黑龙江省哈尔滨市虹桥中学2016届九年级数学12月段考试题(含解析) 新人教版

某某省某某市虹桥中学2016届九年级数学12月段考试题一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列计算正确的是（）
A．b2•b3=b6B．（﹣a2）3=a6C．（ab）2=ab2D．（﹣a）6÷（﹣a）3=﹣a3
2．如图所示的图案中不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．若a m=5，a n=3，则a m+n的值为（）
A．15 B．25 C．35 D．45
4．如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中与BD相等的线段有（）
A．5条B．6条C．7条D．8条
5．等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（）
A．20°B．50°C．60°D．80°
6．若（x﹣3）（x+5）是x2+px+q的因式，则p为（）
A．﹣15 B．﹣2 C．8 D．2
7．下列各式运算正确的是（）
A．（a﹣2）（2+a）=22﹣a2B．（x+2）（2x﹣2）=2x2﹣4
C．（﹣a﹣b）（a+b）=a2﹣b2D．（ab﹣3）（ab+3）=a2b2﹣9 8．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（）
A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．a（a+b）=a2+ab
9．分式方程的解为（）
A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=3
10．下列说法正确的有（）个
①任何数的0次幂都等于1．
②同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
③有一个角是60°的三角形是等边三角形．
④到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条中线的交点．
⑤到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每题3分，共计30分）
11．银原子的直径为0.0003微米，用科学记数表示为微米．12．若有意义，则x的取值X围是．
13．把多项式2x2﹣4xy+2y2因式分解的结果为．
14．点P（﹣3，2）关于x轴对称的点P′的坐标是．
15．计算：（2a﹣3b）（2a+3b）=．
16．若a+b=5，ab=3，则a2+b2=．
17．若x2+mx+1是完全平方式，则m=．
18．如图，把Rt△ABC（∠C=90°）折叠，使A、B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，则∠A等于度．
19．第一象限内两点A（1，1）、B（5，3），点P在x轴上，且PA+PB的和为最小，则P 点坐标．
20．△ABC中，AB=9，∠B=2∠C，AD⊥BC，AE是BC边上中线，则线段DE=．
三、解答题（共计60分）
21．计算：
（1）（）2÷（﹣）3•（）2；
（2）解方程：．
22．先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中x=4．
23．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；并写出点C1的坐标；（2）将△ABC关于x轴对称得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
24．已知：等边△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，AD与BE交于O．求证：AO=2OD．
25．宇宾服装销售公司准备从某某录辰服装厂购进甲、乙两种服装进行销售，若一件甲种服装的进价比一件乙种服装的进价多50元，用4000元购进甲种服装的数量是用1500元购进乙种服装的数量的2倍．
（1）求每件甲种服装和乙种服装的进价分别是多少元？
（2）该公司甲种服装每件售价260元，乙种服装每件售价190元，公司根据买家需求，决定向这家服装厂购进一批服装，且购进乙种服装的数量比购进甲种服装的数量的2倍还多4件，若本次购进的两种服装全部售出后，总获利不少于7160元，求该公司本次购进甲种服装至少是多少件？
26．已知，如图在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AE于E．
（1）求证：BE=AD；
（2）连结CE，求∠CED的度数．
27．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的顶点A（﹣2，0），点B，C分别在x、y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠BAC=60°．
（1）求点B的坐标．
（2）点P为AC延长线上一点，过P作PQ平行于x轴交BC的延长线于点Q，若P点的横坐标为t，线段PQ的长为d，请用含t的式子表示d．
