妨设点A 在第二象限，点B 在第四象限，由⎩⎨⎧y ＝－12x ，x 24b 2＋y2b 2＝1，得A (－2b ，22b )．又AB ＝210，所以OA ＝10，则2b 2＋12b 2＝52b 2＝10，得b ＝2，a ＝4.所以椭圆E 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(2)证明由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1，A (－22，2)，B (22，－2)．①当直线CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在，且不为零时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2，C (x 0，y 0)，显然k 1≠k 2.从而k 1·k CB ＝y 0－2x 0＋22·y 0＋2x 0－22＝y 20－2x 20－8＝4⎝⎛⎭⎫1－x 2016－2x 20－8＝2－x 204x 20－8＝－14，所以k CB ＝－14k 1.同理k DB ＝－14k 2.所以直线AD 的方程为y －2＝k 2(x ＋22)，直线BC 的方程为y ＋2＝－14k 1(x －22)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝－14k 1(x －22)，y －2＝k 2(x ＋22)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1，y ＝2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1，从而点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1，2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1.用k 2代替k 1，k 1代替k 2得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22(－4k 1k 2－4k 2＋1)4k 1k 2＋1，2(－4k 1k 2＋4k 1＋1)4k 1k 2＋1.所以k PQ ＝2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1－2(－4k 1k 2＋4k 1＋1)4k 1k 2＋122(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1－22(－4k 1k 2－4k 2＋1)4k 1k 2＋1＝42(k 2－k 1)82(k 2－k 1)＝12.即直线PQ 的斜率为定值，其定值为12.②当直线CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，由题意得，至多有一条直线的斜率不存在，不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C (－22，－2)．设DA 的斜率为k ，由①知，k DB ＝－14k.因为直线CA ：x ＝－22，直线DB ：y ＋2＝－14k (x －22)，得P ⎝⎛⎭⎫－22，－2＋2k . 又直线BC ：y ＝－2，直线AD ：y －2＝k (x ＋22)，得Q ⎝⎛⎭⎫－22－22k ，－2，所以k PQ ＝12.由①②可知，直线PQ 的斜率为定值，其定值为12.4．(2017·江苏预测卷)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，右准线的方程为x ＝433.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P ⎝⎛⎭⎫12，2，过x 轴上的一个定点M 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若三条直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列，求点M 的坐标．解 (1)因为椭圆的离心率为32，右准线的方程为x ＝433，所以e ＝c a ＝32，a 2c ＝433，则a ＝2，c ＝3，b ＝1，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m,0)，当直线l 为y ＝0时，A (－2,0)，B (2,0)， P A ，PM ，PB 的斜率分别为 k P A ＝45，k PM ＝41－2m，k PB ＝－43，因为直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列，所以81－2m ＝45－43，m ＝8.证明如下：当M (8,0)时，直线P A ，PM ，PB 的斜率构成等差数列，设AB ：y ＝k (x －8)，代入椭圆方程x 2＋4y 2－4＝0，得x 2＋4k 2(x －8)2－4＝0，即(1＋4k 2)x 2－64k 2x ＋256k 2－4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝64k 21＋4k 2，x 1x 2＝256k 2－41＋4k 2，又k PM ＝0－28－12＝－415，所以k P A ＋k PB ＝y 1－2x 1－12＋y 2－2x 2－12＝kx 1－8k －2x 1－12＋kx 2－8k －2x 2－12＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－12＋1x 2－12 ＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －2(x 1＋x 2)－1x 1x 2－12(x 1＋x 2)＋14＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －264k 21＋4k 2－1256k 2－41＋4k 2－12×64k 21＋4k 2＋14＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －260k 2－1154(60k 2－1)＝－815＝2k PM ，即证． (四)数列(2)1．