周期信号的频谱

A1
4A，
1
－
2
A3
4A，
3
3
－
2
其余 An 0
3.3.1 周期信号频谱的特点
• 振幅频谱
n
0 1
2
31 51 7 1
• 相位频谱
n 0
3.3.1 周期信号频谱的特点
• 例 f(t)13cots1 (0 )2co2st (20 )
0.4co3st (45 )0.8co6st (30 ),
试画出 f (t) 的振幅谱和相位谱。
解： f(t)为周期信号，题中所给的 f(t) 表达式可视为 f(t) 的 傅里叶级数展开式。据
f(t)A0 Ancon s1t(n) n1
可知，其基波频率π(rad/s)，基本周期T=2s，ω=2π、3π、 6 π 分别为二、 三、六次谐波频率。
f(t)13cots1 (0 )2co2st (20 )
• 傅立叶系数
Fn T1
T 2
T2
f(t)ejn1tdt
则： f(t) Fnejn1t n
• 例 求周期冲激序列信号的指数形式傅立叶 级数表示式
T(t) (tnT)
n
δT(t)
n=0, 1, 2, ….
-3T -2T -T 0 T 2T 3T t
系数：
1
Fn T
T 2
T 2
f ( t ) e d jn 1t t
• 周期信号的能量是无限的，平均功率有界，
P 1 T
T
2 T
f 2(t)dt
2
属于功率信号。
f (t) Fnejn1t n
将 f(t) 表示成傅里叶级数并代入上式可得：
P
Fn 2 F0 2 2 Fn 2
n
n0
3.3.3 周期信号的功率
• 例：
试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽内谐波分量所具有的平 均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4， =1/20。
1
T 2
(t )e jn1t d t
T
T 2
1 T
则 ： f (t )
F e jn1t n
n
T
(t)
n
F e jn1t n
n
1 e jn1t T
1
e jn1t
T n
1
2 T
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f(t)A0 Ancon s1t(n) n1
f (t) Fnejn1t n
Fn
1 2
An
1 2
Ane
jn
Fn ejn
An、n 均为 n1 的复函数，
分别组成 f(t) 的第 n 次谐波分量的振幅和相位。
振幅频谱
频谱图
相位频谱
以振幅为纵坐标所画出的谱线图 以ω为横坐标
以相位为纵坐标所得到的谱线图
的频带宽度。记为 或
B
2(rad/s)
Bf
1(Hz)
2(rad/s)
f 1 (Hz)
信号的频带宽度与信号的持续时间成反比
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
• 对于单调衰减的信号：
把零频率到谐波幅度降到最大值十分之 一的那个频率间频带，称为信号的带宽
1 10
f f1(H)z
f1
3.3.3 周期信号的功率
此频谱称为不连续谱或离散谱；每条谱线间的距离为 1
❖谐波性：
2
T
每一条谱线只能出现在基波频率 1 的整数倍频率上，即含 有 1 的各次谐波分量，而决不含有非 1 的谐波分量。
❖收敛性：
各次谐波分量的振幅虽然随 n1 的变化有起伏变化，但总的 趋势是随着 n1 的增大而逐渐减小。
当 n1 →∞时，|Fn|→0。
信号f1(t)和f2(t)的波形如图所示，设 f(t)=f1(t)*f2(t),则f(0)等于( )。
卷积练习
3.3 周期信号的频谱
3.3 周期信号的频谱
• 3.3.1 周期信号频谱的特点 • 3.3.2 双边频谱与信号的带宽 • 3.3.3 周期信号的功率
3.3.1 周期信号频谱的特点
• 周期信号的两种展开式：
• 画周期矩形脉冲的频谱
1. 找出谐波次数为零的点（即包络与横轴的交点）
包络线方程为
Fn
A
T
San1
2
与横轴的交点由下式决定： n1 k
n1
2
离散自变量
k(1,2,3)
n1
2k
2,4,6
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
2.确定各谐波分量的幅度
当 n1 0
2
即 n1 0
基波分量的幅度：A Sa1
3.3.1 周期信号频谱的特点
• 试画振幅谱和相位谱
矩形波
4 A
1
1
f( t) [ c o s (1 t 2 ) 3 c o s ( 3 1 t 2 ) 5 c o s ( 5 1 t 2 ) L ]
可知，其基波频率 1 ， 分别有一、 三、五……奇次谐波分量
A0 0， 0 0，
时： cos n 0 sin n 0
n 0 n
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
• 周期矩形脉冲的频谱
Fn
F n 是 n1 的偶函数
n n 是 n1 的奇函数
0 1
n
0 1
n1 n1
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
• 周期信号频谱的特点：
❖离散性：
由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以
a0 (ancons1tbnsinn 1t) n1
f(t)A0 Ancos(n1tn) n1
• 傅立叶系数 直流系数
a0
1 T
t0T t0
f (t)d t
余弦分量系数 anT 2tt00T f(t)con s1tdt
正弦分量系数
bn
2 T
t0T t0