（3）在（2）的条件下，当PA=d时，E是线段CQ上一点，连接OE，BP，若OE=BP，求∠APB﹣∠OEB的度数．
2015-2016学年某某省某某市虹桥中学九年级（上）段考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列计算正确的是（）
A．b2•b3=b6B．（﹣a2）3=a6C．（ab）2=ab2D．（﹣a）6÷（﹣a）3=﹣a3
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为b2•b3=b5，故本选项错误；
B、应为（﹣a2）3=﹣a6，故本选项错误；
C、应为（ab）2=a2b2，故本选项错误；
D、（﹣a）6÷（﹣a）3=（﹣a）6﹣3=﹣a3，正确．
故选D．
2．如图所示的图案中不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，故错误；
D、不是轴对称图形，故正确．
故选D．
3．若a m=5，a n=3，则a m+n的值为（）
A．15 B．25 C．35 D．45
【考点】同底数幂的乘法．
【分析】直接利用同底数幂的乘方运算法则将原式变形求出即可．
【解答】解：∵a m=5，a n=3，
∴a m+n=a m×a n=5×3=15；
故选A．
4．如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中与BD相等的线段有（）
A．5条B．6条C．7条D．8条
【考点】等边三角形的判定与性质．
【分析】根据等边三角形的性质判断出△AEF、△BDE、△CDF、△DEF都是全等的等边三角形，由等边三角形的性质得到答案．
【解答】解：如图，连接EF．
∵等边△ABC中，AD是BC边上的高，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∵∠BDE=∠CDF=60°，
∴∠ADE=∠ADF=30°，
△AEF、△BDE、△CDF、△DEF都是全等的等边三角形，
∴∴BD=DC=DE=BE=AE=AF=FC=FD，
即图中与BD相等的线段有7条．
故选：C．
5．等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（）
A．20°B．50°C．60°D．80°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数．【解答】解：∵等腰三角形的一个顶角为80°
∴底角=÷2=50°．
故选B．
6．若（x﹣3）（x+5）是x2+px+q的因式，则p为（）
A．﹣15 B．﹣2 C．8 D．2
【考点】因式分解的意义．
【分析】把多项式相乘展开，再根据对应项系数相等求解即可．
【解答】解：∵（x﹣3）（x+5）=x2+2x﹣15，
∴p=2，q=﹣15；
故选D．
7．下列各式运算正确的是（）
A．（a﹣2）（2+a）=22﹣a2B．（x+2）（2x﹣2）=2x2﹣4 C．（﹣a﹣b）（a+b）=a2﹣b2D．（ab﹣3）（ab+3）=a2b2﹣9 【考点】平方差公式；多项式乘多项式．
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式=a2﹣4，错误；
B、原式=2x2﹣2x+4x﹣4=2x2+2x﹣4，错误；
C、原式=﹣a2﹣2ab﹣b2，错误；
D、原式=a2b2﹣9，正确．
故选D．
8．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（）
A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．a（a+b）=a2+ab
【考点】完全平方公式的几何背景．
【分析】根据图形得出阴影部分的面积是（a﹣b）2和b2，剩余的矩形面积是（a﹣b）b 和（a﹣b）b，即大阴影部分的面积是（a﹣b）2，即可得出选项．
【解答】解：从图中可知：阴影部分的面积是（a﹣b）2和b2，剩余的矩形面积是（a﹣b）b和（a﹣b）b，
即大阴影部分的面积是（a﹣b）2，
∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，
故选C．
9．分式方程的解为（）
A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=3
【考点】解分式方程．
【分析】观察可得最简公分母是2x（x+3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程的两边同乘2x（x+3），得
x+3=4x，
解得x=1．
检验：把x=1代入2x（x+3）=8≠0．
∴原方程的解为：x=1．
故选B．
10．下列说法正确的有（）个
①任何数的0次幂都等于1．
②同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
③有一个角是60°的三角形是等边三角形．
④到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条中线的交点．
