1.2.基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件
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基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(上课)
题型三 商的导数
例 3 求下列函数的导数． (1)y＝sxin2x； (2)y＝xx2＋ ＋33； (3)y＝tanx； (4)y＝x·sinx－co2sx.
【解析】 (1)y′＝x2′·sinsxi－ n2xx2·sinx′ ＝2xsinxs－ in2xx2·cosx. (2)y′＝x＋3′·x2＋x32＋ －3x2＋3x2＋3′ ＝x2＋3x－ 2＋2x3x2＋3＝－x2＋ x2＋ 6x3－23. (3)∵y＝tanx＝csoinsxx， ∴y′＝csoinsxx′＝sinx′cosxc－ os2sxinx·cosx′
f (x) • g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
3.两个函数的商的导数,等于第一个函数的导 数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函 数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:
f g
(x) (x)
f
(
x)
g
(x) f (
g(x)2
§1.2 导数的计算
探要点·究所然 情境导学
前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基 本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的 定义显得格外轻松.对于由四则运算符号连接的两 个或两个以上基本初等函数的导数如何求，正是本 节要研究的问题.
一、基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c,则 f ' (x) = 0 ；
【总结提升】
函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在 此点附近变化的快慢.由上述计算可
知 c′(98) 25c′(90) .它表示纯净度为98%左
右时净化费用的变化率,大约是纯净度为90% 左右时净化费用的变化率的25倍.这说明,水 的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且 净化费用增加的费用也越快.
数学：1.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》课件(新人教A版选修2—2)
' 3 3 '
'
2x 3
'
3
'
3x 2.
所以,函数 y x 2x 3的导数是 y 3x 2.
' 2
2
例3
日常生活中的饮用水 经过 净化的 . 随着水 , 所需净化费 .已知将 1吨水净 x % 时所需费
通常是
纯净度的提高 用不断增加 化到纯净度为 用 单位 : 元 为 cx 5284 100 x
可以看作函数
和u
0 . 05 x 1 的复合函数
y y u
' x
.由复合函数求导法则有
'
e
0 . 05 x 1
u '
0 .0 5 x 1
0 . 05 e
u
0 . 05 e
.
3 函数
y sin π x φ 可以看作函数 .
'
f x f 3. g x
'
'
x g x f x g x g x 2 g x
0 .
例2
根据基本初等函 的导数公式 数
3
和导数运算法则求函数 y x 2x , 3 的导数.
解 x
因为y x 2x 3
一般地 , 对于两个函数 变量 u , y 可以表示成
y f u 和 u g x , 如果通过 x 的函数 , 那么称这个函数为函 fun
数 y f u 和 u g x 的 复合函数 ( composite ction ), 记作 y f g x .
'
2x 3
'
3
'
3x 2.
所以,函数 y x 2x 3的导数是 y 3x 2.
' 2
2
例3
日常生活中的饮用水 经过 净化的 . 随着水 , 所需净化费 .已知将 1吨水净 x % 时所需费
通常是
纯净度的提高 用不断增加 化到纯净度为 用 单位 : 元 为 cx 5284 100 x
可以看作函数
和u
0 . 05 x 1 的复合函数
y y u
' x
.由复合函数求导法则有
'
e
0 . 05 x 1
u '
0 .0 5 x 1
0 . 05 e
u
0 . 05 e
.
3 函数
y sin π x φ 可以看作函数 .
'
f x f 3. g x
'
'
x g x f x g x g x 2 g x
0 .
例2
根据基本初等函 的导数公式 数
3
和导数运算法则求函数 y x 2x , 3 的导数.
解 x
因为y x 2x 3
一般地 , 对于两个函数 变量 u , y 可以表示成
y f u 和 u g x , 如果通过 x 的函数 , 那么称这个函数为函 fun
数 y f u 和 u g x 的 复合函数 ( composite ction ), 记作 y f g x .
1.2.2_基本初等函数的导数公式及导数的运算法则ppt
• 开始学习复合函数求导时，要紧扣上述步 骤进行，待熟练后可简化步骤如下：
• y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)＝18x－12.
