材料力学07弯曲变形_1积分法

x F



M (x) EI z
dx
C
二次积分得挠曲线方程
w


M( EI
x)
z
dxdx

Cx

D
式中，C、D 为积分常数
说明：1）若弯矩方程 M(x) 为分段函数，积分则应分段进行 2）积分常数由梁的位移边界条件以及位移连续条件确定
[例1] 试列出下列各梁的位移边界条件 w
B
A
x
l
w 0 x0
x23

F 6EI
x2
a3

Fb 6EIl
b2 l2
x2
Fb l2 b2 3
wmax
w1
x1
l2 b2 3

9 3EIl
对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程


F EI

lx

1 2
x2

C
再积分一次，得挠曲线方程
w

F EI

l 2
x2

1 6
x3

Cx

D


F EI

lx

1 2
x2

C
w

F EI

l 2
x2

1 6
x3


Cx

D
3）确定积分常数 该梁的位移边界条件为
第七章 弯曲变形
第一节 引言
一、梁对称弯曲时的变形
w
对称弯曲时，梁的轴线弯成一 条光滑连续的平面曲线
该曲线称为梁的挠曲线 建立图示坐标系， 有挠曲线方程
w f (x)
挠曲线
w f (x)
x F
二、梁的位移参量
弯曲变形所导致的梁横截面的位移可用两个参量来描述——
1. 挠度（线位移）
横截面形心的竖向线位移，即
解： 1）列弯矩方程
支座反力
b FA l F
a
x1 FA
x2
FB
FB l F
分段列弯矩方程 AC 段（0≤ x1 ≤ a）
M
x1

Fb l
x1
CB 段（a ≤ x2 ≤ l ）
M
x2


Fb l
x2

F
x2

a
2）建立转角方程和挠曲线方程
分段积分，得转角方程和挠曲
线方程分别为 AC 段（0≤ x1 ≤ a）
w f (x)
x F
二、梁的挠曲线近似微分方程 联立高等数学中的曲率计算公式
得梁的挠曲线近似微分方程
1

w 1 w2
32
d2w M (x) dx2 EIz
第三节 计算弯曲变形的积分法
d2w dx2

M (x) EI z
w
w f (x)
对梁的挠曲线近似微分方程
一次积分得转角方程
0 x0
w 0 x0
解得积分常数
C0
w
A x l
D0
B x
F
故得梁的转角方程和挠曲线方程分别为


F EI

lx

1 2
x2

w

F EI

l 2
x2

1 6
x3



F EI

lx

1 2
x2

w

F EI

l 2
x2

1 6
x3

0 x0
w
A
B
x
l
a
w 0 x0
w 0 xl
[例2] 图示悬臂梁，自由端承受集中力 F 作用，试建立梁的转角 方程和挠曲线方程，并计算最大挠度和最大转角。设梁的抗弯刚
度 EI 为常数。
w
解： 1）列弯矩方程
M x F l x
A x l
B x
F
2）建立转角方程和挠曲线方程
x1 FA
x2
FB
1

Fb 2EIl
x12

C1
w1

Fb 6EIl
x13
C1x1

D1
CB 段（a ≤ x2 ≤ l ）
2

Fb 2EIl
x22

F 2EI

x2

a2

C2
w2

Fb 6EIl
x23

F 6EI
x2

a 3

C2 x2

D2
3）确定积分常数
位移边界条件： wA w1 x10 0
x23

F 6EI
x2
a3

Fb 6EIl
b2 l2
x2
AC 段（0≤ x1 ≤ a） CB 段（a ≤ x2 ≤ l ）
1

Fb 6EIl
3x12 b2 l2
w1

Fb 6EIl
x13

b2 l2
x1
2
Fb 2EIl源自x22F 2EIw

为挠曲线的纵坐标 w，规定上 正下负；
2. 转角（角位移）
x
w x
F
横截面绕中性轴转动的角度， 记作 ，规定逆时针旋向为正，反
之为负， 在小变形情况下，转角为
dw
dx
第二节 挠曲线近似微分方程
一、梁的挠曲线（中性层）曲率
1 M (x)
w

EI z
式中，EIz 称为梁的抗弯刚度
x2

a2

Fb 6EIl
b2 l2
w2

Fb 6EIl
x23

F 6EI
x2
a3

Fb 6EIl
b2 l2
x2
4）计算最大转角和最大挠度
假设 a ＞ b，可得梁的最大转角
Fabl a
max B 6EIl
x1 FA
x2
FB
AC 段（0≤ x1 ≤ a）
4）计算最大挠度和最大转角
w
由梁的变形图易见，梁的最
A
B
大挠度和最大转角均发生于
x l
x
F
x = l 的自由端面B，故得
最大挠度：
wmax

w
xl

Fl 3 3EI

最大转角：
max
xl

Fl 2 2EI
(逆时针)
[例3] 图示简支梁，在截面 C 处受集中力 F 作用，试建立梁的转 角方程和挠曲线方程，并计算最大挠度和最大转角。设梁的抗弯 刚度 EI 为常数。
1

Fb 6EIl
3x12 b2 l2
w1

Fb 6EIl
x13

b2 l2
x1
x1 FA
x2
FB
CB 段（a ≤ x2 ≤ l ） 最大挠度
2

Fb 2EIl
x22

F 2EI
x2

a2

Fb 6EIl
b2 l2
w2

Fb 6EIl
wB w2 x2 l 0
x1 FA
x2
FB
位移连续条件：
1 x1a
2 x2 a
w w 1 x1a
2 x2 a
根据上述条件求得四个积分常数分别为
C1

C2

Fb 6EIl
b2 l2
D1 D2 0
x1 FA
x2
FB
所以，最终梁的转角方程和挠曲线方程分别为
AC 段（0≤ x1 ≤ a）
1

Fb 6EIl
3x12 b2 l2
w1

Fb 6EIl
x13

b2 l2
x1
CB 段（a ≤ x2 ≤ l ）
2

Fb 2EIl
x22

F 2EI
x2

a2

Fb 6EIl
b2 l2
w2

Fb 6EIl