非线性方程的求根方法1
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x xk
*
xk x
*
1 2
k 1
(b a )
，
，否则继续对分。
10
10 0 例 用二分法求 1 在(1,2)内的根，要求绝对误差不超过 10 2 解： f(1)=-5<0 有根区间 中点 x n x 1 1.5 f(2)=14>0 -(1,2)+ x 2 1 . 25 f(1.5)>0 (1,1.5) x 3 1 . 375 f(1.25)<0 (1.25,1.5) x 4 1 . 313 f(1.375)>0 (1.25,1.375) x 5 1 . 344 f(1.313)<0 (1.313,1.375) x 6 1 . 360 f(1.344)<0 (1.344,1.375) f(1.360)<0 (1.360,1.375) x 7 1 . 368 f(1.368)>0 (1.360,1.368) x 8 1 . 364 x
* n * n n
( 0<L<1 )
所以,
lim x n x
n
*
故迭代格式收敛.
25
| x n x | | x n x n 1 x n 1 x |
* *
| x n x n 1 | | x n 1 x | | x n x n 1 | L | x n x |
3
1 . 5 1 1 . 35721
– x1≠x0，再将x1代入得
x2
3
x1 1
3
1 . 35721 1 1 . 33086
– x2≠x1，再将x2代入得
x3
3
x2 1
3
1 . 33086 1 1 . 32588
14
– 如此下去，这种逐步校正的过程称为迭代过程。这里用的 公式称为迭代公式，即 k=0,1,2,…… – 迭代结果见下表。仅取六位数字，x7与x8相同，即认为x8是 方程的根。 x*≈x8=1.32472 k k xk xk
其中,ξ介于 x1* 和 x2* 之间. 由定理条件 | ( x ) | L 1 可得, | x x | | x x |
* 1 * 2 * 1 * 2
矛盾,这说明只可能有 x1* = x2*.
23
定理（全局收敛性） 设(x)C[a,b]且满足以下 两个条件：
– （1）对于任意x [a,b]，有a≤(x)≤b； –（2）若(x)在[a,b]一阶连续，且存在常数0<L<1，使得对任 意x [a,b]，成立 | `(x)| ≤L
• 性质：
– f(an)· n)<0; f(b – bn – an = (b – a)/ 2n
8
定理 设x*为方程f(x)=0在[a,b]内唯一根，且f(x) 满足f(a)f(b)<0，则由二分法产生的第n个区间 [an, bn] 的中点xn满足不等式
xn x *
证明：
xn x *
27
定理（局部收敛性） 设x*为(x)的不动点， `(x)在x*的某邻域连续，且|`(x*)|<1，则不动 点迭代法xk+1=(xk )局部收敛。 证明：根据连续函数性质，因`(x)连续，存在x* 的某邻域R：|x-x*| ≤，对任意x R， |`(x)| ≤ L<1，且 |(x)-x*| = | (x)-(x*)| = |`(ξ)| | x- x*| ≤ L | x- x*| ≤ | x- x*| ≤ 即对任意x R， 总有(x) R。 由全局收敛性定义知，迭代过程 xk+1=(xk )对于 任意初值x0 R均收敛。
bk a k 1 2
k
(b a )
当k趋于无穷时趋于0。即若二分过程无限继续下去， 这些区间最后必收敛于一点x*，即方程的根。
7
Bisection Method
每次二分后，取有根区间的中点xk= (ak+bk) /2 作为根的近似值，则可得一近似根序列： x0, x1, x2, …该序列必以根x*为极限。 实际计算中，若给定充分小的正数0和允许误 差限1，当|f(xn)|< 0或bn- an< 1时，均可取x* xn。
则对任意x0 [a,b]，由xn+1=(xn )得到的迭代序 列{xn }收敛到(x)的不动点x *，并有误差估计：
| x n x |
*
1 1 L
| x n 1 x n |
xn x *
L
n
1 L
x1 x 0
24
证明：
x n ( x n 1 ) * * x (x )
20
存在性与迭代法的收敛性
定理（存在性） 设(x)C[a,b]且满足以下两 个条件：
– （1）对于任意x [a,b]，有a≤(x)≤b； –（2）若(x)在[a,b]一阶连续，且存在常数 0<L<1，使得对任意x [a,b]，成立
| ’(x)| ≤L 则(x)在[a,b]上存在唯一的不动点x*。
