2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测：(十三) 算法、推理与证明 Word版含解析

课时跟踪检测（十三） 算法、推理与证明
1．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n 边形的内角和是(n －2)·180°(n ∈N *，且n ≥3)．
A ．①②
B ．①③④
C ．①②④
D ．②④
解析：选C ①是类比推理；②④是归纳推理， ∴①②④都是合情推理．
2.(2017·山东高考)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次
输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为( )
A ．0,0
B ．1,1
C ．0,1
D ．1,0
解析：选D 当输入x ＝7时，b ＝2，因为b 2>x 不成立且x 不能被b 整除，故b ＝3，这时b 2>x 成立，故a ＝1，输出a 的值为1.
当输入x ＝9时，b ＝2，因为b 2>x 不成立且x 不能被b 整除，故b ＝3，这时b 2>x 不成立且x 能被b 整除，故a ＝0，输出a 的值为0.
3.(2017·惠州模拟)执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( ) A ．7 B ．9 C ．10
D ．11
解析：选B 法一：i ＝1，S ＝lg 13＝－lg 3＞－1；i ＝3，S ＝lg 13＋lg 35＝lg
1
5＝－lg 5＞－1；i ＝5，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17＝－lg 7＞－1；i ＝7，S ＝lg 17＋lg 7
9＝
lg 19＝－lg 9＞－1；i ＝9，S ＝lg 19＋lg 911＝lg 1
11
＝－lg 11＜－1，故输出的i ＝9. 法二：因为S ＝lg 13＋lg 35＋…＋lg i i ＋2＝lg 1－lg 3＋lg 3－lg 5＋…＋lg i －lg(i ＋2)＝－lg(i
＋2)，当i ＝9时，S ＝－lg(9＋2)＜－lg 10＝－1，所以输出的i ＝9.
4．通过圆与球的类比，由结论“半径为r 的圆的内接四边形中，正方形的面积最大，最大值为2r 2”猜想关于球的相应结论为“半径为R 的球的内接六面体中，______”．( )
A ．长方体的体积最大，最大值为2R 3
B ．正方体的体积最大，最大值为3R 3
C ．长方体的体积最大，最大值为43R 3
9
D ．正方体的体积最大，最大值为83R 3
9
解析：选D 类比可知半径为R 的球的内接六面体中，正方体的体积最大，设其棱长为a ，正方体体对角线的长度等于球的直径，即3a ＝2R ，得a ＝2R 3
，体积V ＝a 3
＝83R 39.
5．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎪⎨⎪
⎧
3，5，
33
＝⎩⎪⎨⎪
⎧
7，
9，11，
43
＝⎩⎪⎨⎪⎧
13，
15，17，
19，
……，若m 3的“分裂”中有一个数是2 017，则m ＝( )
A ．44
B ．45
C ．46
D ．47
解析：选B 由题意不难找出规律，23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，……，m 增加1，累加的奇数个数便多1，易得2 017是第1 009个奇数，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋2＋3＋…＋(m －1)＜1 009，
1＋2＋3＋…＋(m －1)＋m ≥1 009， 得⎩⎨⎧
m (m －1)2＜1 009，m (m ＋1)
2≥1 009，
又m ∈N *，所以m ＝45.
6．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝
⎛⎭⎫
b n ＝
a 1＋a 2＋…＋a n n
也为等差数列．类比这一性质，可知若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )
A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n
n B ．d n ＝
c 1·c 2·…·c n
n C ．d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c n
n
n
D ．d n ＝
n
c 1·c 2·…·c n
解析：选D 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴b n ＝a 1＋n －1
2d
＝d 2n ＋a 1－d 2
，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)
＝
c n 1·
q 12
－n n ()
，∴d n ＝(c 1·c 2·…·c n )1
n
＝c 1·q
12
－n ，即{d n }为等比数列，故选D.
7．(2018届高三·湖北八校二联)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
解析：选D 根据题意，6名选手比赛结果甲、乙、丙、丁猜测如下表：
由表知，只有丁猜对了比赛结果，故选D.