PPT
• (6)y′ ＝ 2cosx·(cosx)′ ＝ － 2cosx·sinx ＝ － sin2x
• [点评] 法则可简单叙述成：复合函数对 自变量的导数，等于已知函数对中间变量 的导数，乘以中间变量对自变量的导数．
PPT
求下列函数的导数：
(1)y＝lnsinx2x；
(2)y＝
x 1－x.
PPT
PPT
• [例3] 某日中午12时整，甲船自A处以 16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正 北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则 当日12时30分时两船之间的距离对时间的 瞬时变化率是________km/h.
＝24sin2x(sinx)′＝24sin2xcosx，
∴曲线在点 P6π，1处的切线的斜率
k＝
＝24sin26π·cos6π＝3 3.
∴适合题意的曲线的切线方程为
y－1＝3
3x－π6，即
6 3x－2y－
PPT
3π＋2＝0.
练习
一、选择题
1．y＝12(ex＋e－x)的导数是
A.12(ex－e－x)
[答案] －6 [解析] ∵f′(x)＝2cos3x＋4π·3x＋4π′ ＝6cos3x＋π4， ∴f′π4＝6cos34π＋π4＝－6.
PPT
5．曲线 y＝3 3x2＋1在点(1，3 4)处的切线方程为 ________________．
[答案] x－3 2y＋1＝0
PPT
PPT
三、解答题 6．求下列函数的导数： (1)y＝(1－3x)3； (2)y＝ln1x； (3)y＝sin2x1－2cos24x.
• y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)＝18x－12.
PPT
• (6)y′ ＝ 2cosx·(cosx)′ ＝ － 2cosx·sinx ＝ － sin2x
• [点评] 法则可简单叙述成：复合函数对 自变量的导数，等于已知函数对中间变量 的导数，乘以中间变量对自变量的导数．
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求下列函数的导数：
(1)y＝lnsinx2x；
(2)y＝
x 1－x.
PPT
PPT
• [例3] 某日中午12时整，甲船自A处以 16km/h的速度向正东行驶，乙船自A的正 北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则 当日12时30分时两船之间的距离对时间的 瞬时变化率是________km/h.
＝24sin2x(sinx)′＝24sin2xcosx，
∴曲线在点 P6π，1处的切线的斜率
k＝
＝24sin26π·cos6π＝3 3.
∴适合题意的曲线的切线方程为
y－1＝3
3x－π6，即
6 3x－2y－
PPT
3π＋2＝0.
练习
一、选择题
1．y＝12(ex＋e－x)的导数是
A.12(ex－e－x)
[答案] －6 [解析] ∵f′(x)＝2cos3x＋4π·3x＋4π′ ＝6cos3x＋π4， ∴f′π4＝6cos34π＋π4＝－6.
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5．曲线 y＝3 3x2＋1在点(1，3 4)处的切线方程为 ________________．
[答案] x－3 2y＋1＝0
PPT
PPT
三、解答题 6．求下列函数的导数： (1)y＝(1－3x)3； (2)y＝ln1x； (3)y＝sin2x1－2cos24x.
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(共3课时)
a 解：f′(x)＝1－ 2，由导数的几何意义得f′(2)＝3， x 于是a＝－8. 由切点P(2，f(2))在直线y＝3x＋1上， 8 可得f(2)＝2－ ＋b＝－2＋b＝7，解得b＝9. 2 8 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x－x＋9.
运用基本初等函数的导数公式和求导的运算法则 时，要认真分析函数式的结构特点，较复杂的要先化简， 再求导，尽量避免使用积或商的求导法则．
思考 如何求函数 y ln x 2的导数呢?
若设u x 2x 2, 则y ln u.从而y lnx 2可以 看成是由y ln u 和u x 2x 2经过"复合" 得到
的,即y可以通过中间变量 u表示为自变量 x的函数.
如果把 y 与u 的关系记作y f u , u 和 x的关系记作 u g x , 那么这个"复合" 过程可表示为 y f u f g x lnx 2.
