八年级数学竞赛培优专题及答案17等腰三角形的判定.docx

专题17等腰三角形的判定
阅读与思考
在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结.
1.等腰三角形的判定：
⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；
⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等.
2.证明线段相等的方法：
⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明；
⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明；
⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等.
善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧.常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线.如图所示：
例题与求解
【例1】如图，在△ABC中，AB=7, AC=11,点M是BC的中点，AQ是/BAC的平分线，MF// AD,则CF 的长为.
（全国初中数学竞赛试题）解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点
【例2】如图，在AABC中，ZB=2ZC,则AC与2AB之间的关系是（）
A. AO2AB
B. AC=2AB
C. ACW2AB
D. AC<2.AB
（山东省竞赛试题）解题思路：如何条件ZB=2ZC,如何得到2AB,这是解本题的关键.
【例3】两个全等的含30°, 60°角的三角板ADE和三角板ABC,如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连结BQ,取BQ中点M,连结ME, MC,试判断△EMC的形状，并说明理由.
（山东省中考试题）解题思路：从AADE^ABA C出发，先确定/XADB的形状，为判断的形状奠定基础.
【例4】如图，已知在ZkABC中，AQ是BC边上的中线，E是AQ上一点，且BE=AC,延长BE交
AC 于求证：AF=EF.
（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明ZFAE=ZAEF,利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形.
【例5】如图，在等腰△ ABC中，AB=AC, ZA=20°,在边AB 1.取点。

，使AD=BC,求/BQC度数.
（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知底角为30°,这些角并不是特殊角，但它们的差却为60°, 60°使我们联想到等边三角形，由此找到切入口.
如图1,以BC为边在△ ABC内作等边△BCO；如图②，以AC为边作等边△ACE.
A
图2
能力训练
A级
1.已知AABC^J等腰三角形，由顶点A所引况边的高线恰等于BC边长的一半，贝，/BAC=.
2.如图，在RtAABC中，/C=90°, /ABC=66°, AABC以点C为中点旋转到△ABC的位置，顶点B在斜边A国上，AC与AB相交于Q,则ZBDC=.
3 .如图，Z\ABC是边长为6的等边三角形,DELBC于E, EF_LAC于F,FD±AB于。

