人教版2016-2017年八年级上期中数学试卷含答案

八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．因式分解x2﹣9的结果是（）
A．（x+9）（x﹣9）B．（x+3）（x﹣3）C．（3+x）（3﹣x）D．（x﹣3）2
2．有一组数据如下：3，5，4，6，7，那么这组数据的方差是（）
A．10 B． C．2 D．
3．对与实数，﹣π，，3.1415，0.333…，2.010101…（相邻两个1之间0的个数逐个加1），其中无理数的个数是（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
4．对与3+的运算结果的估计正确的是（）
A．1＜3+＜2 B．2＜3+＜3 C．3＜3+＜4 D．4＜3+＜5
5．下列说法正确的是（）
A．﹣4是16的平方根B．的算术平方根是4
C．0没有算术平方根D．2的平方根是
6．直角三角形两边长分别是3、4，则这个直角三角形的第三边是（）
A．5 B．C．5或D．无法确定
7．适合下列条件的△ABC的三边a、b、c，不能组成直角三角形的是（）
A．a=3，b=3，c=3 B．a=7，b=24，c=25
C．a=8，b=15，c=17 D．a=，b=，c=
8．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（）
A．B．C．D．
9．若实数x、y满足+（y+3）2=0，则x+y的值为（）
A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7
10．如表是某地区某月份的气温数据表，这组数据的中位数和众数分别是（）
A．21；21 B．21；21.5 C．21；22 D．22；22
11．对于a2﹣2ab+b2﹣c2的分组中，分组正确的是（）
A．（a2﹣c2）+（﹣2ab+b2）B．（a2﹣2ab+b2）﹣c2
C．a2+（﹣2ab+b2﹣c2）D．（a2+b2）+（﹣2ab﹣c2）
12．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a、b、c满足a4﹣b4=a2c2﹣b2c2，则△ABC一定是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．某同学在对关于x的二次三项式x2+3x﹣10分解因式时，正确的分解成了（x﹣b）（x﹣2），则b= ．
14．若二次三项式x2+（m﹣2）x+9是关于x的一个完全平方式，则m= ．
15．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为3，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是．
16．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是4、6、3、4，则最大正方形E的面积是．
17．在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，则△ABC的面积为．
18．若a、b、c为△ABC的三边，且a、b、c满足a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，则△ABC的最长边的高的长度等于．
三、解答题
19．（16分）计算化简
（1）﹣
（2）﹣（﹣2+）
（3）×﹣5
（4）（）2．
20．将下列各多项式因式分解
（1）15a2+5a
（2）x5﹣x3
（3）a3b﹣4a2b2+4ab3
（4）1﹣x2﹣y2+x2y2．
21．已知：x=，y=，
①x+y；②xy；③x2+y2；④（x2+x+2）（y2+y﹣2）
22．根据平方根、立方根的定义解下列方程
①x2=9；
②（x﹣2）2=4；
③（2x+1）2=12；
④（x+1）3=﹣2．
23．如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，以CD为直径作半圆O，AB=4cm，BC=3cm，AD=13cm．求图中阴影部分的面积：
24．已知网格中每个小正方形的边长是1，在网格中作△ABC，使得AB=，BC=，CA=，．
并求S
△ABC
25．探究题：
．
（1）在正△ABC中（图1），AB=2，AD⊥BC于D，求S
△ABC
（2）在正△AB
1C
1
中（图2），B
1
C
1
=2，AB
2
⊥B
1
C
1
于B
2
，以AB
2
为边作正△AB
2
C
2
，AC
1
、B
2
C
2
交于B
3
，
以AB
3为边作正△AB
3
C
3
，依此类推．
①写出第n个正三角形的周长；（用含n的代数式表示）
②写出第n个正三角形的面积．（用含n的代数式表示）
26．在正方形ABCD中，AB=4，E为BC的中点，F在CD上，DF=3CF，连结AF、AE、EF．（1）如图1，求出△AEF的三条边的长度；
（2）判断△AEF的形状；并说明理由；
（3）探究S
△ECF +S
△ABE
与S
△AEF
的关系，并说明理由；
（4）如图2，作EG⊥AF于G，
①试求出FG、AG、EG的长度；
②试探究EG2与FG×AG的关系？并说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．因式分解x 2﹣9的结果是（ ）
A ．（x+9）（x ﹣9）