⑤到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】线段垂直平分线的性质；同底数幂的乘法；零指数幂；等边三角形的判定．【分析】根据0指数幂的定义，同底数幂相乘法则，等边三角形的判定，线段垂直平分线性质逐个进行判断即可．
【解答】解：∵0的0次幂不存在，∴①错误；
∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴②正确；
∵有一个角是60°的等腰三角形才是等边三角形，∴③错误；
∵到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，∴④错误；
∵到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，∴⑤正确；
故选B．
二、填空题（每题3分，共计30分）
11．银原子的直径为0.0003微米，用科学记数表示为3×10﹣4微米．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与绝对值大于1数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 3微米=3×10﹣4微米．
12．若有意义，则x的取值X围是x≠2 ．
【考点】分式有意义的条件．
【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．
【解答】解：根据题意，得：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案是：x≠2．
13．把多项式2x2﹣4xy+2y2因式分解的结果为2（x﹣y）2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解答】解：2x2﹣4xy+2y2
=2（x2﹣2xy+y2）
=2（x﹣y）2．
故答案为：2（x﹣y）2．
14．点P（﹣3，2）关于x轴对称的点P′的坐标是（﹣3，﹣2）．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】本题须根据关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点和点P的坐标即可求出点P'的坐标．
【解答】解：∵P（﹣3，2）关于x轴对称的点P'的坐标是（﹣3，﹣2）
故答案为（﹣3，﹣2）．
15．计算：（2a﹣3b）（2a+3b）= 4a2﹣9b2．
【考点】平方差公式．
【分析】原式利用平方差公式计算即可得到结果．
【解答】解：原式=（2a）2﹣（3b）2=4a2﹣9b2，
故答案为：4a2﹣9b2
16．若a+b=5，ab=3，则a2+b2= 19 ．
【考点】完全平方公式．
【分析】首先把等式a+b=5的等号两边分别平方，即得a2+2ab+b2=25，然后根据题意即可得解．
【解答】解：∵a+b=5，
∴a2+2ab+b2=25，
∵ab=3，
∴a2+b2=19．
故答案为19．
17．若x2+mx+1是完全平方式，则m= ±2 ．
【考点】完全平方式．
【分析】本题考查完全平方公式，这里根据首末两项是x和1的平方可得，中间一项为加上或减去它们乘积的2倍，即：x=±2•x•1，由此得m=±2．
【解答】解：由于（x±1）2，
=x2±2x+1，
=x2+mx+1，
∴m=±2．
故答案为：±2．
18．如图，把Rt△ABC（∠C=90°）折叠，使A、B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，则∠A等于30 度．
【考点】翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义．
【分析】由折叠的性质知，AD=BD=BC，可求得sinA=，所以可得∠A=30°．
【解答】解：根据折叠的性质得AD=BD=BC．
∴sinA=BC：AB=，
∴∠A=30°．
19．第一象限内两点A（1，1）、B（5，3），点P在x轴上，且PA+PB的和为最小，则P 点坐标（2，0）．
【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．
【分析】先画出图形，由两点之间线段最短可知，作出A点对称点，当P点在线段AB上时PA+PB的值最小，即PA+PB=A′B，求得直线A′B的解析式为y=x﹣2，当y=0时，x=2，即可得到结论．
【解答】解：作点A关于x轴的对称点A'，则A′坐标为（1，﹣1），
连接A′B交x轴于一点，此点就是点P，此时PA+PB最小，
作BE⊥y于一点E，延长A′A交BE于一点M，
∵PB=PA′，
∴PA+PB=BA′，
∵A、B两点的坐标分别为（1，1）和（5，3），A′坐标为（1，﹣1），
设直线A′B的解析式为：y=kx+b，
∴，
∴
∴直线A′B的解析式为：y=x﹣2，
当y=0时，x=2，
∴P（2，0）．
故答案为：（2，0）．
20．△ABC中，AB=9，∠B=2∠C，AD⊥BC，AE是BC边上中线，则线段DE= 4.5 ．
