人教版初二上册第十二章学案设计：角平分线和线段中垂线定理

人教版初二上册第十二章学案设计：角平分线和线段中垂线定理
课 题：角平分线和线段中垂线定理
【知识点精讲】
一、两个重要定理：
➢ 线段的垂直平分线
定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

几何语言描述：如图：∵MN 垂直平分线段AB ∴ P A =PB
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

几何语言描述：如图：∵P A =PB ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上
➢
角平分线
定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

几何语言描述：如图：∵OP 平分∠AOB ， PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD =PE
逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

几何语言描述：如图： ∵PD =PE ， PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴OP 平分∠AOB
二、证明线段相等的方法：
A
A
B
O
1、线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；
2、证明三角形全等：全等三角形的对应边相等
3、等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；
4、线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；
5、角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；
三、证明角相等的方法：
1、角在同一三角形中，通常证明等边对等角；
2、证明三角形全等：全等三角形的对应角相等
3、等腰三角形底边上的高或底边中线平分顶角；
4、角平分线性质定理逆定理；
5、两直线平行（同位角，内错角）
6、同角的余角相等；
7、等角的余角相等；
8、同角的补角相等；
9、等角的补角相等； 10、三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和．
【典型例题及相似题练习】
例题分析
例1：尺规作图作角的平分线
按照步骤，完成作图：（要求保留作图痕迹） 已知AOB ∠.求作：AOB ∠的平分线 作法：
① 以点O 为圆心，适当长为半径画弧，
交OA 于点M ，交OB 于点N ；
②分别以点M ，N 为圆心，大于1
2
MN 的长
为半径画弧，两弧在AOB ∠的内部相交于C ；
② 画射线OC ，射线OC 即为所求，
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B
A
E D
C
F
B
O
例2：已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA, PE ⊥ OB ，垂足分别是D ，E. PD=5，求
PE 的长度.
例3：已知:如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,且BD=CD,DE ⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC 证明：
例4：在△ABC 中，∠ C=90 ° ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，BC ＝7，DE ＝3.求BD 的长。

B
例5：已知CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别是点D 、E ；BE 、CD 相交于点O ，且AO 平分∠BAC .
求证：OB =OC .
B
【相似题练习】
1．如图，在△ABC，∠C=90°，AD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=EB．求证：AC+CD=AB．
2．如图，△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线相交于点P，求证：BP为∠ABC的平分线.
P
B N
A
3．如图，已知在ABC
∆中，BD DC
=，12
∠=∠．求证：AD平分BAC
∠．
E
D
C B
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4．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，DE ⊥AB ，GF ⊥AC ，E 、G 在BC 上，BC =15cm ，求EG 的长度．
B
C
E G
【课堂练习】
1：如图，在△MNP 中，∠MNP =︒45，H 是高MQ 与NR 的交点。

求证：HN ＝PM
Q
N
P
2：已知，如图，ABC ∆中，AB ＝AC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BE ， BD 平分∠ABC 。

求证：1
2
AE BD =
E
B
F
B
3：如图在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，BD =CE ，∠DEF =∠B 。

求证：BE =CF
B
C
E
4：如图，已知AD ∥BC ，90AEB ∠=︒ ，E 是CD 的中点，求证：BC AD AB +=
E
B
5：如图所示，在△ABC 中，点O 在AC 边上运动，过O 作直线MN ∥BC 交∠BCA 内角平分线于E 点，外角平分线于F 点．求证：OE=OF
B
C
A
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6：如图，已知BD 平分∠ABC ，CD 平分△ABC 的一个外角，DE ∥BC ，说明EF =BE –CF ；
D
A B
C
【课后作业】
1：如图，090B C ∠=∠=，E 是BC 的中点，DE 平分ADC ∠．求证：AE 是ADC ∠的平分线．
E
A
2：如图，AC =DB ，△P AC 与△PBD 的面积相等．求证：OP 平分AOB ∠
O
D B
3：正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上的一点，且AE =DC +CE ，
求证：AF 平分∠DAE .
F
C
D
4：已知△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB +BD =DC 。

求证：∠B =2∠C 。

D
A
B
C
5：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，
求证：∠EAF =∠AEF ．
D
B
C
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6：如图，点E 是BC 中点，AB =CD ，求证：∠BAE =∠D
E
B
C。