B ．（x+3）（x ﹣3）
C ．（3+x ）（3﹣x ）
D ．（x ﹣3）2 【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：x 2﹣9=（x+3）（x ﹣3）． 故选：B ．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
2．有一组数据如下：3，5，4，6，7，那么这组数据的方差是（ ）
A ．10
B ．
C ．2
D ．
【考点】方差．
【分析】先由平均数的公式计算出x 的值，再根据方差的公式计算． 【解答】解： =（3+5+4+6=7）=5，
S 2= [（3﹣5）2+（5﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]=2， 故选：C ．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为，则方差S 2= [（x 1﹣）2+（x 2﹣）2+…+（x n ﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 3．对与实数
，﹣π，
，3.1415，0.333…，2.010101…（相邻两个1之间0的个数逐个加1），
其中无理数的个数是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【考点】无理数．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：﹣π，，2.010101…（相邻两个1之间0的个数逐个加1）是无理数，
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
4．对与3+的运算结果的估计正确的是（）
A．1＜3+＜2 B．2＜3+＜3 C．3＜3+＜4 D．4＜3+＜5
【考点】估算无理数的大小．
【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得的范围，根据不等式的性质1，可得答案．【解答】解：由被开方数越大算术平方根越大，得
1＜2，
3+1＜3+＜2+3，
故选：D．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出的范围是解题关键．
5．下列说法正确的是（）
A．﹣4是16的平方根B．的算术平方根是4
C．0没有算术平方根D．2的平方根是
【考点】算术平方根；平方根．
【分析】依据平方根和算术平方根的性质求解即可．
【解答】解：A、﹣4是16的平方根，故A正确；
B、=4，4的算术平方根是2，故B错误；
C、0的算术平方根是0，故C错误；
D、2的平方根是±．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是算术平方根和平方根，掌握相关定义和性质是解题的关键．
6．直角三角形两边长分别是3、4，则这个直角三角形的第三边是（）
A．5 B．C．5或D．无法确定
【考点】勾股定理．
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：
第三边的长为： =；
②长为3、4的边都是直角边时：
第三边的长为： =5；
综上，第三边的长为：5或．
故选C．
【点评】此题主要考查的是勾股定理，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．
7．适合下列条件的△ABC的三边a、b、c，不能组成直角三角形的是（）
A．a=3，b=3，c=3 B．a=7，b=24，c=25
C．a=8，b=15，c=17 D．a=，b=，c=
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据直角三角形的判定，符合a2+b2=c2即可；反之不符合的不能构成直角三角形．
【解答】解：A、因为32+32=（3）2，所以能组成直角三角形；
B、因为72+242=252，所以能组成直角三角形；
C、因为82+152=172，所以能组成直角三角形；
D、因为（）2+（）2≠（）2，所以不能组成直角三角形；
故选D．
【点评】本题考查了直角三角形的判定，运用勾股定理的逆定理判定是解答此题的关键．
8．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（）
A．B．C．D．
【考点】实数与数轴．
【分析】设点C表示的数是x，然后根据中点公式列式求解即可．
【解答】解：设点C表示的数是x，
∵A，B两点表示的数分别为﹣1和，C，B两点关于点A对称，
∴=﹣1，
解得x=﹣2﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了实数与数轴，根据点B、C关于点A对称列出等式是解题的关键．
9．若实数x、y满足+（y+3）2=0，则x+y的值为（）
A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
【分析】根据非负数的性质列方程求出x、y的值，然后相加计算即可得解．
【解答】解：∵ +（y+3）2=0，
∴=0，（y+3）2=0，
∴x+y﹣1=0，y+3=0，
解得x=4，y=﹣3，
故x+y=4+（﹣3）=1．
