2.1 等式与不等式的性质(精练)(解析版)

2.1 等式与不等式的性质（精练）
【题组一 不等式（组）表示实际问题】
1．（2021·全国高一课时练习）用不等式或不等式组表示下面的不等关系: (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h (单位:m )从地面算起不能超过4m ; (2)a 与b 的和是非负实数;
(3)如图,在一个面积小于2350m 的矩形地基的中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长L (单位m )大于宽W (单位:m )的4倍.
【答案】(1)04h <≤;(2)0a b +;(3)40(10)(10)350.
L W L W >>⎧⎨++<⎩，
【解析】（1）04h <≤； （2）0a b +≥；
（3）由题,则矩形地基的长为()10L +m ,宽为()10W +m ,则40
(10)(10)350L W L W >>⎧⎨
++<⎩
2．（2020·全国高一课时练习）如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）．
【答案】a 2＋b 2≥2ab. 【解析】
如图，设大正方形四个角上的直角三角形的两个直角边分别为,a b ，
则大正方形的面积为2
()a b +，
四个矩形的面积和为4ab ，
显然，大正方形的面积大于等于四个矩形的面积和， 所以2
()
4,a b ab +≥
所以a 2＋b 2≥2ab.
3（2021·全国高一课时练习）一公司投资A 生产线500万元,每万元可创造利润1.5万元,该公司通过引进先进技术,在生产线A 投资减少了x 万元,且每万元的利润提高了0.5x %;若将少用的x 万元全部投入B 生产线,每万元创造的利润为131.51000a x ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
万元,其中0a >. (1)若技术改进后A 生产线的利润不低于原来A 生产线的利润,用不等关系表示; (2)若生产线B 的利润始终不高于技术改进后生产线A 的利润,用不等关系表示. 【答案】(1)23000x x -≤(2)131.5 1.5(500)(10.5%)1000a x x x x ⎛⎫
-
-+ ⎪⎝⎭
【解析】(1)由题意得1.5(500)(10.5%) 1.5500x x -+≥⨯,整理得23000x x -≤. (2)由题意知,生产线B 的利润为131.51000a x x ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
万元, 由（1）技术改进后生产线A 的利润为1.5(500)(10.5%)x x -+万元, 则131.5 1.5(500)(10.5%)1000a x x x x ⎛⎫
-
≤-+ ⎪⎝⎭
. 4．（2021·全国高一课时练习）某工厂生产甲，乙两种图画纸，计划每种图画纸的生产量不少于8t ，已知生产甲种图画纸1t 要用芦苇7t 、黄麻3t 、枫树5t ；生产乙种图画纸1t 要用芦苇3t 、黄麻4t 、枫树8 t .现在仓库内有芦苇300t 、黄麻150t .枫树200t ，试列出满足题意的不等式组.
【答案】7330034150582008,8
x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨
+≤⎪⎪≥≥⎩ 【解析】设甲、乙两种图画纸的生产量分别为t x ，t y ，根据题意，应有如下的不等关系： ①生产甲、乙两种图画纸所用的芦苇总量不超过300t ，用不等式表示为73300x y +≤； ①生产甲、乙两种图画纸所用的黄麻总量不超过150t ，用不等式表示为34150x y +≤； ①生产甲、乙两种图画纸所用的枫树总量不超过200t ，用不等式表示为58200x y +≤； ①甲、乙两种图画纸的生产量都不少于8t ，用不等式表示为8x ≥，8y ≥.