已知{a n }，{b n }，{c n }都是各项不为零的数列，且满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝c n S n ，n ∈N *，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，{c n }是公差为d (d ≠0)的等差数列． (1)若数列{a n }是常数列，d ＝2，c 2＝3，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＝λn (λ是不为零的常数)，求证：数列{b n }是等差数列；(3)若a 1＝c 1＝d ＝k (k 为常数，k ∈N *)，b n ＝c n ＋k (n ≥2，n ∈N *)，求证：对任意的n ≥2，n ∈N *，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 单调递减．(1)解因为d ＝2，c 2＝3，所以c n ＝2n －1. 因为数列{a n }是各项不为零的常数列，所以a 1＝a 2＝…＝a n ，S n ＝na 1.则由c n S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 及c n ＝2n －1，得 n (2n －1)＝b 1＋b 2＋…＋b n ，当n ≥2时，(n －1)(2n －3)＝b 1＋b 2＋…＋b n －1，两式相减得b n ＝4n －3.当n ＝1时，b 1＝1也满足b n ＝4n －3. 故b n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)证明因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝c n S n ，当n ≥2时，c n －1S n －1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1，两式相减得c n S n －c n －1S n －1＝a n b n ，即(S n －1＋a n )c n －S n －1c n －1＝a n b n ， S n －1(c n －c n －1)＋a n c n ＝a n b n ，所以S n －1d ＋λnc n ＝λnb n .又S n －1＝λ＋λ(n －1)2(n －1)＝λn (n －1)2，所以λn (n －1)2d ＋λnc n ＝λnb n ，即(n －1)2d ＋c n ＝b n ，(*) 所以当n ≥3时，(n －2)2d ＋c n －1＝b n －1，两式相减得b n －b n －1＝32d (n ≥3)，所以数列{b n }从第二项起是公差为32d 的等差数列．又当n ＝1时，由c 1S 1＝a 1b 1，得c 1＝b 1. 当n ＝2时，由(*)得b 2＝(2－1)2d ＋c 2＝12d ＋(c 1＋d )＝b 1＋32d ，得b 2－b 1＝32d .故数列{b n }是公差为32d 的等差数列．(3)证明由(2)得当n ≥2时，S n －1(c n －c n －1)＋a n c n ＝a n b n ，即S n －1d ＝a n (b n －c n )．因为b n ＝c n ＋k ，所以b n ＝c n ＋kd ，即b n －c n ＝kd ，所以S n －1d ＝a n ·kd ，即S n －1＝ka n ，所以S n ＝S n －1＋a n ＝(k ＋1)a n . 当n ≥3时，S n －1＝(k ＋1)a n －1，两式相减得a n ＝(k ＋1)a n －(k ＋1)a n －1，即a n ＝k ＋1k a n －1，故从第二项起数列{a n }是等比数列，所以当n ≥2时，a n ＝a 2⎝⎛⎭⎫k ＋1k n －2，b n ＝c n ＋k ＝c n ＋kd ＝c 1＋(n －1)k ＋k 2＝k ＋(n －1)k ＋k 2＝k (n ＋k )，另外由已知条件得(a 1＋a 2)c 2＝a 1b 1＋a 2b 2. 又c 2＝2k ，b 1＝k ，b 2＝k (2＋k )，所以a 2＝1，因而a n ＝⎝⎛⎭⎫k ＋1k n －2.令d n ＝b na n ，则d n ＋1d n ＝b n ＋1a n a n ＋1b n ＝(n ＋k ＋1)k (n ＋k )(k ＋1).因为(n ＋k ＋1)k －(n ＋k )(k ＋1)＝－n <0，所以d n ＋1d n<1，所以对任意的n ≥2，n ∈N *，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 单调递减．2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a 2＝2，设b n ＝a n ＋a n ＋1，c n ＝a n ·a n ＋1(n ∈N *)． (1)若数列{b 2n －1}是公比为3的等比数列，求S 2n ； (2)若数列{b n }是公差为3的等差数列，求S n ；(3)是否存在这样的数列{a n }，使得{b n }成等差数列和{c n }成等比数列同时成立，若存在，求出{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由．解 (1)b 1＝a 1＋a 2＝1＋2＝3，S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 3＋…＋b 2n －1＝3(1－3n )1－3＝3n ＋1－32.(2)∵b n ＋1－b n ＝a n ＋2－a n ＝3，∴{a 2k －1}，{a 2k }均是公差为3的等差数列，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·3＝3k －2，a 2k ＝a 2＋(k －1)·3＝3k －1，当n ＝2k (k ∈N *)时，S n ＝S 2k ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2k －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2k )＝k (1＋3k －2)2＋k (2＋3k －1)2＝3k 2＝3n 24；当n ＝2k －1(k ∈N *)时，Sn ＝S 2k －1＝S 2k －a 2k ＝3k 2－3k ＋1＝3×⎝⎛⎭⎫n ＋122－3·n ＋12＋1＝3n 2＋14.综上可知，S n＝⎩⎨⎧3n 24，n ＝2k ，k ∈N *，3n 2＋14，n ＝2k －1，k ∈N *.(3)∵{b n }成等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，即2(a 2＋a 3)＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)，a 2＋a 3＝a 1＋a 4，① ∵{c n }成等比数列，∴c 22＝c 1c 3. 