故选A．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．10．如表是某地区某月份的气温数据表，这组数据的中位数和众数分别是（）
A．21；21 B．21；21.5 C．21；22 D．22；22
【考点】众数；中位数．
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：把这些数从小到大排列为，最中间的数是第15、16个数的平均数，
则中位数是： =22；
∵22出现了8次，出现的次数最多，
∴众数在22．
故选D．
【点评】此题考查了中位数和众数；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
11．对于a2﹣2ab+b2﹣c2的分组中，分组正确的是（）
A．（a2﹣c2）+（﹣2ab+b2）B．（a2﹣2ab+b2）﹣c2
C．a2+（﹣2ab+b2﹣c2）D．（a2+b2）+（﹣2ab﹣c2）
【考点】因式分解-分组分解法．
【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题a2﹣2ab+b2是完全平方，再可利用平方差公式分解．
【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣c2=（a2﹣2ab+b2）﹣c2=（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）．
故选B．
【点评】本题考查了分组分解法分解因式．注意难点是采用两两分组还是三一分组．
12．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a、b、c满足a4﹣b4=a2c2﹣b2c2，则△ABC一定是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【考点】因式分解的应用．
【分析】将等式右边的移项到方程左边，然后提取公因式将方程左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个数为0转化为两个等式；根据等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形或等腰三角形．
【解答】解：∵a4﹣b4=a2c2﹣b2c2，
∴a4﹣b4﹣a2c2+b2c2=0，
∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）=0，
∴（a2﹣b2）[（a2+b2）﹣c2]=0，
则当a2﹣b2=0时，a=b；当a2﹣b2≠0时，a2+b2=c2；
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．
故选D．
【点评】此题考查因式分解和勾股定理逆定理的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．某同学在对关于x的二次三项式x2+3x﹣10分解因式时，正确的分解成了（x﹣b）（x﹣2），则b= ﹣5 ．
【考点】因式分解-十字相乘法等．
【分析】由题意二次三项式x2+3x﹣10分解因式的结果为（x﹣2）（x﹣b），将整式（x﹣b）（x﹣2）相乘，然后根据系数相等求出b．
【解答】解：∵关于x的二次三项式x2+3x﹣10分解因式的结果为（x﹣b）（x﹣2），
∴（x﹣b）（x﹣2）=x2﹣（b+2）x+2b=x2+3x﹣10，
∴2b=﹣10，
∴b=﹣5．
故答案为﹣5．
【点评】本题考查了因式分解的意义，紧扣因式分解的定义，是一道基础题．
14．若二次三项式x2+（m﹣2）x+9是关于x的一个完全平方式，则m= 8或﹣4 ．
【考点】完全平方式．
【专题】计算题；整式．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【解答】解：∵二次三项式x2+（m﹣2）x+9是关于x的一个完全平方式，
∴m﹣2=±6，
解得：m=8或﹣4．
故答案为：8或﹣4．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为3，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬
行到C点，则小虫爬行的最短路程是4．
【考点】平面展开-最短路径问题．
【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出．
【解答】解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．
∵AB=π•=4，CB=4．
∴AC==4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
16．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是4、6、3、4，则最大正方形E的面积是17 ．
【考点】勾股定理．
【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，由此即可解决问题．
【解答】解：如图记图中两个正方形分别为P、Q．
根据勾股定理得到：C与D的面积的和是Q的面积；A与B的面积的和是P的面积；而P，Q的面积的和是E的面积，
即A、B、C、D的面积之和为E的面积，
