湖北省武汉市武昌区2010年高三五月调研测试(数学文)word版

湖北省武汉市武昌区 2010届高三年级五月调研测试
数学试题（文科）
本试卷满分150分，考试用时120分钟
注意事项： 1．本卷1—10题为选择题，共50分；11—21题为非选择题，共100分，考试结束，监
考人员将试题卷和答题卡一并收回。

2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡指定
位置，交将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

3．选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

4．非选择题的作答；用0.5毫米黑色墨水的签字直接答在答题卡上的每题所对应的答题
区域内，答在指定区域外无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只
有一项是符合题目要求的。

1．直线013=++y x 的倾斜角是
（ ）
A ．
6
π B ．
3π C ．3
2π D ．6
5π 2．函数)1(12-<-=x x y 的反函数是
（ ）
A ．)0(12>+=x x y
B ．)0(12>+-=x x y
C ．)0(12≥-=
x x y
D ．)0(12≥--=x x y
3．等比数列}{n a 的公比为q ，则“01>a ，且1>q ”是“对于任意正自然数n ，都有n n a a >+1”的
（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
4．设l n m ,,是三条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ） A ．若l n m 与,所成的角相等，则n m //
B ．若βαβα//,,//m m 则⊂
C ．若n m ,与α所成的角相等，则n m //
D ．若γ与平面βα,所成的角相等，则βα//
5．若不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥+≥4
3430
y x y x x 所表示的平面区域被直线34+=kx y 分为面积相等的两部分，则
实数k 的值为
（ ）
A ．
37 B ．
7
3 C ．
3
4 D ．
4
3 6．某人朝正东方走xkm 后，向左转150°，然后朝新方向走km 3，结果它离出发点恰好km 3，
那么x 等于
（ ）
A ．3
B ．32
C ．3或32
D ．3
7．2010年两会记者招待会上，主持人要从5名中国记者与4名外主国记者中选出3名进行提
问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，则不同的提问方式的种数是 （ ） A ．80 B ．180 C ．240 D ．260
8．某中学在新课改活动中，成立了机器人小组，他们在一次实验中，要观察坐标平面内沿一
正方形四周运动的质点，为了记录这个质点的任何时刻的运动数据和位置，特在垂直于坐标平面原点的正上方1个单位长度处安装一探测仪，它的探测范围是以自身为球心，半径可调节的球，现已知质点运动轨迹的正方形四个顶点为（0，0）、（1，0）、（1，1）、（0，1），那么探测仪的探测半径最少要调到 （ ）
A ．1
B ．2
C ．2
D ．3 9．函数12sin 23
1)(3
+-=x x x f 的图象
（ ）
A ．关于点（1，0）对称
B ．关于点（-1，0）对称
C ．关于点（0，1）对称
D ．关于点（0，-1）对称
10．ABC ∆内接于以O 为圆心，半径为1的圆，且543=++，则ABC ∆的面
积为
（ ）
A ．1
B ．
6
5 C ．
5
6 D ．
2
3 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案写在答题卡相应位置上。

11．某中学高一有男生300人，女生200，高二有男生400人、女生300人，高三有男生450
人、女生350人。

现在该中学抽取部分学生进行课外阅读情况调查，已知每一个学生被
抽到的概率均为
10
1
，则抽出的样本中女生人数是 。

12．若)()
21(20102
10
102
010
R x x a x a a x ∈+++=- ，则2010201022
12
22a a a +++ 的值
为 。

13．如图，在半径为3的球面上有A 、B 、C 三点，
BC BA ABC =︒=∠,90，球心O 到平面ABC 的
距离是
2
2
3，则B 、C 两点的球面距离是 。

14．函数),2[)2(log 2
2+∞+-=在ax x y 上恒为正，则实数a 的取值范围是 。

15．过点),0(a P -作直线l 与抛物线)0(4:2
>=a ay x C 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，
若||2||FB FA =，则直线l 的斜率为 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）
设函数)0(cos 2)cos (sin )(2
2
>++=ωωωωx x x x f 的最小正周期为
.3
2π
（1）求ω的值；
（2）若函数)(x g y =的图像是由)(x f y =的图像向右平移
2
π
个单位长度得到，求)(x g y =的单调减区间。

17．（本小题满分12分） 某单位选派甲、乙、丙三人组队参加“2010上海世博会知识竞赛”，甲、乙、丙三人在同
时回答一道问题时，已知甲答对的概率是错误!不能通过编辑域代码创建对象。

