湖北省高考5月仿真数学试卷(文科).docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
2016年湖北省高考5月仿真数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．若集合A={x|﹣x2+2x≤0}，B={x|x＞1}，则A∪B等于（）
A．[2，+∞）B．[0，+∞）C．（1，2]D．（﹣∞，0]∪（1，+∞）
2．复数z满足=2i，则z的模为（）
A．B．C．D．
3．在一次马拉松比赛中，30名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编号为1﹣30号，再用系统抽样方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[130，151]上的运动员人数是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知函数f（x）=sin（2ωx+）（ω＞0）下的最小正周期为π，则函数的图象（）
A．关于直线x=对称 B．关于点（﹣，0）对称
C．关于直线x=﹣对称D．关于点（，0）对称
5．在等比数列{a n}中，公比q=﹣2，且a3a7=4a4，则a8等于（）
A．16 B．32 C．﹣16 D．﹣32
6．设P（x1，y1）、Q（x2，y2）分别为曲线y=2上不同的两点，F（1，0），x2=2x1+1，
则等于（）
A．1 B．2 C．2D．3
7．设x，y满足约束条件，若z=ax+y仅在点（，）处取得最大值，则a
的值可以为（）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣1
8．某程序框图如图所示，其中t∈Z，该程序运行后输出的k=4，则t的最大值为（）
A．10 B．11 C．12 D．13
9．设F（c，0）为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，A为右顶点，过F作AF
的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D 到直线BC的距线离为2（a+c），则该双曲线的渐近线斜率是（）
A．±1 B．±C．±2 D．±3
10．已知函数f（n）=n2cos（nπ），且a n=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a100等于（）A．90 B．﹣96 C．98 D．﹣100
11．一几何体的三视图如图所示，若将该几何体切割成长方体，则长方体的最大体积与该几何体的体积之比为（）
A．B．C．D．
12．若曲线f（x）=e x+在（﹣∞，0）上存在垂直y轴的切线，则实数m的取值范围为（）
A．（﹣∞，]B．（0，] C．（﹣∞，4]D．（0，4]
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的横线上
13．设向量=（2，6），=（﹣1，m），=（3，m），若A，C，D三点共线，则m=______．
14．已知函数f（x）=，若存在x1∈（0，+∞），x2∈（﹣∞，0]，使得f
（x1）=f（x2），则x1的最小值为______．
15．若α∈（0，π），且sinα+2cosα=2，则tan=______．
16．已知棱长为5的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱C1D1、AB、CD上一点，D1E=AF=DG=1，球O为四面体BEFG的外接球，则平面BDD1B1截球O所得圆的面积为______．
三、解答题本大题共5小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，3sin2C+8sin2A=11sinA•sinC，且c＜2a．（1）求证：△ABC为等腰三角形
（2）若△ABC的面积为8．且sinB=，求BC边上的中线长．
18．某医学院读书协会研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如图的频数分布直方图：
该协会确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
（2）已知选取的是1月与6月的两组数据：
（i）请根据2至5月份的数据，求出就诊人数y关于昼夜温差x的线性回归方程；
（ii）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该协会所得线性回归方程是否理想？
（参考公式：==，=﹣b）
19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为正三角形，E、F分别是BC、CC1的中点．（1）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
（2）若D为AB中点，∠CA1D=45°且AB=2，求三棱锥F﹣AEC的表面积．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C与圆M：x2+（y﹣3）2=4
的公共弦长为4
