14-2复合函数微分法

且函数 z f ( u, v ) 在对 应点 ( u, v ) 可微， 则
z f [ ( x , y ), ( x , y )] 在对应点( x , y )可微,
且有
z z u z v , x u x v x
z z u z v y u y v y
z z u z v z w y u y v y w y
z
u v w
x
y
n元函数的链式求导法则
f u1 , u2 ,.....um 在 u1 , u2 ,.....um 可微, uk x1 , x2 ,..... xn , k 1,2,3......, m 在
vБайду номын сангаас
e u sin v y e u cos v 1 e u ( y sinv cos v ),
z z u z v y u y v y u u e sin v x e cos v 1 e u ( x sinv cos v ).
z u z v z u z v dx dy u x v x u y v y z u u z v v dx dy dx dy u x y v x y
2011／04／13
§14.2
复合函数微分法
一、链式法则 ( Chain Rule )
定理 如果函数 u (t ) 及 v (t ) 都在点 t 可 函数 z f ( u, v )在对应点( u, v ) 可微， 导，
则复合函数 z f [ ( t ), ( t )]在对应点 t 可导，
z z du dv. v u
全微分形式不变形的实质：
无论 z是自变量 u、v的函数或中间变量 u、v 的函数，它的全微分形式是一样的.
z z ( ) 例 4 已知 z e s i nx y ，求 和 . x y
xy
解 令 z e u sin v , u xy , v x y .
都在点( x , y )可微，函数 z f ( u, v , w ) 在对应点
可微， 则复合函数 z f [ ( x , y ), ( x , y ), w( x , y )]
在( x , y )可微，且可用下列公式计算
z z u z v z w x u x v x w x
.
作业 习题集14-2 1, 2, 3, 4, 5(2,3,4,5), 7.
且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
证 设 t 获得增量 t，
由于函数 z f ( u, v ) 在点( u, v ) 可微
z z z u v 1 u 2 v , u v
当u 0 ，v 0 时， 1 0 ， 2 0
例 3 设 z uv sin t ，而u e t ，v cos t ，
dz 求全导数 . dt
z
解
dz z du z dv z dt u dt v dt t
u v t
t t
ve u sin t cos t
t
e cos t e sin t cos t
x1 , x2 ,..... xn 可微
f f uk , i 1,2,3,.....n. xi k 1 uk xi
m
特殊地
z f ( u, x , y ) 其中 u ( x , y )
w y,
即 z f [ ( x , y ), x , y ], 令 v x ,
链式法则如图示
u
z
x
y
v
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
类似地，
设 u ( x , y ) 、 v ( x , y )、 w w ( x , y )
dz zudu zv dv e sin vdu e cos vdv du ydx xdy , dv dx dy
u u
dz e [ y sin( x y ) cos( x y )]dx
xy
z =e xy [ y sin( x y ) cos( x y )] x z =e xy [ x sin( x y ) cos( x y )] y
u f x, y , z , t , x z , s , y x, s , t , z s , t z s 求 ut , us t s z s x x t y s s u f t z s t t
注: 定理中条件的说明
e xy [ x sin( x y ) cos( x y )]dy
三、小结
1、链式法则
（特别要注意课中所讲的特殊情况）
2、全微分形式不变性
（理解其实质）
思考题
设 z f ( u, v , x ) ，而u ( x ) ，v ( x ) ，
dz f du f dv f ， 则 dx u dx v dx x dz f 试问 与 是否相同？为什么？ dx x
多重复合函数的求导：
f f f us z s s y x z s x s s z s x f f f f ut z t t x z t y x z t t
如果仅仅是为了求 z f [ ( x , y ), ( x , y )]
在点( x , y ) 对 x 和 y 的偏导数，则只需有 u ( x , y )
及 v ( x , y )都在点( x , y ) 偏导数存在即可，
而函数 z f ( u, v )的可微性不能省略.
t t
e t (cos t sin t ) cos t .
二、全微分形式不变性
z z 设函数 z f ( u, v )可微， 则有全微分 dz du dv ; u v z z dx dy . 当 u ( x , y ) 、 v ( x , y )时，有 dz x y
z z u z v u v 1 2 t u t v t t t
当t 0 时， u 0 ，v 0
1 , 2 0
u du , t dt
v dv , t dt
dz z z du z dv lim . dt t 0 t u dt v dt
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如
z
u v w
t
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： z f [ ( x , y ), ( x , y )].
如果 u ( x , y ) 及 v ( x , y )都在点( x , y )可微
1 2 cos t sec t 2 y 1 x 1
z
x y
t
2 . 2 1 sin t sin2t
cos t
例 2 设 z e u sin v ，而u xy ，v x y ，
z z 求 和 . x y
u
z
x
y
解
z z u z v x u x v x
思考题解答
不相同.
x 等式左端的z 是作为一个自变量 的函数，
而等式右端最后一项 f 是作为u, v, x 的三元函数，
写出来为
dz dx
x
f u
du f ( u ,v , x ) x dx v
dv f ( u ,v , x ) x dx x
( u ,v , x )
例如
x2 y , x2 y2 0 2 z f ( x, y) x y 2 0 , x2 y2 = 0
f x (0,0) f y (0,0) 0, f ( x, y ) 在 (0,0)不可微.
如 x t, y t
t 有 z F (t ) f (t , t ) , 2
v 1, x
w 0, x
z f u f , x u x x
两者的区别
区 z f u f 别 . 类 y u y y 似 把 z f ( u, x , y )
变而对 x 的偏导数
v 0, y
w 1. y
把 复 合函 数 z f [ ( x , y ), x , y ] 中的u 及 y 看作不 中的 y 看作不变而对x 的偏导数
dz 1 , dt 2
dz dt
t 0
z dx x (0,0) dt
z dy 0. y (0,0) dt t 0 t 0
dz 例1 设z arctan x ln y, x sin t , y tan t , 求 . dt
解
dz z dx z dy dt x dt y dt