定积分与微积分基本定理练习题及答案

1。

4定积分与微积分基本定理练习题及答案
1.(2011·宁夏银川一中月考）求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是()
A．S＝错误!（x2－x)dx B．S＝错误!(x－x2）dx
C．S＝错误!（y2－y)dy D．S＝错误!(y－错误!)dy
［答案] B
［分析］根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．
[解读]两函数图象的交点坐标是（0,0），（1，1)，故积分上限是1,下限是0,由于在［0，1］上，x≥x2，故函数y＝x2与y＝x所围成图形的面积S＝错误!(x－x2）dx。

2．（2010·山东日照模考）a＝错误!xdx,b＝错误!exdx，c＝错误!sinxdx，则a、b、c的大小关系是（)
A．a<c<bB．a<b<c
C．c<b〈aD．c<a<b
［答案] D
[解读］a＝错误!xdx＝错误!x2｜02＝2，b＝错误!exdx＝ex｜02＝e2－1>2，c＝错误! sinxdx＝－cosx|02＝1－cos2∈(1，2）,
∴c〈a〈b。

3．(2010·山东理,7）由曲线y＝x2,y＝x3围成的封闭图形面积为（)
A。

错误!B.错误!C。

错误!D.错误!
[答案] A
[解读]由错误!得交点为（0，0），（1,1）．
∴S＝错误!（x2－x3)dx＝错误!01＝错误!。

［点评]图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函
数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：
（2010·湖南师大附中）设点P在曲线y＝x2上从原点到A(2，4）
移动，如果把由直线OP，直线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记作S1，S2。

如图所示，当S1＝S2时，点P的坐标是（）
A。

错误!B.错误!
C.错误!D。

错误!
[答案] A
[解读]设P（t,t2)（0≤t≤2）,则直线OP:y＝tx，∴S1＝错误!(tx－x2)dx＝错误!;S2＝错误! (x2－tx）dx＝错误!－2t＋错误!，若S1＝S2，则t＝错误!,∴P错误!。

4．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x3所围成的图形的面积为（ ）
A ．4
B 。

错误!C.错误!D ．6
[答案] A
［解读] S ＝错误!x3dx ＝错误!02＝4.
5．(2010·湖南省考试院调研)错误!－1（sinx ＋1）dx 的值为（ ）
A ．0
B ．2
C ．2＋2cos1
D ．2－2cos1
[答案] B
[解读] 错误!－1（sinx ＋1)dx ＝（－cosx ＋x)｜－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1）－1）＝2.
6．曲线y ＝cosx （0≤x≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( )
A ．2π
B ．3π
C.错误!D ．π
［答案］ A
[解读］ 如右图，
S ＝∫02π（1－cosx ）dx
＝（x －sinx)|02π＝2π。

［点评］ 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为错误!，则对称性就无能为力了．
7．函数F （x ）＝错误!t(t －4)dt 在[－1,5]上（ )
A ．有最大值0，无最小值
B ．有最大值0和最小值－错误!
C ．有最小值－323
，无最大值 D ．既无最大值也无最小值
［答案］ B
［解读] F′(x ）＝x(x －4），令F′(x ）＝0，得x1＝0,x2＝4，
∵F （－1)＝－错误!,F(0)＝0,F （4）＝－错误!，F(5）＝－错误!。

∴最大值为0，最小值为－错误!.
［点评] 一般地,F(x ）＝错误!φ(t ）dt 的导数F′（x)＝φ（x ）．
8．已知等差数列{an}的前n 项和Sn ＝2n2＋n ，函数f(x ）＝错误!错误!dt ，若f （x ）〈a3，则x 的取值范围是( ）
A 。

错误!
B ．(0，e21）
C ．(e －11,e)
D ．（0,e11)
[答案］ D
[解读］ f （x ）＝错误!错误!dt ＝lnt ｜1x ＝lnx ，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx 〈11得，0<x<e11。

9．（2010·福建厦门一中)如图所示,在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内,曲线y ＝sinx （0≤x≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分,向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是（ ）
A.错误!
B.错误!C 。

错误!D.错误!
［答案] A
[解读] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝错误!sinxdx ＝－cosx ｜0π＝－（cosπ－cos0）＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝错误!＝错误!＝错误!.
10．(2010·吉林质检）函数f(x)＝错误!的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( )
A.错误!B ．1 C ．4 D.错误!
［答案］ C
［解读］ 面积S ＝∫错误!－2f （x ）dx ＝错误!－2(x ＋2)dx ＋∫错误!02cosxdx ＝2＋2＝4。

