北京四中九年级上册数学探索相似三角形相似的条件知识讲解(提高)

探索相似三角形相似的条件(提高)
【学习目标】
1.相似三角形的概念.
2.相似三角形的三个判定定理.
3.黄金分割.
4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力. 【要点梳理】
要点一、相似三角形的概念
相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 要点诠释：
(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A 的对应点是A ′，点B 的对应点是B ′，点C 的对应点是C ′；
(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 要点二、相似三角形的三个判定定理 定理：两角分别相等的两个三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似. 要点诠释：
（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 要点三、相似三角形的常见图形及其变换：
要点四、黄金分割
1.定义： 一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC 两段,如果
AC BC
AB AC
=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比. 要点诠释：
51AC AB -=
≈0.618AB(0.61851
-是黄金分割的准确值).
2.作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
（1）经过点B作BD⊥AB，使BD =
2
1
AB.
（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.
（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
要点诠释：
一条线段的黄金分割点有两个.
【典型例题】
类型一、相似三角形的概念
1、买西瓜为什么挑大个？
思驰是一个好奇心很强的女孩，凡事都喜欢问个为什么．一天，思驰跟爸爸上街买西瓜．见爸爸选中的全是大个西瓜，她的小脑袋瓜又转开了：买西瓜为什么挑大个？
“你这个沈老师的得意门生，能用学过的数学知识解决吗？”，爸爸“将”了思驰一军．
回到学校，思驰就找来远兮一起商量．两人便开始了一番精彩对话．
思驰：西瓜可以近似看成球体，可以应用球的体积公式．
远兮：大西瓜和小西瓜的皮厚几乎相等．
思驰：人们买瓜是为了吃瓤．
远兮：瓤的体积在整个西瓜体积中占的比越大越好．
思驰：两者的体积比如何求呢？
经过一段时间的商讨，她们提出了解决方案：设瓜瓤（视为球体）的半径为r，瓜皮厚度为a，
则瓤和整个瓜的体积比为：
3
3
3
3
3
4
3()
4()
()
3
r r r
r a r a
r a
π
π
==
++
+
＜1当a一定时，r值越大，（3
()
r
r a
+
的值越接近于1，即西瓜越大，瓤与整个瓜的体积比越接近于1．
思驰把解决方案讲给父亲听后，父亲充满了赞许之意，但父亲同时又提出了：你能用你正在学习的相似图形知识解决问题吗？等你学完图形的相似这一章后，我相信你还能找出新的方法的．
问题：你认为生活中还有哪些与它类似的情形？
【思路点拨】通过选西瓜的方法学会分析解决生活中简单的实际问题，将西瓜沿球心所在直线切开，得到瓤和皮两个圆，根据相似形的性质，计算其半径的比，得到面积比，从而得出正确结果．
【答案与解析】
解：如图，设西瓜外径为R，西瓜内径为r，瓜皮厚度为a，
于是两圆
面积比为
2
2
()
r
R
S r
S r a
=
+
，
当r越大时，S r：S R越接近与1，
故西瓜越大越合算．
与此类似，买鸡蛋也应挑大个的．
【总结升华】此题是一道材料分析题，通过题目信息所给出的研究方法，进行探究是解答此类题目的基本思路．
类型二、相似三角形的三个判定定理
2、如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．
（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1_____S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；
（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．
【思路点拨】（1）根据S1= 1
2
S矩形B D E F，S2+S3=
1
2
S矩形B D E F，即可得出答案．
（2）根据矩形的性质，结合图形可得：△BCD∽△CFB∽△DEC，选择一对进行证明即可．【答案与解析】
（1）解：∵S1=1
2
BD×ED，S矩形B D E F=BD×ED，
∴S1=1
2
S矩形B D E F，
∴S2+S3=1
2
S矩形B D E F，
∴S1=S2+S3．
（2）答：△BCD∽△CFB∽△DEC．
证明△BCD∽△DEC；
证明：∵∠EDC+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，
∴∠EDC=∠CBD，
又∵∠BCD=∠DEC=90°，
∴△BCD∽△DEC．
【总结升华】
举一反三
【变式】如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C=54°，∠A=47°，∠F=54°，∠E=79°，求证：△ABC∽△DEF．
【答案】
解：在△ABC中，∠B=180°-∠A-∠C=79°，
在△ABC和△DEF中，
B E
A D
∠∠
∠∠
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
∴△ABC∽△DEF．
3、如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为___________时，△ADP和△ABC相似．
【思路点拨】分别根据当△ADP∽△ACB时，当△ADP∽△ABC时，求出AP的长即可．
【答案】4或9；
【解析】解：当△ADP∽△ACB时，
∴
AP AD
AB AC
=，
∴
6
128
AP
=，
解得：AP=9，
当△ADP∽△ABC时，
∴
AD AP
AB AC
=，
∴
6
128
AP
=，
解得：AP=4，
∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．
故答案为：4或9．
【总结升华】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键．举一反三
【变式】如图，在△ABC于△ADE中,AB AE
BC ED
=，要使△ABC于△ADE相似，还需要添加一个条
件，这个条件是___________．
【答案】∠B=∠E．
4、如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．（1）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（2）P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由）
【思路点拨】（1）首先根据小正方形的边长，求出△ABC和△DEF的三边长，然后判断它们是否对应成比例即可．
（2）只要构成的三角形与△ABC的三边比相等即可（答案不唯一）．
【答案与解析】
解：（1）△ABC和△DEF相似；
根据勾股定理，得AB=2 5，AC= 5，BC=5；
DE=4 2，DF=2 2，EF=2 10；
∵
2510
42
AB AC BC
DE DF EF
====,
∴△ABC∽△DEF．
（2）答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可；
△DP2P5，△P5P4F，△DP2P4，△P5P4D，△P4P5P2，△FDP1．
【总结升华】此题主要考查的是相似三角形的判定方法：
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．（SSS）
举一反三
【变式】如图，已知每个小正方形的边长均为1，△ABC与△DEF的顶点都在小正方形的顶点上，那么△DEF与△ABC相似的是（）
【答案】B.
由勾股定理求得各三角形的三边长，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．注意排除法在解选择题中的应用．
类型三、黄金分割
折纸与证明---用纸折出黄金分割点：
第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．
第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）
【思路点拨】连接GF，设正方形的边长为1，由折纸第一步，可知DF=1
2
，在Rt△BCF中，根据勾股定理得
出BF，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，根据勾股定理由GF不变列出关于AG的方程，解方程求出AG的长，即可说明点G是AD的黄金分割点．
【答案与解析】
证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=1
2
．
在Rt△BCF中，BF=22
5 2
BC CF
+=，
则A′F=BF-BA′=
5
2
-1．
设AG=A′G=x，则GD=1-x，
在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2，
即(
5
2
-1)²+x2=(
1
2
)2+(1-x)2，
解得x=51 2
-
，
即点G 是AD 的黄金分割点（AG ＞GD ）．
【总结升华】本题考查黄金分割的概念：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点． 举一反三：
【变式】（2012•恩施州）如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落到线段EA 上，折出点B 的新位置B ′，因而EB ′=EB ．类似地，在AB 上折出点B ″使AB ″=AB ′．这时B ″就是AB 的黄金分割点．请你证明这个结论．
【答案】设正方形ABCD 的边长为2，
E 为BC 的中点， ∴BE=1
∴AE=
225AB BE +=，
又∵B ′E=BE=1，
∴AB ′=AE-B ′E=51-， ∴AB ″：AB=(51-)：2
∴点B ″是线段AB 的黄金分割点．。