高中数学必修一 《3 1 函数的概念及其表示》集体备课导学案

【新教材】3.1.1 函数的概念（人教A版）
1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。

2.掌握判定函数和函数相等的方法。

3.学会求函数的定义域与函数值。

重点：函数的概念，函数的三要素。

难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。

一、预习导入
阅读课本60-65页，填写。

1．函数的概念
(1)函数的定义：
设A，B是，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的，在集合B中都有和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作.
(2)函数的定义域与值域：
函数y＝f(x)中，x叫做，叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的．
2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)
3．其它区间的表示
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)区间表示数集，数集一定能用区间表示． ( ) (2)数集{x |x ≥2}可用区间表示为[2，＋∞]． ( )
(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.（ ） (4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应.（ ） (5)函数的定义域和值域一定是无限集合． ( ) 2．函数y ＝
1
x ＋1
的定义域是 ( )
A ．[－1，＋∞)
B ．[－1,0)
C ．(－1，＋∞)
D ．(－1,0) 3．已知f (x )＝x 2
＋1，则f ( f (－1))＝ ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．用区间表示下列集合：
(1){x |10≤x ≤100}用区间表示为________． (2){x |x ＞1}用区间表示为________．
题型一 函数的定义
例1 下列选项中(横轴表示x 轴,纵轴表示y 轴),表示y 是x 的函数的是( )
跟踪训练一
1.集合A={x|0≤x ≤4},B={y|0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是( )
题型二 相等函数
例2 试判断以下各组函数是否表示同一函数:
(1)f(x)=(√x )2
,g(x)=√x 2;
(2)y=x 0
与y=1(x ≠0);
(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z). 跟踪训练二
1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f(x)=x 2-x x
,g(x)=x-1;
②f(x)=√x
x ,g(x)=√
x ;
③f(x)=√(x +3)2
,g(x)=x+3;
④f(x)=x+1,g(x)=x+x 0
;
⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t ≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x ≤5). 其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号). 题型三 区间
例3 已知集合A={x|5-x ≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A ∩B 用区间可表示为 . 跟踪训练三
1.集合{x|0<x<1或2≤x ≤11}用区间表示为 .
2. 若集合A=[2a-1,a+2],则实数a 的取值范围用区间表示为 . 题型四 求函数的定义域 例4 求下列函数的定义域:
(1)y=(x+2)
|x |-x ; (2)f(x)=x 2-1
x -1−√4-x . 跟踪训练四
1.求函数y=√2x +3√2-x
1
x 的定义域.
2.已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域. 题型五 求函数值（域） 例5 (1)已知f(x)＝
1
1+x
(x ∈R ，且x ≠－1)，g(x)＝x 2
＋2(x ∈R)，则f(2)＝________，
f(g(2))＝________. (2)求下列函数的值域：
①y ＝x ＋1； ②y ＝x 2
－2x ＋3，x ∈[0,3)； ③y ＝
3x−11+x
； ④y ＝2x －√x −1.
跟踪训练五
1.求下列函数的值域： (1)y ＝ √2x +1 ＋1；(2)y ＝
1−x 21+x 2
.
1．对于集合A ={x |0≤x ≤2}，B ={y |0≤y ≤3}，由下列图形给出的对应f 中，不能构成从A 到B 的函数有（ ）个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2．函数()21
21
f x ax x =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．a >1
B ．0<a <1
C ．a <0
D ．a <1
3．函数f （x ）=
√x−1
x+3
的定义域为 A ．{x|1≤x <3或x >3} B ．{x|x >1} C ．{x|1≤x <2} D ．{x|x ≥1}
4．已知函数f (2x +1)的定义域为(−2,0)，则f (x )的定义域为（ ） A.(−2,0)
B.(−4,0)
C.(−3,1)
D.(−1
2,1)
5．下列各组函数中，()f x 与()g x 相等的是（ ）
A ．()()2,2f x x g x x =-=-
B ．()()3
2,f x x g x ==
C ．()()2
2,2x f x g x x x
=+=+
D ．()()22
,1x x x f x g x x x
-==- 6．集合A ={x |x ≤5且x ≠1}用区间表示____________．
7．已知函数8
()2
f x x =
-（1）求函数()f x 的定义域； （2）求(2)f -及(6)f 的值． 8．求下列函数的值域： （1）f （x ）=
21
1
x x -+；
（2）f （x ）=x ．
答案
小试牛刀
1．（1）× （2） × （3）√ （4）× （5 ）× 2．C 3．D
