小、初、高数学教学衔接定稿经典案例

解：（260-4×50）÷2=30 50-30=20 答：………
我们看到更多的初一新生愿意更用算 术法解答问题这是基于小学阶段对数 的四则运算的强化和还未形成方程建 模思想。
（二）、《图形与几何》举例
• 例1 、（选自第一学段）观察右图 亲自摆一摆小立方体实物体验式观察 请在下图中指出从前面、右面、上面看到的 相应图形：
3、课堂教学内容容量加大
• 初中相对来说课堂教学内容较少，定义一 节、性质一节，判定一节，而高中可能集 中在同一节，单位时间内接受知识信息量 与初中相比增加了许多，要求学生上课高 度集中，专心听讲，学会记笔记。初中时 候，最好能培养学生的良好的自主学习、 善于思考和记笔记的习惯。（要求学生在 课堂听课时三到：眼到、脑到、手到）
4、高中知识各部分内容相对独立性
• 初中知识系统性、连贯性较强，方便学生的记 忆和学习，而高中知识分为： • 1集合与函数、基本初等函数。2立体几何初步 、解析几何初步。3算法初步、概率与统计.4 三角函数与恒等变换、平面向量.5解三角形、 数列、不等式.6常用逻辑用语、圆锥曲线与方 程、空间向量与立体几何。 7导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与 复数的引入。8计数原理、统计案例、概率。 9不等式的基本性质和证明的基本方法等。
（1）边长为3的正方体中，三面、两面、一面有红色的小正方体各 有多少个？ （2）边长为4的正方体中，三面、两面、一面有红色的小正方体各 有多少个？ （3）将正方体的边长分别改为5和6，结果如何？ （4）分析上面三个问题的求解过程，你能发现什么规律？
• 连线中考： • 14．（3分）（2013•青岛）要把一个正方 体分割成8个小正方体，至少需要切3刀， 因为这8个小正方体都只有三个面是现成的 ．其他三个面必须用三刀切3次才能切出来 ．那么，要把一个正方体分割成27个小正 方体，至少需用刀切 次；分割成64个 小正方体，至少需要用刀切 次．
即ab＞a+b．
23.本题考查了数形结合、建模、类比 的数学思想，利用数形结合思想使代 数问题几何化，体现了初高中数学衔 接，更体现了数学的魅力 。
22.函数的思想、建模思想（建立函数模型）
（10分）（2013•青岛）某商场要经营一种新上市的文具，进价 为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销 售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销 售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案： 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
Hale Waihona Puke （2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方 式，47×43的矩形面积或（40＋7＋3）×40的 矩形与右上角3×7的矩形面积之和即47×43＝ （40＋10）×40＋3×7＝5×4×100＋3×7＝ 2021 • 用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加 1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7 的积，构成运算结果 • 归纳提炼： 两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两 位数相乘的速算方法是（用文字表述） ______________________________________ ______________________________
．
• 【研究不等关系】 提出问题：怎样运用矩形面积表示（y+3）（y+2 ）与2y+5的大小关系（其中y＞0）？ 几何建模：
（1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图5方式分割 y （2）变形：2y+5=（y+3）+（y+2） （3）分析：图5中大矩形的面积可以 表示为（y+3）（y+2）；阴影部分面y 积可以表示为（y+3）×1，画点部分 部分的面积可表示为y+2，由图形的部 1 1 分与整体的关系可知 （y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2）， 即（y+3）（y+2）＞2y+5
连线中考： 23、（2013•青岛）
• 在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和 比较，根据图1和图2发现并验证了平方差公式和完全 平方公式．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽 象的数量关系因几何直观而形象化．
• 【研究速算】 提出问题：47×43，56×54，79×71，…是一些 十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位 数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？ • 几何建模： 用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为 40 3 例： 7 （1）画长为47，宽为43的矩形， 47 如图3，将这个47×43的矩形从 40 右边切下长40，宽3的一条，拼 接到原矩形上面． 43
本题是对图形变化规律的考查，解答本题 需要有空间想象能力．
三、初高中数学教学的衔接 （一）初高中数学特点的比较 1、数学概念从描述到抽象程度上突变
• 初中数学一些定义、定理继续延续形象、 通俗的语言方式进行表达，数学概念大 多是描述性的，而高中数学的概念相对 较为严谨。如：高一数学一下子就触及 到近现代数学的一些分支，比如非常抽 象的集合语言、逻辑运算语言、函数语 言、图象语言等。
1、数学概念从描述到抽象程度上突
变
举例说明： • 初中函数的定义：在某个变化过程中，有两 个变量x和y，如果给一个x值，相应地就确定 一个y值，那么我们就称y是x的函数（其中x 是自变量，y是因变量） • 高中函数定义：设A、B是非空数集，如果按 照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任 意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称f: A B为集合A到集 合B的一个函数。记作y=f(x).
