2023年河南省中考数学试卷(含答案)

河南省中考数学试卷
注意事项：
本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．
参考公式：二次函数c bx ax y ++=2
（a ≠0）图象的顶点坐标为)4a b ac 42(2
--，a b ． 一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下面的数中，与-2的和为O 的是
(A) 2 (B) -2 (C)12 (D)-12
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
3．下列运算，正确的是
(A)4a-2a=2 (B)a 6÷a 3=a 2 (C)（-a 3b ）2=a 6b 2 (D)（a-b ）2=a 2-b 2
4．洛阳某中学足球队的1 8名队员的年龄情况如下表：
年龄（单位：岁）
14 15 16 17 18 人数 3 6 4 4 1
则这些队员年龄的众数和中位数分别是
(A)15, 15 (B)15, 15.5 (C)15,16（D ）16,15
5．如过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图所示的几何体，其正确展开图为
6．不等式组
13
x+1>0的解集在数轴上可表示为 2-x ≥0
7．如图，在半径为6cm 的⊙O 中，点A 是劣弧BC 的中点，点D 是优弧BC 上一点，且∠D=30，下列四个结论：①OA 上BC;②3cm ；③sin ∠32
；④四边形ABOC
是菱形．
其中正确结论的序号是
(A)①③ (B)①②③④ (C)②⑨④ (D)①③④
8．已知点A 为某封闭图形边界上一定点，设点P 从点A 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点P 运动的时问为x ，线段AP 的长为y ．表示y 与x 的函数关系的图象大致如下图所示，则该封闭图形可能是
二、填空题（每小题3分，共21分）
9．a ，b 是两个连续整数，若a<7<b ，则1a -+35b +_____________
1 0．节约是一种美德，节约是一种智慧，据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合 粮食可养活约3亿5千万人．350 000 000用科学记数法表示为_______________
11.玩具店进了一箱黑白两种颜色的塑料球3000个，为了估计两种颜色的球各有多少个，将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到黑球的频率在0.7附近波动，据此可以估计黑球的个数约是_____________．
12.如图，直线∥m//n ，等边△ABC 的顶点B 、C 份别在直线n 和m 上，边BC 与直线n 所夹的角为25，则∠α的度数为____________
13．如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90，半径OA=6．将扇形AOB 沿过点B 的直线折叠，点O 恰好落在弧AB 上点D 处，折痕交OA 于点C ，整个阴影部分的而积__________．
14．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1 =X2 (x≥0)与y2=
2
4
x
(x≥0)于B、C两
点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则DE
AB
=_________.
15. 如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC 边的A＇处，折痕所在直线同时经过边AB、AD（包括端点），设BA＇=x，则x的取值范围是______________．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：（a+
1
2
a+
）÷（a-2+
3
2
a+
笔）其中a满足a2-a-2=0．
17.（9分）老师为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C:一般；D：较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
(1)李老师一共调查了多少名同学？
(2)C类女生有_________名，D类男生有__________名，将上面条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，李老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进
行“一帮一”互助学习，请用列表法或面树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
18.（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，以AC为直径的⊙○的切线，交BC于E．
(1)求证：点E是边BC的中点；
(2)当∠B=___________ o时，四边形ODEC是正方形．
19. （9分）已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学们在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP 行走了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76.
求：(1)坡顶A到地面PQ的距离；
(2)古塔BC的高度（结果精确到l米）．
(参考数据：sin76︒≈0.97，cos76≈0.24，tan 76≈4.00)
20.（9分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C
分别在坐标轴上，点B的坐标为（4,2），直线y=-1
2
x+3分别交AB，BC于点M，N，反比
例函数y=k
x
的图像经过点M，N.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标。

21.（10分）某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知5件甲种玩具的进价与3件乙种
玩具的进价的和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元。

（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，购进x（x>0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购期中一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱。

22.（10分）【操作探究】
如图1，四边形ABCD是正方形，E是CD边的中点，把△ADE沿AE折叠后AD的延长线交边BC于M，请判断线段AM、AD、MC之间的数量关系：_______________；
【拓展延伸】若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2上一题中的结论是否成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
【解决问题】如图3，四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别是B、C，AB=2CD，M是线段BC上一点，且∠AMB=2∠MAD，已知图中两个三角形的面积S△ADM=S1，S△CDM=S2，请用S1、S2表示S△ABM
23.（11分）抛物线y=ax2+bx+c(a 0)的顶点坐标为（2，-1），并且与y轴交于点C（0,3），与x轴交于两点A、B.
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是位于直线BC下方的抛物线上一动点。

○1如图1，过点P做PD⊥BC，垂足为D，求垂线段PD的最大值并求出此时点P的坐标；
○2如图2，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，过点P做y轴的平行线PQ，与直线BC 交于点Q，问是否以存在点P，使得M、P、Q为顶点的三角形与△BCO相似，若存在，直线写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

