江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试数学试题(原卷版)

江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试

数学试题

参考公式：

样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2

211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．

． 1．设集合{}1,0,1-=M ，{}

02≤+=x x x N ，则=N M ▲ ．

2．命题“1>∃x ，使得22≥x ”的否定是 ▲ ．

3．已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z -，若2z =z -+ 2 - 3i ，则z = ▲ ．

4．现有4名学生A ，B ，C ，D 平均分乘两辆车，则“A ，B 两人恰好乘坐在同一辆车”的概率为 ▲ ．

5．曲线x e y =在0=x 处的切线方程是 ▲ ．

6. 如图是一个输出一列数的算法流程图，则这列数的第三项是 ▲ ．

第6题图

7. 定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()2

2x f x x =-，则()(0)1f f +-＝ ▲ ． 8. 已知等差数列{}n a 的公差为d ，若12345,,,,a a a a a 的方差为8, 则d 的值为 ▲ ．

9. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB AD cm ==，12AA cm =，则三棱锥11A B D D -的体积为 ▲ 3cm ．

第9题图

10. 已知π(0,)2α∈，π(,π)2β∈，1cos 3α=，5

3)sin(-=+βα，则cos β= ▲ ． 11．已知函数311,,()11,,

x f x x x x ⎧>⎪=⎨-≤≤⎪⎩若关于x 的方程()(1)f x k x =+有两个不同的实数根，则实数k 的取

值范围是 ▲ ．

12．圆心在抛物线212

y x =上，并且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为 ▲ ． 13．已知点P 是ABC ∆内一点（不包括边界），且n m +=,∈n m ,R ，则22(2)(2)m n -+-的

取值范围是 ▲ ．

14．已知2,0a b b +=>，当1||2||a a b

+取最小值时，实数a 的值是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos 2cos b C c B a A +=．

（1）求A 的大小；

（2

）若AB AC ⋅ ABC 的面积．

16．（本题满分14分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，

且PA PD AD ==，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点.

（1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求证：EF ⊥平面PDC .

17．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆1:22

22=+b

y a x C )0(>>b a 的左、右焦点分别为21,F F ，点P )1,3( 在椭圆上，21F PF ∆的面积为22。

（1） ①求椭圆C 的标准方程；

② 若12F QF ∠=3π

，求21QF QF ⋅的值.

（2）直线k x y +=与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值.

第17题图

18．（本小题满分16分） 如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，20AB =米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN （宽度不计），点M 在线段AD 上，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN （宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a 元，单人弧形椅的造价每米为a 元，记锐角NBE θ∠=，总造价为W 元．

（1）试将W 表示为θ的函数()W θ，并写出θcos 的取值范围；

（2）如何选取点M 的位置，能使总造价W 最小．

第18题图

19．（本小题满分16分）

在数列{}n a 中，已知12a =，1=321n n a a n ++-．

（1）求证：数列{}+n a n 为等比数列；

（2）记(1)n n b a n λ=+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ,若3T 为数列{}n T 中的最小项，求λ的取值范围．

20．（本小题满分16分）

已知函数2()ln ,()f x x x g x x ax =-=-．

（1）求函数()f x 在区间[],1(0)t t t +>上的最小值()m t ；

（2）令1122()()(),(,()),(,())h x g x f x A x h x B x h x =-12()x x ≠是函数()h x 图象上任意两点，且满足1212

()()1,h x h x x x ->-求实数a 的取值范围； （3）若(0,1]x ∃∈，使()()a g x f x x

-≥

成立，求实数a 的最大值．

21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A ．选修4—1：几何证明选讲

如图，ABC ∆是圆O 的内接三角形，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PB 交AC 于点E ，交圆O 于点D ，若PE PA =，60ABC ∠=︒，且19PD PB ==，，求EC ．

B ．选修4—2：矩阵与变换

已知21⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α为矩阵114a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦

A 属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的值及2A ． C ．选修4—4：坐标系与参数方程

（第21-A 题）