【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．【分析】首先过E点作ME∥AD，交AC于M，连接BM，易证得△MAB∽△BAC，又由ME ∥AD，根据比例线段的性质，即可求得AB=2DE，继而求得答案．
【解答】解：过E点作ME∥AD，交AC于M，连接BM，
∴AD⊥BC，
∴ME⊥BC，
∵AE是BC边上中线，
∴BM=CM，
∴∠C=∠CBM，
又∵∠B=2∠C，
∴∠MBA=∠C，
又∵∠CAB=∠CAB，
∴△MAB∽△BAC，
∴==．
∵ME∥AD，
∴=，
∵CE=CB，
∴=，
∴=，
∴AB=2DE，
∵AB=9，
∴DE=4.5．
故答案为：4.5．
三、解答题（共计60分）
21．计算：
（1）（）2÷（﹣）3•（）2；
（2）解方程：．
【考点】解分式方程；分式的乘除法．
【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式=•（﹣）•=﹣；
（2）去分母得：5+x﹣2=1﹣x，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解．
22．先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中x=4．
【考点】分式的化简求值．
【分析】首先把括号内的分式进行通分、相减，把除法转化为乘法，即可化简，最后代入数值计算即可．
【解答】解：原式=•
=•
=，当=4时，原式=．
23．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；并写出点C1的坐标；（2）将△ABC关于x轴对称得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
【考点】作图-轴对称变换；作图-平移变换．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C1的坐标；
（2）根据网格结构找出点A、B、C关于x轴的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示，C1（1，1）；
（2）△A2B2C2如图所示．
24．已知：等边△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，AD与BE交于O．求证：AO=2OD．
【考点】三角形的重心；等边三角形的性质．
【分析】根据全等三角形的判定和性质进行证明即可．
【解答】证明：∵等边△ABC中AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BAE=60°，
∴2AE=AB，
同理可得：2BD=AB，2OD=OB，
在△AOE与△OBD中，
，
∴△AOE≌△OBD（AAS），
∴AO=OB，
∴AO=2OD．
25．宇宾服装销售公司准备从某某录辰服装厂购进甲、乙两种服装进行销售，若一件甲种服装的进价比一件乙种服装的进价多50元，用4000元购进甲种服装的数量是用1500元购进乙种服装的数量的2倍．
（1）求每件甲种服装和乙种服装的进价分别是多少元？
（2）该公司甲种服装每件售价260元，乙种服装每件售价190元，公司根据买家需求，决定向这家服装厂购进一批服装，且购进乙种服装的数量比购进甲种服装的数量的2倍还多4件，若本次购进的两种服装全部售出后，总获利不少于7160元，求该公司本次购进甲种服装至少是多少件？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设每件甲种服装为x元，每件乙种服装为（x﹣50）元，根据关键语句“用4000元购进甲种服装的数量是用1500元购进乙种服装的数量的2倍”可列方程求解；（2）设购进甲种服装m件，则购进乙种服装（2m+4）件，根据题意可得不等关系：甲服装的利润+乙服装的利润≥7160元，根据不等关系列出不等式，解出解集，即可确定答案．【解答】解：（1）设每件甲种服装为x元，每件乙种服装为（x﹣50）元，
由题意得：=×2，
解得：x=200，
经检验x=200是原分式方程的解，
则：x﹣50=200﹣50=150．
答：每件甲种服装为200元，每件乙种服装为150元；
（2）设购进甲种服装m件，则购进乙种服装（2m+4）件，由题意得：
m+（2m+4）≥7160，
解得：m≥50．
答：该公司本次购进甲种服装至少是50件．
26．已知，如图在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AE于E．
（1）求证：BE=AD；
（2）连结CE，求∠CED的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）分别延长AC、BE，它们交于F点，由AE平分∠CAB，AE⊥BE，得到△ABF 为等腰三角形，BF=2BE；易证得Rt△ACD≌Rt△BCF，则根据全等三角形的性质，AD=BF，即可得到结论；
（2）先证明EF=CE，利用等边对等角得到∠FCE=∠EFC=67.5°，再利用三角形的内角和为180°求出∠CEF=45°，根据∠CED=90°﹣∠CEF即可解答..