所以满足.题意的不等式组为73300,
34150,58200,8,8.x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨
+≤⎪⎪≥≥⎩ 故填：73300,
34150,58200,8,8.
x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨
+≤⎪⎪≥≥⎩. 【题组二 比较大小】
1．（2021·云南楚雄彝族自治州·高一期末）已知233,1P a a Q a =++=+，则（ ） A ．P Q < B ．P Q
C ．P Q >
D ．P Q
【答案】C 【解析】
22233(1)22(1)10P Q a a a a a a -=++-+=++=++>,P Q ∴>.故选：C
2．（2021·吉林长春市·长春外国语学校高一开学考试）若2
31m x x ，2
21n
x x ，则m 与n 的
大小关系是（ ） A ．m n > B ．m n ≥
C ．m n <
D ．m n ≤
【答案】A 【解析】①2
31m x x ，221n
x x ①2
2
2
2
3121
22
1
10m
n
x x x x x x
x
因此：m n >故选：A
3．（2021·湖北武汉市·高一期中）已知4枝郁金香和5枝丁香的价格之和小于22元，而6枝郁金香和3枝丁香的价格之和大于24元.设1枝郁金香的价格为A 元，1枝丁香的价格为B 元，则A ，B 的大小关系为（ ） A ．A B > B ．A B =
C ．A B <
D ．不确定
【答案】A 【解析】由题意：4522
6324A B A B +<⎧⎨
+>⎩
，解得10B A -<-<，则A B >故选：A
4．（2021·全国高一课时练习）已知,a b ∈R ，则2252a b ++_______42ab a +．（用“>”或“<”填空） 【答案】>
【解析】因为225242a b ab a ++--22
(2)(1)1a b a =-+-+,
又2(2)0a b -≥，2
(1)0a -≥，所以2252420a b ab a ++-->，所以225242a b ab a ++>+， 故答案为：>.
5．（2021·广东清远市·高一期末）已知241M a a =++，1
22
N a =-，则M ________N .（填“>”或“<”）
【答案】>
【解析】2
231
2(1)022
M N a a a -=++
=++>，①M N >．故答案为：>． 6．（2021·全国高一课时练习）比较()()37x x ++和()()46x x ++的大小. 【答案】()()()()3746x x x x ++<++. 【解析】 ()()x 3x 7++-()()x 4x 6++ =(
)
2
2
x 10x 21x 10x 24.++-++ =-3<0
所以()()()()x 3x 7x 4x 6++<++
7．（2021·全国高一课时练习）比较下列各组中两个代数式的大小： （1）256x x ++与2259x x ++； （2）2
(3)x -与(2)(4)x x --； （3）当1x >时，2x 与21x x -+；
（4）22
1x y ++与2(1)x y +-.
【答案】（1）2256259x x x x ++<++.（2）2
(3)(2)(4)x x x ->--.（3）221x x x >-+.（4）
2212(1)x y x y ++>+-.
【解析】（1）因为(
)(
)
2
2
2
5625930x x x x x ++-++=--<，所以2256259x x x x ++<++.
（2）因为(
)(
)
2
2
2
(3)(2)(4)696810x x x x x x x ----=-+--+=>，所以2
(3)(2)(4)x x x ->--.
（3）因为(
)
2
2
110x x x x --+=->，所以当1x >时，221x x x >-+.
（4）因为2
2
2
2
2
2
12(1)1222(1)(1)10x y x y x y x y x y ++-+-=++--+=-+-+>，所以
2212(1)x y x y ++>+-.
8．（2021·广东）已知0a >，0b >
的大小；
b a
+a
b =时取等号）
【解析】方法一：由题意
(
)a b --==
2
=
，
因为0a >，0b >
0>
，
2
≥
0>
，
2
≥，当且仅当a
b =时等号成立，
≤
+a b =时取等号）.