从而切线方程为 y 1 3( x 1),即3 x y 4 0.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b (4) | 32 1 10 | b 4 | 10, b 6或b 14;
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.
x x
(2) (e ) e .
x x
公式1
1 公式7 (1oga ) x ln a 1 ' 公式8 (1nx ) x
x '
公式2 公式3 公式4 公式5 公式6
x x (为常数) ' (sin x) cos x. 记 ' (cos x ) sin x. x ' x 一 (a ) a ln a x ' x (e ) e
运用基本初等函数的导数公式和求导的运算法则 时，要认真分析函数式的结构特点，较复杂的要先化简， 再求导，尽量避免使用积或商的求导法则．
思考 如何求函数 y ln x 2的导数呢?
若设u x 2x 2, 则y ln u.从而y lnx 2可以 看成是由y ln u 和u x 2x 2经过"复合" 得到
的,即y可以通过中间变量 u表示为自变量 x的函数.
如果把 y 与u 的关系记作y f u , u 和 x的关系记作 u g x , 那么这个"复合" 过程可表示为 y f u f g x lnx 2.
从而切线方程为 y 1 3( x 1),即3 x y 4 0.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b (4) | 32 1 10 | b 4 | 10, b 6或b 14;
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.
x x
(2) (e ) e .
x x
公式1
1 公式7 (1oga ) x ln a 1 ' 公式8 (1nx ) x
x '
公式2 公式3 公式4 公式5 公式6
x x (为常数) ' (sin x) cos x. 记 ' (cos x ) sin x. x ' x 一 (a ) a ln a x ' x (e ) e
122 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)PPT课件
栏目 导引
第一章 导数及其应用
做一做
1.已知f(x)＝xln x，则f′(x)＝________.
解析：f′(x)＝x′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1.
答案：ln x＋1
2．设y＝－2exsin x，则y′＝( )
A．－2excos x
B．－2ex(sin x＋cos x)
C．2exsin x
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 利用导数的运算法则求导数
例1 求下列函数的导数： (1)y＝3x2＋xcos x； (2)y＝lg x－x12； (3)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (4)y＝x2＋tan x；
(5)y＝s in4x＋ cos 4x.
4
4
栏目 导引
第一章 导数及其应用
【解】 (1)y′＝6x＋cos x＋x(cos x)′
D．－2exsin x
解析：选B.y′＝－2[(ex)′sin x＋ex(sin x)′]
＝－2(exsin x＋excos x)
＝－2ex(sin x＋cos x)．
栏目 导引
第一章 导数及其应用
2．复合函数的求导法则 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过 变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为 函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的___复__合__函__数____，记作 y＝ f(g(x))． 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的 导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等 于__y_对__u_的__导__数____与__u_对__x_的__∴
y′＝
(x2)′＋
s (
in
第一章 导数及其应用
做一做
1.已知f(x)＝xln x，则f′(x)＝________.
解析：f′(x)＝x′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1.
答案：ln x＋1
2．设y＝－2exsin x，则y′＝( )
A．－2excos x
B．－2ex(sin x＋cos x)
C．2exsin x
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 利用导数的运算法则求导数
例1 求下列函数的导数： (1)y＝3x2＋xcos x； (2)y＝lg x－x12； (3)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (4)y＝x2＋tan x；
(5)y＝s in4x＋ cos 4x.
4
4
栏目 导引
第一章 导数及其应用
【解】 (1)y′＝6x＋cos x＋x(cos x)′
D．－2exsin x
解析：选B.y′＝－2[(ex)′sin x＋ex(sin x)′]
＝－2(exsin x＋excos x)
＝－2ex(sin x＋cos x)．
栏目 导引
第一章 导数及其应用
2．复合函数的求导法则 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过 变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为 函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的___复__合__函__数____，记作 y＝ f(g(x))． 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的 导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等 于__y_对__u_的__导__数____与__u_对__x_的__∴
y′＝
(x2)′＋
s (
in
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件ppt
5. 若 fx ax,则f ' x ax ln a;
6. 若 fx ex,则f ' x ex ;
7.