，甲、丙两人都答错的概率是错误!不能通过编辑域代码创建对象。

，乙、丙两人都答对的概率是错误!不能通过编辑域代码创建对象。

，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题。

（1）求乙、丙两人分别答对此题的概率； （2）求该单位代表队答对此题的概率。

18．（本小题满分12分）
如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为4，动点P 在棱A 1B 1上。

（1）求证：1AD PD ⊥；
（2）当11121
B A P A =时，求P
C 与平面
D 1DCC 1所成角的正弦值； （3）当1114
3
B A P A =时，求点
C 到平面
D 1DP 的距离。

19．（本小题满分12分）
已知数列}{},{n n b a 满足2
1
,2121-==
b a ，且对任意*,N n m ∈，有.,n m n m n m n m b b b a a a +=⋅=++
（1）求数列}{},{n n b a 的通项公式； （2）求数列}{n n b a 的前n 项和n T ； （3）若数列}{n c 满足n
c n
c b n n n ++=
34，试求}{n c 的通项公式并判断：是否存在正整数M ，
使得对任意M n c c N n ≤∈,*
恒成立。

20．（本小题满分13分）
已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b
y a x C 的离心率为3，右准线方程为.33
=x （1）求双曲线C 的方程；
（2）已知直线0=+-m y x 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，与y 轴交于点M ，且
MB AM 3
1
=，求实数m 的值。

21．（本小题满分14分）
已知函数)(4)(2
3
R a ax x x f ∈-+-=。

若函数)(x f y =的图象在点))1(,1(f P 处的切线的倾斜角为.4
π
（1）求a ；
（2）设)(x f 的导函数是)(x f '，若]1,1[,-∈n m ，求)()(n f m f '+的最小值； （3）对实数m 的值，讨论关于x 的方程m x f =)(的解的个数。

参考答案
一、选择题
1—5DBABA 6—10CDDCC 二、填空题 11．85 12．-1 13．π 14．2
5<
a 15．4
2
3±
三、解答题 16．（本小题满分12分） 解：（1）x x x x f ωωω2
2
cos 2)cos (sin )(++=
2)4
2sin(222cos 2sin ++
=-+=π
ωωωx x x
…………4分
依题意，得3
222π
ωπ=
，
故2
3=
ω
…………6分
（2）由（1）得243sin 2)(+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=
πx x f
依题意，得.2)4
53sin(22]4)2(3sin[2)(++=++-=
π
ππx x x g …………8分
由23245322π
ππππ+≤-≤+k x k
解得).(12
11
3212732Z k k x k ∈+≤≤+
ππππ
故)(x g y =的单调减区间为.,121132,12732
Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++
ππππ………12分
17．（本小题满分12分）
解：（1）记甲、乙、丙分别答对此题为事件A 、B 、C 由已知，12
1
)](1)][(1[,43)(=--=
C P A P A P .3
2
)(=∴C P
…………3分
又4
1)()(=
C P B P
8
3)(=
∴B P …………6分
（2）该单位代表队答对此题的概率
.96
91
)321)(831)(431(1=----=P ……12分
18．（本小题满分12分）
解：（1）连结A 1D ⊥1PA 面A 1ADD 1
D A 1∴为PD 在平面A 1ADD 1内的射影。

又11AD D A ⊥
1AD PD ⊥∴
…………3分
（2）取D 1C 1中点M ，连结PM ，CM ， 则PM//A 1D 1， ⊥11D A 平面D 1DCC 1，⊥∴PM 平面D 1DCC 1， ∴CM 为PC 在平面D 1DCC 1内的射影。

则PCM ∠为PC 与平面D 1DCC 1所成的角 …………5分
在PCM Rt ∆中，3
2644244sin 2
22==
++==
PC
PM
PCM
∴PC 与平面D 1DCC 1所成的角的正弦值为.3
2
…………7分
（3）在正方体AC 1中，D 1D//C 1C 。

⊄C C 1 平面D 1DP 内， //1C C ∴平面D 1DP ，
∴点C 到平面D 1DP 的距离与点C 1到平面D 1DP 的距离相等。

又D 1D ⊥平面A 1B 1C 1D 1，
又平面D 1DP ∩平面A 1B 1C 1D 1=D 1P ，
过C 1作C 1H ⊥D 1P 于H ，则C 1H ⊥平面D 1DP 。