，则AZ）=.
（天津市竞赛试题）
4.如图，一个六边形的六个内角都是120°,其连续四边的长依次是1 c〃z , 9cm , 9cm , 5cm ,
那么这个六边形的周长是cm .
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
5.如图，△ABC 中，AB^AC, /B=36°, D、E 是BC 上两点，使Z ADE=匕AED=2 A BAD,则图中
等腰三角形共有（）
A. 3个
B. 4个
C. 5个
D. 6个
6.若ZkABC的三边长是《i , b , c ,且满足a4 = b4 + c A - b2 c, b4 = a4 +c4 - a2c2
c4 =a4 +b4-a2b2,则AABC ( )
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
（“希望杯”邀请赛试题）
7.等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）
A. 30°
B. 30°或150°
C. 120°或150°
D. 30°或120°或150°
（“希望杯”邀请赛试题）
8.如图，已知Rt/XABC中，ZC=90°, /A=30°,在直线BC或AC±取一点P,使得是等腰
三角形，则符合条件的F点有（）
A. 2个
B. 4个
C. 6个
D. 8个
（江苏省竞赛试题）第5题图第8题图
第9题图
9.如图在等腰RtAAB C中，ZACB=90°, D为B C中点，DE LAB,垂足为E,过点B作BF//AC 交DE的延长线于点F,连接CF交AQ于G.
（1）求证：ADLCF-,
（2）连结AF,度判断的形状，并说明理由.
10.如图，AABC - AD±BC^ D, /B=2/C,求证：AB+BD=CD.
（天津市竞赛试题）
11.如图，已知AABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点使得△ CDE是等边三角形，如果M是线段AQ的中点，N是线段BE的中点，求证：是等边三角形.
（江苏省竞赛试题）
D
12.如图1, RtAABC 中，ZACB=9O°, CD1AB,垂足为D, AF 平分ZCAB,交CQ 于点E,交CB于点F.
⑴求证：CE=CF；
⑵将图1中的沿AB向右平移到AA'D'E的位置，使点&落在BC边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE，与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论.
B 级
1. 如图，△ABC 中，AQ 平分ZBAC, AB+BD^AC,则/B ： /C 的值=
2. 如图，△ABC 的两边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于Q 、E,若ZBAC+ZDAE=150°,则/ BAC 的度数是.
3. 在等边AABC 所在平面内求一点F,使△B4B 、△FBC 、APAC 都是等腰三角形，具有这样性质 的点F 有 个.
4. 如图，在ZXABC 中，ZABC=60°, /ACB=45°, AD. CF 都是高，相交于P,角平分线BE 分别
交AD 、CF 于Q 、S,则图中的等腰三角形的个数是（ ）
5. 如图，在五边形 ABCDE 中，/A=/B=120°, EA^AB^BC^-DC= -DE,则ZD=（
）
2 2
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 67.5°
（“希望杯”竞赛试题）
6. 如图，ZMAN=16a , Ai 点在AM 上，在AN 上取一点出，使A 2A^AA I ，再在AM 上取一点A3, 使A3&=A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（
）
A. A5
B.
C. A7
D. Ag
7. 若P ^jAABC 所在平面内一点，且ZAPB=ZBPC= Z CPA= 120°,则点F 叫作/XABC 的费尔马点, 如图1.
⑴若点F 为锐角AABC 的费尔马点，且ZABC=60a , B4=3, PC=4,则FB 的值为.
⑵如图2,在锐角△ABC 外侧作等边△ ACB ，，连结BB'.求证：BB'^AABC 的费尔马点P,且
BB'=PA+PB+PC.
8. 如图，△ABC 中，ZBAC=60°, ZACB=40°, P 、Q 分别在 BC 、AC 上，并且 AF 、BQ 分别是/ BAC. ZABC 的角平分线，求证：BQ+AQ^AB+BP.
（第1题） （第2
题）
（全国初中数学联赛试题）
9.如图，在如纱。

中，AQ是/BAC的平分线，M是BC的中点，过M作交&4延长线于E,交AC 于F,求证：BE=CF=?（AB+A©.
（重庆市竞赛试题）
10.在等边ZXABC的边BC±任取一点£>,作ZDAE=60°, DE交/C的外角平分线于E,那么ZxAQE 是什么三角形？证明你的结论.
（《学习报》公开赛试题）
11.如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，直线Z： y = -^x + m与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A、B,过点C(—4, —4)作平行于y轴的直线交AB于点Q, CO=10.
⑴求直线/的解析式；
⑵求证：AABC是等腰直角三角形；
⑶将直线/沿y轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与X, y轴分别相交于点B',在直线CD上存在点P,使得△出可F是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标.
(宁波市江东区模拟题)
12.如图1,在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，A(4, 4).
⑴求B点坐标；
⑵如图2,若。

为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角/ACQ=90°,连接0D,求ZAOZ)度数；
⑶ 如图3,过点A作y轴于E, F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作
AM-FM
等腰RtAEGH,过A作x轴垂线交EH于点M,连接FM,等式------------------ =1是否成立？若成立，请
OF
证明；若不成立，说明理由.
专题17 等腰三角形的判定
例1延长MF, BA交于E,延长至点F,使MP=MF,连BP,则左BMP^^CMF, :.BP=CF.
V AD平分ZBAC, AD// FM, /BAD= /DAC= /MFC= /AFE= /E= /P, :.AE^AF, BE=BP,即
AB+AE=AB+AF=AB+AC-CF=CF, :. CF= | (AB+AC)= & (7+11 )=9.
例2 D
例3提示：△EMC为等腰直角三角形，连AM,易证：眼睥会△BAC. ...AgAB,
又/DAB=90°.又,：M为BD 中点，:.AM1DB且DM=BM=AM.
又V ZMDE=ZMAC= 105° ,
AEDM^ A CAM. :. EM=MC, ZDME=ZAMC ,
.L ZDME+ZEMA=ZAMC +ZEMA=9Q° .
:.AEMC为等腰直角三角形.
例4延长AQ至G,使。