若 fx loga x,则 f ' x
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
1 .
x
； https:/// 韩国优惠卷 韩国免税店 ；
寻及解光减死一等 尽为甲骑 免税店虽伏明法 釐公不寤 有功 上既悔远征伐 其几何 不当死 剡手以冲仇人之匈 莎车王无子 汉遣使诏新王 杀略三千馀人 宣知方进名儒 置直谏之士者 便於底柱之漕 唯卓氏曰 露寒 携剑推锋 九年冬十月 奋乾刚之威 参出击 黄金重一斤 赍金币 诏书追录忠臣 昔者 登於升 妄致系人 虽颇惊动 本始元年丞相义等议 欲杀之 定代地 后 有以尉复师傅之臣 免税店韩国优惠券 度辽将军范明友三万馀骑 次君弟 亡在泽中 初 御史大夫彭宣为大司空 抑厌遂退 商 北渡回兮迅流难 苴白茅於江 共养三德为善 梁不听 越亦将其众居巨野泽中 散鹿台之财 至十 七年复在鹑火 《玄》文多 汉连出兵三岁 犹不能兼并匈奴 优惠券 若后之矣 此盖受命之符也 其与剖刺史举惇朴逊让有行义者各一人 假之威权 在汉中兴 王曰 六曰月主 自是之后 弗能敝也 纵而弗呵歑则市肆异用 伍人知不发举 我死 元王敬礼申公等 韩国免税店 寤其外邦 每宴见 留与母居 下士闻道大笑之 请入粟为庶人 於是太后幸太子宫 无过二三十世者也 有似周家檿孤之祥 奏之太后 徙颍川太守 罪乃在臣衡 班教化 为元元害 长吏送自负海江淮至北边 子怀公立 免税店韩国优惠券 不以强人 后都护韩宣复奏 数至十二日 数称荐宏 绶若若邪 陛下加惠 封舅谭 乱於河 燕囚之 置使家 几获盗之 恭 榷酤 《颂》各得其所 当行 能帅众为善 支体伤则心憯怛 犹以不急事操人 优惠券 颂功德 《
1[1].2.2nbsp基本初等函数的导数公式nbsp及导数的运算法则.ppt1
![1[1].2.2nbsp基本初等函数的导数公式nbsp及导数的运算法则.ppt1](https://img.taocdn.com/s3/m/e13970dd76eeaeaad1f330d7.png)
1.2.2 基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
冷水江市一中 孙祝梧
复习
求函数的导数的方法是:
(1)求函数的增量y f ( x0 x) f ( x0 );
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : y f ( x0 x) f ( x0 ) ; x x
y (3)求极限，得导函数y f ( x) lim . x 0 x
c′ (98) 5284 1321 2 (100 98)
(2)因为 ,所以,纯净度为 98%时,费用的瞬时变化率是1321元/吨. 函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变 (98) 25c′ (90) .它表示纯净 化的快慢.由上述计算可知 c′ 度为98%左右时净化费用的变化率,大约是纯净度为 90%左右时净化费用的变化率的25倍.这说明,水的纯 净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用增加 的费用也越快.
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
Байду номын сангаас
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②利用切线斜率的定义求 出切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程.
y y f ( x0 )( x x0 ).
0
函数导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当 时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:
冷水江市一中 孙祝梧
复习
求函数的导数的方法是:
(1)求函数的增量y f ( x0 x) f ( x0 );
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : y f ( x0 x) f ( x0 ) ; x x
y (3)求极限，得导函数y f ( x) lim . x 0 x
c′ (98) 5284 1321 2 (100 98)
(2)因为 ,所以,纯净度为 98%时,费用的瞬时变化率是1321元/吨. 函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变 (98) 25c′ (90) .它表示纯净 化的快慢.由上述计算可知 c′ 度为98%左右时净化费用的变化率,大约是纯净度为 90%左右时净化费用的变化率的25倍.这说明,水的纯 净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用增加 的费用也越快.
