高中数学第3讲圆锥曲线性质的探讨123平行射影平面与圆柱面的截线平面与圆锥面的截线学案1

一平行射影

二平面与圆柱面的截线

三平面与圆锥面的截线

1．了解平行射影的含义，体会平行射影．

2．会证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情况是圆)．(重点)

3．会用Dandelin双球证明定理1、定理2.(难点)

[基础·初探]

教材整理1 射影

阅读教材P43～P44，完成下列问题．

1．正射影

给定一个平面α，从一点A作平面α的垂线，垂足为点A′，称点A′为点A在平面α上的正射影．

一个图形上各点在平面α上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影．

2．平行射影

设直线l与平面α相交(如图3­1­1)，称直线l的方向为投影方向．过点A作平行于l 的直线(称为投影线)必交α于一点A′，称点A′为A沿l的方向在平面α上的平行射影．一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影．

图3­1­1

下列说法正确的是( )

A．平行射影是正射影

B．正射影是平行射影

C．同一个图形的平行射影和正射影相同

D．圆的平行射影不可能是圆

【解析】正射影是平行射影的特例，A不正确；对于同一图形，当投影线垂直于投影面时，其平行射影就是正射影，否则不相同，故C不正确；当投影线垂直于投影面且圆面平行于投影面时，圆的平行射影是圆，D不正确；只有B正确．

【答案】 B

教材整理2 两个定理

阅读教材P44～P51，完成下列问题．

1．椭圆的定义

平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．

2．两个定理

定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．

定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l 旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则

(1)β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆；

(2)β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；

(3)β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线．

下列说法不正确的是( )

A．圆柱面的母线与轴线平行

B．圆柱面的某一轴截面垂直于直截面

C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜截面的夹角有关

D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径

【解析】显然A正确；由于任一轴截面过轴线，故轴截面与圆柱的直截面垂直，B正确；C显然正确；D中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确．

【答案】 D

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：

[小组合作型]

条直径，过CD 和母线VB 的中点E 作一截面．已知圆锥侧面展开图扇形的中心角为2π，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么曲线．

图3­1­2

【精彩点拨】 求圆锥顶角

――→据OE ∥VA

求∠VOE ――→等角

结论：抛物线

【自主解答】 设⊙O 的半径为R ，母线VB ＝l ， 则圆锥侧面展开图的中心角为2πR l

＝2π，

∴R l ＝

22，∴sin ∠BVO ＝22

， ∴圆锥的母线与轴的夹角α＝∠BVO ＝π4.

如图，连接OE ，

∵O ，E 分别是AB ，VB 的中点， ∴OE ∥VA ，

∴∠VOE ＝∠AVO ＝∠BVO ＝π

4，

∴∠VEO ＝π

2

，即VE ⊥OE .

又∵AB ⊥CD ，VO ⊥CD ，∴CD ⊥平面VAB. ∵VE ⊂平面VAB ，∴VE ⊥CD .

又∵OE ∩CD ＝O ，OE ⊂平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴∠VOE 是截面与轴线的夹角， ∴截面与轴线夹角大小为π

4

.

由圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，知截面CDE 与圆锥面的截线为一抛物线．

1．解答本题的关键是求出圆锥的母线与轴的夹角以及截面与轴的夹角． 2．判断平面与圆锥面的截线形状的方法

(1)求圆锥面的母线与轴线的夹角α，截面与轴的夹角β； (2)判断α与β的大小关系； (3)根据定理2判断交线是什么曲线．

[再练一题]

1．如图3­1­3所示，圆柱面的母线长为2 cm ，点O ，O ′分别是上、下底面的圆心．

图3­1­3

若OA ⊥O ′B ′，OA ＝1 cm.求： (1)OO ′与AB ′所成的角的正切值； (2)过AB ′与OO ′平行的截面面积； (3)O 到截面的距离．

【导学号：07370052】

【解】 (1)设过A 的母线为AA ′，连接AB ′，则OO ′∥AA ′，OO ′A ′A 是矩形．易知△O ′B ′A ′是等腰直角三角形，∴A ′B ′＝ 2.

又AA ′＝2，OO ′与AB ′所成的角为∠B ′AA ′， ∴tan ∠B ′AA ′＝

A ′

B ′AA ′＝2

2

.

(2)所求截面为矩形AA ′B ′B ，面积等于2 2 cm 2

.

(3)O 到截面的距离即OO ′到截面的距离，也是O ′到截面的距离，也是O ′到A ′B ′的距离．在等腰直角三角形O ′A ′B ′中，O ′A ′＝O ′B ′＝1 cm ，所以O ′到斜边A ′B ′的距离为

22 cm ，即O 到截面的距离为2

2

cm.

双球

均在顶点S 的下方，且一个半径为1，另一个半径为5，则交线的形状是什么曲线？其离心率是多少？

图3­1­4

【精彩点拨】 (1)根据Dandelin 双球的位置可判断交线的形状． (2)通过作辅助线求出椭圆的长半轴a 与半焦距c ，可求离心率． 【自主解答】 Dandelin 双球均在顶点S 的同侧，所以截线为椭圆．