数学试卷参考答案
一、选择题：
1.A,
2.C,
3.C,
4.B,
5.B,
6.A,
7.B,
8.B
二、填空题：
9.3, 10.3.5×108 ， 11.2100，12.35°，13.3129-π，14.2，15.2≤x≤8 三、解答题： 16．原式= = ………………2分 = …………………………4分
a 2－a －2=0，a =2或a =－1，………………………………6分
当a =－1时，原式无意义 当a =2时，原式=3．…………………………………8分 17.（1）（6+4）÷50%=20．所以李老师一共调查了20名学生．…………………2分 （2）C 类女生有3名，D 类男生有1名；补充条形
统计图………………6分
（3）由题意画树形图如下：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且
每种结果出现的可能性相等，
所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种．
所以P （所选两位同学恰好是一位男同学
和一位女同学）=0.5．………………9分
18.（1）∵AC 为直径，∠ACB =90° ∴BC 为切线 ∠ADC =90°
∵DE 为切线，
∴DE=EC……………………………3分
∴∠EDC =∠ECD ，
∵∠BDE +∠EDC =90°，∠B +∠ECD =90°，
∴∠B =∠BDE ，∴ED =E B ．…………………………………6分
∴EB =EC ，即点E 为边BC 的中点；…………………………………7分
（2）45………………………………………………………………9分 ()2342
12a a 2++-÷+++a a a ()()()1a 1a 2a 2
a 1a 2-++•++1a 1
a -+从A 类中选取 从D 类中选取 男 男 女 女1 男 女 女2
女 男
A M
B N O
C x y 答：古塔BC 的高度约为19米．……………9分
20.（1）由题意，得2OA BC ==，将2y =代入1
32y x =-+，解得2x =， (22)M ∴，…………………………………2分 反比例函数k y x =的图象经过点(22)M ，， 22k
∴=，4k ∴=.
∴反比例函数的解析式4
y x =…………………4分
（2）4424=-⨯=--=∴∆∆NOC AOM OABC BMON S S S S 矩形四边形.
由题意，得1
2OP ·MA ＝4，MA ＝2，
4OP ∴=，
∴点P 的坐标为(0，4)或(0，4-)…………………………………………9分
21.（1）设每件甲种玩具的进价是a 元，每件乙种玩具的进价是b 元，由题意得
解得， ……………………….4分
答：每件甲种玩具的进价是30元，每件乙种玩具的进价是27元；
（2）当0＜x≤20时，y=30x ；
当x ＞20时，y=20×30+（x －20）×30×0.7=21x+180；………………………7分
（3）设购进玩具x 件（x ＞20），则乙种玩具花费27x 元；
当27x=21x +180，则x=30
所以当购进玩具正好30件时，选择购其中任何一种均可；
当27x ＞21x+180，则x ＞30
所以当购进玩具超过30件时，选择购甲种玩具省钱；
当27x ＜21x+180，则x ＜30
所以当购进玩具少于30件，选择购乙种玩具省钱．………………………10分
19. 解：（1）过点A 作AH ⊥PQ ，垂足为点H ．
∵斜坡AP 的坡度为1∶2.4，
∴125
=PH AH
设AH =5k ，则PH =12k ，由勾股定理得AP =13k ．
∴13k =26．解得k =2．∴AH =10．
答：坡顶A 到地面PQ 的距离为10米．………3分
（2）延长BC 交PQ 于点D ．
∵BC ⊥AC ，AC ∥PQ ，∴BD ⊥PQ ．
∴四边形AHDC 是矩形，CD =AH =10，AC =DH ……4分
∵∠BPD =45°，∴PD =BD ．
设BC =x ，则x +10=24+DH ．∴AC =DH =x －14．……………6分
在Rt △ABC 中， AC BC =︒76tan 即01.414≈-x x 解得356
=x ∴19≈x
{2313514132=+=+b a b a {30
27==a b
22.（1）AM=AD+MC…………………………………………………………..2分
（2）结论AM=AD+MC 仍然成立．……………………………..4分
证明：延长AE 、BC 交于点P ，如图2（1），
∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ．
∴∠DAE=∠EPC ． ∵AE 平分∠DAM ，
∴∠DAE=∠MAE ． ∴∠EPC=∠MAE ．
∴MA=MP ．
在△ADE 和△PCE 中， ∠DAE=∠CPE
∠AED=∠PEC 图2（1）
DE=CE
∴△ADE ≌△PCE （AAS ）．∴AD=PC ．
∴MA=MP=PC+MC=AD+MC ．………………………………..7分
（3）S △ABM =2 S 1－4 S 2…………………………………………………10分
23．（1）由题意可设抛物线的表达式为()122--=x a y .
∵点C ()3,0在抛物线上，
∴()31202=--a ，解得1=a .
∴342+-=x x y ………………………………3分
（2）①过P 作y 轴的平行线交BC 与Q ，
直线BC 的解析式为：y=－x+3
则PQ=x x x x x 334322+-=+--+-）（）（………5分
PD=)3(2
2222x x PQ +-=, 当x=1.5时有最大值
829…………………………………………7分 对应点P(4
3-,23)………………………………………..9分 ②(1,0) ()
122，-………………………11分
教师的职务是‘千教万教，教人求真’;学生的职务是‘千学万学，学做真人’。

我们发现了儿童有创造力，认识了儿童有创造力，就须进一步把儿童的创造力解放出来。

——好词好句
A B D
E M。