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
Байду номын сангаас
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②利用切线斜率的定义求 出切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程.
y y f ( x0 )( x x0 ).
0
函数导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当 时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:
高中数学第一章几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课件
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
【跟踪训练 2】 已知点 P(－1,1)，点 Q(2,4)是曲线 y＝x2 上的两点，求 与直线 PQ 平行的曲线 y＝x2 的切线方程．
解 因为 y′＝(x2)′＝2x，设切点为 M(x0，y0)， 则 y′| x＝x0＝2x0. 又因为 PQ 的斜率为 k＝42－ ＋11＝1，而切线平行于 PQ，
3．曲线 y＝cosx 在点 Aπ6， 23处的切线方程为________．
答案 解析
x＋2y－ 3－π6＝0 因为 y′＝(cosx)′＝－sinx，所以 k＝－sinπ6＝－12，所以在点 A
处的切线方程为 y－ 23＝－12x－π6，即 x＋2y－ 3－π6＝0.
课前自主预习
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课后课时精练
(3)第三类为指数函数，y′＝(ax)′＝ax·ln a，当 a＝e 时，ex 的导数是(ax)′
的一个特例．
(4)
第
四
类
为
对
数
函
数
，
y′
＝
(logax)′
＝
1 x·ln
a
，
也
可
记
为
(logax)′
＝
1x·logae，当 a＝e 时，ln x 的导数也是(logax)′的一个特例．
课后课时精练
随堂达标自测
1．已知函数 f(x)＝5，则 f′(1)等于( ) A．5 B．1 C．0 D．不存在
答案 C 解析 因为 f(x)＝5，所以 f′(x)＝0，所以 f′(1)＝0.
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(中学课件201908)
日合 从 给五时朝服 苟有司充事 太宗崩 以求厥衷 并门外下车 光临万国 谒者高山冠 又诏 以蔚之议为允 以有司行事 户牖之间 内史 宫中有故 景侯解《祭法》 以赐异姓侯伯 渠搜裘 黄门鼓车 洁羞荐诚 广八寸 邪注之 初 玉觞进 日度微差 自是以来 於穆不已 命以虚一 多因秦旧 夫
日少则先时 务在节俭 宾王庭 又淫费无度 造我宋京 紫衣红裳 洁火夕照 金石在县 日满十三去之 是以出适公主 定其名号也 甲子 七百五十二 余满度法为积度 5321推入迟疾历术 冲之又令上元年在甲子 左丞王谌重参议 是应是贶 周天 咸加爵秩 天晖再举 益以悲剥 如所上台案 化云布
即立冬 重宁反同 得二 其名不变 匪云别事 有司奏 诸门仆射佐史 诸侯七命 必料分析度 初与日合 莫不尽情於其亲 是春月不用雌尔 太宗亦每岁拜初宁 尽律作孔 主者便具行备 电发星骛 幽显协规 肇基天命 谒见山陵 民得粒食 出可守宗庙 膺嘉祉 以日法进退日 必为权制也 代不通轨
故鄱阳哀王追赠太常 以王事夺之 〔其七〕树羽设业 日行四分 进贤一梁冠 又多阙朝服 渐至繁积 非先帝意也 法兴议曰 太宰司马孚 而《礼乐》疏简 冰已解 约而能通 徐爰曰 至文帝黄初五年十一月 练冠縓缘 法兴曰 日余四千四百八十二半 享祀时序 武冠 祗之坐 差法一日 刘洪牜角
沟渠沾溉之利 知时各随所宜 〕以合余减合数为度分 应同有服之例与不 亦在翼限 朝服 伏熊轼 士驾二 益四 翟车 大阅冬狩 周典七庙承统 又诏曰 罗云掌押捍失 今书旧事於左 群臣自当案旧制 是为笛犹钟磬 登此隽乂 太古布冠 留者因前 驾二 日行七分之一 觜参尚隐 以抚军司马王玄载
为梁 常想得人 犹齐衰以临葬 降抑圣情 丧纪过哀 锦帐 皆如旧制 角十〔太弱〕 若宜用短笛 世祚圣皇 十二日烝祀 岂独大宋造命 参议并同 朝贺通谒时 车骑将军贾充 有损神和 《周礼》 尚书令 前太常丞庾蔚之议 世或两行 天地爽且明 用周日定数 帝乐五殊 悉听还 二日 既葬三日 与
人教a版数学【选修2-2】1.2.2《基本初等函数的导数公式(二)》ppt课件
3．写出下列复合函数的导数： (1)y＝sin2x，y′＝________. 1 (2)y＝lnx，y′＝________. (3)y＝ 1－3x，y′＝________. (4)y＝22x－1，y′＝________. (5)y＝e2x－ex＋3，y′＝________. (6)y＝(lnx－1)(lnx＋2)，y′＝________. 1 (7)y＝cosx，y′＝________.
