2020-2021学年江苏省南通中学高二(上)期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷
试题数：22，总分：150
1.（单选题，5分）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）
A.8
B.16
C.18
D.27
2.（单选题，5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.（单选题，5分）不等式x+1
2x−1
≤0的解集为（）
A.[-1，1
2
）
B.[-1，1
2
]
C.（-∞，-1]∪（1
2
，+∞）
D.（-∞，-1]∪[ 1
2
，+∞）
4.（单选题，5分）已知椭圆的准线方程为x=±4，离心率为1
2
，则椭圆的标准方程为（）
A. x2
2
+y2=1
B.x2+ y2
2
=1
C. x2
4+y2
3
=1
D. x2
3+y2
4
=1
5.（单选题，5分）数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n-1，则a10=（）
A.511
B.513
C.1025
D.1024
6.（单选题，5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1
7
是较小的两份之和，问最小一份为（）
A. 5
3
B. 10
3
C. 5
6
D. 11
6
7.（单选题，5分）椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，P为椭圆C
上的动点，若a= √2 b，满足∠F1PF2=90°的点P有（）个
A.2个
B.4个
C.0个
D.1个
8.（单选题，5分）正数a，b满足9a+b=ab，若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）
A.[3，+∞）
B.（-∞，3]
C.（-∞，6]
D.[6，+∞）
9.（多选题，5分）若实数a＞0，b＞0，a•b=1，若下列选项的不等式中，正确的是（）
A.a+b≥2
B. √a+√b≥2
C.a2+b2≥2
D. 1
a +1
b
≤2
10.（多选题，5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）
A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件
B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件
C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件
D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
11.（多选题，5分）设椭圆x2
9+y2
3
=1的右焦点为F，直线y=m（0＜m＜√3）与椭圆交于
A，B两点，则下述结论正确的是（）
A.AF+BF为定值
B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C.当m= √2时，△ABF 为直角三角形
D.当m=1时，△ABF 的面积为√6
12.（多选题，5分）已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n．且满足a n+a n+1=2n，b n•b n+1=2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）
A.0＜a1＜1
B.1＜b1＜√2
C.S2n＜T2n
D.S2n≥T2n
13.（填空题，5分）命题“∀x∈R，ax+b≤0”的否定是___ ．
14.（填空题，5分）不等式x2-kx+1＞0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是___ ．
15.（填空题，5分）椭圆x2
5+y2
m
=1的离心率为√10
5
，则实数m的值为___ ．
16.（填空题，5分）对于数列{a n}，定义A n= a1+2a2+⋯+2n−1a n
n
为数列{a n}的“好数”，已知某数列{a n}的“好数”A n=2n+1，记数列{a n-kn}的前n项和为S n，若S n≤S7对任意的n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是___ ．
17.（问答题，10分）求适合下列条件的椭圆标准方程：
（1）与椭圆x 2
2 +y2=1有相同的焦点，且经过点（1，3
2
）；
（2）经过A（2，- √2
2），B（- √2，- √3
2
）两点．
18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}满足b n=2n+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．
19.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx-a+2．
（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；
（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．
20.（问答题，12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．
（Ⅰ）工厂第几年开始获利？
（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：① 年平均获利最大时，以26万元出售该设备；② 总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？
