【新课改专版】2020年高考数学一轮复习课时练20《任意角的三角函数》附答案解析

【新课改专版】2020年高考数学一轮复习课时精练20.任意角和弧度制、任意角的三角函数
[A 级基础题——基稳才能楼高]
1．2弧度的角所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．点P (cos 2019°，sin 2019°)所在的象限是()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知角α的终边与单位圆交于点－
32，－
1
2，则sin α的值为(
)
A．－32B．－
1
2C.32 D.124．半径为1cm，圆心角为150°的角所对的弧长为()
A.23cm
B.2π3cm
C.56cm
D.5π6
cm 5．(2018·四川石室中学期中)已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α
＝(
)
A．－15 B.
3715C.3720 D.1315
[B 级保分题——准做快做达标]1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．(2019·南昌二中模拟)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于(
)
A．sin 2B．－sin 2C．cos 2D．－cos 23．已知角α＝2k π－
π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ
|cos θ|
＋
tan θ
|tan θ|
的值为()
A．1B．－1C．3D．－3
4．(2019·长春模拟)已知α，β是第一象限角，且sin α>sin β，则()
A．α>βB．α<βC．cos α>cos βD．tan α>tan β
5．(2019·洛阳阶段性测试)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的
非负半轴上，终边经过点P (3,4)，则sin α－
2019π2＝()
A．－45B．－35C.35 D.
456．(2018·莆田二十四中月考)一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧
度数是()
A．1B．2C．3D．4
7．终边在坐标轴上的角的集合是()A．{φ|φ＝k ·360°，k ∈Z}B．{φ|φ＝k ·180°，k ∈Z}C．{φ|φ＝k ·90°，k ∈Z}
D．{φ|φ＝k ·180°＋90°，k ∈Z}8．若角α的终边与角π
6
的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________________.
9．若角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，则sin θ＋cos θ等于________．
10．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．
11．(2019·齐齐哈尔八中月考)已知角α的顶点在坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，终边上有一点P (3a,4a )，其中a ≠0，求sin α，cos α，tan α.
12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．
(1)若点B 的横坐标为－4
5
，求tan α的值；
(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3)若α∈
0，23π
，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．
解析
20.任意角和弧度制、任意角的三角函数
[A 级基础题——基稳才能楼高]
1．2弧度的角所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解析：选B ∵π
2
<2<π，∴2弧度的角在第二象限．
2．点P (cos 2019°，sin 2019°)所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解析：选C 2019°＝5×360°＋219°，即角2019°与角219°的终边相同，219°＝180°＋39°，所以角219°在第三象限，即角2019°也在第三象限．所以cos 2019°<0，sin 2019°<0，所以点P 在第三象限．
3．已知角α的终边与单位圆交于点－32，－
12，则sin α的值为()
A．－32B．－
1
2C.32 D.12
解析：选B 根据三角函数的定义，角α的终边与单位圆交点的纵坐标为角α的正弦值．4．半径为1cm，圆心角为150°的角所对的弧长为()A.23cm B.2π3cm C.56cm D.5π6
cm 解析：选D ∵α＝150°＝56πrad，∴l ＝α·r ＝5
6
πcm.
5．(2018·四川石室中学期中)已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1
cos α
＝()
A．－15 B.
3715C.3720 D.1315
解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1
cos α
＝
－45＋53＝13
15
.故选D.[B 级保分题——准做快做达标]
1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解析：选B 因为点P (tan α，cos α)在第三象限，所以
tan α<0，
cos α<0，
所以α为第二象限角．
2．(2019·南昌二中模拟)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于(
)
A．sin 2B．－sin 2C．cos 2D．－cos 2
解析：选D 因为r ＝2sin 22＋－2cos 22
＝2，由任意角的三角函数的定义，得sin α
＝y
r
＝－cos 2.3．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|
＋tan θ
|tan θ|
的值为(
)
A．1B．－1C．3
D．－3
解析：选B 由α＝2k π－π
5
(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角
α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.
4．(2019·长春模拟)已知α，β是第一象限角，且sin α>sin β，则()A．α>βB．α<βC．cos α>cos βD．tan α>tan β
解析：选D 因为α，β是第一象限角，所以sin α>0，sin β>0，又sin α>sin β，所以
sin 2α>sin 2β>0，所以1－cos 2α>1－cos 2β，所以cos 2α<cos 2β，所以1cos 2α>1
cos 2β
>0，所以
tan 2α>tan 2
β，因为tan α>0，tan β>0，所以tan α>tan β.故选D.