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知O为坐标原点，过椭圆C的右顶点A作直线l与圆x2+y2=相切并交椭圆C于另
一点，求•的值．
21．已知函数F（x）=﹣ax+lnx+1（a∈R）．
（1）讨论函数F（x）的单调性；
（2）定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（F（x））+f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，求实数a的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号的右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。

[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，在⊙O的直径AB的延长线上取点P，作⊙O的切线PN，N为切点，在AB上找一点M，使PN=PM，连接NM并延长交⊙O于点C．
（1）求证：OC⊥AB；
（2）若⊙O的半径为，OM=MP，求MN的长．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．以坐标原点O为极点，O轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程
为ρ=2（sinθ+cosθ+）．
（1）写出曲线C的参数方程；
（2）在曲线C上任取一点P，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，求矩形OAPB 的面积的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知不等式＜|1+|﹣|1﹣|＜对x∈（0，+∞）恒成立．
（1）求实数a的取值范围；
（2）不等式|x﹣1|+|x+1|≤a的解集为A，不等式4≤2x≤8的解集为B，试判断A∩B是否一定为空集？请证明你的结论．
2016年湖北省高考5月仿真数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．若集合A={x|﹣x2+2x≤0}，B={x|x＞1}，则A∪B等于（）
A．[2，+∞）B．[0，+∞）C．（1，2]D．（﹣∞，0]∪（1，+∞）
【考点】并集及其运算．
【分析】先求出集合A，B的对应元素，根据集合关系和运算即可得到结论．
【解答】解：﹣x2+2x≤0即x（x﹣2）≥0，解得x≤0或x≥2，故A=（﹣∞，0]∪[2，+∞），B={x|x＞1}=（1，+∞），
∴A∪B=（﹣∞，0]∪（1，+∞），
故选：D．
2．复数z满足=2i，则z的模为（）
A．B．C．D．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的公式计算得答案．
【解答】解：由=2i，得，
∴．
故选：A．
3．在一次马拉松比赛中，30名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编号为1﹣30号，再用系统抽样方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[130，151]上的运动员人数是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】茎叶图．
【分析】根据系统抽样方法的特征，将运动员按成绩由好到差分成6组，得出成绩在区间[130，151]内的组数，即可得出对应的人数．
【解答】解：将运动员按成绩由好到差分成6组，则
第1组为，第2组为，
第3组为，第4组为，
第5组为，第6组为，
故成绩在区间[130，151]内的恰有5组，故有5人．
故选：C．
4．已知函数f（x）=sin（2ωx+）（ω＞0）下的最小正周期为π，则函数的图象（）
A．关于直线x=对称 B．关于点（﹣，0）对称
C．关于直线x=﹣对称D．关于点（，0）对称
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由题意和函数的周期性可得ω值，验证可得对称性．
【解答】解：∵函数f（x）=sin（2ωx+）（ω＞0）下的最小正周期为π，
∴=π，解得ω=1，∴f（x）=sin（2x+），
由2x+=kπ+可得x=+，k∈Z，
结合选项可知当k=2时，函数一条对称轴为x=，
故选：A．
5．在等比数列{a n}中，公比q=﹣2，且a3a7=4a4，则a8等于（）
A．16 B．32 C．﹣16 D．﹣32
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】由已知结合等比数列的性质求得a6，代入求得a8．
【解答】解：在等比数列{a n}中，
∵a3a7═a4a6=4a4，
∴a6=4，
∴．
故选：A．
6．设P（x1，y1）、Q（x2，y2）分别为曲线y=2上不同的两点，F（1，0），x2=2x1+1，
则等于（）
A．1 B．2 C．2D．3
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由曲线y=2即为抛物线y2=4x在第一象限的部分，求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，将|PF|，|QF|转化为到准线的距离，计算即可得到所求值．
