第7讲 系统仿真模型的建立59讲解

一、微分方程模型

微分方程是系统模型的基础，一般来讲，利用机械学、电学和
力学等物理规律，便可以得到控制系微分方程统的动态方程，这些
方程对于线性定常连续系统而言是一种常系数的线性微分方程。
根据系统物理机理建立系统微分方程模型的基本步骤： （1）确定系统中各元件的输入、输出物理量； （2）根据物理定律或化学定律(机理)，列出元件的原始方
(2)状态变量： 能够完全表征系统运动状态的最小一组变量：
a.
x
t
t t0

x(t ) 0
表示系统在
t 0
时刻的状态
b.
若初值
x(t ) 0
给定，t t 时的 u(t)给定，则状态变量 0
确定系统在 t t 时的行为。 0
(3)状态向量：以系统的n个独立状态变量
x t, , x t
函数[r,p,k]=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展 开，以及把传函分解为微分单元的形式。
向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数。部分分式展 开后，余数返回到向量r，极点返回到列向量p，常数项 返回到k。
[b,a]=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比 b(s)/a(s)。
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
G(s)

C(s) R(s)

b0sm a0sn
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
对线性定常系统，式中s的系数均为常数，且a0不等 于零，这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母
程，在条件允许的情况下忽略次要因素，适当简化； （3）列出原始方程中中间变量与其他因素的关系； （4）消去中间变量，按模型要求整理出最后形式。
表达系统输入、输出之间动态关系的微分方程：
anxo(n) (t) ... a1xo(1) (t) a0 xo(t) bmxi(m) (t) ... b1xi(1) (t) b0 xi(t)
J T
K C
J T
K C
举例：
1 6 9 10 4 6
x 3 12
6
8

x

2
4 u
4 7 9 11 2 2
5 12 13 14 1 0
0 0 2 1 y 8 0 2 2 x
系统为一个两输入两输出系统
》A=[1 6 9 10; 3 12 6 8; 4 7 9 11; 5 12 13 14]; 》B=[4 6; 2 4; 2 2; 1 0]; 》C=[0 0 2 1; 8 0 2 2]; 》D=zeros(2,2); 》sys=ss(A,B,C,D);
y(t) Cx(t) Du(t)
(7) 状态空间表达式： (5)+ (6)
x Ax Bu y Cx Du
在MATLAB中，系统状态空间用(A,B,C,D)矩阵组表示。
状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又 称为动态方程，经典控制理论用传递函数将输入—输 出关系表达出来，而现代控制理论则用状态方程和输 出方程来表达输入—输出关系，揭示了系统内部状态 对系统性能的影响。
-5
-2.0000
-1.0000
结果表达式：G(s)
s(s 6)(s 5)
(s 1)(s 2)(s 3 4 j)(s 3 4 j)
2）系统的零极点增益模型： G(s)
6(s 3)
(s 1)(s 2)(s 5)
》z=[-3];p=[-1,-2,-5];k=6; 》[num,den]=zp2tf(z,p,k) 》num= 0 0 6 18 den= 1 8 17 10
》[a,b,c,d]=zp2ss(z,p,k)
》a= -1.0000 0
0
b=1
2.0000 -7.0000 -3.1623
1
0 3.1623 0
0
c= 0
0 1.8974 d=0
注：零极点的输入可以写成行向量，也可以写成列向量。
3）已知部分分式模型：G(s) 2 0.25i 0.25i 2 s 2i s 2i s 1
G=zpk(z,p,k);
k=6;
z=-5;
p=[-1;-6];
G=zpk(z,p,k);
G(s)

4(s 2)( s2 6s 6)2 s(s 1)3(s3 3s2 2s 5)
因式相乘形式的传递函数 G(s)=G1(S)*G2(S)*…..
借助多项式乘法函数conv来处理
如果已知微分方程的输入量及变量的初始条件，对微分方程进 行求解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行 性能分析。
应用拉普拉斯变换求解微分方程 通过拉氏变换和反变换，可以得到线性定常系统的解析解，这
种方法通常只适用于常系数的线性微分方程，解析解是精确的， 然而通常寻找解析解是困难的。 MATLAB提供了ode23、ode45等微分方程的数值解法函数， 不仅适用于线性定常系统，也适用于非线性及时变系统。
G(s) K (s z1)( s z2 )...( s zm ) (s p1)( s p2 )...( s pn )
在MATLAB中零极点增益模型用[z,p,K]矢量组表示。即：
z=[z1;z2;…;zm]
p=[p1;p2;...;pn] K=[k]
G(s)=6*(s+5)/(s+1)(s+6)
G(s) K (s z1)( s z2 )...( s zm ) (s p1)( s p2 )...( s pn )
K为系统增益，zi为零点，pj为极点
零极点增益模型是传递函数模型的另一种表现形式，其原 理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理， 以获得系统的零点和极点的表示形式。
部分分式展开：G(s)