5．(2019·洛阳阶段性测试)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的
非负半轴上，终边经过点P (3,4)，则sin α－
2019π2＝()
A．－45B．－
35C.35 D.45
解析：选C ∵角α的终边经过点P (3,4)，∴sin α＝45，cos α＝3
5
.∴sin α－2019π2＝sin α
－2020π2＋π2＝sin α＋π2＝cos α＝35
.故选C.
6．(2018·莆田二十四中月考)一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是()
A．1B．2C．3D．4
解析：选C 设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R .由题意得θR ＝6，12
θR 2＝6.
解得θ＝3，即扇
形的圆心角的弧度数是3.故选C.
7．终边在坐标轴上的角的集合是()A．{φ|φ＝k ·360°，k ∈Z}B．{φ|φ＝k ·180°，k ∈Z}
C．{φ|φ＝k ·90°，k ∈Z}
D．{φ|φ＝k ·180°＋90°，k ∈Z}
解析：选C 令k ＝4m ，k ＝4m ＋1，k ＝4m ＋2，k ＝4m ＋3，k ，m ∈Z.分别代入选项C 进行检验：
(1)若k ＝4m ，则φ＝4m ·90°＝m ·360°；
(2)若k ＝4m ＋1，则φ＝(4m ＋1)·90°＝m ·360°＋90°；(3)若k ＝4m ＋2，则φ＝(4m ＋2)·90°＝m ·360°＋180°；(4)若k ＝4m ＋3，则φ＝(4m ＋3)·90°＝m ·360°＋270°.
综上可得，终边在坐标轴上的角的集合是{φ|φ＝k ·90°，k ∈Z}．
8．若角α的终边与角π
6
的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，
则α＝________________________.
解析：如图所示，设角π
6
的终边为OA ，OA 关于直线y ＝x 对称的射线为OB ，
则以OB 为终边且在0～2π范围内的角为π
3
，
故以OB 为终边的角的集合为α|
α＝2k π＋π
3，k ∈Z
.∵α∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋π3<4π，∴－136<k <11
6
.
∵k ∈Z，∴k ＝－2，－1,0,1.
∴α＝－11π3，－5π3，π3，7π
3.
答案：－11π3，－5π3，π3，
7π
3
9．若角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，则sin θ＋cos θ等于________．解析：∵角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，∴x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |.
当a >0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝y r ＋x r ＝－1
5.
当a <0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝y r ＋x r ＝1
5
.
故sin θ＋cos θ＝±1
5
.
答案：±
1
5
10．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．
解析：∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴
3a －9≤0，
a ＋2>0，
∴－2<a ≤3.
答案：(－2,3]
11．(2019·齐齐哈尔八中月考)已知角α的顶点在坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，终边上有一点P (3a,4a )，其中a ≠0，求sin α，cos α，tan α.
解：设r ＝|OP |＝3a 2＋4a 2
＝5|a |.当a >0时，r ＝5a ，∴sin α＝4a 5a ＝45，cos α＝3a 5a
＝
35，tan α＝4a 3a ＝43；当a <0时，r ＝－5a ，∴sin α＝－45，cos α＝－35，tan α＝4
3
.综上可知，sin α＝45，cos α＝35，tan α＝43或sin α＝－45，cos α＝－35，tan α＝43.
12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．
(1)若点B 的横坐标为－4
5
，求tan α的值；
(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3)若α∈
0，23π
，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．解：(1)由题意可得B －45，35，根据三角函数的定义得tan α＝y x ＝－3
4
.
(2)若△AOB 为等边三角形，则B 12，32，可得tan∠AOB ＝y x ＝3，故∠AOB ＝π
3
；故与角α终边
相同的角β的集合为β|β＝π
3
＋2k π，k ∈Z.
(3)若α∈
0，23π，则S 扇形OAB ＝12αr 2＝12
α，而S △AOB ＝12×1×1×sin α＝1
2
sin α，
故弓形AB 的面积S ＝S 扇形OAB －S △AOB ＝12α－1
2
sin α，α∈
0，23π.。