– 代数方程： f(x)=a0+a1x+……+anxn （an0） – 超越方程 ：f(x)中含三角函数、指数函数、或其他超 越函数。
• 用数值方法求解非线性方程的步骤：
– （1）找出有根区间；（只含一个实根的区间称隔根 区间） – （2）近似根的精确化。从隔根区间内的一个或多个 点出发，逐次逼近，寻求满足精度的根的近似值。
* *
( 1 L ) | x n x | | x n x n 1 |
*
| x n x |
*
1 1 L
| x n 1 x n |
反复递推，可得误差估计式
xn x * L
n
1 L
x1 x 0
26
注：定理给出的收敛性称全局收敛性， 实际应用时通常只在不动点x*邻近考察其收敛 性，称局部收敛性。 • 定义 设(x)有不动点x*，若存在x*的某邻域R： |x-x*| ≤，对任意x0 R，迭代过程xk+1=(xk )产 生的序列{xk } R且收敛到x*，则称不动点迭代 法xk+1=(xk )局部收敛。
3
• 方程求解是科学计算中一个重要的研究对象; • 几百年前就已经找到了代数方程中二次至五次方 程的求解公式; • 但是,对于更高次数的代数方程目前仍无有效的精 确解法; • 对于无规律的非代数方程的求解也无精确解法; • 因此,研究非线性方程的数值解法成为必然。
4
• 非线性方程的一般形式： f(x)=0
– （1）若f(x0)f(a)>0，则x*在x0右侧，令a1=x0， b1=b; – （2）若f(x0)f(a)<0，则x*在x0左侧，令a1=a， b1= x0。
6
以[a1, b1]为新的隔根区间，且仅为[a,b]的一半，对[a1, b1]重复前过程，得新的隔根区间[a2, b2]，如此二分 下去，得一系列隔根区间： [a,b] [a1, b1] [a2, b2] …… [ak, bk] …… 其中每个区间都是前一区间的一半，故[ak, bk] 的长度：
*
| x n x | | ( x n 1 ) ( x ) |
* *
( ) || x n 1 x * | |
*
| x n x | L | x n 1 x | | x n x | L | x 0 x |
* n *
lim | x n x | lim L | x 0 x | 0
3 2
4x
2
11
二分法求解非线性方程的优缺点 • 计算过程简单，收敛性可保证； • 对函数的性质要求低，只要连续即可。 • 收敛速度慢； • 不能求复根和重根； • 调用一次求解一个[a,b]间的多个根无法 求得。
12
Fixed-Point Iteration
• 不动点迭代法 • 不动点的存在性与迭代法的收敛性 • 迭代收敛的加速方法
所以,存在x*,使得 ( x *) 0 , x*即为不动点.
22
唯一性证明：
设有 x1*≠ x2*, 使得 ( x1 ) x1 ,
* *
( x 2 ) x ,则 2
* *
* ( ) || x1* x 2 | | x x | | ( x ) ( x ) | | * 1 * 2 * 1 * 2
ba 2
n 1
bn a n 2
ba 2
n 1
9
1.先验误差估计：
1 2
k 1
利用误差估计定理，令
得
k ln( b a ) ln ln 2
xk x
*
(b a )
从而得到对分次数k，取xk作为根得近似值x*。
2.后验误差估计： 给定ε，每步检查 若成立，则取
x k 1
3
xk 1
0 1 2 3 4
1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494
5 6 7 8
1.32476 1.32473 1.32472 1.32472
15
Fixed-Point Iteration
• 将连续函数方程f(x)＝0改写为等价形式：x=(x) 其中(x)也是连续函数，称为迭代函数。 • 不动点：若x*满足f(x*)=0，则x*=(x*)；反之，若 x*=(x*) ，则f(x*)=0 ，称x*为(x)的一个不动点。 • 不动点迭代： x k 1 ( x k ) (k=0,1,……) 若对任意 x0[a,b]，由上述迭代得序列{xk}，有极限
3 k
17
收敛的迭代法
y
y=x
y=(x)
Q0
Q1 Q2 P x* P1 P2 x2 x1
P0
0
x0 x
18
发散的迭代法
y
Q0 Q1 y=x y=(x) P
P0
P1
0
P2 x2 x1 x0 x* x
19
