2014年高中数学复习方略课时作业：3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数(人教A版·数学理·浙江专用)]

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课时提升作业(十五)
一、选择题
1.(2013²银川模拟)已知命题p:“sinα=sinβ,且cosα=cosβ”,命题q:“α=β”,则命题p是命题q的( )
(A)必要不充分条件
(B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
2.(2013²蚌埠模拟)若cosα=-,且角α的终边经过点P(x,2),则P点的横坐标x是( )
(A)2(B)±2
(C)-2(D)-2
3.若α=m²360°+θ,β=n²360°-θ(m,n∈Z),则α,β终边的位置关
系是
( ) (A)重合(B)关于原点对称
(C)关于x轴对称(D)关于y轴对称
4.(2013²安阳模拟)点P从(1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动到达P′点,则P′点的坐标为( )
(A)(-,) (B)(-,-)
(C)(-,-) (D)(-,)
5.若一扇形的圆心角为72°,半径为20cm,则扇形的面积为( )
(A)40πcm2(B)80πcm2
(C)40cm2(D)80cm2
6.(2013²杭州模拟)已知α是第二象限角,P(x,)为其终边上一点,且cosα=x,则x的值为( )
(A)-(B)-(C)(D)±
7.已知sinx=2cosx,则sin2x+1= ( )
(A)(B)(C)(D)
8.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为
( )
(A)(B)(C)(D)
9.已知sinα+cosα=,0<α<π,则= ( )
(A)(B)-(C)-(D)
10.(能力挑战题)已知角α的终边上一点的坐标为(sin,cos),则角α的最小正值为( )
(A)(B)(C)(D)
二、填空题
11.设扇形的周长为8cm,面积为4cm2,则扇形的圆心角的弧度数是.
12.(2013²台州模拟)已知锐角α,β的终边与单位圆交点的横坐标分
别为,,则tanα+tanβ= .
13.(2013²金华模拟)已知函数f(x)=
则f(-)= .
14.已知tanα=-,α是第二象限角,则sinα-cosα的值为.
三、解答题
15.(能力挑战题)已知角α终边经过点P(x,-)(x≠0),且cosα=x.求sinα+的值.
16.(2013²济宁模拟)已知在△ABC中,sinA+cosA=,
(1)求sinAcosA.
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形.
(3)求tanA的值.
答案解析
1.【思路点拨】先验证p能否推出q,再判断q能否推出p.
【解析】选A.若“sinα=sinβ,且cosα=cosβ”,则α=β+2kπ(k∈Z),未必有“α=β”;反之,若“α=β”,必定有“sinα=sinβ,且cos α=cosβ”,即p与q满足p q但q⇒p,所以命题p是命题q的必要不充分条件.
2.【解析】选D.由cosα=-<0,又点(x,2)在α的终边上,故角α为第
二象限角,故x<0.
∴r=,∴=-,
∴4x2=3x2+12,∴x2=12,∴x=-2或x=2(舍).
3.【解析】选C.由已知得,α的终边与θ终边相同,而β的终边与-θ的终边相同,θ与-θ关于x轴对称,故α,β终边关于x轴对称.
4.【解析】选A.如图所示,
由题意可知∠POP′=,
∴∠MOP′=,
∴OM=,MP′=,
∴P′(-,).
故选A.
5.【解析】选B.72°=,
∴S扇形=αR2=〓〓202=80π(cm2).
6.【解析】选 B.由三角函数的定义可知,cosα==x,∴x2+5=8,∴x=〒.又∵α为第二象限角,
∴cosα=x<0,∴x<0,∴x=-,故选B.
7.【思路点拨】由sinx=2cosx可得tanx,将所求式子弦化切代入求解. 【解析】选B.由sinx=2cosx得tanx=2,
而sin2x+1=2sin2x+cos2x=
===.
8.【解析】选C.由题意可知,圆内接正三角形边长a与圆的半径之间关系为a=r,
∴α===.
9.【思路点拨】把sinα,cosα看成两个未知数,仅有sinα+cosα=是不够的,还要运用sin2α+cos2α=1组成一个方程组,解出sinα,cosα的值,然后弦化切代入求解即可.
【解析】选C.由条件结合平方关系式可得
可得又∵0<α<π,
∴sinα>0,cosα<0,解得sinα=,cosα=-,
故tanα=-.∴==-.
【一题多解】本题还可用如下解法:sinα+cosα=两边平方可得:
1+2sinαcosα=,所以2sinαcosα=-,
故(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=.
因0<α<π,且sinα+cosα=,则α必为钝角(否则值大于等于1), 故sinα-cosα>0,sinα-cosα=.
则有===-.
10.【解析】选C.∵sin>0,cos>0,
∴角α的终边在第一象限,
∴tanα====,
∴角α的最小正值为.
11.【解析】设扇形的半径为rcm,弧长为l cm,
则
2r8,
1
r4,
2
+=
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
l
l=
解得r2,
4.
=
⎧
⎨
⎩l=
∴圆心角α=
r
l ==2.
答案:2
12.【解析】由三角函数的定义可知cosα=,cosβ=,
∵α,β均为锐角,
∴sinα=,sinβ=,
∴tanα=3,tanβ=2,∴tanα+tanβ=5.
答案:5
13.【解析】由已知得f(-)=f(-+1)=f(-)=f(-+1)=f(),
f()=sin(·)=sin =.
答案:
14.【解析】∵tanα=-,∴=-,
∴sinα=-cosα.
又sin2α+cos2α=1,
∴cos2α+cos2α=1,∴cos2α=.
又α为第二象限角,∴cosα=-,
∴sinα=,
∴sinα-cosα=+=.
答案:
15.【思路点拨】利用三角函数定义先确定P到原点的距离r,再代入三角函数公式可解.
【解析】∵P(x,-)(x≠0),
∴点P到原点的距离r=,又cosα=x,
∴cosα==x.
∵x≠0,∴x=〒,∴r=2.
当x=时,P点坐标为(,-),
由三角函数的定义,有sinα=-,=-,
∴sinα+=--=-;
当x=-时,同理可求得sinα+=.
【变式备选】已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0),求α的三角函数值. 【解析】因为角α的终边过点(a,2a)(a≠0),所以,
r=|a|,x=a,y=2a,
当a>0时,sinα====;
cosα===;tanα=2.
当a<0时,sinα====-;
cosα===-;tanα=2.
综上,角α的三角函数值为sinα=,cosα=,
tanα=2或sinα=-,cosα=-,tanα=2.
16.【解析】(1)∵sinA+cosA=,
∴两边平方得1+2sinAcosA=,
∴sinAcosA=-.
(2)由(1)sinAcosA=-<0,且0<A<π,可知cosA<0,∴A为钝角,
∴△ABC是钝角三角形.
(3)∵(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA=1+=,
又sinA>0,cosA<0,∴sinA-cosA>0,
∴sinA-cosA=,
又sinA+cosA=,可得
sinA=,cosA=-,
∴tanA===-.
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