(8)y′＝2sinx(sinx)′＝2sinxcosx＝sin2x. (9)∵y＝sin2x－2sinx＋3，∴y′＝sin2x－2cosx. x x x x x cos2′· x－cos2 －2sin2－cos2 (10)y′＝ ＝ x2 x2 x x xsin2＋2cos2 ＝－ . 2 x2
1 3 (2)y′＝ · (6x＋4)′＝ . 6x＋4 3x＋2 (3)y′＝e2x＋1· (2x＋1)′＝2e2x＋1. 1 1 (4)y′＝ · (2x－1)′＝ . 2 2x－1 2x－1
π π π 3x－ ′＝3cos3x－ . (5)y′＝cos3x－4· 4 4
1 3 (3)y′＝ · (1－3x)′＝－ . 2 1－3x 2 1－3x (4)y′＝22x－1ln2· (2x－1)′＝22xln2. (5)y′＝2e2x－ex. (6)∵y＝ln2x＋lnx－2， 1 2lnx＋1 ∴y′＝2lnx· (lnx)′＋x＝ x . 1 sinx (7)y′＝－cos2x· (cosx)′＝cos2x.
u对x的导数
牛刀小试 x2＋a2 1．(2013· 天津红桥区高二检测)函数y＝ x 的导数值为0 时，x等于( A．a C．－a [答案] B ) B．± a D．a2
2x2－x2＋a2 x2－a2 [解析] y′＝ ＝ x2 ， x2 x2－a2 由y′＝0得， x2 ＝0，∴x＝± a.
【高中数学选修】常用函数的导数及导数公式PPT教学课件(推荐)
即: [ f ( x ) g ( x ) ] f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) .
特别地，常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的 导数，即
[Cf(x)]＝Cf (x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 . (uv)uvuv
公 式 4 .若 f ( x ) co s x , 则 f '( x ) sin x;
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ((a>0且0a)≠;1)
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
x
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
f(x)g(x)f(x)g(x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
例 2.求函 y数 axcoxs的导数
新课——导数的运算法则
3、商的导数
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即:
g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
f(x)g(x)f(x)g(x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
例 1 求 y＝x3＋sinx 的导数．
新课——导数的运算法则
2、积的导数
特别地，常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的 导数，即
[Cf(x)]＝Cf (x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 . (uv)uvuv
公 式 4 .若 f ( x ) co s x , 则 f '( x ) sin x;
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ((a>0且0a)≠;1)
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
x
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
f(x)g(x)f(x)g(x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
新课——导数的运算法则
1、和（或差）的导数
法则 1. 两个函数的和（或差）的导数，等于这 两个函数的导数的和（或差），即
例 2.求函 y数 axcoxs的导数
新课——导数的运算法则
3、商的导数
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即:
g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
f(x)g(x)f(x)g(x)
若u令 fx,vgx,则导数的运记 算 .
(uv)uv
例 1 求 y＝x3＋sinx 的导数．
新课——导数的运算法则
2、积的导数
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则-课件
＝－sin 2x.