【解答】解：曲线y=2即为抛物线y2=4x在第一象限的部分，
F（1，0）为抛物线的焦点，
抛物线的准线方程为x=﹣1，
由抛物线的定义可得|PF|=x1+1，|QF|=x2+1．
由x2=2x1+1，可得x2+1=2（x1+1），
即有|QF|=2|PF|，
即等于2．
故选：B．
7．设x，y满足约束条件，若z=ax+y仅在点（，）处取得最大值，则a
的值可以为（）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣1
【考点】简单线性规划．
【分析】作出其平面区域，由图确定若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（3，1）处取得最大值时斜率﹣a的要求，从而求出a的取值范围．
【解答】解：由题意，作出x，y满足约束条件平面区域如下图：
目标函数z=ax+y（其中a＞0）可化为y=﹣ax+z，
则由目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（，）处取得最大值，
得：﹣a＜﹣2，
即a＞2．
故选：A．
8．某程序框图如图所示，其中t∈Z，该程序运行后输出的k=4，则t的最大值为（）
A．10 B．11 C．12 D．13
【考点】程序框图．
【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的S，k的值，输出k的值为4，可得3≤t＜11，结合t∈Z，即可求得t的最大值为10．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
k=10，S=0
满足条件S≤t，执行循环体，S=1，k=8
满足条件S≤t，执行循环体，S=3，k=6
满足条件S≤t，执行循环体，S=11，k=4
由题意，此时，应该不满足条件S≤t，退出循环，输出k的值为4．
所以：3≤t＜11，由于t∈Z，则t的最大值为10．
故选：A．
9．设F（c，0）为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，A为右顶点，过F作AF
的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D 到直线BC的距线离为2（a+c），则该双曲线的渐近线斜率是（）
A．±1 B．±C．±2 D．±3
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意可得D为△ABC的垂心，求得D（﹣c﹣2a，0），再由两直线垂直的条件：
斜率之积为﹣1，计算即可得到a=b，由渐近线方程即可得到所求．
【解答】解：由题意可得D为△ABC的垂心，
即有AD⊥BC，即D在x轴上，
由D到直线BC的距离为2（a+c），
由2（a+c）=c﹣x D，
则D（﹣c﹣2a，0），
令x=c，可得y2=b2（﹣1），
解得y=±，
可设B（c，），C（c，﹣），
由BD⊥AC，可得k BD•k AC=﹣1，
即•=﹣1，
化简可得b2=2a2，即=，
即有双曲线的渐近线的斜率为±．
故选：B．
10．已知函数f（n）=n2cos（nπ），且a n=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a100等于（）A．90 B．﹣96 C．98 D．﹣100
【考点】数列的求和．
【分析】分n为偶数和奇数求得数列的奇数项和偶数项均为等差数列，然后利用分组求和得答案．
【解答】解：若n为偶数，则a n=f（n）+f（n+1）=n2﹣（n+1）2=﹣（2n+1），
偶数项为首项为a2=﹣5，公差为﹣4的等差数列；
若n为奇数，则a n=f（n）+f（n+1）=﹣n2+（n+1）2=2n+1，
奇数项为首项为a1=3，公差为4的等差数列．
∴a1+a2+a3+…+a100=（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a100）
==﹣100．
故选：D．
11．一几何体的三视图如图所示，若将该几何体切割成长方体，则长方体的最大体积与该几何体的体积之比为（）
A．B．C．D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】该几何体的直观图为图中的长方体ABCD﹣EFGH 截去三棱锥CBDK所得，利用体积计算公式即可得出．
【解答】解：该几何体的直观图为图中的长方体ABCD﹣EFGH 截去三棱锥CBDK所得，
其体积为2×2×4﹣=，
该几何体截去的一部分得到的条件最大的长方体MNKJ﹣EFGH，
其体积为2×2×3=12，
故所得体积之比为．
故选：C．
12．若曲线f（x）=e x+在（﹣∞，0）上存在垂直y轴的切线，则实数m的取值范围为（）
A．（﹣∞，]B．（0，] C．（﹣∞，4]D．（0，4]
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】由题意可得f′（x）=0在（﹣∞，0）上有解，即为m=x2e x在（﹣∞，0）上有解．设g（x）=x2e x，求出导数，单调区间，可得极大值和最大值，即可得到m的取值范围．