Remark：可以通过不同的途径将f(x)=0化为 x=φ(x)的形式，从而构造不同的迭代公式，得到 不同的迭代序列。在所有这些构造的迭代公式中 形成的序列中，有的序列是收敛的，而有些是发 散的。 问题：如何选取合适的迭代函数φ(x) ？ 迭代函数φ(x)应满足什么条件，序列{xk}收 敛？ 怎样加速序列{xk}的收敛？
5
Bisection Method 二分法 介值定理 设函数f(x)在区间[a,b]连续，且 f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一 个根。 二分法的基本思想： 假定f(x)=0在[a,b]内有唯一单实根x*，考察 有根区间[a,b]，取中点x0=(a+b)/2，若f(x0)=0， 则x*= x0 ，否则，
Solutions of Nonlinear Equations 非线性方程的求根方法
1
Bisection Method方程求根的二分法 Fixed-Point Iteration迭代法及其收敛性 Newton Method of Nonlinear Equations Newton迭代法
2
• 在实际应用中有许多非线性方程的例子，例 如 • （1）在光的衍射理论（the theory of diffraction of light)中,需要求x-tanx=0的根 • （2）在行星轨道（ planetary orbits）的计算 中,对任意的a和b，需要求x-asinx=b的根 • （3） 在数学中，需要求n次多项式xn + a1 xn1+...+a n-1 x + an ＝0的根
lim x k x *
k
则称迭代过程收敛，且x*=(x*)为(x)的不动点。
16
y=x
几何意义：
x (x)
y ( x)
y x y (x)
x2 x1 x0
迭代法并不总令人满意，如将前述方程x3-x-1=0改写为 另一等价形式： 3 x x 1 建迭代公式： x k 1 x 1 仍取初值x0=1.5，则有x1=2.375， x2=12.396，x3=1904, 结果越来越大。此时称迭代过程发散。
21
证 若 ( a ) a 或 ( b ) b ,显然 ( x ) 有不动点
设 ( a ) a , ( b ) b 则有 ( a ) a , ( b ) b 记 ( x) ( x) x
即 ( x *) x *
则有 ( Βιβλιοθήκη ) ( b ) 013
迭代法的基本思想
• 迭代法是一种逐次逼近的方法，用某个固定公式反复 校正根的近似值，使之逐步精确化，最后得到满足精 度要求的结果。 • 例：求方程 x3-x-1=0 在 x=1.5 附近的一个根。
– 将所给方程改写成 x 3 x 1 – 假设初值x0=1.5是其根，代入得
x1
3
x0 1
*
xk x
*
1 2
k 1
(b a )
，
，否则继续对分。
10
10 0 例 用二分法求 1 在(1,2)内的根，要求绝对误差不超过 10 2 解： f(1)=-5<0 有根区间 中点 x n x 1 1.5 f(2)=14>0 -(1,2)+ x 2 1 . 25 f(1.5)>0 (1,1.5) x 3 1 . 375 f(1.25)<0 (1.25,1.5) x 4 1 . 313 f(1.375)>0 (1.25,1.375) x 5 1 . 344 f(1.313)<0 (1.313,1.375) x 6 1 . 360 f(1.344)<0 (1.344,1.375) f(1.360)<0 (1.360,1.375) x 7 1 . 368 f(1.368)>0 (1.360,1.368) x 8 1 . 364 x
* n * n n
( 0<L<1 )
所以,
lim x n x
n
*
故迭代格式收敛.
25
| x n x | | x n x n 1 x n 1 x |
* *
| x n x n 1 | | x n 1 x | | x n x n 1 | L | x n x |
3
1 . 5 1 1 . 35721
– x1≠x0，再将x1代入得
x2
3
x1 1
3
1 . 35721 1 1 . 33086
– x2≠x1，再将x2代入得
x3
3
x2 1
3
1 . 33086 1 1 . 32588
14
– 如此下去，这种逐步校正的过程称为迭代过程。这里用的 公式称为迭代公式，即 k=0,1,2,…… – 迭代结果见下表。仅取六位数字，x7与x8相同，即认为x8是 方程的根。 x*≈x8=1.32472 k k xk xk
其中,ξ介于 x1* 和 x2* 之间. 由定理条件 | ( x ) | L 1 可得, | x x | | x x |
* 1 * 2 * 1 * 2
矛盾,这说明只可能有 x1* = x2*.