a b
+
===
2
=
=
2
11+，当且仅当a b =时等号成立，
b a
+a b =时取等号）. 【题组三 不等式性质的运用】
1．（2021·怀仁市第一中学校云东校区高一月考（理））下列结论正确的是（ ） A ．若a b c b >>，，则a c > B ．若a b >，则22a b >
C ．若a b c b >>，，则ac bd >
D ．若a b c d >>，，则a c b d +>+
【答案】D
【解析】A. 若2,1,3a b c ===，满足a b c b >>，，而a c <，故错误； B. 若1,2a b ==-，满足a b >，而22a b <，故错误；
C.若1,22,1a b c d =-=-==，，满足a b c d >>，，而ac bd =，故错误；
D.若a b c d >>，，由不等式的基本性质得a c b d +>+，故正确. 故选：D
2．（2021·重庆市清华中学校高一期末）下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若33a b >，则a 2>b 2
C ．若a b <，则11a b
> D ．若0a b >>，0c d >>，则ac bd > 【答案】D
【解析】对于A ：因为2c ≥0，所以当2c =0时，22ac bc =，故A 错误；
对于B ：若33a b >，可得a b >，当0,1a b ==-时，满足a b >，但22a b <，故B 错误； 对于C ：当1,1a b =-=时，
111,1,a b =-=，所以11
a b
<，故C 错误； 对于D ：若0a b >>，0c d >>，则ac bd >，故D 正确. 故选：D
3．（2021·北京高一期末）已知实数a ，b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）
A ．
11
b a
> B ．22a b > C ．0b a -> D ．b a a b <
【答案】A
【解析】对于A ：由图象可得0b a <<，所以
11
b a
>，故A 正确； 对于B ：因为0b a <<，所以22a b <，所以B 错误； 对于C ：因为b a <，所以0b a -<，故C 错误；
对于D ：当2,1b a =-=-时，满足0b a <<，此时2,1b a ==， 所以2,2a b b a =-=-，即b a a b =，故D 错误， 故选：A
4．（2021·浙江高一期末）（多选）下列命题不正确的（ ） A ．
11
0||||a b a b
<<⇒> B ．
a b
a b c c
>⇒> C ．33110a b a b
ab ⎫>⇒<⎬>⎭
D ．22110a b a b
ab ⎫>⇒<⎬>⎭
【答案】ABD 【解析】A ：
1100ab a b <<∴>且110a b
->->，因此11
0ab ab ab a b -⋅>-⋅>⋅， 即00b a b a b a ->->⇒->->⇒>，故本命题不正确； B ：因为
4822
>--，显然48>不成立，所以本命题不正确； C ：由332233()()0b a b a b a b b a a ⇒-=-++>>，而0ab >， 所以有a b >，而
11110b a a b ab a b
--=<⇒<，故本命题正确； D ：若2,1a b =-=-，显然220
a b ab ⎧>⎨>⎩成立，但是11
21<--不成立，故本命题不正确，
故选：ABD
5．（2021·全国高一课时练习）（多选）已知a b c d ,,,
均为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若0,0ab bc ad >->，则
0c d
a b
-> C ．若,,a b c d >>则a d b c ->-
D ．若,0,a b c d >>>则a b d c
> 【答案】BC
【解析】若0a b >>，0c d >>，则ac bd <，故A 错误； 若0ab >，0bc ad ->，则
0bc ad ab ->，化简得0c d
a b
->，故B 正确； 若c d >，则d c ->-，又a b >，则a d b c ->-，故C 正确； 若1a =-，2b =-，2c =，1d =，则1a d =-，1b c =-，1a b
d c
==-，故D 错误； 故选：BC ．
6．（2021·浙江高一期末）（多选）若0a b <<，则下列不等式不可能成立的是（ ） A ．
11
a b a
>- B ．a b >
C ．
11<a b
D ．22a b >
【答案】AC
【解析】因为0a b <<，对A ，可得0a b a >->，所以11
a b a
<-，故A 错；对B ，a b >成立，故B 正确；对C ，11
a b
>，故C 错误；对D ，a b >，所以22a b >成立，故D 正确. 故选：AC
7．（2021·浙江高一期末）（多选）已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，且0ac <，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．ab ac > B ．()0c b a -> C ．()0ac a c -<
D ．22cb ab <
【答案】ABC
【解析】因为实数a ，b ，c 满足c b a <<，且0ac <， 所以0,0a c ><，
由,0b c a >>，得ab ac >，故A 正确； 由,0b a c <<，得()0c b a ->，故B 正确； 由,0a c ac ><，得()0ac a c -<，故C 正确；
由2
,0a c b >≥，得22cb ab ≤，当0b =时，等号成立，故D 错误； 故选：ABC
8．（2021·全国高一课时练习）用不等号“>”或“<”填空: (1)如果a b >,c d <,那么a c -______b d -;
(2)如果0a b >>,0c d <<,那么ac ____bd ; (3)如果0a b >>,那么
2
1a
____21b ; (4)如果0a b c >>>,那么
c a ____c b
. 【答案】> < < < 【解析】:(1)c d <,c d ∴->-.a b >,a c b d ∴->-.