【解答】解：由曲线f（x）=e x+在（﹣∞，0）上存在垂直y轴的切线，
可得f′（x）=e x﹣=0在（﹣∞，0）上有解，
得m=x2e x在（﹣∞，0）上有解．
设g（x）=x2e x，g′（x）=（2x+x2）e x，
由x＜0，可得当x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当﹣2＜x＜0时，g′（x）＜0，g（x）递减．
可得g（x）在x=﹣2处取得极大值，且为最大值4e﹣2．
且当x＜0时，g（x）＞0，
即有m∈（0，]．
故选：B．
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的横线上
13．设向量=（2，6），=（﹣1，m），=（3，m），若A，C，D三点共线，则m=﹣9．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】由A，C，D三点共线可得与共线，由向量共线的坐标表示可得m的方程，解方程可得．
【解答】解：∵向量=（2，6），=（﹣1，m），=（3，m），
∴=+=（2，6）+（﹣1，m）=（1，6+m），
∵A，C，D三点共线，∴与共线，
∴1×m=3（6+m）解得m=﹣9，
故答案为：﹣9．
14．已知函数f（x）=，若存在x1∈（0，+∞），x2∈（﹣∞，0]，使得f
（x1）=f（x2），则x1的最小值为log32．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】由题意，分别确定f（x1）和f（x2）的图象以及单调性，求出f（x2）的取值范围即为f（x1）的可能取值，求出使之成立的x1并取最小值即可．
【解答】解：由题意，
因为f（x2）=x22+1≥1，
又因为f（x1）=为增函数，
所以使得f（x1）=f（x2）即f（x1）≥1，
所以≥1，
所以≥2，所以x1≥log32，
故答案为：log32．
15．若α∈（0，π），且sinα+2cosα=2，则tan=．
【考点】半角的三角函数．
【分析】利用二倍角公式求得tan=，再利用二倍角公式求得tan的值．
【解答】解：∵α∈（0，π），且sinα+2cosα=2，∴2sin cos=2（1﹣cosα）=4•，
∴cos=2sin，即tan=，
故答案为：．
16．已知棱长为5的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱C1D1、AB、CD上一点，D1E=AF=DG=1，球O为四面体BEFG的外接球，则平面BDD1B1截球O所得圆的
面积为π．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】在A1B1上取一点H，使得A1H=1，则棱柱BCGF﹣B1C1EH为长方体，四面体BEFG 的外接球即为长方体BCGF﹣B1C1EH的外接球，球心O为BE的中点，过O作OH⊥BG，垂足为K，由等面积可得K到BD的距离，求出球O的半径，即可得出平面BDD1B1截球O所得圆的面积．
【解答】解：在A1B1上取一点H，使得A1H=1，
则棱柱BCGF﹣B1C1EH为长方体，
四面体BEFG的外接球即为长方体BCGF﹣B1C1EH的外接球，球心O为BE的中点，
过O作OH⊥BG，垂足为K，由等面积可得K到BD的距离d=．
∵球O的半径R==，
∴平面BDD1B1截球O所得圆的面积为S=π（R2﹣d2）=π．
故答案为：π．
三、解答题本大题共5小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，3sin2C+8sin2A=11sinA•sinC，且c＜2a．（1）求证：△ABC为等腰三角形
（2）若△ABC的面积为8．且sinB=，求BC边上的中线长．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）由已知式子和正弦定理可得3c2+8a2=11ac，分解因式结合题意可得c=a，可得△ABC为等腰三角形；
（2）由题意和三角形的面积公式可得a=c=8，由同角三角函数基本关系可得cosB，利用余弦定理可得．
【解答】解：（1）∵在△ABC中3sin2C+8sin2A=11sinA•sinC，
∴由正弦定理可得3c2+8a2=11ac，
分解因式可得（c﹣a）（3c﹣8a）=0
解得c=a或c=，由c＜2a可得c=a，
故△ABC为等腰三角形；
（2）∵△ABC的面积为8，且sinB=，
∴8=a2•，解得a=c=8，
由同角三角函数基本关系可得cosB=±=±
设BC边上的中线长为x，当cosB=时，
由余弦定理可得x2=82+42﹣2×4×8×cosB=64，x=8；
当cosB=﹣时，同理可得x2=82+42﹣2×4×8×cosB=96，x=4
18．某医学院读书协会研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如图的频数分布直方图：
该协会确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
（2）已知选取的是1月与6月的两组数据：
（i）请根据2至5月份的数据，求出就诊人数y关于昼夜温差x的线性回归方程；
（ii）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该协会所得线性回归方程是否理想？