G=AZ),连接BG.
由△ADCMGDB,得AC=BG, AC//BG.
'：BE^AC, :.BE=BG,得ZBED=CBGD,
:./ fAE= / BGD= / BED= /AEF,
故AF=EF.
例5提示：结合图1,给出解答过程.
由图形的轴对称性知：AABO^AACO, .L/BAO=/CAO=10° , :. ZABO=ZACO=20°, :. ZAOB^ ZAOC=150°.又,：BO=BC=CO=AD, :. AACD^ACAO, /. ZAOC=ZCDA=150° ,故/BDC=30° .
A级
I.90°或75°或15° 2.72° 3.2 4.37
5. D
6.D 提示：将三式相加
7.D
8.C
9.⑴先证Z\A CD^ACBF, :. ZCAD=ZBCF.又L ZCAD+ZC£>G=/BCF+ZCZ)G=90° ,
:.ZCGD=90° , :.AD±CF.
⑵ZXACF为等腰三角形.
10.提示：延长至E,使BE=AB,连结AE,证明ZE=ZC, AC=AE.
II.提示：证明△ DCA*ECB、ADCM^AECN, ZNCM=60。

.
12.⑴提示：先证明ZCEF=ZCFE.
⑵作EG_LAC 于G,证明△ CEG#6BE'D‘,可得CE=BE',又CF=CE, BE '=CF.
B级
1.2:1
2.110°
3.10
4.D
5. C 提示：在五边形内作等边三角形ABF,则E、F、C在一条直线上.
6.B
7.提示：⑴2禹(2)在'上取点P,使ZBPC=120°,再在PB '上取点E使PE=PC,连结CE.则
由/XPCE 为等边三角形，可得：PC=CE, ZPCE=60° , ZCEB =120°
AACB '为正三角形，.I可证：△ACPMB'CE. .•./APC=/B'EC=120° , PA=EB
A ZAPC=ZBPC=ZCPA=120° , :.PthjAA
B
C 的费马点.
:.BB '过△ ABC的P,且BB '=EB +PB+PE^PA+PB+PC.
8.提示：延长AB至使连结FM,则AB+BP^AM,可证明BQ=QC.
:.AQ+QB^AQ+QC^AC,又由△ AMP^^ACP得故AB+BP^AQ+BQ.
9.提示：延长FM 至P,使PM=FM,连结BP,则左BMP^ACMF, AE=AF, BE=BP.
10.提示：当D为B C的端点，显见△AEZ)是等边三角形；当D为BC边的中点，取AC的中点F,连接QF,易证Z\COF为等边三角形，又左ADF^AEDC,故左ADE为等边三角形.猜测：当D为BC上任意点时，也为等边三角形.
11.(1) v = -—x + 4；
2
(2)过点C作CH±y轴于H,证明△ AOB^ABHC即可；
(3)符合条件的P 点共有5 个，分别为(T,-12),[T,_§,(T,8),(T,T),(T,4).
12.提示：(1) 8(8, 0)；
(2)如图a,过A作AS1OB于S,过。

作DTLx轴于T.
■: AOAB为等腰直角三角形，
OS=AS=BS,再由△ ASC^ACTD,可得：AS=CT, SC=TD.
:.CT=AS=OS, ：.OT=CS=TD.
:.Z TOD=45°,则ZAOQ=90°；
(3)等式成立，理由如下：如图b,
在AM 上截取A S=OF,连ES,可证△ EAS^AEOF,可得：ES=EF, ZAES=ZOEF :.ZSEF= ZAEO=90°, :. ZFEM= ZSEM=45°.
又・：EM=EM, :.AEFM^AESM, :.FM=SM,
AM-FM
:.AM^AS+SM^OF+FM, :. ------------------ = 1.
OF。