21.（问答题，12分）已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且短轴的两个端点
与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆的右焦点F作直线l，与椭圆相交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．
22.（问答题，12分）已知各项均为正数的两个数列{a n}，{b n}满足a n+12-1=a n2+2a n，
2a n=log2b n+log2b n+1+1，且a1=b1=1．
（1）求证：数列{a n}为等差数列；
（2）求数列{b n}的通项公式；
（3）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，求使得等式2S m+a m-36=T i成立的有序数对（m，i）（m，i∈N*）．
2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
试题数：22，总分：150
1.（单选题，5分）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）
A.8
B.16
C.18
D.27
【正确答案】：C
【解析】：由已知利用等比数列的通项公式即可求解．
【解答】：解：若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n=a1•q n-1，
由已知可得：a1=2，q=3，
则它的通项a3=a1•q2=2×32=18．
故选：C．
【点评】：本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n=a1•q n-1，属于基础题．
2.（单选题，5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【正确答案】：A
【解析】：解得a的范围，即可判断出结论．
【解答】：解：由a2＞a，解得a＜0或a＞1，
故a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.（单选题，5分）不等式x+1
2x−1
≤0的解集为（）
A.[-1，1
2
）
B.[-1，1
2
]
C.（-∞，-1]∪（1
2
，+∞）
D.（-∞，-1]∪[ 1
2
，+∞）
【正确答案】：A
【解析】：根据题意，分析可得原不等式等价于（x+1）（2x-1）≤0且（2x-1）≠0，解可得
x的取值范围，即可得答案．
【解答】：解：根据题意，原不等式等价于（x+1）（2x-1）≤0且（2x-1）≠0，
解可得：-1≤x＜1
2
，
及原不等式的解集为[-1，1
2
）；
故选：A．
【点评】：本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式变形为整式不等式．
4.（单选题，5分）已知椭圆的准线方程为x=±4，离心率为1
2
，则椭圆的标准方程为（）
A. x2
2
+y2=1
B.x2+ y2
2
=1
C. x2
4+y2
3
=1
D. x2
3+y2
4
=1
【正确答案】：C
【解析】：由椭圆的准线方程可知椭圆的焦点在x轴上，再由已知列关于a，b，c的方程组，求得a2与b2的值，则椭圆标准方程可求．
【解答】：解：由椭圆的准线方程为x=±4，可知椭圆的焦点在x轴上，
设椭圆方程为x 2
a2+y2
b2
=1（a＞b＞0），
由 { a 2c =4
c a =12a 2=b 2+c 2 ，解得a 2=4，b 2=3，c 2=1．
∴椭圆的标准方程为 x 24
+y 23 =1． 故选：C ．
【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆标准方程的求法，是基础题．
5.（单选题，5分）数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n -1，则a 10=（ ）
A.511
B.513
C.1025
D.1024
【正确答案】：B
【解析】：直接利用构造法的应用，整理出数列{a n -1}是等比数列，进一步求出数列的通项公式，最后求出结果．
【解答】：解：数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n -1，
所以a n+1-1=2（a n -1），
所以 a n+1−1
a n −1=2 （常数），
所以数列{a n -1}是以a 1-1=1为首项，2为公比的等比数列．
所以 a n −1=2n−1 ，
所以 a n =2n−1+1 ．
所以 a 10=29+1=513 ．
故选：B ．
【点评】：本题考查的知识要点：数列的递推关系式，构造法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
6.（单选题，5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，问最小一份为（ ）
A. 53
B. 103
C. 56
D. 116
【正确答案】：A
【解析】：设五个人所分得的面包为a-2d ，a-d ，a ，a+d ，a+2d ，（d ＞0）；则由五个人的面包和为100，得a 的值；由较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，得d 的值；从而得最小的一份a-2d 的值．
【解答】：解：设五个人所分得的面包为a-2d ，a-d ，a ，a+d ，a+2d ，（其中d ＞0）； 则，（a-2d ）+（a-d ）+a+（a+d ）+（a+2d ）=5a=100，∴a=20；