f(t)sin1t
d
t
可取 t0=0，t0=－T/2
fT (t)
A
T
T
t
2
2
3.3.3 周期信号的功率
• 解： 周期矩形脉冲的傅立叶复系数为：
Fn
A
T
Sa(n1)＝A
2T
s
inn(1)
2
n1
2
将A=1，T=1/4，=1/20，代入：
F n 0 . 2 S ( n 1 a / 4 ) 0 0 . 2 S ( n / a 5 )
信号的平均功率为：P1 T/2 f2(t)d t 0.2 T T/2
3.3.3 周期信号的功率
包含在有效带宽内的各谐波平均功率为：
有效带宽为： 0~2(rad/s) 0~40(ra/sd)
1 8
在带宽范围内有基波、二次、三次、四次谐波分量：
8,16,24,32
4
4
P 1 |F (n0)|2 F 2(0 ) 2|F (n0)|2
n = — 4
n = 1
P1 0.180690% P 0.200
T 2
Fn
A
T
San1
2
Fn
为最大值 ：A T
二次谐波分量的幅度：
A Sa 21
T 2
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
3.相位的确定
Fn
A
T
San1
2
是 n1 的实函数
Fn Fnejn Fn(consjsinn) Fn cosn
当
Fn 0 时：
cos n 0 sin n 0
当
Fn 0
•当x=kπ时，Sa(kπ)=0
• 且x→0时，Sa(x)=1
Sa(x)dx
0
2
Sa(x)dx
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
• 因此：
可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即
Fn
A
T
San1
2
由复振幅的表达式可知，频谱谱线顶点的连线所构成的包
络是 Sa(x) 的形式。
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
0.4co3st (45 )0.8co6st (30 ),
A0 1
0 0
A1 3
1 10
A2 2
A3 0.4 A6 0.8
2 20
3 45
6 30
其余 An 0
• 双边频谱
Fn
1 2
An
Fn Fn
n n
3.2.2 双边频谱与信号的带宽
振幅谱
相位谱
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
• 周期矩形脉冲信号
A f (t) 0
当t
2
当 T t , t T
2
22 2
f (t)
A
－T
－
T 2
－τ 2o
τ 2
T 2
T
2T t
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
•
复系数
Fn T1
T 2
T2
f(t)ejn1tdt 1 T
2
2
Aejn1tdt
T Aj1n 1(ej
n12ej n12)
2A
n1T
sinn(1)
2
A
T
sin n1
[
2
n 1
]
A Sa(n1)
T2
2
f
(t)
A
T
n1
sinn1
2
n1
ejn1t
2
3.S2a(.x2) 双边频谱与信号的带宽
1
• 取样函数定义为： Sa(x) sinx x
• 偶－ 函3数－2
－ o
2 3
x
1 • 看成振幅为 x 的正弦函数，振幅衰减的正弦振荡
• 当 T 时：谱线无限密集，幅度趋于无穷小，
周期信号趋于非周期信号。
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
• 周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线， 即：周期矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。
实际工作中，要求传输系统将信号中的主要频率分量传输过去
周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内，
因而，常常将 0 ~ 2 这段频率范围称为矩形脉冲信号
Fn 2
1
25
8
40
40
n 0
周期信号的功率谱
小结
• 单边频谱与双边频谱的意义 • 傅立叶级数展开对周期信号频谱分析的意义 • 正、余弦级数展开对应单边频谱 • 复指数级数展开对应双边频谱
f(t)a 0 a 1co1 t sa 2co 21 ts a 3co 31 ts b 1si1 n t b 2si2n 1 t b 3si3n 1 t
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
• T相同，不同τ值时周期矩形信号的频谱
T2
T4
3.3.2 双边频谱与信号的带宽
• T 不变， 1不变： 即谱线的疏密不变
若 ： 则 F n 收敛速度变慢， 幅度减小，
包络零点间隔增大。
• 不变： 包络零点间隔不变。
若 T ： 1 即谱线的变密，幅度减小，
10cos322双边频谱与信号的带宽振幅谱相位谱332双边频谱与信号的带宽332双边频谱与信号的带宽dtaejnjn322双边频谱与信号的带宽sasin看成振幅为的正弦函数振幅衰减的正弦振荡332双边频谱与信号的带宽可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式即由复振幅的表达式可知频谱谱线顶点的连线所构成的包sa332双边频谱与信号的带宽找出谐波次数为零的点即包络与横轴的交点包络线方程为与横轴的交点由下式决定