材料力学弯曲内力

qL
3--3截面处截取的分离体如图（d）
a
Q3 0 M 3 qLa M 2
结论：紧邻集中力作用的左、右截 qL
面上，剪力发生突变，变化
值为集中力的大小；弯矩值
a
不发生变化。
q
图（a）
b
B M2
Q2
图（c）
B M3
图（d）
Q3
25
qL
作业：5-1(a),(c)
26
§5–3 剪力图与弯矩图
16
②悬臂梁
q(x)— 分布力
17
③外伸梁
q — 均布力
P — 集中力
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梁按支承反力的求解方法分：
①静定梁
P — 集中力
②超静定梁
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§5–2
梁的内力—— 剪力和弯
矩
一、梁的横截面上的内力计算
图示梁，求截面n-n上的内力
1.首先确定支反力RA、RB、XA （ XA =0）
2.然后使用截面法，假想 在n-n处切开，并取脱离体。
mP B
RA
x
m
RB
A
RA
Q
C
M
Q
P
M
C
RB
23
[例2].求图(a)所示梁1--1、2—2、3--3截面处的内力。
qL 1
3q
2
1 a2 3 b
y
qL
x
图（a）
qL
A
M1
x1Q1
图（b）
解：截面法求内力。 1--1截面处截取的分离体
如图（b）示。
FY 0 qL Q1 0 Q1 qL
对称弯曲也称为 平面弯曲。
P1
q
P2
M
纵向对称面
10
非对称弯曲—— 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具
有纵对称面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称
为非对称弯曲。
下面几章Hale Waihona Puke ，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变
形计算。
11
5.梁的简化
(1)、构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
均匀分布荷载
集中力
1
§5–1 §5–2 §5–3 §5–4 §5–5
工程实际中的受弯杆 梁的内力——剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 荷载集度、剪力和弯矩间的关系 按叠加原理作剪力图和弯矩图
2
§5–1工程实际中的受弯 一、弯曲的概念 杆
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时, 轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。P — 集中力
2. 梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。
3
梁的实体图 3. 工程实例
P1
q
P2
M
纵向对称面
4
5
6
动画
7
链接
8
墙
楼板
梁 q
l
9
4. 对称弯曲——
梁的每一个横截面至少有一根对称轴，这 些 对称轴构成对称面。所有外力都作用在其对称面内时， 梁弯曲变形后的轴线将是位于这个对称面内的一条曲线， 这种弯曲形式称为对称弯曲。
1. 内力方程：内力与截面位置坐标x间的函数关系式。
Q Q(x) M M (x) 2. 剪力图和弯矩图：
剪力方程 弯矩方程
剪力图
Q Q(x) 的图线表示
弯矩图
M M (x) 的图线表示
建立坐标系.剪力图纵坐标以向上为正；弯矩图纵坐标以
向上为正，
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3、作内力图步骤
1 求支反力： 2 列剪力方程和弯矩方程
解：任选一截面x ，写出
M x
剪力和弯矩方程
x
Qx＝qx
0 x l
Q
Qx
ql
M x＝qx2 / 2 0 x l

依方程画出剪力图和弯矩图
x
ql2 / 2 由剪力图、弯矩图可见。最
M
ql 2 / 8

大剪力和弯矩分别为
Qmax＝ql
M max＝ql 2 / 2 29
(0 x a) (0 x a)
RA
Pb
Q
l
＋
RB
Pa
Q(x) RB l
(a x l)
Pa M(x) RB (l x) l (l x)
(a x l)
－
x
Pa
M
l
Pab
l
从图中不难看出： 在集中力P作用处，Q图有突变，
M 集中 力偶
(2)、载荷简化
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类
型：
12
(3)、支座简化 ①固定铰支座 如：桥梁下的固定支座。
13
②可动铰支座 如：桥梁下的辊轴支座。
14
③固定端
如：跳水板的支座，电线杆 XA
MA
下端的支座等。 YA
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6. 梁的分类 按支座情况分
①简支梁
P — 集中力
a、取其中的一段梁在任意位置以假想截面截开 b、取以左（或以右）为研究对象，在截面加上所求的剪力Q （x）和弯矩M（x）（方向假定为正方向） c、应用静力平衡方程得到剪力Q（x）和弯矩M（x）的 表达式 3 由剪力Q（x）和弯矩M（x）的表达式按比例作图。
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[例]
q
悬臂梁受均布载荷作用。
x
l
q
试写出剪力和弯矩方程，并 画出剪力图和弯矩图。
4
x
例
A
RA
AC左
A
RA
CB右
求图示梁的剪力图和弯矩图。
x
P
1 求支反力：
C
MA 0
B
MB 0
Pb
Pa
RA
, l
RB
l
a
b
2 找控制面分段
RB
3 分段列剪力和弯矩方程：
x
M (x) Q(x)
Pb Q(x) RA l
Pb M(x) RA x l x
(0 x a) (0 x a)
mA(Fi ) 0
qLx1 M1 0 M1 qLx1 0
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2--2截面处截取的分离体如图（c）
FY 0 qL Q2 0
Q2 qL
mB (Fi ) 0 ,
qL 1 1
qLa M 2 0 M 2 qLa qL
3 2
a2 3
? 判断n-n截面上有哪些内力分量？
弯矩：M
剪力：Q
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二、剪力和弯矩的正负号规定
①剪力Q:使研究对象有顺时针方向转动趋势的剪力为正；反之
为负。
Q(+)
Q(–) Q(+)
Q(–)
②弯矩M：使梁变成下凸上凹形的弯矩为正；使梁变成上凸
下凹的弯矩为负。
M(+)
M(+)
M(–)
M(–)
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[例1].已知：如图，P，a，l。
lx
M (x) Q(x)
Pa Q(x) RB l
(a x l)
B
Pa
RB
M(x) RB (l x) l (l x)
(a x30 l)
5 由剪力Q（x）和弯矩M（x）的表达式按比例作图。
x
P
A
B
aCb
Pb
M(x) RA x
Pb
l
x
Q(x) RA l
求：距A端x处截面上内力。
A
①求外力
FX 0 , X A 0
mA
0,
RB

Pa l
FY
0,
RA

P(l a) l
XA A
RA
a
l
P
B
P
B
RB
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②求内力——截面法
FY
0,
Q

RA

P(l a) l
mC 0 , M RA x
XA A