(2)
0c d <<,0c d ∴->->.0a b >>,ac bc bd ∴->->-,ac bd ∴<.
(3)0a b >>,0ab ∴>,
10ab
>,110a b ab ab ∴⋅>⋅>,11
0b a ∴>>,
2
2
11b a ⎛⎫⎛⎫∴> ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
,即2211a b <.
(4)0a b >>,所以0ab >,
10ab
>.于是1a b ab ab 1⋅>⋅,即11b a >,即11
a b <.
0c >,c c
a b
∴
<. 故答案为:(1)>；(2)<；(3)<；(4)< 【题组四 不等式的证明】
1．（2021·上海高一期末）已知,a b 是任意实数，求证：4433a b a b ab ++≥，并指出等号成立的条件． 【答案】证明见解析；当且仅当a b =时，等号成立． 【解析】因为(
)()()()44
3
34
343a b
a b ab a
a b b ab +-+=-+-
()3
3
3
3
()()()a a b b b a a b a b =-+-=--()2
2
2
2
2
213()()24a b a ab b a b a b b ⎡⎤
⎛⎫=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
故(
)()44
3
3
0a b
a b ab +-+≥，即4
433a
b a b ab ++≥．
当且仅当a b =时，等号成立．
2.（2021年广东）若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋d
d .
【答案】见解析
【解析】方法一 ①bc －ad ≥0，①bc ≥ad ，①bc ＋bd ≥ad ＋bd ，即b (c ＋d )≥d (a ＋b )． 又bd >0，两边同除以bd 得，a ＋b b ≤c ＋d
d
.
方法二
a ＋
b b －
c ＋
d d ＝a ＋b d －
c ＋
d b bd ＝ad －bc
bd
，
①bc －ad ≥0，①ad －bc ≤0，
又bd >0，①ad －bc bd ≤0，即a ＋b b ≤c ＋d
d .
【题组五 求代数式的取值范围】
1．（2021·浙江高一期末）已知13a b <<<，则a b +的取值范围是_________，
a
b
的取值范围是________．
【答案】()2,6 1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】13a b <<<，即1a b <<，3a b <<，13a a b b ∴+<+<+， 又12a +>，36b +<，26a b ∴<+<； 又
1113b a <<，13a a b ∴<<，又133a >，113a
b
∴<<. 综上所述：a b +的取值范围为()2,6；
a b 的取值范围为1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
. 故答案为：()2,6；1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
.
2．（2021·浙江高一期末）已知14x y -<+<，23x y <-<，则x 的范围是_________，32x y +的范围是________． 【答案】17,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 323,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【解析】
14x y -<+<，23x y <-<，两个不等式相加可得127x <<，解得
1722
x <<， 设()()()()32+=++-=++-x y m x y n x y m n x m n y ，
所以，32
m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得52m =，1
2n =，
因为()551022x y -
<+<，()13
122
x y <-<， 由不等式的基本性质可得323
3222
x y -<+<
. 故答案为：17,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；323,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
3（2021·全国高一课时练习）已知1≤a +b ≤4，-1≤a -b ≤2，求4a -2b 的取值范围
【答案】[]2,10-
【解析】令4a -2b =x (a +b )+y (a -b )，所以4a -2b =(x +y )a +(x -y )b .所以4-2x y x y +=⎧⎨=-⎩，，解得13.x y =⎧⎨=⎩
， 因为1≤a +b ≤4，-1≤a -b ≤2，所以-33()6a b ≤-≤所以-2≤4a -2b ≤10.