（参考公式：==，=﹣b）
【考点】线性回归方程；频率分布直方图．
【分析】（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，根据古典概型的概率公式得到结果．
（2）（i）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．
（ii）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想．
【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
设抽到相邻两个月的数据为事件A，
∵从6组数据中选取2组数据共有15种情况，所有结果分别是：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），
试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62=15种情况，
每种情况都是等可能出现的其中，
满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，
∴P（A）==；
（2）（i）由数据求得=11，=24，
由公式求得b=再由=﹣b求得a=﹣，
∴y关于x的线性回归方程为y¯=x﹣；
（ii）当x=10时，y=，x=6时，y=，
|﹣22|=＜2，|﹣12|=＜2．
∴该小组所得线性回归方程是理想的．
19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为正三角形，E、F分别是BC、CC1的中点．（1）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；
（2）若D为AB中点，∠CA1D=45°且AB=2，求三棱锥F﹣AEC的表面积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）由B1B⊥平面ABC，可得B1B⊥AE，利用△ABC是等边三角形，可得AE⊥BC，可得AE⊥平面BCC1B1，即可证明平面AEF⊥平面B1BCC1．
（2）由（1）可知CD⊥平面ABB1A1，CD⊥A1D，再利用等边三角形的性质、勾股定理可得AA1，FC．利用直角三角形的面积计算公式即可得出．
【解答】（1）证明：∵B1B⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，
∴B1B⊥AE，
∵△ABC是等边三角形，E是BC的中点，
∴AE⊥BC，又BC⊂平面BCC1B1，B1B⊂平面BCC1B1，B1B∩BC=B，
∴AE⊥平面BCC1B1，又AE⊂平面AEF，
∴平面AEF⊥平面B1BCC1．
（2）解：由（1）可知CD⊥平面ABB1A1，A1D⊂平面ABB1A1，
∴CD⊥A1D，
∵AB=AC=BC=2，D是AB的中点，E是BC的中点，
∴AE=CD=，AD=CE=1，
∵∠CA1D=45°，∴A1D=CD=，
∴AA1==，
∵F是C1C的中点，FC==．
∴三棱锥F﹣AEC的表面积
S=+++=．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C与圆M：x2+（y﹣3）2=4
的公共弦长为4
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知O为坐标原点，过椭圆C的右顶点A作直线l与圆x2+y2=相切并交椭圆C于另
一点，求•的值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和对称性可得椭圆经过点（±2，3），代入椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设过右顶点A（4，0）的直线l为y=k（x﹣4），由直线和圆相切的条件：d=r，可得k，再由直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，可得B的横坐标，结合向量的数量积的坐标表示，即可得到所求值．
【解答】解：（1）由题意可得e==，a2﹣b2=c2，
椭圆C与圆M：x2+（y﹣3）2=4的公共弦长为4，
可得椭圆经过点（±2，3），
即有+=1，
解得a=4，b=2，
即有椭圆的方程为+=1；
（2）设过右顶点A（4，0）的直线l为y=k（x﹣4），
由直线与圆x2+y2=相切，可得=，
解得k=±，
将直线y=±（x﹣4），代入椭圆+=1，消去y，可得
31x2﹣32x﹣368=0，
设B（x0，y0），可得4x0=﹣，
则•=（4，0）•（x0，y0）=4x0=﹣．
21．已知函数F（x）=﹣ax+lnx+1（a∈R）．
（1）讨论函数F（x）的单调性；
（2）定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（F（x））+f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题等价于2f（﹣ax+lnx+1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，分离参数，得到a≥