由 17 （a+a+d+a+2d ）=a-2d+a-d ，得3a+3d=7（2a-3d ）；∴24d=11a ，∴d=55/6； 所以，最小的1分为a-2d=20-
1106 = 53 ． 故选：A ．
【点评】：本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果．
7.（单选题，5分）椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1和F 2，P 为椭圆C 上的动点，若a= √2 b ，满足∠F 1PF 2=90°的点P 有（ ）个
A.2个
B.4个
C.0个
D.1个
【正确答案】：A
【解析】：由题意画出图形，由a= √2 b ，结合隐含条件可得b=c ，再由∠F 1PF 2=90°，可得P 为短轴的两个端点，则答案可求．
【解答】：解：设椭圆的半焦距为c ，当a= √2 b 时，
则 c =√a 2−b 2=√b 2=b ，
如图，连接PO ，若∠F 1PF 2=90°，则|PO|=|OF 1|=b ，
此时P 点在短轴的上下端点，即符合条件的P 有2个．
故选：A ．
【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
8.（单选题，5分）正数a，b满足9a+b=ab，若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）
A.[3，+∞）
B.（-∞，3]
C.（-∞，6]
D.[6，+∞）
【正确答案】：A
【解析】：求出a+b=（a+b）（1
a + 9
b
）=10+ b
a
+ 9a
b
≥10+6=16（当且仅当b=3a时取等
号），问题转化为m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立，运用二次函数的最值求法和恒成立思想，即可求出实数m的取值范围．
【解答】：解：∵正数a，b满足1
a + 9
b
=1，
∴a+b=（a+b）（1
a + 9
b
）=10+ b
a
+ 9a
b
≥10+2 √b
a
•9a
b
=10+6=16（当且仅当b=3a时取等
号）．
由不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，
可得-x2+2x+18-m≤16对任意实数x恒成立，
即m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立，
即m≥-（x-1）2+3对任意实数x恒成立，
∵-（x-1）2+3的最大值为3，
∴m≥3，
故选：A．
【点评】：本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用基本不等式和二次函数的最值求法，考查化简运算能力，属于中档题．
9.（多选题，5分）若实数a＞0，b＞0，a•b=1，若下列选项的不等式中，正确的是（）
A.a+b≥2
B. √a+√b≥2
C.a2+b2≥2
D. 1
a +1
b
≤2
【正确答案】：ABC
【解析】：直接利用不等式的性质和均值不等式的应用判定A、B、C、D的结论．
【解答】：解：实数a＞0，b＞0，a•b=1，
则对于A：a+b≥2√ab=2，成立，故A正确；
对于B：√a+√b≥2√√a•√b=2成立，故B正确；
对于C：a2+b2≥2ab=2成立，故C正确；
对于D：1
a +1
b
≥2√1
ab
=2成立，故D不正确．
故选：ABC．
【点评】：本题考查的知识要点：不等式的性质和均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
10.（多选题，5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）
A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件
B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件
C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件
D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
【正确答案】：CD
【解析】：由题意逐一考查所给的命题是否成立即可．
【解答】：解：逐一考查所给的选项：
取a=2，b=3，c=0，满足ac=bc，但是不满足a=b，选项A错误，
取a=2，b=-3，满足a＞b，但是不满足a2＞b2，选项B错误，
“a＜5”是“a＜3”的必要条件，选项C正确，
“a+5是无理数”，则“a是无理数”，选项D正确，
故选：CD．
【点评】：本题主要考查不等式的性质，等式的性质，命题真假的判定等知识，属于中等题．
11.（多选题，5分）设椭圆x2
9+y2
3
=1的右焦点为F，直线y=m（0＜m＜√3）与椭圆交于
A，B两点，则下述结论正确的是（）
A.AF+BF为定值
B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C.当m= √2时，△ABF 为直角三角形
D.当m=1时，△ABF 的面积为√6
【正确答案】：AD
【解析】：利用椭圆的性质以及定义，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，逐一分析四个选项得答案．
【解答】：解：设椭圆的左焦点为F'，则AF'=BF，可得AF+BF=AF+AF'为定值6，故A正确；△ABF的周长为AB+AF+BF，
∵|AF+BF为定值6，可知AB的范围是（0，6），∴△ABF的周长的范围是（6，12），故B
错误；