2s3 9s 1 s3 s2 4s 4
》num=[2,0,9,1];
》den=[1,1,4,4]; [r,p,k]=residue(num,den)
》 r=
p=
k=
0.0000-0.2500i
0.0000+2.0000i
2
0.0000+0.2500i
0.0000-2.0000i
注：它们都是按s的降幂进行排列的。
den=[2 4 6 2 2]; G=tf(num,den)
部分分式型：通过代数运算，先将一个复杂的象函数化为几个
简单的部分分式之和，再分别求出各个分式的原函数，这样总 的原函数就可求得。
为了将有理式形式的传递函数模型写成部分分式形式，首 先把其分母进行因式分解，则
》r=[-0.25i,0.25i,-2]; 》p=[2i,-2i,-1];k=2; 》[num,den]=residue(r,p,k) 》num=
2091 》den=
1144
注：余式一定要与极点相对应。
4）已知系统状态空间模型为： x

0 1
1 2x

0 1u
》A=[0 1; -1 -2]; B=[0;1]; y 1 3x u
四、数学模型间的转换
在某些场合下需要用到某种模型，而在另外一些场合下可能 需要另外的模型，这就需要进行模型的转换。
在matlab软件中，提供了模型转换的功能函数，可以直接调 用。仿真时常见的模型转换主要有：
模型转换的命令包括： residue：传递函数模型与部分分式模型互换 ss2tf： 状态空间模型转换为传递函数模型 tf2ss： 传递函数模型转换为状态空间模型 ss2zp： 状态空间模型转换为零极点增益模型 tf2zp： 传递函数模型转换为零极点增益模型 zp2ss： 零极点增益模型转换为状态空间模型 zp2tf： 零极点增益模型转换为传递函数模型
G(s)
1）

s4

s3 11s2 30s 9s3 45s2 87s

Байду номын сангаас
50
转换为零极点增益模型形式
》num=[1,11,30,0];
》den=[1,9,45,87,50]; [z,p,k]=tf2zp(num,den)
》
z=
p=
k=
0
-3.0000+4.0000i
1
-6
-3.0000-4.0000i
G(s) b0sm b1sm1 bm1s bm a0 (s p1)(s p2 )...(s pn )
G(s) c1 c 2 ... c n
n

ci
s p1 s p2
s pn i1 s pi
部分分式展开：系统常用到对系统函数进行分解，使 其表现为一些基本控制单元的和的形式。
num=4*conv([1,2],conv([1,6,6],[1,6,6])); den=conv([1,0],conv([1,1],conv([1,1],conv([1,1],[1,3,2,5])))); G=tf(num,den)
三、MIMO系统模型
基本概念
(1)状态： 系统过去、现在和将来的状况
2、离散系统：系统的某处或多处的信号为脉冲序列或数码形式。这 类系统用差分方程来描述。
3、非线性系统：系统中有元部件的输入输出特性为非线性的系统。
系统的数学模型在系统的研究中有着相当重要的地位，要对系统 进行仿真处理，首先应当知道系统的数学模型，然后才可以对系 统进行模拟。
数学模型是描述系统或环节内部、外部各物理量（或变量） 之间动、静态关系的数学表达式或图形表达式。 亦：描述系统性能的数学表达式(或数字、图像表达式)。
系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别
用num和den表示。
num=[b0,b1,…,bm]; den=[a0,a1,…,an];
仿真模型
G(s)

12 s3 24 s2 2s4 4s3 6s2

20 2s

2
sys=tf(num,den);
num=[12,24,0,20];
1
n
作为分量的向量，即 xt x t , , x t T
1
n
(4)状态空间：以状态变量
x t, 1
, x t 为坐标轴构成的 n
n维空间
(5)状态方程：描述系统状态与输入之间关系的一阶微分方程（组）：
x(t) Ax(t) Bu(t)
(6)输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数学表达式：
数学模型是由具体的物理问题、工程问题从定性的认识上升 到定量的精确认识的关键！（这也是数学的意义就在于此）。它 可有多种形式，建立系统数学模型的方法可以不同，不同的模型 形式适用于不同的分析方法。
常用的数学模型主要形式有以下三种。它们之间都有着内在的联系， 可以相互进行转换。
1.微分方程模型；2.传递函数模型（系统的外部模型）：有理分式型、 部分分式型、零极点增益型；3.状态方程模型（系统的内部模型）
二、SISO系统模型
线性定常系统的传递函数：初始条件为零时，系统输出量的 拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
通过传递函数可以将实数域中的微分、积分运算化为复数域中 的代数运算，大大简化了计算工作量，而且由传递函数导出的频率 特性还具有物理意义。
有理分式型：
G(s)

C(s) R(s)

b0sm a0sn
第七讲 系统仿真模型的建立
系统按性能分：线性系统和非线性系统； 连续系统和离散系统； 定常系统和时变系统； 确定性系统和不确定性系统。
1、线性连续系统：用线性微分方程式来描述，如果微分方程的系数 为常数，则为定常系统；如果系数随时间而变化，则为时变系统。 我们讨论的系统主要是以线性定常连续系统为主。
-2.0000
-1.0000
结果表达式：G(s) 2 0.25i 0.25i 2 s 2i s 2i s 1
[b,a]=residue(r,p,k)
零极点增益模型：通过是传递函数模型的另一种表现形式，
其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处 理，以获得系统的零点和极点的表示形式。
》C=[1,3]; D=[1];
》[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)
％iu用来指定第n个输入，当只有一个输入时可忽略。 》num=1 5 2; den=1 2 1;
》[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu)
》z= -4.5616 p= -1