∴正方形E的面积=4+6+3+4=17，
故答案为：17．
【点评】本题考查了勾股定理的应用．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．
17．在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，则△ABC的面积为48 ．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【分析】作底边上的高，构造直角三角形．运用等腰三角形性质及三角形的面积公式求解．
【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，则BD=BC=6．
在Rt△ABD，
∵AD2=AB2﹣BD2，
∴AD=8，
∴△ABC的面积=BC•AD=×12×8=48．
故答案为：48．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
18．若a、b、c为△ABC的三边，且a、b、c满足a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，则△ABC的最长边的高的长度等于 4.8 ．
【考点】因式分解的应用．
【分析】根据a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，可以求得a、b、c的值，从而可以判断△ABC的形状，从而可以求得最长边上的高．
【解答】解：∵a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，
∴a2+b2+c2+200﹣12a﹣16b﹣20c=0，
∴（a﹣6）2+（b﹣8）2+（c﹣10）2=0，
∴a﹣6=0，b﹣8=0，c﹣10=0，
解得，a=6，b=8，c=10，
∵62+82=102，
∴△ABC是直角三角形，
∴斜边上的高是： =4.8，
故答案为：4.8．
【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要．
三、解答题
19．计算化简
（1）﹣
（2）﹣（﹣2+）
（3）×﹣5
（4）（）2．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简求出答案；
（2）直接利用二次根式的性质化简，进而合并求出答案；
（3）直接利用二次根式的乘法运算法则化简，进而求出答案；
（4）直接利用二次根式乘法运算法则化简求出答案．
【解答】解：（1）﹣=2﹣5=﹣3；
（2）﹣（﹣2+）
=3﹣（4﹣8+3）
=﹣7+11；
（3）×﹣5
=6﹣5
=1；
（4）（）2
=
=1+．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
20．将下列各多项式因式分解
（1）15a2+5a
（2）x5﹣x3
（3）a3b﹣4a2b2+4ab3
（4）1﹣x2﹣y2+x2y2．
【考点】因式分解-分组分解法；提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】（1）此多项式有公因式，应提取公因式5a，然后再整理即可．
（2）先提取公因式x3，再利用平方差公式继续进行因式分解．
（3）先提取公因式ab，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
（4）用分组分解法，前两项一组，后两项一组，提取公因式，两组之间提取提取公因式，再用平方差公式分解，即可．
【解答】解：（1）原式=5a（3a+1）；
（2）原式=x3（x2﹣1）=x3（x+1）（x﹣1）；
（3）原式=ab（a2﹣4ab+4b2）=ab（a﹣2b）2．
（4）原式=（1﹣x2）﹣（y2﹣x2y2）=（1﹣x2）﹣y2（1﹣x2）=（1﹣x2）（1﹣y2）=（1+x）（1﹣x）（1+y）（1﹣y）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．（4）用分组分解法，分组是解本小题的难点．
21．已知：x=，y=，
①x+y；②xy；③x2+y2；④（x2+x+2）（y2+y﹣2）
【考点】二次根式的化简求值．
【分析】①根据二次根式的乘法法则计算；
②根据平方差公式计算；
③根据完全平方公式把原式变形，代入计算；
④把已知数据代入，根据二次根式的混合运算法则计算．
【解答】解：①x+y=+=﹣1；
②xy=×=﹣2；
③x2+y2=（x+y）2﹣2xy=1+4=5；
④（x2+x+2）（y2+y﹣2）=（++2）（+﹣2）=3×（﹣1）=﹣3．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
22．根据平方根、立方根的定义解下列方程
①x2=9；
②（x﹣2）2=4；
③（2x+1）2=12；
④（x+1）3=﹣2．
【考点】立方根；平方根．
【分析】根据平方根、立方根，即可解答．
【解答】解：①x2=9
x=±3，
②（x﹣2）2=4
x﹣2=±2
x=4或0．
③（2x+1）2=12
（2x+1）2=36
2x+1=±6
x=或﹣．
④（x+1）3=﹣2
（x+1）3=﹣8
x+1=﹣2
x=﹣3．
【点评】本题考查了平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义．