4. (1)[10,100] (2)(1，＋∞) 自主探究 例1 【答案】D 跟踪训练一【答案】C 例2 【答案】见解析
【解析】:(1)因为函数f(x)=(√x )2的定义域为{x|x≥0},而g(x)=√x 2的定义域为{x|x ∈R},它们的定
义域不同,所以它们不表示同一函数.
(2)因为y=x 0
要求x ≠0,且当x ≠0时,y=x 0
=1,故y=x 0
与y=1(x ≠0)的定义域和对应关系都相同,所以 它们表示同一函数.
(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数. 跟踪训练二【答案】⑤
【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数; ②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;
⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数. 例3 【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5] 【解析】∵A={x|5-x ≥0},∴A={x|x ≤5}. ∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x ≠±3}. ∴A ∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x ≤5}, 即A ∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]. 跟踪训练三
【答案】(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)
【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a<b. ∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3, ∴实数a 的取值范围是(-∞,3).
例4【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0) (2) (-∞,1)∪(1,4]
【解析】(1)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{x +2≠0,|x |-x ≠0,即{x ≠-2,
|x |≠x ,解得x<0,且x ≠-2.故原函
数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).
(2)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{4-x ≥0,x -1≠0,即{x ≤4,
x ≠1.
故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4]. 跟踪训练四
【答案】(1) {x |-3
2
≤x <2,且x ≠0} (2) [-1,3
2
]
【解析】(1)要使函数有意义,需{2x +3≥0,
2-x >0,x ≠0,
解得-3
2≤x<2,且x ≠0,所以函数y=√2x +3−
√
2-x
+1x 的定义域为{x |-3
2≤x <2,且x ≠0}.
(2)已知f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4. 故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4, ∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤3
2.
∴函数f(2x+1)的定义域是[-1,3
2]. 例5
【答案】（1）13
17 （2）① R ② [2,6) ③ {y|y ∈R 且y≠3} ④ ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫158，＋∞ 【解析】(1) ∵f (x)＝11＋x ，∴f(2)＝11＋2＝1
3
.
又∵g (x)＝x 2
＋2，∴g (2)＝22
＋2＝6， ∴f ( g(2))＝f (6)＝11＋6＝1
7
.
(2) ①(观察法)因为x ∈R ，所以x ＋1∈R ，即函数值域是R.
②(配方法)y ＝x 2
－2x ＋3＝(x －1)2
＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．
③(分离常数法)y ＝3x －1x ＋1＝3x ＋3－4x ＋1＝3－4
x ＋1.
∵
4
x ＋1
≠0，∴y≠3， ∴y ＝3x －1x ＋1
的值域为{y|y ∈R 且y≠3}．
④(换元法)设t ＝x －1，则t≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2
＋1)－t ＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t≥0，再结
合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫158，＋∞.
跟踪训练五
【答案】(1) [1，＋∞) (2) (－1,1]
【解析】(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 2
1＋x 2＝－1＋2
1＋x
2，
又函数的定义域为R ，所以x 2
＋1≥1，所以0＜21＋x 2≤2，则y ∈(－
1,1]． 所以所求函数的值域为(－1,1]. 当堂检测
1-5．CADCD 6．(,1)
(1,5]-∞
7．【答案】（1）()f x 的定义域为[3,2)(2,)-⋃+∞；（2）(2)1f -=-；(6)5f = 【解析】（1）依题意，20x -≠，且30x +≥，
故3x ≥-，且2x ≠，即函数()f x 的定义域为[
)()3,22,-⋃+∞. （2）()8
223122
f -=
+-+=---，
()8
663562
f =
+=-. 8. 【答案】（1）（–∞，2）∪（2，+∞）； （2）[–
5
4
，+∞）. 【解析】（1）因为f （x ）=
()2131
x x +-+=2–
3
1
x +，所以f （x ）≠2， 所以函数f （x ）的值域为（–∞，2）∪（2，+∞）．
（21x +（t≥0），则x=t 2–1，所以y=t 2–t –1（t≥0）． 因为抛物线y=t 2–t –1开口向上，对称轴为直线t=
1
2
∈[0，+∞），
所以当t=1
2
时，y取得最小值为–
5
4
，无最大值，
所以函数f（x）的值域为[–5
4
，+∞）．。