即(a 2a 3)2＝(a 1a 2)·(a 3a 4)， ∵c 2＝a 2a 3≠0，∴a 2a 3＝a 1a 4，②由①②及a 1＝1，a 2＝2，得a 3＝1，a 4＝2，设{b n }的公差为d ，则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝d ，即a n ＋2－a n ＝d ，即数列{a n }的奇数项和偶数项都构成公差为d 的等差数列，又d ＝a 3－a 1＝a 4－a 2＝0， ∴数列{a n }＝1,2,1,2,1,2，…，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝2k －1，k ∈N *，2，n ＝2k ，k ∈N *.此时c n ＝2，{c n }是公比为1的等比数列，满足题意．∴存在数列{a n }，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝2k －1，k ∈N *，2，n ＝2k ，k ∈N *，使得{b n }成等差数列和{c n }成等比数列同时成立．高考附加题加分练 1.矩阵与变换1．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 0，点A (1,0)在矩阵M 对应的变换作用下变为A ′(1,2)，求矩阵M 的逆矩阵M －1. 解 ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， ∴a ＝1，b ＝2.∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 120，∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 121 －12.2．(2017·江苏徐州一中检测)已知曲线C ：y 2＝12x ，在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程．解设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0，设P (x ′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上对应的点为P (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y ′ x ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ′，y ＝x ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ，y ′＝－12x .又点P (x ′，y ′)在曲线C ：y 2＝12x 上，∴⎝⎛⎭⎫－12x 2＝12y ，即x 2＝2y .3．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22x 的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．解矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4.因为λ1＝3是方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1. 由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1. 设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，得x ＝－y . 令x ＝1，则y ＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.4．(2017·江苏江阴中学质检)若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．解 M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.由M －1M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，得M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－10. 2.坐标系与参数方程1．(2017·江苏兴化中学调研)已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－1，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，判断两曲线的位置关系．解将曲线C 1，C 2化为直角坐标方程，得 C 1：x ＋3y ＋2＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，即C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝2. 圆心到直线的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝∴曲线C 1与C 2相离．2．(2017·江苏金坛一中期中)已知在极坐标系下，圆C ：ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2与直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，点M 为圆C 上的动点，求点M 到直线l 的距离的最大值．解圆C 化为直角坐标方程，得x 2＋(y ＋1)2＝1. 直线l 化为直角坐标方程，得x ＋y ＝2. 圆心C 到直线l 的距离d ＝|－1－2|2＝322，所以点M 到直线l 的距离的最大值为1＋322.3．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t ，y ＝－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝m ＋2sin θ(θ为参数)相交于A ，B 两点，m 为常数． (1)当m ＝0时，求线段AB 的长；(2)当圆C 上恰有三点到直线的距离为1时，求m 的值．解 (1)直线l ：x ＋y －1＝0，曲线C ：x 2＋y 2＝4，圆心到直线的距离d ＝12，故AB ＝2r 2－d 2＝14.(2)圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －m )2＝4，直线l ：x ＋y －1＝0，由题意，知圆心到直线的距离d ＝|m －1|2＝1，∴m ＝1± 2.4．(2017·江苏昆山中学质检)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝3，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝1＋t(t 为参数，t ∈R )．