且a≤对x∈[1，3]同时恒成立，设g（x）=，h（x）=，从而求出a的范围即可．
【解答】解：（1）F′（x）=（x＞0），
a≤0时，F′（x）＞0，得x∈（0，），由F′（x）＜0，得：x∈（，+∞），
故F（x）在（，+∞）递减，在（0，）递增；
（2）∵函数f（x）为偶函数，且f（x）在[0，+∞）递减，
∴f（x）在（﹣∞，0）递增，
又ax﹣lnx﹣1=﹣（﹣ax+lnx+1），
∴f（﹣ax+lnx+1）+f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，
等价于2f（﹣ax+lnx+1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，
则﹣1≤﹣ax+lnx+1≤1对x∈[1，3]恒成立，
即a≥且a≤对x∈[1，3]同时恒成立，
设g（x）=，g′（x）=，
则g（x）在[1，e]递增，在（e，3]递减，
∴g（x）max=g（e）=，
设h（x）=，h′（x）=＜0，
则h（x）在[1，3]递减，∴h（x）min=h（3）=，
综上，a∈[，]．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号的右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。

[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，在⊙O的直径AB的延长线上取点P，作⊙O的切线PN，N为切点，在AB上找一点M，使PN=PM，连接NM并延长交⊙O于点C．
（1）求证：OC⊥AB；
（2）若⊙O的半径为，OM=MP，求MN的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）连接ON，运用圆的切线的性质和等腰三角形的性质，由垂直的判定即可得证；（2）运用直角三角形的勾股定理和圆的相交弦定理，计算即可得到所求值．
【解答】解：（1）证明：连接ON，则ON⊥PN，且△OCN为等腰三角形，
则∠OCN=∠ONC，∵PN=PM，
∴∠PMN=∠PNM，∵∠OCM+∠OMC=∠ONC+∠PNM=90°，
∴∠COM=90°，∴OC⊥AB．
（2）在Rt△ONP中，由于OM=MP，
∴OP2=PN2+ON2，∴，
∴4PN2=PN2+12，∴PN=2，从而，
∴，
由相交弦定理可得MN•CM=BM•AM，又，
∴．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．以坐标原点O为极点，O轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程
为ρ=2（sinθ+cosθ+）．
（1）写出曲线C的参数方程；
（2）在曲线C上任取一点P，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，求矩形OAPB 的面积的最大值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）由极坐标化为标准方程，再写出参数方程即可，
（2）可设点P的坐标为（1+2cosθ，1+2sinθ），表示出矩形OAPB的面积为S，再设t=sinθ+cosθ，根据二次函数的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）由得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ+1），所以x2+y2=2x+2y+2，
即（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．
故曲线C的参数方程（θ为参数）．
（2）由（1）可设点P的坐标为（1+2cosθ，1+2sinθ），θ∈[0，2π），
则矩形OAPB的面积为S=|（1+2cosθ）（1+2sinθ）|=|1+2sinθ+2cosθ+4sinθcosθ）|
令，t2=1+2sinθcosθ，
，
故当时，．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知不等式＜|1+|﹣|1﹣|＜对x∈（0，+∞）恒成立．
（1）求实数a的取值范围；
（2）不等式|x﹣1|+|x+1|≤a的解集为A，不等式4≤2x≤8的解集为B，试判断A∩B是否一定为空集？请证明你的结论．
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（1）根据x的范围，得到关于a的不等式组，解出即可；（2）分别求出集合A，B，结合a的范围，判断A，B的交集是否是空集即可．
【解答】解：（1）∵x＞0，∴1+＞0，
不等式＜|1+|﹣|1﹣|＜对x∈（0，+∞）恒成立，
即不等式＜1+﹣|1﹣|＜对x∈（0，+∞）恒成立．
即对x∈（0，+∞）恒成立．
即，
∴，
解得：1＜a＜8；
（2）∵x＞0，∴x+1＞0，
令f（x）=|x﹣1|+|x+1|，
∴f（x）=|x﹣1|+x+1=，
由（1）a=8时，得：2x＜8，解得：x＜4，故集合A的最大范围是（0，4），
由4≤2x≤8，解得：2≤x≤3，
故集合B=[2，3]，
故A∩B不一定是空集．
2016年9月14日马鸣风萧萧。