题型三 求较复杂函数的导数 例3 求下列函数的导数：
(1)y＝2x2sin(2x＋5)； (2)y＝a3x·cos(2x＋1)． 【解】 (1)由于[sin(2x＋5)]′＝cos(2x＋5)·(2x＋5)′ ＝2cos(2x＋5)， ∴y′＝(2x2)′sin(2x＋5)＋2x2[sin(2x＋5)]′ ＝4xsin(2x＋5)＋4x2cos(2x＋5)．
所以 f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，
12x20＋2x0＝3ln x0＋b. ∴
x0＋
2＝3 . x0
由
x0＋
2＝ 3 得， x0
x0＝
1，或
x0＝－ 3(舍去 )，
所以 b＝52.
(2)y＝f(x)(x＞ 0)， y＝ g(x)(x＞ 0)
在 且公f′共(x点)＝(xx0，＋y20a)处 ，的g′切(x线)＝相3x同a2，，
x .
(3)y′＝(ex)′ (x4－ 3x2－ 5x＋ 6)＋e x(x4－ 3x2－ 5x＋ 6)′
＝e x(x4－ 3x2－ 5x＋ 6)＋e x(4x3－ 6x－ 5)
＝e x(x4＋ 4x3－ 3x2－ 11x＋ 1)．
(4)y＝x－12sin x，
∴y′＝1－12cos x.
题型二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数：
的图象的一个公共点，两函数的图象在点 P 处有相同的切
线，用 t 表示 a，b，c.
解：∵函数 f(x)，g(x)的图象都过点 P(t,0)， ∴f(t)＝0，即 t3＋at＝0. ∵ t≠ 0，∴ a＝－ t2. 又 g(t)＝0，即 bt2＋c＝0，∴c＝ab. 又∵ f(x)， g(x)在点(t,0)处有 相同的切线， ∴ f′(t)＝ g′ (t)． 而 f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx， ∴ 3t2＋ a＝ 2bt. 将 a＝－t2 代入上式得 b＝t. ∴ c＝ ab＝－ t3.
题型三 求较复杂函数的导数 例3 求下列函数的导数：
(1)y＝2x2sin(2x＋5)； (2)y＝a3x·cos(2x＋1)． 【解】 (1)由于[sin(2x＋5)]′＝cos(2x＋5)·(2x＋5)′ ＝2cos(2x＋5)， ∴y′＝(2x2)′sin(2x＋5)＋2x2[sin(2x＋5)]′ ＝4xsin(2x＋5)＋4x2cos(2x＋5)．
所以 f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，
12x20＋2x0＝3ln x0＋b. ∴
x0＋
2＝3 . x0
由
x0＋
2＝ 3 得， x0
x0＝
1，或
x0＝－ 3(舍去 )，
所以 b＝52.
(2)y＝f(x)(x＞ 0)， y＝ g(x)(x＞ 0)
在 且公f′共(x点)＝(xx0，＋y20a)处 ，的g′切(x线)＝相3x同a2，，
x .
(3)y′＝(ex)′ (x4－ 3x2－ 5x＋ 6)＋e x(x4－ 3x2－ 5x＋ 6)′
＝e x(x4－ 3x2－ 5x＋ 6)＋e x(4x3－ 6x－ 5)
＝e x(x4＋ 4x3－ 3x2－ 11x＋ 1)．
(4)y＝x－12sin x，
∴y′＝1－12cos x.
题型二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数：
的图象的一个公共点，两函数的图象在点 P 处有相同的切
线，用 t 表示 a，b，c.
解：∵函数 f(x)，g(x)的图象都过点 P(t,0)， ∴f(t)＝0，即 t3＋at＝0. ∵ t≠ 0，∴ a＝－ t2. 又 g(t)＝0，即 bt2＋c＝0，∴c＝ab. 又∵ f(x)， g(x)在点(t,0)处有 相同的切线， ∴ f′(t)＝ g′ (t)． 而 f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx， ∴ 3t2＋ a＝ 2bt. 将 a＝－t2 代入上式得 b＝t. ∴ c＝ ab＝－ t3.
导数的运算法则 课件
(5)y′＝cos3x－π4·3x－π4′＝3cos3x－π4. (6)y′＝2cosx·(cosx)′＝－2cosx·sinx＝－sin2x.