将y= √2与椭圆方程联立，可解得A（−√3，√2），B（√3，√2），又知F（√6，0），
如图，由图可知∠ABF为钝角，则△ABF为钝角三角形，故C错误；
将y=1与椭圆方程联立，解得A（−√6，1），B（√6，1），
∴ S△ABF=1
2
×2√6×1=√6，故D正确．
故选：AD．
【点评】：本题考查椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系．考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
12.（多选题，5分）已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项
和为T n．且满足a n+a n+1=2n，b n•b n+1=2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）
A.0＜a1＜1
B.1＜b1＜√2
C.S2n＜T2n
D.S 2n ≥T 2n
【正确答案】：ABC
【解析】：利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，在求出其前2n 项和的表达式即可判断大小；
【解答】：解：∵数列{a n }为递增数列；
∴a 1＜a 2＜a 3；
∵a n +a n+1=2n ，
∴ {a 1+a 2=2a 2+a 3=4
； ∴ {a 1+a 2＞2a 1a 2+a 3＞2a 2=4−4a 1
∴0＜a 1＜1；故A 正确．
∴S 2n =（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n-1+a 2n ）=2+6+10+…+2（2n-1）=2n 2；
∵数列{b n }为递增数列；
∴b 1＜b 2＜b 3；
∵b n •b n+1=2n
∴ {b 1b 2=2b 2b 3=4
； ∴ {b 2＞b 1b 3＞b 2
； ∴1＜b 1＜ √2 ，故B 正确．
∵T 2n =b 1+b 2+…+b 2n
=（b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）
= b 1•(1−2n )2+b 2(1−2n )2=(b 1+b 2)(2n −1)
≥2√b 1b 2(2n −1)=2√2(2n −1) ；
∴对于任意的n∈N*，S 2n ＜T 2n ；故C 正确，D 错误．
故选：ABC ．
【点评】：本题考查了数列的综合运用，考查学生的分析能力与计算能力．属于中档题．
13.（填空题，5分）命题“∀x∈R ，ax+b≤0”的否定是___ ．
【正确答案】：[1]∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0
【解析】：根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】：解：命题为全称命题，则命题“∀x∈R ，ax+b≤0”的否定是∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0， 故答案为：∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0．
【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
14.（填空题，5分）不等式x 2-kx+1＞0对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是___ ．
【正确答案】：[1]（-2，2）
【解析】：设y=x 2-kx+1，将不等式恒成立的问题转化为函数y=x 2-kx+1图象始终在x 轴上方，进而根据判别式处理即可．
【解答】：解：依题意，设y=x 2-kx+1，
因为不等式x 2-kx+1＞0对任意实数x 都成立，
所以△=k 2-4＜0，解得k∈（-2，2），
故答案为：（-2，2）．
【点评】：本题考查了二次函数的性质，二次函数与二次不等式的关系，考查分析解决问题的能力，属于基础题．
15.（填空题，5分）椭圆 x 25+
y 2m =1 的离心率为 √105 ，则实数m 的值为___ ． 【正确答案】：[1] 253或3
【解析】：分当m ＞5和m ＜5时两种情况，根据e= c a 求得m ．
【解答】：解：当m ＞5时，
√m−5√m = √105 ，解得m= 253 ， 当m ＜5
√5−m √5 = √105 解得m=3符合题意， 故答案为： 25
3或3
【点评】：本题主要考查了椭圆的简单性质．要利用好椭圆标准方程中a ，b ，c 的关系．
16.（填空题，5分）对于数列{a n }，定义A n = a 1+2a 2+⋯+2n−1a n n
为数列{a n }的“好数”，已知某数列{a n }的“好数”A n =2n+1，记数列{a n -kn}的前n 项和为S n ，若S n ≤S 7对任意的n∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是___ ．
【正确答案】：[1] [94，167
] 【解析】：先根据数列的递推式求出a n =2n+2，所以a n -kn=（2-k ）n+2，显然{a n -kn}是等差数列，所以{S n }中S 7最大，则数列{a n -kn}的第7项大于等于0，第八项小于等于0，列出不等
式组，即可解得实数k 的取值范围．
【解答】：解：由题意可知， a 1+2a 2+⋯…+2n−1a n =n •2n+1 ，
则n≥2时， a 1+2a 2+⋯…+2n−2a n−1=(n −1)•2n ，
两式相减得： 2n−1a n =n •2n+1−(n −1)•2n ，
∴a n =2n+2，
又∵A 1= a 11 =4，∴a 1=4，满足a n =2n+2，
