定积分练习题(打印版)

定积分练习题（打印版）
一、基础计算题
1. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。

2. 计算定积分 \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx\)。

3. 计算定积分 \(\int_{0}^{2} (3x - 2) dx\)。

二、换元积分题
1. 计算定积分 \(\int e^{2x} dx\)，其中上下限为 \(0\) 到 \(\ln 2\)。

2. 计算定积分 \(\int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx\)，其中上下
限为 \(0\) 到 \(1\)。

三、分部积分题
1. 计算定积分 \(\int x e^x dx\)，上下限为 \(0\) 到 \(1\)。

2. 计算定积分 \(\int \sin x \cos x dx\)，上下限为 \(0\) 到
\(\pi\)。

四、几何应用题
1. 利用定积分计算圆 \(x^2 + y^2 = 1\) 在第一象限内围成的面积。

2. 利用定积分计算抛物线 \(y = x^2\) 与直线 \(y = 4\) 所围成的
面积。

五、物理应用题
1. 假设一物体的加速度 \(a(t) = 2t\)，计算从 \(0\) 到 \(1\) 秒
内物体的位移。

2. 假设一物体的力 \(F(x) = 3x + 1\)，计算从 \(0\) 到 \(2\) 米
内物体所做的功。

六、综合题
1. 利用定积分计算函数 \(y = \sqrt{x}\) 与 \(x\) 轴，以及直线
\(x = 1\) 所围成的面积。

2. 利用定积分计算函数 \(y = \ln x\) 与 \(x\) 轴，以及直线 \(x = e\) 所围成的面积。

七、挑战题
1. 计算定积分 \(\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \cos x dx\)。

2. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x} dx\)。

答案提示：
- 对于基础计算题，可以直接应用定积分的基本公式进行计算。

- 换元积分题需要找到合适的换元方法，简化积分表达式。

- 分部积分题需要正确选择 \(u\) 和 \(dv\)，然后应用分部积分公式。

- 几何应用题通常需要将几何问题转化为定积分问题，注意选择合适
的积分变量。

- 物理应用题需要将物理问题转化为定积分问题，注意物理量的转换。

- 综合题和挑战题需要综合运用定积分的计算方法，注意积分技巧和
方法的选择。

注意：请在解答过程中注意积分的上下限，以及积分的计算过程中的
变量替换。