新教材2024高中数学第四章指数函数与对数函数4.3对数4.3.1对数的概念课件新人教A版必修第一册

2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果 已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互 为逆运算(体现了数学运算核心素养)．
3．指数式与对数式的互化
1．(题型1)有下列说法：①只有正数有对数；②任何一个指数式都
可以化成对数式；③log525＝±2；④3log3(－5)＝－5成立．其中正确的
2．常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作_l_g_N___；以 无 理 数 e ＝ 2.718 28… 为 底 的 对 数 称 为 自 然 对 数 ， 并 且 把 logeN 记 为 __l_n_N____．
【预习自测】
在对数概念中，为什么规定a＞0，且a≠1呢？ 【提示】(1)若a＜0，则N取某些数值时，logaN不存在，因此规定a 不能小于0． (2)若a＝0，则当N≠0时，logaN不存在，当N＝0时，则logaN有无数 个值，与对数定义不符，因此规定a≠0． (3)若a＝1，当N≠1时，则logaN不存在，当N＝1时，则logaN有无数 个值，与对数定义不符，因此规定a≠1．
所以 x＝±5．
因为 52＝25＞0，(－5)2＝25＞0，
所以 x＝5 或 x＝－5．
题型3 利用对数的性质及对数恒等式求值 方向1 利用对数的性质求值
(1)计算log3[log3(log28)]＝________． (2)若log2[log4(log3x)]＝0，则x＝________． 【答案】(1)0 (2)81 【解析】(1)令log28＝x，则2x＝8，所以x＝3．所以 log3[log3(log28)]＝log3(log33)＝log31＝0． (2)因为log2[log4(log3x)]＝0，可得log4(log3x)＝1，所以log3x＝4，所 以x＝34＝81．
(2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
①54＝625；
②log216＝4；
③10－2＝0.01；
④log 5 125＝6．
【答案】(1)(2，3)∪(3，4)
4－x＞0，
【解析】由题意可知x－2＞0， x－2≠1，
解得 2＜x＜4 且 x≠3．
(2)解：①由 54＝625，得 log5625＝4． ②由 log216＝4，得 24＝16． ③由 10－2＝0.01，得 lg 0.01＝－2．
解：(1)因为 43＝64，所以 log464＝3． (2)因为 ln a＝b，所以 eb＝a． (3)因为12m＝n，所以log12 n＝m． (4)因为 lg 1 000＝3，所以 103＝1 000．
题型2 利用指数式与对数式的互化求变量的值 (1)求下列各式的值：
①log981＝________；②log0.41＝________；③ln e2＝________． (2)求下列各式中x的值： ①log64x＝－23；②logx8＝6； ③lg 100＝x；④－ln e2＝x． 【答案】(1)①2 ②0 ③2
④由－ln e2＝x，得 ln e2＝－x，所以 e－x＝e2，即－x＝2，故 x＝－2．
对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想． 在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利 用方程思想求解． (2)基本方法． ①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算．
对数与指数的关系及性质
1．对数与指数的关系 当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔__x_＝__lo_g_a_N__．前者叫指数式，后者叫
对Hale Waihona Puke 式．2．对数的性质性质1 性质2 性质3
__负__数__和__零__没有对数 1的对数是__0__，即loga1＝__0__(a＞0，且a≠1) 底数的对数是__1__，即logaa＝_1___(a＞0，且a≠1)
对数恒等式alogaN＝N的应用 (1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可． (2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．
3．(1)设3log3(2x＋1)＝27，则x＝________． (2)若logπ(log3(ln x))＝0，则x＝________． 【答案】(1)13 (2)e3
【预习自测】
为什么零与负数没有对数？ 【提示】因为x＝logaN(a＞0，且a≠1)⇔ax＝N(a＞0，且a≠1)，而 当a＞0，且a≠1时，ax恒大于0，即N＞0，故0和负数没有对数．
|课堂互动|
题型1 对数的定义
(1)在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，则实数x的取值范围是 ________．
2．利用指数式、对数式的互化求下列各式中的 x 值： (1)log2x＝－12； (2)logx25＝2； (3)log5x2＝2．
解：(1)由
log2x＝－12，得
1
2－2
＝x，所以 x＝
22．
(2)由 logx25＝2，得 x2＝25．
因为 x＞0，且 x≠1，所以 x＝5．
(3)由 log5x2＝2，得 x2＝52，
【解析】(1)3log3(2x＋1)＝2x＋1＝27，解得x＝13． (2)由logπ(log3(ln x))＝0可知log3(ln x)＝1，所以ln x＝3，解得x＝e3．
|素养达成|
1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝ N⇔logaN ＝ b(a ＞ 0 ， 且 a≠1 ， N ＞ 0) ． 据 此 可 得 两 个 常 用 恒 等 式 ： (1)logaab＝b；(2)alogaN＝N．
④由 log 5 125＝6，得( 5)6＝125．
指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底 数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底 数不变，写出指数式．
1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)43＝64； (2)ln a＝b； (3)12m＝n； (4)lg 1 000＝3．
【解析】(1)①设log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝ 2；②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0；③设ln e2 ＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2．
(2)解：①由 log64x＝－23，得 x＝64－32 ＝43×(－23 )＝4－2＝116． ②由 logx8＝6，得 x6＝8．又因为 x＞0，所以 x＝816 ＝23×61 ＝ 2． ③由 lg 100＝x，得 10x＝100＝102，即 x＝2．
4．(题型3)计算：2log23＋2log31－3log77＋3ln 1＝________． 【答案】0 【解析】原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0．
5．(题型 2)求下列各式中的 x 值： (1)log2x＝12； (2)log216＝x； (3)logx27＝3．
解：(1)∵log2x＝12，∴x＝212 ，∴x＝ 2． (2)∵log216＝x，∴2x＝16，∴2x＝24， ∴x＝4． (3)∵logx27＝3，∴x3＝27，即 x3＝33， ∴x＝3．
第四章 指数函数与对数函数
4.3 对数 4.3.1 对数的概念
学习目标
1．理解对数的概念和运算性质 2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义 和性质解方程
素养要求 数学抽象 逻辑推理
数学运算
|自学导引|
对数的定义
1．定义 如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数___x___叫做以___a___为底___N___ 的对数，记作___x_＝__lo_g_a_N___．其中___a__叫做对数的底数，__N___叫做真 数．
解得
x∈12，1∪(1，2)．
3．(题型1)(2023年宝应月考)若对数ln (x2－5x＋6)存在，则x的取值 范围为________．
【答案】(－∞，2)∪(3，＋∞) 【解析】∵对数ln (x2－5x＋6)存在，∴x2－5x＋6＞0，解得x＞3或x ＜2，即x的取值范围为(－∞，2)∪(3，＋∞)．
关于对数性质的应用 (1)熟记性质：loga1＝0；logaa＝1． (2)两个顺序：若最里层值是已知的，则从里向外求值；若最外层值 是已知的，则从外向里求值．
方向2 利用对数恒等式求值 计算下列各式：
(1)2ln e＋lg 1＋3log32； (2)3log34－log32．
【答案】解：(1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4． (2)原式＝33lloogg3342＝42＝2．
个数为
()
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】(1)正确；(2)(3)(4)不正确．
2．(题型 1)让式子 log(2x－1)(2－x)有意义的 x 的取值范围是 ( )
A．(2，＋∞)
B．(－∞，2)
C．12，2
D．12，1∪(1，2)
【答案】D 2x－1＞0，
【解析】依题意，要使 log(2x－1)(2－x)有意义，则2－x＞0， 2x－1≠1，