数学分析10.2由平行截面面积求体积

第十章 定积分的应用 2 由平行截面面积求体积
定义：设Ω为三维空间中的一立体，它夹在垂直于x 轴的两平面x=a 与x=b 之间(a<b). 称Ω为位于[a,b]的立体. 若在任意一点x ∈[a,b]处作垂直于x 轴的平面，它截得Ω的截面面积显然是x 的函数，记为A(x), x ∈[a,b]，并称之为Ω的截面面积函数.
公式1：设截面面积函数A(x)是[a,b]上的一个连续函数，对[a,b]作分割T ：a=x 0<x 1<…<x n =b. 过各分点作垂直于x 的平面x=x i , i=1,2,…,n ，它们把Ω切割成n 个薄片. 设A(x)在每个小区间△i =[x i-1,x i ]上的最大, 最小值分别为M i 与m i ，那么每一薄片的体积△V i 满足 m i △x i ≤△V i ≤M i △x i . 于是Ω的体积V=∑=n
1i i V △满足
∑=n
1
i i
i
x
△m ≤V ≤∑=n
1
i i i x △M . 因为A(x)连续，从而在[a,b]上可积，所以
当T 足够小时，能使i n
1
i i x △ω∑==∑=n
1
i i i i x )△m -(M <ε，ε为任意小的正数.
∴V=∑=→n 1i i 0T M lim △x i (或∑=→n 1i i 0T m lim △x i )=
∑=→n
1i 0T A lim (ξi )△x i . 其中A(ξi )=M i (或m i ). ∴V=⎰b
a A(x )dx.
例1：求由两个圆柱面x 2+y 2=a 2与z 2+x 2=a 2 所围立体的体积.
解：如图取该立体的第一卦限，即8
1
部分
.
对任一x 0∈[0,a]，平面x=x 0与这部分立体的截面是正方形，边长为：
2
02x a -，即A(x)=a 2-x 2
, x ∈[0,a]. ∴V=8⎰a 0
A(x )dx=8⎰-a
22)x (a dx=
3
16a 3
.
例2：求由椭球面22
2222c
z b y a x ++=1所围立体(椭球)的体积.
解：以平面x=x 0(|x 0|≤a)截椭球面，得椭圆：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-+
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-2
2
022
2
2
22
a x 1c z a x 1
b y =1.
∴截面面积函数为：A(x)=πbc ⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-2
2
a x 1, x ∈[-a,a]. ∴V=⎰a
a -A(x )dx=⎰⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-a
a -22a x 1πbc dx=34
πabc.
注：当a=b=c=r 时，就等于球的体积3
4
πr 3.
定理：设ΩA ,ΩB 为位于同一区间a,b 的两个立体，其体积分别V A ,V B .若在[a,b]上它们的截面面积函数A(x)与B(x)皆连续，且A(x)=B(x)则V A =V B .
公式2：设f 是[a,b]上的连续函数，
Ω是由平面图形0≤|y|≤|f(x)|, a ≤x ≤b 绕x 轴旋转一周的旋转体，则截面面积函数为A(x)=π[f(x)]2, x ∈[a,b]. ∴旋转体Ω的体积为：V=π⎰b
a
2
[f(x )]
dx.
例3：试用公式2导出圆锥体的体积公式.
解：设正圆锥的高为h ，底圆半径为r ，则有0≤|y|≤h
r
x, x ∈[0,h].
∴V=π⎰⎪
⎭
⎫
⎝⎛h
02
x h r dx=31πr 2h.
例4：求由圆x 2+(y-R)2≤r 2 (0<r<R)绕x 轴旋转一周所得环状立体体积.解：圆的上下半圆分别为：
y=f(x)=R+22x r -；y=g(x)=R-22x r -, |x|≤r. ∴圆环体截面面积函数为：
A(x)=π[f(x)]2-π[g(x)]2=4πR 22x r -, x ∈[-r,r]. ∴V=2⎰-r
02
2
x r πR 4dx=8πR ⎰-r
022x r dx= 2π2r 2R.
习题
1、如图所示，直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截，试求截得楔形体的体积.
解：如图所示建立直角坐标系，则
椭圆柱面的方程为：16
y 100x 2
2+=1， 斜面的方程为Z=2
x
.
用平面x=t 截这个立体，得一长方形，其边长为：8100t 12-和2t
.
∴A(x)=82x 100x 12⋅-=4x 100
x 12
-, x ∈[0,10].∴截得楔形体的体积为：
V=⎰-
10
02
100
x 1x 4dx=3400.
2、求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积： (1)y=sinx, 0≤x ≤π, 绕x 轴；
(2)x=a(t-sint), y=a(1-cost) (a>0), 0≤t ≤2π, 绕x 轴； (3)r=a(1+cos θ), (a>0), 绕极轴；
(4)22
22b y a x +=1, 绕y 轴. 解：(1)V=π⎰π
02
x sin dx=2
π2.
(2)V=π
⎰
2π
22cost)-(1a d[a(t-sint)]=πa
3
⎰
2π
3cost)-(1dt=5a 3π2
.
(3)r=a(1+cos θ), (a>0)是心脏线，而心脏线极轴之上部分的参数方程为： x=a(1+cos θ)cos θ; y=a(1+cos θ)sin θ, (0≤θ≤π) ∴V=|π⎰
π32
2
y dx|-|π
⎰
π32π
2
y dx|=|π
⎰
+π
222θsin ) cos θ(1a da(1+cos θ)cos θ|
=πa
3
⎰
+++π
2333) cos θ2θ)(1θcos sin 2θcosθsin 2θ(sin d θ=3
8πa 3
.
(4)y=b 22a x 1-, ∴V=πb 2⎰⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-a a -22a x 1dx =34a b 2π.
3、已知球半径为r ，验证高为h 的球缺体积V=πh 2(r-3
h
) (h ≤r). 证：球缺体积可看作曲线y=22x R -,R-h ≤x ≤R 绕x 轴旋转而得， V=π⎰
R
h
-R 2
y dx=π
⎰
-R
h
-R 22)x (R dx=πh 2
(r-
3
h
). 得证.
4、求曲线x=Rcos3t, y=Rsin3t, (R>0)所围平面绕x轴旋转所得立体体积.
解：V=π⎰R
R-
2
y dx=π⎰0π6
2t
sin
R dRcos3t=3πR3⎰π02
7t
tcos
sin dt=
105
16πR3.
5、导出曲边梯形0≤y≤f(x), a≤x≤b绕y轴旋转所得立体的体积公式为：V=2π⎰b
a
x f(x)dx.
证：曲边梯形绕y轴旋转，在x处的截面图形为一圆柱的侧面，
其面积为：A(x)=2πx·f(x), a≤x≤b. 所围立体体积为：
V=⎰b
a
A(x)dx=2π⎰b a x f(x)dx. 得证.
6、求0≤y≤sinx, 0≤x≤π所示平面图形绕y轴旋转所得立体体积. 解法1：曲线y=sinx可分成两部分：x=arcsiny, x=π-arcsiny, 0≤y≤1. 用y=t截这个立体，其截面面积为：
A(t)=π[(π-arcsint)2- (arcsint)2]=π3-2π2arcsint.
即面积函数为A(y)=π3-2π2arcsiny.
∴V=⎰1
2
3arcsiny)
2π
-
(πdy=2π2.
解法2：利用第5题的结论可得：V=2π⎰π
x sinx dx=2π2.。