11．(2010·沈阳二十中)设函数f(x ）＝x －［x ］，其中［x]表示不超过x 的最大整数，如［－1.2]＝－2,[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g(x ）＝－错误!，f(x ）在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f(x)与g(x ）的图象交点的个数记为n,则错误!g （x)dx 的值是( ）
A ．－错误!
B ．－错误!
C ．－错误!
D ．－错误!
[答案］ A
［解读] 由题意可得，当0<x<1时，[x ］＝0，f （x)＝x ，当1≤x<2时，[x ］＝1，f （x ）＝x －1，所以当x ∈(0，2）时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x ）的图象可知两个函数有4个交点,所以m ＝1，n ＝4，则错误!g （x)dx ＝错误!错误!dx ＝错误!14＝－错误!.
11．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间［0，1］上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c （b 、c 可以相等）,若关于x 的方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为（ ）
A.13
B.错误!C 。

错误!D.错误! [答案] A
［解读] 方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c≥0，即b2≥c ，
由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝错误!＝错误!。

12．（2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O （0，0）,A(1,0)，B(1，1），C （0,1），曲线y ＝x2（x≥0)与x 轴,直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )
A.错误!B 。

错误! C.13
D.错误! [答案] C
［解读］ 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝错误!
x2dx ＝错误!x3｜01＝错误!，故所求概率p ＝错误!。

2．如图,阴影部分面积等于( ）
A ．2错误!
B ．2－错误!
C 。

323D.353
[答案] C
［解读] 图中阴影部分面积为
S ＝错误! (3－x2－2x ）dx ＝(3x －错误!x3－x2）|错误!＝错误!.
3.错误!错误!dx ＝（ ）
A ．4π
B ．2π
C ．π D.错误!
［答案] C
［解读] 令y ＝错误!，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，
∴S ＝错误!×π×22＝π.
4。

已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()
A．在t1时刻，甲车在乙车前面
B．在t1时刻，甲车在乙车后面
C．在t0时刻，两车的位置相同
D．t0时刻后，乙车在甲车前面
［答案］ A
[解读]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题,实际上是判断在t0,t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻,v甲的图象与t轴和t＝0,t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻,v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积,仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积,所以,可以断定：在t1时刻，甲
车还是在乙车的前面．所以选A.
5．（2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝｛(x ，y ）｜－错误!≤x≤错误!，0≤y≤1｝内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( ）
A 。

π4
B.错误! C 。

错误!－1 D 。

错误!
［答案] D
［解读］ 平面区域Ω是矩形区域，其面积是错误!，在这个区
6． （sinx －cosx ）dx 的值是（ )
A ．0
B 。

错误!
C ．2
D ．－2
[答案] D
［解读] (sinx －cosx)dx ＝（－cosx －sinx ） ＝－2.
7．(2010·惠州模拟）错误!（2－｜1－x ｜）dx ＝________.
［答案］ 3
［解读］ ∵y ＝错误!，
∴错误!(2－|1－x|)dx ＝错误!(1＋x ）dx ＋错误!（3－x ）dx
＝(x ＋错误!x2)｜错误!＋（3x －错误!x2）|错误!＝错误!＋错误!＝3。

8．（2010·芜湖十二中）已知函数f(x ）＝3x2＋2x ＋1，若错误!－1f(x ）dx ＝2f （a ）成立,则a ＝________。

［答案] －1或错误!
[解读］ ∵错误!－1f （x)dx ＝错误!－1（3x2＋2x ＋1)dx ＝（x3＋x2＋x)｜错误!＝4，错误!－1f(x)dx ＝2f （a ）,∴6a2＋4a ＋2＝4，
∴a ＝－1或错误!.
9．已知a ＝∫错误!0（sinx ＋cosx)dx ，则二项式（a 错误!－错误!)6的展开式中含x2项
的系数是________．
[答案]－192
［解读]由已知得a＝∫错误!0(sinx＋cosx）dx＝(－cosx＋sinx）|错误!0＝(sin错误!－cos错误!)－（sin0－cos0）＝2，
（2错误!－错误!）6的展开式中第r＋1项是Tr＋1＝（－1)r×C错误!×26－r×x3－r，令3－r＝2得，r＝1，故其系数为(－1）1×C错误!×25＝－192。

10．有一条直线与抛物线y＝x2相交于A、B两点，线段AB与抛物线所围成图形的面积恒等于错误!，求线段AB的中点P的轨迹方程．
［解读]设直线与抛物线的两个交点分别为A（a，a2）,B(b，b2),不妨设a〈b，
则直线AB的方程为y－a2＝错误!（x－a），
即y＝(a＋b)x－ab.
则直线AB与抛物线围成图形的面积为S＝错误!［(a＋b)x－ab－x2]dx＝（错误!x2－abx －错误!）|错误!＝错误!(b－a）3,
∴错误!(b－a)3＝错误!,
解得b－a＝2.设线段AB的中点坐标为P（x,y)，
其中错误!将b－a＝2代入得错误!
消去a得y＝x2＋1。