23
定理（全局收敛性） 设(x)C[a,b]且满足以下 两个条件：
– （1）对于任意x [a,b]，有a≤(x)≤b； –（2）若(x)在[a,b]一阶连续，且存在常数0<L<1，使得对任 意x [a,b]，成立 | `(x)| ≤L
• 性质：
– f(an)· n)<0; f(b – bn – an = (b – a)/ 2n
8
定理 设x*为方程f(x)=0在[a,b]内唯一根，且f(x) 满足f(a)f(b)<0，则由二分法产生的第n个区间 [an, bn] 的中点xn满足不等式
xn x *
证明：
xn x *
27
定理（局部收敛性） 设x*为(x)的不动点， `(x)在x*的某邻域连续，且|`(x*)|<1，则不动 点迭代法xk+1=(xk )局部收敛。 证明：根据连续函数性质，因`(x)连续，存在x* 的某邻域R：|x-x*| ≤，对任意x R， |`(x)| ≤ L<1，且 |(x)-x*| = | (x)-(x*)| = |`(ξ)| | x- x*| ≤ L | x- x*| ≤ | x- x*| ≤ 即对任意x R， 总有(x) R。 由全局收敛性定义知，迭代过程 xk+1=(xk )对于 任意初值x0 R均收敛。
bk a k 1 2
k
(b a )
当k趋于无穷时趋于0。即若二分过程无限继续下去， 这些区间最后必收敛于一点x*，即方程的根。
7
Bisection Method
每次二分后，取有根区间的中点xk= (ak+bk) /2 作为根的近似值，则可得一近似根序列： x0, x1, x2, …该序列必以根x*为极限。 实际计算中，若给定充分小的正数0和允许误 差限1，当|f(xn)|< 0或bn- an< 1时，均可取x* xn。
则对任意x0 [a,b]，由xn+1=(xn )得到的迭代序 列{xn }收敛到(x)的不动点x *，并有误差估计：
| x n x |
*
1 1 L
| x n 1 x n |
xn x *
L
n
1 L
x1 x 0
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证明：
x n ( x n 1 ) * * x (x )
20
存在性与迭代法的收敛性
定理（存在性） 设(x)C[a,b]且满足以下两 个条件：
– （1）对于任意x [a,b]，有a≤(x)≤b； –（2）若(x)在[a,b]一阶连续，且存在常数 0<L<1，使得对任意x [a,b]，成立
| ’(x)| ≤L 则(x)在[a,b]上存在唯一的不动点x*。
– 代数方程： f(x)=a0+a1x+……+anxn （an0） – 超越方程 ：f(x)中含三角函数、指数函数、或其他超 越函数。
• 用数值方法求解非线性方程的步骤：
– （1）找出有根区间；（只含一个实根的区间称隔根 区间） – （2）近似根的精确化。从隔根区间内的一个或多个 点出发，逐次逼近，寻求满足精度的根的近似值。
* *
( 1 L ) | x n x | | x n x n 1 |
*
| x n x |
*
1 1 L
| x n 1 x n |
反复递推，可得误差估计式
xn x * L
n
1 L
x1 x 0
26
注：定理给出的收敛性称全局收敛性， 实际应用时通常只在不动点x*邻近考察其收敛 性，称局部收敛性。 • 定义 设(x)有不动点x*，若存在x*的某邻域R： |x-x*| ≤，对任意x0 R，迭代过程xk+1=(xk )产 生的序列{xk } R且收敛到x*，则称不动点迭代 法xk+1=(xk )局部收敛。
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• 方程求解是科学计算中一个重要的研究对象; • 几百年前就已经找到了代数方程中二次至五次方 程的求解公式; • 但是,对于更高次数的代数方程目前仍无有效的精 确解法; • 对于无规律的非代数方程的求解也无精确解法; • 因此,研究非线性方程的数值解法成为必然。
4
• 非线性方程的一般形式： f(x)=0
– （1）若f(x0)f(a)>0，则x*在x0右侧，令a1=x0， b1=b; – （2）若f(x0)f(a)<0，则x*在x0左侧，令a1=a， b1= x0。
6
以[a1, b1]为新的隔根区间，且仅为[a,b]的一半，对[a1, b1]重复前过程，得新的隔根区间[a2, b2]，如此二分 下去，得一系列隔根区间： [a,b] [a1, b1] [a2, b2] …… [ak, bk] …… 其中每个区间都是前一区间的一半，故[ak, bk] 的长度：
*
| x n x | | ( x n 1 ) ( x ) |
* *
( ) || x n 1 x * | |
*
| x n x | L | x n 1 x | | x n x | L | x 0 x |
* n *
lim | x n x | lim L | x 0 x | 0
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4x
2
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二分法求解非线性方程的优缺点 • 计算过程简单，收敛性可保证； • 对函数的性质要求低，只要连续即可。 • 收敛速度慢； • 不能求复根和重根； • 调用一次求解一个[a,b]间的多个根无法 求得。
12
Fixed-Point Iteration
• 不动点迭代法 • 不动点的存在性与迭代法的收敛性 • 迭代收敛的加速方法
所以,存在x*,使得 ( x *) 0 , x*即为不动点.