23．如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，以CD为直径作半圆O，AB=4cm，BC=3cm，AD=13cm．求图中阴影部分的面积：
【考点】扇形面积的计算．
【专题】计算题．
【分析】要求阴影部分的面积，只需求CD，由于AD已知，只需求AC即可．
【解答】解：∵AB⊥BC，AB=4，BC=3，
∴AC=5．
∵AC⊥CD，AC=5，AD=13，
∴CD=12，
=π×（）2=18π，
∴S
阴影
∴阴影部分的面积为18πcm2．
【点评】本题主要考查了勾股定理、扇形的面积公式等知识，属于基础题．
24．已知网格中每个小正方形的边长是1，在网格中作△ABC，使得AB=，BC=，CA=，．
并求S
△ABC
【考点】勾股定理．
【专题】作图题．
【分析】直接利用勾股定理结合网格得出A，B，C的位置，进而利用△ABC所在矩形减去周围三角形面积求出答案．
【解答】解：如图所示：S
△ABC
=12﹣×1×3﹣×1×4﹣×2×3=5.5．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确得出A，B，C的位置是解题关键．25．探究题：
（1）在正△ABC中（图1），AB=2，AD⊥BC于D，求S
△ABC
．
（2）在正△AB
1C
1
中（图2），B
1
C
1
=2，AB
2
⊥B
1
C
1
于B
2
，以AB
2
为边作正△AB
2
C
2
，AC
1
、B
2
C
2
交于B
3
，
以AB
3为边作正△AB
3
C
3
，依此类推．
①写出第n个正三角形的周长；（用含n的代数式表示）
②写出第n个正三角形的面积．（用含n的代数式表示）
【考点】等边三角形的性质．
【分析】（1）由AD为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到D为BC的中点，求出BD的长，利用勾股定理求出AD的长，进而求出S，
（2）根据（1）同理求出C
2、S
2
，C
3
、S
3
依此类推，得到C
n
、S
n
．
【解答】解：（1）在正△ABC 中，AB=2，AD ⊥BC 于D ，
∴BD=1，
∴AD==，
∴S △ABC =BC •AD=×=
； （2）由（1）可知AB 2=
，
∴C 1=3×2×（
）0，
S 1=×2×2×；
∵等边三角形AB 2C 2的边长为
，AB 3⊥B 2C 2， ∴AB 3=，
∴C 2=2×3×（）1，S 2=×2××2××=×22×（）3，
∵等边三角形AB 3C 3的边长为，AB 4⊥B 3C 3，
∴AB 4=，
∴C 3=3×2×（）2，S 3=×2×
××2×××=×22×（）5 依此类推，C n =6（
）n ﹣1
S n =2（）2n ﹣1．
故第n 个正三角形的周长为6（
）n ﹣1，第n 个正三角形的面积是2（）2n ﹣1． 【点评】此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．
26．在正方形ABCD 中，AB=4，E 为BC 的中点，F 在CD 上，DF=3CF ，连结AF 、AE 、EF ．
（1）如图1，求出△AEF 的三条边的长度；
（2）判断△AEF 的形状；并说明理由；
（3）探究S
△ECF +S
△ABE
与S
△AEF
的关系，并说明理由；
（4）如图2，作EG⊥AF于G，
①试求出FG、AG、EG的长度；
②试探究EG2与FG×AG的关系？并说明理由．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）先求得EC、FC、DF、BE、AD的长，然后依据勾股定理可求得EF、EB、AE的长；（2）由勾股定理的逆定理可证明△EFA为直角三角形；
（3）依据三角形的面积公式分别求得△AEF、△ECF、△ABE的面积，从而可得出问题的答案；
（4）①依据三角形的面积公式可知S
△AEF
=AF•GE=5，从而可求得EG的长，然后再依据勾股定理可求得FG的长，然后可得到AG的长；②求得EG2、GF•AG的结果，从而可得到它们之间的关系．【解答】解：（1）∵ABCD为正方形，AB=4，
∴AB=BC=DC=AD=4．
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=2．
∵CD=4，DF=3CF，
∴FC=1，DF=3．
依据勾股定理可知：EF==，AE==2，AF==5．
（2）∵AF2=25，EF2=5，AE2=20，
∴AF 2=EF 2+AE 2．
∴△AEF 为直角三角形．
（3）S △AEF =S △ECF +S △ABE ．
理由：∵S △ECF =FC •CE=×1×2=1，S △ABE =AB •BE=×4×2=4，S △AEF =EF •AE=×
×2=5，
∴S △AEF =S △ECF +S △ABE ．
（4）①∵S △AEF =AF •GE=5，
∴×5×EG=5．
∴EG=2．
在△EFG 中，由勾股定理可知：FG=
==1． AG=AF ﹣GF=5﹣1=4．
②∵EG 2=22=4，GF •AG=1×4=4，
∴EG 2=GF •AG ．
【点评】本题主要考查的是正方形的性质、勾股定理的应用、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式的应用，依据勾股定理的逆定理判断出△AEF 为直角三角形是解题的关键．。