∴线段AB的中点P的轨迹方程为y＝x2＋1。

能力拓展提升
11。

（2012·郑州二测)等比数列｛an}中，a3＝6，前三项和S3＝错误!4xdx,则公比q的值为（)
A．1 B．－错误!
C．1或－错误!D．－1或－错误!
［答案] C
[解读]因为S3＝错误!4xdx＝2x2|错误!＝18，所以错误!＋错误!＋6＝18，化简得2q2－q－1＝0,解得q＝1或q＝－错误!，故选C.
12．（2012·太原模拟)已知(xlnx)′＝lnx＋1，则错误!lnxdx＝()
A．1 B．e C．e－1 D．e＋1
［答案] A
[解读］由(xlnx）′＝lnx＋1，联想到(xlnx－x)′＝(lnx＋1)－1＝lnx,于是错误!lnxdx＝(xlnx －x)｜错误!＝(elne－e)－(1×ln1－1）＝1。

13．抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为________．
［答案]18
［解读］由方程组错误!解得两交点A(2，2）、B（8，－4）,选y作为积分变量x＝错误!、
x ＝4－y ，
∴S ＝错误! ［(4－y ）－错误!]dy ＝(4y －错误!－错误!)｜错误!＝18.
14。

已知函数f(x ）＝ex －1，直线l1：x ＝1,l2:y ＝et －1(t 为常数，且0≤t≤1）．直线l1,l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y 轴与函数f （x ）的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t 变化时,阴影部分的面积的最小值为________．
［答案] （错误!－1）2
[解读］ 由题意得S1＋S2＝错误!(et －1－ex ＋1)dx ＋错误!(ex －1－et ＋1)dx ＝错误!（et －ex ）dx ＋错误!(ex －et)dx ＝(xet －ex ）｜错误!＋(ex －xet ）|错误!＝(2t －3)et ＋e ＋1,令g(t ）＝(2t －3）et ＋e ＋1（0≤t≤1),则g′（t)＝2et ＋(2t －3）et ＝（2t －1)et ，令g′(t ）＝0，得t ＝错误!，
∴当t ∈［0，12)时，g′(t ）〈0，g(t)是减函数,当t ∈（12
，1］时，g′（t)〉0，g(t)是增函数，因此g(t ）的最小值为g （错误!）＝e ＋1－2e 错误!＝(错误!－1）2.故阴影部分的面积的最小
值为（错误!－1）2。

15．求下列定积分．
(1）
⎠⎛1－1｜x｜dx。

(2)错误!cos2错误!dx；
2错误!dx.
(3）∫e＋1
［解读](1)错误!－1|x|dx＝2错误!xdx＝2×错误!x2|错误!＝1.
（2)错误!cos2错误!dx＝错误!错误!dx＝错误!x|错误!＋错误!sinx｜错误!＝错误!。

(3)∫错误!错误!dx＝ln（x－1）｜错误!＝1。

16．已知函数f（x）＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切,且x轴与函数图象所围区域（图中阴影部分)的面积为错误!，求a的值．
[解读] f ′（x）＝－3x2＋2ax＋b，∵f ′（0）＝0，∴b＝0，
∴f（x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a〈0）．
∴S阴影＝错误![0－(－x3＋ax2）]dx
＝（错误!x4－错误!ax3）|错误!＝错误!a4＝错误!，
∵a〈0，∴a＝－1.
1．(2011·龙岩质检）已知函数f(x)＝sin5x＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的
几何意义，探求f(x）dx的值，结果是()
A.错误!＋错误!B．π
C．1 D．0
[答案] B
［解读]f（x）dx＝sin5xdx＋1dx，由于函数y＝sin5x
是奇函数，所以sin5xdx ＝0,而1dx ＝x ｜错误!－错误!＝π，故选B 。

2．若函数f(x ）＝错误!的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( ）
A 。

2＋π4
B.错误! C ．1 D.错误!
[答案］ D
［解读］ 由图可知a ＝错误!＋错误!cosxdx ＝错误!＋sinx ｜错误!0＝错误!.
3．对任意非零实数a 、b,若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗错误!sinxdx ＝________.
[答案] 错误!
[解读] ∵错误!sinxdx ＝－cosx ｜错误!＝2〉错误!，
∴错误!⊗错误!sinxdx ＝错误!⊗2＝错误!＝错误!。

4．设函数f （x ）＝ax2＋c （a≠0），若错误!f （x)dx ＝f(x0），0≤x0≤1，则x0的值为________．
［答案］错误!
［解读］错误!f（x)dx＝错误!(ax2＋c)dx＝（错误!＋cx)｜错误!＝错误!＋c，故错误!＋c＝ax错误!＋c,即ax错误!＝错误!,又a≠0，所以x错误!＝错误!，又0≤x0≤1,所以x0＝错误!.故填错误!.
5．设n＝错误!（3x2－2）dx，则(x－错误!)n展开式中含x2项的系数是________．[答案］40
[解读］∵(x3－2x)′＝3x2－2,
∴n＝错误!(3x2－2）dx＝(x3－2x）|错误!
＝(23－2×2）－(1－2)＝5。

∴（x－错误!）5的通项公式为Tr＋1＝C错误!x5－r（－错误!)r
＝(－2)rCr，5x错误!,令5－错误!＝2，得r＝2，
∴x2项的系数是（－2）2C错误!＝40。

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