大数定律和中心极限定理习题和例题教案
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)
i
上的均匀分布，且对每个顾客是相互独立的，试问当n 时，n次服务时
间的算术平均值
1 n
n i 1
X i以概率1收敛于何值？
解：依题意，显然有，{X n}是一个独立同分布的随机变量序列，只要存在
有限的公共数学期望，则{X n}的算术平均值依概率收敛于其公共数学期
望，由于Xi服从[5,53]上的均匀分布，所以E[ Xi ] (53 5) / 2 29,i 1, 2, , n
由此得：
P{Y
85}
85 0.5 90
1
9
0.966.
二、给定 n 和概率，求 x
补充例4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，
每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证供电充足?
解：用 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.
解：用 Xn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则
Xn 服从 b(n, p) 分布，k 为Xn的实际取值。根据题意
P Xn / n p 0.05 2 0.05 n / p(1 p) 1 0.90
从中解得 0.05 n / p(1 p) 1.645
又由 p(1 p) 0.25 可解得 n 270.6 n = 271
又记Y=X1+X2+…+X200，则 E[Y]=140，Var[Y]=42.
设供电量为x, 供电充足即为15Y≤x，则从
P{15Y x}
中解得 x 2252.
x
/
15
0.5 42
140
0.95
三、给定 x 和概率，求 n
补充例5 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节
目的收视率 p 的估计。 要有 90％ 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？
]
Var[ X 3k2 ] (E[ X 3k2 ])2 E[ X 3k1]E[ X 3k ]
6 4 4 14 k 1, 2, , n
{Yn}满足辛钦大数定律条件，所以
n
Yk
k 1
X
2 1
X
2
X3
X
2 4
X5
X6
n
n
X2 3n2
X 3n1 X 3n
P a, n
a 14
5.11
假设某洗衣店为第i个顾客服务的时间X
补充例6 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01， 求500发炮弹中命中 5 发的概率.
解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则 X ~ b(500, 0.01)
(1)
P( X
5)
C
5 500
0.015
0.99495
＝0.17635
(2) 应用正态逼近:
P(X=5) = P(4.5 < X
<
5.5)
5.5 5 4.95
解：设Yk
=X
2 3k
2
X 3k 1 X 3k
,由于{X n}是独立同分布的随机变量序列
所以，{Yn}也是独立同分布的随机变量序列，且
n
Yk
X12
X2X3
X
2 4
X5X6
k 1
X2 3n2
X 3n1 X 3n
E[Yk
]
E[
X2 3k 2
X 3k 1 X 3k
]
E[
X2 3k 2
]
E[
X 3k 1 X 3k
4.5 5 4.95
= 0.1742
所以，当n
时，n 次服务时间的算术平均值
1 n
n i 1
Xi以概率1收敛于2（9 分钟）.
注：本题参考答案有误
中心极限定理的应用例题补充
一、给定 n 和 x，求概率
补充例3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组 成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
解：用 Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X100，则 E[Y]=90，Var[Y]=9.
i
上的均匀分布，且对每个顾客是相互独立的，试问当n 时，n次服务时
间的算术平均值
1 n
n i 1
X i以概率1收敛于何值？
解：依题意，显然有，{X n}是一个独立同分布的随机变量序列，只要存在
有限的公共数学期望，则{X n}的算术平均值依概率收敛于其公共数学期
望，由于Xi服从[5,53]上的均匀分布，所以E[ Xi ] (53 5) / 2 29,i 1, 2, , n
由此得：
P{Y
85}
85 0.5 90
1
9
0.966.
二、给定 n 和概率，求 x
补充例4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，
每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证供电充足?
解：用 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.
解：用 Xn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则
Xn 服从 b(n, p) 分布，k 为Xn的实际取值。根据题意
P Xn / n p 0.05 2 0.05 n / p(1 p) 1 0.90
从中解得 0.05 n / p(1 p) 1.645
又由 p(1 p) 0.25 可解得 n 270.6 n = 271
又记Y=X1+X2+…+X200，则 E[Y]=140，Var[Y]=42.
设供电量为x, 供电充足即为15Y≤x，则从
P{15Y x}
中解得 x 2252.
x
/
15
0.5 42
140
0.95
三、给定 x 和概率，求 n
补充例5 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节
目的收视率 p 的估计。 要有 90％ 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？
]
Var[ X 3k2 ] (E[ X 3k2 ])2 E[ X 3k1]E[ X 3k ]
6 4 4 14 k 1, 2, , n
{Yn}满足辛钦大数定律条件，所以
n
Yk
k 1
X
2 1
X
2
X3
X
2 4
X5
X6
n
n
X2 3n2
X 3n1 X 3n
P a, n
a 14
5.11
假设某洗衣店为第i个顾客服务的时间X
补充例6 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01， 求500发炮弹中命中 5 发的概率.
解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则 X ~ b(500, 0.01)
(1)
P( X
5)
C
5 500
0.015
0.99495
＝0.17635
(2) 应用正态逼近:
P(X=5) = P(4.5 < X
<
5.5)
5.5 5 4.95
解：设Yk
=X
2 3k
2
X 3k 1 X 3k
,由于{X n}是独立同分布的随机变量序列
所以，{Yn}也是独立同分布的随机变量序列，且
n
Yk
X12
X2X3
X
2 4
X5X6
k 1
X2 3n2
X 3n1 X 3n
E[Yk
]
E[
X2 3k 2
X 3k 1 X 3k
]
E[
X2 3k 2
]
E[
X 3k 1 X 3k
4.5 5 4.95
= 0.1742
所以，当n
时，n 次服务时间的算术平均值
1 n
n i 1
Xi以概率1收敛于2（9 分钟）.
注：本题参考答案有误
中心极限定理的应用例题补充
一、给定 n 和 x，求概率
补充例3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组 成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
解：用 Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X100，则 E[Y]=90，Var[Y]=9.