8．在平面几何中，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝1
2(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，若四面体A -BCD 的四个面
的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为R ，则四面体的体积为( )
A.1
3
(S 1＋S 2＋S 3)R B.1
4(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R 2 C.1
3
(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R 2 D.1
3
(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R 解析：选D 三角形面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径，二维图形中的12类比为三维图形中的1
3，从而得出
结论．所以V A -BCD ＝1
3
(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R . 9．(2017·成都模拟)对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33
＋33＝55，如此反复操作，则第2 017次操作后得到的数是( )
A ．25
B ．250
C ．55
D ．133
解析：选D 由规定：第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，…，故操作得到的数值周期出现，且周期为3.又2 017＝3×672＋1，相当于操作了1次，故选D.
10．定义运算a ⊗b 为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则⎝⎛⎭⎫2cos 5π3⊗⎝⎛⎭⎫2tan 5π
4的值为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．－1
解析：选A 由程序框图可知，S ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
a (a －
b )，a ≥b ，b (a ＋1)，a <b ，
因为2cos 5π3＝1,2tan 5π
4＝2,1<2，
所以⎝⎛⎭⎫2cos 5π3⊗⎝⎛⎭⎫2tan 5π
4＝2(1＋1)＝4.
11．(2018届高三·西安八校联考)如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 014＋12 016的值的
程序框图，其中判断框内应填入的是( )
A ．i ≤2 014?
B ．i ≤2 016?
C ．i ≤2 018?
D ．i ≤2 020?
解析：选B 依题意得，S ＝0，i ＝2；S ＝0＋12，i ＝4；…；S ＝0＋12＋14＋…＋12 014＋1
2 016，
i ＝2 018，输出的S ＝12＋14＋16＋…＋12 014＋1
2 016，所以题中的判断框内应填入的是“i ≤2
016”．
12．(2018届高三·武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
解析：选B 由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．
13．(2018届高三·安溪三校联考)已知点A (x 1，ax 1)，B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x (a >1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论
a 1
x ＋a 2
x 2
>a
12+2
x x 成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)
是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上任意不同两点，则类似地有________成立．
解析：对于函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上任意不同的两点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的下方，
类比可知应有sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22成立．
答案：
sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22
14．(2017·合肥模拟)观察下列等式： S 1＝12n 2＋1
2n ，
S 2＝13n 3＋12n 2＋16n ，
S 3＝14n 4＋12n 3＋1
4n 2，
S 4＝15n 5＋12n 4＋13n 3－1
30n ，
S 5＝An 6＋12n 5＋5
12n 4＋Bn 2，
…
可以推测，A －B ＝________.
解析：由S 1，S 2，S 3，S 4，S 5的特征，推测A ＝16.又S k 的各项系数的和为1，∴A ＋1
2
＋
512＋B ＝1，∴B ＝－112.故推测A －B ＝16＋112＝14
. 答案：1
4
15．(2017·江西师大附中期末考试)对于集合{a 1，a 2，…，a n }和常数a 0，定义： ω＝sin 2(a 1－a 0)＋sin 2(a 2－a 0)＋…＋sin 2(a n －a 0)n
为集合{a 1，a 2，…，a n }相对a 0的“正弦方差”，则集合⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”为________．
解析：由题意，得集合⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
π2，5π6，7π6相对a 0的“正弦方差”为ω＝
sin 2⎝⎛⎭⎫π2－a 0＋sin 2⎝⎛⎭⎫5π6－a 0＋sin 2⎝⎛⎭
⎫7π
6－a 03
.
即3ω＝cos 2a 0＋1－cos ⎝⎛⎭⎫5π3－2a 02＋1－cos ⎝⎛⎭
⎫7π
3－2a 02
，
所以6ω＝2cos 2a 0＋1－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2a 0＋1－cos π3－2a 0，即6ω＝2cos 2a 0＋2－2cos π
3cos 2a 0， 所以6ω＝2cos 2a 0＋2－(2cos 2a 0－1)，于是ω＝1
2.
答案：1
2
16．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为________．
解析：S ＝sin
1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＋sin 4×π3＋sin 5×π3＋sin 6×π
3
＋…＋sin 2 017×π3＝sin 1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＋sin 4×π3＋sin 5×π3＋sin 6×π
3×336＋sin 1×π3＝32
. 答案：32。