试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大．解曲线C 的普通方程是x 23＋y 2＝1，直线l 的普通方程是x ＋3y －3＝0.设点M 的直角坐标是(3cos θ，sin θ)，则点M 到直线l 的距离是d ＝|3cos θ＋3sin θ－3|2＝3⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－12.因为－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤2，所以当sin ⎝⎛⎭⎫ θ＋π4＝－1，即θ＝2k π－3π4(k ∈Z )时，d 取得最大值．此时3cos θ＝－62，sin θ＝－22. 设点M 的极角为φ，则⎩⎨⎧ρcos φ＝－62，ρsin φ＝－22，所以⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，φ＝7π6. 综上，当点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，7π6时，该点到直线l 的距离最大． 3.空间向量与立体几何1．(2017·江苏南通中学月考)如图，已知三棱锥O －ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝OC ＝2，E 是OC 的中点．(1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； (2)求二面角A －BE －C 的正弦值．解 (1)以O 为原点，分别以OB ，OC ，OA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，E (0,1,0)． EB →＝(2，－1,0)，AC →＝(0,2，－1)， ∴cos 〈EB →，AC →〉＝－25，即异面直线BE 与AC 所成角的余弦值为25.(2)AB →＝(2,0，－1)，AE →＝(0,1，－1)，设平面ABE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则由n 1⊥AB →，n 1⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝0，y －z ＝0，取n 1＝(1,2,2)，平面BEC 的法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23，∴二面角A －BE －C 的余弦值cos θ＝23，∴sin θ＝53，即二面角A －BE －C 的正弦值为53.2．(2017·江苏宜兴中学质检)三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3，D 是BC 的中点．(1)求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2)求二面角B 1－A 1D －C 1的正弦值．解 (1)由题意知，B (2,0,0)，C (0,4,0)，D (1,2,0)，A 1(0,0,3)，B 1(2,0,3)，C 1(0,4,3)，则A 1D →＝(1,2，－3)，A 1C 1→＝(0,4,0)，DB 1→＝(1，－2,3)．设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．由n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0，得y ＝0，x ＝3z ，令z ＝1，得x ＝3，n ＝(3,0,1)．设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈DB 1→，n 〉|＝|3＋3|10×14＝33535.(2)设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )，A 1B 1→＝(2,0,0)．由m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0，得a ＝0,2b ＝3c ，令c ＝2，得b ＝3，m ＝(0,3,2)．设二面角B 1－A 1D －C 1的大小为α， |cos α|＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝265， sin α＝3765＝345565.所以二面角B 1－A 1D －C 13．(2017·江苏运河中学质检)PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ADC ＝π2，AB ＝AD ＝PD ＝1，CD ＝2.设Q 为侧棱PC 上一点，PQ →＝λPC →.试确定λ的值，使得二面角Q －BD －P 为π4.解因为侧面PCD ⊥底面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，PD ⊥CD ，所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，又∠ADC ＝π2，故DA ，DC ，DP 两两互相垂直．如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,2,0)，P (0,0,1)，则平面PBD 的一个法向量为n ＝(－1,1,0)，PC →＝(0,2，－1)，PQ →＝λPC →，λ∈(0,1)，所以Q (0,2λ，1－λ)．设平面QBD 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )，由m ·BD →＝0，m ·DQ →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，2λb ＋(1－λ)c ＝0，所以取b ＝1，得m ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，2λλ－1，所以cos π4＝|m ·n ||m ||n |，即22·2＋⎝⎛⎭⎫2λλ－12＝22. 注意到λ∈(0,1)，解得λ＝2－1.4．在三棱锥S －ABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 是AC 的中点，侧棱SB 和底面成45°角．(1)若D 为棱SB 上一点，当SDDB为何值时，CD ⊥AB ； (2)求二面角S －BC －A 的余弦值的大小．解以O 点为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系．由题意知∠SBO ＝45°，SO ＝3.。

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