故a n =2n+2，
∴a n -kn=（2-k ）n+2，显然{a n -kn}是等差数列，
∵S n ≤S 7对任意的n∈N *恒成立，
∴{S n }中S 7最大，则 {a 7−7k =7(2−k )+2≥0a 8−8k =8(2−k )+2≤0
，解得： 94≤k ≤167 ， 故实数k 的取值范围是：[ 94 ， 167 ]．
【点评】：本题主要考查了数列的递推式，以及等差数列的性质，是中档题．
17.（问答题，10分）求适合下列条件的椭圆标准方程：
（1）与椭圆 x 22 +y 2=1有相同的焦点，且经过点（1， 32 ）；
（2）经过A （2，- √22 ），B （- √2 ，- √32 ）两点．
【正确答案】：
【解析】：（1）先求出已知椭圆的焦点坐标（±1，0），则可设出所求椭圆方程，代入已知点即可求解，（2）待定系数法设出椭圆方程，代入已知点即可求解．
【解答】：解：（1）由已知椭圆方程可得焦点坐标为（±1，0），则可设所求的椭圆方程为： x 2m +y 2m−1=1(m ＞1) ，
代入点（1， 32 ），解得m=4或 14 （舍），
所以所求椭圆方程为： x 24+y 23=1 ，
（2）设所求的椭圆方程为： x 2m +y 2n =1(m ＞0，n ＞0，m ≠n) ，
代入已知两点可得：{4
m +
1
2
n
=1
2 m +
3
4
n
=1
，解得m=8，n=1，
故所求的椭圆方程为：x 2
8
+y2=1．
【点评】：本题考查了椭圆的标准方程以及焦点相同和不确定的问题的椭圆方程的设法，属于基础题．
18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}满足b n=2n+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．
【正确答案】：
【解析】：（1）根据等差中项可得q=2，即可求出通项公式；
（2）利用分组求和即可求出．
【解答】：解：（1）设等比数列{a n}公比为q，则q≠0，
∵a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项，
∴2a2=a1+a3-1，
即2q=1+q2-1，
解得q=2，
∴a n=2n-1；
（2）b n=2n+a n=2n+2n-1；
∴S n=2（1+2+3+…+n）+（20+21+22+…+2n-1）=n（n+1）+2n-1=n2+n+2n-1．
【点评】：本题考查等比数列的通项公式和等差数列的性质，以及等差数列和等比数列的求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题．
19.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx-a+2．
（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；
（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．
【正确答案】：
【解析】：（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程ax2+bx-
a+2=0的两根分别为-1和3，由此建立关于a、b的方程组并解之，即可得到实数a、b的值；（2）不等式可化成（x+1）（ax-a+2）＞0，由此讨论-1与a−2
a
的大小关系，分3种情形加
以讨论，即可得到所求不等式的解集．
【解答】：解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集是（-1，3）
∴-1，3是方程ax2+bx-a+2=0的两根，
∴可得{a−b−a+2=0
9a+3b−a+2=0，解之得{a=−1
b=2
------------（5分）
（2）当b=2时，f（x）=ax2+2x-a+2=（x+1）（ax-a+2），∵a＞0，∴ (x+1)(ax−a+2)＞0⇔(x+1)(x−a−2
a
)＞0
① 若−1=a−2
a
，即a=1，解集为{x|x≠-1}．
② 若−1＞a−2
a ，即0＜a＜1，解集为{x|x＜a−2
a
或x＞−1}．
③ 若−1＜a−2
a ，即a＞1，解集为{x|x＜−1或x＞a−2
a
}．------------（14分）
【点评】：本题给出二次函数，讨论不等式不等式f（x）＞0的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题．20.（问答题，12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．
（Ⅰ）工厂第几年开始获利？
（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：① 年平均获利最大时，以26万元出售该设备；② 总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？
【正确答案】：
【解析】：（Ⅰ）每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，第n年时累计的纯收入f （n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98，
获利为f（n）＞0，解得n的值，可得第几年开始获利；
（Ⅱ）计算方案① 年平均获利最大时及总收益；方案② 总纯收入获利最大时及总收益；比较两种方案，总收益相等，第一种方案需7年，第二种方案需10年，应选择第一种方案．
【解答】：解：（Ⅰ）由题设每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设第n年时累计的纯收入为f（n），