第23题图④
( x b ) c ( x 0 , b 0 . c 0 ) 归纳提炼：求关于x x 的一元二次方程的解。
画四个长为x+b，宽为x的矩形，构造答图1，则图 中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式： （x+x+b）² 或四个长为x+b，宽为x的矩形面积 之和，加上中间边长为b的小正方形面积． 即：（x+x+b）2=4x（x+b）+b2 ∵x（x+b）=c， ∴（x+x+b）2=4c+b2 ∴（2x+b）2=4c+b2 ∵x＞0， 2 c ∴ xb b 4 2
例2 、（选自第二学段教材）从不同方位（正面、 抽象到简单几何体从不同方位看 右面、左面、后面、上面）看到的形状分别是什 么？
教学中应注意的细节： 我们在七年级的三视图教学时，学生易想当然的出现 正视图、后视图、右视图、俯视图站在背后看这样的 错误。 因此，在七年级一开始的教学中，教师就应该对三视 图进行正确的引导。
第三学段（7~9年级) 1．初步学会在具体的情 境中从数学的角度发 现问题和提出问题， 并综合运用数学知识 和方法等解决简单的 实际问题，增强应用 意识，提高实践能力 。 2．经历从不同角度寻求 分析问题和解决问题 的方法的过程，体验 解决问题方法的多样 性，掌握分析问题和 解决问题的一些基本 方法。
各部分内容相对独立，但又互相渗透， 知识交错、信息量大，如何帮助学生 从大量的信息筛选出有用的信息？要 求帮助学生学会审题，提高知识的灵 活运用和信息迁移能力。
（二）、重视数学知识的形成与数学思想、方法渗透
高中阶段常用的数学思想是初中的延续和深入。 初中侧重给出模型学生以类比， 高中侧重于学生自己构造模型与应用。 （数学思维出现质的飞跃）
2、思维方法由类比模仿向理性层次迁跃
• 有相当一部分初中学习较好的同学刚进入 高中时对数学学习产生障碍。很多同学感 觉课堂能听懂，但是做题时已做就错，看 题时没有思路，甚至不会做题。初中阶段， 我们习惯于为学生将各种题建立了统一的 思维模式，如在应用题二次函数求最值问 题要求学生记公式，不注意配平方方法的 理解，这种“一步到位”式的记忆，大大 弱化了函数的图像语言功能。因此，初中 学生比较习惯于这种机械的，便于操作的 定势解题方式，而高中数学在思维形式上 产生了很大的变化，数学语言的抽象化对 思维能力提出了高要求。
• 【研究方程】 2 x 2 x 35 0 ( x 0 ) ? 提出问题：怎么图解一元二次方程 x+2 x 几何建模： ( x 2 ) 35 x （1）变形： x x+2 （2）画四个长为，宽为的矩形， x+2 构造图④ （3）分析：图中的大正方形 x x x+2 面积可以有两种不同的表达方 2 x 2， 式，(xx2 或四个长 ) 宽X的矩形之和，加上中间边长为2的小正方形面积 2 2 ∴ 即： ( x 5 x x 2 ) 4 x ( x 2 ) 2
（二）、各个学段需要达到的能力（问题解决）
第一学段（1~3年级)
1．能在教师的 指导下，从日 常生活中发现 和提出简单的 数学问题，并 尝试解决。 • 2．了解分析 问题和解决问 题的一些基本 方法，知道同 一个问题可以 有不同的解决 方法