4．（2021·全国高一课时练习）已知23a <<，21b -<<-，求2a b +的取值范围______.
【答案】(2,5)
【解析】因为23a <<，所以426a <<，
因为21b -<<-，所以4(2)26(1)a b +-<+<+-，即225a b <+<，所以2a b +的取值范围为(2,5)，
故答案为：(2,5)
5．（2021·湖北高一期中）若实数x ，y 满足12x -<<，21y -≤≤，则y x -的取值范围是________.
【答案】()4,2-
【解析】因为12x -<<，所以21x -<-<，又因为21y -≤≤，
所以()2211y x -+-<-<+，即42y x -<-<．故答案为：()4,2-．
6．（2021·江苏镇江市）已知14,263x y x y -≤+≤≤-≤，则34z x y =-的取值范围是________________.
【答案】[0,11]；
【解析】()()3426z x y x y x y =-=++-，因为14,263x y x y -≤+≤≤-≤，
所以()228x y -≤+≤，所以()()02611x y x y ≤++-≤，故答案为: [0,11]
7．（2021·广东佛山市·顺德一中高一期中）已知实数x ，y 满足023x y ≤+≤，21x y -≤-≤，则45x y +的最大值是________.
【答案】13
【解析】令()()452x y m x y n x y +=++-，
解得：3m =，2n =-，
又023x y ≤+≤，21x y -≤-≤，
24513x y ∴-≤+≤，
即45x y +的最大值是13.
故答案为：13.
8．（2021·安徽合肥市）实数,a b 满足32a b -≤+≤，14a b -≤-≤．
（1）求实数,a b 的取值范围；
（2）求32a b -的取值范围．
【答案】（1）23a -≤≤，7322
b -≤≤；（2）43211a b -≤-≤． 【解析】（1）由32a b -≤+≤，14a b -≤-≤，两式相加得，426a -≤≤，则23a -≤≤，
由14a b -≤-≤，得41a b -≤-+≤，又32a b -≤+≤，两式相加得，723b -≤≤，即7322
b -≤≤； （2）设()()()()32a b m a b n a b m n a m n b -=++-=++-，则32m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ①()()153222
a b a b a b -=++-， ①32,14a b a b -≤+≤-≤-≤，①()()31551,102222a b a b -
≤+≤-≤-≤，则43211a b -≤-≤． 9．（2020·河北张家口市·涿鹿中学高一期中）已知－2＜a ≤3,1≤b ＜2，试求下列代数式的取值范围. （1）a ＋b ；
（2）2a －3b .
【答案】（1）－1＜a ＋b ＜5；（2）－10＜2a －3b ≤3.
【解析】（1）由－2＜a ≤3,1≤b ＜2，得－1＜a ＋b ＜5.
（2）由－2＜a ≤3得－4＜2a ≤6，①由1≤b ＜2得－6＜－3b ≤－3，①由①＋①得，－10＜2a －3b ≤3.
10．（2021·江苏省）（1）若12
60a ，1536b ，求2a b -，a b
的取值范围； （2）已知x ，y 满足1122x y -<-<，01x y <+<，求3x y -的取值范围．
【答案】（1）()12,105-， 1,43⎛⎫ ⎪⎝⎭；（1）()1,2-.
【解析】（1）因为12
60a ，所以242120a ， 因为1536b ，所以11136
15,3615b b ， 所以122105a b -<-<，143a b
<<； 所以2a b -的取值范围是()12,105-；
a b 的取值范围是1,43⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）设()()()()3x y m x y n x y m n x n m y -=-++=++-， 则31m n n m +=⎧⎨-=-⎩，解得21
m n =⎧⎨=⎩， 所以()()32x y x y x y -=-++，
又因为1122
x y -<-<，01x y <+<， 所以132x y -<-<，
所以3x y -的取值范围是()1,2-。