则f（n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98=40n-2n2-98，
获利为：f（n）＞0，∴4n-2n2-98＞0，即n2-20n+49＜0，∴10- √51＜n＜10+ √51；
又n∈N，∴n=3，4，5， (17)
∴当n=3时，即第3年开始获利．
（Ⅱ）① 年平均收入为：f(n)
n =40−2(n+49
n
)≤40−4√n•49
n
=12（万元）
即年平均收益最大时，总收益为：12×7+26=110（万元），此时n=7；
② f（n）=-2（n-10）2+102，∴当n=10时，f（n）max=102；
总收益为110万元，此时n=10；
比较两种方案，总收益均为110万元，但第一种方案需7年，第二种方案需10年，
故选择第一种方案．
【点评】：本题考查了数列与函数的综合应用问题，也是方案设计的问题；解题时应细心分析，认真解答，以免出错．
21.（问答题，12分）已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且短轴的两个端点
与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆的右焦点F作直线l，与椭圆相交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．
【正确答案】：
【解析】：（1）由长轴长即等边三角形可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；
（2）设直线l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，代入面积公式，由均值不等式的性质可得面积的最大值，及直线l 的方程．
【解答】：解：（1）由题意可得2a=4，2b= √b 2+c 2 =a ，
所以a=2，b=1，
所以椭圆的方程为： x 24 +y 2=1；
（2）由（1）可得右焦点F 2（ √3 ，0），显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x=my+ √3 ，
A （x 1，y 1），
B （x 2，y 2），
联立直线l 与椭圆的方程 {x =my +√3x 24
+y 2=1 ，整理可得：（4+m 2）y 2+2 √3 my-1=0， 可得y 1+y 2= −2√3m 4+m 2 ，y 1y 2= −14+m 2 ，
所以S △AOB = 12 |OF 2||y 1-y 2|
= 12×√3 × √(y 1+y 2)2−4y 1y 2
= √32 •√12m 2(4+m 2)2+44+m 2
= √32 •4√1+m 24+m 2
=2 √3 •√1+m 24+m 2 =2 √3 •√1+m 2+3√2 √3 • 2√1+m 2•3√2 =1， 当且仅当 √1+m 2 = √1+m 2 m= ±√2 ，时三角形的面积最大为1，
所以面积的最大值为1，这时直线l 的方程为x= ±√2 y+ √3 ．
【点评】：本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．
22.（问答题，12分）已知各项均为正数的两个数列{a n }，{b n }满足a n+12-1=a n 2+2a n ，2a n =log 2b n +log 2b n+1+1，且a 1=b 1=1．
（1）求证：数列{a n }为等差数列；
（2）求数列{b n }的通项公式；
（3）设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，求使得等式2S m +a m -36=T i 成立的有序数对（m ，i ）（m ，i∈N*）．
【正确答案】：
【解析】：（1）根据递推关系可得a n+12=（a n+1）2，从而得到数列{a n}为等差数列；
（2）根据2a n=log2b n+log2b n+1+1，可知数列{b n}的奇数项和偶数项，进而整合即可得{b n}的
通项公式．
（3）分别求S n，T n，带入2S m+a m-36=T i成立，则存在s，t∈N*，使得2s=m+7，即2t=m-5，从而2s-2t=12，在证明s≥5不成立，从而得到s=4，m=9，i=6．
【解答】：证明（1）：由a n+12-1=a n2+2a n，
可得a n+12=a n2+2a n+1
即a n+12=（a n+1）2，
∵各项均为正数的两个数列{a n}，{b n}，
可得a n+1=a n+1，
即数列{a n}是首项为1，公差d=1的等差数列．
解（2）：由（1）可得a n=n，
∵2a n=log2b n+log2b n+1+1，
可得b n b n+1=22n-1…… ①
∴b n+1b n+2=22n+1…… ②
将②
①可得：b n+2
b n
=4．
所以{b n}是奇数项和偶数项都成公比q=4的等比数列，由b1=1，b2=2，
可得b2k-1=4k-1，b2k=2×4k-1，k∈N*，
∴b n=2n-1．
故得数列{b n}的通项公式为b n=2n-1．
（3）由（1）和（2）可得S n= n(n+1)
2
，T n=2n-1；
由2S m+a m-36=m（m+1）+m-36=2i-1，
即（m-5）（m+7）=2i．
则存在s，t∈N*，使得2s=m+7，即2t=m-5，
从而2s-2t=12，
若s≥5，则2s-2t-12≥20，∴t≥5，
又∵s＞t，那么2s-2t≥2t+1-2t=2t≥32，
可知与2s-2t=12相矛盾，可得s≤4，
根据2s-2t=12，s，t∈N*，
可得s=4，t=2，
此时可得m=9，i=6．
【点评】：本题考查了等差、等比数列的通项公式与前n项和公式的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于压轴题．。