第二学段（4~6年级 ）
1．尝试从日常 生活中发现并 提出简单的数 学问题，并运 用一些知识加 以解决。 2．能探索分析 和解决简单问 题的有效方法 ，了解解决问 题方法的多样 性。
例3：（选自第三学段）如图是一些小正方体 搭成的几何体俯视图，小正方形中的数字 表示该位置的小正方体的个数，请画出它 的主视图，左视图． 解：如图所示：
在小学阶段只要求会看，而在初中阶段提高到会画
• 例4 分类计数。将图13中边长分别为3和4的正方体的表面刷上红 色的漆，再将其分割成边长为1的小正方体。探求满足下面条件 的小正方体的数量规律。（第二学段）
2013年的中考试题也非常注重 对学生思想方法的考查，体现 了课标的数学价值观。
①数形结合思想（2013年23题）
②建模思想（2013年22、23题）
③函数与方程的思想（2013年6、11、12、16、19、22题） ④类比的思想（第23题题型） ⑤化归与转化的思想（2013年13题典型） ⑥分类讨论的思想(第24题的动点题型） ⑦整体的思想（2013年16题（2）把x+1看成一个整体约分） ⑧恒等变换思想……（大量数学问题都蕴涵）
二、结合课标看教材（小、初衔接）
（一）、数与代数部分 （二）、图形与几何部分
（一）、《数与代数》举例（6下 ）
小学关于负数的描述为温度计0以下的数，数轴上0左边的数，而初中要丰富多
简易方程 将等式的性质物化到学生对天平的直观理解上
应用题（六上）
例： 学校买来50张电影票一部分是4元一张的学 生票,一部分是6元一张的成人票,总票价是260 元。两种票各买了多少张?
1 1 1
第23题图⑤
• 【研究不等关系】归纳提炼：
（1）根据题意，设a=2+m，b=2+n（m＞0，n＞0） ，画长为2+m，宽为2+n的矩形，并按答图2方式 分割． （2）变形：a+b=（2+m）+（2+n）
（3）图中大矩形面积可表示为（2+m）· （2+n）， 阴影部分面积可表示为（2+m）与（2+n）的和． 由图形的部分与整体的关系可知， (2+m) ﹒(2+n)＞(2+m)+(2+n)，
小、初、高数学 教学衔接定稿经 典案例
第一板块：
《数与代数》、《图形与几何》
第二板块：
《统计概率》、《综合实践》
《数与代数》、《图形与几何》部分 一、课程标准中三个学段目标的比对
《数与代数》知识技能
第一学段（1~3年级) 第二学段（4~6年级 1．经历从日常生活 ） 中抽象出数的过程 1．体验从具体情境 ，理解万以内数的 中抽象出数的过 意义，初步认识分 程，认识万以上 数和小数；理解常 的数；理解分数 见的量；体会四则 、小数、百分数 运算的意义，掌握 的意义，了解负 必要的运算技能， 数的意义；掌握 能准确进行运算； 必要的运算技能 在具体情境中，能 ；理解估算（让 选择适当的单位， 某一部分变大或 进行简单的估算。 变小）的意义； 能用方程表示简 单的数量关系， 能解简单的方程 第三学段（7~9年级 ) 1．体验从具体情境 中抽象出数学符 号的过程，理解 有理数、实数、 代数式、方程、 不等式、函数； 掌握必要的运算 （包括估算）技 能；探索具体问 题中的数量关系 和变化规律，掌 握用代数式、方 程、不等式、函 数进行表述的方