H C 1∴的长为点C 1到平面D 1DP 的距离…………10分
连结C 1P ，并在D 1C 1上取点Q ，使PQ//B 1C 1， 在11PC D ∆中，1111C D PQ P D H C ⋅=⋅，得5
161=
H C ∴点C 到平面D 1DP 的距离
5
16
…………12分 解法二：（1）如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系.xyz D - 由题设知正方体棱长为4，则D （0，0，0），A （4，0，0），B 1（4，4，4）， A 1（4，0，4），D 1（0，0，4），C （0，4，0）…………1分
设错误!不能通过编辑域代码创建对象。

，则错误!不能通过编辑域代码创建对象。

错误!不能通过编辑域代码创建对象。

.1AD PD ⊥∴
…………3分
（2）由题设可得，)4,2,4(P ，故)4,2,4(-= ⊥AD 平面D 1DCC 1，
)0,0,4(=∴是平面D 1DCC 1的法向量。

…………5分
.3
2,cos =>=
<∴CP DA
∴CP 与平面D 1DCC 1所成角的正弦值为.3
2
…………7分
（3）)0,4,0(= ，设平面D 1DP 的法向量),,(z y x n = )4,3,4(),4,0,0(),4,3,4(1==∴DD P
由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,
0,01DP n DD 得⎩⎨⎧=++=0434,0z y x z 令3-=x ，则.4=y
)0,4,3(-=∴n
…………10分
∴点C 到平面D 1DP 的距离为5
16
|
|=
=
n d …………12分
19．（本小题满分12分） 解：（1）由已知，对任意*
,N n m ∈， 有.,n m n m n m n m b b b a a a +=⋅=++
取1=m ，得.2
1
,211111n n n n n n b b b b a a a a +-=+==
=++
所以数列}{},{n n b a 分别为等比，等差数列。

n n n a )21()21(211=⋅=
∴-
2
)21)(1(21n
n b n -=--+-=…………4分
（2）n
n n T ⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2122123212221213
2
1
.212212321222121211
432-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n T
两式相减，并化简得.1)2
1
(211
-+⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⨯=+n n n n T …………8分 （3）由n
c n
c b n n n ++=
34，
得.8322++-
=n n
n c n …………10分
.0)113)(83(24
19321<++++-=-+n n n n c c n n
∴数列}{n c 为递减数列，n c 的最大值为.1c
故存在M=1，使得对任意1*
,c c N n n ≤∈恒成立…………13分
20．（本小题满分13分）
解：（1）由题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==333
2a
c c
a 解得3,1=
=c a …………3分
.2222=-=∴a c b
∴所求双曲线C 的方程为.12
2
2
=-y x …………5分 （2）设A 、B 两点的坐标分别为),(),,(2211y x y x
由⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=-
,0,12
2
2m y x y x 得0222
2
=---m mx x （其中判别式0>∆）
m x x 221=+∴， ①
.2221--=m x x ② …………8分
设),0(0y M ，则).,(),,(022101y y x y y x -=--= 由MB AM 3
1
=
，得
.3
1
21x x =
- ③ 由①②③，解得.1±=m
…………12分
所以，.1±=m …………13分 21．（本小题满分13分） 解：（1）.23)(2
ax x x f +-=' …………1分
据题意，14tan
)1(=='π
f
123=+-∴a ，即2=a
…………3分
（2）由（1）知.43)(,42)(2
2
3
x x x f x x x f +-='-+-=
∴对于]1,1[-∈m ，)(m f 的最小值为.4)0(-=f
…………6分
x x x f 43)(2--=' 的对称轴为3
2
=
x ，且抛物线开口向下， ]1,1[-∈∴x 时，)(x f '最小值为)1(-'f 与)1(f '中较小的 7)1(,1)1(-=-'='f f
∴当]1,1[-∈x 时，在)(x f '的最小值为-7 …………7分
∴当]1,1[-∈x 时，在)(n f '的最小值为-7
……8分
)()(n f m f '+∴的最小值为-11
（3）求得.277634,4)0(-
=⎪⎭⎫
⎝⎛-=f f …………10分
依题意可画出函数)(x f y =草图，得
当2776->m 或4-<m 时，方程有一解；
当2776-=m 或4-=m 时，方程有两解；
当27764-<<-m 时，方程有三解；。