22
唯一性证明：
设有 x1*≠ x2*, 使得 ( x1 ) x1 ,
* *
( x 2 ) x ,则 2
* *
* ( ) || x1* x 2 | | x x | | ( x ) ( x ) | | * 1 * 2 * 1 * 2
ba 2
n 1
bn a n 2
ba 2
n 1
9
1.先验误差估计：
1 2
k 1
利用误差估计定理，令
得
k ln( b a ) ln ln 2
xk x
*
(b a )
从而得到对分次数k，取xk作为根得近似值x*。
2.后验误差估计： 给定ε，每步检查 若成立，则取
x k 1
3
xk 1
0 1 2 3 4
1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494
5 6 7 8
1.32476 1.32473 1.32472 1.32472
15
Fixed-Point Iteration
• 将连续函数方程f(x)＝0改写为等价形式：x=(x) 其中(x)也是连续函数，称为迭代函数。 • 不动点：若x*满足f(x*)=0，则x*=(x*)；反之，若 x*=(x*) ，则f(x*)=0 ，称x*为(x)的一个不动点。 • 不动点迭代： x k 1 ( x k ) (k=0,1,……) 若对任意 x0[a,b]，由上述迭代得序列{xk}，有极限
3 k
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收敛的迭代法
y
y=x
y=(x)
Q0
Q1 Q2 P x* P1 P2 x2 x1
P0
0
x0 x
18
发散的迭代法
y
Q0 Q1 y=x y=(x) P
P0
P1
0
P2 x2 x1 x0 x* x
19
Remark：可以通过不同的途径将f(x)=0化为 x=φ(x)的形式，从而构造不同的迭代公式，得到 不同的迭代序列。在所有这些构造的迭代公式中 形成的序列中，有的序列是收敛的，而有些是发 散的。 问题：如何选取合适的迭代函数φ(x) ？ 迭代函数φ(x)应满足什么条件，序列{xk}收 敛？ 怎样加速序列{xk}的收敛？
5
Bisection Method 二分法 介值定理 设函数f(x)在区间[a,b]连续，且 f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一 个根。 二分法的基本思想： 假定f(x)=0在[a,b]内有唯一单实根x*，考察 有根区间[a,b]，取中点x0=(a+b)/2，若f(x0)=0， 则x*= x0 ，否则，
Solutions of Nonlinear Equations 非线性方程的求根方法
1
Bisection Method方程求根的二分法 Fixed-Point Iteration迭代法及其收敛性 Newton Method of Nonlinear Equations Newton迭代法
2
• 在实际应用中有许多非线性方程的例子，例 如 • （1）在光的衍射理论（the theory of diffraction of light)中,需要求x-tanx=0的根 • （2）在行星轨道（ planetary orbits）的计算 中,对任意的a和b，需要求x-asinx=b的根 • （3） 在数学中，需要求n次多项式xn + a1 xn1+...+a n-1 x + an ＝0的根
lim x k x *
k
则称迭代过程收敛，且x*=(x*)为(x)的不动点。
16
y=x
几何意义：
x (x)
y ( x)
y x y (x)
x2 x1 x0
迭代法并不总令人满意，如将前述方程x3-x-1=0改写为 另一等价形式： 3 x x 1 建迭代公式： x k 1 x 1 仍取初值x0=1.5，则有x1=2.375， x2=12.396，x3=1904, 结果越来越大。此时称迭代过程发散。
21
证 若 ( a ) a 或 ( b ) b ,显然 ( x ) 有不动点
设 ( a ) a , ( b ) b 则有 ( a ) a , ( b ) b 记 ( x) ( x) x
即 ( x *) x *
则有 ( Βιβλιοθήκη ) ( b ) 013
迭代法的基本思想
• 迭代法是一种逐次逼近的方法，用某个固定公式反复 校正根的近似值，使之逐步精确化，最后得到满足精 度要求的结果。 • 例：求方程 x3-x-1=0 在 x=1.5 附近的一个根。
– 将所给方程改写成 x 3 x 1 – 假设初值x0=1.5是其根，代入得
x1
3
x0 1