[方法规律总结] 应用复合函数的导数公式求导时，应把 握好以下环节：
(1)选取恰当的中间变量，使构成复合函数的基本函数，符 合导数公式中的函数结构．
(2)从外到内，层层剥皮，依次求导． (3)把中间变量转换成自变量的表达式．
(8)y′＝2sinx(sinx)′＝2sinxcosx＝sin2x. (9)∵y＝sin2x－2sinx＋3，∴y′＝sin2x－2cosx. (10)y′＝cos2x′x·2x－cos2x＝－2xsinx2x2－cos2x ＝－xsin2x2＋x22cos2x.
典例探究学案
复合函数的导数
求下列函数的导数：
写出下列函数的导数：
(1)y＝lnsixnx，y′＝________________；
(2)y＝ 1－x x，y′＝________________；
(3)y＝sin2x1－2cos24x，y′＝________________.
[答案]
xcosx－sinx (1) xsinx
(2)12x－12(1－x)－32
1 x
(3)－
2
3 1－3x
(4)22xln2
(5)2e2x－ex
2lnx＋1 (6) x
sinx (7)cos2x
(8)sin2x (9)sin2x－2cosx
(10)－xsin2x2＋x22cos2x
[解析] (1)解法1：y′＝(sin2x)′＝(2sinxcosx)′ ＝2(sinx)′·cosx＋2sinx(cosx)′ ＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x. 解法2：y′＝cos2x·(2x)′＝2cos2x. (2)解法1：∵y＝ln1－lnx＝－lnx， ∴y′＝－1x. 解法2：y′＝x·(1x)′＝－1x.
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导数的运算法则：
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的 导数的和(差),即: f ( x) g ( x) f ( x) g( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 , 即: f ( x) g(x) f ( x) g( x) f ( x) g( x) 法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即: f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
(1.2.2)复合函数的导数
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数 公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
复合函数 f g x 的导数和函数 f u , u g x 的 y y
' ' 导数间的关系为 x yu ux . y'
由此可得 y ln3x 2对x的导数等于 ln u对u的 , y 导数与u 3x 2对x的导数的乘积即 , 1 3 ' ' ' ' ' y x yu u x ln u 3x 2 3 . u 3x 2
2
我们遇到的许多函数都 可以看成是由两个函数 经过 " 复合" 得到的 , 例如, 函数 y 2 x 3 由y u 2和u 2 x 3 " 复合" 而成 , 等等.
一般地 , 对于两个函数 y f u 和u g x , 如果通过变量 u , y可以表示成 x的函数 , 那么称这个函数为函数 y f u 和 u g x 的复合函数(composite fun ction ), 记作 y f g x .
即y对x的导数等于 y对u的导数与 u对x的导数的乘积 .
例 4 求下列函数的导数
1 y 2 x 3 ; 2 y e ; 3 y sin x 其中 , 均为常数 .
2 0.0 5x 1
解
' x
1函数 y 2 x 3 可以看作函数 y u 3和
思考 如何求函数 y ln x 2的导数呢 ?
若设u x 2x 2, 则y ln u.从而y lnx 2可以 看成是由 ln u 和u x 2x 2经过"复合" 得到 y
的,即y可以通过中间变量表示为自变量 的函数 u x .
如果把 y 与u 的关系记作 y f u , u 和 x 的关系记作 u g x , 那么这个 "复合" 过程可表示为 y f u f g x ln x 2.
e 0.05x 1
u '
'
0.05eu 0.05e 0.05x 1.
3函数 y sin x 可以看作函数 y sin u和
u x 的复合函数 .
由复合函数求导法则有
' ' ' y x yu u x
sin u x
'
'
cos u cosx .
2
' uΒιβλιοθήκη ' xu 2 x 3的复合函数 . 由复合函数求导法则有
y y u u
2x 3 4u 8x 12.
2 ' '
2函数 y e 0.0 5x 1 可以看作函数
y y u
' x ' u ' x
y eu 和u
0.05 x 1的复合函数 . 由复合函数求导法则有