【解答】解：（1）分别延长AC、BE，它们交于F点，如图1：
∵AE平分∠CAB，AE⊥BE，
∴△ABF为等腰三角形，BF=2BE，
∵∠ACB=∠AEB=90°，∠ADC=∠EDB，
∴∠2=∠3，
在Rt△ACD与Rt△BCF中，，
∴Rt△ACD≌Rt△BCF，
∴AD=BF，
∴BE=AD．
（2）如图2，
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵AE平分∠CAB，AE⊥BE，
∴△ABF为等腰三角形，BF=2BE，
∴∠F=∠ABF=÷2=67.5°，
∵∠ACB=90°，BE=2BF，
∴CE=EF，
∴∠FCE=∠EFC=67.5°，
∴∠CEF=180°﹣∠FCE﹣∠EFC=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°，
∴∠CED=90°﹣∠CEF=90°﹣45°=45°．
27．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的顶点A（﹣2，0），点B，C分别在x、y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠BAC=60°．
（1）求点B的坐标．
（2）点P为AC延长线上一点，过P作PQ平行于x轴交BC的延长线于点Q，若P点的横坐标为t，线段PQ的长为d，请用含t的式子表示d．
（3）在（2）的条件下，当PA=d时，E是线段CQ上一点，连接OE，BP，若OE=BP，求∠APB﹣∠OEB的度数．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）在三角形AOC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长，在直角三角形ABC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长，由AB﹣OA 求出OB的长，即可确定出B的坐标；
（2）如图1所示，在直角三角形MCP中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半，由MP=t，表示出PC，在直角三角形QPC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出PQ，即可得出d与t的关系式；
（3）如图2所示，过E作GF⊥x轴，交x轴于点F，交PQ于点G，在直角三角形QCP 中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出PC，由AP﹣PC表示出AC，根据已知
AC的长求出d的值，确定出PC与PQ的长，在直角三角形PCB中，利用勾股定理求出PB的长，即为PE的长，设OF=GM=x，表示出GE，由GF﹣EG表示出EF，在直角三角形OEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OF=PC，再由OE=PB，利用HL得到直角三角形OEF与直角三角形PCB全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠EOF=∠APB，再利用外角性质即可求出∠APB﹣∠OEB的度数．
【解答】解：（1）在Rt△AOC中，OA=2，∠BAC=60°，
∴∠ACO=30°，即AC=2OA=4，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=8，即OB=AB﹣OA=8﹣2=6，
则B（6，0）；
（2）如图1所示，
在Rt△MCP中，MP=t，∠MCP=30°，
∴CP=2MP=2t，
在Rt△CQP中，∠CQP=30°，CP=2t，
∴PQ=4t，即d=4t；
（3）如图2所示，过E作GF⊥x轴，交x轴于点F，交PQ于点G，
在Rt△PQC中，∠CQP=30°，PQ=d，
∴CP=PQ=d，
∵AP=d，
∴AC=AP﹣CP=d=4，即d=12，
∴PQ=12，PC=6，MP=3，QM=9，
在Rt△CBP中，CP=6，BC=4，
∴PB==2，
∴OE=PB=2，
在Rt△OEF中，设OF=GM=x，QG=9﹣x，
在Rt△QEG中，GE=（9﹣x），
∵MC=3，OC=2，
∴GF=OM=5，
∴EF=5﹣（9﹣x），
在Rt△OEF中，根据勾股定理得：x2+[5﹣（9﹣x）]2=（2）2，解得：x=6，
∴OF=PC=6，
在Rt△OEF和Rt△PBC中，
，
∴Rt△OEF≌Rt△PBC（HL），
∴∠AOE=∠APB，
∵∠AOE=∠OEB+∠ABC=∠OEB+30°，即∠AOE﹣∠OEB=30°，则∠APB﹣∠OEB=30°．。